Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το ο Γενικό Λύκειο Χανίων [00-0 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το ήθος και την ευχάριστη διάθεση, με την οποία συμβάλλει στην ελεύθερη διάθεση της γνώσης. Για την αντιγραφή: Κόλλας Αντώνης.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Δίνεται η συνάρτηση g, με g() =. Για ποιες τιμές του έχουμε g() = 0 ; ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Για ποιες τιμές του η γραφική παράσταση της g() βρίσκεται "κάτω" απ' τον άξονα ; Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσωσεων: f() =, h() =, φ() =. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: f() = log( 9 ) f() = ε. ζ. f() = e f() = στ. εφ f() = ημ ημ f() = f() = η. f() =. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: f() = ln h() = ln ln k() = φ () = ln ε. r() = στ. t() = log( log ). Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f() φ() = e = ρ () = ln g() =
π ε. σ() = ln στ. π () = ημ. Αν f() = ln( ) και g() =, τότε να ορίσετε (εφόσον είναι εφικτό) τις συναρτήσεις: f g, f g, f / g. 6. Να βρείτε τα κοινά σημεία των αξόνων με τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων: f() = e f() = ln( ) 7. Εξετάστε αν είναι ίσα τα παρακάτω ζεύγη συναρτήσεων. Στην περίπτωση που δεν είναι, να βρεθεί το ευρύτερο υποσύνολο του, στο οποίο ισχύει η ισότητ f() = και g() = f () = και g () = ( ) f() = ln( ) και g() = ln 8. Να βρεθούν τα σημεία τομής με τους άξονες των συναρτήσεων: f() = και g() = καθώς και τα κοινά, μεταξύ τους, σημεί 9. Δίνεται η συνάρτηση f() = log. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της f. Να δείξετε ότι για κάθε, A ισχύει: f ( ) f( ) = f 0. Αν f() = τότε να αποδείξετε ότι: f = f() και f = f()
. Έστω η συνάρτηση f() = α β. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β, έτσι ώστε τα σημεία (, ) και (, 0) να ανήκουν στη Cf. Να μετασχηματιστεί ο τύπος της συνάρτησης σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει f() > 0.. Δίνεται η συνάρτηση f() = /. Να βρεθεί η απόσταση των σημείων Α (, f() ) και B (, f() ).. Δίνεται η συνάρτηση f() = α. Να βρεθεί το α ώστε η Cf να διέρχεται από το σημείο Μ (, ).. Αν για μία συνάρτηση f ισχύει: f( ) f() =, τότε να βρείτε τα f(0) και f(). f() f(/) =, με 0, τότε να βρείτε το f().. Έστω η ευθεία (ε) : y = (λ λ). Αν η (ε) διέρχεται από το σημείο (, ) να βρεθεί το λ. Για ποιες τιμές του λ η (ε) είναι παράλληλη προς τον. Ποια είναι τα σημεία τομής της (ε) με τους άξονες ; 6. Να εξετάσετε τη μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων: f() = g() = ln( ) h() = e k() = /, > 0 7. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: e 7 ΟΡΙΑ
8. Ομοίως: 9 9 ) ( 0 7 ε. ) )(t (t t t t t στ. 9. Ομοίως: ημ συν π 6 7 9 ε. 6 0. Ομοίως: 6 8. Ομοίως: 0 6. Ομοίως: 0
0 ε. 9 στ.. Ομοίως: 0. Ομοίως: 6 9. Ομοίως: 7 0 ε. 7 8 στ. 6. Ομοίως: 7 7 7 0 0 ε. 9 στ. ( ) 0
7. Αν 6 f() = α α,, = τότε: Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α, ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ 8. Να βρείτε τις πρώτες παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: f() = f() = ln f() = ln f() = ημ συν ε. στ. f() = ημ e ημ ζ. η. ι. ι ι ιε. e f () = α, α θ. f () = ι f() = ημ συνθ -, θ f() = α f() =, α e f() = ln f() = f() = ι f() = ( e ) ( ) ( ) f() = ιστ. ημ f() = εφ 9. Ομοίως: e f() = e f() = f() = ln( e) f () = εφ ε. f() = συν στ. f() = ημ συν ζ. f() = ημ( συν ) η. f() = ln( ln )
θ. f() = ημ συν( ) ι. e f() = ln ι f() = (e e ) ι f () = e ι ημ f() = συν 0. Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων: f() = ln και g() = ln( ημ ). Να αποδείξετε ότι: Αν ημ f () = τότε : f () f () f() = 0. Αν f() = e ημ τότε : f () f () f() = 0. f () Αν f() = e τότε : f () e = 0.. Αν f, g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο και ισχύει: =, f() g() e να αποδείξετε ότι : f () ( g () g() ) = g () ( f () f() ).. Η θέση ενός κινητού που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση δίνεται συναρτήσει του χρόνου t από τον τύπο s(t) = t t. Να βρείτε: τη μέση ταχύτητα του κινητού στο [, ]. τη στιγμιαία ταχύτητα του κινητού, όταν t =.. Αν λ f () = e, να υπολογιστεί ο λ ώστε : f () f () f (0)f() 8f() = 0. Δίνεται η συνάρτηση f() = e. Να αποδείξετε ότι, για κάθε : f () f () = 0 6. Να βρείτε πολυώνυμο P() δευτέρου βαθμού τέτοιο, ώστε να είναι Ρ(0) =, Ρ() = 6 και Ρ (0) =.
7. Ένας πληθυσμός μικροβίων Ρ μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου t (σε ώρες) σύμφωνα με τον τύπο P(t) = 0 0 ( t). Να βρείτε τον αρχικό αριθμό των μικροβίων. Να βρείτε τον αριθμό των μικροβίων μετά από 9 ώρες. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού των μικροβίων, ως προς το χρόνο, μετά από 9 ώρες. 8. Δίνεται η συνάρτηση f με f() = e α, α. Να βρείτε τις τιμές του α, ώστε να ισχύει η σχέση : f () f () = f(), για κάθε. 9. Η θέση ενός κινητού, που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση, δίνεται συναρτήσει του χρόνου t από τον τύπο s(t) = t t. Να βρείτε: τη μέση ταχύτητα του κινητού στο [, ]. τη στιγμιαία ταχύτητα του κινητού όταν t =. 0. Έστω η συνάρτηση f() = e e,. Να αποδείξετε ότι : f () = f(). Να λύσετε την εξίσωση f () f () = e. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα όταν : α f() = 6 f () = ln e f() =. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης: ημ f() = στο σημείο της με 0 = π. συν ln f () = στο σημείο της με τετμημένη. f() = στο σημείο της με τεταγμένη 7. f(θ) = συνθ σφθ στο σημείο της με θ = π/.
. Αν g() = α βln( ), >, τότε να βρείτε τα α, β έτσι ώστε η γραφική παράσταση της g να έχει εφαπτόμενη παράλληλη στον άξονα των, στα σημεία με τετμημένες = 0, =,.. Έστω η συνάρτηση f() =,. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της γραφικής παράστασης της f, που είναι παράλληλες στην ευθεία y =.. Έστω η συνάρτηση f() =,. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της καμπύλης της f, που σχηματίζει με τον άξονα γωνία 0. 6. Δίνεται η f() = ln. Να βρείτε: τη γωνία, που σχηματίζει η εφαπτόμενη (ε) της Cf στο σημείο της Α (, f() ), με τον άξονα. το σημείο, όπου η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στον. την εξίσωση της εφαπτόμενης στο 0 =. 7. Δίνεται η συνάρτηση f με f() = α( ), όπου, α. Να βρείτε: το α, ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτόμενης της καμπύλης της f στο Α (, f() ) να είναι. την εξίσωση της παραπάνω εφαπτομένης. 8. Δίνεται η συνάρτηση f με f() = αe β, όπου, α, β. Να βρείτε: τα α, β, ώστε η εφαπτόμενη της καμπύλης της f στο σημείο (0, ) να είναι παράλληλη στην y =. την εξίσωση της παραπάνω εφαπτομένης. 9. Έστω η συνάρτηση f() = 0. Να βρείτε τα σημεία, στα οποία η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με το ρυθμό μεταβολής της παραγώγους f στα σημεία αυτά. Στο σημείο του ερωτήματος (α) με τη μικρότερη τετμημένη να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης.
0. Δίνεται η συνάρτηση f με f() = α β, όπου α, β. Να υπολογίσετε τα α, β, ώστε η y = να εφάπτεται στη γραφικής παράσταση της f, στο σημείο της με τετμημένη.. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης Cf της f με f() = στα σημεία, που τέμνει τους άξονες, είναι παράλληλες.. Έστω η συνάρτηση f() = α β 9. Να προσδιορίσετε τα α, β, ώστε το σημείο Α (, 0 ) να ανήκει στη γραφική παράσταση Cf της f και η εφαπτόμενη της Cf στο Α να έχει συντελεστή διεύθυνσης τον αριθμό.. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και είναι f(ημ) = e συν, για κάθε [0, π). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf στο ( 0, f(0) ) σχηματίζει ισοσκελές τρίγωνο με τους άξονες.. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και είναι f() = f () = e. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης στη γραφική παράσταση τη g() = f( ln ) στο 0 = e.. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (0, ) με f( ) = ln. Να βρείτε την εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της Α (, f() ). 6. Έστω η f() = ln( ) α β. Να βρεθούν οι τιμές των α, β, ώστε η y = να είναι εφαπτόμενη της Cf στο 0 = 0. 7. Δίνονται τα σημεία Α ( ln, 0 ) και Β ( 0, e ), > 0. Αν η f() εκφράζει την απόσταση των σημείων Α και Β, τότε να βρείτε: τη συνάρτηση f (). την εφαπτόμενη της Cf στο σημείο Μ (, f() ). ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ 8. Να μελετήσετε ως προςτ η μονοτονία και τα ακρότατα καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις:
f() = 8 f() = e f() = ( ) e, f() = ( ) ε. f() = 6 στ. 9. Δίνεται η συνάρτηση f με f() = e. Να βρεθούν οι f (), f (). ln f() =, [0, 00] Να μελετηθεί η συνάρτηση f, ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατά της. 60. Δίνεται η συνάρτηση f με f() =. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και την πρώτη παράγωγο της f. Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονί 6. Έστω η συνάρτηση f() = e ( α), α. Να αποδείξετε ότι : f () f() = ( f () e ). Να βρείτε το α, ώστε η εφαπτόμενη στο σημείο (, f() ) να είναι παράλληλη στον. Για την τιμή του α που βρήκατε, να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατ 6. Δίνεται η συνάρτηση f με f() = κ λ, όπου, κ, λ. Να βρείτε τα κ, λ, ώστε η f να έχει στη θέση 0 = τοπικό ακρότατο ίσο με. Για τις τιμές των κ, λ, που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατ 6. Αν τα f() = α β, τότε : Να βρείτε τους αριθμούς α, β, για τους οποίους ισχύει f () = f () = 0. Αν α = και β= 0, τότε να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f.
6. Δίνεται η συνάρτηση f() = αe βe, όπου α, β θετικοί, πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι η ελάχιστη τιμή της f είναι αβ. 6. Αν V(r) = 00p( lnr) 00qr, όπου p και q θετικές σταθερές, τότε να αποδείξετε ότι το V έχει τη μέγιστη τιμή του όταν r = p/q. 66. Έστω η συνάρτηση f() = e α β, με α, β. Να βρείτε το α, ώστε : f () β( ) = f() f (). Να βρείτε το β, ώστε η εφαπτόμενη της f στο σημείο ( 0, f(0) ) να είναι παράλληλη στον άξονα. Για τις τιμές των α, β, που βρήκατε, να μελετηθεί η f() ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατ 67. Έστω η συνάρτηση f() = 6. Σε ποιο σημείο της γραφικής της παράστασης η εφαπτόμενη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης; 68. Σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της f() = ln η εφαπτόμενη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης; 69. Δίνεται η συνάρτηση f() = e e. Να βρείτε τα ακρότατά της. Να αποδείξετε την ανίσωση : e e. 70. Δίνεται η συνάρτηση f() =. Να βρείτε : το πεδίο ορισμού της. το όριό της όταν το τείνει στο 0 = 0. την παράγωγό της. τα διαστήματα μονοτονίας της, καθώς και τα ακρότατά της. 7. Δίνεται η συνάρτηση f με f() = ( α) λ, με και α, λ σταθερές. Να βρείτε το α, ώστε f () =. Να βρείτε το f() f().
Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο. Εάν το ελάχιστο της f είναι το λ, τότε να βρείτε το λ. ε. Βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της Cf, στο σημείο (, f() ). στ. Βρείτε το ρυθμό μεταβολής της f στο 0 =. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 7. Σώμα κινείται σε οριζόντιο άξονα ακολουθώντας τη συνάρτηση θέσης (t) = t 6t 9t (t σε sec, σε m). Ποια είναι η αρχική ταχύτητα του σώματος; Ποια είναι η ταχύτητα και η επιτάχυνση όταν το σώμα έχει διανύσει m; Πότε το σώμα έχει μηδενική ταχύτητα; Ποια η θέση και η επιτάχυνση αυτής της χρονικής στιγμής; Ποιο διάστημα διένυσε το σώμα τα πρώτα sec; ε. Περιγράψτε την κίνηση του σώματος στο [0, ]. 7. Οι συνολικές πωλήσεις ενός μοντέλου αυτοκινήτου δίνονται απο τη 0000 συνάρτηση f(t) = 0, όπου t [0, 0] ο χρόνος σε μήνες, t 0 e από την έναρξη των πωλήσεων. Να προσδιορίσετε τη χρονική στιγμή, κατά την οποία ο ρυθμός αύξησης των συνολικών πωλήσεων γίνεται μέγιστος, καθώς και τη μέγιστη τιμή του. 7. Μια βιομηχανία καθορίζει την τιμή πώλησης Π() κάθε μονάδας προϊόντος, συναρτήσει του πλήθους των μονάδων παραγωγής, σύμφωνα με τον τύπο Π() = 9. Το κόστος παραγωγής ανά μονάδα προϊόντος είναι 0 και, επιπλέον, η βιομηχανία πληρώνει φόρο 6, για κάθε μονάδα προϊόντος. Να βρεθεί πόσες μονάδες προϊόντος θα πρέπει να παράγει η βιομηχανία, ώστε να έχει το μέγιστο δυνατό κέρδος. 7. Ένα φορτηγό διανύει καθημερινά 00 km με σταθερή ταχύτητα km/h. Τα καύσιμα κοστίζουν 0,8 το λίτρο και καταναλώνονται με ρυθμό lt/h. Αν τα υπόλοιποα έξοδα του φορτηγού 00 ανέρχονται σε 9 την ώρα, τότε:
να εκφράσετε το κόστος της διαδρομής αυτής, ως συνάρτηση της ταχύτητας. να βρείτε την ταχύτητα, που πρέπει να έχει το φορτηγό, ώστε τα έξοδά του να είναι ελάχιστ να βρείτε πόσα είναι τα ελάχιστα αυτά έξοδ 76. Μια εταιρεία διαθέτει 0.000 για να περιφράξει ένα οικόπεδο σχήματος ορθογωνίου, έστω ΑΒΓΔ. Η πλευρά ΑΒ πρόκειται να κατασκευαστεί από υλικό, που κοστίζει /m. Στην πλευρά ΓΔ θα κατασκευαστεί ένας τοίχος, του οποίου το κόστος θα ανέλθει σε.000. Να βρείτε τις διαστάσεις του οικοπέδου, ώστε να έχει το μεγαλύτερο εμβαδό. 77. Έχουμε δύο φάρμακα για την υπόταση των ενηλίκων. Η μεταβολή της πίεσης, σε συνάρτηση με το χρόνο δράσης των δύο φαρμάκων, είναι Π(t) = te t και Π(t) = t e t, με t [0, ] σε ώρες. Ποιο από τα δύο φάρμακα δίνει τη μεγαλύτερη μέγιστη πίεση και ποιο φέρνει το αποτέλεσμα αυτό πιο γρήγορα; 78. Δίνεται η ευθεία y =. Να βρείτε το σημείο της ευθείας αυτής, το οποίο απέχει από το σημείο Α ( 9, ) τη μικρότερη, δυνατή απόσταση. 79. Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 8. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το γινόμενό τους. 80. Από όλα τα ορθογώνια με εμβαδό 6 m, ποιο είναι εκείνο που έχει τη μικρότερη περίμετρο; 8. Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο cm, να βρείτε εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδό. 8. Να βρεθεί το πλησιέστερο σημείο της παραβολής y = στην ευθεία y =. 8. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, που διέρχεται από το σημείο (, ) και σχηματίζει με τους ημιάξονες O και Oy τρίγωνο ελαχίστου εμβαδού. 8. Η θέση ενός υλικού σημείου, που βάλλεται με φορά προς τα πάνω, από το έδαφος, δίνεται από τον τύπο y(t) = t (0 t), όπου t ο χρόνος της κίνησής του σε sec.
Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σημείου, μετά από δευτερόλεπτ Τι συμπεραίνετε για την κίνησή του, τη χρονική στιγμή αυτή; Να βρείτε την αρχική ταχύτητα του σημείου, καθώς και το μέγιστο ύψος στο οποίο φτάνει. Σε ποια χρονική στιγμή το ύψος του είναι 7 m ; 8. Δίνεται ορθή γωνία Oy και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους 0 m, του οποίου τα άκρα Α και Β ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές Oy και O αντίστοιχ Το σημείο Β κινείται με ταχύτητα u = m/sec και η θέση του στον άξονα O δίνεται από τη συνάρτηση S(t) = u t, όπου t ο χρόνος σε sec και t [0, ]. Να βρεθεί το εμβαδό Ε(t) του τριγώνου ΟΑΒ, συναρτήσει του t. Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του Ε(t) τη στιγμή, κατά την οποία το μήκος του ΟΑ είναι 6 m ; ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 86. Έστω η συνάρτηση f με f() = e με α, β, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία: Α (, e ) και Β (, e), τότε: Να βρεθεί ο τύπος της. Να βρεθεί το σημείο τομής της Cf με τον άξονα y y. α Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο παραπάνω σημείο, καθώς και το εμβαδόν του τριγώνου, που ορίζει αυτή με τους άξονες. Να αποδείξετε ότι : f () = f () ( ) f(). ε. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης για =. 87. Μια αυτοκινητοβιομηχανία υπολόγισε ότι η σχέση, μεταξύ της τιμής Τ ενός νέου μοντέλου αυτοκινήτου και της ζητούμενης ποσότητας αυτοκινήτων του μοντέλου αυτού, δίνεται από τη συνάρτηση: Τ() = 0, 000 για 0 000 Να βρεθεί η συνάρτηση Ε() των εσόδων της αυτοκινητοβιομηχανίας. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης εσόδων. β
Αν το κόστος των μονάδων αυτοκινήτου, που παράγονται, δίνεται από τη σχέση: Κ() = 90 0.000 για 0 0.000 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση κέρδους Ρ. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης κέρδους. ε. Για ποια έχει η αυτοκινητοβιομηχανία το μέγιστο κέρδος. 88. Δίνεται η συνάρτηση f() = ln. Να βρείτε: Τα σημεία στα οποία η Cf τέμνει τους άξονες. Να βρεθεί το διάστημα στο οποίο η Cf είναι πάνω από την ευθεία y = e. Να βρεθεί η f (). e Να βρεθεί το f. ε. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf, που είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y =. e 89. Έστω η συνάρτηση f() = e,. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf στο σημείο της Α (, f() ). Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της f. 90. Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα πάνω σε άξονα, ώστε η θέση του την τυχαία χρονική στιγμή t (σε sec) να δίνεται από τον τύπο (t) = t t t σε μέτρα (m). Να βρείτε: την ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t. τις χρονικές στιγμές, που το σώμα είναι ακίνητο. την απόσταση των θέσεων του σώματος, όταν αυτό είναι ακίνητο. 9. Έστω η συνάρτηση f με f() = e. Να βρείτε την τιμή της παράστασης: f () f () f(). Να υπολογίσετε το f ().
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης στη Cf, στο σημείο της με τετμημένη. 9. Αν η εφαπτόμενη (ε) στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f: στο σημείο Α (, f() ) είναι παράλληλη στην ευθεία y = 0, τότε: να βρείτε το f (). να αποδείξετε ότι η (ε) εφάπτεται στη Cg, στο σημείο της Β (0, g(0)), όπου g η συνάρτηση g() = f( ). 9. Δίνονται οι συναρτήσεις f() = ln( ) και g() = α β, όπου α, β. Να βρείτε: την εξίσωση της εφαπτόμενης (ε) της Cf στο Α (, f() ). τα α, β, ώστε η (ε) να εφάπτεται στη Cg στο σημείο B (, g() ). 9. Θεωρούμε τη συνάρτηση g με τύπο g () = f( ) f(), ( 0, ), f() = f () = f() = f () =. Αν η εξίσωση της εφαπτόμενης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α (, f() ) είναι παράλληλη στην ευθεία (ε) : y =, τότε να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο Β (, g() ), είναι παράλληλη στον άξονα. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία εφάπτεται στη Cg στο σημείο Γ (, g() ).