ιαµέριση (Prtition) ορισµένη στο διάστηµα I = [, b] P = {x 0,x 1,x 2,...,x n } = x 0 <x 1 <... <x n = b f(x) ϕραγµένη συνάρτηση f : [, b] R m f(x) M ή f(x) <B m = inf f(x), M = sup f(x) x b x b x k x k x k 1 norm (λεπτότητα) διαµέρισης (Prtition norm (mesh)) P =mx{ x 1, x 2,..., x n } διάσταση (µήκος) διαµέρισης (Prt. dimension (length)) d(p )=n d(p ) P b P λεπτότερη P P P P < P, d(p ) >d(p ) κάτω άθροισµα (low sum) της ϕραγµένης συνάρτησης πάνω σε µια διαµέριση P L(P, f) = n k=1 m k x k m k = inf { f(x), x k x x k 1 } άνω άθροισµα (upper sum) της ϕραγµένης συνάρτησης πάνω σε µια διαµέριση P U(P, f) = n k=1 M k x k M k = sup { f(x), x k x x k 1 }
f(x) ϕραγµένη συνάρτηση f : [, b] R m f(x) M ή f(x) <B Πρ. 1 L (P, f) U (P, f) Πρ. 2 Λεπτότερη διαµέριση µεγαλύτερο κάτω άθρ. P P L (P, f) L (P,f) L ( P,f ) L (P, f) 2 ( d(p ) d(p ) ) B P Πρ. 3 Λεπτότερη διαµέριση µικρότερο άνω άθροισµα P P U (P,f) U (P, f) U (P, f) U ( P,f ) 2 ( d(p ) d(p ) ) B P Πρ. 4 L (P 1,f) U (P 2,f)
L(f) sup P L(P, f) U(f) inf P U(P, f) Λήµµα ɛ>0 P : Λήµµα Ορ: ɛ>0 P : U(P, f) L(P, f) <U(f) L(f)+ɛ f(x) Drboux ολοκληρώσιµη L(f) =U(f) U(P, f) L(P, f) <U(f) L(f)+ɛ Πρ.6 f(x) είναι ολοκληρώσιµη L(f) =U(f) ɛ>0 P : U(P, f) L(P, f) <ɛ L(f) =U(f) I D (f) b f(x) dx Πρ. 5 Αν υπάρχει P n είναι κάποια ακολουθία διαµερίσεων τέτοια ώστε lim n L(P n,f) = lim U(P n n,f) τότε η συνάρτηση f(x) είναι ολοκληρώσιµη Πρ.7 Θεώρηµα Drboux f(x) είναι ολοκληρώσιµη L(f) =U(f) ɛ>0 δ>0: P <δ U(P, f) L(P, f) <ɛ
Ορισµός: Ολοκλήρωµα Riemnn διαµέριση P = {x 0,x 1,x 2,..., x n, } επιλογή σηµείων T = {ξ 1,ξ 2,..., ξ n, } Πρ. 8: f(x) µονότονη και ϕραγµένη στο [, b] f(x) (Drboux)-ολοκληρώσιµη Πρ. 9: f(x) συνεχής στο [, b] f(x) οµοιόµορφα συνεχής στο [, b] f(x) (Drboux)-ολοκληρώσιµη άθροισµα Riemnn ολοκλήρωµα Riemnn όπου x k 1 ξ k x k S (P, T, f) = n k=1 f(ξ k ) x k lim S (P, T, f) = I R(f) P 0 ɛ>0 δ>o: P < δ και T επιλογή σηµείων S (P, T, f) I R (f) <ɛ Αν υπάρχει το ολοκλήρωµα Riemnn τότε είναι µοναδικό Πρ. 10: ολοκλήρωµα Riemnn I R (f) =I Q (f) ολοκλήρωµα Drboux
Πρ. 11 (Θεώρηµα Drboux) : ξ k,n [ + k 1 n (b ), + k ] (b ) n b f(x) dx = b lim n n n k=1 f ( ξ k,n ) Πρ. 12 Ιδιότητες ολοκληρωµάτων Γραµµικότητα b (c 1 f(x) +c 2 g(x)) dx = b = c 1 f(x) dx + c 2 b g(x) dx Τριγωνική ιδιότητα b f(x) dx b f(x) dx Θετικότητα f 1 (x) f 2 (x) b f 1 (x) dx b f 2 (x) dx
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ DARBOUX ιαµέριση (Prtition) ορισµένη στο διάστηµα I = [, b] P = {x 0, x 1, x 2,..., x n } = x 0 < x 1 <... < x n = b x k x k x k 1 norm (λεπτότητα) διαµέρισης (Prtition norm (mesh)) P = mx { x 1, x 2,..., x n } διάσταση (µήκος) διαµέρισης (Prt. dimension (length)) d(p ) = n d(p ) P b P λεπτότερη P P P P < P, d(p ) > d(p ) f(x) ϕραγµένη συνάρτηση f : [, b] R m f(x) M ή f(x) < B m = inf f(x), x b M = sup f(x) x b κάτω άθροισµα (low sum) της ϕραγµένης συνάρτησης πάνω σε µια δια- µέριση P n L(P, f) = m k x k k=1 m k = inf {f(x), x k 1 x x k } άνω άθροισµα διαµέριση P (upper sum) της ϕραγµένης συνάρτησης πάνω σε µια n U(P, f) = M k x k k=1 M k = sup {f(x), x k 1 x x k }
f(x) ϕραγµένη συνάρτηση f : [, b] R m f(x) M ή f(x) < B Πρ. 1 L (P, f) U (P, f) Αποδ: Από τον ορισµό L(P, f) = n m k x k k=1 m k = inf {f(x), x k 1 x x k } και U(P, f) = n M k x k k=1 M k = sup {f(x), x k 1 x x k } έχουµε ότι : m k M k εποµένως L (P, f) U (P, f) Πρ. 2 Λεπτότερη διαµέριση µεγαλύτερο κάτω άθροισµα P P L (P, f) L (P, f) L (P, f) L (P, f) 2 (d(p ) d(p )) B P Αποδ: Εστω P 1 µια διαµέριση που προκύπτει από την P αν προσθέσουµε ένα νέο σηµείο y, δηλ. P 1 = P {y} P = {x 0, x 1, x 2,..., x i 1, x i,..., x n } d(p ) = n = x 0 < x 1 <... < x i 1 < y < x i }{{} <... < x n = b P 1 = {x 0, x 1, x 2,..., x i 1, y νέο στοιχ., x i,..., x n } L(P, f) = i 1 m k x k + k=1 ( + + n inf x i 1 x x i f(x) k=i+1 m k x k ) (x i x i 1 ) +
Επειδή µένως L(P 1, f) = inf f(x) x i 1 x x i Επειδή f(x) < B τότε inf f(x) x i 1 x y όµοια οπότε i 1 m k x k + k=1 ( + inf ( + inf f(x) y x x i + n x i 1 x y f(x) k=i+1 m k x k inf f(x) και inf x i 1 x y ) (y x i 1 ) + ) (x i y) + f(x) x i 1 x x i L(P ( 1, f) L(P, f) = ) = inf f(x) inf f(x) (y x i 1 ) + x i 1 x y x i 1 x x ( i ) + inf f(x) inf f(x) (x i y) 0 y x x i x i 1 x x i inf y x x i f(x) επο- inf f(x) inf f(x) + inf f(x) < 2B x i 1 x x i x i 1 x y x i 1 x x i inf f(x) inf f(x) < 2B y x x i x i 1 x x i L(P 1, f) L(P, f) < 2B (x i x i 1 ) = 2B P οπότε επαναλαµβάνοντας το αποτέλεσµα για διαφορές στοιχείων περισσότερο από 1, έτσι αν P 2 προκύπτει από την διαµέριση P 1 µε την προσθήκη ενός νέου στοιχείου, η P 3 προκύπτει από την διαµέριση P 2 µε την προσθήκη ενός νέου στοιχείου κ.ο.κ. ϑα έχουµε : L(P 1, f) L(P, f) < 2B P L(P 2, f) L(P 1, f) < 2B P 1 2B P L(P 3, f) L(P 3, f) < 2B P 2 2B P... L(P m, f) L(P m 1, f) < 2B P m 1 2B P αλλά m = d(p m ) d(p ). Οπότε L(P, f) L(P, f) < 2B m P m = d(p ) d(p ) Πρ. 3 Λεπτότερη διαµέριση µικρότερο άνω άθροισµα P P U (P, f) U (P, f) U (P, f) U (P, f) 2 (d(p ) d(p )) B P L(P m, f) L(P 1, f) < 2mB P
Η απόδειξη είναι ίδια όπως στην πρόταση 2. Πρ. 4 L (P 1, f) U (P 2, f) Αποδ: L (P 1, f) L (P 1 P2, f) U (P 1 P2, f) U (P 2, f) L(f) sup P L(P, f) U(f) inf P U(P, f) Ορ: f(x) Drboux ολοκληρώσιµη L(f) = U(f) L(f) = U(f) I D (f) b f(x) dx Πρ. 5 Αν υπάρχει P n είναι κάποια ακολουθία διαµερίσεων τέτοια ώστε lim L(P n, f) = lim U(P n, f) n n τότε η συνάρτηση f(x) είναι ολοκληρώσιµη Αποδ: Εχουµε ότι L(P n, f) L(f) U(f) U(P n, f) lim L(P n, f) L(f) U(f) lim U(P n, f) n n Λήµµα ɛ > 0 P : U(P, f) L(P, f) < U(f) L(f) + ɛ Αποδ: Επειδή L(f) = sup P L(P, f) ɛ > 0 P 1 : L(P 1, f) > L(f) ɛ/2 U(f) = inf P U(P, f) ɛ > 0 P 2 : U(P 2, f) < U(f) + ɛ/2 και για P = P 1 P2 L(P, f) L(P 1, f) > L(f) ɛ/2 U(P, f) U(P 2, f) > U(f) + ɛ/2 άρα U(P, f) L(P, f) < U(f) L(f) + ɛ Πρ.6
f(x) είναι ολοκληρώσιµη L(f) = U(f) ɛ > 0 P : U(P, f) L(P, f) < ɛ Αποδ.: Αν L(f) = U(f) τότε από το παραπάνω λήµµα έχουµε ότι : ɛ > 0 P : U(P, f) L(P, f) < ɛ Εστω τώρα ότι η παραπάνω σχέση αληθεύει τότε έχουµε επίσης ότι : L(P, f) L(f) U(f) U(P, f) U(f) L(F ) U(P, f) L(P, f) < ɛ Αρα ɛ > 0 U(f) L(F ) < ɛ οπότε L(f) = U(f). Πρ.7 Θεώρηµα Drboux ɛ > 0 f(x) είναι ολοκληρώσιµη L(f) = U(f) δ > 0 : P < δ U(P, f) L(P, f) < ɛ Αποδ.: Αν ɛ > 0 δ > 0 : P < δ U(P, f) L(P, f) < ɛ τότε ικανοποιούνται οι συνθήκες της πρότασης 6, επειδή ɛ > 0 P : U(P, f) L(P, f) < ɛ L(f) = U(f) Εστω τώρα L(f) = U(f) τότε σύµφωνα µε την πρόταση 6 ɛ > 0 P 0 : U(P 0, f) L(P 0, f) < ɛ/2 Από την διαµέριση P 0 ορίζουµε ɛ δ = 8d(P 0 )B Εστω µια διαµέριση P, Από την πρόταση 2 P < δ. Ορίζουµε f(x) < B Q = P P 0 d(q) d(p ) d(p 0 ) L(Q, f) L(P, f) 2 (d(q) d(p )) B P 2d(P 0 )B P < 2d(P 0 )Bδ = ɛ 4 από την πρόταση 2 έχουµε όµοια αποδεικνύουµε ότι : εποµένως L(P 0, f) L(P, f) L(Q, f) L(P, f) < ɛ 4 U(P, f) U(P 0, f) < ɛ 4 U(P, f) L(P, f) = U(P, f) U(P 0, f) + U(P }{{} 0, f) L(P 0, f) + L(P }{{} 0, f) L(P, f) < ɛ }{{} <ɛ/4 <ɛ/2 <ɛ/4
Ολοκλήρωµα Drboux-Riemnn () (1) εν υπάρχει το ολοκλήρωµα Riemnn για την συνάρτηση : { 1 για x Q f(x) = 0 για x / Q 0 x 1 (2) εν υπάρχει το ολοκλήρωµα Drboux για την συνάρτηση : f(x) = { 1 για 0 < x 1 [ x] 1 0 για x = 0 (3) Χρησιµοποιώντας τον ορισµό ολοκληρώµατος Riemnn αποδείξτε ότι (c 0): b f(x) dx = b+c f(x c) dx (b) bc b f(x) dx = c f(cx) dx +c Βασική Ανισότητα (1) 20 5π/2 29 < x 1 + x dx < 1 2 π/2 (2) π π/2 2 < e sin2 x dx < e π 2 c 0 1 0 Ανισότητα Cuchy-Schwrtz π/2 3 (1) 2 (2) 0 π x sin x dx < 2 f(x) dx 2 1 0 f 2 (x) dx (3) Αν γ = inf {f(x), x b} τότε b Θεµελιώδες Θεώρηµα απειροστικού λογισµού x (1) Να ϐρεθεί η F (x) = f(x) dx όπου 0 x γιά 0 x 1 f(x) = 1 γιά 1 < x 2 x γιά 2 < x 3 1 b f 2 (x) dx b 1 f 2 (x) dx
(2) e 2 < < x x dt ln t < 2x ln x (3) Να υπολογισθεί το F (x) όταν : () F (x) = 2x 1 sin t 1 dt (b) F (x) = (sin t) 2 dt t 2 x 2 (4) f(x) αύξουσα και συνεχής και > 0 x+ f(t) dt αύξουσα και συνεχής (5) f(x) συνεχής, b f(x) dx 0 και 0 < λ < 1 ξ (, b) : x ξ b f(t) dt = λ f(x) dx