ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 6-7, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Μισδανίτης. Διατυπώστε τον 1 ο κανόνα ολοκλήρωσης Smpson b f ( xdx ) ( 1 3 f f f ) a, αντικαθιστώντας τη συνάρτηση f ( x) με το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange ης τάξης P ( x) L( x) f, όπου x x j L ( x). x x j j j Το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange ης τάξης υπολογίζεται από τη σχέση x x xx xx xx xx xx P( x) f f f 1 1 1 x x1 x x x1x x1x x x x x1 Με δεδομένο ότι τα f, f1, f είναι σταθερές ως προς την ολοκλήρωση μπορούμε να γράψουμε 1 x x x x xx xx xx xx xx1 f ( x) dx f dx f dx f dx x x x x 1 x 1 x x1x x x x x 1x x x x xx1 Εισάγουμε την αλλαγή μεταβλητής x x t απ όπου προκύπτει dx dt. Με την αλλαγή αυτή τα νέα όρια ολοκλήρωσης μετατρέπονται σε και αντίστοιχα. Η παραπάνω σχέση παίρνει πλέον τη μορφή x x 1 t1 t t t t t1 f ( x) dx f dt f dt f dt f t t dt f t t dt f t t dt 3 1
t t 3 3 3 t 3t t t t 1 f t f t f 3 3 3 t t 3 3 3 3 f f 1 f f f1 f t t 3. Να αποδειχθεί ο τύπος αριθμητικής ολοκλήρωσης x f ( xdx ) (1f 6f1f 6f3 f 5 x και να υπολογισθεί το σφάλμα του. 1 ), Για τον υπολογισμό του παραπάνω κανόνα αριθμητικής ολοκλήρωσης χρησιμοποιούμε τον γενικό κανόνα παρεμβολής Newton και επομένως ισχύει x I f ( x) dx f ( x a) da x aa ( 1) aa ( 1)( a) 3 aa ( 1)( a)( a3) f( x) f( x a) f( x) af( x) f( x) f( x) f( x)! 3!! aa ( 1) aa ( 1)( a) 3 aa ( 1)( a)( a3)! 3!! I [ f( x ) a f( x ) f( x ) f( x ) f( x )] da 3 3 5 3 a a a a a a 3 a a 11a a [ af( x) f( x) ( ) f( x) ( ) f( x) ( ) f( x)] 6 6 6 1 16 7 8 8 [ f( x) 8[ f( x1) f( x)] [ f( x) f( x1) f( x)] [ f( x3) f( x) f( x) f( x1) f( x1) f( x)] 3 3 1 [ f ( x) f( x3) f( x3) f( x) f( x3) f( x) f( x) f( x1) f( x) f( x1) f( x1) f( x)] 5 (1 f 6 f1 f 6 f31 f) 5 Για τον υπολογισμό του σφάλματος της παραπάνω μεθόδου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον απλοποιημένο τύπο 8..1 στη σελίδα 577 του βιβλίου Αριθμητική Ανάλυση (Ν.Μ. Βραχάτη) σύμφωνα με τον οποίο για n= ισχύει n3 n n1 7 5 ( n) (6) n n f ( ) ( t) dt f ( ) ( t) dt ( n )! 6!
(6) f ( ) tt ( 1)( t )( t 3)( t )( t 5) dt 7 n 7 7 7 (6) 3 5 6 n f ( ) 1t7t 5t 85t 15t t 7 7 (6) 18 8 (6) n f ( ) n f ( ) 7 1 95. Να υπολογισθούν με αριθμητική ολοκλήρωση Gauss οι τιμές της συνάρτησης gamma ( ) e x x a 1 dx για α=11. Επειδή το ολοκλήρωμα είναι της μορφής x f ( xe ) dx όπου f ( x) a 1 x οδηγούμαστε στην επιλογή της μεθόδου ολοκλήρωσης Gauss-Laguerre. χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο ολοκλήρωσης Gauss Laguerre n σημείων. Θα πρέπει να υπολογίσουμε το άθροισμα: όπου x είναι οι ρίζες του πολυωνύμου Laguerre n τάξης και w τα αντίστοιχα βάρη. Βασικό χαρακτηριστικό των συναρτήσεων Gamma είναι ότι το αναλυτικό αποτέλεσμα για κάθε μια από αυτές προκύπτει εύκολα χρησιμοποιώντας τη σχέση ( ) a 1! Χρησιμοποιώντας τη Matematca για τους υπολογισμούς και την επιβεβαίωση της παραπάνω σχέσης προκύπτει: x x 1 x N 157 9.336 1 1!//N 9.336 1 157 Χρησιμοποιώντας πάλι τη Matematca για την αριθμητική ολοκλήρωση και επιλέγοντας να κάνουμε χρήση 3 ριζών παίρνουμε το ακόλουθο πρόγραμμα:
x.893658333,.356195,.57688693, 1.787538, 1.78776,.58336763, 3.913785,.61656773, 5.939588335, 7.35816886, 8.9891673, 1.783189, 1.7637576, 1.939117981, 17.9366137, 19.85363693,.63577896, 5.618, 8.8739336869, 3.3333917, 36.1135,.133737756,.58536, 9.8665665, 5.3518133, 59.87911985, 65.98336171, 7.68683, 8.18837796, 88.73519639, 98.8955318, 111.7513987; w.19183195,.1317939,.3513967,.1959333597,.1998378699,.7578638336,.3176915169,.119181131,.3738817151,.9885686,.18681839, 3.9659987 1 5, 5.93915835 1 6, 7.75633 1 7, 7.668776 1 8, 6.366997915 1 9,.83658 1 1,.119398639 1 11, 8.6366 1 13, 3.98653719 1 1, 8.86317569 1 16, 1.933878581 1 17,.3633535 1 19, 1.76855 1 1, 1.57786 1 3, 5.86579798 1 6, 1.386756699 1 8, 1.875557 1 31, 1.181959 1 3,.6717178868 1 38, 1.3386918535 1,.5155359187 1 8 ; a ga_ : ScentfcFormApplyP lus, x 1 w Table[g[],{,1,11}] 1., 1.,., 6.1,.1 1 1, 1. 1, 7.1 1, 5.6 1 3,.331 1, 3.691 1 5, 3.691 1 6, 3.991 1 7,.7883 1 8, 6.167 1 9, 8.7361 1 1, 1.317 1 1,.8399 1 13, 3.53778 1 1, 6.3598 1 15, 1.69 1 17,.1 1 18, 5.677 1 19, 1.1168 1 1,.5736 1, 6.97 1 3, 1.566 1 5,.89 1 6, 1.1153 1 8, 3.1558 1 9, 9.5683 1 3,.811 1 3, 8.865 1 33,.8565 1 35, 9.595 1 36, 3.675 1 38, 1.1516 1,.16587 1 1, 1.553 1 3, 5.8736 1,.86 1 6, 9.1869 1 7, 3.713 1 9, 1.583 1 51, 6.6378 1 5,.881 1 5, 1.83 1 56, 5.85 1 57,.7797 1 59, 1.99 1 61, 6.3195 1 6, 3.1397 1 6, 1.5935 1 66, 8.1 1 67,.3863 1 69,.3398 1 71, 1.89 1 73, 7.1559 1 7,.659 1 76,.3596 1 78, 1.3893 1 8, 8.7381 1 81, 5.335 1 83, 3.1136 1 85, 1.95695 1 87, 1.513 1 89, 8.11369 1 9, 5.39 1 9, 3.58113 1 9,.318 1 96, 1.6793 1 98, 1.17583 1 1, 8.35 1 11, 6.171 1 13,.396 1 15, 3.5596 1 17,.37 1 19, 1.8596 1 111, 1.33 1 113, 1.1197 1 115, 8.8515 1 116, 7.885 1 118, 5.7736 1 1,.7177 1 1, 3.9188 1 1, 3.951 1 16,.86 1 18,.1178 1 13,.995 1 13, 1.8859 1 13, 1.6599 1 136, 1.8191 1 138, 1.3886 1 1, 1.18 1 1, 1.1511 1 1, 1.85 1 16, 1.97 1 18, 9.87537 1 19, 9.5693 1 151, 9.35379 1 153, 9.3319 1 155, 9.19695 1 157 g Apply Plus, x 1 w 9.19695 1 157
Table[ScentfcForm[Gamma[]],{,1,11}]//N 1., 1.,., 6.,. 1 1, 1. 1,7. 1,5. 1 3,.3 1, 3.688 1 5, 3.688 1 6, 3.99168 1 7,.79 1 8, 6.7 1 9, 8.71783 1 1, 1.3767 1 1,.98 1 13, 3.55687 1 1, 6.37 1 15, 1.165 1 17,.39 1 18, 5.199 1 19, 1.1 1 1,.585 1, 6.8 1 3, 1.5511 1 5,.391 1 6, 1.8889 1 8, 3.888 1 9, 8.8176 1 3,.6553 1 3, 8.8 1 33,.63131 1 35, 8.6833 1 36,.9533 1 38, 1.3331 1, 3.71993 1 1, 1.37638 1 3, 5.33 1,.3979 1 6, 8.15915 1 7, 3.355 1 9, 1.51 1 51, 6.153 1 5,.6587 1 5, 1.196 1 56, 5.56 1 57,.5863 1 59, 1.139 1 61, 6.88 1 6, 3.11 1 6, 1.5511 1 66, 8.658 1 67,.788 1 69,.38 1 71, 1.696 1 73, 7.1999 1 7,.569 1 76,.3556 1 78, 1.38683 1 8, 8.399 1 81, 5.758 1 83, 3.17 1 85, 1.9861 1 87, 1.6887 1 89, 8.765 1 9, 5.35 1 9, 3.6711 1 9,.8 1 96, 1.711 1 98, 1.19786 1 1, 8.579 1 11, 6.135 1 13,.71 1 15, 3.3789 1 17,.891 1 19, 1.8859 1 111, 1.5183 1 113, 1.133 1 115, 8.9618 1 116, 7.15695 1 118, 5.79713 1 1,.7536 1 1, 3.955 1 1, 3.31 1 16,.8171 1 18,.71 1 13,.1776 1 13, 1.8583 1 13, 1.658 1 136, 1.857 1 138, 1.35 1 1, 1.38 1 1, 1.15677 1 1, 1.8737 1 16, 1.33 1 18, 19 9.91678 1, 9.6198 1 151, 9.689 1 153, 9.336 1 155, 9.336 1 157 Gamma[11]//N 157 9.336 1 Table[ScentfcForm[(-1)!],{,1,11}]//N 1., 1.,., 6.,. 1 1, 1. 1,7. 1,5. 1 3,.3 1, 3.688 1 5, 3.688 1 6, 3.99168 1 7,.79 1 8, 6.7 1 9, 8.71783 1 1, 1.3767 1 1,.98 1 13, 3.55687 1 1, 6.37 1 15, 1.165 1 17,.39 1 18, 5.199 1 19, 1.1 1 1,.585 1, 6.8 1 3, 1.5511 1 5,.391 1 6, 1.8889 1 8, 3.888 1 9, 8.8176 1 3,.6553 1 3, 8.8 1 33,.63131 1 35, 8.6833 1 36,.9533 1 38, 1.3331 1, 3.71993 1 1, 1.37638 1 3, 5.33 1,.3979 1 6, 8.15915 1 7, 3.355 1 9, 1.51 1 51, 6.153 1 5,.6587 1 5, 1.196 1 56, 5.56 1 57,.5863 1 59, 1.139 1 61, 6.88 1 6, 3.11 1 6, 1.5511 1 66, 8.658 1 67,.788 1 69,.38 1 71, 1.696 1 73, 7.1999 1 7,.569 1 76,.3556 1 78, 1.38683 1 8, 8.399 1 81, 5.758 1 83, 3.17 1 85, 1.9861 1 87, 1.6887 1 89, 8.765 1 9, 5.35 1 9, 3.6711 1 9,.8 1 96, 1.711 1 98, 1.19786 1 1, 8.579 1 11, 6.135 1 13,.71 1 15, 3.3789 1 17,.891 1 19, 1.8859 1 111, 1.5183 1 113, 1.133 1 115, 8.9618 1 116, 7.15695 1 118, 5.79713 1 1,.7536 1 1, 3.955 1 1, 3.31 1 16,.8171 1 18,.71 1 13,.1776 1 13, 1.8583 1 13, 1.658 1 136, 1.857 1 138, 1.35 1 1, 1.38 1 1, 1.15677 1 1, 1.8737 1 16, 1.33 1 18, 19 9.91678 1, 9.6198 1 151, 9.689 1 153, 9.336 1 155, 9.336 1 157 Gamma[11]1! True
Από τα αποτελέσματα προκύπτει ότι η αριθμητική προσέγγιση της συνάρτησης Gamma χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση Gauss Laguerre 3 σημείων είναι (11) 9.196951 GL 157 Όσο το n μεγαλώνει παρατηρείται μεγαλύτερη απόκλιση ανάμεσα στα αριθμητικά και τα αναλυτικά αποτελέσματα. Οι αναλυτικές τιμές της συνάρτησης προσεγγίζονται καλύτερα κάνοντας χρήση περισσότερων σημείων στον κανόνα της αριθμητικής ολοκλήρωσης. 5. Να εφαρμοσθεί ο τύπος αριθμητικής ολοκλήρωσης Gauss-Cebysev, με n=, για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος I ydy. Για την αριθμητική ολοκλήρωση Gauss-Cebysev ισχύει 1 1 f() z 1 z dz και επομένως θα πρέπει τα όρια του ολοκληρώματος προς υπολογισμό να είναι από 1 έως 1. Για το σκοπό αυτό y[ ( )] y y1 1 z dz dy ( ) 6 3 3 και η αρχική σχέση παίρνει τη μορφή I 1 3(3z1) 1z dz με 1 1 z f ( z) 3(3z 1) 1 z. Αλλά I n wf( z) όπου z 1 cos n και w. n 1 Κάνοντας χρήση Matematca υπολογίζουμε την τιμή του ολοκληρώματος και την προσεγγιστική τιμή κάνοντας χρήση ολοκλήρωσης Gauss-Cebysev ydy
n ; fx_ : 33x1 1 x ; a_ : n 1 ; x_ : Cos 1 n ; Table[a[],{,,n}] 3, 3, 3 Table[x[],{,,n}] 3,, 3 Tabl e[f [x[]],{,,n }] 3 1 3 3,3, 3 1 3 3 n a_ f x N 7.889 Αντικαθιστώντας στον παραπάνω κώδικα μεγαλύτερες τιμές για το n προσεγγίζουμε καλύτερα την τιμή της παράστασης. Ενδεικτικά, για n=56 παίρνουμε n 56; fx_ : 33x1 1 x ; a_ : n 1 ; 1 x_ : Cos n ; Table[a[],{,,n}]; Table[x[],{,,n}]//N; Table[f[x[]],{,,n}]//N; n a_ f x N.
1 1 y 6. Υπολογίστε με ολοκλήρωση Gauss το διπλό ολοκλήρωμα: I dy dx x 11 1 Το ολοκλήρωμα I 1 1 y dydx γράφεται ισοδύναμα 11 1 x 1 1 1 xdyκαι 1 1 1 x I y d λόγω της μορφής της σχέσης που προκύπτει επιλέγουμε να την προσεγγίσουμε αριθμητικά κάνοντας χρήση Gauss-Legendre για το πρώτο κομμάτι και Gauss- Cebysev για το δεύτερο. Παρατηρούμε ότι τα όρια των ολοκληρωμάτων είναι ήδη από -1 σε 1 και επομένως δεν χρειάζεται κάποιος μετασχηματισμός. Επίσης, για το κομμάτι της ολοκλήρωσης Gauss-Cebysev η f ( x) ισούται με 1 οπότε και περιοριζόμαστε σε n=1. Επομένως για την καλύτερη αριθμητική προσέγγιση αρκεί να χρησιμοποιήσουμε περισσότερα σημεία στην ολοκλήρωση Gauss-Legendre. Εισάγοντας το προς υπολογισμό ολοκλήρωμα στο Matematca 1 1 y yx N 1 1 1 x.9 ενώ για ολοκλήρωση Gauss-Legendre με n= έχουμε τον κώδικα
n 1; fx_ : 1; a_ : n 1 ; 1 x_ : Cos n ; Table[a[],{,,n}], Table[x[],{,,n}] 1, 1 Table[f[x[]],{,,n}] {1,1} n GC a_fx y={-.577356919,.577356919}; w={1.,1.}; GLe Apply Plus, y w.666667 GC GLe.9 Ενδεικτικά ο κώδικας που προκύπτει για για ολοκλήρωση Gauss-Legendre με n=
n 1; fx_ : 1; a_ : n 1 ; 1 x_ : Cos n ; Table[a[],{,,n}], Table[x[],{,,n}] 1, 1 Table[f[x[]],{,,n}] {1,1} n GC a_fx y={-.86113631159, -.3399813585,.3399813585,.86113631159}; w={.378585137,.651515863,.651515863,.378585137} ; GLe Apply Plus, y w.666667 GC GLe.9 Από τα αποτελέσματα προκύπτει ότι τα αριθμητικά αποτελέσματα τόσο για Gauss-Legendre με n=, όσο και για Gauss-Legendre με n= ταυτίζονται με την αναλυτική τιμή. 7. Να υπολογιστεί το τριπλό ολοκλήρωμα x yze 6 x y z dxdyz d Το ολοκλήρωμα 6 x y z x yze dxdydzγράφεται ισοδύναμα x y 6 z x y 6 z I x e y e z e dxdydz x e dx y e dy z e Επομένως, μπορούμε να κάνουμε χρήση αριθμητικής ολοκλήρωσης Gauss-Hermte και επομένως προκύπτει dz
n1 n1 n1 x I wx wx w 6 όπου x οι ρίζες του πολυωνύμου Hermte n-oστού βαθμού και w τα αντίστοιχα βάρη Κάνοντας χρήση Matematca υπολογίζουμε την τιμή του ολοκληρώματος x y z 6 x y z xyz N 3.9153 Για n= έχουμε x={-.7716781186576,.7716781186576}; w={.8866955758,.8866955758}; a Apply Plus, x w.8867 b Apply Plus, x w.3113 c Apply Plus, x 6 w.1557 a b c.8751 Για n= έχουμε x={-1.656813885785,-.56763759,.56763759, 1.656813885785}; w={.813183575,.89195513,.89195513,.813183575}; a Apply Plus, x w.8867 b Apply Plus, x w 1.393 c Apply Plus, x 6 w 3.3335 a b c 3.9153
Αριθμητική Ανάλυση Εργασία # Για n=8 έχουμε x={-.9363757, -1.98165675669583, - 1.15719371678, -.38118699731,.38118699731, 1.15719371678, 1.98165675669583,.9363757}; w={.19967113676,.17779837137,.7835818919,.6611715581,.6611715581,.7835818919,.17779837137,.19967113676}; a Apply Plus, x w.8867 b Apply Plus, x w 1.393 c Apply Plus, x 6 w 3.3335 a b c 3.9153-1 -