ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης ευθείας στο επίπεδο της μορφής x y 0, με 0, 0 θα δίνεται από τον τύπο. ( μονάδες) Β. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού τριγώνου ΑΒΓ, της οξείας γωνίας δύο ευθειών ε και ε και της απόστασης σημείου Μ από ευθεία ε. ( μονάδες) Γ. Να γράψετε το ΣΩΣΤΟ και το ΛΑΘΟΣ στις παρακάτω προτάσεις αφού πρώτα τις αιτιολογήσετε. i) Μία ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης ίσο με το μηδέν, θα είναι παράλληλη στον άξονα των y. ( μονάδες) ii) Μία ευθεία που έχει αρνητικό συντελεστή διεύθυνσης, θα σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα των x. ( μονάδες) iii) Το διάνυσμα το οποίο είναι πάντα κάθετο σε ευθεία της μορφής x y 0, με 0, 0,., είναι το ( μονάδες)
iv) ύο κάθετες ευθείες έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης. ( μονάδες) v) Αν το σύστημα εξισώσεων δύο ευθειών βγαίνει αδύνατο, τότε οι δύο ευθείες συμπίπτουν ή ταυτίζονται. ( μονάδες). Στο παρακάτω Καρτεσιανό σύστημα αξόνων, να σχεδιάσετε τις ευθείες x y, x y 0, : 4 0 : 4 : x 0 και y 0. 4 :
Θέμα Α. Να αντιστοιχίσετε τους αριθμούς της στήλης Α με τα γράμματα της στήλης Β. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β. Η κλίση της ευθείας : x y 4 0. Α. 4. Η κλίση της ευθείας : y 8x. Η κλίση της ευθείας : x 0 Β. Γ. 4. Η κλίση της ευθείας : y 0. 5. Η κλίση της ευθείας που σχηματίζει με τον χ χ άξονα γωνία 0 μοιρών. Ε. 6. Η κλίση της ευθείας που σχηματίζει με τον χ χ άξονα γωνία 0 μοιρών. ΣΤ. 4 7. Η κλίση της ευθείας που είναι παράλληλη στο διάνυσμα,. Η. 0 8. Η κλίση της ευθείας που είναι κάθετη στο διάνυσμα 4,. Θ..Ο. 9. Η κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία, και 4,5 0. Η κλίση της ευθείας που ανήκει το σημεία,. Ι.. Κ. (0 μονάδες) Β. Αφού πρώτα αποδείξετε ότι οι ευθείες x y : 4 6 0 ευθεία των ε και ε. : 6x y 6 0και είναι παράλληλες, στη συνέχεια να βρεθεί η μεσοπαράλληλη
Θέμα ίνεται η παράσταση x : 5 6 9 y 5 0, με. i) Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ η παραπάνω παράσταση είναι ευθεία; ii) Για ποια η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα των x και για ποια η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων; iii) Έστω η ευθεία : x 4y 7 0στο επίπεδο. Να βρεθεί η τιμή του λ, ώστε η ευθεία να είναι παράλληλη με την ευθεία. (6 μονάδες) iv) Αν, οι ευθείες που προκύπτουν από την για λ= και λ=- αντίστοιχα, να βρεθεί η απόσταση του σημείου τομής τους από την ευθεία : x 4y 7 0, του ερωτήματος (iii). (9 μονάδες)
Θέμα 4 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και οι εξισώσεις των ευθειών που ανήκουν η πλευρά (ΑΓ) και το ύψος (Α ), είναι οι x y 6 0 και x y 0 αντίστοιχα. Αν επίσης δίνεται ότι η κορυφή Β(,) να βρεθούν: i) Οι συντεταγμένες της κορυφής Α. ii) Η εξίσωση της ευθείας που ανήκει η πλευρά (ΑΒ). iii) Η εξίσωση της ευθείας που ανήκει η πλευρά (ΒΓ). iv) Το συνημίτονο της οξείας γωνίας των ευθειών (ΑΓ) και (Α ). v) Αν Κ, Λ,Μ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΚΛΜ.
Θέμα ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Απόδειξη σχολικό βιβλίο, παράγραφος. det, οξεία γωνία ευθειών, Β. εμβαδό τριγώνου ΑΒΓ 0 0 0 0 απόσταση σημείου από ευθεία d x, y, Γ. -Λ, -Λ, -Λ, 4-Λ, 5-Λ, x y. Για τις δύο πρώτες ευθείες βρίσκω από δύο σημεία τους και τα ενώνω, η τρίτη ευθεία είναι κατακόρυφη και η τέταρτη οριζόντια. Θέμα Α. 4 5 6 7 8 9 0 Β. 6 4 :6x y 6 0 και : 4x y 6 0. Οπότε εφόσον οι δύο ευθείες έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης θα είναι παράλληλες. Για να βρούμε την μεσοπαράλληλη ευθεία τους, αρκεί να θεωρήσουμε ένα τυχαίο σημείο Μ(x,y) της μεσοπαράλληλης και να εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι το Μ θα ισαπέχει από τις δύο ευθείες. Έτσι λοιπόν θα έχουμε: 6x y 6 0 4x y 6 0 d M, d M, 6 4 6x y 6 0 4x y 6 0 45 0 4 5 6x y 6 0 5 9 4x y 6 0 6x y 6 0 4x y 6 0 x 6y x 6y 8 x 6y x 6y 8 4x y 6 0 4x y 0 x 6 y x 6 y 8 8
Θέμα i) Για να είναι ευθεία θα πρέπει να μην είναι ταυτόχρονα μηδέν οι συντελεστές Α και Β. Άρα θα έχουμε: 0 5 6 0. 0 9 0 Οπότε η παράσταση θα είναι ευθεία για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ, εκτός από την τιμή λ=. ii) Για να είναι παράλληλη στον άξονα των χ θα πρέπει: 0 5 6 0. 0 9 0 Οπότε για λ= θα είναι παράλληλη στο χ χ. iii) Για να είναι παράλληλες θα πρέπει να έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης. Έτσι λοιπόν θα ισχύει: 5 6 9 4 4 9 8 7 4 8 9 4 iv) Για λ= θα έχουμε την ευθεία : x 4y 0 και για λ=- θα έχουμε την ευθεία : 6x 4y 0. Το σημείο τομής του θα βρεθεί λύνοντας το σύστημα των δύο ευθειών. : x 4y 0 x 5 9 M, :6x 4y 0 9. 5 0 y 0 Τέλος η απόσταση του σημείου Μ από την ευθεία (η) θα είναι: 9 9 6 5 4 7 7 9 5 0 5 5 5 5 9 d M, 5 4 9 6 5 5 5
Θέμα 4 i) Για να βρούμε τις συντεταγμένες της κορυφής Α, θα πρέπει να λύσουμε το σύστημα των ευθειών (ΑΓ) και (Α ). Άρα θα έχουμε: x y 6 0 x y 6 x 4 4,5. x y 0 x y y 5 ii) Για να βρούμε την ευθεία (ΑΒ) θα βρούμε τον συντελεστή διεύθυνσης από τα δύο σημεία και μετά θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο y y x x. 5. Έτσι λοιπόν θα έχουμε: 4 : y x x y 7 0 iii) H (ΒΓ) είναι κάθετη στην (Α ). Έτσι λοιπόν θα ισχύει : : y x x y 4 0 iv) Πρώτα θα βρούμε τα παράλληλα διανύσματα στις δύο ευθείες: x y 6 0,, 5 x y 0,, Στη συνέχεια θα έχουμε: 0 5 0 0 v) Βρίσκουμε πρώτα τις συντεταγμένες του σημείου Γ,λύνοντας το σύστημα των ευθειών (ΒΓ) και (ΑΓ). Οπότε: x x y 6 0 x y 6 0, x y 4 0 x y 4 0 y
Από τον τύπο του μέσου ευθύγραμμου τμήματος θα έχουμε: 4 5 x 5 x x 5 Κ μέσο ΑΒ K,4 5 8 y y y 4 Λ μέσο ΑΓ 4 4 7 x x x 6 7 5, 0 5 5 6 5 y y y 6 6 Μ μέσο ΒΓ 5 x x 6 5 9, 0 9 6 6 y y 6 Οπότε το εμβαδόν του τριγώνου ΚΛΜ θα είναι: 6 6 5 5 5 5.. 5 5 4 6 det,