ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ - ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ ύο επιφάνειες βαθµών µ και ν αντιστοίχως, τέµνονται κατά καµπύλη βαθµού (µ. ν). Η αλληλοτοµία, εποµένως, δύο επιφανειών 2 ου βαθµού, όπως αυτές που εξετάζονται στα πλαίσια του µαθήµατος (ο κώνος, ο κύλινδρος και η σφαίρα), είναι γενικά χωρική καµπύλη 4 ου βαθµού. Η καµπύλη αυτή, αναλόγως της σχετικής θέσης των δύο επιφανειών, είτε είναι µία συνεχής καµπύλη, Σχ. 1, είτε αποτελείται από δύο τµήµατα καµπύλης 4 ου βαθµού (Σχ. 2) Σχήµα 1 Στην 1 η περίπτωση, η αλληλοτοµία των δύο επιφανειών είναι κατά διάσπαση (Σχ. 1). Στην δεύτερη περίπτωση, η αλληλοτοµία είναι κατά διείσδυση (Σχ. 2) Σχήµα 2
Στην περίπτωση κατά την οποία οι δύο επιφάνειες έχουν ένα κοινό εφαπτόµενο επίπεδο, η αλληλοτοµία των δύο επιφανειών παρουσιάζει ένα διπλό σηµείο. (Η 4 ου βαθµού καµπύλη διέρχεται δύο φορές από το ίδιο σηµείο) (Σχ. 3) Το διπλό σηµείο της καµπύλης, είναι το σηµείο τοµής των γενετειρών των δύο επιφανειών που ανήκουν στο κοινό εφαπτόµενο επίπεδο. Σχήµα 3 Στην περίπτωση κατά την οποία οι δύο επιφάνειες έχουν δύο κοινά εφαπτόµενα επίπεδα, η αλληλοτοµία τους, παρουσιάζει δύο διπλά σηµεία και ταυτόχρονα εκφυλλίζεται σε δύο καµπύλες 2 ου βαθµού δηλαδή σε δύο κωνικές. (Σχ. 4) Σχήµα 4 Το διπλά σηµείο των δύο κωνικών, είναι τα σηµεία τοµής των γενετειρών των δύο επιφανειών που ανήκουν στα κοινά εφαπτόµενα επίπεδα. Ως εφαρµογή της πιο πάνω περίπτωσης, µπορούµε να θεωρήσουµε την αλληλοτοµία των δύο ίσων ηµικυλίνδρων του σχήµατος 5, των οποίων οι άξονες συναντώνται και οι οποίοι έχουν κοινό εφαπτόµενο επίπεδο. Από την αλληλοτοµία αυτή προκύπτει το ρωµαϊκό σταυροθόλιο. Σχήµα 5
Όταν πρόκειται για αλληλοτοµία ευθειογεννών επιφανειών, όπως ο κώνος και ο κύλινδρος, τα σηµεία της τοµής προσδιορίζονται µε την βοήθεια επίπέδων τα οποία τέµνουν αµφότερες τις επιφάνειες κατά γενέτειρες. α) ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΑ ΥΟ ΚΩΝΩΝ αλληλοτοµίας, χρησιµοποιούνται βοηθητικά επίπεδα που ανήκουν στην αξονική δέσµη επιπέδων που περιλαµβάνει τις κορυφές Κ1 και Κ2 των κωνικών επιφανειών. Κάθε επίπεδο της δέσµης που τέµνει και τις δύο επιφάνειες, αποσπά τέσσερις γενέτειρες, (δύο από κάθε επιφάνεια). Στο σχήµα 6, το τυχόν επίπεδο της αξονικής δέσµης, αποσπά από τις κωνικές επιφάνειες τις γενέτειρες Κ2Α,Κ2Β και Κ1Γ,Κ1. Οι γενέτειρες αυτές ως συνεπίπεδες, τέµνονται και καθορίζουν τέσσερα σηµεία της αλληλοτοµίας των επιφανειών. Σχήµα 6 β) ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΑ ΚΩΝΟΥ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ αλληλοτοµίας, χρησιµοποιούνται βοηθητικά επίπεδα που ανήκουν στην αξονική δέσµη επιπέδων που περιλαµβάνει την κορυφή Κ του κώνου και είναι παράλληλα προς τις γενέτειρες του κυλίνδρου. Στο παράδειγµα του σχήµατος 7, οι δύο επιφάνειες, έχουν οδηγούς καµπύλες (βάσεις) κύκλους, στο ίδιο επίπεδο. Η ευθεία α, που διέρχεται από την κορυφή του κώνου και είναι παράλληλη προς τις γενέτειρες του κυλίνδρου, συναντά το επίπεδο των δύο βάσεων στο σηµείο Σ1. Σχήµα 7 Τα ίχνη της αξονικής δέσµης των επιπέδων, (στο επίπεδο έδρασης των επιφανειών), που αποσπούν γενέτειρες από τις δύο επιφάνειες διέρχονται από το Σ1 και τέµνουν τους κύκλους των βάσεων.
Σχήµα 8 αλληλοτοµίας ακολουθούµε την εξής διαδικασία: Θεωρούµε αρχικά, τις εφαπτόµενες Σ1 (1,2) και Σ1 (3,4) από το Σ1 στους κύκλους των βάσεων, οι οποίες καθορίζουν τις γενέτειρες που µετέχουν της αλληλοτοµίας και ειδικότερα τις γενέτειρες της µιας επιφάνειας που τέµνουν την άλλη. (Σχ. 7 και 8) Σχήµα 9 Κάθε ευθεία, που διέρχεται από το Σ1 και τέµνει τους δύο κύκλους, είναι το ίχνος ενός από τα επίπεδα της αξονικής δέσµης που τέµνει τις επιφάνειες κατά γενέτειρες. Έτσι, µία από αυτές τις τέµνουσες ευθείες, συναντά την βάση του κυλίνδρου στα σηµεία (5,6) και (7,8) ενώ την βάση του κώνου στα (5,7) και (6,8). (Η σήµανση των σηµείων µε δύο αριθµούς διευκολύνει την µετέπειτα ονοµασία των σηµείων της αλληλοτοµίας.) Οι γενέτειρες του κυλίνδρου που ορίζονται από τα σηµεία (5,6) και (7,8) και οι γενέτειρες του κώνου Κ (5,7) και Κ (6,8), είναι συνεπίπεδες και εποµένως τεµνόµενες καθορίζουν 4 σηµεία της τοµής των επιφανειών. Η γενέτειρα του κυλίνδρου, για παράδειγµα, που ορίζεται από το σηµείο (5,6) και η γενέτειρα του κώνου Κ (5,7) ορίζουν το σηµείο 5 της αλληλοτοµίας.
Η σειρά ένωσης των σηµείων της αλληλοτοµίας, προκύπτει ως εξής: Παρακολουθούµε την σειρά που έχουν τα σηµεία στις δύο βάσεις. Στον ένα κύκλο αφετηρία είναι το σηµείο επαφής, π.χ. το 3,4 και στον άλλο κύκλο το ένα από τα δύο αντίστοιχα σηµεία π.χ. το 3. Όταν φθάνουµε σε περιοχές όπου οι γενέτειρες δεν συµµετέχουν στην τοµή, ακολουθούµε αντίστροφη πορεία. Ετσι, η σειρά για τον 1 ο κύκλο είναι : (3,4), (11,12), (7,8), (2), (7,8), (11,12), (3,4), (9,10), (5,6), (1), (5,6), (9,10) και (3,4). Για τον 2 ο κύκλο έχουµε αντίστοιχα: (3), (9,11), (5,7), (1,2), (6,8), (10,12),(4), (10,12), (6,8), (1,2), (5,7), (9,11) και (3). Η σειρά των σηµείων από την οποία θα προκύψει η καµπύλη της αλληλοτοµίας είναι: 3, 11, 7, 2, 8, 12, 4, 10, 6, 1, 5, 9, και 3. γ) ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΑ ΚΩΝΟΥ ΣΦΑΙΡΑΣ Η αλληλοτοµία µιας σφαίρας µε µία κωνική επιφάνεια είναι µία χωρική καµπύλη 4 ου βαθµού., αναλόγως δε της σχετικής θέσης των δύο επιφανειών µπορεί να είναι είτε κατά διάσπαση, είτε κατά διείσδυση, είτε να παρουσιάζει διπλά σηµεία. αλληλοτοµίας, χρησιµοποιείται δέσµη βοηθητικών επιπέδων. Τα επίπεδα αυτά δεδοµένου ότι τέµνουν πάντα τη σφαίρα κατά κύκλο, τα επιλέγουµε παράλληλα προς την βάση του κώνου, ώστε να τον τέµνουν επίσης κατά ένα κύκλο. (Σχ. 10) Εποµένως από κάθε επίπεδο της δέσµης, προκύπτουν δύο κύκλοι, οι οποίοι τέµνονται σε δύο σηµεία που ανήκουν στην αλληλοτοµία των επιφανειών. Ακριβώς αντίστοιχη είναι και η περίπτωση αλληλοτοµίας κυλίνδρου µε σφαίρα. Σχήµα 10 Σχήµα 11 Gustav Peichl, κέντρα αποκατάστασης, Meidling, 1965-65