Ποιο µέγεθος ροηγείται ανάµεσα σε δυο µεγέθη ου αρουσιάζουν διαφορά φάσης µεταξύ τους Προκειµένου να καθορίσουµε τη διαφορά φάσης ανάµεσα σε δύο φυσικά µεγέθη ενός κινητού και να βρούµε οιο αό τα δυο ροηγείται, ρέει να ακολουθήσουµε τα εξής βήµατα: 1. Πάντα συγκρίνουµε δύο µόνο µεγέθη µεταξύ τους ακολουθώντας όλα τα αρακάτω βήµατα εξαρχής. Μεταβατικού τύου ιδιότητες δεν ισχύουν. Για αράδειγµα, αν η διαφορά φάσης µεταξύ ενός µεγέθους Α και ενός Β είναι Δφ 1, ενώ µεταξύ του Β και ενός άλλου Γ είναι Δφ 2, δεν µορούµε να συµεράνου- µε µε ασφάλεια ότι η διαφορά φάσης µεταξύ Α και Γ είναι Δφ 1 +Δφ 2. Πρέει για το κάθε ζευγάρι µεγεθών ξεχωριστά να εφαρµόσουµε όλα τα αρακάτω βήµατα. 2. Τα µεγέθη ρέει να αναφέρονται στο ίδιο συγκεκριµένο φαινόµενο ου εξετάζουµε και να έχουν κοινή αρχή χρόνου µέτρησης. 3. Τα µεγέθη ρέει να µορούν να γίνουν αρµονική συνάρτηση του χρόνου, του ίδιου όµως τριγωνοµετρικού αριθµού και τα δύο, ου να είναι υψωµένος στην ρώτη δύναµη. Να µορούν δηλαδή να γίνουν και τα δύο µεγέθη ή ηµιτονοειδής ή συνηµιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου. Μροστά αό τον τριγωνοµετρικό α- ριθµό του κάθε µεγέθους ρέει να υάρχει θετική σταθερά ή κατάλληλος θετικός χρονοεξαρτώµενος ολλαλασιαστικός αράγοντας (εκθετική συνάρτηση του χρόνου, ολυωνυµική συνάρτηση του χρόνου κ.λ..). Τα µεγέθη ρέει να µεταβάλλονται µε την ίδια συχνότητα. 5. Οι συναρτήσεις ου θα χρησιµοοιηθούν για να βρεθεί η διαφορά φάσης µεταξύ δύο µεγεθών Α και Β ρέει να ετοιµαστούν κατάλληλα, ώστε οι φάσεις των µεγεθών φ Α και φ Β στις κατάλληλες αυτές συναρτήσεις, να δώσουν διαφορά φάσης Δφ=φ Α φ Β ου να είναι κατ αόλυτη τιµή µικρότερη ή ίση µε. Και τούτο γιατί η µετατόιση της αρχής των αξόνων ροκειµένου να βρεθούν εν φάσει δύο ηµιτονοειδή ή συνηµιτονοειδή µεγέθη ίδιας συχνότητας, δεν µορεί να είναι µεγαλύτερη χρονικά αό Τ/2 (αν δεν ετύχουµε αυτό το εν φάσει ροχωρώντας το ένα µέγεθος ρος τα µροστά το ολύ κατά Τ/2, θα το ετύχουµε ηγαίνοντας το άλλο ρος τα ίσω το ολύ κατά Τ/2). Στην ροετοιµασία των συναρτήσεων δεν ενδιαφερόµαστε για το εδίο ορισµού των αρχικών φάσεων (αν δηλαδή γράψουµε τα µεγέθη και µε αρνητικές 1
αρχικές φάσεις, ενώ έχουµε δεχτεί ότι οι αρχικές φάσεις είναι.χ. στο διάστηµα [0,2 ). 6. Ανάµεσα στα δύο µεγέθη ου ληρούν τις ροηγούµενες ροϋοθέσεις, ροηγείται εκείνο το µέγεθος, το οοίο ρέει να διαγράψει την µεγαλύτερη γωνία µετρούµενη κατά τη θετική φορά διαγραφής του τριγωνοµετρικού κύκλου (αντίθετα αό την κίνηση των δεικτών του ρολογιού), ροκειµένου να φτάσει στο άλλο µέγεθος. Αν οι γωνίες είναι ίδιες και ένα εκ των µεγεθών είναι το µέγεθος αναφοράς, υστερεί το µέγεθος αναφοράς. Το µέγεθος δηλαδή ου ρωταρχικά ειλέχθηκε για να εριγράψει το φαινόµενο. Αλλιώς, θεωρούµε να ροηγούνται τα αίτια (.χ. η δύναµη) αν εµλέκονται. Πριν γίνει η ροετοιµασία των συναρτήσεων ου ααιτεί το έµτο βήµα, η φάση του κάθε µεγέθους µορεί να είναι διαφορετική αό εκείνη ου θα εριέχει η τελική κατάλληλη συνάρτηση, η συνάρτηση δηλαδή ου τελικά θα χρησιµοοιηθεί για τη διαφορά φάσης. Για να βρούµε λοιόν τη διαφορά φάσης δύο µεγεθών, δεν αφαιρούµε αλώς τις φάσεις ου έχουν τα µεγέθη σε δύο οοιεσδήοτε εξισώσεις τους, έστω και αν αυτές είναι ισοδύναµες µε τις κατάλληλες ου τελικά θα χρησιµοοιήσουµε. Οι φάσεις και οι αρχικές φάσεις, όως είδαµε σε ροηγούµενη ανάρτηση, είναι θέµα ολλών ειλογών ου κάνουµε. Η διαφορά φάσης, καθώς και η εύρεση του µεγέθους ου ροηγείται ή έεται, έχει να κάνει µε τις γραφικές τους αραστάσεις, τη µετατόιση και ρος τα ού των αξόνων κ.λ.. Και αυτό δε µορεί να είναι θέµα ειλογών. Για να κάνουµε σαφή τα ροηγούµενα, ας δούµε δύο αραδείγµατα: 1 0 αράδειγµα: ξίσωση κίνησης την Έστω ότι λύνοντας κάοιο ρόβληµα αλής αρµονικής ταλάντωσης βρήκαµε ως ε- 7 7 Στην εξίσωση αυτή, η φάση της αοµάκρυνσης x είναι ω t+ και για να τη γρά- ψουµε, σύµφωνα µε όσα αναφέραµε σε ροηγούµενη ανάρτηση, ειλέξαµε: Εξίσωση κίνησης ανάµεσα σε 3 ισοδύναµες εξισώσεις κίνησης. Πεδίο ορισµού αρχικών φάσεων το διάστηµα [0,2) 2
2 A Ως αρχή χρόνου t=0 τη στιγµή ου το κινητό βρισκόταν στη θέση 2 Θετική φορά στον άξονα x, την κατεύθυνση ρος την οοία κινιόταν ο ταλαντωτής τη χρονική στιγµή t=0. Αυτό σηµαίνει ότι αν αλλάξει µια αό τις αραάνω ειλογές θα ροκύψει άλλη αρχική φάση και κατά συνέεια άλλη φάση. Η ταχύτητα του α.α.τ. είναι dx 7 7 υ = = ωaσυν = ω + = ω 2 + dt 2 και άρα υ = ω Η φάση της ταχύτητας είναι ϕ υ ωt+ ω t 2 + =. Το να δεχτούµε ως φάση της ταχύτητας την + αντιτίθεται στη φιλοσοφία ου διέει όλη τη Φυσική και ου ααιτεί να γράφουµε και να αρουσιάζουµε Φυσική µε τον ιο οικονοµικό τρόο. Αλλιώς θα µορούσε κάοιος να δεχτεί ως φάση και την ω t+ + κ.λ.. 3 Όµοια βρίσκουµε ότι η ειτάχυνση είναι α = ω Εοµένως έχουµε τις συναρτήσεις: 2 αοµάκρυνση ταχύτητα ειτάχυνση 7 υ = ω 3 α = ω 2 Η φάση και η αρχική φάση του κάθε µεγέθους φαίνεται στην οσότητα ου υάρχει µέσα στην αρένθεση του αντίστοιχου τριγωνοµετρικού αριθµού. Και όως έχουµε ει θα ήταν τελείως διαφορετικές αν είχαµε κάνει άλλες ειλογές. Η διαφορά φάσης ανάµεσα σε δύο µεγέθη δε βρίσκεται άντα α- λώς αφαιρώντας τις φάσεις των µεγεθών. Η ίδια ροσοχή χρειάζεται και στο να ααντήσουµε στην ερώτηση οιο µέγεθος ροηγείται χρονικά. Αν δεν ετοιµαστούν κατάλληλα οι συναρτήσεις θα µορούσαν να έχουν ροκύψει διάφορες ααντήσεις, τόσο στο οια είναι η διαφορά φάσης, όσο και στο οιο µέγεθος ροηγείται. 3
Όως, για αράδειγµα, αν δεν ετοιµαστούν κατάλληλα οι συναρτήσεις των αραάνω µεγεθών, ρέει να ααντήσουµε ότι ροηγείται όλων η αοµάκρυνση. Προετοιµασία των συναρτήσεων ώστε οι φάσεις, όταν συγκρίνονται ανά δύο τα µεγέθη, να δώσουν διαφορά φάσης µικρότερη ή ίση µε : 7 = 7 2= ωt υ = ω 3 α = ω 2 Άρα οι διαφορές φάσεις είναι: Μεταξύ ταχύτητας και αοµάκρυνσης φ xυ =φ x φ υ = 2. Άρα η ταχύτητα ροηγείται της αοµάκρυνσης σε φάση κατά /2 ή αλλιώς χρονικά κατά Τ/. Μεταξύ ταχύτητας και ειτάχυνσης φ αυ =φ α φ υ = 2. Άρα η ειτάχυνση ροηγείται της ταχύτητας σε φάση κατά /2 ή αλλιώς χρονικά κατά Τ/. Μεταξύ αοµάκρυνσης και ειτάχυνσης φ αχ =φ α φ χ =. Άρα η ειτάχυνση ροηγείται της αοµάκρυνσης σε φάση κατά ή αλλιώς χρονικά κατά Τ/2. Η ειλογή ότι η α ροηγείται της x και όχι το αντίθετο, έγινε γιατί η αοµάκρυνση είναι µέγεθος αναφοράς, µέγεθος δηλαδή το οοίο ρωταρχικά ειλέξαµε για να εριγράψουµε την συγκεκριµένη α.α.τ. Την ειτάχυνση την υολογίσαµε µε τη βοήθεια της x. 2 0 αράδειγµα: Σε µια φθίνουσα ταλάντωση βρέθηκαν: 0, 2 e 3t ηµ(3t+ ) (SI) 3t υ = 2,e ηµ ( 3t+ ) t 7 α = 7,2 2e ηµ ( 3t+ 3 ) (SI) (SI)
Η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης είναι ω 1 =3 rad/s και άρα η ερίοδος της συγκεκρι- µένης φθίνουσας ταλάντωσης είναι Τ 1 =2/ω 1 =2/3 s. Εργαζόµενοι όως και ριν και κάθε φορά για δυο µόνο µεγέθη βρίσκουµε ότι: Η ταχύτητα υ ροηγείται της αοµάκρυνσης x, σε φάση κατά 3/ rad ή χρονικά 3T κατά 1 = s 8 Η ειτάχυνση α ροηγείται της ταχύτητας υ, σε φάση κατά 3/ rad ή χρονικά 3T κατά 1 = s 8 Η αοµάκρυνση x ροηγείται της ειτάχυνσης α, σε φάση κατά /2 rad ή T χρονικά κατά 1 = s 6 Η χρησιµότητα των φάσεων Αφού οι οσότητες ω 0 t, ω 0 t+φ, φ, ω 0 t+θ, θ ου υεισέρχονται στους τριγωνοµετρικούς α- ριθµούς των εξισώσεων κίνησης δεν αφορούν την ταλάντωση αυτή καθ εαυτή, αλλά την εξίσωση κίνησης ου θα χρησιµοοιηθεί, τελικά ού εντοίζεται η αξία τους; Αν χρησιµοοιηθεί ως εξίσωση κίνησης της α.α.τ. η x(t)=c 1 συνω 0 t+c 2 ηµω 0 t, η οσότητα ω 0 t δεν έχει όνοµα και οι έννοιες της φάσης και της αρχικής φάσης δεν έχουν κανένα αολύτως νόηµα. Η αξία όµως των οσοτήτων ω 0 t+φ, ω 0 t+θ στις άλλες δύο µορφές της εξίσωσης κίνησης εικεντρώνεται, όχι στις φάσεις αυτές καθ εαυτές, αλλά στις διαφορές φάσεως και άρα στις χρονικές καθυστερήσεις ή ροηγήσεις ου δηµιουργούνται ανάµεσα στα διάφορα µεγέθη της συγκεκριµένης ταλάντωσης (ταχύτητα, ειτάχυνση, δύναµη κ.λ..). Και οι χρονικές αυτές καθυστερήσεις ή ροηγήσεις µεταξύ των διαφόρων µεγεθών είναι όχι µόνο ανεξάρτητες αό την εξίσωση κίνησης ου θα χρησιµοοιηθεί για την εριγραφή της ταλάντωσης, αλλά και αό κάθε ειλογή ου Σχ.1.2: Στην α.α.τ. η ταχύτητα ροηγείται της αοµάκρυνσης κατά /2 ανεξάρτητα της εξίσωσης κίνησης. υιοθετήσαµε ροκειµένου να γράψουµε την φάση και την αρχική φάση. Ας διευκρινίσουµε τα αραάνω µε ένα ακόµη αράδειγµα: 5
Αν χρησιµοοιηθεί ως εξίσωση κίνησης µιας α.α.τ. η x(t)=α ηµ(ω 0 t+φ) τότε η εξίσωση της ταχύτητας είναι υ(t)= ω 0 Α συν(ω 0 t+φ)=ω 0 Α ηµ(ω 0 t+φ+ 2 ), ενώ αν χρησιµοοιηθεί ως εξίσωση κίνησης της ίδιας α.α.τ. η x(t)=α συν(ω 0 t+θ) τότε η εξίσωση της ταχύτητας είναι υ(t) = ω 0 Α ηµ(ω 0 t+θ)= ω 0 Α συν(ω 0 t+θ+ 2 ). Είναι ξεκάθαρο λοιόν ότι δεν έχει νόηµα να ρωτήσουµε οια είναι η φάση της ταλάντωσης, αφού τη µια φορά ρέει ν ααντήσουµε ω 0 t+φ ενώ την άλλη ω 0 t+θ. Όµως όοια εξίσωση κίνησης και να χρησιµοοιήσουµε η ταχύτητα ροηγείται της αοµάκρυνσης κατά ή χρονικά κατά Τ 0. 2 Αυτό µορούµε να το δούµε και γραφικά στα διαγράµµατα x-t και υ-t του Σχήµατος 1.2 : Όοια εξίσωση κίνησης και να χρησιµοοιήσουµε θα άροµε ως διάγραµµα αο- µάκρυνσης-χρόνου ακριβώς το ίδιο. Αυτό ου φαίνεται στο σχήµα. Όµοια όοια εξίσωση κίνησης και να χρησιµοοιήσουµε θα άροµε ως διάγραµµα ταχύτητας-χρόνου ακριβώς το ίδιο. Αυτό ου φαίνεται στο σχήµα. Πάντα όµως η φάση της ταχύτητας θα ροηγείται εκείνης της αοµάκρυνσης κατά /2. Ή αλλιώς η ταχύτητα θα ροηγείται χρονικά της αοµάκρυνσης κατά Τ 0 /. Που σηµαίνει ότι η αοµάκρυνση θα µηδενίζεται Τ 0 / µετά το µηδενισµό της ταχύτητας, η αοµάκρυνση θα αίρνει την ελάχιστη τιµή της Τ 0 / µετά τη χρονική στιγµή ου η ταχύτητα ήρε την ελάχιστη τιµή της κ.ο.κ. Το ίδιο συµβαίνει και µε τα άλλα φυσικά µεγέθη ου αναφέρονται στην ταλάντωση. Διατηρούν διαφορές φάσεις και άρα χρονικές διαφορές µεταξύ τους ανεξάρτητες αό την οοιαδήοτε ειλογή µας. Ειµέλεια κειµένου: Θοδωρής Παασγουρίδης papasgou@mail.com 6