HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 19/4/2018 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1
Συνδυαστική 2
Πείραμα/ Συνδυαστική Πείραμα: Οποιαδήποτε διαδικασία που μπορεί να οδηγήσει σε ένα αριθμό παρατηρήσιμων αποτελεσμάτων. Ένα σύνθετο πείραμα που μπορεί να θεωρηθεί ως η σύνθεση επιμέρους απλούστερων πειραμάτων Συνδυαστική: Η μελέτη στρατηγικών που μας επιτρέπουν να εκτιμήσουμε το πλήθος των ενδεχόμενων αποτελεσμάτων ενός πειράματος (απλού ή σύνθετου). 3
Κανόνες αθροίσματος και γινομένου Έστω Πείραμα 1 με σύνολο ενδεχόμενων αποτελεσμάτων Α και Πείραμα 2 με σύνολο ενδεχόμενων αποτελεσμάτων Β Κανόνας του αθροίσματος: Το σύνθετο πείραμα Πείραμα 1 Ή Πείραμα 2 έχει A B = A + B - Α B ενδεχόμενα αποτελέσματα Κανόνας του γινομένου: Το σύνθετο πείραμα Πείραμα 1 ΚΑΙ Πείραμα 2 έχει AxB = A B ενδεχόμενα αποτελέσματα. 4
Μεταθέσεις 1 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: n διαθέσιμα αντικείμενα Τα n αντικείμενα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Επιλέγουμε k=n (δηλαδή όλα) τα αντικείμενα Κάθε φορά που επιλέγουμε ένα αντικείμενο, ΔΕΝ το ξαναρίχνουμε μέσα στο σακούλι (χωρίς επανάθεση) Μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία επιλέγουμε τα αντικείμενα. Μπορούμε εκτελέσουμε αυτό το πείραμα με n!= 1 2 3 (n-1) n διαφορετικούς τρόπους. 5
Διατάξεις 2 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: n διαθέσιμα αντικείμενα Τα n αντικείμενα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Επιλέγουμε k<=n τα αντικείμενα Κάθε φορά που επιλέγουμε ένα αντικείμενο, ΔΕΝ το ξαναρίχνουμε μέσα στο σακούλι (χωρίς επανάθεση) Μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία επιλέγουμε τα αντικείμενα. Μπορούμε εκτελέσουμε αυτό το πείραμα με n! P( n, k) ( n k)! διαφορετικούς τρόπους. 6
Μεταθέσεις και Διατάξεις Μία μετάθεση n αντικειμένων δεν είναι τίποτε άλλο από μία διάταξη n από n αντικείμενων: Πλήθος διατάξεωνn απόn αντικειμένων= P(n, n)= n!/(n-n)! = n!/0! = n!/1= n! = πλήθος μεταθέσεων n αντικειμένων 7
Παράδειγμα Παράδειγμα: Πόσες συμβολοσειρές μήκους 4 μπορούμε να σχηματίσουμε από το Ελληνικό αλφάβητο αν απαιτήσουμε οι χαρακτήρες της συμβολοσειράς να είναι διαφορετικοί μεταξύ τους; Δυνατές διαφορετικές τετράδες (θέσεις στη συμβολοσειρά) από ένα σύνολο 24 αντικειμένων (γράμματα). Άρα ο συνολικός αριθμός των διαφορετικών συμβολοσειρών με τέσσερα διαφορετικά γράμματα είναι P(24,4)=24 23 22 21=255,024. 8
Παράδειγμα Πρόβλημα:Ένας διευθυντής πρέπει να στείλει τρεις από τους δέκα διαθέσιμους υπαλλήλους του σε τρία διαφορετικά τμήματα, A, B και C. Πόσες επιλογές έχει; Δυνατές διαφορετικές τριάδες (τοποθετήσεις σε τμήματα) 10 διαφορετικών αντικειμένων (υπάλληλοι). Άρα οι επιλογές του διεθυντή είναι P(10,3) = 10 9 8 = 720. 9
Παράδειγμα διατάξεων (α) Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί είναι δυνατόν να σχηματιστούναπό τα ψηφία 1, 2, 3, 5, 7, 8 με την προϋπόθεση ότι τα ψηφία των αριθμών αυτών είναι διαφορετικά μεταξύ τους; Επιλογή k=4 διαφορετικών ψηφίων από n=6 ψηφία. Επομένως: P(n,k)=P(6,4)=6 5 4 3=360 10
Παράδειγμα διατάξεων (β) Πόσοι από τους παραπάνω αριθμούς είναι < 4000; Ένας τετραψήφιος αριθμός είναι < 4000 όταν το 1ο ψηφίο του είναι < 4. Άρα θα πρέπει πρώτα να τοποθετήσουμε στη θέση του πρώτου ψηφίου έναν από τους 1, 2, και 3 και μετά να τοποθετήσουμε τους υπόλοιπους αριθμούς στις υπόλοιπες θέσεις. Θα λύσουμε το πρόβλημα θεωρώντας 2 πειράματα. 1οπείραμα:"Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε έναν από τους αριθμούς 1, 2, 3 στη 1η θέση;" P(3,1)=3. 2οπείραμα:"Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε τους υπόλοιπους αριθμούς στις τρεις υπόλοιπες θέσεις;" P(5,3)=5 4 3=60. Από το κανόνα του γινομένου υπάρχουν 3x60=180 αριθμοί <4000 11
Παράδειγμα διατάξεων (γ) Πόσοι από τους αριθμούς του (α) είναι άρτιοι; Ένας αριθμός είναι άρτιος όταν το τελευταίο ψηφίο του διαιρείται με το 2. Άρα θα πρέπει πρώτα να τοποθετήσουμε στη θέση του τελευταίου ψηφίου ένα από τους αριθμούς 2, και 8 και στη συνέχεια να τοποθετήσουμε τους υπόλοιπους αριθμούς στις θέσεις των υπόλοιπων ψηφίων. Θα λύσουμε το πρόβλημα σε δύο πειράματα: 1οπείραμα: "Μεπόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε έναν από τους αριθμούς 2 και 8 στη μία θέση;" P(2,1)=2. 2 ο πείραμα: "Μεπόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε τους υπόλοιπους αριθμούς στις τρεις υπόλοιπες θέσεις;" Η απάντηση είναι P(5,3)=5 4 3=60. Σύμφωνα με το κανόνα του γινομένου υπάρχουν 2 60=120 άρτιοι αριθμοί (πάντα με βάση τις προϋποθέσεις του προβλήματος). 12
Παράδειγμα διατάξεων (δ) Πόσοι από τους αριθμούς του (α) διαιρούνται με το 5; Ένας αριθμός διαιρείται με το 5 όταν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0 ή 5. Άρα θα πρέπει υποχρεωτικά να τοποθετήσουμε στη θέση του τελευταίου ψηφίου τον αριθμό 5 και στη συνέχεια να τοποθετήσουμε τους υπόλοιπους αριθμούς στις θέσεις των υπόλοιπων ψηφίων. Συνεπώς το πρόβλημα ανάγεται στο παρακάτω: "Με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε τους υπόλοιπους αριθμούς στις τρεις υπόλοιπες θέσεις;" Η απάντηση είναι P(5,3)=5 4 3=60. 13
Παράδειγμα διατάξεων Ένας τρομοκράτης έχει τοποθετήσει μία πυρηνική βόμβα και εσείς πρέπει να την απενεργοποιήσετε κόβoνταςτρία συγκεκριμένα από τα 10 καλώδιά της, και μάλιστα με τη σωστή σειρά! Αλλιώς... Πόσα διαφορετικά κοψίματα υπάρχουν; Επιλογή διαφορετικών τριάδων (καλώδια) από 10 διαφορετικά αντικείμενα (καλώδια): P(10,3) = 10 9 8 = 720 14
Διατάξεις με επανάληψη 3 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: n διαθέσιμα αντικείμενα Τα n αντικείμενα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Επιλέγουμε k αντικείμενα Κάθε φορά που επιλέγουμε ένα αντικείμενο, το ξαναρίχνουμε μέσα στο σακούλι (ΜΕ επανάθεση) Μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία επιλέγουμε τα αντικείμενα. Με πόσους τρόπους μπορούμε να εκτελέσουμε αυτό το πείραμα; (ότι είναι με κόκκινο είναι η διαφοροποίηση από την ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2) 15
Διατάξεις με επανάληψη k πειράματα i-πείραμα : «επέλεξε τo i αντικείμενο» Με βάση τον κανόνα του γινομένου έχουμε: Για την 1η επιλογή αντικειμένου έχουμεn ενδεχόμενα, Για την 2η επιλογή αντικειμένου έχουμεnενδεχόμενα, (λόγω της επανάθεσης) Για την 3η επιλογή αντικειμένου έχουμεnενδεχόμενα, (λόγω της επανάθεσης), και για την k-οστή επιλογή αντικειμένου έχουμε n ενδεχόμενα. Συνεπώς υπάρχουν n n n = n k διαφορετικά ενδεχόμενα. 16
Παράδειγμα Έστω ένας δυαδικός αριθμός με kbits. Πόσους διαφορετικούς αριθμούς μπορώ να αναπαραστήσω με αυτόν; Κάθε ψηφίο του δυαδικού αριθμού μπορεί να πάρει n=2 τιμές (0 ή 1). Έχω στο «σακούλι» τα 0 και 1. Για το 1ο ψηφίο του αριθμού έχω n=2 επιλογές. Για το 2ο ψηφίο του αριθμού έχω n=2 επιλογές. Για το k ψηφίο του αριθμού έχω n=2 επιλογές. Άρα, μπορώ να αναπαραστήσω 2 2 2 2 = 2 k αριθμούς 17
Παράδειγμα Έστω ένα σύνολο Α με k στοιχεία. Πόσες διαφορετικές σχέσεις μπορώ να ορίσω επί του Α; Η αναπαράσταση της σχέσης ως πίνακας έχειk k στοιχεία. Καθένα από αυτά μπορεί να πάρει μία από 2 τιμές (0 ή 1). Έχω στο «σακούλι» τα 0 και 1. Για το (1,1) στοιχείο του πίνακα της σχέσης έχω 2 επιλογές. Για το (1,2) στοιχείο του πίνακα της σχέσης έχω 2 επιλογές. Για το (k,k) στοιχείο του πίνακα της σχέσης έχω 2 επιλογές. Άρα ο συνολικός αριθμός των διαφορετικών σχέσεων είναι 2 2 2 2 = 2 k k 18
Παράδειγμα Με πόσους τρόπους είναι δυνατόν να προγραμματιστούν 3 διαγωνίσματα σε μία περίοδο 5 ημερών, χωρίς περιορισμό στον αριθμό των διαγωνισμάτων που προγραμματίζονται για την ίδια ημέρα; Έχω στο «σακούλι» τις 5 ημέρες Επιλέγω την ημέρα του 1 ου διαγωνίσματος. Αυτό μπορεί να προγραμματιστεί σε οποιαδήποτε από τις 5 ημέρες. Επιλέγω την ημέρα του 2 ου διαγωνίσματος. Αυτό μπορεί να προγραμματιστεί σε οποιαδήποτε από τις 5 ημέρες. Επιλέγω την ημέρα του 3 ου διαγωνίσματος. Αυτό μπορεί να προγραμματιστεί σε οποιαδήποτε από τις 5 ημέρες. Άρα υπάρχουν 5 3 =125 διαφορετικοί τρόποι 19
Παράδειγμα Με πόσουςτρόπους είναι δυνατόν να προγραμματιστούν τρία διαγωνίσματα σε μία περίοδο πέντε ημερών, έτσι ώστε να μην έχουν προγραμματιστεί περισσότερα από ένα διαγωνίσματα για την ίδια ημέρα; Δυνατές τοποθετήσεις 3 διαφορετικών διαγωνισμάτων σε 5 διαφορετικές ημέρες P(5,3)=5 4 3=60. 20
Παράδειγμα Με πόσους τρόπους μπορούμε να σχηματίσουμε συμβολοσειρές από τέσσερα γράμματα; Το «σακούλι» έχει τα 24 γράμματα. Κάθε φορά επιλέγουμε το γράμμα που θα μπει σε καθεμία από τις 4 θέσεις της συμβολοσειράς και μετά ξαναρίχνουμε το γράμμα στο «σακούλι» Άρα ο συνολικός αριθμός των διαφορετικών συμβολοσειρών με τέσσερα γράμματα είναι 24 24 24 24=331776. (Θυμηθείτε, στο ίδιο παράδειγμα, όταν δεν επιτρέπαμε την επανάληψη ενός χαρακτήρα στη συμβολοσειρά, είχαμε βρει ότι υπάρχουν P(24,4) =255024 συμβολοσειρές) 21
Συνδυασμοί 4 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: n διαθέσιμα αντικείμενα Τα n αντικείμενα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Επιλέγουμε k n αντικείμενα Κάθε φορά που επιλέγουμε ένα αντικείμενο, δεν το ξαναρίχνουμε μέσα στο σακούλι (ΧΩΡΙΣ επανάθεση) ΔΕΝ μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία επιλέγουμε τα αντικείμενα. Με πόσους τρόπους μπορούμε να εκτελέσουμε αυτό το πείραμα; (ότι είναι με κόκκινο είναι η διαφοροποίηση από την ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3. Ωστόσο, σε σχέση με την ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2, η μόνη διαφοροποίηση είναι η αδιαφορία για τη σειρά) 22
Συνδυασμοί Αν μας ενδιέφερε η σειρά, ξέρουμε ήδη την απάντηση (ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 2): Οι διαφορετικές διατάξεις k αντικειμένων από n διαφορετικά αντικείμενα είναι: P( n, k) n! ( n k)! Ωστόσο, εφόσον δεν μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία επιλέγουμε τα αντικείμενα, όλες οι k! μεταθέσεις k αντικειμένων είναι ισοδύναμες Άρα οι δυνατοί συνδυασμοί είναι: P( n, k) n! n C( n, k) k! k!( n k)! k 23
Συνδυασμοί Προσέξτε ότι εφόσον δεν μας ενδιαφέρει η διάταξη, ουσιαστικά δεν ζητάμε να βρούμε πόσες διαφορετικές διατεταγμένες k-άδες μπορούμε να φτιάξουμε από αυτό αλλά πόσα υποσύνολα πληθικού αριθμού k. Συνεπώς, σε ένα σύνολο με πληθικό αριθμό n υπάρχουν C(n, k) υποσύνολα πληθικού αριθμού k. 24
Παράδειγμα συνδυασμών Πόσα διαφορετικές 7-άδες χαρτιών μπορoύμε να τραβήξουμε από μία τυπική τράπουλα με 52 χαρτιά; υπονοώντας ότι σε ένα τυπικό παιχνίδι, δεν μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία μας μοιράστηκαν τα χαρτιά, αλλά το ποια χαρτιά τελικά έχουμε στα χέρια μας 25
Παράδειγμα συνδυασμών Πόσα διαφορετικές 7-άδες χαρτιών μπορoύμε να τραβήξουμε από μία τυπική τράπουλα με 52 χαρτιά; Εφόσον η σειρά (διάταξη) των χαρτιών σε μία 7-άδα δεν έχει σημασία, το ζητούμενο πλήθος είναι 52 52! 52! C(52, 7) 7 7!(52 7)! 7!45! 45!46 47 48 49 50 51 52 133,784,560 7!45! 26
Διαφορά μεταξύ διατάξεων και συνδυασμών Πόσα passwords τριών διαφορετικών χαρακτήρων μπορούν να φτιαχτούν από δέκα χαρακτήρες; P(10, 3) = 10 9 8=720. Η σειρά των χαρακτήρων έχει σημασία! Σε ένα σύνολο δέκα ανθρώπων, πόσες τριμελείς επιτροπές μπορούμε να ορίσουμεαν δεν υπάρχει διάκριση των μελών της επιτροπής; C(10, 3) = 10!/(7!3!)=120 27
Παράδειγμα συνδυασμών Παράδειγμα: Έστω ότι θέλουμε τις τρεις από τις επτά ημέρες της εβδομάδας να φάμε κρέας. Με πόσους τρόπους μπορούμε να προγραμματίσουμε το εβδομαδιαίο μενού; Πρέπει να προγραμματίσουμε κρέας ως το φαγητό που θα πρέπει να φάμε σε 3 από τις 7 ημέρες. Επομένως, μας ενδιαφέρει ουσιαστικά πόσα διαφορετικά υποσύνολα 3 ημερών μπορούμε να δημιουργήσουμε από τις 7 διαφορετικές ημέρες. Άρα υπάρχουνc(7, 3)=7!/(3!4!) διαφορετικοί προγραμματισμοί του μενού. 28
Συνδυασμοί Σημειώστε ότι n n! n! n C( n, k) C( n, n k) k k!( n k)! ( n k)! k! n k...γιατί κάθε επιλογή k στοιχείων που ανήκουν σε ένα υποσύνολο των n στοιχείων υπάρχει μία αντίστοιχη επιλογή n-k στοιχείων που δεν ανήκουν σε αυτό! 29
Συνδυασμοί με επανάθεση 5 η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: n διαθέσιμα αντικείμενα Τα n αντικείμενα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Επιλέγουμε k αντικείμενα Κάθε φορά που επιλέγουμε ένα αντικείμενο, το ξαναρίχνουμε μέσα στο σακούλι (ΜΕ επανάθεση) ΔΕΝ μας ενδιαφέρει η σειρά με την οποία επιλέγουμε τα αντικείμενα. Με πόσους τρόπους μπορούμε εκτελέσουμε αυτό το πείραμα; (ό,τι είναι με κόκκινο είναι η διαφοροποίηση από την ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4) 30
Συνδυασμοί με επανάθεση Έστω ότι έχουμε n=5 είδη παγωτού, μπανάνα, σοκολάτα, λεμόνι, φράουλα και βανίλια και ότι μπορείτε να παραγγείλετε k=3μπάλες. Πόσες εναλλακτικές παραγγελίες υπάρχουν; Έστω ότι αναπαριστούμε τις γεύσεις με γράμματα: {μ, σ, λ, φ, β}. Παραδείγματα επιλογών θα ήταν τα ακόλουθα {σ, σ, σ} (3 μπάλες σοκολάτα) {μ, λ, β} (μπανάνα, λεμόνι, βανίλια) {μ, β, β}(μπανάνα, βανίλια, βανίλια) Η διάταξη δεν έχει σημασία, και η επανάληψη επιτρέπεται! 31
Συνδυασμοί με επανάθεση Μία διαφορετική αναπαράσταση: Θεωρείστε ότι οι γεύσεις είναι σε δοχεία και ότι O = «επιλέγω από το τρέχον δοχείο» Χ = «μετακινούμαι στο επόμενο δοχείο» Δεδομένου ότι ξεκινάμε από το 1 ο δοχείο, πρέπει να κάνουμε 4 μετακινήσεις και 3 επιλογές παγωτού Δεδομένων των γεύσεων/δοχείων {μ, σ, λ, φ, β}, έχουμε: {σ, σ, σ} : ΧΟΟΟΧΧΧ {μ, λ, β} : ΟΧΧΟΧΧΟ {μ, β, β} : ΟΧΧΧΧΟΟ Το πρόβλημα τώρα ανάγεται στην εύρεση των υποσυνόλων πληθικού αριθμού k ενός συνόλου που έχει n+k-1αντικείμενα 32
Συνδυασμοί με επανάθεση Επομένως, το πλήθος των επιλογών του νέου προβλήματος είναι: n k 1 ( n k 1)! C( n k 1, k) k k!( n 1)! 33
Η συνολική εικόνα μέχρι τώρα... Π3 Π1, Π2 Π5 Π4 34
Παράδειγμα Με πόσουςτρόπουςμπορούμεναβάψουμε12 γραφεία, έτσι ώστε3 από αυτά να είναι κόκκινα, 2 από αυτά μπλε, και 4 από αυτά πράσινα; Με πόσους τρόπους μπορώ να βάψω κόκκινα 3 από τα 12 γραφεία; Με πόσους τρόπους μπορώ να βάψω μπλε 2 από τα 9 γραφεία που θα περισσέψουν; Με πόσους τρόπους μπορώ να βάψω πράσινα 4 από τα 7 γραφεία που θα περισσέψουν; 35
Παράδειγμα Με πόσουςτρόπουςμπορούμεναβάψουμε12 γραφεία, έτσι ώστε3 από αυτά να είναι κόκκινα, 2 από αυτά μπλε, και 4 από αυτά πράσινα; Με πόσους τρόπους μπορώ να βάψω κόκκινα 3 από τα 12 γραφεία; C(12, 3) Με πόσους τρόπους μπορώ να βάψω μπλε 2 από τα 9 γραφεία που θα περισσέψουν; C(9, 2) Με πόσους τρόπους μπορώ να βάψω πράσινα 4 από τα 7 γραφεία που θα περισσέψουν; C(7, 4). Από τον κανόνα του γινομένου, προκύπτουν C(12, 3) C(9, 2) C(7, 4) τρόποι 36
Για να δούμε πόσοι είναι αυτοί Με πόσουςτρόπουςμπορούμεναβάψουμε12 γραφεία, έτσι ώστε3 από αυτά να είναι κόκκινα, 2 από αυτά μπλε, και 4 από αυτά πράσινα; 12 9 7 C(12,3) C(9, 2) C(7, 4) 3 2 4 12! 9! 7! 12! P(12,9) 3!9! 2!7! 4!3! 3!2!4!3! 2!3!4! 37
Ερμηνεία Με πόσουςτρόπουςμπορούμεναβάψουμε12 γραφεία, έτσι ώστε3 από αυτά να είναι κόκκινα, 2 από αυτά μπλε, και 4 από αυτά πράσινα; ΥπάρχουνP(12, 9)=12!/3! τρόποι να βάψουμε με 9 διαφορετικάχρώματα,9 από τα 12 γραφεία. Επειδή 3 από αυτάθα είναι κόκκινα, 2 από αυτά μπλε, και 4 από αυτά πράσινα, θα πρέπει να διαιρέσουμε αυτό το πλήθος, με το πλήθος των μεταθέσεων των διαφορετικών ομοίων χρωμάτων 12!/(3!3!2!4!)= 479.001.600/(6x6x2x24)= 479.001.600/864=227200 τρόποι 38
Γενικά Επιλέγουμε k από n αντικείμενα Τα n αντικείμενα δεν είναι όλα ίδια μεταξύ τους, αλλά χωρίζονται σε t ομάδες ίδιων αντικειμένων Ομάδα 1 q 1 ίδια αντικείμενα Ομάδα 2 q 2 ίδια αντικείμενα Ομάδα t q t ίδια αντικείμενα Πόσοι είναι οι διαφορετικοί τρόποι επιλογής: P( n, q ) P( n, k)!!...!!!...! t 1 i i 1 1 1 2 C n qi qt i 1 q1 q2 qt q1 q2 qt C( n, q ) C( n q, q )... (, ) t 39