Φροντιστήριο #4 Λυμένες Ασκήσεις Μαθηματική Επαγωγή 1//018 Σημείωση: Όλες οι παρακάτω αποδείξεις ακολουθούν την επαγωγική μέθοδο. Κάποια από τα παραδείγματα έχουν αποδειχθεί και με άλλες μεθόδους στο Φροντιστήριο # Άσκηση Φ4.1 Αποδείξτε επαγωγικά ότι γιά κάθε ακέραιο 0, το διαιρεί ακέραια (ακριβώς, χωρίς υπόλοιπο) τον +5+6 Βάση της επαγωγής: Για =0, +5+6=6 που διαιρείται ακριβώς δια του Επαγωγική υπόθεση: Έστω ότι για = ο +5+6 διαιρείται ακριβώς δια του, άρα μπορεί να γραφεί σαν m για κάποιο m N Επαγωγικό βήμα: Για =+1, (+1) +5(+1)+6 = + ++1+5+5+6 = ( +5+6)+ ++6 =m+( ++) που διαιρείται ακριβώς δια του Άσκηση Φ4. Χρησιμοποιώντας επαγωγή, αποδείξτε ότι ο 4 +15-1 διαιρείται ακριβώς με το 9, για κάθε ϵn, 1 Για =1, 4 + 15 1 1 = 18, που διαιρείται ακριβώς με το 9. Έστω ότι ισχύει και για =, δηλαδή ο 4 + 15 1 διαιρείται ακριβώς με το 9. Θα δείξουμε ότι ισχύει και για +1, δηλαδή ο 4 +1 + 15(+1) 1 διαιρείται ακριβώς με το 9. 4 +1 + 15(+1) 1 = 4 κ 4 + 15 + 15 1 = 4 + 15 + (4 + 15 1). O 4 + 15 1 διαιρείται ακριβώς με το 9 λόγω επαγωγικής υπόθεσης άρα αρκεί να δείξουμε ότι και ο 4 + 15 διαιρείται ακριβώς με το 9. Για =1, 4 + 15 = 7, που διαιρείται ακριβώς με το 9. Έστω ότι ισχύει και για =μ, δηλαδή ο 4 μ + 15 διαιρείται ακριβώς με το 9. Θα δείξουμε ότι ισχύει και για μ+1, δηλαδή ο 4 μ+1 + 15 διαιρείται ακριβώς με το 9. 4 μ+1 + 15 = 4 μ 4 + 15 = 4 μ 4 + 60 45 =4( 4 μ + 15) 45, ο πρώτος όρος είναι πολ/σιο του 9 λόγω επαγωγικής υπόθεσης, ο δεύτερος είναι πολ/σιο του 9 άρα και ο 4 μ+1 + 15. Οπότε και ο 4 + 15 + (4 + 15 1) διαιρείται ακριβώς με το 9 άρα το ζητούμενο αποδείχτηκε. Άσκηση Φ4.
Αποδείξτε επαγωγικά ότι για κάθε ϵ N, 0, 1 1! +! + +! = (+1)! 1. Για =0, 0 0! = 1! 1 = 0, ισχύει Έστω ότι ισχύει για =, δηλαδή 1 1! + +! = ( + 1)! 1 Θα δείξουμε ότι ισχύει και για +1, δηλαδή 1 1! + +! + (+1)(+1)! = ( + 1 + 1)! 1 1 1! +! + +! + (+1)(+1)! = ( + 1)! 1 + (+1)(+1)! = (+1)! (1 + + 1) 1 = (+1)! ( + ) 1 = ( + )! 1 Άσκηση Φ4.4 Αποδείξτε επαγωγικά ότι 1, ( N), ισχύει ότι ο - διαιρείται ακριβώς από τον αριθμό. Για =1, - = 1-1 = 0, διαιρείται ακέραια με το. Έστω ότι ο - = z για κάποιο ακέραιο z Θα δείξω ότι (+1) -(+1) = μ για κάποιο ακέραιο μ Πράγματι (+1) -(+1) = + ++1--1= ++ -=( +)+z=m+z=(m+z) ο.ε.δ Άσκηση Φ4.5 Αποδείξτε ότι ο 1 διαιρείται ακριβώς από το 11 για κάθε θετικό ακέραιο. -1, Є Z, >0 =1: 1-1=, όπου 11. Έστω 11 ( -1) Є Z+. Θα δείξω ότι 11 ( +1-1) Πράγματι, κ+1-1 = * -1 = * + -1. Από υπόθεση, 11-1. Επίσης, είναι προφανές ότι 11 *, καθώς το είναι πολλαπλάσιό του. Επομένως, για κάθε ακέραιο >0 ισχύει : 11 ( -1). Άσκηση Φ4.6 (1) Αποδείξτε επαγωγικά ότι 1 ( N), ισχύει: 1 4 7... ( ) Η πρόταση P(1) ισχύει επειδή 1 = 1*(*1-1)/ Έστω ότι ισχύει η πρόταση P() δηλαδή ότι (1) 1 4 7... ( )
Πρέπει να δείξουμε την P(+1) δηλαδή ότι ( 1)[( 1) 1)] 1 4 7... ( ) [( 1) ] Πράγματι (+1)[(+1)-1]/ = = [(+1) (+1)]/ =[( ++1) (+1)]/ =( + 6 + - 1)/ = ( )/ + (6+)/ = (-1)/ + (+1) = 1+4+7+ +(-) + (+1) = 1+4+7+(-) + [(+1)-] ο.ε.δ Άσκηση Φ4.7 Αποδείξτε επαγωγικά ότι για κάθε >1, N! Για = (>1) ισχύει (!< <4) Έστω ότι ισχύει για =, οπότε! < Θέλω να αποδείξω ότι ισχύει για =+1, δηλαδή ότι (+1)!<(+1) +1 N <+1 <(+1) (+1) <(+1) (+1) (1) Από υπόθεση! < ( +1)!<(+1) <(+1) (+1) (από (1)) (+1)!< (+1) +1 ο.εδ. Άσκηση Φ4.8 Για όλα τα πεπερασμένα σύνολα A, εάν A = τότε P(A) =. Βάση επαγωγής: Εάν A =0 τότε P(A) = 0 =1. Υποθέτουμε ότι για κάθε σύνολο A τέτοιο ώστε A =, ισχύει ότι P(A) = Έστω τώρα οποιοδήποτε σύνολο B τέτοιο ώστε B =+1. Πρέπει να δείξουμε ότι: P(B) = +1 Αν Β={α1, α,α,...,α,α+1}={α1, α,α,...,α} ( α+1}=α { α+1} Το P(B) έχει στοιχεία όλα τα στοιχεία του P(A) συν αυτά που προκύπτουν αν σε όλα τα στοιχεία του P(A) προσθέσουμε το α+1. Συνεπώς προκύπτουν ακόμη P(A) στοιχεία Άρα P(B) = P(A) =* = +1
Άσκηση Φ4.9 Με βάση την τριγωνική ανισότητα, για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x και y ισχύει ότι x y x y. Αποδείξτε με επαγωγή ότι για κάθε >, x x... x x x... x 1 1 Για = ισχύει εφόσον x1 x x1 x (από την τριγωνική ανισότητα). Έστω ότι η πρόταση ισχύει για =, δηλαδή, x x... x x x... x 1 1 Θα δείξω ότι ισχύει για =+1, δηλαδή ότι x1 x... x x 1 x1 x... x x 1. Πράγματι, x x... x x ( x x... x ) x x x... x x 1 1 1 1 1 1 x x... x x 1 1 Άσκηση Φ4.10 Δείξτε με επαγωγή ότι για κάθε >0 και για x y, ο x -y διαιρείται ακριβώς από τον αριθμό x-y. Για =1, x -y = x-y, ο οποίος διαιρείται με το x-y. Έστω ότι η πρόταση ισχύει για =, δηλαδή έστω ότι o x -y διαιρείται με το x-y. Θα δείξω ότι τότε, και ο x +1 -y +1 διαιρείται ακριβώς από τον αριθμό x-y. Πράγματι, x +1 -y +1 = xx -yy = xx -yy + xy -xy = x(x -y )+(x-y)y Όμως το x(x -y ) διαιρείται με το x-y γιατί το x -y διαιρείται με το x-y. Επίσης, το (x-y)y διαιρείται με το x-y. Επομένως, το x(x -y )+(x-y)y διαιρείται με το x-y, κι επομένως και το x +1 -y +1 διαιρείται με το x-y. Άσκηση Φ4.11 Δείξτε ότι για κάθε >0, ο 1 διαιρεί ακριβώς τον 11 (+1) +1 (-1) Για =1, 11 (+1) +1 (-1) = 11 +1 = 11+1=1, ο οποίος διαιρείται ακριβώς από τον 1. Έστω ότι ο 1 διαιρεί ακριβώς τον 11 (+1) +1 (-1), δηλαδή έστω ότι 11 (+1) +1 (-1) = 1λ για κάποιο ακέραιο λ. Θα δείξω ότι η πρόταση ισχύει και =+1, δηλαδή ότι ο 11 (+1+1) +1 (+1)-1 διαιρείται από τον 1.
Πράγματι, 11 (+1+1) +1 (+1)-1 = 11 + +1 +1 = 11*11 +1 +144*1-1 = 11*11 +1 +1*1-1 +11*1-1 = 11*(11 +1 +1-1 )+ 1*1-1 = 11*1λ + 1*1-1 = 1*(11λ+1-1 ), το οποίο διαιρείται με το 1. Άσκηση Φ4.1 Αποδείξτε ότι για όλους τους ακεραίους 1, ( 1) 1.... Βασικό βήμα - για 1: 1(1 1) 1 1 (ισχύει). ( 1) Υποθέτω ότι 1... ( 1)( ) Θα δείξουμε ότι ισχύει ότι 1... ( 1) Έχουμε : ( 1) 1... ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 4( 1) ( 1) 4 4 ( 1) ( ) ( 1)( ) 4 Επομένως, αποδείξαμε ότι ( 1) 1,1... Άσκηση Φ4.1 Αποδείξτε ότι εάν x 1, τότε 0, i0 x i 1 x 1 x 1 x 1 (ι) Βασικό βήμα: Για =0, ισχύει γιατί η σχέση δίνει 1, το οποίο ισχύει. x 1
(ιι) Έστω ότι η πρόταση ισχύει για, δηλαδή ότι ισχύει: i0 x i 1 x 1 x 1 Θα δείξουμε ότι ισχύει για. Πράγματι: 1 1 1 i i 1 x 1 1 x 1 1 x 1 x 1 x x x x x x 1 x 1 x 1 x 1 i0 i0 1 Άσκηση Φ4.14 Έστω ότι, r N, r,!. r r!( r)! Η φόρμουλα του Pascal λέει ότι 1 1. r r r 1 Χρησιμοποιείστε τη προκειμένου να αποδείξετε ότι 5, j 1 j5 5 6 (ι) Βασικό βήμα: Για =5 ισχύει, εφόσον 5 j 5 6 5 1 1 j5 5 5 6 6 (ιι) Έστω ότι ισχύει ότι: j 1 j5 5 6 (iii) Θα πρέπει να δείξουμε ότι: 1 j ( 1) 1 j5 5 6 Πράγματι, 1 j j 1 1 1 ( 1) 1 j5 5 j5 5 5 6 5 6 6 Άσκηση Φ4.15: Αποδείξτε χρησιμοποιώντας μαθηματική επαγωγή ότι για κάθε ακέραιο 1, ο ακέραιος διαιρείται ακριβώς με το 6.
1, Βάση της επαγωγής: Για 1 6, το οποίο διαιρείται ακριβώς με το 6. Άρα ισχύει. Έστω ότι ο διαιρείται ακριβώς με το 6. Θα αποδείξω ότι ο ( 1) ( 1) ( 1) διαιρείται ακριβώς με το 6. Πράγματι, ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 6 6 6 1 9 1 6 ( ) (6 1 6) ( ) 6( 1) Στην τελευταία σχέση, ο πρώτος όρος διαιρείται ακριβώς με το 6 (από την επαγωγική υπόθεση) και ο δεύτερος επίσης (εφόσον γράφεται ως γινόμενο του 6 με κάποιο ακέραιο). Επομένως ο ( 1) ( 1) ( 1) διαιρείται ακριβώς με το 6, πράγμα που ολοκληρώνει την απόδειξη του βήματος της επαγωγής και την επαγωγική απόδειξη. Άσκηση Φ4.16 Αποδείξτε ότι για όλους τους ακεραίους, 1 i1 ( 1)( 1) ii ( 1). 1 1 Για = έχουμε: i=1 i(i + 1) = i=1 i(i + 1) = 1 = (1) και (+1)( 1) = (+1)( 1) = 1 = () 1 i=1 = (+1)( 1) από (1) κ () ισχύει και i(i + 1) 1 Έστω ότι για = ισχύει i=1 i(i + 1) = (+1)( 1) τότε για = + 1 αρκεί να αποδείξουμε i(i + 1) για = () i=1 = +1(+) i=1 i(i + 1) = 1(1 + 1) + ( + 1) + + ( 1)( 1 + 1) 1 = i(i + 1) i=1 + ( + 1) + ( + 1) = (+1)( 1) = (+1)( 1)+(+1) = (+ 1)(+1) (4) = (+1)(+) άρα ισχύει και για = + 1 1 i=1 i(i+1) : + ( + 1) =
1 από () και (4) συμπεραίνουμε ότι i=1 i(i + 1) = (+1)( 1) ισχύει για Άσκηση Φ4.17 Αποδείξτε ότι για όλους τους ακεραίους 0, 1 i1 i i. i=+1 Για = 0 έχουμε: i=1 i i = (1) και + + = 0 + = () i=+1 από (1) και () ισχύει και i=1 i i = + + για = 0 () i=+1 Έστω ότι για = ισχύει i=1 i i = + + i=+1+1 τότε για = + 1 αρκεί να αποδείξουμε i=1 i i = +1+ ( + 1) + : i=+ i=1 i i = 1 1 + + + +1 ( + 1) + + ( + ) = i=+1 i=1 i i = + + + + ( + ) = + ( + + ) + = + ( + ) + = + ( + 1) + = + ( + 1) + (4) άρα ισχύει και για = + 1 i=+1 από () και (4) συμπεραίνουμε ότι i=1 i i = + + ισχύει για 0 Άσκηση Φ4.18 Αποδείξτε επαγωγικά ότι το γινόμενο τριών οποιωνδήποτε συνεχόμενων φυσικών αριθμών διαιρείται με το 6 Βασικό Βήμα: Το γινόμενο των πρώτων φυσικών αριθμών (1,,) ισούται με 6 (και προφανώς διαιρείται με το 6) Επαγωγικό βήμα Υπόθεση: Έστω για κάποιον N, το (+1)(+) διαιρείται με το 6. Θα αποδείξω ότι και το (+1)(+)(+) διαιρείται επίσης με το 6. Από την υπόθεση (+1)(+) =6m, για κάποιον m N (+1)(+)(+)=(+1)(+)+(+1)(+)=6m+(+1)(+). Οι +1 και + είναι διαδοχικοί αριθμοί, συνεπώς ο ένας από τους δύο είναι άρτιος και ο άλλος περιττός. Ένας από τους δύο λοιπόν θα γράφεται στη μορφη s, s N. Άρα ο (+1)(+) θα μπορεί να γραφτεί στη μορφή *t, t N, ο.ε.δ. Άσκηση Φ4.19 Αποδείξτε επαγωγικά ότι, για κάθε 1, το 8 διαιρείται ακριβώς δια του 5. Βήμα 1 Για =1, 8 =8-=5, Ισχύει
Βήμα Υπόθεση: Έστω ότι ισχύει για = και 5 8 Άρα υπάρχει ακέραιος m τέτοιος που 8 =5m 8=5m- (1) Θέλω να αποδείξω ότι ισχύει για =+1 8 +1 +1 =8 8 =8(5m- )- =8 5m-8 - =8 5m- (8-)= 8 5m- 5=5(8m- ) άρα είναι πολλαπλάσιο του 5 Άσκηση Φ4.0 Αποδείξτε επαγωγικά ότι ο ακέραιος διαιρεί ακέραια τον ακεραίους., για όλους τους θετικούς Βάση επαγωγής: =1 Για =1, 1 += διαιρείται δια του Έστω ότι η πρόταση ισχύει για =, δηλαδή ο διαιρεί τον + ( +=m) Για =+1: (+1) +(+1)= + ++1++= ++( ++1)=m+( ++1) που διαιρείται δια του Άσκηση Φ4.1 Έστω f, 1, οι αριθμοί της ακολουθίας Fiboacci οι οποίοι ορίζονται αναδρομικά ως ακολούθως: f 0 0, f 1 1, f, f 1 f για. Να δείξετε επαγωγικά ότι f 1 f... f f 1, για όλα τα. 1 f0=0, f1=1, f=f1+f0=1, f=f+f1=,. Βάση επαγωγής: =1 f1=f-1=-1=1, ισχύει Έστω ότι ισχύει για =, δηλαδή f1+f+ +f=f+-1 (1) Θα αποδείξω ότι ισχύει για =+1: Από την (1), αν προσθέσω και στα μέλη f+1 προκύπτει: f1+f+ +f+ f+1=f+-1 + f+1=f+-1, ο.ε.δ Άσκηση Φ4. Αποδείξτε επαγωγικά τη γενίκευση του νόμου του De Morga για την ένωση συνόλων: A 1 A A = A 1 A A
Βασικό Βήμα: Για =1, A 1 = A 1. Μπορούμε να το αποδείξουμε και για = (η αποδειξη βρίσκεται σχεδόν σε όλα τα βιβλία) Επαγωγικό βήμα Υπόθεση: Έστω για κάποιον N, A 1 A A = A 1 A A Θα αποδείξω ότι και A 1 A A +1 = A 1 A A +1 A 1 A A +1 = (A 1 A A ) A +1 = A 1 A A A +1 = (Εφαρμόζω τον De Morga για σύνολα, τα A 1 A A και A +1 ) (A 1 A A ) A +1 = (επαγωγική υπόθεση) A 1 A A +1 ο.ε.δ. Άσκηση Φ4. Αποδείξτε ότι το άθροισμα των πρώτων φυσικών αριθμών ισούται με (+1) Βάση της επαγωγής Για =1 ισχύει ότι 1= 1(1+1) Επαγωγική υπόθεση: Έστω ότι ισχύει για =. Δηλαδή i = 1+ + + + = (+1) i=1 Επαγωγικό Βήμα: Θα αποδείξω ότι ισχύει για =+1, δηλαδή ότι i=1 i = 1 + ++ + (+1)= (+1)(+). 1 + + + + (+1)= 1 + + + ++ (+1)= (+1) +1 + ( + 1) = (+1)+(+1) = (+1)(+) ο.ε.δ Άσκηση Φ4.4 Αποδείξτε ότι «αν ο είναι άρτιος τότε και ο -4+6 είναι άρτιος». Σημείωση: Η άσκηση έχει αποδειχτεί με ακόμη τρόπους στο Φροντιστήριο # (Άσκηση Φ.74) Βάση της επαγωγής Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε επαγωγική απόδειξη. Ωστόσο, χρειάζεται προσοχή! Η πρόταση, όπως είναι διατυπωμένη, αναφέρεται σε όλους τους άρτιους. Επομένως, θα πρέπει η επαγωγή να γίνει για όλους τους ακεραίους, με =. Για =1, = κι επομένως, -4+6=4-8+6= Ισχύει Επαγωγική Υπόθεση Υποθέτω ότι πρόταση για κάποιο, δηλαδή ότι () -4()+6= 4-8+6 είναι άρτιος (έστω m) Επαγωγικό βήμα
Θα αποδείξω ότι ισχύει για +1. Τότε, =(+1)=+ -4+6= (+) -4(+)+6=4 +8+4-8-8+6=(4-8+6)+8-4 = m+(4-) που είναι άρτιος ακέραιος. Άσκηση Φ4.5 Αποδείξτε επαγωγικά ότι για όλους τους ακεραίους 1 ισχύει ότι: Βάση της επαγωγής Για = 1 1 1 (1 ) 1 ο.ε.δ. i i 4 Επαγωγική υπόθεση Έστω ότι για = Επαγωγικό Βήμα i 1 1 (1 ) i Θα αποδείξω ότι ισχύει και για =+1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) ( ό ό ) i i i i ( 1) 1 1 1 ( 1) 1 1 (1 ) ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( ) ( 1) ( 1) Άσκηση Φ4.6 Ένας μεγάλος αριθμός από πιράνχα που ζύγιζαν 10 γρ το καθένα τοποθετήθηκαν σε ένα ενυδρείο. Κάθε μέρα κάθε πιράνχα προσπαθεί να φάει ένα άλλο. Αν το καταφέρει, αυξάνει το βάρος του κατά το βάρος του ψαριού που έφαγε. Διαφορετικά το βάρος του παραμένει αναλλοίωτο. Αποδείξτε ότι μετά από ημέρες κανένα από τα επιζώντα ψάρια δεν ζυγίζει περισσότερο από 10* γραμμάρια. Υποθέτουμε ότι κανένα πιράνχα δεν φαγώθηκε «χορτάτο». Βάση της επαγωγής: =0. Αρχικά όλα τα πιράνχα ζυγίζουν ακριβώς 10* 0 =10 γραμμάρια
Επαγωγική υπόθεση: Ας υποθέσουμε ότι η θπόθεση ισχύει για την ημέρα (κανένα πιράνχα δεν ζυγίζει περισσότερο από 10* γραμμάρια) Επαγωγικό βήμα: Έστω κάποιο πιράνχα μετά από ημέρες έχει βάρος x 10*. Την +1 μέρα, είτε θα φάει ένα άλλο που θα έχει βάρος y 10* Το βάρος του σ αυτή την περίπτωση θα αυξηθεί κατά y και θα γίνει x+y 10* + 10* = * 10* = 10* +1, είτε δεν θα φάει οπότε το βάρος του παραμένει το ίδιο (x 10* <10* +1 ) Άσκηση Φ4.7 Αποδείξτε επαγωγικά ότι Βάση της επαγωγής: 1 Για =1 i i1 1, 4 6 1 1 Eπαγωγική υπόθεση: Υποθέτουμε ότι ισχύει για =: i1 4 6i i1 Επαγωγικό Βήμα: Για =+1 η ζητούμενη σχέση γίνεται: 1 i1 1 4 6 i ( 1) ( 1) 4 6i 4 6i 4 6i 4 6( 1) 4 6 6 i1 i1 1 6 6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ο.ε.δ Άσκηση Φ4.8 Να αποδείξετε ότι 1 ( 4 - ) N Στο παράδειγμα αυτό θα δείξουμε ότι ενώ η απλή επαγωγή δεν οδηγεί τουλάχιστον εύκολασε λύση, η ισχυρή επαγωγή βοηθά να λυθεί το πρόβλημα Προσπάθεια με απλη επαγωγή
Βασικό βήμα: Για =1, 4 - = 1 4-1 =0 και 1 0 Επαγωγικό βήμα Υπόθεση: Έστω ότι για =, 1 ( 4 - ). Υπάρχει δηλ. m N: 4 - =1m Συμπέρασμα: Θέλουμε να αποδείξουμε ότι γα =+1, 1 ((+1) 4 -(+1) ) Απόδειξη: ((+1) 4 -(+1) )= 4 +4 + 6 +4+1-( ++1)= 4 + 4 + 6 +4+1- --1= ( 4 - )+ 4 + 6 += 1m + 4 + 6 + Θα πρέπει για τη συνέχεια να αποδείξουμε ότι το 4 + 6 + είναι πολλαπλάσιο του 1 ή ότι το + + είναι πολλαπλάσιο του 6 N Αυτό είναι πολύ δύσκολο αν όχι αδύνατο Προσπάθεια με ισχυρή επαγωγή Βασικό βήμα: Για =1, 4 - = 1 4-1 =0 και 1 0 Επαγωγικό βήμα Υπόθεση: Έστω ότι για i 1 (i 4 -i ). Συμπέρασμα: Θέλουμε να αποδείξουμε ότι γα =+1, 1 ((+1) 4 -(+1) ) Απόδειξη (((-5)+6) 4 -((-5)+6) )= (-5) 4 +4 (-5) 6+ 6(-5) 6 +4(-5) 6 +6 4 -( (-5) +(-5) 6+6 )= (-5) 4 +4 (-5) 6+ 6(-5) 6 +4(-5) 6 +6 4 - (-5) -(-5) 6-6 )= [(-5) 4 - (-5) ]+[4 (-5) 6+ 6(-5) 6 +4(-5) 6 +6 4 -(-5) 6-6 ]= [(-5) 4 - (-5) ]+1[(-5) + 18(-5) +7(-5)+108- (-5) -(-5)-]= -5< άρα από την υπόθεση το [(-5) 4 - (-5) διαιρείται δια του 1 Και τα δύο μέρη του αθροίσματος διαιρούνται ακριβώς δια του 1 άρα η πρόταση αποδείχθηκε Εκ των υστέρων διαπιστώνουμε ότι το βασικό βήμα όπου αποδείξαμε ότι η πρόταση ισχύει για =1 δεν αρκεί, μια και στη συνέχεια αναφερόμαστε στο -5 Αν το είναι <6, το -5 δεν είναι φυσικός αριθμός. Για να είναι πλήρες το βασικό βήμα πρέπει να αποδείξουε την πρόταση για =1,,,4,5,6 Για =1 αποδείχτηκε Για =, 4 - =16-4 =1. Ισχύει Για =, 4 - =81-9 =7=6 1. Ισχύει Για =4, 4 4-4 =81-16 =56=10 1. Ισχύει Για =5, 5 4-5 =65-5 =600=0 1. Ισχύει Για =6, 6 4-6 =196-6 =600=105 1. Ισχύει Σημείωση: Η επιλογή να γραφεί το +1 σαν -5+6 έγινε γιατί σε συνδυασμό με τους συντελεστές από την ανάπτυξη των δυνάμεων δίνει πολλαπλάσα του 1