ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημεπομηνία: 18/1/010 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-1:30 Προτεινόμενες λύσεις 1 Σε κηα θαηαζθήλσζε ππάξρνπλ 18 παηδηά θαη έρνπλ ηξόθηκα γηα 9 κέξεο Μεηά από 5 κέξεο έξρνληαη ζηελ θαηαζθήλσζε αθόκε 6 παηδηά Σε πόζεο κέξεο ζα ηειεηώζνπλ ηα ηξόθηκα πνπ έρνπλ; Λύση: Μόιηο ήιζαλ ηα 6 παηδηά, νη ηξνθέο πνπ έρνπλ αξθνύλ γηα 4 κέξεο γηα ηα 18 παηδηά Άξα 18 παηδηά έρνπλ ηξνθή γηα 4 κέξεο 4 παηδηά έρνπλ ηξνθή γηα x κέξεο 18 x 4 3 έ 4

α Αλ Λύζε: 1 1 1 1 1 a 1, 3 4 009 010 4 6 4016 4018 1 λα ππνινγίζεηε ηνλ κέζν όξν 4 6 8 4018 400 ησλ α θαη β a 1 1 1 1 1 1 4 6 4016 4018 1 3 4 009 010 4 6 8 4018 400 = 1 1 4 1 6 1 4016 1 4018 = 1+1+ 4 3 6 4 8 009 4018 010 400 = 1 1 1 1 3 1 008 1 009 1+1+ 3 3 4 4 009 009 010 010 = = + 1 + 1 + 1 1 + 1 = + 009 = 011 a 011 1 Άξα 1+1+ 1005 β Να βξεζεί ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ A 1 3 99 Λύση: 1 1 4 3 9 4 19 5 5 6 36 7 49 8 64 9 81 11 11 1 144 13 169 14 196 15 5 16 56 17 89 18 34 19 361 91 881 9 8464 93 8649 94 8836 95 905 96 916 97 9409 98 9604 99 9801 10 100 0 400 Παξαηεξνύκε όηη ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ ηεο θάζε ζηήιεο είλαη: 1, 4, 9, 5, 6, 9,4, 1 θαη παξνπζηάδνληαη 10 θνξέο

Τν 0 παξνπζηάδεηαη 9 θνξέοάξα ην άζξνηζκα ησλ ςεθίσλ ησλ κνλάδσλ ηνπ αξηζκνύ είλαη: 10 1 4 9 5 9 4 1 9 0 330 Γειαδή ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ είλαη ην 0 3 Έλα νξζνγώλην παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ δηαηξείηαη ζε ηέζζεξα κηθξόηεξα νξζνγώληα παξαιιειόγξακκα κε δπν επζείεο παξάιιειεο πξνο ηηο πιεπξέο ηνπ Τα ηξία απ απηά ηα ηέζζεξα νξζνγώληα έρνπλ εκβαδά 10, 18, 5 cm αληίζηνηρα Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ηέηαξηνπ νξζνγσλίνπ Λύση: Δ ΑΚΣΝ =10cm α γ=10 1 Δ ΚΒΜΣ =18cm β γ=18 Δ ΝΣΛΓ =5cm α δ=5 3 Από ηηο 1 θαη παίξλνπκε 10 5 5 18 9 9 Αληηθαζηζηνύκε ζηε 3 5 5 9 45 Δ ΣΜΓΛ =45cm Δ ΑΒΓΓ = Δ ΑΚΣΝ + Δ ΚΒΜΣ + Δ ΝΣΛΓ + Δ ΣΜΓΛ =10+18+5+45=98 cm

4 Έλαο πνιηηηθόο κεραληθόο θαη ν βνεζόο ηνπ αλέιαβαλ ηε κειέηε ελόο έξγνπ από ην νπνίν εηζέπξαμαλ 491επξώ Ο πνιηηηθόο κεραληθόο ζα απαζρνιεζεί γηα 4 κέξεο θαη ν βνεζόο ηνπ γηα 45 κέξεο Η εκεξήζηα ακνηβή ηνπ πνιηηηθνύ κεραληθνύ είλαη θαηά 40% κεγαιύηεξε ηεο εκεξήζηαο ακνηβήο ηνπ βνεζόο ηνπ Πόζα ρξήκαηα ζα εηζπξάμεη ν θαζέλαο ζην ηέινο ηεο κειέηεο; Λύση: Η ακνηβή ηνπ πνιηηηθνύ κεραληθνύ είλαη ίζε κε ην 100 40 140 ηηο εθαηό 100 100 100 ηεο ακνηβήο ηνπ βνεζνύ ηνπ, νπόηε ηα 4 εκεξνκίζζηα ηνπ πνιηηηθνύ κεραληθνύ ηζνδπλακνύλ κε 140 588 4 εκεξνκίζζηα ηνπ βνεζνύ ηνπ 100 10 Ο βνεζόο παίξλεη 45 εκεξνκίζζηα θαη νη δπν καδί παίξλνπλ 588 1038 45 εκεξνκίζζηα 10 10 Τν εκεξνκίζζην ηνπ βνεζνύ είλαη κεραληθνύ είλαη 140 40 336 100 1038 491 40 θαη ηνπ πνιηηηθνύ 10 Άξα ν πνιηηηθόο κεραληθόο ζα πάξεη ζπλνιηθά 1411 θαη ν βνεζόο ηνπ ζα πάξεη 40 45 10800

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Β ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημεπομηνία: 18/1/010 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-1:30 Προτεινόμενες λύσεις 1 Έλα νξζνγώλην παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ δηαηξείηαη ζε ηέζζεξα κηθξόηεξα νξζνγώληα παξαιιειόγξακκα κε δπν επζείεο παξάιιειεο πξνο ηηο πιεπξέο ηνπ Τα ηξία απ απηά ηα ηέζζεξα νξζνγώληα έρνπλ εκβαδά 10, 18, 5 cm αληίζηνηρα Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ηέηαξηνπ νξζνγωλίνπ Λύζε: Δ ΑΚΣΝ =10cm α γ=10 1 Δ ΚΒΜΣ =18cm β γ=18 Δ ΝΣΛΓ =5cm α δ=5 3 Από ηηο 1 θαη παίξλνπκε 10 5 5 18 9 9 Αληηθαζηζηνύκε ζηε 3 5 5 9 45 Δ ΣΜΓΛ =45cm Δ ΑΒΓΓ = Δ ΑΚΣΝ + Δ ΚΒΜΣ + Δ ΝΣΛΓ + Δ ΣΜΓΛ =10+18+5+45=98 cm

Έλαο πνιηηηθόο κεραληθόο θαη ν βνεζόο ηνπ αλέιαβαλ ηε κειέηε ελόο Λύζε: έξγνπ από ην νπνίν εηζέπξαμαλ 491επξώ Ο πνιηηηθόο κεραληθόο ζα απαζρνιεζεί γηα 4 κέξεο θαη ν βνεζόο ηνπ γηα 45 κέξεο Ζ εκεξήζηα ακνηβή ηνπ πνιηηηθνύ κεραληθνύ είλαη θαηά 40% κεγαιύηεξε ηεο εκεξήζηαο ακνηβήο ηνπ βνεζόο ηνπ Πόζα ρξήκαηα ζα εηζπξάμεη ν θαζέλαο ζην ηέινο ηεο κειέηεο; Ζ ακνηβή ηνπ πνιηηηθνύ κεραληθνύ είλαη ίζε κε ην 100 40 140 ηηο εθαηό 100 100 100 ηεο ακνηβήο ηνπ βνεζνύ ηνπ, νπόηε ηα 4 εκεξνκίζζηα ηνπ πνιηηηθνύ κεραληθνύ ηζνδπλακνύλ κε 140 588 4 εκεξνκίζζηα ηνπ βνεζνύ ηνπ 100 10 Ο βνεζόο παίξλεη 45 εκεξνκίζζηα θαη νη δπν καδί παίξλνπλ εκεξνκίζζηα Τν εκεξνκίζζην ηνπ βνεζνύ είλαη κεραληθνύ είλαη 140 40 336 100 588 1038 45 10 10 1038 491 40 θαη ηνπ πνιηηηθνύ 10 Άξα ν πνιηηηθόο κεραληθόο ζα πάξεη ζπλνιηθά 336 4 1411 θαη ν βνεζόο ηνπ ζα πάξεη 40 45 10800

3 Να ππνινγίζεηε ηε ηηκή ηεο παξάζηαζεο: A = Λύζε: 010 009 008 010 009 008 = 010 009 008 009 009 008 009 008 008 008 007 008 007 =

4 Γίλεηαη ηεηξάγωλν ΑΒΓΓ Καηαζθεπάδνπκε ην ηζόπιεπξν ηξίγωλν ΑΔΒ έμω από ην ηεηξάγωλν θαη ην ηζόπιεπξν ηξίγωλν ΑΕΓ κέζα ζην ηεηξάγωλν Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Ε βξίζθεηαη πάλω ζηελ επζεία ΔΓ Λύζε: Τν ηξίγωλν ΑΔΕ είλαη ηζνζθειέοαδ=αε Β ˆ Ε=90-60 =30 Δ ˆ Ε=60 + 30 =90 180 90 Άξα Δ ˆ Α= 45 Τν ηξίγωλν Γ ˆ Γ είλαη ηζνζθειέο ΓΕ=ΓΓ Ε ˆ Γ=90-60 =30 180 30 Γ ˆ Γ= 75 Δ ˆ Γ = Γ ˆ Α + Γ ˆ Γ + Δ ˆ Α=45 + 60 + 75 =180 επζεία γωλία Άξα ηα ζεκεία Δ, Ε, Γ είλαη ζπλεπζεηαθά Άξα ην ζεκείν Ε βξίζθεηαη ζηελ επζεία ΔΓ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΟ Γ ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημεπομηνία: 18/1/010 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-1:30 Προτεινόμενες λύσεις 1 α Αλ 1 1 1, xy 0, λα απνδείμεηε όηη: x y 3 i y 3 ii 9 x 3 y 3 β Να πξνζδηνξίζεηε ηνπο ζεηηθνύο αθέξαηνπο x, y πνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ εμίζωζε 1 1 1 x y 3 Λύζε: α Αλ ήηαλ y = 3, ηόηε 1 0 x άηνπν Άξα y 3 3y 3 x xy x y 3 3y 3y 3y 9 9 3 y 3 9 9 x 3 y 3 y 3 y 3 y 3 y 3 β Από ηε ζρέζε πνπ απνδείρζεθε ζην α, 9 x 3, παξαηεξνύκε όηη y 3 γηα λα είλαη ην ρ αθέξαηνο πξέπεη ην y 3 λα είλαη έλαο από ηνπο δηαηξέηεο ηνπ 9, δειαδή ην y 3 {-1, 1, -3, 3, -9, 9} Με δνθηκέο βξίζθνπκε ηηο ιύζεηο: ρ=1, y=4 ή x=6, y=6 ή x=4, y=1

Γίλεηαη ηεηξάγωλν ΑΒΓΓ Καηαζθεπάδνπκε ην ηζόπιεπξν ηξίγωλν ΑΔΒ έμω από ην ηεηξάγωλν θαη ην ηζόπιεπξν ηξίγωλν ΑΕΓ κέζα ζην ηεηξάγωλν Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Ε βξίζθεηαη πάλω ζηελ επζεία ΔΓ Λύζε: Λύζε: Τν ηξίγωλν ΑΔΕ είλαη ηζνζθειέοαδ=αε Β ˆ Ε=90-60 =30 Δ ˆ Ε=60 + 30 =90 180 90 Άξα Δ ˆ Α= 45 Τν ηξίγωλν Γ ˆ Γ είλαη ηζνζθειέο ΓΕ=ΓΓ Ε ˆ Γ=90-60 =30 180 30 Γ ˆ Γ= 75 Δ ˆ Γ = Γ ˆ Α + Γ ˆ Γ + Δ ˆ Α=45 + 60 + 75 =180 επζεία γωλία Άξα ηα ζεκεία Δ, Ε, Γ είλαη ζπλεπζεηαθά Άξα ην ζεκείν Ε βξίζθεηαη ζηελ επζεία ΔΓ

3 Να ππνινγίζεηε ηε ηηκή ηεο παξάζηαζεο: 010 009 008 010 009 008 Λύζε: 010 009 008 = 010 009 008 009 009 008 009 008 008 008 007 008 007 =

4 Γύν ηεηξάγωλα κε εκβαδόλ Α θαη Β είλαη εγγεγξακκέλα ζε εκηθύθιην, όπωο θαίλεηαη ζην πην θάηω ζρήκα Να βξείηε ην ιόγν Μ α β Ν Ο Π Ρ Λύζε: Ολνκάδω α θαη β ηηο πιεπξέο ηωλ ηεηξαγώλωλ Α θαη Β αληίζηνηρα Τν ηξίγωλν ΟΜΝ είλαη νξζνγώλην άξα από ην Ππζαγόξεην Θεώξεκα έρνπκε: a OM a Τν ηξίγωλν ΟΡΝ είλαη νξζνγώλην άξα από ην Ππζαγόξεην Θεώξεκα έρνπκε: β ON a β a β Όκωο ΟΜ = ΟΝ = R άξα a = a α β αβ 0 a a 0 β β β a a 0 β β a a 1 0 β β a ή a 1 β β απνξξίπηεηαη a β A 4 B

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ζμεπομηνία: 18/1/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-1:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1 Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη 3 Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ 4 Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο ΘΕΜΑΤΑ 1 Δίλεηαη ην πνιπώλπκν Αλ θαη, λα βξείηε ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ Να απνδείμεηε όηη, γηα νπνηαδήπνηε ηηκή ηνπ αθεξαίνπ αξηζκνύ δελ είλαη πξώηνο 3 Να ιύζεηε ην ζύζηεκα, όπνπ, ν αξηζκόο πξαγκαηηθνί αξηζκνί { 4 Σηηο θάζεηεο πιεπξέο ΑΓ θαη ΑΒ νξζνγσλίνπ θαη κε ηζνζθεινύο ηξηγώλνπ ΑΒΓ παίξλνπκε ζεκεία Γ θαη Δ αληίζηνηρα, ώζηε Σπκβνιίδνπκε Μ ην κέζνλ ηνπ ΔΓ, Ν ην κέζνλ ηνπ ΒΓ θαη Ο ην ζεκείν ηνκήο ησλ κεζνθαζέησλ ησλ ΔΓ, ΒΓ Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α, Μ, Ν, Ο είλαη θνξπθέο παξαιιεινγξάκκνπ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ζμεπομηνία: 18/1/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-1:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1 Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη 3 Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ 4 Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο ΘΕΜΑΤΑ 1 Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη ε ζρέζε λα βξείηε ηε γσλία Α ηνπ ηξηγώλνπ Έζησ Να βξείηε ηνλ όξν 3 Αλ ηζρύεη αθνινπζία πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ κε όπνπ ηεο αθνινπζίαο, θαη είλαη ζεηηθνί αθέξαηνη δηαθνξεηηθνί ηνπ κεδελόο πξώηνη κεηαμύ ηνπο θαη λα απνδείμεηε όηη είλαη ηεηξάγσλνο αξηζκόο 4 Οη εθαπηόκελεο ζηα άθξα Α,Β αληίζηνηρα ρνξδήο ΑΒ θύθινπ ηέκλνληαη ζην ζεκείν Ρ Σε ζεκείν Ν ηεο ρνξδήο ΑΒ θέξνπκε επζεία θάζεηε ζην ΟΝ, πνπ ηέκλεη ηηο εθαπηόκελεο ζηα ζεκεία Ε, Θ αληίζηνηρα Να απνδείμεηε όηη: α Ο πεξηγεγξακκέλνο θύθινο ηνπ ηξηγώλνπ ΕΡΘ πεξλά από ην Ο β Αλ ε επζεία πνπ πεξλά από ην κέζνλ Κ ηνπ ΟΕ θαη ην κέζνλ Δ ηνπ ΡΘ, ηέκλεη ηελ ΕΡ ζην Τ θαη ηελ ΟΘ ζην Σ, ηόηε ηζρύεη

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΔΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ζμεπομηνία: 18/1/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-1:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1 Να ιύζεηε όια ηα ζέκαηα Κάζε ζέκα βαζκνινγείηαη κε 10 κνλάδεο Να γξάθεηε κε κπιε ή καύξν κειάλη ηα ζρήκαηα επηηξέπεηαη κε κνιύβη 3 Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε δηνξζσηηθνύ πγξνύ 4 Δελ επηηξέπεηαη ε ρξήζε ππνινγηζηηθήο κεραλήο ΘΕΜΑΤΑ 1 Αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί θαη, λα απνδείμεηε όηη ε ειάρηζηε ηηκή πνπ κπνξεί λα πάξεη ην ειάρηζην ηεο ζπλάξηεζεο κε είλαη Να πξνζδηνξίζεηε ην πνιπώλπκν κε αθέξαηνπο ζπληειεζηέο κε ηνλ ειάρηζην βαζκό, πνπ έρεη ξίδα ηνλ αξηζκό Σηε ζπλέρεηα λα βξείηε όιεο ηηο ξίδεο ηνπ πνιπσλύκνπ 3 Αλ είλαη ζεηηθνί αθέξαηνη δηαθνξεηηθνί ηνπ κεδελόο πξώηνη κεηαμύ ηνπο θαη ηζρύεη λα απνδείμεηε όηη είλαη ηεηξάγσλνο αξηζκόο 4 Οη εθαπηόκελεο ζηα άθξα Α,Β αληίζηνηρα ρνξδήο ΑΒ θύθινπ ηέκλνληαη ζην ζεκείν Ρ Σε ζεκείν Ν ηεο ρνξδήο ΑΒ θέξνπκε επζεία θάζεηε ζην ΟΝ, πνπ ηέκλεη ηηο εθαπηόκελεο ζηα ζεκεία Ε, Θ αληίζηνηρα Να απνδείμεηε όηη: α Ο πεξηγεγξακκέλνο θύθινο ηνπ ηξηγώλνπ ΕΡΘ πεξλά από ην Ο β Αλ ε επζεία πνπ πεξλά από ην κέζνλ Κ ηνπ ΟΕ θαη ην κέζνλ Δ ηνπ ΡΘ, ηέκλεη ηελ ΕΡ ζην Τ θαη ηελ ΟΘ ζην Σ, ηόηε ηζρύεη

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/1/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-1:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤ ΕΙ 1 Δίλεηαη ην πνιπώλπκν Αλ θαη, λα βξείηε ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ Προτεινόμενη λύση: έρνπκε: έρνπκε: είλαη: Από ην Από ην Οη ηηκέο ησλ θαη Άξα πνπ ζεκαίλεη όηη ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ είλαη ην 4 Να απνδείμεηε όηη, γηα νπνηαδήπνηε ηηκή ηνπ αθεξαίνπ αξηζκνύ δελ είλαη πξώηνο, ν αξηζκόο Προτεινόμενη λύση: Εάλ ν αξηζκόο είλαη άξηηνο, ηόηε δελ είλαη πξώηνο Εάλ ν αξηζκόο είλαη πεξηηηόο έρνπκε: είλαη επίζεο άξηηνο κεγαιύηεξνο ηνπ, άξα [ λ ] [ λ ] Εύθνια βιέπνπκε όηη ν πξώηνο παξάγνληαο ηνπ γηλνκέλνπ είλαη κεγαιύηεξνο από ην 1 όηαλ Γηα ηνλ δεύηεξν παξάγνληα ζα έρνπκε: Άξα θαη πάιη ν αξηζκόο δελ είλαη πξώηνο

3 Να ιύζεηε ην ζύζηεκα, όπνπ πξαγκαηηθνί αξηζκνί { Προτεινόμενη λύση: Από ηελ πξώηε εμίζσζε παίξλνπκε Αληηθαζηζηώληαο ζηελ ηξίηε έρνπκε θαη από ηε δεύηεξε Απ όπνπ ή Εύθνια βξίζθνπκε όηη νη ιύζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη : / θαη /

4 Σηηο θάζεηεο πιεπξέο ΑΓ θαη ΑΒ νξζνγσλίνπ θαη κε ηζνζθεινύο ηξηγώλνπ ΑΒΓ παίξλνπκε ζεκεία Γ θαη Δ αληίζηνηρα, ώζηε Σπκβνιίδνπκε Μ ην κέζνλ ηνπ ΔΓ, Ν ην κέζνλ ηνπ ΒΓ θαη Ο ην ζεκείν ηνκήο ησλ κεζνθαζέησλ ησλ ΔΓ, ΒΓ Να απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α, Μ, Ν, Ο είλαη θνξπθέο παξαιιεινγξάκκνπ Προτεινόμενη λύση: Επεηδή αξθεί λα απνδείμνπκε όηη Σην ηξίγσλν, έρνπκε: Όκσο από ηελ ππόζεζε ζα πάξνπκε όηη: Από ην ηζνζθειέο ηξίγσλν έρνπκε, επνκέλσο, άξα θαη ηειηθά Επίζεο Α, Μ, Ν, Ο είλαη θνξπθέο παξαιιεινγξάκκνπ, άξα Άξα ηα ζεκεία

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Β ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/1/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-1:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ 1 Αλ ζε ηξίγσλν ΑΒΓ ηζρύεη ε ζρέζε, λα βξείηε ηε γσλία Α ηνπ ηξηγώλνπ Προτεινόμενη λύση: Επεηδή ζε ηξίγσλν είλαη, ε δεδνκέλε ζρέζε γίλεηαη Όκσο θαη άξα Έζησ αθνινπζία πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ κε θαη όπνπ Να βξείηε ηνλ όξν ηεο αθνινπζίαο Προτεινόμενη λύση: Γηα θάζε είλαη, Δειαδή: ή * + Από ηελ ηειεπηαία δηαδνρηθά γηα παίξλνπκε Πνιιαπιαζηάδνπκε θαηά κέιε:

3 Αλ είλαη ζεηηθνί αθέξαηνη δηαθνξεηηθνί ηνπ κεδελόο πξώηνη κεηαμύ ηνπο θαη ηζρύεη λα απνδείμεηε όηη είλαη ηεηξάγσλνο αξηζκόο Προτεινόμενη λύση: Επεηδή είλαη ζεηηθνί αθέξαηνη, ηζρύεη θαη Άξα ππάξρνπλ ζεηηθνί αξηζκνί ηέηνηνη ώζηε θαη Έηζη έρνπκε: Οη αξηζκνί θαη δελ κπνξνύλ λα είλαη θνηλνί παξάγνληεο Εάλ ππάξρεη πνπ δηαηξεί ηνλ ζα δηαηξεί επίζεο θαη ηνπο, ην νπνίν δελ είλαη δπλαηόλ εθόζνλ δίλεηαη όηη α, β θαη γ δελ έρνπλ θνηλό παξάγνληα Άξα νη αξηζκνί κ θαη λ είλαη ηεηξάγσλνη αξηζκνί, δειαδή θαη Άξα

4 Οη εθαπηόκελεο ζηα άθξα Α,Β αληίζηνηρα ρνξδήο ΑΒ θύθινπ ηέκλνληαη ζην ζεκείν Ρ Σε ζεκείν Ν ηεο ρνξδήο ΑΒ θέξνπκε επζεία θάζεηε ζην ΟΝ, πνπ ηέκλεη ηηο εθαπηόκελεο ζηα ζεκεία Ε, Θ αληίζηνηρα Να απνδείμεηε όηη: α Ο πεξηγεγξακκέλνο θύθινο ηνπ ηξηγώλνπ ΕΡΘ πεξλά από ην Ο β Αλ ε επζεία πνπ πεξλά από ην κέζνλ Κ ηνπ ΟΕ θαη ην κέζνλ Δ ηνπ ΡΘ, ηέκλεη ηελ ΕΡ ζην Τ θαη ηελ ΟΘ ζην Σ, ηόηε ηζρύεη Προτεινόμενη λύση: α Επεηδή ην ηεηξάπιεπξν είλαη εγγξάςηκν θαη άξα ζα έρνπκε: ή Από ηα εγγξάςηκα ηεηξάπιεπξα παίξλνπκε Από ηηο έρνπκε, δειαδή ην ηεηξάπιεπξν είλαη εγγξάςηκν β Φέξνπκε Από ηα όκνηα ηξίγσλα παίξλνπκε θαη από ηα όκνηα ηξίγσλα παίξλνπκε Όκσο από ηα ίζα ηξίγσλα, παίξλνπκε Άξα από ηηο πξνεγνύκελεο ηζόηεηεο ζα έρνπκε: Όκσο έρνπκε: Επνκέλσο ε γξάθεηαη: θαη Επεηδή όκσο ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο θαη, ε ηειεπηαία ζρέζε γξάθεηαη Από ηα όκνηα ηξίγσλα Άξα ηειηθά ζα πάξνπκε

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/1/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-1:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ 1 Αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί θαη, λα απνδείμεηε όηη ε ειάρηζηε ηηκή πνπ κπνξεί λα πάξεη ην ειάρηζην ηεο ζπλάξηεζεο κε είλαη Προτεινόμενη λύση 1 η : θαη, άξα ε ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη ειάρηζην ζηε ζέζε 1 θαη ε ειάρηζηε ηηκή ηεο είλαη / Από ηελ αληζόηεηα αξηζκεηηθνύ-αξκνληθνύ κέζνπ έρνπκε θαη ε ηειεπηαία ζρέζε γίλεηαη Άξα, πνπ ζεκαίλεη όηη ε ειάρηζηε ηηκή πνπ κπνξεί λα πάξεη ην ειάρηζην ηεο ζπλάξηεζεο είλαη Προτεινόμενη λύση η : θαη παξνπζηάδεη ειάρηζην ζηε ζέζε 1 θαη ε ειάρηζηε ηηκή ηεο είλαη, άξα ε ζπλάξηεζε

/ / / / / / / / / / / /, -, αθνύ γηα νπνηνπζδήπνηε ζεηηθνύο αξηζκνύο ηζρύεη, Άξα, πνπ ζεκαίλεη όηη ε ειάρηζηε ηηκή πνπ κπνξεί λα πάξεη ην ειάρηζην ηεο ζπλάξηεζεο είλαη

Να πξνζδηνξίζεηε ην πνιπώλπκν κε αθέξαηνπο ζπληειεζηέο κε ηνλ ειάρηζην βαζκό, πνπ έρεη ξίδα ηνλ αξηζκό Σηε ζπλέρεηα λα βξείηε όιεο ηηο ξίδεο ηνπ πνιπσλύκνπ Προτεινόμενη λύση: Έζησ Άξα ην πνιπώλπκν είλαη ην ειάρηζην πνιπώλπκν 4 νπ βαζκνύ πνπ έρεη σο ξίδα ην Αλ γξάςνπκε ην = / / / / Οι ρίζες είναι: 3 Αλ είλαη ζεηηθνί αθέξαηνη δηαθνξεηηθνί ηνπ κεδελόο πξώηνη κεηαμύ ηνπο θαη ηζρύεη λα απνδείμεηε όηη είλαη ηεηξάγσλνο αξηζκόο Προτεινόμενη λύση: Επεηδή είλαη ζεηηθνί αθέξαηνη, ηζρύεη θαη Άξα ππάξρνπλ ζεηηθνί αξηζκνί ηέηνηνη ώζηε θαη Έηζη έρνπκε: Οη αξηζκνί θαη δελ κπνξνύλ λα είλαη θνηλνί παξάγνληεο Εάλ ππάξρεη πνπ δηαηξεί ηνλ ζα δηαηξεί επίζεο θαη ηνπο, ην νπνίν δελ είλαη δπλαηόλ εθόζνλ δίλεηαη όηη α, β θαη γ δελ έρνπλ θνηλό παξάγνληα Άξα νη αξηζκνί κ θαη λ είλαη ηεηξάγσλνη αξηζκνί, δειαδή θαη Άξα

4 Οη εθαπηόκελεο ζηα άθξα Α,Β αληίζηνηρα ρνξδήο ΑΒ θύθινπ ηέκλνληαη ζην ζεκείν Ρ Σε ζεκείν Ν ηεο ρνξδήο ΑΒ θέξνπκε επζεία θάζεηε ζην ΟΝ, πνπ ηέκλεη ηηο εθαπηόκελεο ζηα ζεκεία Ε, Θ αληίζηνηρα Να απνδείμεηε όηη: α Ο πεξηγεγξακκέλνο θύθινο ηνπ ηξηγώλνπ ΕΡΘ πεξλά από ην Ο β Αλ ε επζεία πνπ πεξλά από ην κέζνλ Κ ηνπ ΟΕ θαη ην κέζνλ Δ ηνπ ΡΘ, ηέκλεη ηελ ΕΡ ζην Τ θαη ηελ ΟΘ ζην Σ, ηόηε ηζρύεη Προτεινόμενη λύση: α Επεηδή ην ηεηξάπιεπξν είλαη εγγξάςηκν θαη άξα ζα έρνπκε: ή Από ηα εγγξάςηκα ηεηξάπιεπξα παίξλνπκε Από ηηο ηεηξάπιεπξν β Φέξνπκε ηξίγσλα έρνπκε, δειαδή ην είλαη εγγξάςηκν Από ηα όκνηα παίξλνπκε θαη από ηα όκνηα ηξίγσλα παίξλνπκε Όκσο από ηα ίζα ηξίγσλα, παίξλνπκε Άξα από ηηο πξνεγνύκελεο ηζόηεηεο ζα έρνπκε: Όκσο έρνπκε: Επνκέλσο ε γξάθεηαη: θαη Επεηδή όκσο ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο θαη, ε ηειεπηαία ζρέζε γξάθεηαη Από ηα όκνηα ηξίγσλα Άξα ηειηθά ζα πάξνπκε