ANTOHE FLORIN-MIHAI Eitur Sfâtul Ierrh Niole 00 ISBN 978-606-89-6-7
Cuât îite Lurre ştiiţifiă e fţă oreă Ieglitte eiilor, u itre ele i iportte şi i uosute ieglităţi i tetiă. Î oţiutul lurării sut preette ierse eostrţii le estei ieglităţi: pri etoe lgerie, geoetrie, utiliâ oţiui tetie preu iuţi su folosi rii. Cu jutorul ieglităţii eiilor ostruit âte ieglităţi î triughi. Î prte filă lurării sut puse î eieţă pliţiile ieglităţii eiilor şi ue: pliţii î eostrre uor ieglităţi lgerie, eostrre uor ieglităţi geoetrie, eterire iiului su iului uei epresii lgerie şi u î ultiul râ pliţii î fiiă. Autorul
Cupris. Itrouere...4. Ieglitte eiilor- eostrţie lgeriă...6. O eostrţie geoetriă ieglităţii eiilor...8 4. Altă eostrţie geoetriă ieglităţii eiilor...9 5. O iterpretre geoetriă ieglităţii eiilor... 6. O eostrţie pri iuţie ieglităţii eiilor...4 7. O eostrţie ieglităţii eiiilor folosi rii...6 8. Ieglităţi î triughi ostruite u ieglitte eiilor...8 9. Apliţii î eostrre uor ieglităţi lgerie...0 0. Apliţii î eostrre uor ieglităţi geoetrie...4. Apliţii î eterire iului su iiului...6. Apliţii î fiiă...7. Biliogrfie...8
. Itrouere Ieglitte eiilor este u itre ele i iportte ieglităţi, fii forte es utilită. Aestă ieglitte este triuită tetiiului fre Augusti-Louis Cuh re s- rert î prope tote rurile tetiii.. Mei ritetiă Fie şi ouă uere rele şi poitie. Mei ritetiă lor este uărul re se oţie îpărţi l su lor :. eerliâ oţie ă ei ritetiă uere rele poitie,,..., se luleă upă forul:... iă îpărţi su elor uere l uărul lor. Oserţie: Mei ritetiă uere rele poitie este i re eât el i i itre uere şi este i re eât el i re itre ele.. Mei geoetriă (ei proporţiolă. Mei geoetriă ouă uere rele poitie se luleă upă forul : g eerliâ oţie ă ei geoetriă uere rele poitie luleă upă forul:... g Eeple e eii geoetrie îtâlite î geoetrie:,...,, se. Îtr-u triughi reptughi, lugie îălţiii i ârful ughiului rept este eie geoetriă (proporţiolă ître lugiile proieţiilor pe ipoteuă.. Îtr-u triughi reptughi, lugie uei tete este eie geoetriă (proporţiolă ître lugie ipoteuei şi proieţi tetei pe ipoteuă.. Mei roiă. Mei roiă ouă uere rele poitie este: h eerliâ oţie ă ei roiă uere rele poitie,,..., se oţie upă forul : 4
h... Oserţie: Mei roiă este iers eiei ritetie ierselor elor uere. 4. Mei ptrtiă. Mei pătrtiă uerelor poitie, este uărul : p. Mei pătrtiă re o iterpretre geoetriă eoseit e iterestă. Dă osieră ABC reptughi, u tetele e lugii AC= şi BC= eiet ipoteu AB e lugie C. A B D Costrui u triughi reptughi isosel ADB, reptughi î D. Atui AD=BD=. Dei lugie pătrtului îsris î erul irusris reptughiului e iesiui, repreită ei pătrtiă uerelor şi. Mei pătrtiă uere rele poitie p....,...,, este tă e forul: 5
6. Ieglitte eiilor -Preetre, eostrţie lgeriă- Ître tote este eii preette, eistă urătore relţie, uosută su euire e ieglitte eiilor:, (, i( p g h, iă:, (, i( Eglitte se oţie tui â ele ouă uere şi sut egle. Pri geerlire se oţie:,...,, (,..., i( p g h, iă:,...,, (............,..., i( Eglitte se oţie petru... Î otiure o eostr ieglitte eiilor petru ouă uere pe uăţi: Petru îeput să eostră pri etoă lgeriă ieglitte itre ei ritetiă şi ei geoetriă, re este etre e siplă. g Dei treuie să eostră ă:. 0 ( 0, ee e este eiet, ei ieglitte itre ei ritetiă şi ei geoetriă este eostrtă. Vo eostr u ieglitte itre ei roiă şi ei geoetriă ouă uere: Ae e eostrt : Folosi ee e eostrt terior g, petru uere şi oţie: (ee e treui eostrt. Mi răâe să eostră ieglitte itre ei ritetiă şi ei pătrtiă, iă:.
7 Pori e l fptul ă: 0 ( 4 ( ( 0 ( iă et e e e eostrt.
. O eostrţie geoetriă ieglităţii eiilor Fie şi ouă tgete prlele l erul C î putele A, respeti D. Drept este tgetă î putul T l erul C şi iterseteă reptele şi î B şi respeti î C. Luă putul M l ijloul lui BC şi N piiorul perpeiulrei i T pe AD. Astfel se foreă trpeul reptughi ABCD. Notă: AB, DC, ue ofor eseului. Ae BT AB BT CT DC CT BC Îălţie ABCD este: trpeului OT h BC EB ( (. h g OM NOT ~ TMO NOT : TN OT TN tetă OT ipoteuă OT MO OT TN MO OT TN TMO : OT tetă OT OM OM ipoteuă h OM OT TN iă g h Dă, tui î o eiet g h. 8
4. Altă eostrţie geoetriă ieglităţii eiilor Cosieră u triughi reptughi u ipoteu BC. Notă CD u şi DB u. Costrui îălţie i ârful ughiului rept, iă AD. (AD BC. Şti ă îtr-u triughi reptughi ei usă i ârful ughiului rept re lugie juătte i lugie ipoteuei. Dei AM=. Apliâ teore îălţiii reultă ă AD=. Cu îălţie este îtoteu i iă su el ult eglă u ei reultă: Eglitte se oţie â = iă CD=DB, ei î ul uui triughi reptughi isosel. Astfel eostrt ieglitte itre ei geoetriă şi ei ritetiă. Cosieră u u triughi reptughi isosel ABC. Fiă u put pe PB PC ipoteu BC pe re îl otă u P. Dori să eostră ă AP. Îălţie i ârful rept AD fi î est şi eiă. PB PC Î est ei AD=. BC PC PB CP BP Presupue ă CP PD. PD=CP-CD=CP- CP. Cu teore lui Pitgor î triughiul reptughi ADP oţie: AD PD AP ( PB PC ( PC PB PB PC AP. 4 4 9
AP= Este eiet fptul ă AD= PB PC. PB PC este i iă su el ult eglă u PB PC PB PC Deue ă:. Eglitte se oţie â putul P este ijloul ipoteuei BC. A eostrt stfel, î ieră geoetriă ieglitte itre ei ritetiă şi ei pătrtiă ouă uere. Î fil e propue să eostră ieglitte itre ei roiă şi ei geoetriă. Petru est osieră u trpe reptughi u ele e lugii şi, ir îălţie AB=. Cerul e ietru AB este tget lturii CD î putul T. Fie M ijloul lui CD. MO fi liie ijloie, ei MO=. OT=, fii ră erului e ietru AB. Ne itereseă să lulă lugie lui PT. Apliâ teore lui Pitgor î triughiul reptughi OTM oţie: ( ( OT +TM =OM TM = TM= 4 4 Clulă îălţie i ârful rept l triughiului reptughi OTM re este eglă u PO. Dei PO= ( Apliă u î triughiul reptughi TPO teore lui Pitgor petru eteri lugie lui TP: PT =OT -PO ( 4 = PT=. ( ( Eiet PT<TO iă u ei geoetriă.. Dei ei roiă este i iă su eglă 0
5. O iterpretre geoetriă ieglităţii eiilor Î otiure, e propue să ă o iterpretre geoetriă ieglităţii eiilor, petru ouă uere strit potie şi : Î trpeul ABCD; AB CD, stfel îât AB = şi CD = ; >, ue lii ijloie [MN] şi prlele [EF] şi [PQ] l ele trpeului. [EF] îprte ltur [AD] î rportul igolelor. AP PD AO OC Î Δ ACD : PQ CD şi folosi teore lui Thles Dr ΔAOB ~ ΔCOD şi ei Di ele ouă relţii reultă ă: AB DC AO OC şi [PQ] tree pri putul O e iterseţie AB DC AM AE Deoree ;, i ieglităţile eiete MD ED AM AE AP reultă MD ED PD AP AO. PD OC
iă: OC AO Ureă ă pe segetul [AD] eistă urătorele orie putelor A,M,E,P,D, <PQ<EF<MN< ( Se eostreă uşor ă PQ OP ΔAOP ~ ΔACD: ΔBOQ ~ ΔBDC: Di ( şi ( Dei PQ = OP ΔAOP ~ ΔACD: ΔAOB ~ ΔCOD: AO PO ( AC DC PO DC AO AC BO OQ ( BD DC OQ DC PO OQ PO AP ( DC AD AO AB ( OC DC AO PO AC DC AO OC DC OC Di ( AC DC AO PO AO PO AO Di ( DC AB DC PO DC DC PO PQ AB PO PO h, ΔDER ~ ΔDAB : Di: DE DA ER DR. AB DB AE ED AD ED AD ED ED AD ED ED AD Di: Di ED AD ER ER ER ( AB AE ED BF BC BF FC BF BC BF BC BF BF BC BF BC BF ΔBFR ~ ΔBCD : BF FR FR (4 BC DC
Di ( şi (4 EF ER RF Dei EF,. MN g,. Di <PQ<EF<MN< h < g <.
6. O eostrţie pri iuţie ieglităţii itre ei ritetiă şi ei geoetriă uere Î otiure o preet ouă eostrţii elere le ieglităţii itre ei geoetriă şi ei ritetiă uere, re peleă l iuţi tetiă. Î fo pute preet est luru su for urătorei prolee: Petru,,..., 0 să se rte ă:. Deostrţi lui Ehlers. i i i i Deostră i îtâi pri iuţie urătore propoiţie : P( : Dă 0, i=,,..., si..., tui.... i P( este eărtă,. Presupue P( eărtă, iă ieglitte eărtă petru uere. Di... reultă ă eistă ouă uere i, j stfel îât i şi j. Fără prtiulri luă şi. Dei 0, iă şi ei :...... (,,..., sut uere u prousul egl u şi ei :.... Ţiâ ot e relţi (, reultă :.... Dei P( P(+ este eărtă, ei P( este eărtă petru orie N,. Pue u,,...,,...... şi ei..., iă :.... şi ei....... 4
5. Deostrţi lui Josthl. Şi estă ou eostrţie foloseşte tot iuţi tetiă. Petru = e eglitte : i i A şi i i. Ae e eostrt propoiţi P( : A orire r fi N,. Pue P(- eărtă şi eostră ă ipliţi P(- P( eărtă. Fie 0. Deoree... e :, petru. 0 Pue şi e. Ae ietitte : A A, i re eue : A A, re oue l:. A A Deoree 0 A, reultă A şi ei P( este eărtă petru orie N,
7. O eostrţie ieglităţii eiilor folosi rii Costruţie Se ostruieşte trpeul reptughi ABCD, stfel îât: [AB] = [CD] = (AB, CD = [AD] = h h Deostrţie: Fie MN AB, MN tree pri iterseţi igolelor, O. ON BO BN I BCD : CD BD BC ON ON ON CO CN CD AB I ABC : AB AC BC BN CN BC ON AB CD ( A log OM AB CD ( Di ( şi ( [ MN] h ( Fie PQ AB, (P ijloul lturii AD. Apliâ Th. Thles î ABD şi BDC reultă: AB CD [ PQ] [ PQ] (4 Putul e iterseţie l igolelor se găseşte esupr reptei PQ, reultă: [ PQ] [ MN] (5 Di relţiile (, (4 şi (5 reultă: h (6 Fie S AEHD = ri reptughiului AEHD. Ţiâ ot e relţi (, tui: S AE AD MN AD (7 AEHD h 6
S AD( AB CD (8 ABCD g Deoree [BQ] [QC] (i ostruţie şi [BN] < [NC], reultă: S BEN S NCH (u eglitte â [AB] [CD] (9 Ari trpeului ABCD i pote fi srisă şi : S S S S (0 ABCD AEHD BEN NCH Di (7, (8, (9 şi (0 reultă: ( g h g h Di relţi (6 ( A' esupr lui A,.î: A' D ( Di relţiile (4 şi (, reultă: PQ A' D S S g A' F ' D g A' F ' FA S AFD S A' F ' FA S ABCD S A' F ' FA g ( Di relţiile ( şi (, reultă: q.e. g h 7
8. Ieglităţi î triughi ostruite u jutorul ieglităţii eiilor Vo îer să eue âte ieglităţi î triughi folosi ieglitte eiilor. Măsurile lturilor uui triughi sut eprite pri uere rele poitie preu şi lorile fuţiilor trigooetrie le ughiurilor suţite. Folosi ieglitte g e:. Dă otă ăsurile lturilor uui triughi u,, pute srie: + ; ; ( Auâ eru u eru este ieglităţi reultă: (++ ( e ue îpărţi u şi îloui ++=p oţie ieglitte: p..îulţi ieglităţile ( eru u eru reultă: (+(+(+ 8 re upă îlouirile: +=p-, +=p-, +=p- şi =4RS (ue R este r erului irusris triughiului şi S este ri triughiului oţie: (p-(p-(p- RS.Di (, (, ( ( pri ure eru u eru oţie: ( ( ( ( ( upă re oţie ieglitte: p ( p ( p ( p. 4. Îulţi eru u eru ieglităţile ( oţie: (++ 8 ( ( ( su (p 6 64(+(+(+ e ue îloui =4RS şi S=rp (ue r este r erului îsris î triughi 6 5 e: p 4 Rrp( ( ( şi î fil: p 4 Rr( ( (. 5. Di,, uâ eru u eru e: +++++ 6 e ue: ( ( ( RS. 6. Di, reultă pri îulţire eru u eru ieglităţilor: ( ( 9 e ue ( 6 p Rrp şi î fil: 8Rr. 7. Di şi h h h h h h (ue h, h, h sut iălţiile triughiului pri îulţire eru u eru reultă: (++( h h h 9 hh h su p( h h h 9 8S petru ă h h h S şi î fil ieglitte: 9S h h h. p 8
8. Di : si C si C S, si A si A S, si B si B S pri ure eru u eru reultă: (+++sia+sib+sic 9 S su: si si si 9 4 9. A B C S p. Oserţie:triughiul ABC este suţitughi. Folosi ieglitte: h e:,,.auâ ieglităţile reultă: ++ ( e ue: Folosi ieglitte : p e: p. 0. oţie:,,.auâ eru u eru, e ue î fil: p. 9
9. Apliţii le ieglităţii eiilor î eostrre uor ieglităţi lgerie. Să se eostree ă,,, R. Soluţie: Di ieglitte p g Auâ eru u eru ieglităţile e i sus, oţie... Deostrţi ă, >0. Deostrţi ă,, >0 Soluţie:. Cu ieglitte itre ei ritetiă şi ei geoetriă:. Pute lu î. Su proeă îite:. Să se eostree ă : 6 5 7 0 9... 070 9 45 Soluţie : 0
Vo folosi ieglitte eiilor :. Dei o e : 7 4 7 4 7 5 5 5 6 9 46 45 9 46 45 9 070... 9 070... 9 0 7 5 6 45 9 070... 9 0 5 6 4. Arătţi ă petru orie uere rele strit poitie,,, e Soluţie : Î ieglitte :, luă:,, şi oţie: su. 5. Arătţi ă petru orie uere rele,,>0 e 8 Soluţie: Cu ieglitte itre ei ritetiă şi ei geoetriă,
8. 6. Deostrţi ieglitte: 8... 5 00 0 00 00 0 0 404 Soluţie : Priul eru l ieglităţii se i srie:... 4 5 00 0 00 k k k, (ieglitte eiilor orie k, ei, tui : k k k( k k k( k ( k k( k ( k ( k Petru k=, 4 6 Petru k=, 5 0... Petru k=00, 00 0 00 00 0 0 0 Auâ tote este ieglităţi oţie :... 4 5 00 0 00 6 0 0 Auâ î ii eri i ieglităţii, oţie : 0 0... 4 5 00 0 00 0 0 0 404 0 0 (00 (00 00 00 00(00 00 0 Dei : 00 0.... 4 5 00 0 00 0 404 7. Arătţi ă petru orie uere rele,,>0 e: Soluţie: 4 Pri îulţire prteelor, oţie
4 Altfel, i ieglitte itre ei roiă şi e ritetiă. Reultă ieit ă 4. 8. Dă,,, R şi +++=005 rătţi ă : 00 ( ( ( (. Soluţie : +++=005 ++=005- ++=005- ++=005- ++=005- Ae e rătt ă: 00 (005 (005 (005 005 (. Folosi ieglitte eiilor oţie: 005 005 (005 005 005 (005 005 005 (005 005 005 (005 Dei: 00 ( ( ( (
0. Apliţii le ieglităţii eiilor î eostrre uor ieglităţi geoetrie. Se osieră triughiul ABC u AC = şi AB =. Să se rte ă Soluţie : S ABC. A si A ( S ABC ( Di g ( 8 B C Di ( şi ( S ABC.. Fie,, ăsurile lturilor uui triughi ABC. Să se eterie tur triughiului ABC, ă re lo relţi: Dă re lore osttă, ir epresi ( p ( p re lore iă, să se eostree ă triughiul este isosel. (S- ott p - seiperietrul triughiului. Soluţie: ( ( ( 0, ei triughiul este ehilterl. ( p ( p epresi re lore 4 iă ă şi ui ă, triughiul este isosel.. Să se eostree ă itre tote reptughiurile u elşi perietru, pătrtul re ri iă, Să se eostree ă itre tote reptughiurile u eeşi rie, pătrtul re perietrul ii, Să se eostree ă itre tote prlelipipeele reptughie u lugie igolei osttă, uul re ri totlă iă, Fie lugie ipoteuei uui triughi reptughi, ir S ri s. Să se eostree ă ă S, tui triughiul este isosel. 4
Soluţie: Fie, lugiile lturilor reptughiului şi S ri s. Ae ostt. S. Se oţie S petru, reptughiul este pătrt. P 4 este pătrt. 4 S - ostt, perietrul este ii petru, reptughiul Fie,, lugiile uhiilor prlelipipeului. Ae A t (. Oţie A t =ostt. prlelipipeul este u. A t. petru,. Fie, lugiile tetelor triughiului. S 4S ( 0,, triughiul este isosel. 5
. Apliţii le ieglităţii eiilor î eterire iului su iiului uei epresii lgerie. Nuerele, 0 stisf relţi 4 Să se eterie iiul şi iul epresiei, ă este eistă. Soluţie: Di h, u eglitte petru Reultă ă eistă ii, şi ue i, r u eistă i eoree su pote fi oriât e re, petru su forte i.. Aflţi lore iiă epresiei: 9 0 E(=, R Soluţie: ( 6 6 E(= 6 6 6 Di g ( 8 Dei E( 8 i E(=8. 6
7. Apliţii le ieglităţii eiilor î fiiă. Două oile prurg elşi ru, priul u iteă osttă, el e-l oile prurgâ porţiui egle u iteele,, ăror eie ritetiă este. Cre oil prurge ruul i repee? Soluţie: Notă istţ u D=, ir tipii e prurgere u t (petru priul oil şi t (petru l oile oil, 4 D t, t Apliă ieglitte h petru şi şi oţie: 4 4 t t Î oluie, oilul re erge u iteă osttă juge l estiţie î el i surt tip.
BIBLIORAFIE SELECTIVĂ []. M. Beheu, B. Eesu Ieglităţi eleetre şi i puţi eleetre, Eitur il. []. Buşeg D., Leote A., Vliiresu, I. Culegere e prolee petru itere î îăţăâtul superior şi perfeţiore profesorilor e tetiă i îăţăâtul preuiersitr, Eitur Siteh, Crio, 99. []. Cristesu h. Dăeţ, R - Mtetiă - ritetiă şi lgeră; ul opţiol petru lsele V-VIII. [4]. Prolee e tetiă truse i reist KVANT Buureşti, 98 ; [5]. Coleţi et Mtetiă - 97-005. 8