CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA
|
|
- Ῥούθ Φωτόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA î ul uiversitr 9
2
3 PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii lor curete, cât şi bsolveţilor cre doresc să se pregătescă temeiic î vedere emeului de bcluret şi cocursului de dmitere î uiversităţi de prestigiu î cre dmitere se fce pe bz uor probe l discipliele de mtemtică. Coţiutul culegerii este dptt oului curriculum de mtemtică cre pri setul de competeţe, vlori şi titudii pe cre le promoveză sigură premisele petru o itegrre profesiolă optimă pri trsee idividule de îvăţre şi formre. Avâd î vedere diversitte dtortă eisteţei uui mre umăr de mule ltertive, m căutt să uificăm diferitele miere de prezetre pri legere uor probleme pe cre le cosiderăm idispesbile petru bordre cu succes cursurilor de mtemtică di ciclul îtâi de l tote fcultăţile Uiversităţii Politehic di Timişor. L lcătuire problemelor s- vut î vedere o reprezetre corespuzătore tât părţii de clcul, cât şi spectelor de judectă, respectiv, de rţiomet mtemtic. Grdul de dificultte l problemelor efiid cel l uei olimpide de mtemtică, ceste vor pute fi bordte de orice elev su bsolvet cu o pregătire medie părţii teoretice şi cre posedă deprideri de clcul corespuzătore. Problemele sut prezette după modelul test, cu şse răspusuri fiecre, ditre cre uul sigur este corect. Coştieţi de fptul că dor urmărire rezolvării uor probleme u duce l formre depriderilor de clcul şi uui rţiomet mtemtic riguros, utorii u les vrit problemelor propuse fără rezolvări. De semee, petru u forţ î rezolvre obţiere uui rezultt diite cuoscut, u se fce precizre cre ditre cele şse răspusuri este devărt, cest rezultâd î urm uei rezolvări corecte. Totuşi, petru uele problemele cu u grd mi mre de dificultte, utorii u cosidert ecesr să de idicţii şi rezolvări itegrle. Ţiâd cot de fptul că prezet crte v fi folosită şi l îtocmire subiectelor petru cocursul de dmitere l Uiversitte Politehic di Timişor, ivităm bsolveţii de liceu să rezolve testele di cest volum, dăugâdu-şi stfel cuoştiţe oi l cele dej eistete şi implicâdu-se pri cest î demersul de evlure propriilor competeţe. Deprtmetul de Mtemtică l UPT
4 DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ PROGRAMA ANALITICĂ Elemete de lgebră Progresii ritmetice şi geometrice. Fucţii: fucţi prte îtregǎ, fucţi rdicl, fucţi de grdul l doile; Ecuţii irţiole. Sisteme de ecuţii eliire. Fucţi epoeţilǎ şi fucţi logritmicǎ. Ecuţii epoeţile şi ecuţii logritmice. Permutări, rjmete, combiări. Biomul lui Newto. Numere complee sub formǎ lgebricǎ şi sub formă trigoometrică. Mtrice. Determiţi. Sisteme de ecuţii liire. Legi de compoziţie. Grupuri. Iele şi corpuri. Iele de poliome cu coeficieţi îtr-u corp comuttiv. Elemete de geometrie şi trigoometrie Vectori î pl. Fucţii trigoometrice. Relţii ître fucţii trigoometrice. Ecuţii trigoometrice. Produsul sclr doi vectori. Aplicţii trigoometrice î geometri plă: teorem cosiusului, teorem siusurilor; rezolvre triughiurilor. Drept î pl. Ecuţii le dreptei. Codiţii de prlelism şi codiţii de perpediculritte două drepte. Clcule de distţe şi rii. Reprezetre grfică coicelor: cercul, elips, hiperbol, prbol. Elemete de liză mtemtică Limite de şiruri. Limite de fucţii. Cotiuitte. Derivbilitte. Aplicţii le derivtelor î studiul vriţiei fucţiilor. Primitiive. Itegrl defiită. Aplicţii le itegrlei defiite: ri uei suprfeţe ple, volumul uui corp de rotţie, clculul uor limite de şiruri.
5
6 Acestă culegere este recomdtă petru dmitere l următorele fcultăţi le Uiversităţii Politehic di Timişor: Fcultte de Arhitectură Fcultte de Automtică şi Clcultore Fcultte de Electroică şi Telecomuicţii
7
8 CUPRINS ELEMENTE DE ALGEBRĂ (simbol AL )...9 ELEMENTE DE GEOMETRIE PLANĂ ŞI TRIGONOMETRIE (simbol GT )...65 ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ (simbol AM )...7 PROBLEME MODEL CU REZOLVĂRI... BIBLIOGRAFIE.. 58
9 6
10 ELEMENTE DE ALGEBRĂ
11 Culegere de probleme ELEMENTE DE ALGEBRĂ (simbol AL) AL - Cre este cel de-l -le terme l şirului,,5,7,...? ) b) c) 5 d) e) 9 f) 7 AL - Să se găsescă primul terme şi rţi r i uei progresii ritmetice 6 7 ( ) dcă :. 8 7 ), r b), r c), r d) 5, r e), r f), r AL - Să se determie sum primilor de termei i uei progresii ritmetice ( ), dcă, 5. ) b) 795 c) 55 d) 65 e) 5 f) 5 AL - Petru o progresie ritmetică sum primilor termei i ei este S 5 6. Să se determie primul terme şi rţi r. ), r 9 b), r c), r d), r e), r f) 9, r 9 AL - 5 Să se determie rţi şi primul terme le uei progresii ritmetice petru cre 5 8, ir S S, ude S este sum primilor termei i progresiei. ) 6, r b), r c), r 5 d), r 5 e) 8, r f), r
12 Elemete de lgebră AL - 6 Să se determie R stfel îcât următorele umere: 5,, să fie î progresie ritmetică, ude [ α ] reprezită prte îtregă lui α R. ) d), ; b), ; c), ;, ; e), ; f) φ AL - 7 Să se determie R stfel îcât următorele umere să fie î progresie ritmetică:,, 5, ude N. ) {,, } ; b) 5 c) d) { 5, 6, 7,8} e) f) φ AL - 8 Să se determie R stfel îcât următorul triplet să fie formt di umere î progresie geometrică,, 5 ), d) { } e) b), c) φ f), AL 9 Fie ( ) u şir vâd sum primilor termei S b, ude b, R, petru orice. Să se determie şi b stfel îcât şirul ( ) să fie progresie ritmetică cu primul terme egl cu. ), b R, b, c), b d), b e), b f), b b) ( )
13 Culegere de probleme AL Fie p, q N, p q. Să se determie rţi uei progresii ritmetice î cre primul terme este, ir rportul ître sum primilor p termei şi sum primilor q p termei este. q ) b) c) 6 d) 5 e) f) AL Fie,,..., \ { } Î fucţie de termeii uei progresii ritmetice cu rţi r. R, şi r să se clculeze sum: S.... ) ( ) b) r c) [ ( ) r] d) ( r) e) ( r) f) ( )r AL Să se determie umărul termeilor uei progresii ritmetice descrescătore dcă simult sut îdepliite codiţiile : (i) Rţi stisfce ecuţi 9 7 (ii) Primul terme stisfce ecuţi : lg ( y ) lg( 5 7) lg lg y (iii) Sum progresiei este cu 9 mi mică decât epoetul p l biomului p b b î cărui dezvoltre termeul l ptrule coţie pe b l putere îtâi. ) 5 b) c) 6 d) e) f) 8
14 Elemete de lgebră AL - Să se determie primul terme şi rţi q petru progresi geometrică ( ) dcă : ), q b), q c) 6, q 6 d) su e), q f) su q q q q AL - Sum trei umere î progresie ritmetică este eglă cu. Dcă se dugă cestor, respectiv umerele,,, progresi devie geometrică. Să se fle ceste umere. ) 5,,7 şi 5,, b),,7 şi 7,,-9 c) 6,8, d),,5 şi 7,5, e) 5,9, şi 8,, f),,6 şi,,9 AL 5 Trei umere sut î progresie geometrică. Dcă se măreşte l doile cu, progresi devie ritmetică, ir dcă se măreşte poi şi l treile cu 576, progresi devie di ou geometrică. Cre sut cele trei umere? ),, su,-7,9 ; b),, su -7,,9 ; c),, su,9,-7 ; d),,6 su 6,, ; e) 8,, su -,-, ; f),, su 9,5,5 AL 6 Pot fi umerele 7,8,9 elemete le uei progresii geometrice? ) D î progresie geometrică î ordie 7,8,9 cu o rţie q< b) D î progresie geometrică î ordie 9,8,7 cu o rţie q< c) D î progresie geometrică î ordie 7,9,8 cu o rţie q< d) D î progresie geometrică î ordie 8,9,7 cu o rţie q< e) Nu, cu umerele dte u se pote form o progresie geometrică f) D î progresie geometrică î ordie 7,9,8 cu o rţie q>
15 Culegere de probleme AL 7 Să se clculeze k k. k ) 9899; b) 98; c) 98; d) 985; e) 987; f) 989 AL 8 Să se clculeze sum S {. cifre ) [ 9] b) [ 9] 8 8 d) [ 9] e) [ 9] 9 9 c) [ 9] 8 f) [ 9] 9 AL 9 Fie N, şi,,, primii termei i uei progresii geometrice cu k >, k,. Dcă S k, S şi p, tuci : k k k ) S p S b) S p S c) p S S S d) p S e) f) S S p SS p S S
16 Elemete de lgebră 5 AL Fie ( ) şi ( b ) două progresii stfel îcât prim să fie ritmetică şi ce de dou geometrică, ir b şi b. Să se determie ceste progresii dcă b 6. ) 9, 9 b) 9 6 b su b b su b c) 9 d) - 9 b su b (-) - b su b (-) e) 9 9 f) 9 9 b (-) su b (-) b (-) su b AL Fie,,..., u şir de umere rele î progresie geometrică şi p N *. Să se clculeze sum S p p p p... p p. ) p q S b) p p ( q ) q p S p p ( q ) c) S p ( ) p ( q q p ) q p p ( ) ( q q ) d) p p ( q ) S e) p ( ) S p p ( q ) f) p ( ) p q ( q ) q p S p AL Să se clculeze epresi E......, R \ { }. ) b) c) d) e) f)
17 6 Culegere de probleme AL Să se decidă dcă este progresie geometrică u şir petru cre sum primilor săi termei este S ; î cz firmtiv precizţi rţi q cestei. ) q b) q c) q d) q e) Şirul u este progresie geometrică f) q 6 AL Să se determie umerele rele,y,z dcă,y,z sut î progresie ritmetică cu rţi eulă,,z,y sut î progresie geometrică şi yz 8. ) -, 6, b), 6, - c) 6,, d) -,, 8 e), -6, 6 f) 6, -8, AL 5 Să se determie umerele rele cu propriette 5, şi să se precizeze itervlul î cre se flă soluţi. ), 5 b), 5 5 c), 5 5 d), 5 5 e) 5, f) [, ) AL - 6 Să se determie umărul turl 6 N k k, ude [ ] oteză prte îtregă umărului rţiol scris î iterior. ) 7 b) 8 c) 57 d) 9 e) 97 f) 78
18 Elemete de lgebră 7 AL - 7 Dcă [α] reprezită prte îtregă lui α R, să se rezolve ecuţi : precizâdu-se î cre di următorele itervle se flă soluţi ) (,7) (9,5) b) (-5,-) (, ] [5,7) c) (-,) [, ) (6,) d), (,) [5,7) e) (-,] [,) (5,8) f) [,] [,7] (9, ) AL - 8 Să se rezolve ecuţi [ ] [ ] 5 ) [, ) b) (, ) c) (,) d) (,] e) f) [,) AL - 9 Mulţime soluţiilor ecuţiei: 8, ude [] reprezită prte 5 îtregă lui, este ), b) 5 7, c), 5 5, 7 d), e), 5, f), 5 AL - Notâd cu S mulţime soluţiilor ecuţiei [] să se precizeze cre di următorele mulţimi este S ), Z b) U k, k k Z k c) { ; d) {-,} e) [-,] f) (-,) Z \ {,}}
19 8 Culegere de probleme AL Se cosideră fucţi f: R R, f ( ) şi se oteză f f ο f,, f f - ο f. Să se determie epresi lui f ) f () f() ; b) f () f(); c) f () f() - d) f () f(); e) f () f(); f) f () f() AL - Fie ecuţi. Stbiliţi cre ditre firmţiile de mi jos este devărtă ) ecuţi re două soluţii b) ecuţi re trei soluţii c) ecuţi re o sigură soluţie d) ecuţi re o ifiitte de soluţii e) ecuţi u re ici o soluţie f) ecuţi re umi soluţii egtive m AL - Se dă ecuţi, m Z \ {}, ude [ ] este prte 5 îtregă umărului rel. Să se determie m Z petru cre ecuţi re soluţii şi poi să se determie ceste soluţii: ) m ± b) m ± c) m ± 9 9 ; 7; 7; ; ; ; d) m ± e) m ± f) m ± ; 7; 7; ; 8; ;
20 Elemete de lgebră 9 AL - Să se clculeze f ((, ]) petru fucţi de grdul l doile defiită pri f ( ). ) [,] b) [,) c) (,] d) [,] e) (,) f) (,) AL - 5 Dcă fucţiile f,g :R R u proprietăţile: i) f(g()) -, ( ) R ; ii) g(f()) să se determie cel puţi o soluţie relă ecuţiei f() g() ) b) c) d) e) f) AL 6 Să se rezolve iecuţi. ( ) ) (, ) b) (, ), (,) c), [,] (, ) d) (, ) (, ) e) R \{, } f) (, ), (, ) AL - 7 Să se determie mulţime vlorilor lui m R, stfel îcât ), 5) { m } { R ( m ) } R I. ( b) { 7, } c) R d) { 9, 5} e) { 7, 8} f) { } AL - 8 Să se rezolve iecuţi <. ) R b) (,) (, ) c) (, ) d) (, ) (, ) e) (,) (, ) f) R \ {,}
21 Culegere de probleme AL - 9 Să se determie vlorile prmetrului rel m stfel îcât R : m m m >. { ( ) ( ) } 5 ) m (, ), b) m [, ) c) m (, ] 5 d) m, e) m 5, f) m, ( ] AL - Să se fle miimul epresiei E b b petru, b R. 9 7 ) b) c) d) e) f) 8 AL - Se cosideră fucţi f : R R, f ( ) m m, m R. Să se eprime î fucţie de m >, epresi E f ( m) f ( m), ude, sut rădăciile ecuţiei f ( ). ) m b) m c) m ( m ) d) ( m ) e) m ( m ) f) m AL - Să se determie m R, stfel c rădăciile şi le ecuţiei m m să stisfcă relţi 5. ( ) ) m, m b) m, m c) m, ± 7 d) m, ± 5 e) m, ± 5 f) m, m AL - Fie ecuţi m m m, ude m R. Cre este mulţime vlorilor pe cre le pot lu rădăciile rele, câd m vriză? ) [, ] b) [, ] c) [, ] d) [, ] e) [, ] f) [, ]
22 Elemete de lgebră AL - Fie ecuţi -(m)m m, m R. Dcă ecuţi re rădăciile rele (m), (m), precizţi vlore mimă epresiei E m) ( ). ( m ) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f). AL - 5 Fiid dtă ecuţi bc, ( ), să se eprime î fucţie de, b şi c sum S, ude, sut rădăciile ecuţiei dte. b bc c bc b bc ) S b) S c) S b bc c bc b bc d) S e) S f) S AL - 6 Se cosideră ecuţiile 7 şi m. Să se fle m petru c ecuţiile să ibă o rădăciă comuă. ) m {,}, b) m {,} c) m {,} d) m {,} e) m {,} f) m {,} AL - 7 Să se determie prmetrii reli m şi stfel c ecuţiile ( 5m 5) ( m) şi ( ) 5 să ibă celeşi rădăcii. ) m -, 7; b) m - 7, c) m 9, 7 d) m, 7 e) m 7, f) m 9, -7
23 Culegere de probleme AL - 8 Fie ecuţi ( m ) m m, m R, le cărei rădăcii sut şi. Să se determie o relţie idepedetă de m ître rădăciile ecuţiei. ) b) c) d) e) f) AL - 9 Se cosideră ecuţiile b c, ' b' c', ' cu rădăciile, şi respectiv ', '. Dcă ître coeficieţii celor două ecuţii eistă relţi c ' ' c bb', tuci cre di următorele relţii este verifictă de rădăciile celor două ecuţii? ) ' ( )( ' ') b) ' ' ' c) ' ' ' d) ' ' ' e) ' ' f) ' ' AL - 5 Să se rezolve ecuţi irţiolă. ), b), c), d), e), f), AL - 5 Determiţi tote vlorile lui 7 <. Z petru cre re loc ieglitte ) {,,,5,6,7,8 } b) {,,,,5,7,8 } c) {,,,5,6,7,8 } d) {,5,6,7,8} e) {,,5,6,7} f) {,,5,6,7,8}
24 Elemete de lgebră AL - 5 Fie fucţi f : R R, fucţi i ce mi mre vlore. f ( ). Să se determie petru cre ) b) c) d) e) f) AL - 5 Să se determie tote vlorile lui m R petru cre fucţi, (,) f : R R, f ( ) m m, [, ) este mootoă. ) m (,o) b) m c) m R d) m [, ) e) [,) m f) m φ AL - 5 Să se determie vlorile lui m R stfel îcât fucţi m, (,] f : R R, f ( ) m, (, ) să fie surjectivă. ) m b) m (,) c) m, d) m, e) m φ f) m AL - 55 Să se determie mulţime mimlă E stfel îcât fucţi f : E R R, f ( ) m{ 5, } să fie bijecţie. E b) E [,] c) E R d) E [ ] e) E (,] f) E [, ) ) R,
25 Culegere de probleme AL - 56 Fie fucţi de grdul l doile ( ) m ( m ) m ( m ) f m,. Să se determie m stfel îcât vârful prbolei socite cestei fucţii să se găsescă pe prim bisectore. ) m b) m c) m d) m e) m f) m 6 6 AL - 57 Determiţi vlorile prmetrului rel m stfel îcât drept de ecuţie y să tie prbol de ecuţie y m ( m 5) m î puctele (,) şi (,). ) m, m b) m, m c) m d) m e) m f) m AL - 58 Fie fmili de fucţii de grdul l doile ( ) ( m ) m m R f m, Să se rte că vârfurile prbolelor socite cestor fucţii se găsesc pe o prbolă cărei ecuţii se cere. ) y b) y c) y d) y e) y f) y AL - 59 Determiţi epresi litică fucţiei de grdul l doile ( ) c f vârfului. f : R R,, ştiid că grficul ei tie Oy î puctul şi re bscis ) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) e) f ( ) f) f ( )
26 Elemete de lgebră 5 AL - 6 Să se determie m R stfel îcât prbolele socite fucţiilor f şi g ( ) m m 6 să ibă celşi vârf. ( ) ) m - b) m c) m - d) m e) m f) m -5 AL - 6 Fiid dtă fmili de prbole ( ) m ( m ) m f m, * m R să se determie vlorile lui m petru cre obţiem prbole le căror pucte de itersecţie cu O sut simetrice fţă de origie. ) R { } m b) m c) m d) m e) {,, } m f) m AL - 6 Să se determie p, q R dcă fucţi : R R re mimul î puctul -. f, f ( ) p q ) p, q b) p, q c) p, q d) p q e) p q f) p, q AL - 6 Presupuem că petru ecuţi b c vem > şi rădăciile,. Să se clculeze î fucţie de şi. ) b) ( ) c) d) e) f) b
27 6 Culegere de probleme AL - 6 Dcă, sut rădăciile ecuţiei, tuci ecuţi cre re rădăciile şi este echivletă cu: ) y y ; b) y y c) y y d) y y e) y y f) y y AL - 65 Fie o fucţie ( y) f ( ) Ky y f : R R, stfel îcât f ( ) 5 şi, y R, f, ude K este o costtă. Să se determie vlore lui K şi fucţi f. ) K ; f ( ) b) K, f ( ) c) K ; f ( ) d) K ; f ( ) 6 e) ; f ( ) K f) K ; f ( 5) AL - 66 Fie R şi fucţi ( ) f : R R, f. Dcă rădăciile, le ecuţiei f ( ) stisfc relţi ( ) mulţime soluţiilor iecuţiei f ( ) < f ( ) este:, ) (-, ); b) (-, ); c) (-, ); d) (, ); e) (, ); f) (-, ). AL - 67 Cre sut vlorile k rele petru cre iecuţi k k 6< u re soluţii? ( ) ) k 5 (, ) b) k [ 5, ) c) k 5 [, ] d) k 8 [, ] e) k [, ] ( 7, ) f) k [, ) ( 5, )
28 Elemete de lgebră 7 AL - 68 Petru ce vlori le prmetrului rel m ieglităţile m < < 6 sut stisfăcute petru orice R? m 6 m 6, ) m R b) (, ) c) ( ) d) m (, ) e) m 66 (, ) f) m 6 [, ] AL - 69 Să se rezolve iecuţi ) [,) b), c) {,} d) R e) f) (, ) AL - 7 Să se determie mulţime vlorilor prmetrului rel m stfel îcât fucţi 6m 9 f : R R, f ( ) să u i ici o vlore mi mică decât su mi mre decât. ), b) ( ) d) [, ] e) ( ], c), f) (, ) AL - 7 Să se determie vlorile prmetrului rel m stfel îcât ( m ) m > petru orice R. m ) m {, } b) m, [, ) c) m (, ) (, ) d) m (, ) (, ) e) m (, ) f) m,,
29 8 Culegere de probleme AL - 7 Să se fle ce mi mică vlore fucţiei f : R ( ) R, f m m m, câd prmetrul rel m prcurge tote vlorile posibile. ) b) c) d) e) 8 f) AL - 7 Să se determie distţ celui mi propit vârf l prbolelor f ( ) m m, m R de O. ) b) c) d) e) f) AL - 7 Să se determie m R * stfel îcât m ( m) ( m ) petru orice >. > ) m, ( ) b) m (, ) c) m (, ] d) m (, ] e) m [, ) f) m (, ) \{} AL - 75 Petru ce vlori le lui m, mulţime R m m m, re u sigur elemet? { } [ ] A ( ) ( ) ) m R b) m ( ) d) m [ ], c) m,, e) m, f) m, AL - 76 Fie ecuţi ( m) ( m) m, ude şi m sut prmetri reli. Petru ce vlori le lui, ecuţi dmite rădăcii rele oricre r fi vlore prmetrului m? 5 ), b) R c) (, ) d) (,) e) [, ) f) (, )
30 Elemete de lgebră 9 AL - 77 Se cosideră ecuţi m m 7. Cărui di itervlele idicte mi jos trebuie să prţiă prmetrul rel m, stfel c ecuţi dtă să ibă o sigură rădăciă cuprisă î itervlul [, ]? ) (, ] b) (, ) c), d) 9, e), 7 5 f), 9 5 AL - 78 Să se determie vlorile prmetrului m R \{ } stfel îcât ecuţi m ( m ) să ibă mbele rădăcii î itervlul (, ]. 5 ) m, (, ) b) m ( ] { } e) m 5 d) m (, ) [, ) AL - 79 Să se determie Im f ( ) f ( ) 9 9 ), { }, \ c) m,, 5 5, f) m, (, ) f R petru fucţi f : R R, 9 b), c), d), U, e), U, f), AL - 8 Rezolvţi î R iecuţi >. ) (, ] b) (, ) c) (, ) d) (, ) (, ) e) [, ] f) (, ]
31 Culegere de probleme AL - 8 Să se rezolve î R ecuţi. ) (, ) b) R c) [, ) d) e) (, ] f) R \{, } AL - 8 Precizţi cre este mulţime soluţiilor sistemului y y 6. y y 8 { } ) ( 8, ) ; ( 8, ) ; ( 7, 5) ; ( 75, ) b) ( 8) ( 8) 5 5 c) ( 8, );(, 8) ;, ;, d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) , ;, ;, ;, 5, ;, ; 7 7 5, ;, , ;, ;, ; 7, 7 5 7, ;, ;, ;, 5 f) ( ) ( ) AL - 8 Să se rezolve sistemul y y ) {(,), (, )} b) {(,), (,) } c) {(,)(,,) } d) {(, ), (, ) } e) {(,) } f) {(,)} AL - 8 Să se determie soluţiile rele le sistemului y y y y 5 ) {(,), (, )}, b) {(,) } c) {(,)} d) {(,), (,) } e) {(,), (, )} f) {(,)(,, )}
32 Elemete de lgebră AL - 85 Î cre di următorele mulţimi se flă soluţiile sistemului y y 9 y y ) [, ], y { 7,8} [ 5, ], y (, ) b) (, ], y [ 7,9] { 7,8,9 ], y [,] c) (, ),y (, 7) { 5, 7},y (, ) d) (, ), y (,] {,5,7}, y {,, } e) [ 7, ], y [,5) (,6), y (,6) f) (,5 ), y ( 7,9) ( 7,9), y (,5) AL - 86 Fie {( k, y k) k,,..., } mulţime soluţiilor rele le sistemului y y 8 y y 6. Să se clculeze k. k ) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f)
33 Culegere de probleme AL - 87 Să se determie soluţiile sistemului (,5 );, 5 ), ;, 5 5 ( ) y 5 (,5 ); (, 5) b), ;, 5 5 c) ; y 5 este sigur soluţie d) y 5 este sigur soluţie e) este sigur soluţie f) 5 y 5 y z AL - 88 Fie ( S ):, m R. Fie y z m ~ ~ ~ A { m R ( S ) dmite o soluţie relă uică, ottă cu m, ym, zm }, ~ ~ ~ S m şi S m ym zm. Atuci m A m A ) S ; S b) S ; S 5 c) S ; S d) S ; S e) S 5; S f) S 5; S 5
34 Elemete de lgebră AL - 89 Î cre di următorele mulţimi se flă soluţiile rele le sistemului 6 y 98? y y 9 ) ( ) y { }, ;,, b) (, ) ; y (, ) c) (, ) (, ) ; y [, ] e) y ( ) d) (, 7) ; y ( 7, ), ;, f) y, ;, AL 9 Să se determie tote tripletele de umere rele (, y, z) cre verifică sistemul eliir y, y z, z 6y ) (,,) ; (,,) ; (,,8); b) (,,); (,,8); (,,8) c) (,,) ; (,,8) ; (,,8) ; d) (,,) ; (,,8) ; (,,8) e) (,,) ; (,,8) ; (,,8) ; f) (,,) ; (,,); (,,); (,,) AL 9 Să se determie codiţiile pe cre trebuie să le verifice prmetri reli,b stfel îcât sistemul y y b ( y) ( y) să ibă tote soluţiile rele ),b R b),b R c),b R b b, b b, b d),b R e),b R f),b R b
35 Culegere de probleme y z 6 AL 9 Fiid dt sistemul y z y z 6 să se precizeze umărul soluţiilor rele şi itervlele î cre se flă ceste soluţii ) b) 6 (,y,z) [,5] [,5] [,5] (,y,z) [,] [,] [,] c) d) 6 (,y,z) [,7] [,7] [,7] (,y,z) [,9] [,9] [,9] e) f) (,y,z) [,] [,] [,] (,y,z) [,] [,] [,] AL 9 Să se determie î cre di itervlele de mi jos se flă soluţiile sistemului y yz z y z y z y z 6 ),, y,, z, b),, y,, z, c),, y,, z, d) (, ), y (,), z (,) f),, y,, z (, ) e) (,), y,, z (,) AL - 9 Să se determie vlorile prmetrului rel stfel îcât sistemul y z să ibă o soluţie uică relă. y z ) ( ), b) 5 5, c) {, } d) (, ) e) {, } f) (, )
36 Elemete de lgebră 5 AL - 95 Să se determie m R stfel îcât y y m> petru orice y, R. ) 7 m c) < m b) (,) m d) m (,5) e) m ( 8, ) f) m [,5) AL - 96 Fie f : R R, f ( ) ( m ) ( m ) m. Să se fle î cre di următorele itervle se găseşte m stfel îcât vlore miimă fucţiei f să fie 9. ) m (,) b) (,) m c), m d) m (,7) e) m [ 7,9] f) m ( 8, ) AL - 97 Să se determie prmetrul R stfel îcât rădăciile cestei să verifice ieglităţile ) m ( 6, ) b) m [ 6] m di ecuţi ( m ) 5 m, <, >., c) m R d) m (, ) e) m (,) f) m { } ( 5, ) AL - 98 Să se determie prmetrul m Z \{ }, stfel c rădăciile şi le ecuţiei ( m ) 5 m să stisfcă codiţiile: (,), (,5). ) m b) m c) m d) m 5 e) m f) m AL - 99 Să se fle mulţime vlorilor fucţiei f defiită pri formul ), ) ( b) (, ) c) [, ] f ( ). d)[, ) e) (, ) f) { }
37 6 Culegere de probleme AL - Fie f : R, f ( ) m R. Să se determie m, R stfel îcât f ( R ) [ 5, ]. 5 7 ) m ± { } ;, b) m ± { } ; { } c) m ± { } ; ± { } d) m [ ], ; e) m [ 5] [ ], ;, f) m { } ± ; AL - Fie fucţi f : R R, f ( ) { ( ) [, ] } A R f R.. Să se determie mulţime ) A ; b) A {,} ; c) [,] d) A {, } e) A [, ] ; f) A [, ] A ; AL - Fie ecuţi m( ). Să se determie vlorile prmetrului rel m stfel îcât cestă ecuţie să ibă trei rădăcii rele diferite. ) m R b) m (, ) c) m d) m, ( ] e) m R \{, } f) m R \{} AL - Fie f I f ( ) ( ) m ( ) m : R R,, m R \ {}. Să se determie m stfel îcât I să fie u itervl mărgiit de lugime miimă. ) m b) m c) m d) m e) m f) m
38 Elemete de lgebră 7 AL - Numerele bc,, R stisfc eglitte b c. Să se determie vlore miimă pe cre o pote lu epresi b c. ) b) c) d) e) AL - 5 Să se rezolve iecuţi 5 <. f) 7 ), b) 5, c) 5 5, d) 5 9, e) 7 5 5, 9 f) 7 9, AL - 6 Să se determie R petru cre. ), ( ) b) c) d) ± e) f) AL - 7 Fie iecuţi >. Cre di itervlele de mi jos reprezită mulţime soluţiilor iecuţiei? 7 b), ) (,) c) (,] d) (, ) e)[,5) f) 7, AL - 8 Să se determie mulţime A R 5 6. ) (, ] b)[, ) c)[, ) d) (,] { } e)[ ) { }, f)[, ) AL - 9 Să se rezolve î R ecuţi. ) ± b) ± c) ± d) ± e) ± f) ±
39 8 Culegere de probleme AL - Să se determie domeiul mim de defiiţie D, l fucţiei f : D ) D {} petru k D [ ) R R, ude ( ) f, N. b) D ( ], petru k, petru k D R petru k c) D [, ) petru k d) D { } D {, } petru k D { } petru k e) D [, ) petru k f) D [ ) D [, ) petru k D { }, petru k, petru k petru k AL - Se cosideră ecuţi:. Î cre di mulţimile idicte mi jos, ecuţi re o sigură rădăciă relă? ) ( ), b), c)( ) 5 8, d) (, ) [, ) e) ( ), f), AL - Precizţi cre este mulţime soluţiilor iecuţiei 5 5. ) A d) A 9 9, b) A, c) A, 9 9, e) A [ ], f) A 9, AL - Să se fle petru ce vlori le prmetrului m R, ecuţi 8 m 8m re soluţii rele. ) R m b) m (,) c) m [, ]\ {} d) m, e) m, f) m,
40 Elemete de lgebră 9 AL - Precizţi mulţime A cărei îi prţi vlorile rele le lui petru cre re 5. loc eglitte 8 ( ) )A (, ) b)a (, ) c)a [, ) d)a (, ) e)a ( 7, ) f)a [, ) AL - 5 Să se clculeze vlore epresiei b b b b b b b E b b b b b petru şi b. ) E b) E c) E d) E e) E f) E AL - 6 Să se precizeze vlore umărului rel E ) E 6 b) E c) E d) E e) 5 E f) E AL - 7 Să se determie vlore epresiei E ) b) c) d) e) 5 f) AL - 8 Să se determie vlore epresiei ) 6 7 b) E ( 9 9 ) ( ), Z c) d) e) f)
41 Culegere de probleme AL - 9 Să se simplifice frcţi: F y z ( y) ( y z) ( z) yz ) F y z b) F y z c) F y z d) F y z e) y z F f) F y z AL - Cre este mulţime vlorilor rele le lui petru cre vem ( ) ( ) ( )? ) {, } b) {, } c) [, ] d) [, ] e) [, ] f) [, ] AL - Petru ± y să se determie vlore epresiei ( y )( y ) ( y y ) E 5 5 y y y ) b) y c) y d) e) y f) y AL - Să se rezolve ecuţi, cu R, >, dt, î mulţime umerelor rele. ) {, } b) [, ] \{ } c) [, ) \{} d) { }, ( ] e) (, ) f) { } [, )
42 Elemete de lgebră AL - Fie ecuţi ( ) m m, m R. Să se determie m stfel îcât 9. ) m {, } b) m { 58, } c) m { 6, } d) m 8 {, } e) m {, 9} f) m { 9, } 5. AL - Să se rezolve ecuţi ( ) ( ) 5 ) ± 5 5 d) ± 5 b) ± 5 e) ± 5 c) ± 5 f) ± 5 AL - 5 Fie f ( ) m, g ( ) m şi ( ) Să se determie prmetrul m R stfel c tote rădăciile ecuţiei: să fie rele. ( ) ( ) ( ) f g f h m. ) m R ; b) m (, ] U [, ) ; c) m (, ] U [, ) d) m (, ] U [, ) e) m (, ] [, ) U ; f) m AL - 6 Să se determie tote soluţiile rele le ecuţiei 86. ) { 5,, } b) [ 5, ] c) { 5,} d) [ 5, ] e) ( 5, ) f) ( 5, ) AL - 7 Să se determie umărul rădăciilor rele le ecuţiei. ) o rădăciă relă b) două rădăcii rele c) trei rădăcii rele d) ici o rădăciă relă e) ptru rădăcii rele f) şse rădăcii rele
43 Culegere de probleme AL - 8 Să se determie tote soluţiile rele le ecuţiei.,, c) ) { } d) {}, b) { } R \ e) (, ] { } f) {,,} AL - 9 Să se clculeze vlore epresiei E, petru [, ]. ) E b) E c) E d) E e) E 6 f) E ( ) AL - Să se determie vlorile lui m R petru cre ecuţi m m re soluţii î R şi să se determie ceste soluţii. ) m ; [ 5,7] b) m [ ) d) m ; [, ) e) { } AL - Fiid dte fucţiile, g : [, ] [, ], ;, c) 7 m ; 8, m, ;, f) m ; { 6, } f defiite pri, [,] f ( ) şi g ( ), (,] să se determie fucţi h go f.,, ) h f b) h g c) d) h g e) fg [,] (,] h h f) h ( ) f,, [,] (,]
44 Elemete de lgebră AL - Fie f, g : R, f ( ) 5, şi dcă < g ( ) Atuci ( f o g)( ) este :, (, ] 7, ) ( )( ) (,] f o g b) ( f o g)( ), (,5] 9 ( 5, ) R dcă, (, ] c) ( f o g)( ), (,] d) ( f o g)( ) 9, (,8), (, ] e) ( f o g)( ) f) ( f o g)( ) 9, (, ), 7,,,, 7,,, 9, dcă dcă > (,] (,5] ( 5, ) (,5] ( 5, ) (,5] ( 5, ) ( ), AL - Fie f : R R ; f ( ) [, ) Să se determie ivers cestei fucţii. (,) ) f ( ) R b) f ( ), c) f ( ) ; R e) ( ) ( ) [ ) d) f ( ), f (,) [ ), f) fucţi u este iversbilă ( ) (,] (, )
45 Culegere de probleme AL - Să se precizeze cre di răspusurile de mi jos este corect petru fucţi R R : f, ( ) > 6, 6, f ) f u este iversbilă; b) f este iversbilă şi ( ) > 8, 8, y y y y y f c) f este iversbilă şi ( ) y y f d) f este iversbilă şi ( ) y y f e) f este iversbilă şi ( ) y y f f) f este iversbilă şi ( ) > 8, 8, y y y y y f AL - 5 Determiţi vlorile lui R petru cre fucţi R R : f, ( ) ( ) f este iversbilă şi determiţi ivers ei. ) ( ) > ; f b) ( ) > < ; ; ; ; f c) ( ) > < < ; ; ; ; f d) ( ) < > < ; ; ; ; f e) ( ) > < > ; ; ; ; f f) ( ) > < ; ; ; ; f
46 Elemete de lgebră 5,b, stfel îcât petru f să eiste f. AL - 6 Să se legă u itervl miml [ ) f : [, b) [ f ( ), ), ( ) Să se precizeze dcă f este strict crescătore su descrescătore. ) [, ) ; f strict descrescătore; b), ; f strict crescătore c), ; f strict descrescătore d) [, ) ; f strict crescătore e), ; f strict descrescătore f), ; f strict crescătore m, AL - 7 Să se determie m R stfel îcât fucţi f ( ) m, > să fie strict descrescătore pe R. ) m φ b) R m c) m (,) d) m [,] e) m (, ) f) m [, ) AL - 8 Petru ce vlori le lui m R, grficul fucţiei f : R R, f me m e, tie O? ( ) ( ) ) ( ), b), c) (, ) (, ) d) ( 5, ) e) (, ) f) R AL - 9 Să se rezolve ecuţi:. ) b) c) lg lg d) e) lg lg ( ) f) lg ( )
47 6 Culegere de probleme AL - Să se rezolve ecuţi: ( ) ( ). l( ± ), c), l( ) ), b) l( ) d), l( ± 5) l e) 5 l, l ( ) AL - Determiţi vlore lui petru cre e e 5 l l( ) f), l ) b) c) d) e) f) l AL - Î cre di următorele mulţimi se flă soluţi ecuţiei ) (,e ) e b) (, ) c) (,7] d) (, ] e) (,) f) ( 9,) AL - Să se rezolve ecuţi 6 9 ) este b) c) uic soluţie log log d) e) f) log log log
48 Elemete de lgebră 7 AL - Determiţi fucţi y y ecuţiei e e. ) f ( ) l f : R R, stfel îcât y f ( ) să fie soluţie b) f ( ) l( ) c) f ( ) l( ) d) f ( ) l e) f ( ) l f) f ( ) l AL - 5 Determiţi mulţime A cărei îi prţie soluţi ecuţiei 8 6 ) A (,8) b), 6 A c) A (, 9) d) [,) A e), A f) A (,) AL - 6 Să se determie vlorile lui cu codiţiile > m şi m R petru cre ecuţi ( )( m ) ( m) ( m ) m > re trei rădăcii rele şi disticte. ) m φ b) m R c) m R \, d) m, \ e) m, f) m,
49 8 Culegere de probleme AL - 7 Să se rezolve iecuţi: >., b)[ ) ) ( ), c) (, ) d) (, ) e) (, ) f) (, ) AL - 8 Să se determie m R stfel îcât ieglitte m > 9 să fie devărtă petru orice <. ) φ m b) m (, ) c) m [ ], d) m [, ) e) m < f) m AL - 9 Cre este soluţi sistemului de iecuţii: 9 [ ] ) log,log ( 7) b) log ( ),log 7? c) (, ) d) (, ) e) ( ) 7 log,log f)[,log 5] AL - 5 Să se rezolve iecuţi: >. 5 5 ),log b),log c) (,) d) (,log ( 5 ) ) e) (,log ( 5 ) ) f) (, )
50 Elemete de lgebră 9 AL - 5 Să se rezolve iecuţi: ( ) <. ), b) (, ) (, ) c) (, ) d) (, ) e) (, ) ( 6, ) f) (, ) ( 5, ) AL - 5 Să se rezolve ecuţi: log log ( 5) ( 8). ), b), c) d) e), f) 9 AL - 5 Cre este soluţi ecuţiei: log log? ) φ b) c) d) [ 9, ) e) (,9) f), 9 AL - 5 Să se precizeze domeiul mim de defiiţie l fucţiei: f ( ) log.,, ) ( ) b) (, ) [, ) c)[, ) d) (, ) e) (,] (, ) f) (, ] [, )
51 5 Culegere de probleme AL - 55 Să se determie domeiul mim de defiiţie l fucţiei: ( ) f ( ) l., ),, ( ) b),, (,) d d),,, c) (,), (, ) e) R \, f) R \{, } AL -56 Să se determie domeiul mim de defiiţie l fucţiei ( ) f log log. ) (, ) b) (, ) c), (, ) d),, e) (, ) (, ) f) (, ),, trei umere di itervlul (,) su di itervlul ( ) AL - 57 Fie Precizţi cre este vlore miimă epresiei E log log log.,. ) b) c) d) 6 e) f) 6
52 Elemete de lgebră 5 AL - 58 Ştiid că log, să se fle log 6 5 î fucţie de. ) b) c) d) e) f) AL - 59 Dcă log şi b log 5, să se clculeze log 6 î fucţie de şi b. ) ( b ) b) ( b ) c) ( b ) d) b e) ( b ) f) ( b ) AL - 6 Mulţime soluţiilor ecuţiei 5 log log este: ) φ ; b), ; c) { }, ; d), ; e){,5 } f), 5 AL - 6 Să se rezolve ecuţi: log ( ) log ( ). ) b) c) d) e) f) 8 log 6 6 AL - 6 Să se rezolve ecuţi: 5 6, >,. log ) log, log b) 6, 6 c) 6 log log log d) log, log e) 6 log f) log, log 6 6
53 5 Culegere de probleme log9 6 AL - 6 Să se rezolve ecuţi: log log ( ) log. ) b) c) 6 d) 6 e) f) AL - 6 Să se determie m R stfel îcât ecuţi sigură soluţie relă. m lg să ibă o lg ( ) ) m φ b) m < c) m d) m lg e) m lg f) m lg 6 AL - 65 Să se determie vlore prmetrului îtreg m stfel îcât ecuţi log m log m 7log m 6 să ibă o rădăciă dublă. ) m b) m c) m d) m e) m 9 f) m 9 AL - 66 Rezolvâd ecuţi: ( ) [ ] log ( log ) log log log log 9 să se stbilescă î cre di următorele itervle se flă soluţi cestei. ) (, ] b)[,] c) [,) d)[,5) e)[,8], 5 f) ( 8, ) AL - 67 Să se determie vlorile lui m > petru cre fucţi f ( ) logm log m log m este defiită pe R. ) m b) m, 5 c) m, d) m, e) m f) m φ
54 Elemete de lgebră 5 AL - 68 Fiid dtă epresi: )[, ) ( log log ) log ( log log ) E log, să se determie tote vlorile lui b)[,] { } R petru cre E. c), d), \ {} e)[,]\ f) (,) (, ) AL - 69 Să se rezolve ecuţi lg lg. ) b) c) d) e) f) AL - 7 Fie :, [, ) f, ( ) log ( ), > f Să se rezolve iecuţi f ( ) 5, ude f este ivers fucţiei f. ) [,] b) [,log ] c) [,log ] d) [,] e) [,log ] f) [ 5,8] AL - 7 Fiid dte fucţiile ( ] ( ),, f : R R, f ( ),,
55 5 Culegere de probleme şi g : R, g( ) (, ) [, ] (, ) e, R rcsi,, să se determie l, soluţi di itervlul (,] ecuţiei ( f )( ) g o. ) b) c) d) e) şi f) Nu eistă. AL - 7 Se cosideră iecuţi: log log log, >, şi se oteză cu M mulţime tuturor soluţiilor sle. Cre ditre următorele firmţii este devărtă? ) M, b) M, c) M, d), M e) ( 5, ) f) M (, ) M AL - 7 Să se rezolve iecuţi: log <. ) ( ), b), c),, d),, e) (, ) f) (, )
56 Elemete de lgebră 55 AL - 7 Fie P ( ) y y 8 y> ( ) tote vlorile lui y stfel îcât P ( ) >, oricre r fi log log,,,. Să se determie R. ) y (, 8 ) b) y ( 8 8, ) c) y [, ] d) y ( ), e) y (, ) f) y [, ] AL - 75 Să se determie m R stfel îcât sistemul să dmită soluţii rele. lg lg y y m log y log log log y lg lg y ) m [,] b) m (99,) c) m [8,) d) m (,) e) m (, ) f) m φ AL - 76 Se cosideră fucţi f : R (, ), Clculţi ivers s, f. e, f ( ), <. ) c) e) l( ), (,) f ( ), [, ) b) l, (,) f ( ), [, ) d) l( ), (,) f ( ) f), [, ) f f f l( ), (,) ( ), [, ) l( ), (,) ( ), [, ) l, (,) ( ), [, )
57 56 Culegere de probleme AL - 77 Să se rezolve iecuţi: log log > log. ) ( ),, b) (, ) c), (, ) d) (, ) e), (, ) f) (, ) AL - 78 Se cosideră epresi ( ) lui R stfel îcât E< ( ) 5. E log log. Determiţi vlorile ) (, ) b) (, ) ( 6, ) c) [,] [ 6,] d) ( 6, ) e) (, ) (, ) f) (, ) (, ) AL - 79 Ştiid că (, ) să se determie mulţime: { R log } log. ), [, ) b), (, ) d),,, c) ( ] e), [, ) f), [, ) AL - 8 Îtr-o progresie ritmetică termeul l ouăle şi l usprezecele sut dţi, respectiv, de ce mi mre şi ce mi mică rădăciă ecuţiei : lg lg 5 [ lg( 5) ]. Se cere sum primilor termei i progresiei. ) 5 b) 8 c) d) e) f)
58 Elemete de lgebră 57 AL - 8 Să se rezolve sistemul: ( log ) ( log y) 9 ( log ) ( log y y ) 58. ), y b), y c), y 9; 9, y d), y e), y ; f), y 9;, y, y 9, y AL - 8 Să se rezolve î R sistemul: lg y lg z lg y z lg ylg z lg lg z lg lg y y z. yz ), y z b) y, z c) y z d) y z e) Sistemul u re soluţii î R f), y 5, z AL - 8 Să se determie mulţime tuturor umerelor turle petru cre ieglitte: > este devărtă. N; 5} {,} ) { d) {,} { b) c){,} N ; } e) { N; } \ { } f) N AL 8 Să se determie mulţime tuturor umerelor turle petru cre următore ieglitte este devărtă ( )( ) K <, >, N, ) {, } N b) N c) N \ {,,5} N e) φ d) { : k} f) { N : k }
59 58 Culegere de probleme AL - 85 Să se determie umărul de elemete le mulţimii E N A 5 < ( )! ( )! ) b) c) d) e) f) 5 AL 86 Îtr-o discotecă, ditr-u grup de 7 fete şi 8 băieţi, l u umit ds, trebuie să se formeze perechi di câte o ftă şi u băit. Î câte moduri se pot form cele ptru perechi? ) 5; b) ; c) 7; d) 588; e)5; f). AL - 87 L o reuiue de persoe, fiecre dt mâ cu fiecre ditre ceillţi prticipţi. Câte strâgeri de mâă u fost? ) b) 66 c)! d) e) f) AL - 88 Î câte moduri se pote fce u buchet cu două grofe lbe şi cici grofe roşii vâd l dispoziţie grofe lbe şi 9 grofe roşii? ) 8 b) 8. c) 9. d). e).9 f). AL - 89 Cre este domeiul mim de defiiţie D l fucţiei: f 5 : D R, f ( ) C7 C? ) D { 9,, } b) D {,,} c) D ( ] d) D [ 7, ) N e) D {,,,5} f) D [ 6], Z, N
60 Elemete de lgebră 59 AL - 9 Să se precizeze î cre di mulţimile de mi jos se flă tote umerele turle cre verifică relţi: C A. )A N \ {,,,,7,9} b)a N \ {,,,5,6,9,} c) A ( 9, ) d) A { k, k N } e) A 6 N \ {,,5,7,9,} f) A5 { k k N} AL - 9 Să se rezolve ecuţi C, N. ) b) c) d) e) 5 f) 6 AL 9 Soluţi ecuţiei 5 ( 6)( 5)( ) C 8 se flă î itervlul : ) (,9); b) (-8,-); c) (-6,-); d) (,) e) (,7); f) (9,). AL 9 Să se precizeze î ce itervl se flă soluţi ecuţiei 7 5 ( )( ) C ) (8,) b) (,) c) (-,) d) (7,9] e) (,7) f) (-,). AL - 9 Să se rezolve ecuţi C P A. ) b) c) 5 d) e) 7 f) AL - 95 Să se clculeze sum:
61 6 Culegere de probleme ( ) ( ) ( ) S C C C C C C... C C... C. ) S ( ) c) S ( ) ( ) b) S ( ) d) S ( ) ( ) e) ( ) ( ) S f) S ( ) AL - 96 Să se clculeze sum: k k k k E C C... C C, ude, k N, k. k k ) E C k b) E C k c) E C k d) E C k e) E C k f) E C k AL - 97 Să se clculeze epresi: E C k C k C k,, k, k. k C ) E b) E c) E d) E e) E f) E AL - 98 Determiţi mulţime A vlorilor lui R petru cre: C > C. ) A (, ) (, ] b) A { 567,, } c) A [ 7, ] d) A { 89,, } e) A [, ] {, } f) A {,,, }
62 Elemete de lgebră 6 AL - X. 99 Să se rezolve iecuţi: C C6, precizâdu-se cre di următorele itervle coţie soluţi. ), b), c), 5 d), 6 e)[ 7, ] f)[, ) AL - X. Să se precizeze soluţi sistemului : A C y y A 5 C y y. ), y b), y 5 c) 7, 8 d), y e), y f) 8, 5 AL Să se determie umerele turle şi y, stfel îcât umerele y y y y y C, C, C să fie î progresie ritmetică, ir umerele A, y A, A să fie î progresie geometrică. ), y ; b), y ; c) y ; d), y ; e) N *, y ; f), y AL Fie,,...,,, umere rele î progresie ritmetică de rţie r. Să se clculeze sum: ( ) k k C. k k ) r b c) d) e) f) AL - Să se determie l ptrule terme di dezvoltre biomului î ipotez că, N. ) b) c) 6 6 d) e) f),
63 6 Culegere de probleme AL - Să se precizeze termeul cre u coţie pe di dezvoltre biomului *,, R. 5 ) C 5 7 b) C 7 5 c) C d) C 5 e) C 8 8 f) C AL 5 Î dezvoltre biomului, N,, R, coeficieţii primilor termei formeză o progresie ritmetică. Să se determie termeii rţioli i dezvoltării. ) T ; T 7 ; T 9 ; b) T ; T 5 ; T 9 ; c) T ; T, T 8 ; d) T ; T ; T 7 ; e) T ; T 6 ; T 8 ; f) T ; T ; T 5. AL 6 Determiţi di epresi log, ( >, ) ştiid că sum coeficieţilor biomili i dezvoltării este 8, ir l şsele terme l dezvoltării este egl cu. ), b), c) -, - d), - e), f), - AL - 7 Câţi termei cre u coţi rdicli sut î dezvoltre biomului 6? ) U terme b) Doi termei c) Trei termei d) Nici uul e) Şse termei f) Ptru termei
64 Elemete de lgebră 6 AL - 8 Cre este epresi termeului di dezvoltre biomului cre coţie pe?, )87 7 b) 86 7 c)7 5 d) 86 e) 7 f) AL - X. 9 Cre este termeul di dezvoltre biomului î cre epoeţii lui şi y sut egli? y y, ) T b) T c) T 6 d) T 8 e) T 5 f) T AL - X. Î dezvoltre biomului, sum coeficieţilor biomili i ultimilor trei termei este eglă cu. Să se fle vlorile lui petru cre sum ditre termeul l treile şi termeul l cicile este eglă cu 5. ), b) c), d), e) f), AL - X. Î dezvoltre biomului, sum coeficieţilor biomili este cu 5 mi mică decât sum coeficieţilor biomili di dezvoltre biomului b. Să se fle termeul l doile l primei dezvoltări. ( ) ) b) c) d) e) f) AL - Să se determie termeul ce u coţie pe di dezvoltre biomului
65 6 Culegere de probleme 7, 8 6 ) T C. b) T C c) T C 688 d) T C e) T C 6 f) T C AL - Să se găsescă rgul celui mi mre terme di dezvoltre (, ). ) 9 b) c) d) e) f) AL - Determiţi vlore celui mi mre coeficiet biomil l dezvoltării biomului ( ), dcă sum tuturor coeficieţilor biomili este eglă cu 56. b ) b) 8 c) 6 d) 7 e) 8 f) 7 AL 5 Să se determie coeficietul lui di dezvoltre lui ( ). ) b) c) d) e) 88 f)69 AL 6 Să se fle coeficietul lui di dezvoltre ( 5 ) () 5. ) d) 5 C 5 b) 5 C 5 e) 5 C 5 c) 5 5C 5 f) AL - 7 Ştiid că sum coeficieţilor biomili i dezvoltării 5 5C 5 5 C 5
66 Elemete de lgebră 65 ( ) ( ) este 56, să se clculeze coeficietul lui 6 di cestă dezvoltre. ) 95 b) 9 c) d) 9 e) 8 f) AL - 8 Clculţi z z E z z petru umerele complee z şi z ( z fiid compleul cojugt umărului z). ) ( z z ) b) ( zz ) c) ( z )( z ) d) z z e) ( )( z ) z f) ( z z ) AL - 9 Să se găsescă vlorile rele le lui m petru cre umărul ( m) i 5 este rel ( i ) i mi. ) m b) m c) 5 m d) m e) m f) m AL - Să se clculeze vlore epresiei i i E. i i ) i b) c) i d) e) i f) i AL - Precizţi prte imgiră umărului comple ( i) i 6. i i i i 9 9 ) i b) i c) i d) i e) i f) i
67 Culegere de probleme 66 AL - Să se determie R α stfel îcât umărul comple ( )i i α α să fie rel. ) b) c) d) e) f) AL Fie z,z C şi z z z z iy,, y R Atuci vem: ) z z z z, z z z z y b) z z z z, z z z z i y c) z z z z, z z z z z z i y d) z z z z, z z z z z z i y e) z z z z, z z z z z z y f) z z z z, z z z z y AL - Să se clculeze z dcă i z. ) b) c) d) 6 e) f) 6 AL 5 O ecuţie de grdul l doile cu coeficieţi reli cre re c rădăciă umărul comple 8 i i este: ) z z ; b) z z ; c) z z ; d) z z ; e) z ; f) z
68 Elemete de lgebră 67 AL - 6 Să se determie umerele complee z stfel îcât z 8 z. ) z ± i, ± b) z ± i c) z ± i, ± ± i 5 i i d) z ± i, ± e) z ± i, f) z ± 5 7,, AL 7 Să se precizeze cu cre di vlorile dte mi jos este egl z ( i) ( i) 9 7. ) z i b) z c) z i d) z i e) z i f) z i z AL - 8 Cărei di mulţimile de mi jos prţie α z z C \{}? z z, petru N b) Z c) Q d) R e) C \ R f) R \{} AL - 9 Să se determie tote umerele complee z C cre verifică ecuţi z z i. ) z i b) z i, z i c) z, z i 5 d) z i e) z, z i f) z i
69 68 Culegere de probleme AL - Să se fle umerele complee z iy,, y \{ } ) z { ± i ± i} stfel îcât ( iy ) să fie pur imgir. R, de modul,, b) z ( ± ), ( ± i ) c) z ( i ) ( i ) d) ( ) ( ) ± 5, ± 5 z ± i, ± i e) z ( ± i ), ( ± i ) f) z ( 5 ± i), ( 5 ± i) AL - Fie R şi z C, stfel îcât z. Să se determie ce mi z mre şi ce mi mică vlore posibilă lui z. ), b), c), d), e), f), AL - Fie z u umăr comple stfel îcât b z se clculeze. b z z b, ude, > b >. Să ) b) b c) b b b d) b e) b f) b b
70 Elemete de lgebră 69 AL - Fie C. Să se clculeze vlore epresiei i E ( ) i ( i) ( i) ) - b) c) d) e) f). π π AL - Fie ε cos i si. Să se clculeze : 997 ( ε)( ε ) ( ε ) E.... ) E b) E c) E 66 d) E 997 e) E 665 f) E AL - 5 Petru C \ R cre stisfce ecuţi, să se clculeze vlore epresiei E. ) E b) E c) E- d) Ei e) Ei f) Ei AL - 6 Fie α şiβ rădăciile ecuţiei. Să se clculeze α β. ) b) c) d) i e) i f) AL - 7 Fie z u umăr comple de modul şi rgumet θ. Să se clculeze epresi
71 7 Culegere de probleme z z, ( N ). ) cosθ b) cos θ c) si θ d) cos θ e) cosθ f) si θ AL - 8 Precizţi cre di vlorile de mi jos sut rădăciile ecuţiei z i z 5. ) z ± i b) z ± i c) z ± i d) z ± i e) z ± i f) z ± i z i z i este: AL - 9 Soluţi ecuţiei ( 5 ) 5( ) ) i, i ; b) i, i ; c) i, i ; d) i, i ; e) 5 i, i ; f) i, i AL - Se cosideră ecuţi ( ) ( ) iz 7 iz 6 mi, î cre z C este ecuoscut, ir m este u prmetru rel. Să se determie vlorile lui m petru cre ecuţi dmite o rădăciă relă. ) m, b) m c) m { 5, } 5 d) m, e) m, 5 f) m, AL - Formţi ecuţi de grd miim, cu coeficieţi reli, cre dmite c rădăcii şi rădăciile ecuţiei : z z 5 i.
72 Elemete de lgebră 7 ) z 6 z z 7 b) z 6 z 8z z 7 c) z z z 6 z 7 d) z z 8z 7 e) z z 8z 7 f) z 6 z z 7 z AL - Se dă ecuţi ( 5 ) ( ) i z i. Fie α o rădăciă ecuţiei petru cre α. Să se determie R stfel îcât să ibă loc eglitte i α. i ) b) c) d) e) f) AL - Rădăciile pătrte le umărului comple i sut : ) i, -i ; b) i, --i ; c) i, - ; d) -i, -i ; e) i, -i ; f) i, i AL - Petru z C să se determie soluţiile sistemului z i z i. z i ) z, z i b) z i, z i c) z i, z d) z, z i e) z i, z f) z i, z i AL - 5 Să se clculeze rădăci pătrtă di umărul comple
73 7 Culegere de probleme ( ) z i, i. ) i, i b) i, i c) i, i d) i, i e) i, i f) i, i AL - 6 Să se clculeze rădăciile de ordiul le lui i z. i ) z i z i, z b) z, z z i,, c) z ( i) z ( i) z i,, e) z ( i) z ( i) z i,, d) z z z, i f) z z z, AL - 7 Să se determie tote rădăciile complee le ecuţiei z 8. ) ( ± i), ( ± i) b) ( ± i ), ( ± i ) c) ( ± i), ( ± i), e) ± i, ± i f) ± i, m i d) ( ± i) ( ± i) AL - 8 Fie mulţimile :
74 Elemete de lgebră 7 A { z C z }, B z C rg z < * π C { z C z }; D { z C z i }; { z Im } E C z, F z C π 5 < rg z < * π Să se precizeze cre ditre următorele firmţii sut corecte. ) A este discul de cetru şi rză ; b) B este mulţime puctelor di semiplul y>, c) C este cercul de cetru A(-,) şi rză ; d) D este cercul de cetru A(,) şi rză e) E este o dreptă prlelă cu Oy; f) F este It AOB ude A, şi B, AL 9 Să se determie modulul şi rgumetul petru umărul comple: z cos si i(si - cos ). ) π z, rg z b) z π, rg z c) π z cos, rg z d) z π cos, rg z π π e) z, rg z f) z, rg z AL 5 Să se scrie sub formă trigoometrică umărul comple : z cos α - i si α, ude α (,π).
75 7 Culegere de probleme α α α α α ) z cos cos isi b) z cosαcos isi α α α c) z cos ( cosα isiα ) d) z cos i si α α e) z cosα( cosα isiα ) f) z cosαcos isi AL 5 Determiţi prte relă umărului comple i z. ( siα i cosα ) 7π 7π 5π ) Re z si α b) Re z cos α c) Re z cos 6 7π π π d) Re z si α e) Re z cos α f) Re z si α 6 AL 5 Să se determie modulul şi rgumetul redus petru umărul comple: 6 i z. i ) d) z π,rg z b) z π,rg z e) π z,rg z c) π z 8,rg z f) π z,rg z π z 8,rg z AL 5 Să se scrie sub form z iy umărul comple : ) ( i ) b) ( i ) 7 8 d) i e) ( i) 8 c) i z. ( i) 7 i f) ( i) 8 AL 5 Să se determie umărul comple: ( ) ( ) Z i i, N.
76 Elemete de lgebră 75 ) π Z cos b) π Z si c) π Z cos π π π d) Z si e) Z cos isi π π f) Z cos isi AL 55 Ştiid că cos z α.să se clculeze epresi: E z z z, N*. ) E cos α b) E isi α c) E si α d) E cos α e) E icos α f) E si α AL 56 Se oteză cu z şi z rădăciile complee le ecuţiei: z. Să se determie vlorile posibile pe cre le pote lu epresi: E( ) z z, câd i vlori îtregi pozitive. { { ) E ( ) N } {, ± } b) E( ) N } {,, } { c) E( ) N } { ±, ± } d) E( ) { e) E( ) N } { ± } f) E( ) { N } Z { N } N AL 57 Să se determie tote soluţiile ecuţiei turl >. z z, oricre r fi umărul ) z i b) z ± i c) z i d) z, z i kπ kπ e) z, zk cos i si, k, f) z i, z i AL 58 Să se determie rădăciile z k, k, 5 le ecuţiei: z 6 i.
77 76 Culegere de probleme kπ kπ ) z k cos isi, k, 5 kπ kπ c) z k cos π isi π, k, kπ kπ e) z k cos isi, k, 5 k k b) z k cos π isi π, k, 5 kπ kπ d) z k cos isi, k, k k f) z k cos π isi π, k, 5 AL 59 Fie ω o rădăciă compleă ecuţiei: z, N *, >. Să se precizeze vlore epresiei: S ω ω... ω. ) S b) S c) ω ω d) S e) S ω f) S ω S ω ω ω AL 6 Să se determie rădăciile ecuţiei: N *,,t R. i i cost isit î cre t kπ ) k tg, k, t kπ c) k tg, k, t kπ e) k cos, k, t kπ b) k tg, k, t kπ d) k si, k, t kπ f) k si, k, AL 6 Precizţi umărul mim de rădăcii comue le ecuţilor: z 8 şi z. ) ici u b) u c) două d) ptru e) trei f) opt AL 6 Fie z k, k, soluţiile ecuţiei: iz iz i, R *. i
78 Elemete de lgebră 77 Cre este vlore produsului z z z z? ) b) c) d) e) f) AL 6 Să se clculeze epresi: ( cost isi t) ( cost isit) ( cost isi ) E t. ) cos t t t isi b) 8cos t t t c) 8cos cos isi t d) 8si t t t e) cos cos si f) t t cos isi AL 6 Să se fle fiul celui de l treile vârf l uui triughi echilterl, ştiid că fiele două vârfuri sut: z, z i. ) i b) i c) i d) i e) i şi i f) i AL 65 Fie M, M, M, M pucte le căror fie sut, respectiv, z i, z i, z 6 i, z 6 i. Cre di firmţiile următore este devărtă ) M, M, M, M sut coliire b) M, M, M, M sut cociclice c) ptrulterul M M M M u este iscriptibil d) ptrulterul M M M M este u pătrt e) M M M M f) ptrulterul M M M M este romb. AL 66 Să se determie vlorile epresiilor:
79 78 Culegere de probleme π π S cos cos... cos π π S si si... si ( ) ( ) π π, N ) S S b) S, S c) S S - d) S S e) S -, S f) S, S - AL 67 Se du umerele complee: siα cosα i ( siα cosα ) z siα cosα i( siα cosα ) z z ) umerele petru cre ( z şi, ude α este prmetrul rel dt. Să se găsescă este u umăr rel şi pozitiv. ) p, p N b) p, p N c) p, p N d) p, p N e) p, p N f) p, p N AL 68 Numerele complee z şi z stisfc relţi: z z z z. Cre di firmţiile următore este devărtă? ) z, z - i b) z z i c) z, z > d) z > şi z > e) cel puţi uul di cele două umere f) z >, z re modulul mi mic su egl cu. AL 69 Fie z z w şi Im( w ) -prte imgiră umărului w. z z Cre ditre firmţiile următore este devărtă? z C \{ }, ) Im( w )> b) Im( w )< c) dcă z i tuci w d) w petru orice z C \ { } e) dcă z i tuci w i f) w R şi eistă,b R stfel îcât z z b AL 7 Determiţi mulţime tuturor puctelor di pl le căror fie z verifică
80 Elemete de lgebră 79 relţi: z R. z ) relă mi puţi origie b) cercul cu cetrul î origie şi rz c) cercul cu cetrul î origie şi rz d) imgiră e) relă fără origie reuită cu cercul cu cetrul î origie de rză f) imgiră reuită cu cercul cu cetrul î origie de rză AL 7 Cosiderăm două umere complee z, z C * \ R stfel îcât: z z z. Ce putem firm despre imgiile lor? z ) sut coliire cu origie b) sut cociclice cu origie c) coicid d) împreuă cu origie formeză vârfurile uui triughi edegeert e) imgie lui z coicide cu imgie lui z f) împreuă cu origie formeză u triughi isoscel. AL 7 Vârfurile A, B, C le uui triughi u fiele, z, z z, ude π π z rcos isi cu r (,). Precizţi poziţi origiii O (,) fţă de lturile triughiului. ) O [ AB] b) O [ AC] c) O [ BC] d) O prţie iteriorului triughiului e) O prţie eteriorului triughiului f) O este cetrul cercului îscris î triughiul ABC AL 7 Să se clculeze : itg t E itg t, t R - ( ) π k, k Z, N*. ) tg t i tg t i b) itg t itg t c) ictg t ictg t ctg t i d) ctg t i AL - 7 Să se clculeze e) ctg t i f) i tg t
81 8 Culegere de probleme E C C C C 6 k... ( ) C k... π π ) E cos b) E cos 6 c) E π π d) E si e) E si 6 f) E π cos π si AL 75 Dcă tgα, α, π, să se clculeze sum C C C 5 C 7... ) siα si α cos α b) si α siα cosα c) si α siα cos α d) si α cosα si α e) si α cos α siα f) si α si α cos α AL - 76 Se du mtricele Să se clculeze mtrice C A B. ( ), A ;,5, B, 5 ( 6),5 ) C ; b) C c) C, (), 6 d) C e) C f) C ( )
82 Elemete de lgebră 8 AL - XI. 77 Se du mtricele pătrtice de ordiul l doile 6 5 E şi 7 F. Să se clculeze mtrice A E F ) 9 A b) 9 A c) 9 A d) 9 A e) 9 A f) 9 A AL - 78 Fie ( ) Z A M. Dcă ( ) f să se clculeze ( ) A f. ) ( ) 6 A f b) ( ) 9 6 A f c) ( ) A f d) ( ) 9 A f e) ( ) 9 6 A f f) ( ) I A f
83 8 Culegere de probleme AL - 79 Să se clculeze produsul de mtrice A B, ude A, B ) 7 b) 6 7 c) 7 d) 7 e) ( ) 7 f) 7 AL - 8 Să se rezolve ecuţi mtricelă: 7 5 X ) b) c) d) 5 e) f) AL - 8 Să se rezolve ecuţi mtricelă: 5 X ) 5 5 b) 5 c) 5 d) 5 5 e) 5 5 f) 5 5
84 Elemete de lgebră 8 AL - 8 Să se rezolve ecuţi mtricelă X ) X b) X c) X d) X e) X f) X AL - 8 Aflţi R stfel c mtrice digolă costtă X să fie soluţi comuă ecuţiilor mtricele ( ) X şi ( ) X ) b) c) d) e) f)
85 8 Culegere de probleme AL - 8 Să se determie tote mtricile X, cu propriette că ude A. AX XA, ) α ; α,β R b) βα c) α ; α R α d) α ; α R e) α α β β ; α,β R f) α αβ ; α,β R βα AL - 85 Să se determie mtrice X cre verifică relţi: X. 6 ) X ( ) b) X d) X ( ) e) X c) X f) X AL - 86 Cre este vlore prmetrului R petru cre eistă,y,z,t R, u toţi uli, stfel îcât y z t? ) b) c) d) e) f) AL - 87 Să se determie costtele rele p şi q petru cre mtrice A stisfce relţi A pa qa. ) p, q b) p, q c) p, q d) p, q e) p, q f) p, q
86 Elemete de lgebră 85 AL - 88 Să se rezolve ecuţi mtricelă X. ) X 6 5 b) X 6 c) X 6 d) X 6 5 e) X 5 f) X 6 AL - 89 Să se determie mtrice X cre verifică ecuţi X. 6 9 ) X 5 b) X c) X 5 5 d) X 5 e) X 5 f) X
87 86 Culegere de probleme AL 9 Să se rezolve ecuţi mtricilă 5 5 X ) X ; b) X c) X ; d) 8 7 X e) X ; f) 8 7 X AL 9 Să se determie tote mtricile formte cu elemete di codul bir B{ }, cre să trsforme pri îmulţire mtrice coloă î mtrice coloă ) şi b)
88 Elemete de lgebră 87 c) şi d) e) şi f) AL - 9 Să se rezolve ecuţi: X, X M (Z). ) X b) X c) X şi X d) X i i i i 6 e) X f) X AL - 9 Să se determie tote mtricile X M ( Z ) stfel c: X. ) b) şi c) d) şi e) şi f) şi AL - 9 Se du mtricele A,, B C m cu m R.. Să se determie vlorile lui m R stfel îcât să eiste trei costte u tote ule,,b,c R cu codiţi AbBcC, - mtrice ulă.
89 88 Culegere de probleme ) m b) m c) orice m R d) m e) 5 m f) m 5 AL - 95 Să se clculeze sum: k k k kk. k ( ) ) c) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 6 ( ) ( )( ) ( ) 6!!!! b)! d) ( ) ( ) ( ) ( )!!!! e) ( )!!! 6! f)!! ω ω ir A, să se determie umărul ω R stfel îcât să vem A A... A A, N. AL 96 Dcă ( i ) ( ) ) d) b) e) c) f). AL - 97 Dcă ω este o rădăciă ecuţiei şi p, p N*, să se clculeze sum: k k k ω ω ω k k k. ω ω ω k
90 Elemete de lgebră 89 ) ω ω ω ω b) c) d) ω ω ω ω ω ω e) ω ω ω ω ω ω f) AL 98 Fie A ε ε ; ε ε ε B ε ε ε, ude ε este o rădăciă cubică compleă uităţii şi fie ecuţi mtricelă AX B. Fie S sum modulelor elemetelor mtricei X. Atuci : ) S ; b) S 6; c) S ; d) S ; e) S ; f) S AL 99 Fie M mulţime tuturor mtricelor cu liii şi 5 coloe î cre tote elemetele sut umerele şi - şi stfel îcât produsul umerelor di fiecre liie şi di fiecre coloă este -. Să se clculeze umărul elemetelor mulţimii M. ) b) 7 c) 6 d) e) f) b AL - Se cosideră mtrice M,,b,c,d R. Să se determie c d codiţiile î cre eistă p,q R, uici stfel c M -pm-qi, I fiid mtrice uitte, mtrice ulă. Să se determie î cest cz vlorile lui p şi q.
91 9 Culegere de probleme ) b c, d, p, q b - b) b,c R, d, p, q bc- c) b c,,d R, p d, q b - d) b su c su d, pd, q bc-d e) b, c, d, p d, q bc-d f) b, d, c R, p d, q -d AL - Fie A,B,C M ( C ) cu proprietăţile AB AB, BC BC, CA CA. Petru ce vlore m R re loc eglitte ABC mabc? ) m b) m c) m d) m e) m f) m b AL - Fie A o mtrice eulă cu d bc,,b,c,d R. Să se determie c d (î fucţie de elemetele mtricii A) umărul rel r sfel îcât să ibă loc eglitte A r - A petru orice N,. ) r -d b) r d c) r bc d) r b-c e) r c f) r bd AL - Să se determie putere N mtricei A.
TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ. pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA
TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ petru emeul de bcluret şi dmitere î îvăţămâtul superior l UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότεραPolinoame.. Prescurtat putem scrie. sunt coeficienţii polinomului cu a. este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi.
Poliome ) Form lgebrică uui poliom Pri form lgebrică su form coică îţelegem f X X X Prescurtt putem scrie f X,,, sut coeficieţii poliomului cu, se umeşte coeficiet domit şi X terme domit tuci poliomul
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραAdrian Stan Editura Rafet 2007
Dreptul de copyright: Crte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului Adri St Editur Rfet 007
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ
COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ LUCRARE CONCEPUTĂ ȘI REALIZATĂ DE COLECTIVUL CLASEI XII- A, PROFIL REAL, SPECIALIZAREA MATEMATICĂ-INFORMATICĂ.
Διαβάστε περισσότερα6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU
6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU 6.1. Noţiui teoretice şi rezultte fudmetle 6.1.1. Metod lui Droux de defii itegrl simplă Fie [, ] u itervl. Descompuem itervlul [, ] îtr-u umăr orecre
Διαβάστε περισσότεραCap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D
Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă
Διαβάστε περισσότεραREZIDUURI ŞI APLICAŢII
Mtemtici specile şi metode umerice EZIDUUI ŞI APLICAŢII. Formule petru reiduuri Câd sigulrităţile du vlore şi uţ. Teorem reiduurilor Defiiţi. Fie f() o fucţie cre re î C u pol su u puct sigulr eseţil iolt.
Διαβάστε περισσότεραDRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR
Drumuri, rce, lugimi Virgil-Mihil Zhri DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR FucŃiile cu vrińie mărgiită u fost itroduse de Jord Cmille (88-9) şi utilizte de el cu oczi studiului prolemei rectificilităńii curelor,
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότεραEcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau
EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x
Διαβάστε περισσότεραDreptul de copyright: Cartea downloadată de pe site-ul nu poate fi publicată pe un alt site şi nu poate fi folosită în scopuri
reptul de copyright: rte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului, Refereţi ştiiţifici: Profesor
Διαβάστε περισσότεραANEXA., unde a ij K, i = 1, m, j = 1, n,
ANEXA ANEXĂ MATRICE ŞI DETERMINANŢI Fie K u corp şi m N* = N \ {} Tbloul dreptughiulr A = ude ij K i = m j = m m m se umeşte mtrice de tip (m ) cu elemete di corpul K Mulţime mtricelor cu m liii şi coloe
Διαβάστε περισσότεραCULEGERE DE PROBLEME
Colecţia "LICEU CULEGERE DE PROBLEME petru eameul de admitere la Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii, Facultatea de Arhitectură Descrierea CIP a Bibliotecii
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS ALGEBRÃ... 5 I. Elemente de logicã matematicã... 5 I.1. Noţiunea de propoziţie... 5 I.2. Operatori logici... 5 I.3. Expresii în calculul
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic UPRINS ALGEBRÃ. 5 I. Elemete de logicã mtemticã 5 I.. Noţiue de propoziţie 5 I.. Opertori logici.. 5 I.. Epresii î clculul propoziţiilor 7 I.4. Noţiue de predict
Διαβάστε περισσότεραREZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραExerciţii de Analiză Matematică
Exerciţii de Aliză Mtemtică October, 5 Şiruri si serii de umere rele. Să se stbilescă dcă şirul cu termeul geerl x =... este su u fudmetl.. Petru răt că şirul este fudmetl: Petru răt că şirul este fudmetl:
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραClasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A
1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)
Διαβάστε περισσότερα4. Integrale improprii cu parametru real
4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie
Διαβάστε περισσότεραExamenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.
Cp PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METOE GENERALE E CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î cest prgrf vom remiti oţiue de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele geerle de clcul le cestor efiiţi Fie f : I,
Διαβάστε περισσότεραTit Tihon CNRV Roman FISA DE EVALUARE A UNITATII DE INVATARE. Caracteristici vizibile observate PUNCTAJ ACORDAT
Tit Tihon CNRV Romn FISA DE EVALUARE A UNITATII DE INVATARE Nr. crt 5 6 7 8 9 0 Nr. crt Nr. crt Crcteristici vizibile observte PUNCTAJ ACORDAT preciere D+ Nu Observţii privind preciere folosire mnulului
Διαβάστε περισσότερα9. Polinoamele Taylor asociate unor funcţii (I. Boroica) 9.1. Formulele lui Taylor şi polinoamele Taylor asociate funcţiilor elementare
lgeră Cupris Mtrice de ordi doi şi plicţii (IDicou VPop Mtrice de ordi doi Proleme rezolvte Teorem lui Cle- Hmilto 4 Proleme rezolvte 5 Determire puterilor turle le uei mtrice de ordi doi 6 Proleme rezolvte
Διαβάστε περισσότεραOperaŃii cu numere naturale
MulŃime umereleor turle www.webmteifo.com Petru scrie u umr orecre trebuie s combim itre ele uele ditre cele 0 simboluri: 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9.Aceste simboluri se umesc cifre. Ele sut de origie rb. Ν =
Διαβάστε περισσότεραTransformata z (TZ) TZ este echivalenta Transformatei Laplace (TL) in domeniul sistemelor discrete. In domeniul sistemelor continui: Sistem continuu
Prelucrre umeric semlelor Trsformt Trsformt este echivlet Trsformtei Lplce TL i domeiul sistemelor discrete. I domeiul sistemelor cotiui: xt s Sistem cotiuu yt Ys ht; Hs I domeiul sistemelor discrete:
Διαβάστε περισσότερα4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire
4.7. Sbilie sisemelor liire cu o irre şi o ieşire Se spue că u sisem fizic relizbil ese sbil fţă de o siuţie de echilibru sţior, dcă sub cţiue uei perurbţii eeriore (impuls Dirc) îşi părăseşe sre de echilibru
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 REZOLVAREA ECUAŢIILOR NELINIARE
Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică CAPITLUL 4 REZLVAREA ECUAŢIILR NELINIARE Rezolvre uei ecuţii eliire pre prctic î orice modelre mtemtică uei proleme fizice. Cu ecepţi uor czuri forte prticulre,
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
Διαβάστε περισσότερα4.7 Reprezentarea complexă a seriilor Fourier
4.7 Reprezetre compeă seriior Fourier Presupuem că f ( ) îdepieşte codiţii suficiete petru dezvotre î serie Fourier. Atuci pote fi reprezettă pe [, ] cu seri: f b + ( cos + si ) f cos d,,, b f si d,, Foosid
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότεραλ C valoare proprie a matricei A dacă x, x 0
ALULUL NUMERI AL VALORILOR PROPRII ŞI AL VETORILOR PROPRII A mtrice pătrtică de ordiul cu elemete rele vlore proprie mtricei A dcă, R : A ; () vector propriu l mtricei A socit vlorii () (A I), I mtrice
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
Διαβάστε περισσότεραlim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραDUMITRU BUŞNEAG PROBLEME ALGEBRĂ
DUMITRU BUŞNEAG FLORENTINA CHIRTEŞ DANA PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Dumitru BUŞNEAG Floreti CHIRTEŞ D PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Dumitru BUŞNEAG Floreti CHIRTEŞ D PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Editur UNIVERSITARIA
Διαβάστε περισσότεραMULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
Διαβάστε περισσότεραIV.3. Factorul de condiţionare al unei matrice
IV.3. Fctorul de codiţiore l uei mtrice defieşte pri Defiiţie. Fctorul de codiţiore l uei mtrice pătrte A M, (R) se cod(a) = A A - ude este o orm opertorilă mtricei A (de exemplu, su ). Pri coveţie cod(a)
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότεραπ } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.
Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x)
Διαβάστε περισσότεραBreviar teoretic Vectori în plan
Proiect cofiţt i Foul Socil Europe pri Progrmul Operţiol Sectoril Dezvoltre Resurselor Ume 7- prioritră Eucţi şi formre profesiolă î sprijiul creşterii ecoomice şi ezvoltării societăţii zte pe cuoştere
Διαβάστε περισσότεραTema 4. Primitiva şi integrala Riemann. Aplicaţii. Modulul Primitiva. Aplicaţii
Tem 4 Primitiv şi itegrl Riem. Alicţii. Modulul 4. - Primitiv. Alicţii Noţiue de rimitivă s- degjt di licţiile mtemticii î situţii cocrete, cre costă î determire modelului mtemtic l uui roces tuci câd
Διαβάστε περισσότεραOLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a
CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA FINALĂ - 22 mai 2010
ETAPA FINALĂ - mi 00 BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A. Pe o dreptă se consideră 00 puncte, cre formeză 009 segmente, fiecre de cm. Pe primul segment, desupr dreptei, construim un pătrt, pe l doile segment,
Διαβάστε περισσότερα2) Numim matrice elementara o matrice:
I TRANSFORMARI ELEMENTARE ) Cre di urmtorele opertii efectute supr uei mtrice este trsformre elemetr: ) dure uei liii l o colo; b) imultire uei liii cu sclrul α = c) schimbre dou liii itre ele; d) dure
Διαβάστε περισσότεραInegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Διαβάστε περισσότεραMETODE ŞI ETAPE NECESARE PENTRU DETERMINAREA
ETOE ŞI ETAPE ECESARE PETRU ETERIAREA UGHIULUI A OUĂ PLAE PROF. IACU ARIA, ŞCOALA ROUL LAEA, ORAVIłA, CARAŞ- SEVERI (). Unghi diedru. Fie α şi β două semiplne vând ceeşi frontieră (muchie)d. Se numeşte
Διαβάστε περισσότεραSeminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii
Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela
MATEMATICĂ clasa a IX a - frecveţă redusă - Prof. Bara Mihaela Gariela CUPRINS. Mulţimi şi elemete de logică matematică Mulţimea umerelor reale Elemete de logică matematică Şiruri. Fuctii, ecuaţii, iecuaţii
Διαβάστε περισσότερα3.4 Integrarea funcţiilor trigonometrice. t t. 2sin cos 2tg. sin + cos 1+ cos sin 1 tg t cos + sin 1+ x 1
3.4 Iegrre fucţiilor rigoomerice ) R( si,cos ) d Susiuţi recomdă ese: uei fucţii rţiole. g =, (, ) şi iegrl dă se reduce l iegrre si cos si cos g si + cos + g = = = + cos si g cos + si + g = = = + = rcg
Διαβάστε περισσότερα4. Serii de numere reale
I. (,) lim x lim + II. x şi lim x III. > x ( + ) ( + ) şi cum lim ( >) ; lim x lim lim lim x + ; (,) (, ). 4. Serii de umere rele Coceptul de serie umerică este o geerlizre turlă oţiuii de sum fiită de
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότερα4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
Διαβάστε περισσότερα0 z z < r ea admite o dezvoltare în serie Laurent. n n. din dezvoltarea în serie Laurent în vecinătatea punctului z. z (notat { } { } = ρ
CAPITOLUL ME5 5 eiduuri Teore reiduurilor Defiiţi reiduului Fie w o fucţie litică vâd î u puct sigulr iolt Atuci îtr-o coroă circulră < r e dite o devoltre î serie Luret < w c Se ueşte reiduu l fucţiei
Διαβάστε περισσότερα1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...
Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
Διαβάστε περισσότερα1. Ordinul unui element al unui grup (D. Heuberger) 2. Teoremele lui Lagrange şi Cauchy pentru grupuri finite (D. Heuberger)
CLASA XII- ALGEBRĂ Ordiul uui elemet l uui grup D Heuerger Teoremele lui Lgrge şi Cuchy petru grupuri iite D Heuerger 3 Aplicţii le teoremei lui Lgrge î proleme de teori umerelor V Pop 3 Noţiui şi rezultte
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότεραPolinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice
Διαβάστε περισσότεραBAREM DE CORECTARE CLASA A IX A
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +
Διαβάστε περισσότεραsin d = 8 2π 2 = 32 π
.. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a
Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a IV-a SUBIECTUL Aflaţi difereţa ditre umerele aturale [( 4 a : ) :1 5] 4 6 = 4 [( b 7 ): 5 8] 8 5 = 7 a şi b ştiid că ele verifică egalităţile: Gheorghe Loboţ Suma a două
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότεραŞiruri recurente. Mircea Buzilă. 2009, Editura Neutrino Titlul: Şiruri recurente Autor: Mircea Buzilă ISBN
Mirce Buzilă Şiruri recurete Editur eutrio 9 9 Editur eutrio Titlul: Şiruri recurete utor: Mirce Buzilă SB 978-97-896-7-9 Descriere CP Bibliotecii ţiole Roâiei BUZLĂ MRCE Şiruri recurete / Mirce Buzilă.
Διαβάστε περισσότεραUNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ MATEMATICI SUPERIOARE
UNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ DEPARTAMENTUL PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ MATEMATICI SUPERIOARE PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNTUL LA DISTANŢĂ - Ediţie reviuită - Lector Agel Picu Editur Uiversităţii
Διαβάστε περισσότεραlim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1 - rezolvari mate MT1
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri
Διαβάστε περισσότεραTITULARIZARE 2002 Varianta 1
TITULARIZARE 2002 Vrint 1 A. Omotetii plne: definiţie, oricre două triunghiuri omotetice sunt semene, mulţime omotetiilor de celşi centru formeză un grup belin izomorf cu grupul multiplictiv l numerelor
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότεραCursul 4. Matrice. Rangul unei matrice. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare. Metoda eliminării a lui Gauss
Lector univ dr Cristin Nrte Cursul 4 Mtrice Rngul unei mtrice Rezolvre sistemelor de ecuţii linire Metod eliminării lui Guss Definiţie O mtrice m n este o serie de mn intrări, numite elemente, rnjte în
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
Διαβάστε περισσότεραSOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ
CLASA a IV-a U gospodar are î curte găii și iepuri, î total 30 de capete și 84 de picioare. Săptămâal, petru hraa uei păsări sut folosite, î medie, 500 g de grăuțe, iar petru hraa uui iepure de 4 ori mai
Διαβάστε περισσότεραTEORIA SISTEMELOR AUTOMATE. Prof. dr. ing. Valer DOLGA,
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE Prof. dr. ig. Vler DOLGA, Curi_7_ Aliz i ruul iemelor liire i domeiul im II. Sieme de ordiul. Ruul iemului l emle drd imul uir re uir rm 3. Noiui rivid clie iemului de ordiul
Διαβάστε περισσότεραAlgebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen.
Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme
Διαβάστε περισσότεραx x m Δx. Rezulta deci că adevătata valoare a mărimii căutate va fi cuprinsă între limitele:
ERORI DE MĂSURĂ L efecture uei determiări, pri repetre celeişi măsurători, reliztă î codiţii idetice, se oţi rezultte diferite, difereţele fiid î geerl mici. Acest fpt dovedeşte că măsurătorile efectute
Διαβάστε περισσότερα5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
Διαβάστε περισσότερα3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuatii liniare
Sisteme e eutii liire Sisteme e ou eutii u ou euosute Def.U sistem e ou eutii u ou euosute re form ( S : ue,,, se umes oefiietii euosutelor, ir, termeii lieri. Def.Se umeste solutie sistemului orie ulu
Διαβάστε περισσότεραDUMITRU BUŞNEAG. PROBLEME de ALGEBRĂ LINIARĂ
DUMITRU BUŞNEG FLORENTIN CHIRTEŞ DN PICIU PROBLEME de LGEBRĂ LINIRĂ Prefţă estă ouă lurre pre o otiure firesă lurării [6]; mele reprezită de fpt pliţii l lurările [ ] Dă [6] oţie pliţii legte de struturile
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραAnexa B2 Elemente de reprezentare grafică în plan şi în spaţiu.
Anex B Elemente de reprezentre grfică în pln şi în spţiu. 1. Tipuri de sisteme de coordonte. Coordonte crteziene Fie xoy un sistem de coordonte crteziene în pln. Fie P un punct în pln vând coordontele
Διαβάστε περισσότερα