ILEA MIHAIL-OVIDIU NOTE DE CURS Matematica Semestrul 1

Transcript

1 ILEA MIHAIL-OVIDIU NOTE DE CURS Mtemti Semestrul

2 .SPAŢII VECTORIALE Noţiue de spţiu vetoril ostituie oietul de studiu l lgerei liire şi repreită u ditre ele mi importte struturi lgerie utilită î diferite rmuri le mtemtiii preum şi î disipliele plite. Defiiţie. O mulţime evidă V se umeşte spţiu vetoril (liir) peste âmpul K (pe surt K-spţiu vetoril) dă sut idepliite următorele odiţii: I. (V, +) formeă o strutură de grup eli (de tip ditiv), diă ) (+)+ = +(+),,, V ) V stfel îât V, + = + ) V, V, + (-) = (-) + = d), V, II. Lege de ompoiţie eteră : K V, (, ) =, stisfe iomele: ) ( + ) = + ) ( + ) = + ) ( ) = ( ) d) =,, K,, V. Codiţiile I şi II repreită iomele spţiului vetoril peste âmpul K. Elemetele mulţimii V se umes vetori, elemetele âmpului K se umes slri, ir lege de ompoiţie eteră se umeşte îmulţire u slri.

3 Dă orpul omuttiv K este orpul umerelor rele R su omplee C, vom vori tui despre u spţiu vetoril rel, respetiv spţiu vetoril omple. Î mjoritte urilor vom îtâli spţii vetorile peste orpul umerelor rele şi le vom umi simplu "spţii vetorile", ir î elellte uri vom idi âmpul slrilor. Dă otăm u V vetorul ul l grupului ditiv V şi u K slrul ul, tui di iomele re defies spţiul vetoril V peste âmpul K vem următorele proprietăţi: Corolr Dă V este u spţiu vetoril peste âmpul K, tui petru, V, K u lo proprietăţile: ) K = V ) V = V 3) (-) = -. Eemple Fie K u orp omuttiv. Ţiâd ot de strutur ditivă eliă âmpului K, tui mulţime K repreită u K-spţiu vetoril. Mi mult dă K' K este u suorp, tui K este u K'-spţiu vetoril. Mulţime umerelor omplee C pote fi privită u C- spţiu vetoril su R-spţiu vetoril respetiv Q-spţiu vetoril. Mulţime K = K K K, ude K este u orp omuttiv, este u K-spţiu vetoril, umit spţiul ritmeti (stdrd),î rport u operţiile :, V, K, = (,,.., ), = (,,.., ) :(,,..., ) : (,,..., ) 3 Mulţime mtrielor M m (K), este u K-spţiu vetoril î rport u operţiile: A B : ( ij ij) A ( ), A = ( ij ), B = ( ij ) M m (K), K. : ij 4 Mulţime K[X] poliomelor u oefiieţi di âmpul K este u K-spţiu vetoril î rport u operţiile: f g (,,...), f (,,...), : : f = (,,..), g = (,,..) K[X], K. 5 Mulţime soluţiilor uui sistem de euţii liire şi omogee formeă u spţiu vetoril peste âmpul K l oefiieţilor estui sistem. Soluţiile uui sistem de m euţii u euosute, privite elemete di K (-uple), pot fi îsumte şi îmulţite u u slr

4 respetâd dure şi produsul u slri defiite pe K. 6 Mulţime vetorilor lieri V 3 di spţiul putul l geometriei elemetre este u R-spţiu vetoril Î oluie,ele două operţii defiite pe V 3, stisfăâd iomele grupei I şi II, îestreă mulţime vetorilor lieri u o strutură de spţiu vetoril rel.. Suspţii vetorile Fie V u spţiu vetoril peste âmpul K. Defiiţie. O sumulţime evidă U V se umeşte suspţiu vetoril l lui V dă operţiile lgerie de pe V idu pe U o strutură de K-spţiu vetoril. Teoremă. Dă U este o sumulţime K-spţiului vetoril V, tui următorele firmţii sut ehivlete: U este suspţiu vetoril î V, U, K vem ) + U ) U 3, U,, U + U. Eemple Mulţime {} V este suspţiu î V, umit suspţiul ul l lui V. Orie suspţiu diferit de spţiul vetoril V şi de suspţiul ul {} se umeşte suspţiu propriu. Mulţime mtrielor simetrie (tisimetrie) de ordiul este u suspţiu l mulţimii mtrielor pătrtie de ordiul.

5 3 Mulţime poliomelor u oefiieţi reli de grd, R[X] = {f R[X]/grd f } repreită u suspţiu vetoril l spţiului vetoril l poliomelor u oefiieţi reli. 4 Sumulţimile R = {(, )/ R} R R = {(, )/ R} R.sut suspţii vetorile le spţiului ritmeti R. Mi geerl, mulţime putelor de pe orie dreptă e tree pri origie spţiului R, determiă u suspţiu vetoril. Aeste suspţii vetorile repreită mulţime soluţiilor uor euţii liire şi omogee î două euosute. Propoiţie. Fie V şi V două suspţii î K-spţiul vetoril V. Sumulţimile V V V şi V + V = = { v V / v v v, v V, v V} V sut suspţii vetorile. Oservţie. Sumulţime V V V u este u suspţiu vetoril. Eemplu. Suspţiile vetorile R şi R defiite î eemplul 4, verifiă relţiile: R R = {} şi R + R = R. Î devăr, dă (, ) R R (, ) R şi (, ) R = şi =, ee e dovedeşte ă suspţiul R R este formt umi di vetorul ul. Petru (, ) R, (, ) R, (, ) R, stfel îât (, ) = (, ) + (, ) ee e demostreă ă R R + R. Iluiue iversă este evidetă. Oservţie. Noţiuile de sumă şi sumă diretă pot fi etise l u umăr fiit de termei. Coseiţă. Dă V şi V sut două suspţii vetorile le spţiului vetoril V tui L(V V )=V + V. Defiiţie. O sumulţime S V se umeşte sistem de geertori petru spţiul vetoril V dă suspţiul geert de sumulţime S oiide u V, L (S)=V. Dă sumulţime S este fiită, şi petru orie vetor v V, i K, i, stfel îât v i i i, tui spuem ă spţiul vetoril V este fiit geert.

6 3.Vetori liiri idepedeti. Vetori liiri depedeti. Fie V u K-spţiu vetoril şi sumulţime S = {,,, p } V. Defiiţie. Sumulţime de vetori S = {,,, p } V se umeşte liir idepedetă ( lieră su vetorii,,, sut liir idepedeţ) dă eglitte..., i K, i, p, p p re lo umi dă.... p O mulţime (fiită su u) de vetori ditr-u spţiu vetoril este liir idepedetă dă orie sistem fiit de vetori este u sistem de vetori liir idepedeţi. Defiiţie. Sumulţime de vetori S = {,,, p } V se umeşte liir depedetă (legtă su vetorii,,.., sut liir depedeţi), dă ( ),,, p K u toţi uli petru re.... p p Remră: Dă ulre uei omiţii liire fiite, formtă u vetorii,,, V, permite eprimre uui vetor î fuţie de eillţi (diă eisteţ măr uui oefiiet eul) tui vetorii,,, p sut liir depedeţi, î otrr eşti sut liir idepedeţi. Teoremă. Dă S = {,,, p } V este o mulţime liir idepedetă şi L(S) operire liiră lui S, tui orie mulţime de p + elemete di L(S) este liir depedetă.

7 4. Bă şi dimesiue Fie V u K-spţiu vetoril Defiiţie. O sumulţime B (fiită su u) de vetori di V se umeşte ă spţiului vetoril V dă: ) B este liir idepedetă ) B repreită u sistem de geertori petru V. Spţiul vetoril V se ie ă este fiit geert su fiit dimesiol dă eistă u sistem fiit de geertori. Teoremă. (de eisteţă elor) Dă V {} este u spţiu vetoril fiit geert şi S este u sistem de geertori petru V, tui eistă o ă B S spţiului vetoril V. (Di orie sistem fiit de geertori l uui spţiu vetoril se pote etrge o ă). Coseiţă. Dă V {} şi S V u sistem fiit de geertori şi L S u sistem liir idepedet, tui eistă o ă B spţiului vetoril V, ş îât L B S. U spţiu vetoril V este fiit dimesiol dă re o ă fiită su dă V = {}, î otrr se umeşte ifiit dimesiol. Eemple Î spţiul ritmeti K sumulţime vetorilor B={e,e,, e }, ude e ={,,, }, e ={,,, },, e ={,,,, }, repreită o ă spţiului vetoril K, umită oiă. Î spţiul vetoril l poliomelor u oefiieţi reli R[X] sumulţime B = {,,,..,,..}, ostituie o ă. R[X] este u spţiu ifiit dimesiol.

8 Propoiţie. Îtr-u K-spţiu vetoril V fiit geert, orie două e u elşi umăr de elemete. Propoiţi preedetă permite itroduere oţiuii de dimesiue uui spţiu vetoril. Defiiţie. Se umeşte dimesiue uui spţiu vetoril fiit geert, umărul de vetori ditr-o ă s, ott u dimv. Spţiul ul {} re dimesiue. Oservţie Dă V este u spţiu vetoril u dimv = tui: ) u sistem de vetori este ă este lier idepedet. ) u sistem de vetori este ă este sistem de geertori. ) Orie sistem de m > vetori este liir depedet. Vom ot u K-spţiu vetoril -dimesiol u V, dimv =. Propoiţie. Dă B ={e, e,, e } este o ă K-spţiului vetoril V tui orie vetor V dmite o eprimre uiă λ e, λ. i i i i K Slrii,,, se umes oordotele vetorului î B, ir ijeţiile f: V K, (λ, λ,..., λ ) se umeşte sistem de oordote pe V. Teoremă. (Grssm - teorem dimesiuii). Dă V şi V sut două suspţii vetorile le K-spţiului vetoril V tui di (V + V ) = dimv + dimv dim(v V ) 5. Mtrie de treere de l o l lt Să osiderăm u K-spţiu vetoril V şi B = {e, e,, e } respetiv B = {e, e,, e } două e î V. Orie vetor di B pote fi eprimt î fuţie de elemetele eleillte e. Aşdr vem relţiile:

9 e' e' e' e e e e e e e e e su e' e, j, j i ij i Notâd u B = t [e, e,, e ], B = t [e, e,, e ] şi u A,,,,...,,...,,...,... mtrie de tip, re re drept oloe oordotele vetorilor e j, j,, relţiile (4.) pot fi srise su form B = t AB Fie um u vetor V, eprimt î ele două e le spţiului vetoril V pri relţiile: i i e i şi respetiv j ' e j ' j Ţiâd sem de relţiile oţiem j j j j j ' e' ' e ' e. ij i i i j ij j i Cum B este ă, eglitte i j ij ' j e i i e i i este ehivletă u i j ij ' j, i, relţii e rterieă trsformre de oordote le uui vetor l o shimre ei spţiului vetoril V. Dă otăm u X = t [,,, ] mtrie oloă oordotelor vetorului î B şi respetiv u X = t [,,, ], mtrie oordotelor eluişi vetor î B, putem srie V V

10 X = AX Mtrie A = ( ij ) se umeşte mtrie de treere de l B l B. Î oluie,îtr-u spţiu vetoril fiit dimesiol vem teorem de shimre ei : Teoremă. Dă î spţiul vetoril V, shimre ei B u B este dtă de relţi B = t AB, tui relţi ître oordotele uui vetor V, î ele două e,este dtă de X = AX. Fie V u spţiu vetoril şi B = {e, e,,e } o ă s. Dă vetorii v, v,, v p V, p sut eprimţi pri relţiile v j = i ije i, tui mtrie A = ( ij ), vâd drept oloe oordotele vetorilor v, v,,v p, v fi umită mtrie de treere de l vetorii e, e,...,e l vetorii v, v,, v p. Coseiţă. Dă B = {e, e,, e } este o ă î V, tui mulţime B = {e, e,, e }, e' j ijei, j, i este ă lui V dă şi umi dă mtrie de treere A = ( ij ) este esigulră. 6.. Spţii vetorile eulidiee Fie V u spţiu vetoril rel. Defiiţie. O pliţie g: V V R, g( (, ) ), u proprietăţile: ),,,,,, V ) <, > = <, >,, V, R ) <, > = <, >,, V

11 d) <, >, <, > = =, V se umeşte produs slr pe spţiul vetoril V. Corolr Dă V este u spţiu vetoril eulidi tui u lo relţiile: ) < +, > = <, > + <, > ) <, > = <, >,,, V, R Defiiţie. U spţiu vetoril V pe re s- defiit u produs slr se umeşte spţiu vetoril eulidi (su V posedă o strutură eulidiă). Teoremă. Dă spţiul vetoril V este u spţiu vetoril eulidi tui vem ieglitte Cuh-Shwr: <, > <, > <, > eglitte vâd lo dă şi umi dă vetorii şi sut liir depedeţi. Eemple Î spţiul ritmeti R petru orie două elemete =(,,..., ) şi = (,,..., ), operţi <, > =: defieşte u produs slr. Produsul slr stfel defiit, umit produsul,îestreă spţiul ritmeti R u o strutură eulidiă. slr uul Mulţime C([, ]) fuţiilor otiue pe itervlul [, ] este u spţiu vetoril î rport u produsul slr defiit de

12 f, g f() g() d Teoremă. Îtr-u spţiu vetoril eulidi V fuţi : V R + defiită pri,, V este o ormă pe V, diă stisfe iomele: ) >, şi = = ) =, V, R ) + + (ieglitte triughiului). U spţiu pe re s- defiit o fuţie ormă se umeşte spţiu ormt. Norm defiită de u produs slr se umeşte ormă eulidiă. Eemplu: Î spţiul ritmeti R orm uui vetor = (,, ) este dtă de... U vetor e V se umeşte versor dă e =. Noţiue de versor permite V să fie sris su form e, e, ude direţi lui e este eeşi u direţi lui. Ieglitte Cuh-Shwr, <, > e permite să defiim ughiul ditre doi vetori, fiid ughiul [, ], dt de os θ, Produsul slr defiit pe u spţiu vetoril V permite itroduere oţiuii de ortogolitte.

13 Defiiţie. I spţiul vetoril V vetorii, V se umes ortogoli dă <, > =. O mulţime S V se spue ă este ortogolă dă vetorii săi sut ortogoli doi âte doi.o mulţime ortogolă se umeşte ortoormtă dă fiere elemet l său re orm eglă u uitte. Propoiţie. Îtr-u spţiu vetoril eulidi V orie mulţime ortogolă, formtă di elemete eule, este liir idepedetă. Coseiţă. Îtr-u spţiu vetoril eulidi -dimesiol V, orie mulţime ortogolă formtă di vetori este o ă î V. Dă î spţiul vetoril eulidi V osiderăm ă ortogolă B = {e, e,, e }, tui orie vetor V pote fi sris î mod ui su form i i e i, ude λ i, e i i e, e i Î devăr, îmulţiid vetorul i λ i ei,ek λk ek,ek di re reultă i i i u e k, oţiem <, e k > =, e k λ k, k, ek, ek. Dă B este ortoormtă vem e,e i j i j, i, i j, ir i = <, e i > şi vor j fi umite oordotele eulidiee le vetorului. 7. Proesul de ortoormre Grmm-Shimdt Fie V u spţiu vetoril eulidi fiit dimesiol. Teoremă. (Grm - Shmidt) Dă {v, v,..., v } este o ă î spţiul vetoril eulidi V tui eistă o ă ortoormtă {e, e,..., e } V stfel îât sistemele

14 de vetori {v, v,..., v p } şi {e, e,..., e p } geereă elşi suspţiu U p V, petru p,. 8. Vetori si vlori proprii. Teorem Cle-Hmilto Defiiţie. Mtrie eulă X M (K) se umeşte vetor propriu l mtriei A dă K stfel îât AX = X. Slrul K se umeşte vlore proprie mtriei A. Euţi mtrielă AX = X pote fi srisă su form (A - I )X = şi este ehivletă u sistemul de euţii liire şi omogee: ( ) ( ) ( re dmite soluţii diferite de soluţi lă dă şi umi dă ) -... P( ) = det(a - I ) = Defiiţie. Poliomul P( ) = det(a - I ) se umeşte poliomul rteristi l mtriei A ir euţi P( ) = se umeşte euţi rteristiă mtriei A. Se pote demostr ă poliomul rteristi re form P( ) = (-) [ (-) ], ude i repreită sum miorilor priipli de ordiul i i mtriei A. Oservţii

15 Soluţiile euţiei rteristie det(a - I ) = sut vlorile proprii le mtriei A. Dă âmpul K este u âmp îhis tui tote rădăiile euţiei rteristie sut î orpul K şi dei vetorii proprii orespuători se vor găsi î K-spţiul vetoril M (K). Î ul î re K u este îhis, de eemplu K = R, euţi rteristiă pote ve şi rădăii omplee ir vetorii proprii orespuători se vor găsi î ompleifitul spţiului vetoril rel. 3 o Petru o mtrie relă şi simetriă se pote demostr ă vlorile proprii sut rele. 4 Două mtrie semee u elşi poliom rteristi. Î devăr, dă A şi A sut semee, A = C - AC u C esigulră, tui P ( ) = det(a - I ) = det(c - AC - I ) = det[c - (A - I)C] = = det(c - ) det(a - I) detc= det(a - I) = P( ) Dă A M (K) şi P() = K[X] tui poliomul P(A) = A + A I se umeşte poliom de mtrie. Teoremă. (Hmilto Cle) Dă P( ) este poliomul rtersiti l mtriei A, tui P(A) =. Coseiţă. Orie poliom î A M (K) de grd pote fi eprimt pritr-u poliom de grd. Coseiţă. Ivers mtriei A pote fi eprimtă pri puteri le mtriei A, iferiore ordiului estei. Să osiderăm um u K-spţiu vetoril -dimesiol V, o ă B şi să otăm u A M (K), mtrie soită edomorfismului T î estă ă. Euţi T = este ehivletă u euţi (A - I )X =. 9. Digolire

16 V. Fie edomorfismul T : V V defiit pe K-spţiul vetoril, -dimesiol Defiiţie. Edomorfismul T: V V se umeşte digoliil dă eistă o ă B = {e, e,..., e } î spţiul vetoril V stfel îât mtrie orespuătore lui T î estă ă să iă form digolă. Teoremă. U edomorfism T: V V este digoliil dă şi umi dă eistă o ă spţiului vetoril V formtă umi di vetori proprii orespuători edomorfismului T. Î odiţiile teoremei preedete, mtriele di ls de semăre e orespud edomorfismului digoliil T, petru diferite e l re rportăm spţiul vetoril V, se umes digoliile. Coseiţă. Dă edomorfismul T re vlori propri distite, tui vetorii proprii orespuători determiă o ă î V şi mtrie soită lui T î estă ă este o mtrie digolă vâd pe digol priiplă vlorile proprii le lui T. Coseiţă. Dă A M (K) este digoliilă tui deta =.... O vlore proprie K, rădăiă euţiei rteristie P( ) =, re u ordi de multipliitte pe re îl vom umi multipliitte lgeriă, ir dimesiue suspţiului propriu orespuător dims v fi umită multipliitte geometriă vlorii proprii. Teoremă. Dimesiue uui suspţiu propriu l edomorfismului T este el mult eglă u ordiul de multipliitte l vlorii proprii orespuătore (multipliitte geometriă este el mult eglă u multipliitte lgeriă). Teoremă. U edomorfism T : V V este digoliil dă şi umi dă poliomul rteristi re tote rădăiile

17 î âmpul K şi dimesiue fieărui suspţiu propriu este eglă u ordiul de multipliitte l vlorii proprii orespuătore. Etpele digolirii Sriem mtrie A, soită edomorfismului T î rport u o ă dtă î spţiul vetoril V. Se reolvă euţi rteristiă det(a - I ) =, determiâd vlorile proprii,,..., p u multipliităţile lor m, m,..., m p. 3 Se pliă reulttul teoremei şi vem urile: I) Dă i K, i =, p se determiă dimesiuile suspţiilor proprii S. i Dimesiue suspţiului propriu S, diă dimesiue spţiului vetoril l i soluţiilor sistemului omoge (A - ii )X =, este dtă de dim S = - rg(a - ii ). Dimesiue suspţiului S. i S se pote fl pri determire efetivă suspţiului i ) dă dim S i = m i, i =,, tui T este digoliil. Mtrie soită lui T, î rport u formtă di vetori propri, este o mtrie digolă vâd pe digol priiplă vlorile proprii srise î ordie de tâte ori ât le este ordiul de multipliitte. Putem verifi est reultt ostruid mtrie T = { t v, t v,..., t v }, vâd drept oloe oordotele vetorilor proprii (mtrie digolitore) şi repreită mtrie de treere de l osidertă iiţil l formtă di vetori propri, ă î rport u re T re mtrie soită mtrie digolă D, dtă de i D = T - AT =... p ) dă i K stfel îât dim S i < m i, tui T u este digoliil. Î prgrful următor vom li est. Dă A M (K) este mtrie soită edomorfismului T î rport u o ă î V, tui A pote fi digolită dă sut idepliite odiţiile teoremei 3.3.

18 Î ul î re vlorile proprii orespuătore edomorfismului T sut di âmpul K, i K, ir multipliitte geometriă este diferită de multipliitte lgeriă dim S < m i i,măr petru o vlore proprie i K, edomorfismul T u este digoliil, î shim se pote determi o ă î spţiul vetoril V î rport u re edomorfismul T să iă o formă oiă mi geerlă, umită form Jord. Petru K, mtriele de form : ( ),,,..., se umes elule Jord tşte slrului, de ordiul,, 3,...,.. Forme Biliire Fie V u spţiu vetoril peste âmpul K. Defiiţie Se umeşte formă iliiră pe spţiul vetoril V o pliţie g:v V K, re stisfe odiţiile: ) g(α + β,) = α g(,) + β g(,) ) g(,α + β) = α g(,) + β g(,),, V şi α, β K. Cu lte uvite, o formă iliiră este o pliţie g : V V K, liiră î mele rgumete. Eemplu. Produsul slr oi pe spţiu vetoril R <, > : R R R,vâd î oiă B = { e,e,,e },epresi litiă <, > = + +, este o formă iliiră. Mulţime formelor iliire defiite pe spiul vetoril V formeă u spţiu vetoril peste K, î rport u opertiile de dure şi îmulţire fuţiilor.

19 Defiiţie O formă iliiră g: V V K se umeşte ) simetriă dă g(,) = g(,),, V ) tisimetriă dă g(,) = - g(,)., V. Fie V u spţiu vetoril -dimesiol, B ={e,e,,e } o ă î spţiul vetoril V şi doi vetori orere = i i e i şi j = j e j j. Epresi formei iliire g, petru vetorii şi,v fi dtă de g(,)=g( i i e i, j e j j ) = i j g ei, e j i j. Notâd u ij = g(e i,e j ), i,j =,,,, se srie su form g(,) = ij i, j i j, umită epresi litiă formei iliire g,ir mtrie formei iliire g, î rport u B. A = ( ij ) se umeşte mtrie Dă otăm u X = t,..., t, şi u Y =,,..., tui epresi se srie mtriel su form g(,) = t XAY Corespodeţ pri re fieărei forme iliire g i se soiă o mtrie pătrtiă A, este u iomorfism de spţii vetorile.i plus,uei forme iliire simetrie (tisimetrie),îtro ă dtă î spţiul vetoril V, i se soiă o mtrie simetriă (tisimetriă). Teoremă Dă Ω M ( K ) este mtrie de treere de l B l B', i spţiul vetoril V, ir A şi A' sut mtriele ssoite formei iliire g î rport u ele două e,tui A' = t ΩAΩ Rgul mtriei A defieşte rgul formei iliire g. Aest este u ivrit l shimre de ă. I este oditii, se justifiă otiue de formă iliiră edegeertă (degeertă), fiid e formă iliiră g:v V K ărei mtrie A, î rport u o ă B spţiului vetoril V, este edegeertă (degeertă).

20 . Forme Ptrtie Defiiţie Se umeşte formă pătrtiă pe K- spţiul vetoril V o pliţie h: V K u propriette ă eistă o formă iliiră simetriă g :V V K ş îât h() = g(,), V. Form iliiră simetriă g e defieşte î mod ui form pătrtiă h se umeşte form polră su form dedultă soită lui h. Dă se uoşte form pătrtiă h tui form polră soită este dtă de epresi g(,) = [ h( + ) h() h()] Eemplu. Produsul slr oi defiit pe spţiul ritmeti R defieşte î mod ui form pătrtiă h() =<, > =, R, re repreită pătrtul ormei eulidiee. Să osiderăm um u spţiu vetoril fiit dimesiol V, B ={e,e,,e } o ă s şi = i i e i u vetor orere di V. Epresi litiă formei pătrtie h este dtă de h() = g(,) = i j ij i j = t XAX, ude A = ( ij ), i,j =,,, este mtrie soită formei iliire simetrie g. Mtrie şi rgul formei iliire simetrie g defies mtrie, respetiv rgul formei pătrtie h. Defiiţie Vetorii, V se umes ortogoli î rport u form iliiră simetriă g (su u form pătrtiă h ) dă g(,) =.

21 O mulţime U V se ie ortogolă î rport u form iliiră simetriă g dă orie doi vetori i săi sut ortogoli, diă g(,) =, U,. Dă sumulţime B ={e,e,,e } V este o ă ortogolă spţiului vetoril V, î rport u g, tui mtrie formei iliire g este o mtrie digolă.i devăr, ij = g(e i,e j ) =, i j. I est, epresi litiă formei iliire simetrie g este g(,) = i ii i i ir epresi litiă formei pătrtie h este dtă de h() = i ii i Epresiile sut umite forme oie.. Aduere uei forme ptrtie l form oi Fie V u K-spţiu vetoril, h : V K o formă pătrtiă pe V şi A mtrie simetriă e repreită form pătrtiă h î rport u B V. Epresi litiă formei pătrtie h î estă ă este :h()= i, j ijij su mtriel h() = t XAX L o shimre de ă î spţiul vetoril V,form pătrtiă h este rterită de mtrie A ' = t A, ude este mtrie de treere de l B l B '. Se pue î mod turl prolem găsirii uei e î rport u re form pătrtiă h re epresi e mi simplă. Dă orpul K este de rteristiă diferită de doi tui mtrie simetriă A dmite formă digolă,diă h dmite formă oiă. Teoremă (Guss) Epresi oriărei forme pătrtie pe u spţiu vetoril V pote fi redusă,pritr-o shimre de ă,l form oiă. Fie h() = i j ij i j, epresi litiă formei pătrtie eule h. Petru îeput osiderăm ul ii =, i =,. Cum h u este ideti ulă, eistă măr u elemet ij, i j.

22 Efetuâd trsformre de oordote : i j k ' i i ' ' k, k j j ' ' i, j Epresi formei pătrtie devie h() = i, j ij i j î re el puţi uul di elemetele ii este eul.dei orie formă pătrtiă pritr-o trsformre de oordote, diă o shimre de ă î spţiul vetoril V,dă este ul, pote fi eprimtă liti pritr-o epresie, î re el puţi u elemet de pe digol priiplă mtriei A, să fie eul. I ele e urmeă vom demostr pri iduţie după ă o formă pătrtiă, u el puţi u elemet eul de pe digol priiplă, pote fi redusă l formă oiă, pri shimări suesive de ă î spţiul vetoril V. Fără restrăge geerlitte,presupuem ă lui h o sriem su form, î re epresi litiă h() = + k k k + i, j ij i j Adăugăm î epresi litiă preedetă termeii eesri petru formre pătrtului epresiei şi oţiem h() = ( ) + ij i j ' ij " ' '. Efetuâd shimre de oordote = j = j, j=,, ehivletă u o shimre de ă î spţiul vetoril V,epresi formei pătrtie î estă ă se srie su form h( ) = + ' i, j ij i j.

23 Epresi h () = i, j ij i j este o formă pătrtiă î vriile. Repetăd proedeul de mi sus,după el mult - pşi vom oţie o ă B *,î rport u re form pătrtiă h se srie o sumă de r = rg h pătrte. Aestă epresie repreită form oiă formei pătrtie h...t.d. Teoremă (Joi) Fie h este o formă pătrtiă pe V şi A=( ij ) mtrie soită îtr-o ă B V. Dă toţi determiţii priipli =, =,, =det.a sut euli, tui eistă o ă B î V î rport u re form pătrtiă h dmite epresi oiă h( ) = ( i), i î re = ir i, i=,, sut oordotele vetorului î B. Fie o formă pătrtiă h : V R şi form ei oiă h() = X + X r X r, r = rg h, oţiută pri u di metodele preette mi sus. Dă otăm u p, umărul oefiieţilor strit poitivi di epresi oiă (3.6), umit idie poitiv de ierţie l lui h, u q = r - p umărul oefiieţilor strit egtivi di (3.6), umit idie egtiv de ierţie, tui umărul îtreg s = p q v fi umit sigtur formei pătrtie h. Teoremă (Slvester) (lege de ierţie ) Sigtur uei forme pătrtie h este eeşi î orie epresie oiă s (sigtur u depide de metod pri re se oţie epresi oiă). Defiiţii O formă pătrtiă h se umeşte : ) poitiv defiită dă h(), V )egtiv defiită dă h(), V

24 )semidefiită poitiv dă h(), V egtiv dă h(), V şi V ş îât h() = d)edefiită dă, V ş îât h() şi h(). Oservţie: Di defiiţi preedetă, oţiem ă o formă pătrtiă este poitiv (egtiv) defiită dă şi umi dă p = ( q = ). Teoremă (Criteriul lui Slvester ) Dă sut îdepliite odiţiile teoremei lui Joi, tui o formă pătrtiă h este: poitiv defiită i, i =, egtiv defiită (-) k k, k =,. 3. Plul î spţiu Î spţiul geometriei eulidiee E 3, u pl este î mod ui determit de următorele odiţii: ) trei pute eoliire ) u put şi două drepte eprlele 3) u put şi o dreptă perpediulră pe pl.. Plul pri trei pute Fie M, M, M E 3 trei pute eoliire (fi idepedete). Suspţiul fi E 3 geert de putele M, M, M re spţiu vetoril diretor u suspţiu de dimesiue doi î spţiul vetoril V 3, dt de V = { M M V, R, stfel îât M M M M M M }

25 M M M r r r M r O U put M dă şi umi dă M M V. Dă otăm u r = OM, r i = OM i, i =,, vetori de poiţie i putelor M şi respetiv M, M, M î reperul rtei R (O; i, j, k ), (O) tui mulţime putelor plului v fi rterit de relţi vetorilă r r r r ) ( r ),, R ( r umită euţi vetorilă plului pri trei pute. Dă (,, ), ( i, i, i ) R 3, i =,, sut oordotele putelor M şi respetiv M i, i =,, tui euţi vetorilă (.) srisă î reperul rtei O este ehivletă u euţiile ( ( ( ) ) ) ( ( ( ) ), ), R umite euţiile rteiee prmetrie le plului pri trei pute. Relţi M M = M M + M M repreită odiţi de oplritte vetorilor M M, M M, M M ehivletă u ulre produsului mit, diă ( M M, M M, M M ) = su ( r r, r r, r r ) Î oordote rteiee euţi (.3) se srie su form

26 su umită euţie rteiă plului pri trei pute. Î prtiulr, putele A (,, ), B (,, ), C (,, ) situte pe ele de oordote le reperului O determiă u pl, ir oordotele putelor sle stisf euţi, su după devoltre umită euţi pri tăieturi plului. Remră. Codiţi eesră şi sufiietă petru ptru pute M i ( i, i, i ), 4, i să fie situte îtr-u pl este Plul pritr-u put, prlel u două direţii dte Fie putul M E 3 şi dreptele distite d, d E 3. Cosiderăm î putul M repreetţii vetorilor v (l, m, ), v (l, m, ) prleli dreptelor d respetiv d (fig.) Vetorii v şi v, liir idepedeţi geereă suspţiul vetoril V = { R, v V, stfel îât v v v }.

27 d v d M M r r v O Putul M E 3 şi suspţiul vetoril V determiă suspţiul fi idimesiol E 3. U put M dă şi umi dă M M V, diă vetorii M M, v şi v sut oplri. Utiliâd vetorii de poiţie r şi r orespuători putelor M şi respetiv M, relţi de oplritte M M v v se srie su form r r v v umită euţi vetorilă plului pritr-u put, prlel u două direţii. Proietâd euţi pe ele sistemului rtei de oordote O oţiem: l m l m,, R umite euţiile rteiee su formă prmetriă le plului pritr-u put, prlel u două direţii. Relţi de oplritte vetorilor M M, v şi v este rterită de ulre produsului mit l elor trei vetori, diă ( r r, v, v ) =. Oţiem stfel euţi l l m m umită euţi rteiă plului pritr-u put, prlel u două direţii. Remră. Î prtiulr, euţi (.9) pote fi dpttă şi petru lte situţii uosute di geometri elemetră, î re u pl este perfet determit. Aume: plul determit de o dreptă şi u put esitut pe dreptă, plul determit de două drepte ourete şi respetiv plul determit de două drepte prlele.

28 3. Plul pritr-u put, perpediulr pe o dreptă Primele două uri de determire uui pl sut speifie uui spţiu fi, plul fiid gâdit mulţime suport uui suspţiu fi de dimesiue doi l spţiului fi E 3. Puâd î vlore proprietăţile oferite de strutur eulidiă spţiului vetoril V 3, putem rteri lgeri putele uui pl pritr-u put şi re să fie perpediulr pe o direţie dtă. Se ştie di geometri elemetră ă eistă u sigur pl şi umi uul re tree pritr-u put şi este perpediulr pe o dreptă dtă. Di put de vedere lgeri est fpt se eprimă î felul următor: dă V este u suspţiu vetoril de dimesiue doi î spţiul vetoril eulidi l vetorilor lieri V 3 tui eistă u ui omplemet ortogol V, suspţiu de dimesiue uu, re permite sriere î sumă diretă spţiului vetoril l vetorilor lieri, su form V 3 = V V. Dei, determire plului fi pritr-u put vâd spţiu vetoril diretor pe V este ehivletă u determire plului pritr-u put vâd direţi ormlei prlelă u suspţiul V ortogol suspţiului V. U vetor u direţie perpediulră pe u pl v fi umit vetorul orml l plului su pe surt orml plului. Fie u put M ( o,, ) E 3 şi vetorul eul N (A, B, C) V 3 î spţiul putul eulidi E 3 dott u reperul rtei ortoormt R (O; i, j, k ), (fig.3). d N M M drept U put M(,, ) este situt î plul, plul pri putul M perpediulr pe d N, dă şi umi dă vetorul M M este ortogol pe vetorul N, diă M M N =. Folosid epresi litiă produsului slr oţiem: A( - ) + B( - ) + C( - ) =

29 umită euţi plului pritr-u put şi de ormlă dtă. Prelurâd memrul stâg l euţiei şi otâd u D = - (A + B + C ) oţiem: A + B + C + D = umită euţi rteiă geerlă uui pl. Oservţii. Orie pl E 3 este rterit îtr-u reper rtei O de o euţie poliomilă de grdul I î edetermitele,, şi reipro.. Î euţi (.) oefiieţii edetermitelor repreită oordotele vetorului orml l pl. Î oseiţă, două ple le ăror euţii diferă pri termeul lier sut ple prlele, dei euţi A + B + C =, R repreită fmili plelor prlele di spţiu de ormlă dtă N (A, B, C). Petru = euţi repreită euţi uui pl pri origie. 3. Euţiile plelor de oordote. Aeste ple oţi origie, dei = şi u ormle vetorii reperului R (O; i, j, k ), i = (,,), j = (,,), k = (,,). Oţiem: = = = euţi plului O euţi plului O euţi plului O 4. Euţi ormlă uui pl. Să osiderăm plul E 3 şi putul M proieţi origiii reperului R (O; i, j, k ) pe plul. Dă otăm u p distţ de l origie l plul, u,, ughiurile pe re le fe vetorul OM u ele de oordote tui putem srie: OM = OM e = p (os i + os j + os k ),

30 e = os + os + os = U put M (,, ) este situt î plul dă şi umi dă vetorii OM = p os i + p os j + p os k şi M M = OM - OM = = ( - p os ) i + ( p os ) j + ( p os ) k sut ortogoli, diă OM M M =. Î oordote odiţi de ortogolitte este ehivletă u: os + os + os - p = umită euţi ormlă plului su euţi plului su form lui Hess. Î euţi p R + repreită distţ origiii l plul, ir tităţiile os, os, os u propriette os + os + os = repreită oordotele versorului e l direţiei ormle l plul şi vor fi umite osiusurile diretore le direţiei e. Dă osiderăm plul dt pri euţi geerlă A + B + C +D =, vâd orml N = (A, B, C) şi împărţim euţi pri N A B C oţiem: A A B B C C D umită euţi ormlită plului. Alegem semul + su - după um D este egtiv su poitiv, îtruât omprâd euţi (.4) u euţi (.3) vem A B C os, os, os, şi termeul A B C A B C A B C lier A D B C p, î re p >, repreită o distţă. 4. Poiţi reltivă două ple Studiul poiţiilor geometrie două ple, E 3 : ple e se itereseteă după o dreptă ple prlele (strit) ple ofudte, se redue l studiul mulţimii soluţiilor sistemului formt u euţiile elor două ple. Să osiderăm î reperul rtei ortoormt R (O; i, j, k ) plele ( ): A + B + C + D = şi ( ): A + B + C + D =.

31 Dă otăm u M A A B B C C mtrie sistemului ( S ) A A B B C C D D, vem următorele uri: - rg M = sistemul (S ) este omptiil simplu edetermit. Mulţime soluţiilor sistemului rterieă loul geometri l putelor omue elor două ple, diă drept de iterseţie elor două ple d =. rg M = şi = sistemul (S ) este omptiil dulu edetermit, diă ele două ple oiid,. rg M = şi sistemul (S ) este iomptiil. Cele două ple u u ii u put omu,. 5. Poiţi reltivă trei ple Î spţiul putul eulidi 3 dott u reperul rtei R (O; i, j, k ) osiderăm plele: ( ): A + B + C + D = (S ) ( ): A + B + C + D = ( 3 ): A 3 + B 3 + C 3 + D 3 = Notăm u A A 3 B M A B C, B 3 mtrie sistemului formt u euţiile elor trei pluri. Avem următorele uri: C C 3

32 rg M = 3 sistemul (S ) este omptiil determit. Soluţi sistemului repreită oordotele putului omu elor trei ple. Vom spue ă ele trei ple sut ourete (sop de ple). rg M = şi = sistemul (S ) este omptiil simplu edetermit. Mulţime soluţiilor repreită oordotele putelor situte pe o dreptă omuă elor trei ple. Spuem ă ele trei ple formeă u fsiul de ple. Codiţiile rg M = şi = sut ehivlete u fptul ă o euţie sistemului (S ) este o omiţie liiră elorllte. Dă plele ( ) şi ( ) determiă o dreptă (d) tui orie pl pri drept de iterseţie este repreett liti o omiţie euţiilor elor două ple. Euţi fsiulului de ple pri drept de iterseţie plelor şi, umită fsiulului, este dtă de (A + B + C + D ) + (A + B + C + D ) =, R, + Euţi A + B + C + D + (A + B + C + D ) =, R repreită euţi fsiulului pri drept (d) di re lipseşte plul. Î prtiulr, O gâdită iterseţi plelor O şi O, determiă fsiulul plelor pri O rterit de + = rg M = şi sistemul (S ) este iomptiil. Două ple se iterseteă după o dreptă, l treile pl fiid prlel u drept de iterseţie primelor două ple ( plele formeă o prismă) rg M = şi = = sistemul (S ) este omptiil dulu edetermit. Cele trei ple sut ofudte. rg M = şi sistemul (S ) este iomptiil. Plele sut i prlele (strit su două pot fi ofudte).

33 4. Drept î spţiu Fie R (O; i, j, k ), u reper rtei ortoormt î spţiul putul eulidi E 3 = (E 3, V 3, ). Oriărui put M E 3 îi putem soi vetorul de poiţie r OM i j k, ude ter (,, ) R 3, oordotele vetorului OM î { i, j, k } vor fi umite oordotele putului M. Î spţiul geometri E 3, o dreptă este ui determită de următorele odiţii: - u put şi de o direţie dtă - două pute distite - iterseţi două ple. Drept determită de u put şi o direţie Fie u put M E 3 şi vetorul eul v V 3. Vetorul eul v geereă suspţiul vetoril uidimesiol V = {u V 3 /u = v, R}. Î este odiţii suspţiul fi e oţie putul M şi re dmite pe V O M v M d d spţiu diretor,v ve drept mulţime suport drept (d) le ărei pute sut dte de { M E M M } 3 V Sriid Codiţi M M V re lo dă şi umi dă R ş îât M M = v. M M = r r oţiem

34 r r v, R umită euţi vetorilă dreptei (d) pri putul M vâd direţi dtă de vetorul v. Dă proietăm relţi pe ele reperului rtei R(O, i, j, k ) oţiem: l m, R umite euţiile prmetrie le dreptei d pri putul M (,, ) vâd direţi dtă de vetorul v li mj k. Vetorul v = (l, m, ) V 3 v fi umit vetorul diretor l dreptei (d) ir oordotele l, m, R vor fi umite prmetrii diretori i dreptei (d). Dă vetorul diretor este versorul e, re formeă ughiurile,, u ele de oordote O, O, O, tui prmetrii diretori: os, os, os, oordotele versorului e, se vor umi osiusurile diretore le dreptei (d). Cosiusurile diretore le uei direţii î spţiu stisf relţi os + os + os = Oservţie: euţiile su form ehivletă ) guvereă mişre retiliie şi uiformă uui put mteril. Elimiâd prmetrul di euţiile (.) se oţi euţiile:, l m umite euţiile rteiee oie (su formă de rporte) le dreptei d pri putul M (,, ) şi u direţi dtă de vetorul v = (l, m, ) Oservţie. Euţiile oie se sriu şi âd uul su doi prmetri diretori sut uli, oveid î est ă umărătorul orespuător este ul şi ă euţiile sut dte efetiv de eglre produsului meilor u produsul etremilor î proporţiile formte.

35 . Drept determită de două pute distite Fie M, M E 3 două pute distite. Suspţiul fi geert de este pute v ve spţiu vetoril diretor suspţiul uidimesiol V V 3 dt de V = { M M V 3 R stfel îât M M = M M } M M M O Cu lte uvite u put M E 3 prţie mulţimii suport suspţiului fi geert de putele M şi M, diă M este situt pe drept pri ele două pute, dă şi umi dă vetorii M M şi M M sut oliiri. Astfel, mulţime putelor dreptei pri M şi M v fi rterită de relţi vetorilă su r ( ) r r, R ( r r ) ( r r ) umită euţi vetorilă dreptei pri două pute. Î reperul rtei R (O; i, j, k ), osiderâd M(,, ), M (,, ) şi M (,, ), vom oţie: ( ( ( ) ) ), R umite euţiile prmetrie le dreptei pri două pute. Oservţie: Petru (, ) euţiile e proură mulţime putelor de pe drept (d) uprise ître putele M şi M, ir petru R \ [, ] oţiem putele dreptei (d), pute eteriore segmetului M M. Petru M M. oţiem oordotele mijloelor segmetului

36 Elimire prmetrului R î euţiile su impuâd proporţiolitte oordotelor doi vetori oliiri, oţiem umite euţiile rteiee su formă oiă le uei drepte pri două pute. 3. Drept iterseţie două ple Se ştie di geometri elemetră ă două ple eprlele se iterseteă după o dreptă (d). Î prgrful preedet estă situţie geometriă este rterită liti de u sistem de euţii liire omptiil edetermit, formt u euţiile elor două ple. Astfel, euţiile sistemului A A B B C C D D vor fi umite euţiile dreptei (d) dtă de iterseţi două ple. O soluţie (,, ) sistemului (.7) v rteri u put l dreptei (d) ir vetorul v N N, ude N ( A, B, C) şi N ( A, B, C) sut ormlele elor două ple e determiă drept (d). 4. Poiţi reltivă două drepte Fie dreptele (d ) şi (d ) dte de euţiile (d ) l m (d ) l m

37 Cosiderăm vetorii v = (l, m, ), v = (l, m, ) vetori diretori i dreptelor (d ) respetiv (d ) şi vetorul M M, ude M (,, ) d respetiv M (,, ) d. Avem urile: ) dă ( v, v, M M ) dreptele (d ) şi (d ) sut eoplre su drepte orere î spţiu (strâm şete î spţiu) Î est eistă o direţie omuă ormlă uiă pe ele două drepte, dtă de v = v v şi dei o uiă dreptă re se sprijiă pe ele două drepte vâd direţi v, umită perpediulr omuă dreptelor (d ) şi (d ). Perpediulr omuă (d) este dtă de iterseţi plelor şi ; - plul pri drept (d ) prlel u v şi - plul pri (d ) prlel u v. Euţiile perpediulrei omue sut: l l m m l l m m ude (l, m, ) = v = v v ) dă ( v, v, M M ) v v - drepte ourete ) = dreptele (d ) şi (d ) sut oplre ) v = v - drepte prlele (strit) 3 ) v = v şi M M = v - drepte ofudte

38 5. Ughiuri şi distţe Fie (d) o dreptă î spţiul putul eulidi E 3. Pe drept (d) se pot stili două sesuri de prurs. O dreptă (d) împreuă u o legere uui ses de prurs se umeşte dreptă oriettă. Dă v este vetorul diretor l dreptei (d), tui vom lege sesul de prurs pe dreptă sesul lui v (ses poitiv). Fie plul E 3 vâd vetorul orml N. Plul re două feţe ir legere uui ses pe drept ormlă este ehivletă u legere uei feţe plului. U pl împreuă u o legere sesului pe ormlă se umeşte pl oriett. Vom lege sesul pe ormlă sesul dt de vetorul N.. Ughiul două drepte î spţiu (l, m, ). Fie dreptele (d ) şi (d ) oriette de vetori diretori v = (l, m, ) şi respetiv v = Pri ughiul dreptelor (d ) şi (d ) vom îţelege ughiul vetorii v şi v, dt de [, ], ughiul ditre os = l l l m m m l m Î prtiulr vem: d d v v = l l +m m + = d d v v = l l m m

39 . Ughiul două ple Fie plele eprlele şi, dte de ( ) A + B + C + D = ( ) A + B + C + D = Î geometri elemetră ughiul două ple eprlele este defiit fiid ughiul diedru l elor două ple. Aest ughi este ogruet su suplemetr u ughiul vetorilor N A, B, ) şi N A, B, ), vetorii ormli plelor respetiv. ( C ( C Aeptăm ughiul diedru determit de plele oriette şi să fie măsurt pri ughiul ditre N şi N. Aest ughi este dt de os = A A A B C B B A C C B C Î prtiulr A A +B B +C C = 3. Ughiul ditre o dreptă şi u pl Ughiul ditre o dreptă şi u pl este defiit î geometri elemetră fiid ughiul ditre dreptă şi proieţi ortogolă estei pe pl. Fie drept (d) oriettă de vetorul diretor v = (l, m, ) şi plul oriett de orml N ( A, B, C) (fig. 5) N d d

40 Ughiul [, ] ditre drept (d) şi plul este legt de ughiul, ughiul vetorilor v şi N, pri relţiile =,dei si os.astfel oţiem : si vn = v N l m la mb C A B C Î prtiulr: d v N = la + mb + C =, d v N = l m B C. 4 Distţ de l u put l o dreptă Remitim ă distţ ditre două sumulţimi S şi S îtr-u spţiu metri este dtă de ( S, S ) = if { ( M, M ) M S, M S }. Î spţiul putul eulidi E 3 dott u metriă eulidiă distţ ditre două sumulţimi se redue l distţ ditre două pute. Astfel, distţ de l u put l o dreptă este dtă de distţ ditre put şi proieţi ortogolă estui pe dreptă (fig. 6) M Fie drept (d) pri putul M, oriettă pri vetorul diretor v, putul A eterior dreptei şi A proieţi estui pe drept (d). Determiâd putul A, iterseţi dreptei (d) u plul pri A ortogol dreptei, oţiem (A, d) = (A, A ). Altfel, ostruid prlelogrmul determit de vetorii A A v d M A şi v, oţiem (A, d) = (A, A ) = v M A v

41 5. Distţ de l u put l u pl Distţ de l u put M l u pl ( ) A + B + C + D = este dtă de distţ ditre putul M (,, ) şi putul M (,, ), proieţi ortogolă estuipe plul.determiăm oordotele (,, ) le putului M, reolvâd sistemul formt de euţi plului şi euţiile dreptei pri putul M ortogolă pe pl, diă: A B C D A B C Prmetrul pe dreptă orespuător putului M, ott u, este dt de A B C = - A B C D şi oţiem (M,M ) = ( = ) ( ) ( ) = A B C = A B C ir distţ de l putul M l plul este dtă de (M, ) = A A B B C C D Oservţie: Distţ de l u put M l u pl se oţie luâd modulul epresiei oţiute pri îlouire oordotelor putului dt î memrul stâg l euţiei ormlite plului. 6. Distţ ditre două drepte orere î spţiu Fie dreptele orere î spţiu (d ) l m

42 (d ) l m Fie (d) perpediulr omuă dreptelor (d ) şi (d ) ir P respetiv P putele de ott le estei u (d ) respetiv (d ). Costruim prlelipipedul determit de vetorii M M = = ( -, -, - ), v = (l, m, ) şi v = (l, m, ). d N v d P M P M v d Distţ ditre dreptele (d ) şi (d ) este dtă de distţ ditre putele de ott le perpediulrei omue u ele două drepte, distţ e repreită îălţime prlelipipedului ostruit. Astfel, oţiem (d, d ) = (P, P ) = ( v, v, MM v v ) 6. Vetori lieri Mulţime vetorilor lieri V 3 di spţiul putul l geometriei elemetre este u R- spţiu vetoril Petru ostrui estă mulţime să osiderăm spţiul geometri E 3 şi mulţime M = E 3 E 3 = {(A, B)/ A, B E 3 }. Elemetele mulţimii M sut umite ipute su segmete oriette şi vor fi otte pri AB. Putul A v fi umit origie ir B v fi umit etremitte segmetului AB. Î ul î re origie şi etremitte oiid se oţie segmetul ul (A, A). Drept determită de putele A şi B se umeşte drept suport

43 segmetului AB. Două segmete oriette u eeşi direţie dă dreptele suport sut prlele su oiid. Două segmete oriette eule AB şi CD u eeşi direţie, u elşi ses dă etremităţile lor se flă î elşi semipl determit de drept e ueşte origiile elor B A D C două segmete, Lugime (modulul su orm) uui segmet oriett AB se defieşte fiid lugime geometriă segmetului eoriett [AB], diă distţ de l putul A l putul B şi v fi ottă u AB ( AB ). Segmetul ul re lugime ero. Pe mulţime M itroduem relţi de ehipoleţă "~". Două segmete oriette AB şi CD se i ehipolete dă este u eeşi direţie,elşi ses şi eeşi lugime, (fig.) : B D A C Se verifiă uşor ă relţi de ehipoleţă este o relţie de ehivleţă pe mulţime M ( este refleivă, simetriă şi tritivă). Mulţime lselor de ehivleţă, î rport u estă relţie: M /~ = {( A, B ) A,B E 3 } = V 3 defieşte mulţime vetorilor lieri i spţiului geometri E 3. Cls de ehivleţă segmetului oriett AB v fi ottă u AB v şi v fi umită vetor lier ir segmetul oriett AB AB v fi umit repreettul vetorului lier v î putul A. Direţi, sesul şi lugime re sut omue tuturor elemetelor uei lse de ehivleţă defies direţi, sesul şi lugime vetorului lier. Petru lugime uui vetor lier vom folosi otţiile v su v. Vetorul lier de lugime ero se umeşte vetorul ul şi se oteă u. U vetor lier de lugime uu se umeşte vetor uitte su versor. Doi vetori lier u şi v sut egli oriette ehipolete. u v dă repreetţii lor sut două segmete Doi vetori lieri re u eeşi direţie se umes vetori oliiri. Doi vetori oliiri u eeşi lugime şi de sesuri opuse se umes vetori opuşi.

44 Trei vetori lieri se umes oplri dă segmetele oriette orespuătore sut prlele u u pl. Mulţime V 3 pote fi orgită u grup ditiv eli. Dă vetorii lieri u şi v sut repreetţi de segmetele oriette AB şi respetiv AC, tui vetorul repreett de segmetul oriett AD defieşte sum vetorilor u şi v şi se oteă u w u v (fig. 3) u B w D A v C Regul e defieşte sum doi vetori lieri u şi v este umită regul prlelogrmelor (su regul triughiului). Sum doi vetori lieri + : V 3 V 3 V 3, ( u, v) u v este o lege de ompoiţie iteră ie defiită (u depide de legere repreetţilor). Aiomele de grup ditiv eli sut uşor de verifit. Lege de ompoiţie eteră : K V 3 V 3, (,v) v ude vetorul v este rterit de eeşi direţie u v, elşi ses dă, ses opus dă şi v = v, stisfe iomele grupei II- di defiiţi uui spţiu vetoril. Î oluie,ele două operţii defiite pe V 3, stisfăâd iomele grupei I şi II, îestreă mulţime vetorilor lieri u o strutură de spţiu vetoril rel. 7. Produs Slr Fie V 3 spţiul vetoril rel l vetorilor lieri Teoremă. Fuţi :V 3 V 3 R, defiită pri

45 u v u v os u,v, u,v V3\{ } petru su / si defieşte u produs slr pe spţiul vetoril l vetorilor lieri. Petru ul î re el puţi u ftor l produsului slr este vetorul ul proprietăţile reultă imedit. Coseiţă. Spţiul vetoril l vetorilor lieri V 3 îestrt u produsul slr (.) este u spţiu vetoril eulidi rel. Coseiţă. Spţiul fi A 3 = ( E 3, V 3, ) vâd spţiu vetoril soit spţiul eulidi V 3, devie u spţiu putul eulidi pe re-l vom ot u 3. Oservţii. Î prgrful preedet u fost evideţite ijeţiile turle ditre spţiile E 3, V 3 şi R 3. Astfel, vâd fit u reper rtei R (O; e, e, e3 ) î spţiul fi A 3, fuţi de oordote f: V 3 R 3, defiită pri f (u ) = (,, 3 ) R 3, u V 3, relieă o ijeţie ître ele două spţii vetorile. Aestă ijeţie repreită u iomorfism de spţii vetorile re permite trsportul struturii eulidiee oie defiită pe R 3 pe spţiul vetoril l vetorilor lieri V 3. Se verifiă uşor ă pliţi : <,> :V 3 V 3 R, (u, v ) < u, v > =: <f( u ), f( v )> R este u produs slr pe V 3, ude <, > R este produsul slr defiit pe R 3. Cu jutorul estui produs slr se defieşte î mod turl orm u = = f( u), f(v) R u, v Dă osiderăm două pute ritrre A, B E 3 şi vetorii de poiţie OA şi OB rteriţi de terele (,, 3 ) R 3, şi respetiv (,, 3 ) R 3, tui vetorul AB OB OA v fi rterit de ter (,, 3 3 ) şi v ve orm dtă de AB = AB, AB = f ( AB), f ( AB) R = = ( = ( A, B) = AB. ) ( ) ( 3 3)

46 Aest reultt rtă ă orm AB defiită de produsul slr (.) oiide u lugime geometriă AB, vetorului AB. Ughiul doi vetori euli OA şi OB V 3 defiit de produsul slr <, > oiide u ughiul (geometri) defiit de direţiile semidreptelor OA şi OB. Î devăr, os OA, OB OA OB = pr OB pr OA OB = OA = os( OA, OB ). OB OB Î oseieţă, produsul slr, idus de ijeţi f, vetorilor lieri, oiide u produsul slr. pe spţiul vetoril V 3 l Cuoştere produsului slr pe spţiul vetoril l vetorilor lieri permite lulul lugimii vetorilor şi ughiului ditre doi vetori: =, os, (, ) 3 Doi vetori euli sut ortogoli produsul lor slr este ul. Fie B = { e, e, e3 } o ă î spţiul vetoril V 3. Dă e e 3e3 şi e e 3e3, tui oţiem: e e e e ( ( ) e e 3 3 ) e e ( ) e e e e 3 3 Dei, produsul slr doi vetori este perfet determit dă se uoşte îmulţire slră vetorilor ei B. O ă î V 3 formtă di vetori ortogoli doi âte doi este umită ă ortoormtă ir oordotele uui vetor îtr-o ă ortoormtă se umes oordote eulidiee. Î geometri eulidiă se demostreă ă pritr-u put eistă trei drepte perpediulre două âte două de ude reultă eisteţ uui reper rtei ortoormt î spţiul putul eulidi 3. i j Dă B = { i, j, k } este o ă ortoormtă î V 3 tui i i j j kk, ik jk, diă produsul slr l vetorilor ei B este dt de telul i j k i

47 j k Produsul slr doi vetori orere epresi oiă 3 i j k şi i j 3k v ve 33 Proieţi ortogolă vetorului pe direţi vetorului i este dtă de i pr i i ( i ) i i, log pr j j şi pr k ii k 3. Astfel oordotele eulidiee le vetorului repreită mărimile proieţiilor ortogole le lui pe ele trei e le reperului rtei ortoormt. Epresiile litie le ormei uui vetor şi respetiv ughiului doi vetori vor fi dte de = 3 os(, ) = , [, ] Î prtiulr vetorii şi sut ortogoli dă şi umi dă = 8. Produs vetoril Fie vetorii şi V 3. Petru şi otăm u [, ] ughiul ditre şi. Defiiţie. Se umeşte produs vetoril, operţi iră iteră :V 3 V 3 V 3, re soiă perehii ordote (, ) vetorul ott u, rterit de = si = este ortogol pe şi 3 Sesul vetorului = este dt de regul mâiii drepte âd

48 rotim pe peste su u ughi suţit (regul urghiului drept) (fig. 4) Dă otăm u e versorul direţiei ortogole pe şi tui = si e. Propoiţie. Produsul vetoril re următorele proprietăţi:. = - (tiomuttivitte). ( + ) = + (distriutivitte) 3. ( ) = ( ) = (omogeitte) 4. petru,, 5. petru, orm repreită ri prlelogrmului ostruit pe repreetţii îtr-u put i vetorilor şi. Dă B ( i, j, k ) este o ă ortoormtă î V 3 tui folosid defiiţi produsului vetoril şi proprietăţile estui, oţiem telul i j k i k - j j - k i k j - i Astfel, produsul vetoril doi vetori şi, i j 3k şi 3 i j k, v ve epresi oiă ) i ( ) j ( ) k ( , Epresi oiă se pote oţie devoltâd după prim liie determitul forml

49 i j k 3 3 Doi vetori sut oliiri ( = ) dă şi umi dă 3 3 Propoiţie. Petru doi vetori orere şi este stisfăută idetitte lui Lgrge: ( ) + ( ) = 9. Produs mit. Defiiţie. Fie vetorii,, V 3. Se umeşte produsul mit l vetorilor, şi umărul rel (,, ) dt de (,, ) = : ( ) Teorem. Produsul mit re următorele proprietăţi: ) (,, ) = (,, ) + (,, ) ) (,, ) = (,, ) 3) (,, 3 ) = (, ), S 3, =., ( ) () (3) 4) (,, ) =,, sut liir depedeţi (oplri) 5) (,, ) = Vol., petru,, V,, 3 \ {} Proprietăţile ) şi ), ditivitte şi respetiv omogeitte, reultă di defiiţi produsului mit şi se etide petru orie ftor. Propriette 3) se pote eprim ehivlet pri proprietăţile:

50 3) (,, ) = (,, ) = (,, ) e eprimă ivriţ produsului mit l permutări irulre, diă = + ( S 3 - permutre pră) şi 3) (,, ) = - (,, ), şi elellte relţii orespuătore permutărilor impre re eprimă propriette de tiomuttivitte petru orie doi ftori lăturţi. Ehivleţ 4) reultă imedit petru el puţi u ftor egl u vetorul ul, ir petru,, V 3 \ {}, ulre produsului mit este ehivletă u ortogolitte vetorilor şi, diă oplritte vetorilor, şi. Dă otăm u Vol. volumul prlelipipedului formt de repreetţii vetorilor,,,, îtr-u put O E 3 (fig.7 ) şi otâd u = < (, ), u = < (, ), oţiem (,, ) os ( h A Vol. (, ),, os ) A h C O B Dă B = ( i, j, k ) este o ă ortoormtă î spţiul vetoril l vetorilor lieri V 3, ir = i + j + 3 k, i j 3k şi i j 3k sut epresiile litie le vetorilor, şi respetiv, tui produsul mit re epresi oiă dtă de (,, ) Ţiâd sem de proprietăţile determiţilor şi de epresi litiă oiă produsului mit pot fi uşor de verifit proprietăţile -5.

51 Spuem ă o ă B = {,, } V 3 este poitiv (egtiv) oriettă dă produsul mit (,, ) este poitiv (egtiv).. Sfer Fie î spţiul putul eulidi E 3 reperul ortoormt R (O; i, j, k ). Remitim ă distţ ditre două pute î spţiu, M(,, ) şi N(,, ), este dtă de respetiv (M,N) = ( ) ( ) ( ) Sfer. Fie C E 3 u put dt. Defiiţie. Se umeşte sferă de etru C şi ră r R mulţime putelor M E 3 u propriette ( M,C ) = r. Mulţime putelor M(,,) stisf relţi : E 3 re prţi sferei (S) de etru C(,,) şi ră r ( ) + ( ) + ( ) = r umită euţi rteiă impliită sferei (su formă de pătrte restrâse). Devoltâd euţi oţiem r =, re e sugereă studiul euţiei A( + + ) + B + C + D + E =, e repreită euţi uei sfere, umită euţi rteiă geerlă uei sfere. Euţi pote fi pusă su form m + + p + q =, umită euţi rteiă geerlă sferei su formă ormlă, î re

52 oordotele etrului C sut dte de : = -m, = -, = -p şi r r = m p q. Să osiderăm î sistemul de oordote rteiee O putul M(,,), vetorul de poiţie orespuător OM r, r r, proieţi M o (,,) putului M pe plul O, u [, ) ughiul ditre OM o şi direţi poitivă ei O, respetiv v [, ] ughiul ditre OM şi direţi poitivă ei O (fig.). Oţiem OM o = r os(9 o - v ) = r si v, de ude reultă Euţiile prmetrie le sferei u etrul î putul C(,,) şi ră r pot fi srise su form r os u r si u r os v si v si v Fie o dreptă orere pri putul M ( o, o, o ) : = o + l t, = o +m t, = o + t şi sfer dtă de euţi. Iterseţi ditre sferă şi dreptă se redue l studiul sistemului formt di euţiile estor. Oţiem euţi de grdul l doile î t (l +m + ) t + [l( o -)+m( o -)+( o -)] t + ( o -) +( o -) +( o -) -r =, re e permite să oluioăm ă o dreptă iterseteă o sferă î el mult două pute. Dă otăm t, t rădăiile rele le euţiei de mi sus, vlori orespuătore putelor de iterseţie M, M, le sferei u drep,pritr-u lul diret oţiem ă produsul distţelor putului M o l putele de iterseţie M respetiv M este ostt, diă M o M M o M = t t (l + m + ) = ( o -) +( o -) +( o -) - r Numărul rel = ( o -) +( o -) +( o -) - r = d r d desemâd distţ putului Mo l etrul sferei, este umit putere putului M o fţă de sferă. Fie sferele (S ) m + + p + q = (S ) m + + p + q =

53 Loul geometri l putelor di spţiu u eeşi putere fţă de sferele (S ) şi (S ) este u pl perpediulr pe lii etrelor elor două sfere,umit plul rdil. Euţi plului rdil două sfere se oţie săâd euţiile estor,diă (m -m ) + ( - ) + (p -p ) +q -q =.Elipsoidul. Defiiţie. Se umeşte elipsoid suprfţ (E) rterită de euţi (E) Form elipsoidului o putem determi studiid iterseţiile estui u ple prlele u plele de oordote.astfel, iterseţiile u ple prlele u plele de oordote sut elipsele:,,, rele petru,, respetiv su mulţime vidă petru,, respetiv. Plele de oordote (ple priiple)sut ple de simetrie le elipsoidului, ele de oordote sut e de simetrie,ir segmetele pe ele de oordote de lugime egle u,,respetiv, sut umite semie. Iterseţiile elupsoidului u ele de simetrie vor fi

54 umite vârfuri.dă două semie sut egle,vom oţie u elipsoid de rotţie, ir petru = = se oţie sfer. Origie reperului este etru de simetrie petru mulţime putelor elipsoidului,umit etrul elipsoidului. Euţiile prmetrie le elipsoidului sut os u si v si u si v os v, u [, ), v [, ].Hiperoloii Defiiţie. Se umeşte hiperoloid u o pâă suprfţ (H ) rterită de euţi (H ) Iterseţiile hiperoloidului (H ) u ple prlele u plele de oordote sut urele dte de euţiile:, - elipse, - hiperole, - hiperole Hiperoloidul u o pâă re eleşi simetrii şi elipsoidul.elips oţiută pri iterseţi hiperoloidului u plul = este umită olierul hiperoloidului u o pâă. Hiperoloidul u o pâă este rterit prmetri de euţiile : hu os v hu si v, u R, v [, ) sh u

55 Dă sriem euţi hiperoloidului u o pâă su form şi osiderăm următorele fmiliile de drepte ude d d : d : : d :, R, oţiem următorul reultt : d d si d d, Teoremă Orie put l hiperoloidului (H ) este situt pe o dreptă di fmili,respetiv şi reipro. I devăr, dă putul M o ( o, o, o ) este situt pe (H ), tui oordotele sle verifiă euţi de ude reultă stisfere relţiilor şi reipro. Dreptele fieărei di fmiliile, respetiv sut oţiute î îtregime de hiperoloid. Mi mult, hiperoloidul u o pâă pote fi gâdit reuiue tuturor dreptelor uei ditre ele două fmilii şi ă pri orie put l hiperoloidului u o pâă tree âte o dreptă di fiere fmilie. Defiiţie. Se umeşte suprfţă rigltă, o suprfţă E 3 geertă de o dreptă re se sprijiă pe o ură dtă. Drept re geereă suprfţ se umeşte geertore retiliie, ir ur pe re se sprijiă se umeşte ură diretore.

56 Dă pri orie put l uei suprfeţe riglte tre două drepte distite oţiute î suprfţă,spuem ă suprfţ este dulu rigltă. Petru o suprfţă dulu rigltă,geertorele re tre pritr-u put determiă plul tget l suprfţă î est put. I oluie, hiperoloidul u o pâă este o suprfţă dulu rigltă. Defiiţie. Se umeşte hiperoloid u două pâe suprfţ (H ) rterită de euţi (H ) Iterseţiile hiperoloidului u două pâe, fig.4, u ple prlele u plele de oordote sut dte de : elipse, putele multime petru A(,, ), B(,, vid, petru ), petru, hiperole, hiperole Aele şi plele sistemului de oordote sut e, respetiv, ple de simetrie. Putele A (o,o,) şi B (,,-) vor fi umite vârfurile hipero-loidului u două pâe.

57 Hiperoloidul u două pâe este rterit prmetri de euţiile : sh u os v sh u si v hu u R, v [, ) 3.Proloii Defiiţie. Se umeşte proloid elipti suprfţ (P e ) rterită de euţi (P e ) Iterseţi proloidului elipti u ple prlele u O sut prole,ir iterseţi u ple prlele u plul O sut elipse petru >,origie (vârful proloidului) petru =,respetiv, mulţime vidă petru <. Proloidul elipti este rterit prmetri de euţiile :

58 u os v u si v u u R, v [, ) Defiiţie. Se umeşte proloid hiperoli ( ş ) suprfţ (P h ), rterită de euţi (P h ) Proloidul hiperoli re eleşi e şi ple de simetrie şi proloidul elipti. Iterseţiile proloidului hiperoli u ple prlele u plele de oordote sut dte de urele : hiperole, petru drepte ourete prole prole Proloidul hiperoli este rterit de euţiile prmetrie u hv u shv u - u,v R

59 4.Coul, ilidrul, perehi de ple Defiiţie. Se umeşte o suprfţ (C), rterită de euţi (C) Iterseţiile oului, u ple prlele u plul O sut elipse şi iterseţiile oului u ple prlele u O sut hiperole. Euţiile prmetrie le oului sut dte de u si v u os v u u R, v [, ) Defiiţie. Se umeşte suprfţă ilidriă suprfţ ( ) rterită, î spţiul E 3, de o euţie î două edetermite ( ) F(,) = ( F(,) = su F(,) = ) I prtiulr, vem : + = = p - ilidrul elipti, ir petru = oţiem - ilidrul irulr - ilidrul hiperoli - ilidrul proli Aeste suprfeţe ilidrie u geertorele prlele u O. Alte suprfeţe lgerie de ordiul l doile sut: