REVISTÃ NATIONALÃ DE CULTURÃ MATEMATICÃ ; PUBLICAÞIE SEMESTRIALÃ, AN V, NR IX, 2012

Transcript

1 REVISTÃ NATIONALÃ DE CULTURÃ MATEMATICÃ ; PUBLICAÞIE SEMESTRIALÃ, AN V, NR IX, ISSN 7-66 ISSN-L 7-66

2 Revistă ţiolă e ultură mtemtiă, puliţie semestrilă, A V, Nr IX, APRILIE, BUZĂU COLECTIVUL DE REDACTIE CUPRINS Memrii oorifii: Costti Apostol Preşeite e oore Costti Rusu - Preşeite e oore Fililei Rmiu Sărt Soietăţii e Ştiiţe Mtemtie Costiă Amrio - Preşeite Filil Rmiu Sărt Soietăţii e Ştiiţe Mtemtie Leuţ Pîrlog Preşeite Filil Buzău Soietăţii e Ştiiţe Mtemtie D M Bătieţu Giurgiu Titu Zvoru Niole Ivăşhesu Mihály Beze Diretor: Neuli Stiu Retor şef: Ari St Retori priipli: Costti Diu Arei Otvi Dore Griel Niolet Lupş A Pitesu Iuli Trsă Memri : Lu Tuţă, Lărimior Năstse, Floreti Popesu, Cipri Cheşă, Gheorghe Dârstru, Ligi Struţu, Gheorghe Struţu, Deli Nii, Io Stăesu, Simio Mri, Mrel Mri, Mri Ato, Io Lupş, Costti Lupş, Io Ru, Oviiu Ţâţ, Mirel Aete, Cristi Cosmi Brâză, Mihel Coreli Lu, Flori Mrhiu, Griel Mriesu, Flori Ato, Mirel Lupş, Coreli Gurău, Vleri Roşu, Mri Mite, Lur Tăse, Doi Stoi, Mire Mrio Stoi, Jmel Ghouhi, Jose Luis Diz Brrero, Flori Stăesu, Ro Stiu, Diel Io, Flori Ato, Coreli Drăg ISTORIA MATEMATICII ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE EXAMENE ŞI CONCURSURI PROBLEME REZOLVATE 5 PROBLEME PROPUSE CALEIDOSCOP MATEMATIC MODELE DE TESTE POSTA REDACTIEI GÂNDEŞTE CORECT! Tipr: eitgrph wwweitgrphro REDACTIA Grupul Şolr Costi Neiţesu, Buzău, Str Trsilviei, Nr, Co, Tel 8756 e-mil: y_st5@yhooom Vizitţi www lieuleitesurszro

3 - ISTORIA MATEMATICII - Ştiiţ se fe u fpte, ş um o să se fe u pietre; r o umulre e fpte u este ştiiţă, ş um o grămă e pietre u este o să J H Poire Istori Mtemtiii Jules Heri Poirè e i e l treere î efiiţă e prof Ari St şi prof Neuli Stiu, Buzău Jules Heri Poirè ( 9 prilie 95 7 iulie, 9) fost mtemtii, fizii, teoretii l stroomiei şi filozof frez Î timpul lieului i Ny, lieu re-i portă stăzi umele î oore s, er osiert el mi u itre elevii re u stuit olo Î 87 itrt l Şol Politehiă şi stuit mtemti u profesorul Chrles Hermite re îşi ă şi otortul î 879 î omeiul euţiilor ifereţile fii primul re le stuiză i perspetiv utilizării proprietăţilor geometrie După o surtă perioă e igier miier, îepâ u 88 s- eit rierei itie l Uiversitte i Pris, Soroe Şi- us otriuţi î iverse omeii le mtemtiii Rezulttele eretărilor sle se referă l teori fuţiilor ( Asupr teoriei fuţiilor fuhsiee ), l euţiile ifereţile, l topologie (ue eshis u ou pitol el l topologiei lgerie, ue î 895 itrous oeptul e grup fumetl), preum şi l omeiul lgerei şi l fumetelor geometriei A pulit lurări e fiziă mtemtiă şi e meiă eresă ( Metoe oi î mei eresă ), stuii e epistemologie ( Ştiiţă şi ipoteză, Vlore ştiiţei ) e teiţă pozitivistă, lurări re u otriuit l elorre teoriei reltivităţii De semee, stuit teori umerelor, fuţiilor eliee, fuţiilor litie u vriile omplee, s- preoupt e optiă, e mei fluielor, e eletriitte şi filozofie ştiiţei A t î 9 ş umit Cojetur lui Poire re putut fi emostrtă i upă e i e l prim s formulre Î 96 este les preşeitele Aemiei e Ştiiţe i Pris ir î 99 este les memru e oore l Aemiei Româe După propriile sle ofesiui lur fără iio metoă şi oriue Tot ul est sărătorim e i e l ştere lui Tri Llesu o ulme ulturii româeşti, u româ u reputţie iterţiolă re frevett l Soro lături e Spiru Hret ursurile lui Poirè O esriere î măut persolităţii rtistie lui Heri Poirè făută e Tri Llesu se găseşte î Covoriri literre, ul XLVIII, 9 Astfel, upă Tri Llesu, Poirè : er u ărt e sttură mijloie, u sptele îovoit, şi sul ogestiot, eesiv e roşu; istrt pâă l ees, fără orie î oversţi ziliă şi tâţi mri svţi fără voţie e profesor străluit Chir îsăşi oper s este ese iompletă şi esufiietă, fără metiulozitte ştiiţifiă, stfel ă tote lurările sle u fost relute, r, rreori s- îşelt î euţre rezulttelor geerle re reprezită pitole îtregi i vritele rmuri le ştiiţelor mtemtie Nu-i plăe să izeleze şi să epuizeze u rezultt oţiut Er u rtist î îţelesul superior l uvâtului, omul tuturor ituiţiilor, o jertfă oştietă şi măreţă pe ltrul ştiiţei omeeşti!, ir î sufletul său zuiumt, liăre flăr geilităţii retore Biliogrfie: Smr Eteri Llesu, Tri Llesu u ume peste i, Curte Vehe Pulishig, Buureşti, 7

4 - ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE - Iteligeţ u este vorire şi rţiomet e logiă; este pătruere şi ovigere Artiole si ote mtemtie Thoms Crlyle Ieglități î triughi e prof r Mihály Beze, Brșov Î est rtiol prezetăm trei teoreme re geereză o lsă e ieglități vlile îtr-u triughi orere (vezi ) Teorem Dă M este u put î plul triughiului ABC, tui MA srr, ue A, B, C sut mijloele lturilor BC, CA, AB Demostrție Dă u, v, w C, tui se știe ă u vu v v wv w w uw u ( u v)( v w)( w u) Fie A( ), B( ), C( ), A, B, C, M ( z) Dă osierăm u z, v z, w z, î ietitte mețiotă mi sus, tui upă treere l moul oțiem ă z MC srr, ie, QED Teorem Dă M este u put î plul triughiului ABC, și A, B, C sut mijloele MA s R r lturilor BC, CA, AB, tui F( ) F( ) Demostrție Di ieglitte lui H Bergström și teorem euem ă MA F( ) MA F( ) s R r, ie, QED F( ) Teorem Dă M este u put î plul triughiului ABC, și, y, z, tui Demostrție Î lui H Bergström, oțiem ă MA F(, l pgi 6 se rtă ă MA F( ) yz ) F( ) yz MA MA yz F( ) F( ), e ue folosi i ou ieglitte, ie, QED Biliogrfie: Coleți Otogo Mthemtil Mgzie (99-) Gheorghe Stoi, Mri Stoi, O relție metriă î triughi și pliții le ei, Revist e Mtemtiă i Vle Jiului, r, 9, -

5 - ARTICOLE SI NOTE MATEMATICE - Rezolvre uei proleme e lo geometri e Titu Zvoru, Comăești Not e fță este o otiure rtiolului i, și re sop prezetre uui eemplu e orre oretă uei proleme e lo geometrivom rezolv următore: Prolemă Pe lturile [ AB ]și [ AC ] le triughiului ABC se iu putele vriile M și N stfel îât BM CN Să se etermie loul geometri l mijloului P l segmetului MN ă M și N sut e eeși prte lui BC (Vsile Pop, Coursul lieelor prteere u Uiversitte Tehiă i Cluj-Npo, euț prțil) Rezolvre: Fără restrâge geerlitte putem presupue AB AC (zul AB AC este ușor e lizt) Notăm, e oiei, AC și AB T Etp Ghiire loului Luâ BM CN, rezultă imeit ă A mijloul lturii [ BC ](fie S est) prție loului Dă Q BM CN, euem ă putul Q situt ître A și C și petru re M AQ prție loului Dă luăm BM CN, mi oțiem u P N putt, situt pe rept AB (u A ître B șit ), petru re B S vem AT Deoree Figur TA SB QC TB, BS SC, QC, vem și oform reiproei teoremei lui Meelus TB SC QA ( ABC și putelet, Q, S ) rezultă oliiritte putelor T, Q și S Presupuem ă loul geometri ăutt este o reptă, și ume TS Deoree AQT este isosel și m( BAC) m( ATQ) ( ) ( ) m BAC m ATQ, rezultă ă reptts este prlel usă pri mijloul lturii[ BC ] l isetore iterioră ughiului BAC Etp Treuie să emostrăm ă orie put l loului se flă pe reptts Notâ BM CN, vem TM TA AM ( ), QN QN NC și oțiem TA PM QN ușor Rezultă ă putul P este situt pe rept TS Dă putul M este stfel îât TM PN QA să vem orie A M T su A T M, lulele sut similre Etp Treuie să emostrăm ă orie put l repteits prție loului, u lte uvite, treuie petru orie put P e pe rept TS să găsim putele M și N pe reptele AB, respetiv AC stfel îât BM CN și P e mijloul lui MN Deoree emostrți i etp u e jută l găsire putelor M și N, vom folosi o F ostruție jutătore: prlel pri C l rept TS iterseteză prelugire lturii[ AB ] î putul F N C Deuem ușor ă ACF este isosel u AC AF și ăt este mijloul lui [ BF ] Fie P u put situt pe rept TS, e eeși prte reptei BF și putulc Luăm pe semirept ( CF u putc stfel îâtcc PT Prlel pric l AC iterseteză rept BF î putul N, ir prlel pri N l CF iterseteză rept AC î putul N B A T M P S C N Figur C

6 - ARTICOLE SI NOTE MATEMATICE - Notăm M NP AB Rămâe să emostrăm ă putele M, N sut ele ăutte, iă BM CN și P este mijloul lui MN Deoree NCCN este prlelogrm vem NN CC PT și um TP NN, i triughiul MNN rezultă ă T este mijloul lui MN și P e mijloul lui MN Folosi trpezul isoselcfn N și fptul ăt este tât mijloul lui BF ât și mijloul lui MN euem ă NC N F BM, iă putele M și N sut ele ăutte Dă putul P e pe rept TS este e elltă prte reptei BF fță e putulc, ostruți putelor M și N este semăătore, r putulc se lege pe rept CF stfel îât să vem orie F C C TrpezulCFN N folosit î emostrție este isosel, r NC și N F u mi sut lturile eprlele, i igolele egle le estui trpez Biliogrfie: Costti Rusu, Aspete referitore l lourile geometrie, SM, r VIII,, - Oservţii supr uor oţiui i geometri triughiului (II) e prof Costti Apostol Î otiure rtiolului i umărul treut, lizăm mi eprte zul î re u triughi mei l uui triughi t este semee u triughiul t Fie triughiul ABC, u AB, AC = şi BC =, vâ meiele AA ' m, BB' = m, CC' m Fără restrâge geerlitte, putem presupue ă şi, ei, u lo şi relţiile m m m Di fptul ă triughiurile sut semee, putem srie eglităţile : m m m m m m, e ue rezultă şi eglităţile :, ue m, m şi m ; vem, ei, eglităţile: Deuem ă rportul e semăre triughiurilor este Di eglitte, rezultă, ei,, iă, su, relţie re eprimă fptul ă umărul este mei pătrtiă umerelor şi Aelşi rezultt îl oţiem ă m m prelurăm eglităţile su I plus, putem preiz ă re lo şi eglitte m m m Pri urmre, putem euţ şi următore oservţie :,, Dă u triughi mei l uui triughi t este semee u triughiul t, tui, î fiere i ele ouă triughiuri, o ltură este mei pătrtiă elorllte ouă lturi

7 - ARTICOLE SI NOTE MATEMATICE - Proleme : ) Se ă triughiul ABC, u BC 8 m, AC = m, AB = 6 m ) Clulţi lugimile lturilor uui triughi mei l triughiului ABC, rătţi ă est triughi este semee u triughiul ABC şi etermiţi rportul lor e semăre ; ) Arătţi ă î fiere i ele ouă triughiuri, o ltură este mei pătrtiă elorllte lturi Soluţie : ) Notâ BC =, AC =, AB = şi, ţiâ semă e teorem meiei, putem srie eglităţile : m, m, m, ue m, m, m sut lugimile meielor triughiului ABC, use i A, i B şi, respetiv, i C Asfel, oţiem : 7 8 m 5 m 5 6 m ; 8 7 m 75 m 75 5 m ; 8 7 m 96 m 96 6 m Verifiăm ă lturile omologe le elor ouă triughiuri sut proporţiole : Di fptul ă m m m m m m, şr, vom srie :, ei, , ei, ele ouă triughiuri sut semee, rportul lor e semăre, fii ) Î geerl, ă u triughi mei l uui triughi ABC este semee u triughiul ABC, u m m m m m m lo eglităţile :, e ue :, iă : Di euem Di semăre triughiurilor, rezultă ă re lo şi eglitte m m m ) ) Î triughiul reptughi ABC, u m(a) 9, otăm u,,, lugimile lturilor (BC), (AC) şi, respetiv, (AB) Arătţi ă, ă, tui u triughi mei l triughiului ABC este tot reptughi ; ) Arătţi ă ele ouă triughiuri sut semee şi etermiţi rportul lor e semăre Soluţie: ) Di fptul ă triughiul ABC este reptughi î A, ( AA' ) () Di triughiul ABB' BB' (), ei,

8 - ARTICOLE SI NOTE MATEMATICE - Di triughiul ACC ', CC' () Di AA ' 6 şi, ţiâ semă e (), () şi (), euem ă u lo eglităţile : BB', re 9 CC' 9 6 verifiă relţi lui Pitgor, ăi,, ee e pue î evieţă fptul ă u triughi mei l triughiului ABC, este reptughi ) Di fptul ă, AA ' BB' CC ' Di AA ' BB' CC', ăi, 6, euem ă triughiurile sut semee, rportul lor e semăre fii Biliogrfie: Llesu Tri, Geometri triughiului Eitur Tieretului, Buureşti, 958 Llesu Tri, Geometri triughiului Eitur Apollo, Criov, 99 Îă ptru emostrții le prolemei L:55 i Slipire Miţii r VII, e DM Bătiețu-Giurgiu, Buurești și Neuli Stiu, Buzău Î se u prolemei L:55 i SM r VII, șse soluții Î lurre e fță e propuem să prezetăm ptru emostrții oi le uei geerlizări estei proleme Geerlizre Dă N *, X m Demostrți Avem: *, R,,,, R,,, X, şi, tui: (N) V X X ( ) X X X X ( CBS) V X X X X X X X X ( CBS )

9 - ARTICOLE SI NOTE MATEMATICE - ă: Deoree mei pătrtiă este mi mre e t mei ritmetiă, rezultă Demostrți V Bergström, euem ă: V X X X Dei, oțiem ă: X V X X X X X ( ), t, e ue oform ieglității lui X X ( ), qe ( ) Demostrți Cosierăm triomul: X T U X X X X U X U X X X X U X U X X X Deoree, vlorile triomului sut T ( u), u R, rezultă ă, iă: X X X X X X X X X ( ) X X X ( ) X X Apoi, eoree,, oțiem ă: X X ( ) ( ) ( ) X ( ) ( )( ) ( ) X Demostrți Cosierăm vetorii, y R, ue: X X X,,, şi X X X y X X X X,, X X, Coform ieglităţii Cuhy Buiovsi Shwrz, iă:, y y,, y R y y y y,, vem:, su

10 - ARTICOLE SI NOTE MATEMATICE -, y X X ( ) X X X X X X X, e ue, ă țiem ot e ee e treui emostrt Oservți Dă î relți (N) luăm,, oțiem, iă relți Nesitt petru vriile strit pozitive X X, oțiem * Oservți ă R,, și luăm și, oțiem i (N) ieglitte A, ue A, e ue petru oțiem prolem L : 55 i Slipire Miții Biliogrfie: Titu Zvoru, Neuli Stiu, Șse soluții petru prolem L:55 i Slipire Miții, r VII,, SM, r VIII,, 9- L Aspete referitore l lourile geometrie (II) e prof Costti Rusu, Râmiu Sărt Î otiure vom emostr siteti şi liti ă M P MA MB, R, A B, pute fie este o reptă perpeiulră pe AB (vezi ) M y M Fig Fig A O M B A O B SitetiVom osier zurile: ) Czul, M (, B, AB, OA OB, O, m( B) 9 (vezi fig) Rezultă MA MB şi vom etermi putul M ABstfel îât M L Di M L M A M B ( M A M B )( M A M B ) Avem sistemul M A M B AB AM AB, M B AB, e ue euem ă M A M B AB AB AB

11 - ARTICOLE SI NOTE MATEMATICE - AM ostt şi L Ituim ă perpeiulr î putul M pe rept AB pe re o otăm u este ilusă î L Demostrţie Fie M u put ritrr lut pe rept Cu teorem lui Pitgor vem: MM MA AM MB M B MA MB M A M B M L, ei L Î otiure emostrăm ă L Fie putul M L MA MB Duem i M o perpeiulră pe AB şi otăm u M piiorul săuî triughiurile reptughie M MAşi M MB pliâ teorem lui Pitgor oţiem: MM MA AM MB BM AM BM AM BM AM AB ostt AM AM M M L AB Î oluzie L Oservţii ) Dă m( B) 9 L perpeiulr î B pe AB ; ) Dă m( B) 9 L perpeiulr î M pe AB, ue B AM ) Czul MA MBşi oform u L M este meitore segmetului AB ) Czul M (, A, se trteză î zul şi oţiem: petru m ( A) 9, L = perpeiulr î M pe AB, ue M (AB) petru m ( A) 9, L = perpeiulr î A pe AB petru m ( A) 9, L = perpeiulr î M pe AB, ue A ( M B ) Î oluzie, petru orie R, mulţime L este o perpeiulră pe rept AB Aliti Luăm ă O rept AB şi ă Oy meitore segmetului AB (vezi fig) A(,), B(, o), M (, y), ir u formul istţei vem: MA MB ostt, re este euţi uei repte perpeiulre pe AB pe re o otăm u Am rătt ă M L M, ei L Demostrăm ă L Petru M M, y, e ue oţiem ă MA MB M L Î oluzie L Biliogrfie: Costti Rusu, Aspete referitore l lourile geometrie, SM, r VIII,, - Eistă trei metoe e îvăţ îţelepiue: prim este pri refleţie, meto re este e mi oilă i tote; ou este pri imitţie, meto e mi filă; şi trei pri eperieţă, meto e mi mră i tote Cofuius

12 - ARTICOLE SI NOTE MATEMATICE - A Nesitt Cesáro Collortio y Titu Zvoru, Comăești I this short ote we prove tht the followig iequlities y z (Nesitt) y z z y yy zz 8yz (Cesáro) for y, y, z, re equivlet We use the followig Lemm If,, re rel umers, the ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 8( )( )( ) Proof We eote s Sie ( )( ) s ( )( )( ) ( ) s, we hve ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) s s s ( ) s s ( ) ( ) s 9 s ( ) ( ) s 9 s 7( ) s 9, ( )( )( ) 8( )( )( ) ( s )( s )( s ) 8( ) s 8 s ( ) s ( ) ( ) s 8( ) s 8 s 7( ) s 9, the lemm is prove Let,, e rel positive umers Usig the lemm, we write ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 8( )( )( ), the lst iequlity is Cesáro s iequlity pplie to the umers,, Î figurile e mi jos sut prezette i lterl ptru sări formte i tâte louri e pitră âte se vă î figură vâ respetiv,, 8, 6 trepte Respetâ regul upă re s u ostruit primele ptru sări puteți spue i âte trepte şi âte louri e pită este formtă zee sră?

13 - EXAMENE ŞI CONCURSURI - U gâ mre l o mite miă e u strşi omt l o oste e etoţi Niole Iorg Emee şi oursuri 5 Noiemrie Eiţi VI- Î t e 5 Noiemrie l Grupul Şolr Costi Neiţesu Buzău vut lo şse eiţie Coursului Jueţe e Mtemtiă Slipire Miţii, ours l re u prtiipt peste e elevi e l şoli şi liee i jueţul Buzău Suietele te vă sut prezette î ele e urmeză: Cls V- Arătţi ă umărul 9 este pătrt perfet (RMT r /, Neuli Stiu, Buzău) Determiţi tote umerele e ouă ifre re sut egle u sum itre răsturtul lor şi triplul sumei ifrelor lor (RMT r /, Mihi Vijelu, Bi Mre) Auâ u umăr e ouă ifre iferite, eule, u răsturtul său, oţiem u umăr e ouă ifre eglecre este el mi mre umăr u estă propriette? Dr el mi mi? (RMT r /, Costti Apostol, Rm Sărt) Cls VI- Arătţi ă u eistă umere turle,,, re să verifie relţi (RMT r /, Drgoş Costtiesu, Râmiu Vâle) ) Preizţi âte umere turle sut ivizori i umărului 5 Srieţi mulţime ivizorilor turli i estui umăr ) Arătţi ă umărul 5 re u umăr pr e ivizori turli (Costti Apostol, Rm Sărt) Pe o reptă, se osieră putele A, B, C, D, E şi F, î estă orie Preizţi ă : AD BE CF AE BF CD (Costti Apostol, Rm Sărt) Cls VII- y y z z Determiţi umerele yz ştii ă (RMT r /, Mire Mrio Stoi,Ar) )Arătţi ă 5 este e mi mre frţie suuitră re se pote srie sumă e trei frţii e form 5 e, ue,,,, e, f sut ume e âte o ifră, iferite e zero; f Clulţi umerele,,,, e, f e l putul ) (Neuli Stiu, Buzău şi Titu Zvoru, Comăeşti) Îtr-u triughi reptughi, măsur uui ughi este e ptru ori mi mre eât măsur ltui ughi Determiţi măsurile ughiurilor triughiului (RMT r /, Costti Apostol, Rm Sărt)

14 Cls VIII- Rezolvţi euţi Arătţi ă ă,, - EXAMENE ŞI CONCURSURI (RMT r /, Lu Tuţă, Buzău), tui: (DM Bătieţu Giurgiu, Buureşti şi Neuli Stiu, Buzău) Fie umerele rele pozitive,,, stfel îât, şi ) Determiţi vlore rportului ; ) Arătţi ă,, pot fi lugimile lturile uui triughi ; ) Determiţi măsurile ughiurilor triughiului e l putul ) (Costti Apostol, Rm Sărt) Cls IX- Profil tehi ) Să se luleze ue =,5 şi =, 5 ; ) Să se etermie, stfel îât 98 ; () () Să se rte ă epresi E ( ) () ()() () Fie,,, stfel îât = Să se rte ă 9; Cls IX- Profil Eoomi ) Să se luleze ue =,5 şi =, 5 ; ) Să se etermie, stfel îât u epie e ; 98 ; () () Să se rte ă epresi E ( ) u epie e ; () ()() () Dă, * şi 9 67 Să se rte ă 6 (7 ) su 6 (7 ) Cls X- Profil Tehi Fie lg şi lg Să se emostreze ă ( )log5 ; Să se rte ă log y log y y,, y ) Să se emostreze relţi y z yz y z y z y yz z ; ) Să se rţiolizeze umitorul frţiei 9 ( )( );

15 - EXAMENE SI CONCURSURI - Cls X- Profil Eoomi Fie lg şi lg Să se emostreze ă ( )log5 ; Să se rte ă log y log y y,, y 5 6 ) Să se emostreze ă 9 ; ) Să se rte ă 7 7 ; Cls XI- Profil Tehi, Eoomi Se osieră mtrie A() Să se luleze A () ; tg8 si6 lim tg si Să se etermie, stfel îât log lim C 56 Să se luleze A() + A() + + Cls XI- Profil Ştiiţe Se osieră mtrie A () Să se luleze A() + A() + + A() log C tg8 si6 lim Să se luleze tg si ; Fie şi fuţi, f :, f( ) ( ) Să se luleze lim f ( ) ; Cls XII- Profil Tehi, Eoomi Să se luleze : ), (; ) os ; ) ; (, ) si os Să se etermie, stfel îât F să fie primitiv uei fuţii f:, ue F:, F( ) ; 69, Se osieră mtrie A G X( ) I A 9 şi mulţime ) Să se rte ă H X( ) este prte stilă î rport u îmulţire mtrielor şi ă X ( ) X( ) X( ) ;

16 - EXAMENE ŞI CONCURSURI - ) Să se luleze X( ) X( ) X( ) Cls XII- Profil Ştiiţe Să se luleze : ), (; ) os ; ) ; (, ); si Să se etermie, stfel îât F să fie primitiv uei fuţii f:, ue F :, F( ) ; 69, Pe mulţime se efieşte lege e ompoziţie pri y yy ) Clulţi Geerlizre termei ) Pe tlă sut srise umerele -, -,,,,,, Se şterg ouă umere şi şi î loul lor se srie umărul Se otiuă est proeeu pâă â pe tlă rămâe u sigur umăr Cre este est umăr? Rezolvările suietelor se găses pe wwwlieuleitesurszro Rezulttele elevilor e l ours: Cls V-: Premiul I, Com Cmeli, Sol r RmSărt; Premiul II, Psu Bog,Sol r Buzău, Vsile Rusr, Zot Măăli, Sol r 5 Buzău; Premiul III, Arei Mri, Molhe Cristi, Sol r Rm Sărt; Cls VI- : Premiul I, Bur Arei,Sol r5 Buzău, Premiul II, Jer Ari, Sol r Rm Sărt, Vsilhe Violet Cătăli, Sol r 5 Rm Sărt, Premiul III, Miu Otvi George, Sol r Rm Sărt, Gheorghe Lur, Sol r 5 Rm Sărt Cls VII- : Premiul I, Băiă Mihel, Sol r Rm Sărt, Premiul II, Ilie Iouţ, Sol r Rm Sărt, Premiul III, Mihi Arei, Sol r Nehoiu; Cls VIII- : Premiul I, Buterez Dvi, Sol r 5 Rm Sărt, Premiul II, Spîu Cristi, Sol Smeei, Premiul III, Mu O, Sol r 5 Buzău, Neşu Kri, Sol r Rm Sărt; Cls IX-, Tehi: Premiu I, Ciope Cori, Premiul II, Pet Floreti, Premiul III, Drgomir Iouţ, Grup Solr Costi Neitesu Buzău, Mteesu Mrij, Lieul e Artă Mrgret Steri ; Cls IX- Eoomi: Premiul I, Diă Aree, Premiul II, Pvel Iuli, Premiul III, Atofie Aler, Colegiul Eoomi Buzău; Cls X-, Tehi: Premiul I, Perţe Lris, Premiul II, Liă Ari, Premiul III, Douz Ioel, Grup Şolr C Neiţesu, Buzău; Cls X-, Eoomi şi Ştiiţe: Premiul I: Psu Georgi, Colegiul Eoomi, Lugu Iouţ, Colegiul Ntiol Mihi Emiesu, Premiul II, Drgomir Liviu, Colegiul Eoomi; Cls XI-, Tehi şi Eoomi: Premiul I, Niole Ele, Colegiul Eoomi, Premiul II, Cristesu Lvii, Colegiul Eoomi, Bru Ele, Gr S C Neitesu, Premiul III, Isps Ele, Colegiul Eoomi; Cls XI-, Ştiiţe: Premiul I, Greu Aleru, Premiul II, Diou Mri, Premiul III, Hgu Rlu, Colegiul Nţiol Mihi Emiesu Buzău; Cls XII, Tehi şi Eoomi: Premiul I, Niolet Ele, Colegiul Eoomi, Premiul II, Chiriţă Ştefi, Premiul III, Vl Iuli, Grup Şolr Costi Neiţesu ; Cls XII-, Ştiiţe: Premiul I, Neelu Di, Premiul II, Doresu Griel, Premiul III, Vrgău Ele, Lieul Ştef el Mre, Rm Sărt

17 - PROBLEME REZOLVATE - Nu soluţi este e re u se vee, i îsăşi prolem G K Chesterto Proleme rezolvte ÎNVĂŢĂMÂNT PRIMAR P: Determiţi tote umerele turle re împărţite l 96 u restul e e ori mi mre eât âtul Prof Mire Mrio Stoi,Ar 96 r, r 96 r ;;;959;96 r ;;;, Rezolvre: ; Cum Di ele e mi sus rezultă ;6;7;78;9 P: Sum 6 e umere turle iferite e zero este e Arătţi ă el puţi ouă umere sut egle Prof Doi Stoi şi Mire Mrio Stoi, Ar Rezolvre: Presupuem ă ele 6 e umere turle sut iferite ir e mi miă sumă posiilă este S 6 6 S 66 : S 6 Aşr, el puţi ouă itre ele sut egle P: Prousul itre u umăr e trei ifre şi u umăr e o ifră este Determiţi ele umere Prof Mire Mrio Stoi, Ar Rezolvre: : 5 5 Numerele sut 5 şi P:5 Determiţi ouă umere turle, ăror sumă să fie 9, ştii ă, ă-l împărţim pe primul l l oile, oţiem restul 5 şi, ă-l împărţim pe l oile l primul, oţiem restul 7 Prof Costti Apostol, RmSărt Rezolvre: Fie şi, ele ouă umere Eviet, ele u pot fi egle, ăi, tui, resturile r fi egle u zero Vom eosei ouă zuri : I) Cu teorem împărţirii u rest umerelor turle, vom ve : 5, ue, 5 şi : 7, ue, 7, iă, 7 Deuem ă II) Cu eeşi teoremă, vom ve : 5, ue, 5, iă, 5, ei, rezultă şi : 7, ue, 7, iă, 7 5, ee e este fls, şr, est z u pote ve lo P:6 Di ulul ului, î re vut lo prim uire ţărilor româe, săem ul re mrheză Ziu Nţiolă Româiei Aăugăm umărul şi oţiem ul revoluţiei i eemrie Determiţi Prof Vitori Pop, Timişor Rezolvre:

18 - PROBLEME REZOLVATE - Cls V- G: 7 Arătţi ă eistă stfel îât frţi să fie reutiilă 5 Prof Doi Stoi, Mire Mrio Stoi, Ar Rezolvre: Petru = oţiem 885 re se simplifiă u G: 7 Aflţi restul împărţirii l 97 umărului N ifre Prof Tuţă Lu, Buzău 7 7 Rezolvre: Oservăm ă N ; ei N se ivie u 97 7 Atui restul împărţirii lui N pri 97 este G: 7 Să se fle umerele prime e ouă ifre re împărţite l răsturtele lor re sut prime u âtul şi restul tot umere prime Prof Gheorghe Ghiţă, Buzău Rezolvre: Di teorem împărţirii u rest vem: qr,r, u,, q, r umere prime, e ue rezultă ă, şi tui {,7,7,97 } Efetuâ împărţirile, vem: 5; 7 7 ; 7 76; ; Î oluzie, eistă u sigur umăr e ouă ifre re împărţit l răsturtul său ă âtul şi restul 5, tote umere prime G: 7 ) Preizți âte umere turle sut ivizori i umărului 5 Srieți mulțime ivizorilor turli i estui umăr ) Arătți ă umărul 5 re u umăr pr e ivizori turli Prof Costti Apostol, Rm Sărt Rezolvre: ) Cum tui umărul ivizorilor turli i umărului 5 este (5) ( )( ) 9 ir mulţime ivizorilor săi este D5,5,7,5,5,9,75,5,5 ) Se emostreză, fără ifiultte, ă u umăr turl re u umăr impr e ivizori turli ă și umi ă umărul respetiv este pătrt perfet Î zul ostru, umărul 5, vâ ultim ifră, 5, este iviziil u 5, r, peultim ifră, fii, umărul u este iviziil u 5, ei umărul u este pătrt perfet Așr, umărul 5 re u umăr pr e ivizori turli G: 75 Fie umrul ) Artti ) S se etermie el mi mi umr turl e ouă ifre, stfel ît prousul să fie pătrt perfet Prof Vleri Roşu, Rm Sărt Rezolvr: ) 7 ( 5 7 ) Cum îl ivie pe, rezultă ă îl ivie pe )

19 - PROBLEME REZOLVATE - G: 76 Să se rte ă eistă umerele turle eule,, y, z stfel îât y z 6 Prof A Pitesu, Rm Sărt Rezolvre: Cum Srii tui, 6 ( 6 8 ) () (6) (8 ) Rezultă =, y = şi z =79 G : 77 Fie umărul =56789, ue ifrele sut oţiute, srii umerele turle e l l Cre este - ifră? Prof Coreli Gurău, Moieşti, Bău Rezolvre : De l l 9 sut 9 ifre De l l 99 se foloses 8 ifre De l l 699 se foloses 8 ifre -(9+8+8) = ; sut îă e ifre i umere e âte trei ifre De l 7 l 76 se foloses ifre şi ultimile ouă ifre sut 7 şi Dei ifră umărului este ou ifră i umărul 77, iă G: 78 Aflţi,,, * stfel îât să vem Prof Niole Ivăşhesu, Criov Rezolvre: Deoree 5 şi, â vlori lui,,, oţiem soluţiile : (;;;6),(;;;6),(;;;6),(;;;5),(;;;5),(;;;5),(;;;9),(;;;9),(;;;9),(;;;9), ;;; (;;;9),(;;;9) Cls VI- G: 79 Rezolvţi î mulţime euţi y 7 6y 5 Prof Doi Stoi, Mire Mrio Stoi, Ar Rezolvre: y 7 6y 5 y 6y 7 ( 6)( y7) ( 6; y7) ( ; ),( 5; ),( ; 5),( ; ),(;),(;5),(5;),(;) rezultă mulţime Cum soluţiilor S ( ; 8),(; 9),(; ),(5; 7),(7;),(8; ),(; 5),(6; 6) G: 8 Să se rte ă 88 7,, 6 9 Rezolvre: , , Di () şi() vem : < 9 Prof Iuli Trşă, Sorieşti, Olt 7 6 () 88 < () 9 G: 8 Îtr-o luă orere, iferită e lu ferurie, trei umiii l te u soţ Î e zi săptămâii e t e 5? Prof Tuţă Lu, Buzău Rezolvre: Dă trei umiii l te u soţ, rezultă ă î lu respetivă sut ii umiii; prim i ele fost pe t e ; trei pe t e 6, ir ie pe t e Rezultă ă t e 5 fost mrţi

20 - PROBLEME REZOLVATE - G: Să se etermie el mi mre umăr turl petru re următore prolemă re soluţie uiă: Bog, Niu şi Titu u împreuă mere Aflţi âte mere re fiere itre ei, ştii ă Niu re e trei ori mi multe mere eât Bog, ir Titu re mi multe mere eât Bog şi mi puţie eât Niu Titu Zvoru, Comăeşti şi Neuli Stiu, Buzău Rezolvre: Notâ u umărul e mere le lui Bog, rezultă ă Niu re mere, ir Titu re mere Coiţiile i prolemă sut îepliite ă 5 7, iă este u umăr turl i itervlul, Aest itervl oţie sigur ouă umere turle ă , iă 5 Petru 5, itervlul 5,7 oţie or umărul turl 6, şi ei vlore mimă petru este 5 Oservţie Nu petru tote umerele 5 prolem re soluţie uiă; e eemplu, petru itervlul, 7 5 umerele turle 5 şi 6 u oţie iiu umăr turl, ir petru, itervlul, oţie 7 5 G: 8 Să se rezolve euţi: * ( ) ( ) ( ), N, * \ Prof Costti Rusu, Râmiu Sărt Rezolvre: După esfere prtezelor oţiem, ei G : 8 Arătţi ă umărul 6666 este pătrt perfet, * Rezolvre : ifre ifre ifre Prof Mri Simio, Râmiu Sărt 6666 ( ) ifre ( ) (6) 6666 zerouri Am oţiut ă = 6666, ei este pătrt perfet ifre ifre ifre ifre G: 85 Găsiţi, *, stfel îât Prof Niole Ivăşhesu, Criov Rezolvre: Di ( )( ) şi Auâ ele ouă relţii oţiute rezultă, iă 6 upă re se flă 5 Aşr, 6 5 G: 86 U muitor pote eeut o lurre î 6 zile, ir ltul î 9 zile Ei lureză împreuă u umăr orere e zile l lurre, upă re l oile muitor termiă lurre î zile Câte zile u lurt împreuă muitorii? Prof Lărimior Năstse, Pi, Buzău Rezolvre: Notăm u (u îtreg) lurre şi u umărul e zile î re muitorii u lurt împreuă Primul lureză pe zi 6 i îtreg lurre, ir l oile lureză pe zi 9 i lurre Împreuă lureză pe 5 5 zi + =8 i lurre Formăm euţi: = + = u soluţi ; ei, u lurt împreuă, ouă zile

21 - PROBLEME REZOLVATE - G: 87 Î triughiul suțitughi ABC, î re mb ( ) mc ( ) și M este mijloul lturii (BC), meitore lturii (BC) iterseteză reptele AB și AC î E, respetiv, F Să se EF rte ă ă EM, tui EA EB şi AF Prof Costti Apostol, Rm Sărt AC Rezolvre: Fie N, mijloul lturii [AC] tui, [MN] evie liie mijloie î triughiul ABC u AB MN ABşi MN Triughiurile MNF şi EAF sut ogruete (zul ULU) eoree EF [ MF] [ EF] ăi EM, MFN EFA, opuse l vârf, FMN FEA,ltere itere formte e AB EA prlele MN şi EA tăite e set ME Aşr, EA MN Tot i estă ogrueță, EB AF euem ă FN = FA și i AN = NC, rezultă AC G: 88 Se u putele A, B, C, D, E oliire lute î estă orie, ir,,, lugimile segmetelor [AB], [BC], [CD], [DE] ) Dă =+= =+9, srieţi î orie resătore lugimile segmetele te ) Dă AE = m, flţi lugimile segmetelor eprimte î m ) Aflţi lugime segmetului [MN], respetiv [PQ], ue M, N, P, Q sut respetiv mijloele segmetelor [AB], [BC], [CD], [DE] Prof Mri Mite, Cugir, Al Rezolvre: ) Di tele prolemei se oţie = +, = + şi = + Atui, <<< ) Dă =+, =+, =+, ir +++=, rezultă +8=, e ue =89, = 5, = 5, = 9 ) MN=(AB+BC):=999:=99,5 m PQ=(CD+DE):=5:=5,5 m Cls VII G: 89 Arătţi ă , ue!, * şi!!! 5!! Prof Mire Mrio Stoi, Ar Rezolvre: Notăm u S memrul stâg l ieglităţii e emostrt Cum petru fiere terme l sumei se ( ) pote srie rezultă ( )! ( ) ( )! ( )! ( )! ( )! S 959 S 96 Este eviet ă S 96!!!!!! 8! 5! 9! 5! G: 9 Să se rte ă ă ue,,, * tui 6 Prof Gheorghe Struţu, Buzău Rezolvre: ( ) 66

22 - PROBLEME REZOLVATE - G: 9 Arătţi ă umărul 9 este irţiol Prof Gheorghe Dârstru, Buzău Rezolvre: Ultim ifră umărului e su ril este ultim ifră sumei itre ultimele ifre le puterilor şi ume u( ) = u() =, ee e îsemă ă su ril u este pătrt perfet G: 9 Determiţi o proporţie î re sum etremilor este, sum mezilor este 7 şi sum pătrtelor tuturor termeilor este 578 Prof Mri Simio, Rm Sărt Rezolvre: Di, oform euţului vem : + =, + = 7 şi 578 Coform proprietăţii fumetle proporţiei vem = 578 ; r + = şi + = 7 Rezultă ăi = (88 578) : : 6 Deoree + = şi = 6 rezultă ă Oţiem 9 89 ( ) 7 =7 ; r + = e ue rezultă ă = ir = su = şi = Alog se oţie ă = 5 şi = su ivers: = şi = 5 O proporţie re form: 5 G: 9 Să se etermie vlorile lui, umere îtregi, petru re frţi este ireutiilă Prof Vleri Roşu, Rm Sărt Rezolvre: Fie,, rezultă ivie ifereţ lor Cum este umăr prim, Petru frţi este ireutiilă Petru =, frţi este reutiilă, îât, petru re frţi evie : Î oluzie frţi este ireutiil petru petru, \ \, stfel G: 9 Comprţi umerele 9 şi 8 Prof Niole Ivăşhesu, Criov Rezolvre: A ompr umerele şi revie l ompr pătrtele lor Cum şi 8 9 8, e rămâe să omprăm or umărul 9 u 8 ehivlet u ompr umărul m 9 u umărul 8 (9 )( ) 9 Eviet ă m O ltă vrită e rezolvre t omul Titu Zvoru: Fie m 9 8 şi Avem

23 - PROBLEME REZOLVATE - m şi log Rezultă imeit ă m iă 9 8 G: 95 Aflţi ri triughiului ABC ştii ă AB + AC = m şi ă istţ e l iterseţi reptei BC u isetore ughiului BAC l rept AB este eglă u 8 m Prof Lărimior Năstse, Pi, Buzău Rezolvre: Fie D iterseţi reptei BC u isetore ughiului BAC, ir E, F piiorele AB DE AC DF perpeiulrelor i D pe AB, respetiv AC AABC AABD AADC Putul D se flă pe isetore ughiului BAC DE=DF=8 m, şi îloui î relţi e mi sus, oţiem A ( AB AC) 8 m ABC G : 96 Î iteriorul reptughiului ABCD luăm putul P şi ostruim î eteriorul său BT PB, AR AP u AR = PC şi BT = DP Arătţi ă PR = PT Prof Io Ru, Bozioru, Buzău Rezolvre : Notăm u E, F, G, respetiv H proieţiile putului P pe lturile [AB], [BC], [CD], respetiv [DA] şi PH, PF, PG, PE Se pliă teorem lui Pitgor î triughiurile AEP, BEP, CPG, ABC rezultâ relţiile PA, PB, PC, PD, e ue PA PC PB PD Apliâ i ou teorem lui Pitgor î triughiurile PAR şi PBT, i relţiile PA AR PR, PB BT PT rezultă ă PR PT G: 97 Să se etermie măsurile ughiurilor uui triughi, știi ă trei itre ughiurile sle eteriore u măsurile proporțiole u umerele, și și sum măsurilor elorllte trei, eglă u Prof Costti Apostol, Rm Sărt Rezolvre: Fie ABC, triughiul t, ue A, B, C sut măsurile ughiurilor sle ; euem ă ele șse ughiuri eteriore u următorele măsuri: ouă u 8 A, ouă u8 B și ouă u 8 C Deoseim ouă zuri : 8 A 8 A 8 B 5 ( AB) Czul I : Dă A B, putem srie :, ue se 6 etermiă țiâ semă e fptul ă sum elorllte trei ughiuri u sum măsurilor eglă u : 8 B8 C8 C BC Dr, ( AB) ( B C) ( ABC) 5 5 ' 8 6 AB6 ( B C) AB5 5 Imeit, 6 ' ' ' se oţi măsurile ughiurilor triughiului: A6 5, B8, C Czul II: Dă AB C, putem srie : A B C și8 A8 B8 C 5 8 6, ee e este fls, ei, zul l oile u pote ve lo Oservție : Eviet, putem shim ître ele literele A, B, C

24 - PROBLEME REZOLVATE - G: 98 Se osieră u segmet [ BC] pe re luăm u put D Î putul D se riiă perpeiulr pe segmetul [ BC ] Fie M u put vriil pe estă perpeiulră Dă BD m, DC m, DM m, tui se ere: ) Petru 6 m să se fle rz erului irumsris triughiului BMC ; ) Să se fle vlore lui petru re m( BMC) 9 ; ) Să se fle vlore lui petru re m( BMC) 9 Prof Costti Rusu, Râmiu Sărt Rezolvre: ) Se oservă ă 6 m( BMC) 9 (s- utilizt reipro teoremei îălţimii) Notăm poziţi putului M î estă situţie u A ( m( BAC) 9 ) ) Dă M DA, A (DM ) m( BMC) 9, eoree u teorem ughiului eterior vem, m( BAD) m( BMD) şi m( CAD) m( CMD) De ii îsumâ vem m( BMC) m( BAC) 9 şi î oluzie 6, m( BMC) 9 şi î oseiţă,6 ) Alog vem petru M AD, G: 99 Fie triughiul ABC u ma ( ) 6 Să se rte ă lugime îălţimii i vârful A este tă e relţi h, ue otţiile sut ele oişuite Prof Tuţă Lu, Buzău h S S S h h Rezolvre: Fie S riabcavem S h h Dr h si 6 şi h si 6 Rezultă h h Cls VIII- G: Rezolvţi euţi 9 8, Prof Doi Stoi, Mire Mrio Stoi, Ar Rezolvre: () şi 9 8 () Di () rezultă: Di () rezultă 7 Aşr, S ;;; 8; ( ): ; ( ): ; ( ) : 5 ( ) : 9 8; G: Să se rte ă ( )( 6), Prof Ligi Struţu,Buzău Rezolvre: ( )( 6), ( ) 6( ), ( 8), Dă presupuem ă ( 8), ( 8) 8 5 7,5 7 \, şr, şi

25 - PROBLEME REZOLVATE G: Să se etermie fuți liiră f :, stfel îât să iă lo relți : f( uv) f(5u v) 8u8v 6, î zurile : I) u este rgumet și v ;II) v este rgumet și u Prof Costti Apostol, Rm Sărt Rezolvre: I) Cosierăm ă fuți, pe re treuie să o etermiăm, este efiită pri lege e orespoeță f ( ) Î zul I), vem : f ( u v) ( uv) şi f (5u v) (5u v) Atui, f( uv) f(5u v) 8u8v6 8u v 8u 8v 6e ue, v f ( u) uv, v Treâ l rgumetul rezultă f ( ) v II) Se proeeză log, rezultâ f( ) u, u G: Să se rte ă umărul este pătrt perfet Prof Vleri Roşu, Rm Sărt Rezolvre: () N, rezultă ă este pătrt perfet, şi M,, ( ) G: Arătţi ă ă R Q, reprezită prte frţioră, tui mulţime M oţie el puţi ouă elemete iferite re u primile zeimle eleşi Prof r Mihály Beze, Brşov Rezolvre:, ue i i Deoree M, vom împărţi itervlul, î itervle i, e lugime Di priipiul lui Dirihlet, vem ă eistă u itervl î re sut iluse ouă elemete le mulţimii M Fie est itervl, Dă,, tui,,, eoree Aşr, şi u primile ( ) ori zeimle eleşi, şi e ii rezultă oluzi, G: 5 Dă,, sut lturile uui triughi şi, tui triughiul este ehilterl Prof Costti Rusu, Râmiu Sărt Rezolvre: Se ştie ă Aşr, i euţ rezultă ă ( ) ( ) ( ) G : 6 Volumul uei pirmie triughiulre regulte este 88 m, ir istţ e l etrul zei l o fţă lterlă este e 8 m Să se etermie ri lterlă pirmiei Prof Mri Simio, Rm Sărt Rezolvre : Notăm potem zei [OM] u şi îălţime [VO] u h Î triughiul reptughi VOM ostruim OH VM OH = (O,(VBC)) VO OM 8 h OH VM h VM VM 8 OM R şi l A ( ) ; P 6 Cum A h V

26 - PROBLEME REZOLVATE - h 88 h h 88, A l PVM h h m G: 7 U rezervor re form uui prlelipipe reptughi u u i imesiui eglă u mei ritmetiă elorllte ouă Ştii ă sum elor trei imesiui este 7 m şi ri totlă este e 8 m flţi pitte î hetolitri rezervorului Prof Tuţă Lu, Buzău Rezolvre: Dă otăm u, y şi z imesiuile prlelipipeului, tui pe z telor prolemei, vem: y z, y z şi ( y yz z) 8 y yz z yz ( y z) yz V yz 68 m 68 m 68 l 68 hl 5 Aşr, Cls IX- L: 8 Să se emostreze ă î orie triughi ABC re lo ieglitte: p p p P ABC, ue otţiile sut ele oişuite Prof Mri Mite, Cugir, Al Rezolvre: ( ) ( ) Apliăm ieglitte meiilor şi vem: e ue p p, () ( p) p r pşi îloui î ieglitte (), rezultă p p Alog, se emostreză ă p p p, p Auâ este ultime trei ieglităţi se oţie p p ( ) 6p p p PABC O ltă vrită e rezolvre t omul Titu Zvoru: Di p ( ) ( ) ( ) ( )( ), pliâ ieglitte meiilor rezultă p ( )( ) Alog petru elellte ouă ieglităţi Rezultă p p p p PABC L: 8 Dă,,,, tui, rătţi ă si tg Prof DM Bătieţu Giurgiu, Buureşti Rezolvre: Vom folosi ieglităţile Huyges: si tg tg,, Demostrţie: Notâ tg t,,, vem e emostrt ă t t t, t, t t ( t ) t, t, t t t t

27 - PROBLEME REZOLVATE - ee e este eviet Pri urmre si tg tg şi eoree, tg, rezultă ă tg si,, Dei, oform ieglităţilor lui Huyges vem tg si,,, ir i ieglitte meiilor euem ă tg si, iă tomi relţi i euţ L: 8 Arătţi ă ă,,,, tui: 8 José Luis Díz-Brrero, Polytehil Uiversity of Ctloi, Brelo, Spi Rezolvre: Oservăm ă, şi îă trei eglităţi similre petru, şi Apliăm ieglitte meiilor ritmetiă-geometriă şi oţiem:, 9 şi îă trei ieglităţi similre, re pri ure ou l (*) 8 Apliăm i ou ieglitte meiilor ritmetiă-geometriă, şi oţiem: (**) Di (*) şi (**) oţiem: 8, e ue rezultă şi oluzi O ltă vrită e soluţie t omul Titu Zvoru: Deoree, srii îă trei ieglităţi similre oţiem ( se vee prolem L: 55 şi soluţiile ei î SM r VIII) Astfel este sufiiet să emostrăm ă 8, iă , evărtă L: 8 Arătţi ă eistă umerele turle i i, istite stfel îât este o p putere perfetă, şi u pătrt perfet Prof r Mihály Beze, Brşov

28 Rezolvre: Avem: ( )( ) şi 6 Dă t p N p tui - PROBLEME REZOLVATE - ( ( ) p ) p şi, ş ă ( t) t p p ( ) ( ) Dei, şi ( t) t p, L: 85 Dă,, sut lturile uui triughi re u este otuzughi şi 6 6 6, tui triughiul este reptughi Prof Costti Rusu, Râmiu Sărt Rezolvre: Ieglitte i euţ este ehivletă u () Di ipoteză vem ă: os A, os B şi osc, ei, ( ) şi ( ), e ue rezultă: () Di () şi () vem ă: su ( ) su ( ), e ue oluzi L: 86 Fie f :[; ), f( ) 76 Să se etermie fuţi g : u propriette ( f g)( ), Prof Ari St, Buzău, Rezolvre: f( ), Di g ( ), g ( ), 7 g ( ) ( g ( ) ) 9 : Cls X- L: 87 Să se etermie m stfel îât ieglitte log log [( m) (m) 5m] să fie evărtă petru orie rel Prof Floreti Popesu,Buzău Rezolvre: Di loglog [( m) (m) 5m] log log [( m) (m) 5m] log ( ) rezultă ( m) (m) 5m6, Di oiţiile m( ;) (; ) şi m(; ) oţiem m(; ) log log log şi, tui rătţi ă log log log Prof DM Bătieţu Giurgiu, Buureşti Rezolvre: Notâ log, y log, i euţ rezultă ă, y şi y L:88 Dă,,, Ieglitte i euţ este ehivletă u y y y y

29 - PROBLEME REZOLVATE - Coform ieglităţii lui Bergström vem y y y y y y, ee e emostreză euţul L: 89 Fie u şir ( ) e umere î progresie ritmetiă î re şi rţie pozitivă Să se rte ă: lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg5 lg lg Prof Gheorghe Ghiţă, Buzău Rezolvre: Şirul fii o progresie ritmetiă u termei pozitivi şi rţi r emostrăm mi îtâi ă:, ; Avem şi u ieglitte meiilor euem, ; Petru trei umere,, u se rtă uşor ă re lo ieglitte: lg lg lg Apliâ ieglitte terioră petru umerele,,,,vem: lg lg lg, lg lg lg,, lg lg lg Pri îsumre ieglităţilor oţiute se oţie ieglitte propusă Eglitte re lo tui â rţi r este, iă tui â L:9 Arătţi ă ă Rezolvre: () z z C stfel îât z 5 z z z z z z z 5 5 z 5 z z () z z z z z z z z 5 z 5 z z, tui 5 z 5 5 z Prof r Mihály Beze, Brşov 5 z 5 L: 9 Să se luleze prte îtregă umărului log78 log8 log7 Prof Ari St, Buzău Rezolvre: log78 log87 log78 log87 y 5 5 L: 9 Să se rezolve euţi: y y Prof Mite Mri, Cugir, Al Rezolvre: Îmulţim euţi u şi grupâ termeii oveili se oţie ( ) ( y y), () y Di oiţi e eisteţă y, rezultă ă î () vem o sumă e umere pozitive ulă, e ue rezultă ă ( ) şi ( y ) y, euţii le ăror y soluţii sut:, ; y Rezultă ( ; ) (;),(;),(;),(;) y

30 - PROBLEME REZOLVATE - L: 9 Să se rezolve î mulţime umerelor rele euţi: Prof Deli Ile Bsh- Nii, Crl, Olt Rezolvre: Cu otţiile m 5 şi, =t, euţi tă evie: t t t m+ m + Cosierăm t t m fuţi f :, f(t)= +, re este strit resătore, ei ijetivă Aşr, i m+ m+ f(t)=f()= t=, iă Cls XI- L: 9 Dă AB, M ( ) şi eta 96 B, tui rătţi ă 75 ivie A B et Prof DM Bătieţu Giurgiu, Buureşti şi Neuli Stiu, Buzău Rezolvre: Fie poliomul f ( X ) eta X B ZX Deoree ( 96) eta 96 B f, rezultă ă 96 este o răăiă poliomului f Pri urmre X 96 ivie poliomul f, iă eistă g ZX stfel îât f ( X ) X 96 g( X ) Aşr, f ( ) 96 g( X ) 75 g( X ), f ( ) et A B ee e rtă ă 75 ivie L:95 Să se rte ă ă A M ( ) stfel îât A A I, tui et( A I ) et( A) Prof Gheorghe Ghiţă, Buzău Rezolvre: Îmulţim relţi tă u A şi tui: A A AAI AA I Se rătă uşor pri iuţie mtemtiă ă: A A( ) I, Petru =, oţiem:a = A I, şi e ii, rezultă ă:et(a + I ) = et(a) = et(a) L: 96 Fie AB, M( ) ouă mtrie petru re vem et( A ABBA) (et A) Arătţi ă : ) ABBA O ) et( A B AB BA) et A et B et( AB BA), Tr( AB) Tr( A) Tr( B) Prof Flori Stăesu, Găeşti, Dâmoviţ Rezolvre: ) Se v folosi următorul rezultt: Dă XY, M( ), tui Tr( X ) Tr( y) Tr( X Y) et( X Y) etx ety () Demostrţi provie i folosire urmei l teorem Hmilto Cyley petru X: X Tr( X) X et X I O et X [( TrX) Tr( X )] Di et( X Y) et X et Y Tr( X Y) Tr( X Y) ( TrX ) TrX ( TrY) TrY ( TrX ) ( TrY) TrX TrY Tr( X Y XY YX ) ( TrX ) TrX ( TrY) TrY

31 - PROBLEME REZOLVATE - Tr( X ) Tr( y) Tr( X Y) Tr( X ) Tr( y) Tr( X Y) et( X Y) etx ety Tr A ( AB BA) Tr( A B A BA) Tr( A B A B), rezultă Di Tr( A ( AB BA)) Tr( A ) Tr( AB BA) et( A AB BA) et( A ) et( AB BA) et( A B AB) (et A) et( AB BA), () Di ( ) şi i Tr( AB BA) rezultă et( AB BA) ( AB BA) O ) Di Tr ( A B)( AB BA) Tr( A B) Tr( AB BA), i () rezultă Tr ( A B)( AB BA) Tr( A B) Tr( ABA) Tr( BAB) Tr( B A) et( A B AB BA) et( A B) et( AB BA) () Di () şi () rezultă et( A B) et( AB BA) et A et B et( AB BA) et( A B) et Aet BTr( AB) TrA TrB 5 L: 97 Să se luleze lim l Prof Ari St, Buzău Rezolvre: 5 l 5 5 ( 5) lim l lim l lim 5 L:98 Fie fuţiile f : şi g : Ştii ă f este o fuţie pră, ir 5 g()= + f()+ 5 ', să se luleze g f()-f() f(-)-f() f(t)-f() - - t t- 5 ' ' ' g ()= f()+ +f + Atui, g 5 ' ' Rezolvre: f =lim =lim = - lim = - f Cls XII- Prof Iuli Trşă, Sorieşti, Olt ' f = L:99 Rezolvâ euţi să se emostreze relţiile: ) os os os ; ) os os os os os os ; ) os os os Prof OviiuŢâţ, Rîmiu Sărt Rezolvre: Soluţiile euţiei, sut os, 5 7 os, os, tote rele Di ultim i relţiile lui Viète os os os os os os, iă )

32 - PROBLEME REZOLVATE - Dei os os os os os os Di euți iițilă oțiem relți e reureță S S S, Petru S S S Dr S S S, iă ) Petru S S S S S și ei os os os os os os iă ) L: Dă R, şi f :[ ; ] este o fuţie otiuă u propriette ă f ( ), tui lulţi: f ( ) f ( ) Rezolvre: Avem: f ) f ( ) f ( ) Tototă ( f ( ) f ( ) ( t) f ( t) t ( ) f ( ) Prof DM Bătieţu Giurgiu, Buureşti Atui f ( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) L: Să se luleze: Rezolvre: Itegrl tă se mi srie: Prof Gheorghe Ghiţă, Buzău 7 Pri shimre e vriilă 7 ( )( ) t t itegrl evie: I t t t ( t ) t t t 7 7 ' t t t 7 t t, t I, e ue, rezultă ă: I rtg rtg Î estă relţie â vlori lui l l - şi uâu-le rezultă ( ) () F ( ) F() ( ( ) ) F() Dă î lo e puem 6 oţiem:

33 - PROBLEME REZOLVATE F( ) F(), pri erivre ă f( ) F'( ) ( )() ( ) Atui, S ( ) ( ) L: 5 Î plul XOY u mel pleă i putul A( ;) şi merge pâă î 7 B(; ) străătâ grfiul uei fuţii otiue f :[;] (; ) Melul osttă ă î orie put M(;y) r fi el, situt pe grfiul fuţiei, ifereţ itre o pătrime i prousul oorotelor putului M şi ri sugrfiului fuţiei f pe [;] este eglă u ) Demostrţi ă f este erivilă pe [;] şi ă f '( ) f( ) ; ) Determiţi fuţi f Prof Costti Diu, Buzău Rezolvre: ) Di tele prolemei rezultă f( ) f( t) t (*) tui f( ) f( t) t f e erivilă pe [;] Derivâ relţi (*) oţiem f ( ) f '( ) f( ) f '( ) f( ) f '( ) ) Di f '( ) f( ) l f( ) l l f( ) f ( ), f () e ue rezultă şi f ( ) Ertă - Prolem G:7 i SM VIII /, este prolem G: (u soluţi î elşi umăr); - Numerotre prolemelor i SM VIII / e l G: l G:57, se v iti e l G:8 l G:7 e 5 e 5 - L prolem L 8, i SM VIII/, î lo e se v iti e e LEGI, PRINCIPII, AXIOME Aiom opiilor O juărie re u se pote sprge este totuşi folosită l sprgere ltor juării Lege proporţiilor Timpul pe re îl i retifire uei greşeli este ivers proporţiol u timpul pe re ţi l- lut omitere erorii Lege reltivităţii Orie pote fi împărţit î oriâte părţi oreşti Regul regulilor Eistă reguli petru legere uei soluţii, r u eistă reguli petru legere estor reguli Teorem espre âime âltoei Nu poţi spue imi espre âime uei âltoe pâă u zi î e Postult eti A greşi este omeeşte, r vi pe ltiev este îă şi mi omeeşte

34 - PROBLEME PROPUSE Ferie e el ărui îi zii o voră şi priepe zee, şi vi e el ărui îi spui zee şi u priepe iiu Io Ps 5 Proleme propuse ÎNVĂŢĂMÂNT PRIMAR P:7 Alizâ ele trei eruri, găsiţi umărul lipsă i l ptrule er Prof Ari St, Buzău P:8 Completţi spţiile liere i pătrtele e mi jos u ifre e l l 8 o sigură tă respetâ operţiile stfel îât să e rezulttul fil 9 Prof Ari St, Buzău : 9 P:9 Sum ii umere turle este 6 Aflţi umerele ştii ă primele ptru umere sut impre oseutive, ir l iile este o treime i sum elorllte Ist Mrel Mri, Rm Sărt P: Să se fle u umăr ştii ă ă îl împărţim l 5, âtului oţiut îi uăm, sum oţiută o îmulţim u 6, ir i prousul oţiut săem, oţiem Prof Aete Mirel, Buzău P: Arătţi ă u eistă umere turle re împărţite l 6 să e restul şi împărţite l să e restul 5; Prof Niole Ivăşhesu, Criov P: Determiţi umerele,,, ştii ă Prof Costti Apostol, Rm Sărt P: Sum trei umere este 8 Să se fle umerele ştii ă primul este u 6 mi mre eât l oile, ir l treile este jumătte i sum primelor ouă Prof Lupş Niolet, Ber P: Di triplul umărului 9 mărit u, i jumătte umărului mişortă u Prof Ato Mri, Ber P:5Trei frţi u împreuă 5 e timre Primul frte re u 5 mi multe timre eât l oile şi u 8 mi multe timre eât l treile Câte timre re fiere frte? Prof Brâză Cristi,Buzău

35 - PROBLEME PROPUSE - P:6 Află 7 umere impre oseutive, ştii ă, ă l sum lor, mărită e 5 ori ugi, rezulttul este 999 Prof Lu Mihel Coreli, Ber P:7 Doi elevi u e rezolvt împreuă 5 e proleme După e primul rezolvt proleme şi l oile 7 proleme, ei oi elevi u e rezolvt elşi umăr e proleme Câte proleme re e rezolvt fiere elev? Îv Lupş Io, Pleşoi P:8 Doi frţi ites ouă ărţi vâ u umăr egl e pgii Î prim zi, uul iteşte ie prte i rte s, ir elăllt iteşte şpte prte, osttâ ă itit u 6 pgii mi puţi eât primul Câte pgii mi re fiere e itit? Îv Mrhiu Flori, Ber P:9 Sum trei umere oseutive este 85 Ce rezultt oţiem, ă săem 55 i ultimul umăr? Prof Mriesu Griel, Stăeşti,Vu-Pşii P: O roitorie primeşte stofă timp e zile Î prim zi primeşte jumătte i stofă plus 8 m, î ou zi jumătte i rest plus 8 m, î trei zi jumătte i oul rest plus 8 m, ir î ptr zi 8 m Câţi metri e stofă primit roitori? Îv Rotăresu Viorel, Vu Pşii P: Mtei, Cori şi Ali u oleţiot timre Câte timre oleţiot fiere opil ă Mtei şi Cori u oleţiot 6 timre, Cori şi Ali 5 timre, ir Mtei şi Ali 6 timre Prof Rotăresu Viori, Vu Pşii Cls V- G:8 Găsiţi umerele turle, u,,, ifre istite stfel îât Prof Niole Ivăşhesu, Criov G:9 Găsiţi umerele turle u stfel îât Prof Niole Ivăşhesu, Criov G: Rezolvţi î mulţime * * * euţi yz 6 Prof Doi Stoi şi Mire Mrio Stoi, Ar 7 7 G: Să se rte ă umărul A 7 7 este umăr pr Prof Tuță Lu, Buzău G: Determiţi umărul yzt, ştii ă re lo eglitte: yzt yzt zt t Prof Costti Apostol, Rm Sărt G: Prousul itre u umăr e ifre şi ifereţ itre u umăr e ouă ifre şi răsturtul său este 56 Aflţi umărul e trei ifre re îeplieşte oiţi Prof Mite Mri, Cugir, Al G: Determiţi sum umerelor e form, ştii ă şi ă este, simult, pătrt perfet şi u perfet Prof Vitori Pop, Timişor G:5 Arătţi ă ă i,, şi, tui i Prof Neuli Stiu, Buzău, Titu Zvoru, Comăeşti

36 - PROBLEME PROPUSE - G:6 Să se emostreze ă umărul re u umăr pr e ivizori Titu Zvoru, Comăeşti, şi Neuli Stiu, Buzău G:7 Arătţi ă umărul = este iviziil u prousul ouă umere turle oseutive Prof Simio Mri, Buzău Cls VI- G:8 Dă,,,, *, să se ompre umerele:,,, Prof Niole Ivăşhesu, Criov G:9 Aflţi umerele turle ştii ă Prof Niole Ivăşhesu, Criov G: Arătţi ă umărul i proporţi este pătrt perfet Prof Doi Stoi şi Mire Mrio Stoi, Ar G: Determiti ifrele, i eglitte,7,, Prof Rosu Vleri, Rm Sărt G: Împărţi frţiile 6 7 şi 8 9 l o frţie tă, se oţi, respetiv, âturi umere turle oseutive Cre este estă frţie? Prof Lărimior Năstse, Pi, Buzău G: Să se rezolve î N * N * N * euţi + y + z = Prof Mri Mite, Cugir, Al G: Arătți ă ă umărul ivie u G:5 Să se rezolve î euţi A ef se ivie u tui și umărul B ef se G:6 Determiţi umărul soluţiilor i le ieuţiei y 6 G:7 Rezolvți euți 5 Prof Tuță Lu, Buzău 5 y 5 (5 ) Prof A Pitesu, Rm Sărt Prof Mire Mrio Stoi, Ar Prof Tuță Lu, Buzău G:8 Aflţi restul împărţirii umărului = l Prof Gheorghe Dârstru, Buzău G:9 Arătţi ă 5 ivie +, ue : = + şi = Prof Simio Mri, Rm Sărt G: Î pătrtul ABCD, se osieră putele E pe (AB) și F pe (BC), stfel îât, AE BF Arătți ă BDE BEF EB FC Prof Costti Apostol, Rm Sărt

37 - PROBLEME PROPUSE - Cls VII- G: Arătţi ă frţiile y 6 y 8 y ehivlete petru orie şi y umere rele esimult ule şi y y 9 y sut Prof Niole Ivăşhesu, Criov G: Rezolvţi euţi, *, Prof Niole Ivăşhesu, Criov G: Fie,,, lugimile lturilor uui ptrulter ovearătți ă ptrulterul este ( )( ) prlelogrm ă și umi ă Prof rmihály Beze, Brşov G: Preizţi ă G:5 Rezolvţi î Prof Mri Mite, Cugir, Al euţi Prof Io Stăesu, Smeei,Buzău y y G:6 Clulţi vlorile îtregi le lui petru re 9 este umăr îtreg Prof Gheorghe Dărstru, Buzău G:7 Fie triughiurile AOB, BOC, COD, DOA reptughie î O, vâ lugimile lturilor [OA], [OB], [OC], [OD] umere turle oseutive Demostrţi ă re lo relţi: AB BC CD DA *, ue N Prof Vitori Pop, Timisor G:8 Fie triughiul ABC u măsur ughiului BAC e Fie [AA isetore ughiului A triughiului, A' ( BC) Pri putul A se ostruieşte prlel l rept AB re iterseteză AA' AA' ltur [AC] î M, M ( AC) Demostrţi ă AB AC Prof Coreli Gurău, Moieşti Bău G:9 Se osieră u triughi ABC u lugimile lturilor AB 6, BC, CA şi putele M respetiv N pe ltur [ BC ] stfel îât BM, MN Clulţi măsur ughiului MAN Prof DM Bătieţu Giurgiu, Buureşti şi Neuli Stiu, Buzău G: Î sistemul ortogol e oorote Oy, se osieră putele (,), D, BC O E AD Oy F, tui: şi Dă şi A B,, C, ) rătţi ă FOE este isosel; ) etermiţi ri ptrulterului ABFE Prof DM Bătieţu Giurgiu, Buureşti şi Neuli Stiu, Buzău G: Pe rept BC, re ilue ipoteuz uui triughi reptughi ABC, se osieră putele D și E, stfel îât, B ( DC) şi ( DB) ( AB), C ( BE) și ( CE) ( AC) Arătți ă măsur ughiului BOC este osttă, ue O este etrul erului irumumsris triughiului DAE Prof Costti Apostol, Râmiu Sărt

38 - PROBLEME PROPUSE - Cls VIII- G: Demostrți ă se ivie u 9, orire r fi umărul turl Prof Tuță Lu, Buzău 6 y G: Să se rezolve euţi: Prof Mri Mite, Cugir, Al y y G: Demostrţi ă Prof Mire Mrio Stoi, Ar G:5 Aflţi * stfel îât ( ) Prof Niole Ivăşhesu, Criov G:6 Dă (, si sut umere pozitive emostrţi ieglitte: ) Profrig, Pţuru Dumitru, Glţi G:7 Dă imesiuile uui prlelipipe reptughi sut,, ue, *, e fel e umăr este igol prlelipipeului, rţiol su irţiol? Prof Niole Ivăşhesu, Criov G:8 Fie fuțiile f, g: stfel îât f ( ) g( ), Să se rte ă f ( y) g ( z) y f ( z) g ( ) z f ( ) g ( y) y z, yz,, Eistă fuții u propriette i euț? Prof DM Bătieţu Giurgiu, Buureşti şi Neuli Stiu, Buzău G:9 Se osieră semireptele ( O,( Oy, ( Oz ouă âte ouă perpeiulre î etrul O Pe ele î estă orie se iu putele A, B, C Perpeiulr usă i putul O pe plul (ABC) îl iterseteză î putul G, etrul e greutte l triughiului ABC Fie putul M e prţie semireptei ( OG Preizţi o poziţie putului M pe ( OG ştii ă ( CM fe u (OB) u ughi e măsură 5 Prof Costti Rusu, Râmiu Sărt G :5 Pe perpeiulr î A, pe plul reptughiului ABCD, se osieră putul M Ştii ă lturile triughiului MBD sut proporţiole u umerele, 5 şi şi ă MC 5 m, lulţi imesiuile reptughiului şi lugime segmetului (MA) Prof Costti Apostol, Râmiu Sărt G :5 Pe perpeiulr î A pe plul reptughiului ABCD se i putul M stfel îât MB = 8 m, MC = m şi MD = m Să se etermie ri triughiului MBD Prof Simo Mri, Râmiu Sărt

39 - PROBLEME PROPUSE - Cls IX- L:6 Comprţi y, * ştii ă L:7 Arătţi ă ă, y, z, tui L:8 Să se rte ă ă, y, y y Prof Niole Ivăşhesu, Criov y y y z z 7 y z Prof r Mihály Beze, Brşov, tui si si y y si (Î legătur u prolem 68 i GM-B, r /, propusă e Neuli Stiu, Buzău) Prof DM Bătieţu Giurgiu, Buureşti L:9 Arătţi ă ă A, B, C, D sut ptru pute i spţiu stfel îât AB, BC, CD, DA 6, tui AC BD (Î legătură u o prolem i Suplimetul u eeriții l GM-B r /) Prof Ro Mihel Stiu, Buzău ( y) ( yz) ( z) y z L: Să se rte ă, yz,, z ( y) ( yz) y ( z) Prof Flori Stăesu, Găeşti, Dâmoviţ L: Să se emostreze ieglitte tg tg, ue, şi N, tg ( tg )( tg ) ( tg ) Prof Costti Rusu, Râmiu Sărt L: Aflţi miimul epresiei 5 8 E Prof Mri Mite, Cugir, Al L: Se ă triughiul ABC, u ( AB) ( AC) Pe perpeiulr î B pe [BC] se osieră u put orere, P și fie M, mijloul segmetului (AB) și N, mijloul segmetului (PC) Arătți ă rportul MN este ostt AP Prof Costti Apostol, Rm Sărt y L: Fie, ystfel îât +y = 6 Să se rte ă yy y Prof Ari St, Buzău y L:5 Să se rezolve î mulţime sistemul: ; y Prof Costiă Amrio, Rm Sărt L:6 Să se rte ă umărul 6 re el puţi 566 e ifre Prof Oviiu Ţâţ, Râmiu Sărt

40 - PROBLEME PROPUSE - L:7 Rezolvţi î * euţi [ ] 85, ue [] reprezită prte îtregă lui [ ] Prof Costti Diu,Buzău L:8 ) Să se găsesă formul termeului geerl l şirului ( ) efiit (esriptiv) stfel: ; ; ; ; ) Clulţi sum : S = + ) Determiţi prte îtregă şi prte frţioră umărului S etermit l putul ) Prof Strutu Ligi, Prof Gheorghe Struţu, Buzu Cls X- L:9 Arătţi ă ă, si os 7, tui: si os os si Prof r Mihály Beze, Brşov L: Fie umerele,, tg tg, ue,, Să se rte ă eistă u os os triughi vâ lturile umerele te şi să se luleze ri estui triughi Prof Costti Rusu, Râmiu Sărt L: Să se rezolve î euţi y 976 y Prof Ari St, Buzău L: Fie z stfel îât z Să se rte ă z z z z Prof Ari St, Buzău L: Să se rezolve î mulţime umerelor omplee euţi: z iz i Prof Costiă Amrio, Rm Sărt L: Rezolvţi euţi Prof Costti Diu, Buzău L:5 Să se rte petru orie rel re lo ieglitte Prof Strutu Ligi, Prof Gheorghe Struţu, Buzu CLASA XI- L:6 Determiţi m * stfel îât fuţi * * f :, m m f ( ) m să verifie relţi f ( ) f '( ), (; ) Prof Lur Tăse, Buzău L:7 Să se luleze limit lim[ ( ) ] Prof Costiă Amrio, Rm Sărt ue

41 - PROBLEME PROPUSE - L:8 Să se găsesă tote şirurile ( ) u propriette orire r fi Prof Costiă Amrio, Rm Sărt L:9 Fie mtrie A M( ) Să se rte ă euţi X X X A u re soluţii î M ( ) Prof Ari St, Buzău Cls XII- ( y) L: Arătți ă ă, G,, G e, e, y, y y l l y, y tui G, și G, sut grupuri eliee izomorfe Prof r Mihály Beze, Brşov L: Se osieră f ( ) u f ( ) şi g ( ) stfel îât euţi f ( g( )) u re răăii rele Rezolvţi euţi f ( ) ştii ă re ptru răăii istite umere turle Prof Ro Mihel Stiu, Buzău L: Să se rte ă rtge Prof Costti Rusu, Râmiu Sărt 8 L: Să se etermie primitivele fuţiei f :, f( ) ( ) Prof Ari St, Buzău L: Fie f :[, ], o fuţie erivilă u erivt resătore si pozitivă Dă, tui re lo ieglitte: ( ) ( ) f f ( ) ( ) f ( ) f ( ) f Prof Flori Stăesu, Găeşti, Dâmoviţ L:5 Fie ( G, ) u grup u elemete Să se rte ă: Î G eistă u elemet e oriul, şi î G u eistă u elemet e ori Prof Costiă Amrio, Rm Sărt L:6 Fie u umăr rel eul Să se rte ă ă lugimile lturilor uui poligo îsris îtr-u er l, l,, l sut răăiile euţiei:, tui poligoul este regult José Luis Díz-Brrero, Brelo Teh, Spi Fiere om pe re îl îtâles î rumul meu îmi este superior pri ev De ee îer să îvăţ âte ev e pe lâgă fiere Sigmu Freu

42 - CALEIDOSCOP MATEMATIC Pre ese, iroi u-i eât o formă lipsei e iteligeţă Oestier 6 Cleiosop mtemti Curiozităţi mtemtie ; ; ; ; ; ; ; ; 57 ; 6 8 ; 6 8 ; ,, Culese e prof r ig Dumitru Pţuru, Glţi Ghiitore Dr, e ie vee lururile e forte multe ori (Iiiu: Număr irţiol (hir trseet) proimt u ouă zeimle ete) e prof Neuli Stiu, Buzău U polieru ove re esfășurt e mi jos, ostruiți-l! e prof r ig Dumitru Pţuru, Glţi Îtr-o meră î re sut 7 sue, itră trei ome, fiere fii îsoţită e âte ouă fiie Ştii ă pe fiere su îpe o sigură persoă şi ă iiu itre femei u răms î piiore, um vă epliţi?

43 - CALEIDOSCOP MATEMATIC - 5 O trezorerie primit ii lăzi u moezi e oleţie e elşi fel îsă li s- omuit ă u i lăzi oţie moezi re u respetă strul e litte îtruât âtăreşte u grme mi puţi eât elellte şi u se pote ietifi pri simpl oservţie Ştii ă fiere moeă r treui să âtăresă et grme şi ă r treui să fie restituită l u moezi eoforme, se pue îtrere: re este umărul miim e âtăriri eesre petru ietifire lăzii respetive 6 Liii şi triughiuri Trei liii mărgies u triughi, ir ptru liii mărgies ptru triughiuri Aăugţi ouă liii l ele trei i figură, ş îât să rezulte zee triughiuri 7 Ceruri rotitore Două ile ietie se eplseză ître ouă şie prlele, meţiâu-şi poziţi reltivă u fţă e elltă Dă u i ile este e ouă ori mi mre eât elltă, mi este posiil est luru? 8 Ii Joes Ii Joes lerg pritr-u tuel u seţiue pătrtă, îerâ să spe e u olov uriş su form uei sfere e re imetrul e m ât lăţime tuelului şi re se rostogoleşte î sptele său Ieşire i tuel fii mult pre îepărttă, um reuşeşte Joes să spe? Răspusuri: Dezlegre = umărul u ouă zeimle,5965 Numărul literelor fieărui uvât ă vlore lui π=,5965dr(), e() ie() () vee(5) lururile(9) e() forte(6) multe(5) ori() Vezi şi oleţi RMT + wwwulmtemtiiiro: Aş e uşor srie reumitul şi utilul umăr i mul regul memotehiă e reţiere umărului e mi sus u zeimle ete vezi rtiolul Memori şi Mtemti RMT/ Nr -, 989, e Pvel Petrom şi Titu Areesu su itrţi pe wwwulmtemtiiiro, petru pute uoşte primele zeimle le umărului e mi sus e sufiiet să reţieţi versurile: Aş e uşor srie orişire/u simol ret i multe zeimle Corpul eistă u evărt și se umește gyroelogte petgol upol și rtă î figur lăturtă Eviet, ui ve ouă fiie şi ptru epote, re stăteu tote pe 7 sue 5 O sigură âtărire Se v lu i prim lă o moeă, i ou lă ouă moezi şi ş mi eprte, i ie lă se v lu ii moezi şi se vor âtări Î totl, ele 5 moezi r treui să âtăresă 5 e grme Dă îsă vor âtări 9 e grme îsemă ă prim lă este u reuturi, ă vor âtării 8 grme îsemă ă ou lă este u reuturi, şi ş mi eprte, ă vor âtării 5 grme îsemă ă ie lă este u reuturi 6 7 Iiferet e mărime ilelor, ele vor ve eeşi poziţie u fţă e lt 8 Dtorită imesiuii forte mri sferei eistă sufiiet lo î olţurile e jos le tuelului petru se îghesui stfel îât olovul să treă pe lâgă el fără să-l tigă

44 MODELE DE TESTE Aevărt îţelepiue îsemă să-ţi reuoşti propri igorţă Sorte 6 Moele e teste Bluret M SUBIECTUL I ( p ) 5p Să se luleze 8 log 5p Fie f :, f( ) Să se luleze f ( f( )) f() ; 5p Să se rezolve î euţilog ( 6) 5p Î âte mouri putem form ehipe e âte elevi ă vem 5 ăieţi şi fete? 5p 5 Dă (; ) şi os să se luleze si ; 5p 6 Să se srie euţi reptei re tree pri putele A(-;) şi B( ;) SUBIECTUL II ( p ) Se osieră mtriele A M( ) şi I M( ) 5p ) Să se luleze etermitul mtriei A I ; 5p ) Să se etermie m stfel îât mtrie A mi să fie iversilă; 5p ) Să se rezolve euţi mtrielă X ( AI) I Se osieră poliomele f, g 5[ X], f( X) X ( ) ˆ X ˆ ˆ şi g( X) X ˆ 5p ) Determiţi 5, ştii ă f () ˆ ˆ ; 5p ) Petru ˆ rezolvţi euţi f( ) ˆ ; 5p ) Petru ˆ să se rte ă poliomul f este iviziil u poliomul g SUBIECTUL III ( p ) Fie f :, f( ) e 5p ) Să se luleze f '() ; 5p ) Să se etermie euţi simptotei ătre l grfiul fuţiei; 5p ) Să se rte ă f() este oveă pe [; ) e, Fie f :, f( ) ;, 5p ) Să se rte ă f mite primitive pe ; 5p 5p ) Să se luleze f ( ) ; ) Să se luleze volumul orpului e rotţie etermit e grfiul fuţiei f ( ) g:[:], g( ) î jurul ei OX ître reptele e euţii = şi =; Moel propus e ătre prof St Ari, Buzău

45 - POSTA REDACTIEI - Îţelepiue este fii eperieţei Leoro Vii 8 Poşt reţiei Drgi ititori, elevi şi profesori, părut umărul 9 l revistei e mtemtiă SCLIPIREA MINTII, o revistă re promoveză stuiul mtemtiii î râul elevilor oştri, şi re, sperăm oi, v u tot mi mulţi elevi şi profesori împreuă, i jueţul Buzău şi i ţră, petru fe i oietul mtemtiii o tivitte performtă Profesorii şi elevii re ores să trimită mterile petru revistă, ostâ î rtiole, eeriţii şi proleme u euţ şi rezolvre ompletă, mterile petru leiosop mtemti, su orie lte sugestii petru îmuătăţii litte estei reviste, o pot fe trimiţâ mterilele memrilor oletivului e reţie su pe res e e_mil: y_st5@yhooom, fie mterile tehorette( slvte î Wor ), fie srise e mâă şi ste Mterilele primite treuie să fie origile şi să u mi fi fost trimise su să mi fie trimise şi ătre lte reviste Dreptul e utor l mterilelor trimise spre pulire, prţie reţiei Elevii re ores să trimită rezolvările prolemelor, treuie să i legătur u profesorii lor şi să respete oiţiile fiere prolemă să fie rezolvtă pe o sigură foie u speifire umărului prolemei, şi utorului ei, ir l sfârşitul soluţiei să-şi treă umele şi preumele, ls şi profesorul său, şol şi lolitte(iitivele P, G şi L sut petru ifereţiere pe ivăţămât primr, gimzil respetiv liel) Fiere elev pote rezolv şi trimite prolemele estite lsei î re se flă şi pe ele le ultimelor ouă lse imeit iferiore preum şi pe ele i lsele superiore ătre profesorul lsei Fiere rezolvre oretă şi ompletă se v ot u u put ir î fuţie e posiilităţi, elevii u ele mi mri putje le profesorilor re oloreză u revist vor fi premiţi u iplome şi ărţi Fem pe estă le o ivitţie ătre toţi profesorii e mtemtiă re pr î revistă, e sprijiii şi promov î otiure revist î râul elevilor, ir ei ăror li se puliă rtiole să ome u umăr mi mre e eemplre Dt filă pâă â profesorii pot trimite mterilele, rezolvările şi omezile petru umărul l revistei SCLIPIREA MINTII v fi Otomrie Vă urăm sues şi vă şteptăm Deiăm est umăr l revistei omului profesor Costti Rusu u prilejul împliirii vârstei e 7 e i l t e prilie Îi urăm omului profesor viţă lugă şi să iuesă î otiure mtemti, petru ă ş um hir el o spue mereu estă iuire e vieă e forte multe oli Reţi Vizitţi MATEmtiă şi INFOrmţii i îvăţămâtul ROmâes Reviste, siteze teorie, proleme rezolvte, oursuri şi olimpie, progrme şolre, proiete itie, metoologii şi oumete şolre, ărţi e mtemtiă, teste, fişe e luru, jouri e logiă, softuri euţiole, moele suiete BAC

46 RUBRICA REZOLVITORILOR Ruri rezolvitorilor e proleme Şol u lsele I-VIII Vsile Cristoforeu Rm Sărt: Cls VIII- : 56p-Buterez Dvi, Sîru Cluiu, 5p- Chiri Arei, Doi Ali, 8p- Pârlog Vleti, Biu Di Vleti, Tuorhe Ali, Negu Diel, Lzăr Ele,Vl O Aree, Tşă Vleti, Bu Cliuţ ; Prof Mri Simio; Şol u lsele I-VIII, Smeei Cls VI-: 7p Chiriesu Ro, 5p Ni Cmeli, Tes Iri; Cls VII-: p Bulgre Aler; 5p Nesu Lur Cls VIII- 5pSrlt Ro; pvsile Cristi, Mri Vleti; Prof Stesu Io Şol u lsele I-VIII r, Pi Cls IV-: 5p Năstse Teoor; Cls V-: 5p Drăghii George, p Miresu Cori, Jeg Cristi, Herţ Aeli 8p Drăghii Silv, 6p Dumitroiu Aree, p Ni Iouţ, 8 p Bli Griel, Căli Ele; Cls VI-: 5p Boioă Aree, p Dumitru Georgi, p Cuzum Clui, Negulesu Cristi, 5p Dumitru Georgi, Ilie Iouţ; Cls VII-: p Năstse Diel; 8p Fleoră Aree, Dumitrhe Di, 5p Cio Mirel Vsili Prof Lărimior Năstse Sol u lsele I-VIII, Trist Tzr Moieşti, Bău Cls V-: p Gherm Ar, Froeu Măăli, p Merl Arei, Mziliu Aler, p Dîrlău Flori, Grăirru Miru, 8p Vsilhe Bog, Dîrlău Mrt, Prof Coreli Gurău; Cls VI-: p Muteu Gheorghe, 8p Lil Iouţ, 6p Olru George, Prof Coreli Gurău; 5p Mlhe Rlu, Prof Văsîi Ioel Cls VII-: 6p Căli Aree, Prof Văsîi Ioel; Şol u lsele I-VIII Gh Popesu Mărgiei Sloozi, Olt Cls V-: 5p Trşă Iouţ- Vlăuţ, Ee Diel- Iuli, Vohi Io Dvi, Moisesu Deis, Coste Niolet, Neele Ari Ilie, Mămulru Cristi, Fuior Diel; Prof Iuli Trşă Grupul Şolr Costi Neiţesu, Buzău: Cls IX-: p Tuor Măăli, Ture Arei, Drgomir Iouţ, Groze Cosmi, Pîrog Georgi, Ciope Cori, Dori Iuli, Piu Ele Diel, Bore Eur, Stoi Cristi, Sterpu Deis, Toer Floriel; Cls X-: p Ferru Aree, Perţe Lris, Mru Cristi, Liă Ari, Gheorghiţă Diel, Diu Măăli ; Cls XI-: p- Zhri Măăli, Bisoeu Aur, Sore Muel, Lieu Diel, Tără Ştef; Cls XII-: 5p- Vl Iuli, Diu Ali, Atemir George, Dim Otvi, Aghel Sori; Prof St Ari Şol u lsele I-VIII George Emil Ple Buzău Cls V-: pcio Cristi, Vsile Rusr, Zot Măăli, Borei Vleti, Negu Bi, Dumitrhe Ru Cls VI-: p Bur Arei, St Eur, Mri Cristi, Văeu Rmo, Du Miru, Mutuligă Teoor, Su Aler, Şer Iouţ, Ştefăesu Rlu Cls VII-: 8p Mrle Cosmi, Mâtoiu Atoiu, Răi Mihel Cls VIII-: p Ru Bog, Zw Eur, Dim Lui, Apostol Alie, Coju Ele Prof Neuli Stiu Sol u lsele I-VIII, r Rm Sărt Cls VI-: p Jer Ari, Nu Cătăli Cls VII-: 6p Iru Io Vitori, Vsile Drgoş Mitruţ, Răpeu Miru Prof Vleri Roşu Sol u lsele I-VIII, r Cugir, Al Cls V-: 6p Core Mri, Core Mri, Mute Io, Moloeţ Drgoş, Sieriş Aleru; Cls VIII-: p Borto Ari, Coeu Arei, D Aree, Viersr Cătăli; Prof Mri Mite Grup Şolr Tehi Sf Muei Sv, Ber, Buzău Cls IV-: 5p Be Teoor, Brtosi Cosmi, Ciupg Ali, Diu Aleru, Ioiţă Lore, Moloveu Aree, Păpătoiu Arei, Pop Măăli, Şolă Ro, Tătulesu Răzv, Prof Lupş Niolet

47 REVISTA SCLIPIREA MINÞII NR 9 ANUL V - Cupris Istori Mtemtiii Jules Heri Poire e i e l treere î efiiþã, e prof Ari St ºi prof Neuli Stiu Artiole ºi ote mtemtie Ieglitãþi î triughi e prof r Mihly Beze Rezolvre uei proleme e lo geometri e Titu Zvoru Oservþii supr uor oþiui i geometri triughiului e Prof Costti Apostol Îã ptru emostrþii le prolemei L: 55 i revist SCLIPIREA MINTII, r VII e prof DM Bãtieþu Giurgiu, ºi prof Neuli Stiu 6 Aspete referitore l lourile geometrie (II) e prof Costti Rusu 8 A Nesit Cesro Collortio e Titu Zvoru Emee ºi Coursuri Coursuri Proleme rezolvte 5 5 Proleme propuse 6 Cleiosop mtemti 7 Moele e teste 8 Poºt reþiei LEI RON ISSN 7-66 ISSN-L 7-66