DUMITRU BUŞNEAG. PROBLEME de ALGEBRĂ LINIARĂ

Transcript

1 DUMITRU BUŞNEG FLORENTIN CHIRTEŞ DN PICIU PROBLEME de LGEBRĂ LINIRĂ

2 Prefţă estă ouă lurre pre o otiure firesă lurării [6]; mele reprezită de fpt pliţii l lurările [ ] Dă [6] oţie pliţii legte de struturile lgerie fudmetle de grup iel şi orp tul lurre oţie pliţii legte de spţii vetorile Cele prope de proleme (împreuă u soluţiile omplete sut struturte pe 6 prgrfe î oordţă u strutur lurărilor [] Lurre se dreseză î primul râd studeţilor de l fultăţile de mtemtiă-iformtiă oferid mteril petru semirizre ursurilor de lgeră liiră E pote fi utiliztă î eglă măsură şi de studeţii politehişti şi de profesorii de mtemtiă di îvăţămâtul preuiversitr Primele prgrfe pot fi utilizte şi de elevii lselor XI- şi XII- petru pregătire trdiţiolelor oursuri de mtemtiă de l oi Sperăm ă şi de dt est m oferit ititorilor oştri o lurre utilă şi de litte Criov utorii

3 î ( ( (( B B B Ide de otţii şi revieri : stfel îât : impliţi (ehivleţ logiă : utifitorul uiversl (eisteţil : elemetul prţie mulţimii : mulţime este ilusă î mulţime B : mulţime este ilusă strit î mulţime B : iterseţi mulţimilor şi B B : reuiue mulţimilor şi B \ B : difereţ mulţimilor şi B B : difereţ simetriă mulţimilor şi B P(M : fmili sumulţimilor mulţimii M C M : omplemetr î rport u M mulţimii B : produsul rtezi l mulţimilor şi B M : rdilul mulţimii M ( dă M este fiită M reprezită umărul elemetelor lui M : fuţi idetiă mulţimii N(N* Z(Z* Q(Q* Q * R(R* R * : mulţime umerelor turle (eule : mulţime umerelor îtregi (eule : mulţime umerelor rţiole (eule : mulţime umerelor rţiole strit pozitive : mulţime umerelor rele (eule : mulţime umerelor rele strit pozitive C(C* : mulţime umerelor omplee (eule δ ij : simolul lui Kroeker ( diă petru i j şi z K K petru i j : modulul umărului omple z : vom desem î geerl u orp omuttiv : K K (de ori

4 m [m] mmm (m mmd m ( mod p Z M (K M m (K : umărul îtreg m divide umărul îtreg : el mi mi multiplu omu l umerelor turle m şi : el mi mi multiplu omu : el mi mre divizor omu l umerelor turle m şi : el mi mre divizor omu : m este ogruet u modulo p ( diă p m- : mulţime lselor de resturi modulo umărul turl ( : mulţime mtrielor pătrtie de ordi u elemete di mulţime K : mulţime mtrielor u m liii şi oloe u elemete di mulţime K I (O : mtrie uitte ( ulă de ordi ( tr(m : urm mtriei pătrtie M det(m : determitul mtriei pătrtie M M - : ivers mtriei pătrtie M M t : trspus mtriei pătrtie M M* : djut mtriei pătrtie M rg(m : rgul mtriei M GL (K : grupul liir de grd peste orpul K SL (K : grupul speil de grd peste orpul K S : mulţime permutărilor supr uei mulţimi u elemete H G : H este sugrup l grupului G V V : K-spţiile vetorile V şi V sut izomorfe Hom K (V V : mulţime pliţiilor liire de l V l V Ed K (V : : mulţime edomorfismelor lui V dim K (V : dimesiue lui V peste K Ker(f : uleul lui f Im(f : imgie lui f rg(f : rgul lui f V V : sum K-spţiilor vetorile V şi V V V : sum diretă K-spţiilor vetorile V şi V

5 P f P M V λ PPL [X] ~ f : poliomul rteristi l lui f : poliomul rteristi l mtriei M : spţiul vetoril l vetorilor proprii orespuzători vlorii proprii λ : prolemă de progrmre liiră : ielul poliomelor îtr-o edetermită u oefiieţi î ielul omuttiv : fuţi poliomilă tştă poliomului f [X]

6 CUPRINS Prefţă Ide de otţii şi revieri Euţuri / Soluţii Mtrie Determiţi Ivers uei mtrie / Rgul uei mtrie Spţii vetorile / 7 pliţii liire / 86 Sisteme de euţii liire Vetori şi vlori proprii 6 / 98 Progrmre liiră / 7 6 Forme iliire Forme pătrtie 8 / Biliogrfie 6

7 ENUNŢURI Mtrie Determiţi Ivers uei mtrie Rgul uei mtrie Fie M (C ir mtrie e se oţie di îlouid fiere elemet pri ojugtul său Să se demostreze ă: (i det( det( ; (ii det( det( ; (iii Dă B M (R şi BB tui det( B ; (iv Dă M (R tui det( I Fie M (C Să se rte ă : d (i verifiă euţi mtrielă X -(dxdet(i O ; (ii Dă eistă k î k O şi O tui O Fie M (C Să se rte ă petru orie d eistă C î I u d -det( ir petru - şi - pliţie Să se luleze ( petru şi 7

8 Să se determie M (Z î det( - Fie N Să se determie X M (R î: X X - 6 Fie M (R u propriette ă I Să se demostreze ă petru orie X M (R eistă Y Z M (R uie î X Y Z Y Y şi Z -Z 7 Fie B M (R ( î B O Să se demostreze ă : (i Dă k u k N * tui det(b-b; (ii Dă k u k N * tui det(b-b; (iii Dă k su k u k N * tui det(b-b 8 Fie B M (R Să se rte ă dă BB O tui BB O Este rezulttul devărt î M (R? 9 Fie B M (C şi α C Să se rte ă : (i tr(±b tr( ± tr(b; (ii tr(α αtr(; (iii tr(b tr(b; (iv Dă U M (C este iversilă tui tr(uu - tr( Dă B M (C şi B B tui B B Fie M (C 8

9 9 (i Clulâd î două moduri det( să se deduă eglitte: - (( ---; (ii Utilizâd (i să se deduă fptul ă produsul două umere de form - (u Z este de eeşi formă Fie C (i Să se demostreze ă ; (ii Utilizâd (i să se deduă idetitte: ( ( B C B-C-BC ude B C Fie M m (C B M m (C şi C M (C Să se demostreze ă det( det( det C C O B m (ude O m M m (C este mtrie u tote elemetele egle u zero Fie B C M (C Să se demostreze ă det( det( ( det B C B O Fie B M (C Să se demostreze ă det( det ib B B

10 6 Fie M d d d d M (C Să se demostreze ă det(m ( d 7 Fie C şi ( (i Să se rte ă det ( ( ; (ii Dă mi vem C tui ( ( (z z z z u z z - - z - - z - - ; (iii Să se deduă di (ii idetitte lui Euler: ( ( z z z z 8 Dă d C tui (i d ---d; (ii

11 d d -[ d -(dd d] vem: 9 (Chio Să se rte ă petru orie N şi (ude ij C Fie mulţimi fiite Notăm u ij umărul de elemete le mulţimii i j i j Dă este mtrie ( să se rte ă det( ij i j Fie ( ij i j o mtrie de ordiul defiită stfel: ij m(i j orire r fi i j Să se luleze det( Fie ( ij i j o mtrie de ordiul defiită stfel: ij mi(i j orire r fi i j Să se luleze det( Fie ( ij i j o mtrie de ordiul defiită stfel: ij i-j orire r fi i j Să se luleze det( Fie o mtrie pătrtiă de ordiul le ărei elemete sut şi Să se rte ă:

12 (i det( este u umăr pr; (ii Să se determie vlore mimă (respetiv miimă pe re o pote lu det( Fie o mtrie pătrtiă de ordiul le ărei elemete sut şi Să se determie vlore mimă pe re o pote lu det( 6 Fie ( ij i j o mtrie de ordiul î ij {- } orire r fi i j Să se rte ă det( este u umăr îtreg multiplu de - 7 Să se luleze vlore mimă (respetiv miimă determiţilor de ordiul le ăror elemete sut şi 8 Să se rezolve î M (C euţi X 6 ( 9 Fie M (C iversilă Să se demostreze ă ( t - ( - t Dă M (C este iversilă şi simetriă tui şi - este simetriă Fie M (C petru re eistă k N k î k O Să se demostreze ă det(i k- O mtrie M (C se zie ivolutivă dă I şi idempotetă dă Să se demostreze ă: (i Dă este idempotetă tui -I este ivolutivă; (ii Dă este ivolutivă tui ( I este idempotetă Fie M (R e re elemetele de pe digol priiplă egle u ir sum elemetelor de pe fiere liie şi fiere oloă eglă u Să se rte ă det ( >

13 Fie M (R şi X M (R e re tote elemetele egle Să se rte ă det (X det(-x det ( Dă B M (C tui ( det (Bdet(-B [det(det(b] Reipro dă vem î ( este verifită petru orie B M (C tui 6 Fie M (C u d Să se d demostreze ă dă petru umărul turl otăm d tui petru orie d d 7 Fie mtrie Să se demostreze ă petru 6 orie eistă mtriele X Y M (C eule distite şi î X Y det(> 8 Fie M (R î I Să se demostreze ă 9 Fie N şi M (R î petru u k N * să vem k I Să se demostreze ă: (i Petru k impr vem det( > ; (ii Petru k pr şi impr oluzi de l putul (i u mi este epărt devărtă Să se demostreze ă dă B C M (R ir este mtrie omută ître ele tui det( B C -B-BC-C

14 det( B Fie B M (R î det(bb Să se rte ă Dă B M (C şi α C tui det(αi B det(αi B ir poi să se deduă fptul ă dă P C[X] tui det P(B det P(B Fie B M (R î B O rătţi ă petru orie M (R u lo ieglităţile: det(bb- şi det(b-b Fie B M (R Să se luleze det( ştiid ă sut îdepliite odiţiile: (i det( B det( C B det( C B det( ( C B (ii det(b I Fie M (R rătţi ă următorele firmţii sut ehivlete: (i eistă p N * î p O ; os (ii eistă R î si si os 6 Fie B C M (C B fiid iversilă Să se demostreze ă următorele firmţii sut ehivlete: (i BC B BC; (ii CB - CB - B - 7 Fie M (R λi petru orie λ R Să se rte ă euţi X - X t dmite soluţii X M (R dă şi umi dă eistă p R-{ î I p 8 Fie M (R u det( d î det(d * Să se rte ă det(-d *

15 9 Fie M (R u d > Să se rte ă orire d r fi N * I Fie B C M (R mtrie re omută două âte două î umerele det( det(b det(c sut eule şi u u tote elşi sem Să se demostreze ă det( B C > Fie M (R O u propriette ă eistă R * î t I Să se rte ă orire r fi m Z eistă R (re depide de m î m ( t m I Fie mtriele eule M (R u proprietăţile: I R şi k k petru orie k { } Să se rte ă: (i det k ; k (ii Dă det k şi petru orie R tui k k k O Să se rte ă petru orie M (C eistă C M (C u propriette * C t C - şi să se determie tote mtriele C M (C re u estă propriette ă: Fie M (Q î det( I Să se demostreze det(-i det( (det(i Se osideră mulţime mtrielor

16 M M ( C şi B M (C Să se rte ă B B orire r fi M dă şi umi dă B M 6 Să se rte ă dă B M (C sut două mtrie iversile u propriette ă B B O şi eistă d C î I BdB O tui d 7 Fie N Petru orie mtrie M (C otăm u m( umărul tuturor miorilor săi euli Să se rte ă: (i m(i -; (ii dă M (C este esigulră tui m( - 8 Fie B M (R semee î M (C (diă eistă o mtrie iversilă P M (C î P PB Să se demostreze ă şi B sut semee şi î M (R 9 Fie mtriele B M (C re verifiă relţiile: B B 997 I B 998 I Să se rte ă mtrie B I este iversilă 6 Fie u iel omuttiv uitr şi N Notăm GL ( {M M ( det(m este u elemet iversil î } SL ( { M M ( det(m } Să se demostreze ă: 6

17 (i GL ( şi SL ( sut grupuri reltiv l îmulţire mtrielor SL ( este sugrup l lui GL ( şi petru orie X GL ( şi orie Y SL ( vem X - YX SL (; (ii Dă K este u orp fiit u p elemete tui GL (K re (p -(p -p (p -p - elemete; (iii Dă U V M (Z U V tui UV SL (Z şi petru orie M SL (Z eistă mtriele T T r {U t tr V} şi umerele t t r Z î M T T r ; (iv Dă mi osiderăm şi W M (Z W tui W GL (Z şi petru orie M GL (Z eistă mtriele r rs R R s {U V W} şi umerele r r s Z î M R R 6 Fie M (C B M (C î B Să se luleze det(b s 6 Demostrţi ă dă - liii le uui determit D de ordi u elemetele î progresie ritmetiă tui D 6 Fie p şi q două umere rele î p -q < Să se rte ă dă este u umăr turl impr şi M (R tui pqi O 6 Fie M (R o mtrie î α ude α R α ± Să se rte ă mtrie B I este iversilă 6 Fie R distite două âte două î π Se defieşte mtrie M (C ( kp kp 7

18 ude os( k i si( k k p { } Să se rte kp k ă det( R dă şi umi dă este impr p k 66 Fie B M k (R u B B Să se rte ă det(b dă şi umi dă det( B orire r fi N * 67 Să se determie mtriele M (C u propriette ( * * p 68 Să se rte ă produsul două mtrie simetrie este o mtrie simetriă dă şi umi dă mtriele omută 69 O mtrie ( ij M (C se umeşte ortogolă dă t I rătţi ă petru o mtrie pătrtiă să fie ortogolă este eesr şi sufiiet să iă lo u ditre următorele relţii: ki kj δ ij k ik jk δ ij k 7 Fie ( petru orie i j petru orie i j ij im j M m (R Să se rte ă rg( dă şi umi dă eistă m R şi R î ij i j orire r fi (i j { m} { } 7 Să se disute după vlorile prmetrului rel λ rgul mtriei: λ λ 6 7 Să se luleze rgul mtriei: 8

19 6 6 7 Fie M m (C ir B M m (C u m> Să se demostreze ă det(b Spţii vetorile Fie V { R > } Defiim : V V V şi : R V V pri orire r fi V şi α α orire r fi V α R (i Să se rte ă V este u R spţiu vetoril; (ii Să se determie o ză lui V şi dimesiue lui V peste R (i Să se rte ă mulţime V { Q} este u spţiu vetoril peste orpul Q l umerelor rţiole fţă de operţiile oişuite de dure două umere rele şi de îmulţire uui umăr rel u u umăr rţiol (ii elşi luru petru V { Q} Fie V u K spţiu vetoril Dă α K* şi V ir α tui Fie k şi K două orpuri î k K ir k este suorp l lui K Să se demostreze ă grupul (K devie î mod oi k - spţiu vetoril Să se rte ă vetorii sut liir depedeţi î R privit R - spţiu vetoril şi liir idepedeţi î R privit Q - spţiu vetoril 9

20 6 Fie M s (C { M (C t } şi M s (C { M (C t - } (i Să se rte ă M s (C şi M s (C sut suspţii vetorile le lui M (C; (ii Să se determie âte o ză estor şi să se rte ă ( ( dim C M s (C ir dim CM s (C ; (iii Să se rte ă M (C M s (C M s (C 7 Să se rte ă V R este suspţiu vetoril l lui M (R ir poi să se determie o ză şi dimesiue lui V 8 Fie ( ( C tui { } este ză î C dă şi umi dă 9 Să se determie α R î vetorii ( - ( α ( - ( - di R să geereze: (i u suspţiu vetoril de dimesiue ; (ii u suspţiu vetoril de dimesiue Să se determie α β R î mtriele: α β di M (R să fie liir idepedete Î spţiul vetoril rel R se du vetorii ( şi ( - Să se ompleteze eşti pâă l o ză lui R

21 (Grsm Fie V u K- spţiu vetoril de dimesiue fiită ir V şi V două suspţii vetorile le sle Să se rte ă : dim K (V V dim K V dim K V dim K (V V Fie V u spţiu vetoril de dimesiue ir V V două suspţii vetorile le sle de dimesiue p şi q respetiv u p q > Să se rte ă V şi V u î omu el puţi u elemet eul (i Să se rte ă mulţime: M { ( ij ij M (R ij petru i > j} este u suspţiu vetoril l lui M (R; M s (R M (ii Să se determie o ză petru M şi dim RM ; (iii Să se găsesă âte o ză petru suspţiile M s (R M şi Fie V u K - spţiu vetoril şi V î id K { } Să se rte ă id K { } 6 Fie F(R {f : R R} (i Să se rte ă F(R devie î mod oi spţiu vetoril rel defiid petru fg F(R şi α R: f g αf : R R pri (f g( f( g( (αf( αf( orire r fi R; (ii Dă λ λ λ R sut distite două âte două tui fuţiile { e λ e λ } sut liir idepedete î F(R; (iii elşi luru petru mulţimile de fuţii: { si os }; { si os }; { os os os }; d { si si si }; e { si os si os si os }; f { si si si };

22 g { os os os } 7 Fie V u spţiu vetoril peste K de dimesiue fiită ir V V suspţii vetorile le lui V V V dim K V dim K V - Să se rte ă V V V şi dim K (V V - 8 Fie V V două suspţii de dimesiui fiite le spţiului vetoril V; B { p } B { q } B { p r } (r q ze respetiv le suspţiilor V V V V p Dă i α ij j β ij j r i q sut srierile j r j vetorilor r q î z B tui vetorii i α ij j r i q ostituie o ză suspţiului V V 9 Folosid rezulttul di prolem terioră să se determie o ză lui V V ude V şi V sut suspţii le lui R u zele B { } B { } respetiv ude ( ( ( ( ( ( Fie V şi V două suspţii vetorile le lui R de dimesiui fiite vâd zele B { k } V şi B { l } V (k l Să se puă î evideţă u lgoritm re să permită ostruire porid de l B şi B uor ze petru V V şi V V Să se determie âte o ză petru suspţiile V V şi V V î fiere di zurile: (i ( ( - ( ( - ( ( -; (ii ( - ( ( - ( ( - ( -; (iii ( ( ( ( ( ( p j

23 Î R osiderăm vetorii: ( - ( (- ( ( - ( - (i Să se rte ă B { } B { } formeză o ză petru R ; (ii Să se srie mtriele de treere de l B l B şi de l B l B ; (iii Dă ( R să se determie oordotele lui î rport u zele B şi B Să se luleze u jutorul lemei sustituţiei rgul mtriei: 6 6 Să se disute u jutorul lemei sustituţiei (după prmetrul rel α rgul mtriei: α α Fie ( (- (- şi ( - di R Cu jutorul lemei sustituţiei să rte ă vetorii { } formeză o ză petru R ir poi să se determie oordotele lui î estă ouă ză Să se luleze u jutorul lemei sustituţiei ivers mtriei: M (R

24 6 Fie u umăr turl şi otăm u V mulţime poliomelor u oefiieţi di C de grd el mult (i Să se demostreze ă î rport u operţiile uzule (dure poliomelor respetiv îmulţire uui poliom u u slr omple V este u C- spţiu vetoril de dimesiue ; (ii Să se demostreze ă petru α C fit mulţime B { X- (X- (X- } este o ză spţiului vetoril V ; (iii Să se determie oordotele lui f î rport u z de l (ii 7 Fie (α α t β C t (t Să se rte ă mulţime M {f : C C α f( α t f(t β} îzestrtă u dure oişuită fuţiilor şi îmulţire uei fuţii u u umăr omple formeză u C- spţiu vetoril dă şi umi dă β 8 Fie p u umăr prim şi u umăr turl Cosiderăm mulţimile: V {f Z p [X] grd f } V { f f V} (ude pri f îţelegem derivt formlă poliomului f (i Să se rte ă V este u Z p - spţiu vetoril ir V este u suspţiu l lui V ; (ii Să se determie dimesiuile elor două spţii vetorile V şi V 9 Se oteză u S mulţime tuturor şirurilor ( de umere omplee re verifiă reureţ liiră de ordi k: k k k- k- orire r fi N Presupuem ă euţi rteristiă soită : k r k k- r k- r re rădăiile simple r r r k C (i Să se demostreze ă î rport u operţiile uzule ( dure şirurilor respetive produsul ditre u şir şi u umăr omple S este u spţiu vetoril omple ;

25 (ii Fie ( S u şir fit Notâd u ( k soluţi sistemului: k r r rk k r r rk k k k k r r rk k k să se demostreze ă petru orie N vem : r r k r k (iii Să se deduă pe z elor de l (ii ă mulţime B {(r (r (r k } este o ză spţiului vetoril S Fie M (C ( Să se demostreze ă se pote srie su form XY YX ( u XY M (C dă şi umi dă tr( pliţii liire Dă V şi V sut K-spţii vetorile tui f : V V este pliţie liiră dă şi umi dă petru orie α β K şi V vem f(αβ αf(βf( Fie V u K-spţiu vetoril Sut ehivlete următorele firmţii: (i dim V ; (ii petru orie f Ed K (V eistă α K î f( α Dă V şi V sut două K-spţii vetorile tui petru f : V V pliţie liiră sut ehivlete: (i f este fuţie ijetivă;

26 (ii f trsformă orie sistem de vetori liir idepedeţi di V î sistem de vetori liir idepedeţi di V ; (iii Ker(f {}; (iv Petru orire K-spţiu vetoril V şi g h : V V pliţii liire di f g f h g h Oservţie estă prolemă e permite să umim moomorfisme pliţiile liire ijetive Dă V şi V sut două K-spţii vetorile tui petru f : V V pliţie liiră sut ehivlete: (i f este fuţie surjetivă; (ii Im(f V ; (iii Petru orire K-spţiu vetoril V şi g h : V V pliţii liire di g f h f g h Oservţie estă prolemă e permite să umim epimorfisme pliţiile liire surjetive Fie R [X] {P R[X] grd(p } şi D : R [X] R - [X] D(P P P R [X] I : R [X] R [X] I(P P ~ ( t dt P R [X] Să se rte ă D şi I sut pliţii liire şi să se puă î evideţă mtriele lor î rport u zele oie 6 Fie digrm omuttivă de K-spţii vetorile: f g M M M α β γ u v N N N u ele două liii ete (diă Ker(g Im(f şi Ker(v Im(u Să se rte ă: X 6

27 (i Dă α γ şi u sut moomorfisme tui β este moomorfism; (ii Dă α γ şi g sut epimorfisme tui β este epimorfism; (iii Dă β este epimorfism şi u şi γ sut moomorfisme tui α este epimorfism pri 7 Î rport u z oiă di R se defieşte f : R R f( ( - - ( R (i Să se rte ă f Ed(R ; (ii Să se srie mtrie lui f î rport u zele oie; (iii Să se rte ă B { } ude ( - ( - ( - formeză o ouă ză petru R şi poi să se srie mtrie lui f î rport u ou ză B 8 O pliţie liiră f : R R re î rport u zele oie le lui R mtrie M Să se determie 7 âte o ză şi dimesiuile petru Ker(f şi Im(f 9 Fie f g Ed(R Dă mtrie lui f î rport u z ( ( este ir mtrie lui g î rport u z 6 ( ( este B să se srie mtriele pliţiilor fg 6 9 f g î rport u z { } (vetorii i şi i i sut srişi î rport u z oiă lui R 7

28 Fie f : R R o pliţie liiră ărei mtrie î rport u zele oie di R şi R este Se ere: 8 (i Să se determie rgul lui f; (ii Să se preizeze z şi dimesiue petru Ker(f şi Im(f; (iii Să se determie o ză şi dimesiue petru suspţiul vetoril f(v l lui R ude V {( R } Fie f:r R o pliţie liiră î f(e e ( - - f(e -e (- - f(e e (- - f(e -e ( - - ude {e e e e } este z oiă di R Să se determie: (i Mtrie lui f î rport u zele oie; (ii O ză şi dimesiuile petru Ker(f şi Im(f Fie V u K-spţiu vetoril şi V V suspţii vetorile le lui V î V V V Defiim p i : V V i p i ( i i orire r fi V V Să se rte ă: (i p i Ed(V i ; (ii Ker(p V Ker(p V Im(p V Im(p V ; (iii p p p p ; (iv p p p p ; (v p p V 8

29 Fie z i C fit Defiim f : C C pri f(z z z petru orie z C Să se rte ă f Ed(C şi să se srie mtrie s î rport u z { i} Fie V u K-spţiu vetoril şi f Ed(V Să se rte ă V {g Ed(V f g } este u suspţiu vetoril l lui Ed(V Fie ( ( - R ir {e e e e } z oiă lui R Dă otăm V <{e e }> şi V <{ }> tui R V V 6 Fie V u K-spţiu vetoril şi f Ed(V Să se demostreze ă V Ker(f Im(f dă şi umi dă Im(f Im(f f 7 Fie V u K-spţiu vetoril de dimesiue fiită (i Dă dim K V N * să se ostruisă o pliţie liiră f Ed(V î Im(f Ker(f; (ii Este posiilă o stfel de ostruţie dă dimesiue lui V este umăr impr? 8 Fie V u K-spţiu vetoril de dimesiue fiită Dţi eemplu de o pliţie liiră f : V V petru re u re lo eglitte V Ker(f Im(f 9 Fie V u K-spţiu vetoril de dimesiue fiită Să se de eemplu de două edomorfisme f g Ed(V f g Im(f Im(g şi Ker(f Ker(g Fie V W două K-spţii vetorile W de dimesiue fiită ir f g Hom K (V W Să se rte ă: dim Im(fg dim Im(f dim Im(g î 9

30 Fie V u K-spţiu vetoril ir Ed(V {f:v V f pliţie liiră} Petru f g Ed(V defiim fg f g : V V pri (fg( f(g( şi (f g( f(g( V Să se rte ă (Ed(V devie stfel iel uitr Fie V şi W două K-spţii vetorile ir Hom K (V W {f:v W f pliţie liiră} Petru f g Hom K (V W şi K defiim fg f : V W pri (fg( f(g( şi (f( f( V Să se rte ă î felul est Hom K (V W devie î mod oi K-spţiu vetoril Fie K u orp omuttiv V(K ls K-spţiilor vetorile şi N V(K fit Defiim h N h N : V(K V(K pri h N (X Hom K (N X respetiv h N (X Hom K (X N Dă X Y V(K şi f Hom K (X Y defiim h N (f:h N (X h N (Y şi h N (f:h N (Y h N (X pri h N (f(α f α şi respetiv h N (f(β β f petru orie α h N (X şi β h N (Y Să se rte ă: (i h N (f şi h N (f sut pliţii liire; (ii h N due moomorfisme î moomorfisme pe âd h N due epimorfisme î moomorfisme; (iii Dă î V(K vem şirul et surt de pliţii liire f g M M M tui şi şirurile: N N h ( f N h ( g N ( h ( M h ( M h ( M h N ( g h N ( f ( h N ( M h N ( M h N ( M sut ete î V(K N

31 Fie V u R su C-spţiu vetoril ir f g Ed(V î f g şi fg sut proietori Să se rte ă Im(fg Im(f Im(g şi Ker(fg Ker(f Ker(g V K Dă V este u K-spţiu vetoril de dimesiue tui ( izomorfism de K-spţii vetorile 6 Fie k u orp fiit de rteristiă p > Să se demostreze ă umărul elemetelor lui k este de form p u N* 7 Să se demostreze ă grupurile (R şi (C sut izomorfe Sisteme de euţii liire Vetori şi vlori proprii Fie P X X C[X] ( petru re eistă C diferite două âte două î P ~ ( P ~ ( ( P ~ fiid fuţi poliomilă tştă lui P Să se rte ă Să se demostreze ă dă P R[X] grd(p şi k P ~ ( d k tui P Să se deduă de ii ă:

32 Să se disute după α β R sistemul 7 ( ( β β α α Fie R Să se demostreze ă sistemul re soluţii strit pozitive < Să se demostreze ă dă Z tui sistemul z z z z dmite umi soluţi lă z 6 Să se determie soluţiile de ză le sistemului omoge 7 Dă d R u sut tote ule tui sistemul t z d t z d t dz dt z dmite umi soluţi lă

33 8 Să se găsesă odiţii eesre şi sufiiete petru sum două soluţii ori produsul uei soluţii pritr-u umăr α să fie di ou o soluţie eluişi sistem de euţii liire 9 Să se găsesă odiţii eesre şi sufiiete petru o omiţie liiră dtă de soluţii le uui sistem eomoge de euţii liire să fie di ou o soluţie estui sistem (i Să se găsesă odiţii eesre şi sufiiete petru sistemul de euţii să iă soluţie uiă; (ii eeşi prolemă petru sistemul i i i i (i Să se găsesă odiţii eesre şi sufiiete petru z d z d sistemul de euţii să iă soluţie uiă; z d z d (ii eeşi prolemă petru sistemul i i i z d i i Dă d R să se găsesă odiţii eesre şi sufiiete petru sistemul de euţii liire z du v z du v z du v u dv z v z du să iă soluţii eule Să se găsesă odiţii eesre şi sufiiete petru sistemul de euţii liire u oefiieţi reli

34 să iă soluţii eule λ z t λ fz et f λz dt e dz λt Fie umere rele distite două âte două ( N şi fie mtrie Dă otăm u j mtrie re se oţie di suprimâd olo e oţie puterile de ordi j le lui (j { } să se demostreze ă det( j ( petru orie j j l k k < l Fie umerele rele λ i i i (i î λ λ λ λ λ λ Să se rte ă: 6 (i Fie M (R Să se rte ă dă t O tui O ; (ii Fie B C M (R Să se rte ă dă B t C t tui B C; (iii Fie M m (R u propriette ă eistă M m (R î Să se rte ă euţi mtrielă X B ude B M m (R este omptiilă dă şi umi dă B B Î est z să se rte ă mulţime soluţiilor euţiei osiderte este: { BY- Y Y M (R}

35 7 Să se rte ă: (i Dă M (C este sigulră (det( tui eistă B M (C eulă î B B O ; (ii O mtrie M (C este sigulră dă şi umi dă eistă o mtrie B M (C eulă î petru orie p N * (B p p B p 8 Să se determie vetorii şi vlorile proprii i mtrielor: (i (ii (iii ( 6 (iv 6 9 (v Fie M (C o mtrie le ărei vlori proprii sut λ λ Fie de semee f C[X] f X k X k- k- X k şi otăm f( k k- k- k I Să se rte ă det(f( f(λ f(λ Fie M (C o mtrie le ărei vlori proprii le presupuem uosute Să se determie vlorile proprii le mtrielor: (i - (dă eistă; (ii ; (iii k (k N * ; (iv k k- k- k I ude k C Fie M (C ( u vlorile proprii distite două âte două Să se idie u proedeu de lul k petru k N * 6 pliţie M (C 6 9 M (C 6 8

36 Folosid teorem Cle-Hmilto să se luleze ivers mtriei Fie V u K-spţiu vetoril de dimesiue fiită şi f g Ed K (V î g f V Să se rte ă petru orie h Ed K (V pliţiile liire g h f şi h u eleşi vlori proprii Fie V u K-spţiu vetoril şi f g Ed K (V î f g g f Să se rte ă: (i Orie suspţiu propriu l lui f (diă V λ { V f( λ} u λ vlore proprie lui f este ivrit î rport u g; (ii Im(f şi Ker(f sut suspţii vetorile le lui V ivrite î rport u g Fie m M (R Să se demostreze ă t t det( m m Să se deduă de ii ă dă m sut simetrie tui det( m 6 Fie M (C Să se demostreze ă det(b det( det(b petru orie B M (C petru re B B dă şi umi dă O 7 Fie M (Q Să se demostreze ă det( -9I dă şi umi dă -9I O Rămâe devărtă firmţi dă M (R? 8 Fie ( Q şi mtrie M (Z Să se determie mtrie X M (R î X X 6

37 9 Fie Γ o prte stilă mulţimii M (Z î rport u dure şi îmulţire î -I Γ Să se rte ă: (i Dă U Γ şi det(u ± tui U - Γ; (ii Dă U Γ şi det(u tui eistă V Γ V O î UV VU O Determiţi umerele N * petru re eistă B M (C î (B - B I Fie umere turle eule Dă otăm d ij ( i j i j Să se rte ă det( d ij i j Fie B C D M (C şi C iversile Dă k B C k D petru orie k N * să se rte ă B D Fie V W două K-spţii vetorile de dimesiui şi respetiv m ir f Hom K (V W g Hom K (W V Să se rte ă (- λ P f g (λ (- m λ m P g f (λ Să se deduă fptul ă dă V este u R su C spţiu vetoril de dimesiue fiită ir f g Ed(V tui f g şi g f u elşi poliom rteristi Fie ( ij M (C o mtrie de rg (> Să se demostreze ă eistă umerele p i q i r i s i C î ij p i q j r i s j petru orie i j { } 7

38 8 Progrmre liiră * Să se srie sistemul de restriţii 6 su form uui sistem de restriţii de elşi sem Să presupuem ă vriilele di prolem u semele orere Să se srie restriţiile di prolem su form u tote vriilele pozitive Să se rte ă mulţime X p soluţiilor posiile uei PPL este oveă Coseiţă: Dă X p oţie el puţi două pute diferite tui oţie o ifiitte de pute Să se srie su formă oiă următorele PPL: (i [m] 6 f orere (ii [mi] 6 f orere

39 9 * est prgrf (împreuă u soluţiile prolemelor propuse este redtt î e mi mre prte după lurre [] Să se srie su formă stdrd următorele PPL: (i ] [ 8 f opt orere (ii [m] f (iii [mi] 6 f (iv [m] f orere

40 (v [mi] 6 f orere 6 Să se determie mtriel soluţiile de ză le următorelor PPL: (i [m] f (ii [mi] 8 f (iii [m] f 7 Să se rezolve grfi următorele PPL: (i [m] 6 f

41 (ii [m] f (iii [m] f (iv [m] f (v [m] f

42 7 Să se rezolve u jutorul lgoritmului simple următorele PPL: (i [m] 8 f (ii [m] 8 f (iii [m] 8 f (iv [m] f (v [m] f

43 6 Forme iliire Forme pătrtie 6 Fie V u K- spţiu vetoril de dimesiue fiită ir :V V K o formă iliiră eulă Să se rte ă eistă două pliţii liire fg:v K î ( f(g( petru orie V dă şi umi dă rgul lui este 6 Petru u spţiu vetoril rel V otăm: B(V {:V V R este formă iliiră } B s (V { B(V este simetriă pe V} ir B s (V { B(V este tisimetriă pe V} Să se rte ă: (i B(V devie î mod oi spţiu vetoril rel î rport u operţiile oie de dure formelor iliire şi de îmulţire lor u u umăr rel; (ii B s (V şi B s (V sut suspţii vetorile le lui B(V; (iii B(V B s (V B s (V 6 Fie V u spţiu vetoril rel Să se rte ă B s (V dă şi umi dă ( petru orie V 6 Fie V u spţiu vetoril rel de dimesiue fiită ir f : V R o formă pătrtiă pozitiv defiită Să se rte ă dă este mtrie lui f î rport u z B lui V tui este iversilă şi dă otăm u g form pătrtiă ărei mtrie î rport u z B lui V este - tui g este pozitiv defiită 6 Fie B {e e e } z oiă spţiului vetoril R şi fie :R R R form pătrtiă petru re (e e - (e e (e e (e -e e (e e e (e -e e (e e e 7 (e e e (e -e e Se ere: (i Să se srie mtrie formei iliire î rport u z B; (ii Să se rte ă B este simetriă; (iii Să se srie epresi litiă formei pătrtie f:r R defiită pri f( ( orire r fi R ;

44 (iv Folosid metod Joi să se determie o epresie oiă petru f şi z lui R î rport u re f re estă epresie oiă 66 Fie :M (R M (R R defiită pri (B tr(b -tr(tr(b orire r fi B M (R Să se rte ă este o formă iliiră simetriă; Petru se ere: (i Să se srie epresi litiă lui î rport u z oiă lui M (R; (ii Să se srie mtrie lui î rport u z oiă lui M (R; (iii Să se determie o epresie oiă formei pătrtie f:m (R R defiită pri f( ( orire r fi M (R folosid metod lui Guss-Lgrge şi să se găsesă z lui M (R î rport u re f re estă formă oiă; (iv Să se preizeze sigtur formei pătrtie f 67 Fie : R R R form iliiră ărei epresie litiă î rport u z oiă lui R este: ( - orire r fi ( ( R Se ere: (i Să se srie epresi mtrielă lui î rport u z oiă lui R ; (ii Să se srie mtrie lui î rport u z B { e e e e } lui R ude e ( - e ( e ( e ( - 68 Fie R [X] spţiul vetoril rel l fuţiilor poliomile rele de grd el mult şi fie :R [X] R [X] R defiită pri (pq ~ p ( t q ~ ( t dt orire r fi pq R [X]

45 R [X]; Se ere: (i Să se rte ă este o formă iliiră simetriă; (ii Să se srie mtrie lui î rport u z { X X } lui (iii Să se srie mtrie lui î rport u z { -X -X }; (iv Să se srie epresi litiă formei iliire şi epresi litiă formei pătrtie f: R [X] R f(p (p p p R [X] î rport u z { X X }; (v Folosid metod lui Guss-Lgrge să se determie o epresie oiă petru f şi z lui R [X] î rport u re f re estă epresie oiă 69 Fie V u spţiu vetoril rel u z { } Să se determie α R î form pătrtiă f:v R f( α - α V este pozitiv defiită 6 Folosid metod lui Guss-Lgrge să se duă l form oiă form pătrtiă f : R R f( - 6 Se osideră form pătrtiă f:r R re î rport u z oiă lui R re epresi litiă f( - - ( R Să se determie o epresie oiă s folosid metod Joi şi să se găsesă z lui R î rport u re f re estă epresie oiă Este f pozitiv defiită? 6 eleşi eriţe şi î prolem preedetă petru f :R R f( -

46 ( B SOLUŢII Mtrie Determiţi Ivers uei mtrie Rgul uei mtrie (i Dă ( ij ij tui: det sg( σ σ( σ( sg( σ σ( σ( det( σ S (ii Coform u (i vem σ S det( det( det( det( det( det( (iii vem B (ib(-ib C C (ude CiB şi totul rezultă di (ii (iv Rezultă di (iii legâd B I (i Pri lul diret (ii Dă eistă k î k O deduem ă det( stfel ă (d şi dei O k (d k- Cum O tui u eesitte d şi stfel O Î mod evidet ir Di prolem (i deduem ă putem lege d ir -det( Cum ( I ( I ( I deduem ă şi Cum - deduem ă ( verifiă reureţ - petru u şi d ir ( reureţ - petru ( şi -det( petru : stfel petru şirul ( vem odiţiile şi d ir (d -det( - dei euţi rteristiă şirului ( este: ( λ -(dλdet( 6

47 7 Notâd pri λ λ rădăiile (omplee le euţiei rteristie ( tui (vezi []: i dă λ λ ( det( I λ λ λ λ λ λ λ λ ii dă λ λ λ ( det( ( I λ λ petru orie Î zul prtiulr euţi rteristiă ( este λ -λ de ude λ i λ -i Pri lul diret deduem ă si ( π λ λ λ λ stfel ă dă ţiem ot de relţi ( putem srie: ( ( ( os si si os ( si si π π π π π π Petru vem euţi rteristiă λ -λ6 u λ şi λ Coform u ( : I 6 Petru vem euţi rteristiă λ -λ u λ λ Coform u ( : ( ( ( I

48 Codiţi det( - este ehivletă u det( det(-i de ude det( det(-i (ăi det( su det( ± şi det(-i vem stfel sistemele: şi ( ( ( ( Primul sistem este ehivlet u ir l doile u Deduem imedit ă - - şi - u Z (î primul z şi respetiv - - şi -- u Z (î l doile z Fie X d R o soluţie euţiei d Oţiem folosid det(b det( det(b (det(x - det(xii det(x-ii ( Dă det(xii rezultă (i(di- de ude d d su d Pri urmre X I diă X I O relţie di re X X - O otrdiţie Dei det(xii log det(x-ii Di relţi ( rezultă det(x şi îlouid î relţi uosută X -(dxdet(x I O (oform prolemei (i oţiem X (dx şi de ii X k (d k- X u k N * 8

49 Dă otăm α d relţi X X - pri idetifire elemetelor devie: (α - α - d(α - α - (α - α - - (α - α - - duâd primele două relţii rezultă α α - - Dă f(α α α - - rezultă f (α α - (α - Dă este pr tui f este strit resătore pe [ şi strit desresătore pe (- şi f(- f( Dă este impr tui f este resătore pe R şi f( Rezultă posiilităţile: X petru impr X ± petru pr mtrie re verifiă relţi di euţ 6 Se rtă uşor ă Y (XX şi Z (X-X verifiă odiţiile di euţ Petru prte de uiitte fie (Y Z o ltă soluţie prolemei tui YZ YʹZʹ Y Y Yʹ Yʹ Z -Z Zʹ -Zʹ Dei Y-Yʹ Zʹ-Z Pe de ltă prte (Y-Yʹ Y-Yʹ Y-Yʹ; (Zʹ-Z Zʹ-Z -ZʹZ şi dei vem şi Y-Yʹ - (Zʹ-Z diă Y-Yʹ Z - Zʹ şi pri urmre Y Yʹ şi Z Zʹ 7 Cum î odiţiile euţului vem (Bi(-Bi -i(b-b deduem ă det(bi det(-bi (-i det(b-b Dă det(bi i (u R tui det(-bi -i stfel ă oţiem eglitte (-i det(b-b de ude se dedu imedit oluziile de l (i (ii şi (iii 9

50 8 Di relţi BB O rezultă B(BB O diă (B O Dă X M (R şi X O tui X O (vezi prolem (ii diă (B BB O Î zul lui M (R u otreemplu este oferit de perehe de mtrie şi B 9 (i (ii (iii se dedu imedit pri lul ir (iv rezultă di (iii Codiţi di euţ este ehivletă u (I (I B I diă I este iversilă şi (I - I B stfel şi (I B(I I de ude oluzi ă B B B (i Îtr-u prim mod lulăm det( u regul lui Srrus ir î lt mod duâd ultimele două liii l prim (ii Fie i i i Z ir i i i i i i i E (i Ţiâd ot de (i vem: E i -det( i ude i i i i i i i i i i i stfel ă E E det( det( det( ir pri lul vem ă dei E E det( u şi (i Pri lul (ii Notăm s şi s Utilizâd regul lui Lple proprietăţile elemetre le determiţilor şi (i vem: ( (

51 s B s s s C C B B C ss B ss C ( m sumt l ultim oloă opusele primelor două B C B-C-BC Totul rezultă di regul lui Lple dezvoltâd determitul C O B m det după primele m oloe Totul rezultă di regul lui Lple dezvoltâd determitul C B O det după primele oloe L olo k mtriei B B duăm olo k îmulţită u -i (k şi oţiem ă i B B ib B B det det um l lii k ultimei mtrie duăm lii k îmulţită u i (k şi oţiem ă ib O B ib i B B ib det det stfel (ţiâd ot şi de prolemele şi oţiem ă: det( det( det( det( det( det ib ib ib ib ib B B

52 6 Dă otăm d şi B tui d B M dei oform prolemei vem ă B det( M det( ib şi um i id det( id i deduem ă det(m ( d ib d 7 (i Se luleză t (ii Se ţie ot de formul det(b det( det(b (iii Rezultă diret di (ii 8 (i (ii Pri lul diret utilizâd proprietăţile determiţilor 9 Di lii i se sde lii îmulţită u i i Fie E {e e e p } Cosiderăm mtrie B M p (R B ( ij u i şi jp ude ( d e j i ij ( şi stfel B t B Totul rezultă um di d e j regul lui Lple det( (- - det( det( (- - - (- i

53 (i Pritte rezultă di fptul ă toţi termeii determitului sut umerele şi şi ei evetul se redu doi âte doi (iivlore mimă este de eemplu petru mtrie Vlore miimă este Vlore mimă pe re o pote lu det( este de eemplu petru mtrie 6 duâd prim liie l tote elellte liii oţiem o mtrie re re pe liiile de rg elemetele su ee e e permite să sotem ftor omu pe de pe este liii 7 Se pliă prolemele şi 6 Se oţie vlore mimă 6 ir e miimă 6 8 Deduem imedit ă det(x şi stfel dă X M (C tui X αx dei X α - X (u αd Oţiem d ă α - X diă α - α - α - şi α - d 6 6 Deduem imedit ă α α - (d α - α - d 6 8 şi pri urmre X u α 8 α 6 9 vem t ( - t ( - t I t I de ude oluzi ă ( t - ( - t Ţiâd ot de prolem 9 vem: ( - t ( t - - diă - este simetriă

54 Dă O totul este lr Să presupuem ă d O Relţi k O impliă det( şi dei (d Rezultă O k (d k- dei d Pri urmre O tui I k- I d şi dei det(i k- ((d- tât (i ât şi (ii se verifiă diret pri lul Deduem imedit ă este de form u R stfel det( > Putem srie i D i X det( det( ude D i este determitul oţiut di det(x pri îlouire oloei de ordi i u olo formtă umi u elemete egle u (i log

55 det( X det( D i i det( X det( X det ( de ude deduem ă ( D i i det ( Pri lul diret Petru reiproă fem î ( pe B u det( şi deduem ă det( det( 6 Fem iduţie după ; petru totul este lr deoree şi d d Sriid ă oţiem relţiile de d reureţă: petru orie Să presupuem dei ă d d dd d tui d d şi d stfel d d d d d ( d ee e este devărt di ipotez de iduţie log restul de eglităţi 7 Deoree det( rezultă ă -( O dei - petru orie Rezultă ă reprezetre erută este posiilă legâd de eemplu X (-/ α / şi Y (-/ β / u α β umere rele ritrre î α β αβ 8 Di I ( -I I det( De semee di I I (I I det(i şi reveid l I det(> 9 Vom demostr petru îeput următore:

56 Lemă Fie P u poliom u oefiieţi reli fără rădăii rele şi re re oefiietul puterii de grdul el mi mre pozitiv tui det(p( petru orie M (R Îtr-devăr P este de form k > < şi k N * petru orie k k tui r k r P ( ( k k k k det( P ( det( I k k k u şi rămâe să oservăm ă fiere ftor l produsului di memrul drept este pozitiv Se foloseşte fptul ă I k k k k I k k petru orie k şi ă det(x Y petru orie X Y M (R u XY YX (oform prolemei (iii Treem l rezolvre prolemei dte: (i Evidet k Di k I oţiem ( k- - I I dei det( Pe de ltă prte k şi dei (-I ( k- I Coform lemei det( k- I > Rezultă det((-i > Cum k p di relţi ( k- - I I deduem ă ( -I ( (p- I I şi de ii ă det(i > Cum k I şi k este impr oluzioăm ă det( > (ii Fie k u umr pr şi αi Eglitte k I este ehivletă u (α k -α-i O Dei α k -α- Deoree f(αα k -α- este otiuă f(- şi f( - rezultă ă f dmite o rădăiă α < şi î est z α I verifiă relţi k I dr det( α < Deoree mtriele B C omută ître ele putem srie ă: M B C -B-BC-C(αBα C(α BαC u α rădăi uiă uităţii (α stfel det(mdet(αbα C det(α BαC şi dă det(αbα C αα tui det(α BαC α α ( R şi stfel: I 6

57 det(m(αα (α α --- Fie X B şi YBB Cum: XY B BB(B şi X-Y B B-B(-B oţiem: det((b det((-b det( B det(bb (oform prolemei dei det( B [( det( B ( det( B det( B B ] şi um det(bb rezultă det( B Dă este iversilă tui putem srie αi B(αI B - şi stfel det(αi Bdet(det(αI Bdet( - det(αi B Dă u este iversilă oservăm ă eeptâd o sumulţime fiită de elemete di C vem det[αi ( I B]det[αI B(I ] petru orie α C Cum ei doi determiţi sut poliome î eglitte se meţie şi î dei di ou oţiem ă det(αi Bdet(αI B Fie um P de form P(X- (X- u C tui P(B ( B k I şi P(B ( B k I şi k stfel eglitte det P(B det P(B este imedită Se ştie ă dă B M (R tui det(b-i det(b-i şi det(bi det(bi (oform prolemei Rezultă ă k det[(b-i (B-I ] det(b-i [det(b-i ] ( Dr (B-I (B-I I -(BB (deoree B O log det(i (BB ( Folosid um relţi: det(xydet(x-y [det(xdet(y] petru orie X Y M (R (oform prolemei di ( şi ( rezultă det(i -(BBdet(I (BB[det(I det(bb] [det(bb] diă det(bb- Di B O rezultă 7

58 det(b dei [det(bdet(b] det(bbdet(b-b şi folosid prim ieglitte rezultă dou Oservţie Se pote demostr de ii ă det(b-bdet(bb det(b I det(bii det(b-ii Cum B M (R vem det(bii det(b-ii Fie g:r R g( det(bi vem g( α βγ petru orie R ude α β γ R αdet(i γdet(b Etizâd pe g l C petru i vem: ( det(bii -βidet(b dei β şi det(b Fie f:r R f( det(b petru orie R tui f( petru orie R ude f( det( şi f ( lim lim det B det( B k Relţi di ipoteză se srie su form f (( k k C Ţiâd sem de form fuţiei f se oţie eglitte: det( B k ( C k k ( C k k ( det( ( det( B C ( det( C Di ( şi ( deduem ă det( (i (ii Dă p O R dei (i (ii Fie p N * p î p O det( p (det( p dei det( 8

59 Luăm -(tdet( I O (t şi z t O pri iduţie p (t p- petru orie p N * dei (i su t Dă O şi R (ii Dă t t - şi det( z z Luăm os şi (si z (-si u R şi stfel rezultă (ii (ii (i Dă R O eistă p î p O Dă R O eistă p N * p> î p O 6 Vom demostr petru îeput următore: Lemă Dă două mtrii pătrtie X Y verifiă relţi XY I tui ele sut esigulre X - Y şi YX I Demostrţi lemei se zeză pe fptul ă XY I impliă det(x Rezultă ă mtrie X este iversilă Îmulţid l stâg relţi XY I u X - oţiem Y X - dei şi YX I Lem se pliă stfel: (i (ii Di relţi BC BBC deduem (I -B(I -C (B-B(I -C B-BC-BBC B dei (I -B(I -CB - I Coform lemei vem şi (I -CB - (I -BI diă (B - -CB - (I - - B - Pri urmre B - -B - -CB - CB - B - dei CB - CB - B - (ii (i Se demostreză log 7 Presupuem ă euţi X - X t dmite soluţi X M (R tui X - d d X t det(x şi d dei 9

60 X - X t d det( X ( ude evidet impuem odiţi det(x d ( d d Deoree M (R şi orie mtrie M (R verifiă euţi rteristiă -tr( det( I O deduem ă det( det(x - det(x t d det( X şi tr ( p det( X d Dă p (- I oţiem o otrdiţie Dei eistă p R \ {} î -pi O ude p fost defiit mi sus Dă eistă p R-{ î -pi O şi λi folosim fptul ă verifiă euţi rteristiă -tr( det( I O şi pri sădere deduem ă (tr(-p (det(-i de ude p tr( şi det( u v Pri urmre se srie su form pu u p u v d u u v R v şi deduem ă sistemul u d d p u d ( d d v ( pu u re soluţie dor d v u pu u u p dă p şi ume d d d v v v d u pu ude d R * şi dei mtrie X u v stisfe euţi v u p v X - X t m 8 Fie * q p q d mq-p m p p m q R Pri lul diret vem: det(d * m qd ( d p( d q md d[(d- (mq ] ir odiţi di euţ devie d şi mq 6

61 tui det(-d * det(- * -(mq (mq-p d m q p q m 9 Mtrie verifiă euţi s rteristiă dei -(d(d- I O Presupuem ă eistă î I Rezultă ă (det( dei det( {- } Cosiderăm poliomele fx -uxv gx - ude ud > ir v {- } Euţi f( re rădăiile rele deoree Δu -v> Rădăiile u pot fi rădăii le euţiei g( deoree dă rezultă şi um u v m ve u u v v otrdiţie Rezultă ă poliomele f şi g sut prime ître ele dei eistă poliomele u oefiieţi reli P şi Q î P fq g estă eglitte fiid o idetitte poliomilă se păstreză âd îlouim pe X pri mtrie dei P(f(Q(g(I Deoree f(g(o estă eglitte mtrielă devie O I otrdiţie Fie f:r R f(det( B C BC vem ă f(det[ (BC ] > şi f(- det[ (B-C ] > Să presupuem de eemplu ă det(bc det(bdet(c < Grfiul lui f este o prolă dei det( B C f( > z Fie M (R O î t I z t z t şi z - t t Di O rezultă ă det( dei este iversilă Fie B 6

62 Oservăm ă dei eistă t [ π î ost şi si t ost si t B si t ost Se verifiă pri iduţie după m ă B m os mt si mt şi poi petru m dei petru m Z tui m ( t m (B m (B t m m os mt I os mt m petru os mt m si mt os mt k k Dă k di k k rezultă k dk k k d k k α k şi um I d - u sut tote d ule vem k α k k α k d k α k d β k k α k β k şdr k α k β k I k (i Dă α k k { } tui k ( k det( k Dă α α k tui k ( k β k β I ( ( α β ( β I P( k k k k k dei α 6

63 P fiid u poliom de grd doi u disrimitul: P ( β ( α ( β k k k α Rezultă P z α ( z z ( z z C de ude ( z ( α ( zi ( zi dei det P( α det( z I α β (ii Di odiţi petru orie R rezultă α β diă Δ< pri urmre z C-R tui det P ( det( zi su det( zi dei z su z este rădăi euţiei u oefiieţi reli det( zi dei mele umere sut rădăii Di det( zi z ( d z ( d şi d ( d k O k ( I O rezultă P( diă Petru M (C vem djut * d d şi respetiv trspus t M (C Se oservă ă mtrie d C u C - verifiă propriette di euţ: * C t C - petru orie M (C Dă S M (C stisfe de semee odiţi di euţ tui: (C - S t t (C - S petru orie M (C şi reipro Cum f: M (C M (C f( t petru orie M (C este ijetivă se oţie ă C - S omută u tote mtriele di M (C dei se flă î etrul lui M (C Rezultă ă eistă α C î k 6

64 C - S αi dei S αc C urmre mtriele ăutte sut de form: α α C * α Fie P(X det( XI Q[X] P(X şi X - u sut prime ître ele î Q[X] Îtr-devăr presupuâd otrriul eistă poliomele R S Q[X] î PR (X -S de ude R P( Dr di ipoteză P ( otrdiţie Cum îsă ( X - este iredutiil î Q[X] (oform riteriului lui Eisestei deduem ă (X - P Deoree grd P şi P este moi rezultă P X - Dei det(xi X - şi oţiem: det( det( I -; det(i det( I -; det(-i det((- I (- - Rezultă: det(-i det((det(i Să otăm u ( mtrie di M determită de umerele Notăm u I şi petru orie i { } i mtrie determită de ij δ ij- Se oservă ă ( Fem oveţi să idetifiăm pe i u i i i i pe i u -i petru i şi pe u Se oservă uşor pri lul ă i j j i ij petru i j Fie i i i şi B j j tui: j B ( i i ( i j j j ( ijij i j ( j j ( i i B j i i j ( Reipro să presupuem ă mtrie B omută u orie mtrie M tui elemetul ij l mtriei se pote srie ţiâd ot de oveţi făută su form: i j j i 6

65 petru i j ij δ i j petru i j Fie B( ij ij mtrie re omută u orie mtrie M ik k k j Dei B B su δ δ k i k kj k i δ k k j de ude rezultă ă ij- ij petru orie i j Fem pe râd pe i şi j şi oţiem: de ude deduem ă B M ( 6 vem: O O (I BdB Bd B -B-dB(I -B-dB dei I -B-dB O Rezultă I O Dă tui şi I dei B B B O surd dei Cum BdB O impliă I d O rezultă şi d 7 (i Cosiderăm oloele i < <i k { } le mtriei I Oservăm ă sigurul mior de ordi k eul este formt di liiile i < <i k dei petru orire k ditre oloe vem u sigur k mior eul Rezultă ă umărul miorilor euli de ordi k este C şi ă sum lor este - (ii Fie k { } fit şi oloele i < <i k { } Dă toţi miorii de ordi k re oţi este oloe r fi uli tui orie mior de ordi k re oţie este oloe r fi ul log orie mior de ordi k re oţie este oloe r fi ul şi î fil det( fls Dei eistă u mior de ordi k u elemete di 6

66 este oloe re este eul Rezultă ă vem el puţi k C miori de k ordi k euli (putem lege C sisteme de k oloe di şi tui umărul totl este el puţi - 8 Fie P M (C o mtrie iversilă stfel îât P PB tui: P (z kj kj (u kj iv kj kj UiV ude U V M (R Di relţi (UiV (UiVB seprâd prte relă şi prte imgiră rezultă ă U UB şi V VB Fie poliomul u oefiieţi reli f( det(uv Deoree f(i det(p rezultă ă f este eul şi dei eistă α R u propriette ă f(α tui det(uαv diă UαV este o mtrie iversilă î M (R Dr (UαV UαV UBαVB (UαVB dei şi B sut semee şi î M (R 9 Iversilitte mtriei BI este ehivletă u fptul ă sigur soluţie sistemului liir omoge (BI este soluţi lă (di C Presupuâd ă v este o soluţie vem (folosid fptul ă B B şi iduţi mtemtiă B k v (- k (I k v stfel v B 998 X (I 998 v Lemă Poliomele P(X (X şi Q(X X sut prime ître ele Demostrţie Fie z o rădăiă omuă tui z şi z Pri urmre şi z sut vârfurile uui triughi ehilterl Rezultă de ii ă rg(z {-π/ π/} π π π π Dei z os i si su z os i si Î mele zuri otrdiţie 997 z Coform lemei eistă două poliome R S C[X] u propriette ă R [(X 998 -]S [X 997 -] 66

67 tui R([(I 998 -I ]S([ 997 -I ] I î M (C pliâd l ei doi memri pe v oţiem î stâg şi î drept v Dei v 6 (i Evidet (ii Dă V este u K-spţiu vetoril de dimesiue tui V p Iterpretâd elemetele lui GL (K drept mulţime pliţiilor liire iversile pe V K se oservă imedit ă GL (K este egl u umărul sistemelor ordote (e e de elemete le lui V e ostituie ze le lui V peste K Îsă petru lege o ză lui V peste K putem lege mi îtâi pe e fiid orie elemet eul l lui V (vem p - posiilităţi poi pe e fiid orie elemet l lui V e u este de form e u K (vem p -p posiilităţi; poi pe e fiid orie elemet di V e u este de form e e u K (vem p -p posiilităţi et Dei GL (K (p -(p -p (p -p - (iii Cum det(u det(v deduem ă U V SL (Z Pri lul diret se verifiă eglităţile: U - ; V - ; U k k ; V k petru orie k Z preum k şi eglitte: ( U - V U - V Fie um M SL (Z u d- d Vom demostr pri iduţie mtemtiă supr lui ă M pote fi srisă su form erută de euţ Dă tui d dei d su d - stfel ă M U respetiv M U V U - V U - (ţiem ot de ( 67

68 Presupuem um ă şi fie q r R stfel îât qr u r< Deoree M V U -q- r ( q d M r qd t tm Coform ipotezei de iduţie putem srie: M T Tm u T i {U V} t i Z im de ude MU q V - M U q V - t tm T T m (iv Cum det(w - deduem ă W GL (Z Fie um M GL (Z u det(m su Dă det(m- um şi det(w- deduem ă det(wm(-(- dei WM SL (Z şi totul rezultă di (iii Dă det(m tui M SL (Z şi di ou se pliă (iii 6 (B dei rg((b rg((bbrg(b dei rg(b diă B este iversilă 8 Cum (B 8 vem (B -(B (B 8 Îmulţid l stâg u B şi l drept u se oţie (B -(B (B Cum B este iversilă rezultă (B -(BI Notâd u t tr(b d det(b vem (B -t(bdi Dă d tui d t şi r rezult B I de ude t (B d d BB I B B t t ee e se oservă ă u re lo Dei d 68

69 69 6 vem: r r r r r r r r r D ( ( ( ( ( ( r r r r r r r r r! ( r r r r r r r r r r r r! ( (dezvoltâd pe D după ultim oloă 6 Presupuem pri surd ă pqi O tui di idetitte pqi I q p I p rezultă ă I q p I p pliâd determitul î mii memri

70 p p q oţiem det I Memrul stâg l eglităţii este pozitiv ir memrul drept l eglităţii este strit egtiv deoree p -q < şi este u umăr turl impr dei m oţiut o otrdiţie Rezultă dei ă pqi O 6 Se oţie B-I şi odiţi α se pote srie stfel: (B-I α(b-i su B C B ( I αb αi B( B su B C B ( B α B αi ( I De ii putem srie C B ( I αi I (( α de ude ( B ( B CB ( I αi I ( α m ţiut ot ă α ± şi B I I B Di relţi ( rezultă ă mtrie B re iversă l drept şi dtorită fptului ă B omută u orie putere s rezultă ă estă iversă l drept este iversă şi l stâg Dei mtrie B este iversilă 6 Notăm zk os k i si k k { } zk Să oservăm ă kp şi k z p z z z os( i si( i z z z z z z z z z tui det( z z z z z z z z z 7

71 7 z z z V z z z z z z ude V este determitul Vdermode de ordiul (s-u dt ftori omui z z z pe liii şi z z z pe oloe vem şdr: < < < p k p k p k p k p k k p z z i z z z z z z z ( ( ( det( şi < < p k k p p k k p z z z z ( det( < p k z k z p ( ( < p k p k z z ( ( ( tui det( R det( det( ( ( i Este eesr petru est - să fie pr impr Î plus este şi sufiiet: k ( ( ] [( ( ( k k k k k k k i ee e îheie soluţi 66 Presupuem ă det(b şi vom demostr ă det( B orire r fi N * (elltă impliţie fiid evidetă Cosiderăm două zuri după um este pr su este impr pr diă p p N vem: p B p ( p (B p ( p ib p ( p -ib p ( p ib p ( p p ib şi treâd l determiţi rezultă: det( p B p det( p ib p det( p p ib det( p ib p impr diă p p N Să otăm u - p rădăiile omplee le euţiei iome ( p Ţiâd

72 7 sem de fptul ă mtriele şi B omută preum şi de relţiile lui Viète petru euţi ( putem srie: < p j p p p k j k j p p j j p j B B B B ( p B p Deoree - ir rădăiile p sut două âte două ojugte putem srie idetitte oţiută su form: ( p j p p j j B B B B ( ( ( Deoree şi B u elemete rele vem petru fiere j { p}: ( det( B B j j det( det( B B j j det ( det( B B j j det( det( det( B B B j j j ude m ott u X M k (C mtrie oţiută di X M k (C îlouid elemetele estei u ojugtele lor Deoree şi det(b treâd î ( l determiţi rezultă p j p p j j B B B B det( ( det(( det( 67 Dă tui se verifiă uşor ă petru orie mtrie M (C vem ( * * Petru deoseim zurile: i rg( Notăm ddet( Î est z * d - det( * d det( - d - ( * * d - ( * - d - d - d - şi tui ( * * d - d - d este rădăiă de ordiul - uităţii; ii rg( - Î est z presupuâd rezultă ă eistă i j { } î ij (de fpt eistă - semee elemete şi fiăm uul ditre ele Îlouim elemetul ij fit terior u ij t şi stfel rezultă o ouă mtrie ottă (t Î est mod oţiem ă det(t este o fuţie poliomilă de grdul îtâi î t şi det(

73 Îtr-devăr dezvoltâd det(t după lii i vem: det ( t i Γi ( ij t Γij iγi det ( tγij tγij Proedâd î zul i vem * (t det(t((t - petru t şi ( * (t * (det(t - (t Elemetele lui * (t sut fuţii otiue î t de grd el mult uu dei elemetele lui ( * (t * sut poliome de grd el mult - î t tui âd t rezultă ă elemetele lui ( * (t * tid ătre elemetele lui ( * ( * este fiid ule Dei ( * * Cotrdiţie şi pri urmre î est z iii rg( < - Î est z * ( * * şi dei ( * * tui: 68 Dă B M (C sut simetrie (diă t şi B B t i Dă B este simetriă vem ă (B t B B t t B B B ii Dă B B tui (B t B t t B B 69 Pri lul diret 7 Să presupuem ă rg( Dă rg ( vem ij orire r fi (i j { m} { } dei putem lu m Dă rg ( eistă u elemet eul kp ude (k p { m} { } este fită ir toţi miorii de ordiul doi i mtriei dte sut uli Deoree kp R * putem fi k R * p R * stfel îât kp k p Petru fiere i { m} vom ot şi petru fiere j { } vom ot j kj k i ip p Rezultă ip i p i { m} respetiv kj k j j { } Fie um i { m}-{k} j { }\{p} Sriid ă miorul de ordi doi oţiut pri iterseţi liiilor k şi i u oloele p şi j este ul rezultă kp ij ip kj estă eglitte se srie ehivlet k p ij i p k j şi împărţid pri k p R * oţiem ij i j 7

74 m demostrt dei ă ij i j orire r fi (i j { m} { } Dă eistă m R şi R î ij i j orire r fi (i j { m} { } se osttă uşor ă toţi miorii de ordiul doi i mtriei dte sut uli dei rg( 7 Cum rg( vem λ rg( λ 7 rg( λ-9 Petru λ rg( ir petru 7 vem ă rg(bmi{rg( rg(b}<m stfel ă î mod eesr det(b 7

75 Spţii vetorile (i Se verifiă iomele spţiului vetoril (elemetul ul fiid (ii Fie > ( dei este eul î V Deoree petru orie V (dei > eistă α R î α α ( şi ume α log deduem ă {} este sistem de geertori Dă α tui α şi um deduem ă α diă {} este liir idepedetă peste R Dei {} este o ză ir dim RV (i (ii Se verifiă iomele spţiului vetoril Cum α eistă α - î K stfel oţiem α - (αα - (α - α Dă K şi α k tui î mod evidet α K şi stfel (K devie k - spţiu vetoril îmulţire de pe K juâd rolul îmulţirii u slri Deoree de eemplu (- rezultă ă vetorii { } sut R - liir depedeţi Fie Q o omiţie liiră ulă elemetelor { } Dă uul di elemetele este zero tui oligtoriu şi elellte sut zero Presupuem ă u sut tote ule Îmulţid relţi de mi sus u şi elimiâd pe ître ele două relţii oţiem : ( ( şi deoree Q oţiem sistemul: Îmulţid prim euţie u şi dou u şi duâdu-le oţiem: ee e rtă ă este u umăr rţiol otrdiţie de ude Deduem imedit şi ă diă sistemul { } este Q-liir idepedet 7