Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 3ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 3ος 1η ΕΚΔΟΣΗ

Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανειστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής Πανειστημίου Πάτρας Πολύζος Γεώργιος Καθηγητής μαθηματικών Β Λυκείου Αμαρουσίου Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής μαθηματικών Β Λυκείου Αγ. Παρασκευής Α ΕΚΔΟΣΗ: 1991 ΕΠΑΝΕΚΔΟΣΕΙΣ ΜΕ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ: 199, 1993, 1994, 1995, 1996, 1997, 1998, 01

Η ροσαρμογή του βιβλίου στο νέο αναλυτικό ρόγραμμα έγινε αό το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΜΕ ΜΕΙΩΜΕΝΗ ΟΡΑΣΗ Ομάδα Εργασίας του Ινστιτούτου Εκαιδευτικής Πολιτικής ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ-ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Γραμμένος Νικόλαος, Εκαιδευτικός

3.6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ Συνημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Ας θεωρήσουμε δυο γωνίες α, β ου οι τελικές τους λευρές τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία M 1,M αντιστοίχως (Σχ. 1). Έστω ειλέον και η γωνία α β, ου η τελική της λευρά τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ. (Σχ. ). 005 / 089

006 / 089

Όως είναι γνωστό, τα σημεία M 1,M, Α και Μ έχουν συντεταγμένες: το Μ1: τετμημένη συνα και τεταγμένη ημα το Μ: τετμημένη συνβ και τεταγμένη ημβ το Α: τετμημένη 1 και τεταγμένη 0 το Μ: τετμημένη συν(α β) και τεταγμένη ημ(α β) Εειδή M OM ˆ AOM ˆ α β, είναι και (M M ) (AM). 1 θα 1 Άρα 1 (M M ) (AM) Αν τώρα χρησιμοοιήσουμε το γνωστό μας τύο: 1 1 1 (P P ) (x x ) (y y ), 007 / 090

ου δίνει την αόσταση δύο σημείων P 1(x 1,y 1 ) και P (x,y ), έχουμε: (M M ) 1 (συνα συνβ) (ημα ημβ) συν α συν β συνασυνβ ημ α ημ β ημαημβ (συνασυνβ ημαημβ) και (ΑΜ) [συν(α β) 1] [ημ(α β) 0] συν (α β) 1 συν(α β) ημ (α β) συν(α β). Έτσι η σχέση (ΜΜ 1 ) γράφεται 008 / 090 (ΑΜ)

(συνασυνβ ημαημβ) συν(α β) ή συνασυνβ ημαημβ συν(α β) Εομένως: συν(α β) συνασυνβ ημαημβ Η ισότητα αυτή, ου αοδείξαμε για γωνίες α, β με 0 β α 360, ισχύει και για οοιεσδήοτε γωνίες α, β. Αν στην αραάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με το β, έχουμε: 009 / 090 0

συν(α ( β)) συνασυν( β) ημαημ( β) Εομένως: συν(α β) συνασυνβ ημαημβ Με τη βοήθεια των τύων (1) και () μορούμε να υολογίσουμε το συνημίτονο ορισμένων γωνιών, χωρίς να χρησιμοοιήσουμε τριγωνομετρικούς ίνακες ή υολογιστικές μηχανές. Για αράδειγμα, έχουμε: συν15 συν(45 30 ) συν45 συν30 ημ45 ημ30 3 1 ( 3 1) 4 010 / 090-091

συν75 συν(45 30 ) συν45 συν30 ημ45 ημ30 3 1 ( 3 1) 4 Ημίτονο αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Με τη βοήθεια του τύου (1), ου βρήκαμε ροηγουμένως, θα υολογίσουμε τώρα το ημίτονο του αθροίσματος δυο γωνιών. Εειδή συν x ημx ημ x συνx, έχουμε: και 011 / 091

ημ(α β) συν (α β) συν ( α) β συν α συνβ ημ α ημβ ημασυνβ Εομένως: συναημβ ημ(α β) ημασυνβ συναημβ (3) Αν στην αραάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με β βρίσκουμε ότι: ημ(α β) ημασυνβ συναημβ (4) Σύμφωνα με τους τύους αυτούς για αράδειγμα, έχουμε: 01 / 091

ημ15 ημ(45 30 ) ημ45 συν30 συν45 ημ30 3 1 ( 3 1) 4 ημ75 ημ(45 30 ) ημ45 συν30 συν45 ημ30 3 1 ( 3 1). 4 013 / 091

Εφατομένη αθροίσματος και διαφοράς γωνιών Με τη βοήθεια των ροηγούμενων τύων θα υολογίσουμε την εφατομένη του αθροίσματος α+β δυο γωνιών α, β, αν γνωρίζουμε την εφατομένη καθεμιάς. Όως ξέρουμε, για να ορίζονται οι: εφ(α β), εφα και εφβ, ρέει συν(α β) 0, συνα 0 και συνβ 0. Με την ροϋόθεση αυτή έχουμε: Διαιρούμε με συνασυνβ 0 014 / 09

εφ(α β) ημ(α β) συν(α β) ημασυνβ συναημβ συνασυνβ ημαημβ ημασυνβ συναημβ συνασυνβ συνασυνβ συνασυνβ ημαημβ συνασυνβ συνασυνβ εφα εφβ 1 εφαεφβ Εομένως έχουμε: εφ(α β) εφα εφβ 1 εφαεφβ (5) 015 / 09

Αν τώρα στην αραάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το β με το β, βρίσκουμε ότι: εφ(α β) εφα εφβ 1 εφαεφβ (6) Τέλος με ανάλογο τρόο αοδεικνύεται ότι: σφ(α β) σφασφβ 1 σφβ σφα (7) σφ(α β) σφασφβ 1 σφβ σφα (8) Σύμφωνα με τους αραάνω τύους για αράδειγμα, έχουμε: 016 / 09

εφ15 εφ(45 30 ) εφ45 εφ30 1 3 3 1 εφ45 εφ30 1 3 3 3 3 (3 3)(3 3) 3 3 (3 3)(3 3) 1 6 3 6 3 017 / 09

εφ75 εφ(45 30 ) 3 εφ45 εφ30 1 3 1 εφ45 εφ30 3 1 3 3 3 (3 3)(3 3) 3 3 (3 3)(3 3) 1 6 3 6 3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 3 1ο Αν ημα, 5 με 3 α και 1 συνβ, 13 με 3 β, να υολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί του α+β. 018 / 093

ΛΥΣΗ Εειδή ημ(α+β) = ημασυνβ+συναημβ και συν(α β) συνασυνβ ημαημβ αρκεί να υολογίσουμε το συνα και το ημβ. Έχουμε λοιόν: 9 16 συνα 1 ημ α 1, 5 5 16 4 όοτε συνα, 5 5 αφού 3 α και 144 5 ημβ 1 συν β 1, 169 169 5 5 οότε ημβ, 169 13 αφού 3 β Εομένως 019 / 093

ημ(α β) 3 1 5 13 4 5 16 5 13 65 4 1 συν(α β) 5 13 3 5 63, 5 13 65 οότε: εφ(α β) 16 63 και 63 σφ(α β) 16 ο Να αοδειχθεί ότι: ημ(α β) ημ(α β) ημ α ημ β ΑΠΟΔΕΙΞΗ 00 / 093

ημ(α β)ημ(α β) (ημασυνβ συναημβ) (ημασυνβ συναημβ) ημ ασυν β συν αημ β ημ α(1 ημ β) (1 ημ α)ημ β ημ α ημ αημ β ημ β ημ αημ β ημ α ημ β 3ο Να λυθεί η εξίσωση: συνx ημ x 6 ΛΥΣΗ 01 / 093-094

συνx ημ x 6 συνx ημxσυν συνxημ 6 6 3 1 συνx ημx συνx 4συνx 3ημx συνx 3συνx εφx 3 3ημx εφx εφ 3 x κ,κ 3 Αφού συνx 1 4ο Να αοδειχθεί ότι σε κάθε μη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: εφα εφβ εφγ εφαεφβεφγ 0 / 094

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αφού το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο, ορίζονται οι εφα, εφβ, εφγ. Εειδή ειλέον Α Β Γ, ορίζεται η εφ(α Β) και έχουμε διαδοχικά: εφ(α Β) εφ( Γ) εφα εφβ 1 εφαεφβ εφγ εφα εφβ εφγ εφαεφβεφγ εφα εφβ εφγ εφαεφβεφγ 5ο Θεωρούμε έναν αγωγό αό τον οοίο διέρχονται τρία εναλλασσόμενα ρεύματα της ίδιας κυκλικής συχνότητας ω με στιγμιαίες εντάσεις Ι1 ημωt, Ι ημ(ωt ) και 3 03 / 094

4 Ι3 ημ(ωt ). Να αοδειχθεί ότι 3 η ολική ένταση Ι Ι1 Ι Ι3 του ρεύματος ου διέρχεται αό τον αγωγό είναι μηδέν. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Είναι 04 / 094-095

4 Ι ημωt ημ(ωt ) ημ(ωt ) 3 3 ημωt ημωtσυν συνωtημ 3 3 4 4 ημωtσυν συνωtημ 3 3 1 3 ημωt ημωt συνωt ημωt 1 3 συνωt 1 1 ημωt ημωt ημωt 0 05 / 095

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Να υολογίσετε, χωρίς τη χρήση υολογιστών τσέης, την τιμή των αραστά-σεων: i) συν συν ημ ημ 1 4 1 4 ii) συν170 συν50 ημ170 ημ50 iii) ημ110 ημ70 συν110 συν70 7 7 iv) συν συν ημ ημ 1 1 1 1. Να γράψετε σε αλούστερη μορφή τις αραστάσεις: i) συν3xσυν( x) ημ3xημ( x) ii) συν(x )συνx ημ(x )ημx 4 4 06 / 095

3. Να αοδείξετε ότι: i) συν(x ) συν(x ) συνx 4 4 συν (x ) συν (x ) ii) 4 4 ημxσυνx 4. Να υολογίσετε, χωρίς τη χρήση υολογιστών τσέης, την τιμή των αραστάσεων: 17 4 17 4 i) ημ συν συν ημ 18 9 18 9 ii) ημ70 συν0 7 εφ εφ iii) 1 4 7 1 εφ εφ 1 4 iv) εφ165 εφ15 1 εφ165 εφ15 07 / 095 συν70 ημ0

5. Να γράψετε σε αλούστερη μορφή τις αραστάσεις: i) ημxσυνx συνxημx ii) ημ x συνx συν x ημx 6 6 iii) εφx εφx 1 εφxεφx εφ x εφ x 3 6 iv) 1 εφ x εφ x 3 6 6. Να αοδείξετε ότι: i) ημ x ημ x ημx 3 3 (ημα συνα)(ημβ συνβ) ii) ημ(α β) συν(α β) 7. Να υολογίσετε, χωρίς τη χρήση υολογιστών τσέης, τους 08 / 095-096

τριγωνομετρικούς αριθμούς των 105 και 195. 8. Να αοδείξετε ότι: i) ii) σφα σφβ ημ(α β) εφα εφβ συνασυνβ ημ(α β) ημαημβ 9. Να αοδείξετε ότι για τις γωνίες α, β του διλανού σχήματος ισχύει: 63 i) ημ(α β) 65 16 ii) συν(α β) 65 09 / 096

10. Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α+β, αν: i) 3 ημα, 5 0 α ii) 3 συνα, 5 α 5 συνβ, 13 και β 4 ημβ, 5 3 και 3 β 11. Να λύσετε τις εξισώσεις: 030 / 096

i) ημx συν(x ) ii) 6 εφx εφ( x) 4 iii) εφ(x α), αν εφα 3 Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. Να αοδείξετε ότι: ημ(α β) ημ(β γ) ημ(γ α) συνασυνβ συνβσυνγ συνγσυνα 0. Αν συν(α β) 0, να αοδείξετε ότι: ημ(α β) ημα 3. Αν εφα 3, να λύσετε στο [0,] τη εξίσωση: ημ(x α) ημ(x α) 4. Αν α β, να αοδείξετε ότι: 4 (1 εφα)(1 εφβ) 031 / 096

5. Αν στο αρακάτω σχήμα είναι ΑΓ 3 ΑΔ, να αοδείξετε ότι: εφβ i) εφω, 3 εφ όου Β ΑΒΓ ˆ Β ii) Η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Β, αν Β 60 0 6. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ημα ημ(β Γ) εφβ, να συν(β Γ) αοδείξετε ότι Α και αντιστρόφως. 03 / 097

*7. Να αοδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: i) σφασφβ σφβσφγ σφγσφα 1, συνα συνβ συνγ ii) ημβημγ ημγημα ημαημβ 8. Να λυθεί στο διάστημα [0,] η εξίσωση: εφ( x) εφ( x) 3 4 4 *9. Αν 0 x, y,z με 1 εφx, 1 εφy 5 και 1 εφz, να αοδείξετε 8 ότι: x y z 4 033 / 097

3.7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α Οι τύοι ου εκφράζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α, ως συνάρτηση των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας α, είναι ειδικές εριτώσεις των τύων της ροηγούμενης αραγράφου. Συγκεκριμένα, αν στους τύους του ημ(α β), του συν(α β) και της εφ(α β) αντικαταστήσουμε το β με το α, έχουμε: ημα ημ(α α) ημασυνα συναημα ημασυνα Εομένως: ημα = ημασυνα 034 / 097 (1)

συνα συν(α α) συνασυνα ημαημα συν α ημ α συν α 1 συν α (1 συν α) Είσης συνα συν α ημ α 1 ημ α (1 ημ α) ημ α Εομένως: συνα συν α ημ α συν α 1 1 ημ α () εφα Εομένως: εφα εφα 1 εφαεφα εφα 1 εφ α 035 / 097-098

εφα εφα 1 εφ α (3) Αό τους τύους () μορούμε να υολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α, αν γνωρίζουμε το συνα. Πράγματι, έχουμε: συνα συν α 1 1 συνα συν α 1 συνα συν α συνα 1 ημ α ημ α 1 συνα 1 συνα ημ α 036 / 098

1 συνα εφ ημα α 1 συνα συνα 1 συνα 1 συνα Εομένως: ημ α 1 συνα (4) συν α 1 συνα (5) 1 συνα εφ α 1 συνα (6) Με τη βοήθεια των αραάνω τύων μορούμε να υολογίσουμε 037 / 098-099

τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του μισού μιας γωνίας, αν γνωρίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας αυτής. Για αράδειγμα οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ως εξής: ημ,5,5 45 υολογίζονται 1 συν45 1, 4 ημ,5 οότε 038 / 099

συν,5 1 συν45 1, 4 συν,5 Εομένως εφ,5 1 σφ,5 1 οότε και 039 / 099

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1ο Να αοδειχθεί ότι: 3 i) ημ3α 3ημα 4ημ α 3 ii) συν3α 4συν α 3συνα ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έχουμε: i) ημ3α= ημ(α α) ημασυνα συναημα ημασυν α (1 ημ α)ημα ημα(1 ημ α) (1 ημ α)ημα 3 3 ημα ημ α ημα ημ α 3ημα 3 4ημ α 040 / 099

ii) συν3α συν(α α) συνασυνα ημαημα (συν α 1)συνα ημ ασυνα (συν α 1)συνα (1 συν α)συνα 3 3 3 συν α συνα συνα συν α 4συν α 3συνα o Να αοδείξετε ότι για κάθε γωνία α με συνα 0ισχύει: εφα i) ημα 1 εφ α ii) συνα 1 εφ α 1 εφ α 041 / 099

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν συνα 0, έχουμε: i) ημα ημασυνα ημασυνα ημασυνα συν α συν α ημ α 1 εφ α συν α συνα εφα συν α ημ α 04 / 100

συνα συν α ημ α συν α συν α συν α συν α ημ α ημ α 1 εφ α συν α ημ α 1 εφ α συν α συν α ημα συνα 3o Αν εφα 3 και 4 α, βρεθεί η εφα. να ΛΥΣΗ Αό τον τύο (3) έχουμε: 043 / 100

3 εφα 4 1 εφα 3εφ α 8εφα 3 0 8εφα 3 3εφ α εφα 8 10 6 εφα 1 3 ή εφα 3 [αφού Δ=100] Αό τις τιμές της εφα ου βρήκαμε δεκτή είναι μόνο η 3, αφού α. 4o Να αοδειχθεί ότι 1 ημx εφ x 4 1 ημx ΑΠΟΔΕΙΞΗ 044 / 100

Εειδή εφ 4 1 συνα εφ α, έχουμε: 1 συνα x 1 συν x 1 συν x 1 ημx, 1 ημx αφού συν x ημx 5o Να λυθεί η εξίσωση: x ημx συν ΛΥΣΗ Σύμφωνα με τον τύο (5) έχουμε: 045 / 100-101

x ημx συν ημ x 1 συνx κ (1 συν x) 1 συνx συν x συνx 0 συνx(συνx 1) 0 συνx 0 ή συνx 1 x κ ή x κ 6o Να εκφρασθεί το 8συν4α ως συνάρτηση του συνα και του συν4α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Σύμφωνα με τον τύο (5) έχουμε: 046 / 101

8συν α 8(συν α) 1 συνα 8 8 4 1 συνα συν α 4 4συνα συν α 4συναα 1 συν4α 3 4συνα συν4α. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Να υολογίσετε την τιμή των αραστάσεων: 3 3 i) ημ συν 4 4 047 / 101

ii) 1 ημ 1 iii) συν1350 1 0 iv) εφ75 0 1 εφ 75. Να γράψετε σε αλούστερη μορφή τις αραστάσεις: i) ημασυνα ii) συν 4 α 1 εφ3α iii) 1 εφ3α 3. Να αοδείξετε ότι: 048 / 101

i) ημα συνα συν α ii) ημα 1 ημ α εφα iii) σφα εφα σφα iv) εφα σφα ημα 4. Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του α, αν: 4 i) συνα α ii) 5 και 3 α 3 ημα 5 και 5. Να υολογίσετε την εφ(α+β), αν 1 1 εφα και εφβ 4 3 6. Να αοδείξετε ότι: 049 / 101-10

i) 1 ημ3ασυνα συν3 αημα ημα ii) ημαεφα συν α ημα iii) 1 συνα εφα iv) 1 συνα ημα εφα 1 συνα ημα 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) συνx ημx 1 0 ii) ημx συνx ημx 1 0 8. Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 16 050 / 10

9. Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του α,αν: 5 i) συνα και 0 α 13 3 ii) συνα και 3 α 5 10. Να λύσετε τις εξισώσεις: x i) συνx συν 0 x ii) συνx ημ 0 x iii) συνx 4ημ iv) x συνx 1 συν 051 / 10

Β ΟΜΑΔΑΣ 1. Αν 0 α, να αοδείξετε ότι: 4 συνα ημα 1 ημα.. Να αοδείξετε ότι: ημ α 1 συν α α εφ ημα(1 συνα) 3. Να αοδείξετε ότι: 3 1 ημ συν 4 8 8 8 4. Να αοδείξετε ότι: 1 εφαεφα εφα i) εφα σφα ii) 3 4συνα συν4α εφ α 3 4συνα συν4α 4 05 / 10

5. Να αοδείξετε ότι: συνα 1 εφ(450 α) εφα 1 ημα συνα και με τη βοήθεια αυτού του τύου να υολογίσετε την εφ 15. 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) εφx συνx ii) εφx εφx 3 7. Να αοδείξετε ότι: 4 συν4α 8συν α 8συν α 1 8. Να αοδείξετε ότι: 3 3 i) συν 4 συν 4 8 8 4 3 3 ii) ημ 4 ημ 4 8 8 4 iii) 8ημ ασυν α 1 συν4α 053 / 10-103

α β 9. Αν συνx, συνy β γ γ α και γ συνz, να αοδείξετε ότι: α β x y z εφ εφ εφ 1. 3.8 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Σε αρκετές εφαρμογές της Τριγωνομετρίας χρειάζεται το γινόμενο τριγωνομετρικών αριθμών να μετασχηματισθεί σε άθροισμα ή αντιστρόφως το άθροισμα σε γινόμενο. 054 / 103

Στην αράγραφο αυτή θα αναζητήσουμε τύους, με τους οοίους γίνονται οι αραάνω μετασχηματισμοί. Μετασχηματισμός γινομένου σε άθροισμα Αό τις γνωστές μας ισότητες: ημ(α β) ημασυνβ συναημβ ημ(α β) ημασυνβ συναημβ με ρόσθεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι: ημ(α β) ημ(α β) ημασυνβ 055 / 103

δηλαδή: ημασυνβ ημ(α β) ημ(α β)(1) ενώ αό τις: συν(α β) συνασυνβ ημαημβ συν(α β) συνασυνβ ημαημβ με ρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη βρίσκουμε ότι: συνασυνβ συν(α β) συν(α β)() ημαημβ συν(α β) συν(α β)(3) Μετασχηματισμός αθροίσματος σε γινόμενο Με τη βοήθεια των ροηγούμενων τριών τύων μορούμε να μετασχηματίσουμε το άθροισμα 056 / 103-104

τριγωνομετρικών αριθμών σε γινόμενο. Πράγματι, αν θέσουμε α+β=α και α β Β, τότε έχουμε Α Β α β α β α, οότε Α Β α Α Β α β α β β, οότε Α Β β Έτσι ο αραάνω τύος (1) γράφεται Α Β Α Β ημ συν ημα ημβ. 057 / 104

Δηλαδή έχουμε: Α Β Α Β ημα ημβ ημ συν (4) Αν τώρα στον τύο (4) αντικαταστήσουμε το Β με Β, βρίσκουμε: Α Β Α Β ημα ημβ ημ συν (5) Ομοίως, αό τον τύο (), βρίσκουμε: συνα συνβ Α Β Α Β συν συν (6) ενώ αό τον τύο (3) βρίσκουμε Α Β Α Β ημ ημ συνβ συνα, οότε 058 / 104

συνα συνβ Α Β Α Β ημ ημ (7) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1 Να λυθεί η εξίσωση: ημ6xσυν3x=ημ5xσυν4x (1) ΛΥΣΗ Έχουμε: (1) ημ6xσυν3x ημ5xσυν4x 059 / 104-105

ημ9x ημ3x ημ9x ημx ημ3x ημx 3x κ x ή,κ 3x κ x x x κ ή,κ κ 4 Να λυθεί η εξίσωση: συν3x+συνx=ημx ΛΥΣΗ 060 / 105

Έχουμε: : (1) 3x x 3x x συν συν ημxσυνx συνxσυνx ημxσυνx συνxσυνx ημxσυνx 0 συνx(συνx ημx) 0 συνx 0() ή συνx ημx(3) Αλλά () συνx συν x κ, κ 061 / 105

και 3 συνx συν( x) x κ x ή, κ x κ x 3x κ ή, κ x κ 4κ x 6 ή, κ x κ 06 / 105

3ο Να αοδειχθεί ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: Α Β Γ ημα ημβ ημγ 4συν συν συν ΑΠΟΔΕΙΞΗ 063 / 106

ημα ημβ ημγ Α Β Α Β ημ συν Γ Γ ημ συν Γ Α Β συν συν Α Β Γ συν συν Α Β Γ γιατί Γ Α Β Α Β συν συν συν Γ Α Β συν συν συν Α Β Γ 4συν συν συν. 064 / 106

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ 1. Να υολογίσετε, χωρίς τη χρήση υολογιστών τσέης, τα γινόμενα: i) συν75 συν15 ii) ημ105 συν15 13 iii) ημ συν 1 11 7 iv) ημ ημ 1 1. Να μετατρέψετε σε αθροίσματα τριγωνομετρικών αριθμών τα αρακάτω γινόμενα: i) ημxσυνx ii) ημ4xημx iii) συν3xσυν5x iv) συν6xημx 065 / 106

v) ημ( x)ημ( x) 4 4 3. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ημ3xσυνx ημ6xσυνx ii) συν3xσυνx ημxημx 4. Να υολογίσετε, χωρίς τη χρήση υολογιστών τσέης, τα αθροίσματα: i) ημ75 ημ15 11 5 ii) ημ ημ 1 1 iii) συν40 συν80 συν160 5. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τριγωνομετρικών αριθμών τα αρακάτω αθροίσματα: i) ημ4x ημx ii) συν5x συν3x 066 / 106

iii) συν3x iv) 1 ημx v) 1 συνx συνx 6. Αν Β και Γ είναι οι οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, να αοδείξετε ότι: i) ημβ ημγ συν(β Γ) ii) ημβ ημγ Β Γ ημ 7. Να αοδείξετε ότι: i) συν3α συν5α εφα ημ3α ημ5α ημα ημ3α ημ5α ii) εφ3α συνα συν3α συν5α ημαημα ημ3αημ6α iii) εφ5α ημασυνα ημ3ασυν6α 067 / 106-107

8. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ημ3x ημx συνx ii) συν5x συνx ημ3x iii) ημ3x ημ6x ημ9x 0 Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. Να αοδείξετε ότι: i) ημ50 1 1 συν0 ημ5 ημ68 ii) συν65 συν81 1 ημ47 συν77. Αν για τις οξείες γωνίες Β και Γ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ισχύει 4ημΒσυνΓ 1, να αοδείξετε ότι Β = 30. 3. Να αοδείξετε ότι: 068 / 107

i) ημαημβ ii) συνασυνβ ημ α συν β α β 4. Να αοδείξετε ότι: ημα ημβ α β i) ημ, για οοιαδήοτε α,β [0,] συνα συνβ α β ii) συν, οοιαδήοτε α,β [, ] για 5. Να αοδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: i) ημα ημ(β Γ) ημβσυνγ ii) συν(β Γ) συνα συνβσυνγ 069 / 107

iii) συνα συνβ συνγ Α Β Γ 1 4ημ ημ ημ. 6. Να αοδείξετε ότι για τις οξείες γωνίες Β, Γ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ισχύει: Β Γ Β Γ συν συν 1 συν 7. Αν για τις γωνίες Α, Β, Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ημα συνβ συνγ, να αοδείξετε ότι Β=900 ή Γ=900 και αντιστρόφως. 070 / 108

3.9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=αημx+βσυνx Στην ροηγούμενη τάξη είδαμε ότι μια συνάρτηση της μορφής f(x)=ρημx, ρ > 0 είναι εριοδική με ερίοδο και έχει μέγιστο ίσο με ρ και ελάχιστο ίσο με ρ. Η γραφική της αράσταση είναι μια ημιτονοειδής καμύλη. Μια τέτοια συνάρτηση είναι,.χ., και η f(x)=ημx, της οοίας η γραφική αράσταση φαίνεται στο αρακάτω σχήμα: 071 / 108

Η συνάρτηση f(x)=ρημ(x+φ) Έστω για αράδειγμα η συνάρτηση f(x) ημ(x ). Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτή 4 07 / 108

ροκύτει αό την g(x) ημx αν, όου x, θέσουμε x 4 δη- λαδή ισχύει f(x) g(x ) 4 Αυτό σημαίνει ότι η γραφική αράσταση της f ροκύτει αό μια οριζόντια μετατόιση της γραφικής αράστασης της g κατά 4 μονάδες, ρος τα αριστερά. Όμως η συνάρτηση g(x) ημxέχει ερίοδο, μέγιστο ίσο με και ελάχιστο ίσο με. Εομένως η συνάρτηση f είναι εριοδική με ερίοδο και έχει μέγιστο ίσο με και ελάχιστο ίσο με. 073 / 108-109

Ο σταθερός αριθμός 4 λέγεται διαφορά φάσεως των καμυλών y ημ(x ) και y = ημx. Οι 4 καμύλες αυτές φαίνονται στο αρακάτω σχήμα: 074 / 109

Γενικότερα, η γραφική αράσταση της συνάρτησης f(x)=ρημ(x+φ), ρ>0 ροκύτει αό μια οριζόντια μετατόιση της γραφικής αράστασης της συνάρτησης g(x) ρημx. Εομένως: 075 / 109

Η συνάρτηση f(x)=ρημ(x+φ) είναι εριοδική με ερίοδο και έχει μέγιστο ίσο με ρ και ελάχιστο ίσο με ρ. Η συνάρτηση f(x)=αημx+βσυνx, α,β 0 Έστω για αράδειγμα η συνάρτηση f(x)=ημx+συνx. Για να τη μελετήσουμε θα ροσαθήσουμε να τη μετατρέψουμε σε άλλη συνάρτηση γνωστής μορφής. Έχουμε: 076 / 109

ημx συνx ημx εφ συνx 4 ημ ημx 4 συνx συν 4 ημx συν συνx ημ ημ x 4 4 4 συν 4 ημ x 4 Εομένως f(x) ημ x. Αυτό 4 σημαίνει ότι η συνάρτηση f είναι εριοδική με ερίοδο και έχει μέγιστο ίσο με και ελάχιστο ίσο 077 / 109

με. Η γραφική αράσταση της f ροκύτει αό μια οριζόντια μετατόιση της γραφικής αράστασης της συνάρτησης g(x) ημx κατά μονάδες ρος 4 τα αριστερά, όως φαίνεται στο αρακάτω σχήμα: 078 / 109-110

Γενικότερα θα αοδείξουμε ότι: 079 / 110

ΘΕΩΡΗΜΑ Αν α,β 0, τότε για κάθε x ισχύει: αημx βσυνx ρημ(x φ) όου ρ α β συνφ β ημφ ρ και φ με α ρ Έστω το σημείο Μ(α,β) και φ μια αό τις γωνίες με αρχική λευρά Οx και τελική λευρά ΟΜ. Τότε έχουμε: ρ ΟΜ α β 080 / 110

και συνφ α ρ ή α ρσυνφ β ημφ ή β ρημφ ρ Εομένως αημx βσυνx ρσυνφημx ρημφσυνx ρ(συνφημx ρημ(x φ) ημφσυνx) Η μελέτη λοιόν της συνάρτησης f(x)=αημx+βσυνx, α,β 0 μορεί να γίνει με τη μελέτη της συνάρτησης f(x) ρημ(x φ). 081 / 110

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1 ο i) Να αρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f(x) ημ(x ) 3 ii) Ομοίως η συνάρτηση f(x) ημx 3συνx ΛΥΣΗ i) Η συνάρτηση f γράφεται f(x) ημ (x ). Παρατηρούμε 6 ότι η συνάρτηση αυτή ροκύτει αό τη συνάρτηση g(x) ημx αν, όου x θέσουμε x. 6 Αυτό σημαίνει ότι η γραφική αράσταση της f ροκύτει αό μία οριζόντια μετατόιση της 08 / 111

γραφικής αράστασης της g κατά μονάδες ρος τα δεξιά. 6 Όμως η συνάρτηση g(x) ημx έχει ερίοδο, και ελάχιστο. μέγιστο Άρα και η f είναι εριοδική με ερίοδο, μέγιστο και ελάχιστο. Οι γραφικές αραστάσεις των f και g φαίνονται στο αρακάτω σχήμα. 083 / 111

ii) Η αράσταση ημx 3συνx είναι της μορφής αημt βσυνt με α=1, β 3 και όου t το x. Εομένως αίρνει τη μορφή ρημ(x φ). Έχουμε 084 / 111

ρ 1 ( 3) 4 1 συνφ και, 3 ημφ οότε ένα φ 3 Άρα f(x) ημx 3συνx ημ(x ) 3 Τη συνάρτηση αυτή όμως τη μελετήσαμε ροηγουμένως. 085 / 111

ο Να λυθεί η εξίσωση 3ημ4x συν4x ΛΥΣΗ Το 1ο μέλος της εξίσωσης είναι της μορφής αημt βσυνt με α 3, β=1 και όου t το 4x. Εομένως αίρνει τη μορφή ρημ(4x+φ). Έχουμε ρ ( 3) 1 4 3 συνφ, και 1 ημφ. οότε ένα φ 6 086 / 11

Άρα 3ημ4x συν4x ημ 4x 6 και η εξίσωση γίνεται ημ 4x ημ 4x 6 6 ημ 4x 4x ημ 6 4 κ 6 4 ή, κ 4x κ ( ) 6 4 x κ 48 ή, κ 7 x κ 48 087 / 11

3o Δυο ρεύματα με την ίδια κυκλική συχνότητα ω και με εντάσεις Ι1 ημωt και Ι ημ ωt διαρρέουν έναν 3 αγωγό. Να δειχθεί ότι το άθροισμα τους έχει την ίδια κυκλική συχνότητα. ΛΥΣΗ 088 / 11

Έχουμε Ι Ι Ι ημωt ημ ωt 3 ημωt ημωtσυν συνωtημ 3 3 1 3 ημωt ημωt συνωt ημωt 3συνωt ημ ωt, 3 ολ 1 ου σημαίνει ότι το Ιολ έχει την ίδια κυκλική συχνότητα ω. 089 / 11-113

ΑΣΚΗΣΕΙΣ A ΟΜΑΔΑΣ 1. Να βρείτε την ερίοδο, τη μέγιστη τιμή και την ελάχιστη τιμή των αρακάτω συναρτήσεων και στη συνέχεια να τις αραστήσετε γραφικά: i) f(x) ημ x 3 ii) f(x) ημ x. Να γράψετε στη μορφή f(x) ρημ x φ τις συναρτήσεις: i) f(x) 3ημx συνx ii) f(x) ημx συνx iii) f(x) ημx 3συνx iv) f(x) ημx συνx 090 / 113

3. Να μελετήσετε και να αραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις της άσκησης. 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 3ημx συνx, ii) συνx ημx 1, iii) ημx 6συνx 0 Β ΟΜΑΔΑΣ 1. Να υολογίσετε τη γωνία ω του αρακάτω σχήματος, έτσι ώστε να ισχύει: (ΜΑ) (ΜΒ) 6 091 / 113

. Μια μάρα ΑΒ μήκους m τοοθετείται οριζόντια μεταξύ δυο κάθετων τοίχων. Για μεγαλύτερη αντοχή ρέει να τοοθετηθεί, έτσι ώστε το (ΟΑ)+(ΟΒ) να γίνει μέγιστο. i) Να εκφράσετε το (ΟΑ)+(ΟΒ) ως συνάρτηση του θ. ii) Να βρείτε την τιμή του θ για την οοία το (ΟΑ)+(ΟΒ) γίνεται μέγιστο και να ροσδιορίσετε το μέγιστο αυτό. 09 / 113

3. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων: i) f(x) 5ημx 1συνx 3, ii) f(x) 4συνx(ημx συνx) 093 / 113-114

4. Να λύσετε την εξίσωση: ημx( 3συνx ημx) 1 5. Με συρματόλεγμα μήκους 40m εριφράσσουμε τμήμα γης σχήματος ορθογωνίου τριγώνου. Αν η υοτείνουσα είναι h m και η μια οξεία γωνία Grad (Σχήμα). 094 / 114

i) Να αοδείξετε ότι: 40 h ημθ συνθ 1 ii) Για οια τιμή του θ το h αίρνει τη μικρότερη τιμή και οια είναι αυτή; 6. Στο αρακάτω σχήμα: i) Να δείξετε ότι η ερίμετρος Ρ του τριγώνου ΜΚΟ ισούται με Ρ 1 ημθ συνθ. ii) Για οια τιμή του θ το Ρ αίρνει τη μεγαλύτερη τιμή και οια είναι αυτή; 095 / 114

096 / 114

3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Το κλασικό ρόβλημα της Τριγωνομετρίας, αό το οοίο ήρε και το όνομά της, είναι η είλυση τριγώνου, δηλαδή ο υολογισμός των άγνωστων κύριων στοιχείων ενός τριγώνου, όταν δίνονται εαρκή στοιχεία του. Η είλυση τριγώνου μορεί να γίνει με τη βοήθεια των αρακάτω δυο βασικών θεωρημάτων, ου είναι γνωστά το ένα ως νόμος των ημίτονων και το άλλο ως νόμος των συνημίτονων. 097 / 114

Νόμος των ημίτονων ΘΕΩΡΗΜΑ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: α β γ ημα ημβ ημγ R Όου R, η ακτίνα του εριγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω (0,R) ο εριγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΑΒΓ. Αν φέρουμε τη διάμετρο ΒΔ και τη χορδή ΓΔ, τότε σχηματίζεται τρίγωνο ΓΒΔ ου είναι ορθογώνιο στο Γ. Εομένως έχουμε: 098 / 114-115

(ΒΓ) α ημδ, (ΒΔ) R οότε α R ημδ (1) 099 / 115

Είναι όμως Δ=Α (Σχ. 1) ή Δ Α 180 (Σχ. ), οότε ημδ=ημα. Εομένως η (1) γράφεται 100 / 115

α ημα R Αν A 90,, τότε έχουμε: ημα=1 και α=r (Σχ. 3). Εομένως και στην ερίτωση αυτή ισχύει ισότητα α R. ημα Ομοίως αοδεικνύεται ότι: 101 / 115

β ημβ Εομένως: γ R και ημγ R α β γ ημα ημβ ημγ R Σχόλιο. Με το νόμο των ημίτονων μορούμε εύκολα να ειλύσουμε ένα τρίγωνο, όταν δίνονται: i) Μια λευρά και δυο γωνίες του ή ii) Δυο λευρές και μια αό τις μη εριεχόμενες γωνίες του. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1o Να ειλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με α = 15, Α = 43 και Β = 8. ΛΥΣΗ Έτσι, σύμφωνα με το νόμο των ημίτονων έχουμε: 10 / 115-116

15 β γ ημ43 ημ8 ημ55 οότε: 15 ημ8 15 0,9903 β ημ43 0,680 15 ημ55 15 0,819 γ 18 ημ43 0,680 103 / 116

ο Να ειλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με α = 3, β = 31 και Β = 35 ΛΥΣΗ Σύμφωνα με το νόμο των ημίτονων έχουμε: 3 31 γ ημα ημ35 ημγ (1) 104 / 116

Οότε 3 ημ35 3 0,5736 ημα 0,455 31 31 Άρα Α 5 ή Α 155 Εειδή όμως α < β, θα είναι και Α < Β. Εομένως αό τις αραάνω τιμές της Α δεκτή είναι μόνο η Α 5. 'Ετσι έχουμε Γ 180 Α Β 180 5 35 10 οότε, λόγω της (1), ισχύει 105 / 116

31 γ ημ35 ημ10 31 ημ10 31 0,8660 γ 47 ημ35 0,5736 3ο Σε ένα υλικό σημείο Ο εφαρμόζονται τρεις δυνάμεις ου έχουν μέτρα F1, F και F3 αντιστοίχως και σχηματίζουν ανά δυο γωνίες ω1, ω και ω3, όως φαίνεται στο διλανό σχήμα. Αν το υλικό σημείο ισορροεί, να αοδειχθεί ότι: F1 F F3 ημω ημω ημω 1 3 106 / 116-117

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Εειδή το σημείο Ο ισορροεί, η συνισταμένη F των F1 και F θα έχει ίδια διεύθυνση, αντίθετη φορά και ίδιο μέτρο με την F 3. Εομένως αό το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ΟΒΓ έχουμε: (ΒΓ) (ΟΒ) (ΟΓ) ημβογ ˆ ημβγο ˆ ημοβγ ˆ F1 F F3 ημω ημω ημω 1 3 αφού ΒΟΓ ˆ 180 ω 1, ΒΓΟ ˆ 180 ω και ˆ ΟΒΓ 180 ω. 3, 107 / 117

Νόμος των συνημίτονων Όταν είναι γνωστές οι τρεις λευρές ενός τριγώνου ή οι δυο λευρές και η εριεχόμενη γωνία τους δεν μορούμε εύκολα με μόνο το νόμο των ημίτονων να υολογίσουμε τα άλλα στοιχεία του. Στην ερίτωση αυτή χρησιμοοιούμε το 108 / 117

αρακάτω θεώρημα ου είναι γνωστό ως νόμος των συνημίτονων. ΘΕΩΡΗΜΑ Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: α β γ βγσυνα β γ α γασυνβ γ α β αβσυνγ ΑΠΟΔΕΙΞΗ * Θα αοδείξουμε μόνο την ρώτη ισότητα. Με όμοιο τρόο αοδεικνύονται και οι υόλοιες ισότητες. 109 / 117-118

Στο είεδο του τριγώνου θεωρούμε ένα σύστημα συντεταγμένων με αρχή το Α και θετικό ημιάξονα των x την ημιευθεία ΑΒ. Έτσι οι συντεταγμένες του Β θα είναι (γ,0), ενώ για τις συντεταγμένες (χ, y) του Γ θα ισχύει 110 / 118

x y συνα και ημα β β ή ισοδύναμα x βσυνα και y βημα (1) Αν χρησιμοοιήσουμε τώρα τον τύο της αόστασης για τα σημεία Β(γ,0) και Γ(x,y), βρίσκουμε ότι: α (ΒΓ) (x γ) (y 0) οότε, λόγω της (1), έχουμε: α (x γ) y (βσυνα γ) (βημα) β συν Α γ βγσυνα β ημ Α β (συν Α ημ Α) γ βγσυνα β γ βγσυνα. 111 / 118

Σχόλιο. Είναι φανερό ότι με το νόμο των συνημίτονων μορούμε αμέσως να υολογίσουμε μια οοιαδήοτε λευρά ενός τριγώνου, αρκεί να δοθούν οι άλλες δύο και η εριεχόμενη τους γωνία. Με τον ίδιο νόμο μορούμε ειλέον να υολογίσουμε και τις γωνίες ενός τριγώνου, του οοίου είναι γνωστές και οι τρεις λευρές, αφού οι αραάνω ισότητες γράφονται: β γ α συνα, βγ γ α β συνβ, γα συνγ α β γ αβ 11 / 118

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1o Να ειλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με α = 35, β = 0 και γ = 4 ΛΥΣΗ Αό το νόμο των συνημιτόνων έχουμε: 35 0 4 0 4συνΑ, οότε 0 4 35 συνα 0,5589 0 4 Άρα Α 56 0 35 4 35 4συνΒ, οότε 35 4 0 συνβ 0,8806 35 4 Άρα Β 8 113 / 119

Άρα Γ 96 ο Να ειλυθεί το τρίγωνο ΑΒΓ με β= 0, γ = 4 και Α = 56 ΛΥΣΗ Αό το νόμο των συνημιτόνων έχουμε α 0 4 0 4συν56 15, οότε α 35. Έτσι γνωρίζουμε και τις τρεις λευρές του τριγώνου, οότε αναγόμαστε στο ροηγούμενο ρόβλημα. 114 / 119

3ο Να αοδειχθεί ότι το εμβαδό Ε ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται αό τον 1 τύο: Ε βγημα ΑΠΟΔΕΙΞΗ 115 / 119

Αν φέρουμε το ύψος ΓΚ του τριγώνου, έχουμε: 1 1 Ε (ΑΒ) (ΓΚ) (ΑΒ) (ΑΓ) ημα 1 γ β ημα (ΓΚ) γιατί ημα (ΑΓ) Ο αραάνω τύος ισχύει ροφανώς και στην ερίτωση ου Α = 90. 4ο Σε ένα υλικό σημείο Ο εφαρμόζονται δυο δυνάμεις ου έχουν μέτρα F1 και F αντίστοιχα και σχηματίζουν γωνία ω. Να αοδειχθεί ότι το μέτρο F της συνισταμένης τους δίνεται αό τον τύο: 116 / 119

1 F F F F F συνω 1 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Εειδή (ΟΑ) F 1, F και (ΟΓ) F, στο τρίγωνο ΟΑΓ έχουμε: F (ΟΓ) (ΟΑ) (ΑΓ) (ΟΑ)(ΑΓ)συνΑ 1 1 F F F F συν(180 ω) 1 F F F F συνω 1 117 / 119-10

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. Δυο ύργοι Α και Β βρίσκονται εκατέρωθεν ενός οταμού. Ένας αρατηρητής Π βρίσκεται ρος το ίδιο μέρος του οταμού με τον ύργο Α. Αν στο τρίγωνο ΠΑΒ είναι ΠΑ = 300m, Α = 63 και Π = 56, να βρείτε την αόσταση των ύργων Α και Β. 118 / 10

. Ένας συλλέκτης ηλιακής ακτινοβολίας μήκους 5 m είναι τοοθετημένος στην οροφή ενός κτιρίου, όως δείχνει το διλανό σχήμα. Να υολογίσετε το μήκος του βραχίονα με τον οοίο στηρίζεται ο συλλέκτης. 3. Στο αρακάτω σχήμα να αοδείξετε ότι: dημx i) ΓΔ, ημ(y x) 119 / 10

ii) ΑΓ dημx ημy ημ(y x) 4. Να αοδείξετε ότι δεν υάρχει τρίγωνο ΑΒΓ με α=30, β=10 και Β 31. 5. Να υολογίσετε τη γωνία θ του αρακάτω σχήματος. 10 / 10

6. Να υολογίσετε το μήκος του έλους του αρακάτω σχήματος. 11 / 10-11

7. Να υολογίσετε τη γωνία θ του ορθογωνίου κουτιού του αρακάτω σχήματος: 8. Να αοδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα συνα συνβ συνγ α β γ α β γ αβγ 9. Να αοδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα: βσυνγ γσυνβ α 1 / 11

10. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα βσυνγ = γσυνβ, να αοδείξετε ότι β=γ και αντιστρόφως. 11. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα α = βσυνγ, να αοδείξετε ότι β = γ και αντιστρόφως. Β ΟΜΑΔΑΣ * 1. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα Β = Α, να αοδείξετε ότι: β i) συνα α ii) β α αγ. Στο αρακάτω σχήμα να αοδείξετε ότι: ΓΔ α(συνx ημx) 13 / 11

3. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει μια αό τις ισότητες: i) β αημβ, ii) αημα βημβ γημγ, να αοδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. 4. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα ασυνα = βσυνβ, να αοδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές. 5. Να αοδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισότητα: 14 / 11-1

α β Α Β Γ εφ εφ α β 6. Στο αρακάτω σχήμα να αοδείξετε ότι: 5 3συνθ (ΒΓ) 7. Να αοδείξετε ότι για το αρακάτω αραλληλόγραμμο ισχύουν οι ισότητες: i) x y α β ii) (ΑΒΓΔ) αβημω 15 / 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (Γ' ΟΜΑΔΑΣ) 1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ το ύψος του ΑΔ είναι ίσο με το μισό της λευράς ΒΓ. Να αοδείξετε ότι ισχύει εφβ εφγ εφβεφγ και σφβ σφγ.. Αν για τις γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει εφβ ημ Β, να εφγ ημγ αοδείξετε ότι το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές. 16 / 1

3. Να αοδείξετε ότι τα σημεία Μ (x.y) του ειέδου με x 1 συνt, y = 3 + ημt, βρίσκονται σε κύκλο κέντρου Κ(1,3) και ακτίνας ρ =. 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 1 ημx συνx 4 συνx 1 ημx ii) συνx σφx 3 1 ημx 5. i) Αν 0 x εφx σφx ii) Αν ότι εφα 0 α β ημα συνα να αοδείξετε ότι να αοδείξετε ημβ εφβ συνβ 17 / 1

6. Να λύσετε την εξίσωση συν x 1 στο διάστημα 3 (4, 5). 7. Σε ένα λούνα-αρκ ο εριστρεφόμενος τροχός έχει ακτίνα 4m, το κέντρο του αέχει αό το έδαφος 10m και όταν αρχίζει να κινείται εκτελεί μια λήρη εριστροφή σε 8 δευτερόλετα με σταθερή ταχύτητα. Να βρείτε το ύψος του βαγονιού Α αό το έδαφος ύστερα αό χρόνο 1sec, sec, 5sec και γενικότερα ύστερα αό χρόνο t sec. Να λύσετε το ίδιο ρόβλημα για το βαγόνι Β. 18 / 1-13

8. Να αοδείξετε ότι i)σφx εφx σφx ii)σφx εφx 4εφx 8εφx εφx 9. Με τη βοήθεια του τύου ημ3α 3ημα 4ημ 3 α, να λύσετε τις εξισώσεις: 3 i)8x 6x 0 3 ii)8x 6x 1 0 19 / 13

10. Να αοδείξετε ότι το σύνολο των σημείων M(x,y), με x=συνθ και y=συνθ+1, όου θ [0,] είναι το τόξο της αραβολής y x με x [ 1,1] 11. Με τη βοήθεια των τύων εφα ημα 1 εφ και α 1 εφ α συνα 1 εφα να αοδείξετε ότι η συνάρτηση 1 ημx f(x) 5 4συνx x (,) αίρνει τιμές στο 10 διάστημα [0, ). 9 130 / 13

1. Nα λύσετε την εξίσωση: ημx ημx συνx 1 συν x 4 13. Ένα γκαράζ σχήματος ορθογωνίου έχει σχεδιασθεί, έτσι ώστε να αοτελείται (αό ένα τετράγωνο ΑΒΓΑ και ένα ορθογώνιο ΟΑΔΕ με ΟΔ = 0m, όως εριγράφει το διλανό σχήμα. Για οια τιμή της γωνίας 0 rad το εμβαδό S m του γκαράζ γίνεται μέγιστο; 131 / 13

Υόδειξη i) Να δείξετε ότι S 400συν θ 400ημθσυνθ ii) Να εκφράσετε το S στην μορφή S ρημ(0 φ) c 13 / 13

iii) Να βρείτε την τιμή του θ, για την οοία το S αίρνει τη μέγιστη τιμή, την οοία και να ροσδιορίσετε. 14. Δίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσος του ΑΜ. Αν MAB ˆ x, MAΓ ˆ y και AΜΓ ˆ ω, να αοδείξετε ότι: σφω σφx σφy 15. Να υολογίσετε τις γωνίες Β και Γ του διλανού 133 / 14

σχήματος, αν ισχύει ΔΓ 3. ΔΒ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ενώ είναι κοινώς αραδεκτό ότι η γεωμετρία είναι δημιούργημα της κλασικής εριόδου της αρχαίας Ελλάδας, εντούτοις δεν είναι εξίσου γνωστό ότι η τριγωνομετρία είναι δημιούργημα της ελληνιστικής εριόδου με ρωταγωνιστές τον 'Ιαρχο, τον Μενέλαο και τον Πτολεμαίο. 134 / 14-15

Η τριγωνομετρία ξεήδησε στην ροσάθεια να θεμελιωθεί μια οσοτική αστρονομία η οοία θα μορούσε να χρησιμοοιηθεί για να ροβλεφθούν οι θέσεις των ουρανίων σωμάτων, ο υολογισμός του ημερολογίου και να εφαρμοσθεί στη ναυσιλοΐα και στη γεωγραφία. Θεμελιωτής της αστρονομίας υήρξε ο Ίαρχος ου έζησε στη Ρόδο και στην Αλεξάνδρεια και έθανε γύρω στο 15.Χ. Για την ροσωική του ζωή ξέρουμε ολύ λίγα και τα ερισσότερα ου ξέρουμε γι' αυτόν ροέρχονται αό τα βιβλία του Πτολεμαίου. Ο Ίαρχος συνέβαλε αοφασιστικά στη διαμόρφωση της θεωρίας των εικύκλων, και ήταν σε θέση να υολογίσει εκλείψεις της σελήνης με 135 / 15

ακρίβεια μιας έως δύο ωρών. Διέθετε είσης και μια θεωρία για μια ικανοοιητική εξήγηση του φαινομένου των εοχών. Η σημαντικότερη ανακάλυψη του ήταν ότι τα σημεία ου ο άξονας εριστροφής της γης τέμνει την ουράνια σφαίρα μετακινούνται και διαγράφουν κύκλο με ερίοδο 600 χρόνια. Το μεγαλύτερο μέρος της τριγωνομετρίας του Ιάρχου αναφέρεται σε αυτό ου σήμερα ονομάζουμε σφαιρική τριγωνομετρία. Και αυτό είναι μοιραίο, αφού τον ενδιέφεραν κυρίως τρίγωνα ου σχηματίζονται άνω στον ουράνιο θόλο. Όμως ανέτυξε και βασικά σημεία της ειέδου τριγωνομετρίας. Το έργο του Ίαρχου συνέχισε ο Μενέλαος ου έζησε γύρω στο 98 136 / 15

μ.χ. και του οοίου το βασικό έργο είναι τα «σφαιρικά». Η ανάτυξη της ελληνικής τριγωνομετρίας και των εφαρμογών της στην αστρονομία ολοκληρώνεται με το έργο του Πτολεμαίου ου έζησε στην Αλεξάνδρεια γύρω στο 168 μ.χ. και του οοίου το κύριο σύγγραμμα είναι η Αλμαγέστη (αραβική αραφθορά της λέξης «Μεγίστη»). Το βιβλίο Α της Αλμαγέστης εριέχει όλα τα αναγκαία θεωρήματα για την κατασκευή ενός ίνακα ημιτόνων και συνημιτόνων. Το Βασικό θεώρημα για την κατασκευή αυτού του ίνακα είναι το εξής: 137 / 15-16

«Έστω ΑΒΓΔ είναι κυρτό τετράλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Τότε ισχύει: ΑΒ ΓΔ ΑΔ ΒΓ ΑΓ ΒΔ». Στο θεώρημα αυτό στηρίχτηκε και ο Πτολεμαίος για να βρει διάφορους τριγωνομετρικούς τύους μεταξύ των οοίων και αυτού ου σήμερα εκφράζουμε ως ημ(α β) ημα συνβ συνα ημβ Η Αλμαγέστη έκανε για την τριγωνομετρία ότι έκαναν τα «Στοιχεία του Ευκλείδη» για τη Γεωμετρία: Την διετύωσαν στη μορφή ου αρέμεινε για τα εόμενα 1000 χρόνια. Μετά το 00 μ.χ. με την τριγωνομετρία ασχολήθηκαν και οι 138 / 16

Ινδοί με κίνητρο είσης την αντιμετώιση αστρονομικών ροβλημάτων. Δεν είχαν σημαντική συνεισφορά και αξίζει να σημειωθεί ότι για διάφορους τριγωνομετρικούς και αστρονομικούς όρους όως κέντρο, λετό κτλ., χρησιμοοιούσαν τις ελληνικές λέξεις. Κατά τα χρόνια του Μεσαίωνα με την τριγωνομετρία ασχολούνται και οι Άραβες, χωρίς να συνεισφέρουν σε αυτήν κάτι σημαντικό δικό τους. Συνέβαλαν όμως στο να μεταδώσουν την Ελληνική τριγωνομετρία στην Ευρώη. 139 / 16

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3ου ΤΟΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 3.6 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσματος Γωνιών....5 3.7 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί της Γωνίας α...34 3.8 Μετασχηματισμοί Τριγωνομετρικών Παραστάσεων 54 3.9 Η Συνάρτηση f(x)=αημχ+βσυνχ...71 3.10 Είλυση Τριγώνου....97 140

Βάσει του ν. 3966/011 τα διδακτικά βιβλία του Δημοτικού, του Γυμνασίου, του Λυκείου, των ΕΠΑ.Λ. και των ΕΠΑ.Σ. τυώνονται αό το ΙΤΥΕ - ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ και διανέμονται δωρεάν στα Δημόσια Σχολεία. Τα βιβλία μορεί να διατίθενται ρος ώληση, όταν φέρουν στη δεξιά κάτω γωνία του εμροσθόφυλλου ένδειξη «Διατί θεται με τι μή ώλησης». Κάθε αντίτυο ου διατίθεται ρος ώληση και δεν φέρει την αραάνω ένδειξη θεωρείται κλεψίτυο και ο αραβάτης διώκεται σύμφωνα με τις διατάξεις του άρθρου 7 του Νόμου 119 της 15/1 Μαρτίου 1946 (ΦΕΚ 1946, 108, Α ).

Ααγορεύεται η ανααραγωγή οοιουδήοτε τμήματος αυτού του βιβλίου, ου καλύτεται αό δικαιώματα (copyright), ή η χρήση του σε οοιαδήοτε μορφή, χωρίς τη γρατή άδεια του Υουργείου Παιδείας, Διά Βίου Μάθησης και Θρησκευμάτων/ ΙΤΥΕ -ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ.