ΑΚΡΙΒΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ. u,υ / A ονομάζεται ακριβές διαφορικό όταν υπάρχει. df u x,y dx υ x,y dy. f u και. f y. 3 f. και

Σχετικά έγγραφα
Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Διαφορικές Εξισώσεις.

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες ( ) Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ 1. x x. x x x ( ) + ( 20) + ( + 4) = ( + ) + ( 10 + ) + ( )

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

Διαφορικές εξισώσεις 302.

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ TAYLOR. ,. Το πολυώνυμο αυτό ονομάζεται πολυώνυμο του Taylor και έχει τύπο ( n) Αποδεικνύεται ότι υπάρχει μοναδικό πολυώνυμο p n. 1! 2! n!

Διαφορικές Εξισώσεις.

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

(β) Από την έκφραση (22) και την απαίτηση (20) βλέπουμε ότι η συνάρτηση Green υπάρχει αρκεί η ομογενής εξίσωση. ( L z) ( x) 0

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

a n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital:

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

a (x)y a (x)y a (x)y' a (x)y 0

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006

1 3 (a2 ρ 2 ) 3/2 ] b V = [(a 2 b 2 ) 3/2 a 3 ] 3 (1) V total = 2V V total = 4π 3 (2)

Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Υποδείξεις - Συχνά Λάθη

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 3 Ιανουαρίου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

G L (x) =Ax + B, G R (x) =A x + B οπότε από τις συνοριακές συνθήκες έχουμε

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

f ( x) f ( x ) για κάθε x A

APEIROSTIKOS LOGISMOS I

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÁ ÓÕÍÏËÏ ËÁÌÉÁ. ( i) ( ) ( ) ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Γ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ.

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

α. y = y x 2 β. x + 5x = e x γ. xy (xy + y) = 2y 2 δ. y (4) + xy + e x = 0 η. x 2 (y ) 4 + xy + y 5 = 0 θ. y + ln y + x 2 y 3 = 0 d 3 y dy + 5y

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

κι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει

iii) x + ye 2xy 2xy dy

x y και να γίνει επαλήθευση. Βρείτε τη µερική λύση που για x=1 έχει κλίση 45 ο. Α τρόπος Η Ε γράφεται (1)

ΜΕΡΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 3 Ασκήσεις. Μιχάλης Μαριάς Τμήμα Α.Π.Θ.

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Φυλλάδιο 2

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

F 5 = (F n, F n+1 ) = 1.

10 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ds ds ds = τ b k t (3)

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

Διαφοριϰές Εξισώσεις (ΜΕΜ 271) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΤΗΣ 2/11/2018

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Άσκηση 3. Να λυθεί η εξίσωση: 2(x 1) x 2. 4 x (1). Λύση. Έχουμε, για κάθε x D : x 5 12x. 2x 1 6 (1) x 4. . Συνεπώς: D.

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι

Α ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ. Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαφορικές Εξισώσεις.

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ένα σημαντικό πρόβλημα της Ανάλυσης

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

κυρτές συναρτήσεις. Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή. . Θα δείξουμε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα.

Γραμμική Διαφορική Εξίσωση 2 ου βαθμού

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

3 + O. 1 + r r 0. 0r 3 cos 2 θ 1. r r0 M 0 R 4

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και

AkoloujÐec sunart sewn A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

- + Απαντήσεις. Θέμα Β Β1. Από την Cf παρατηρούμε ότι 0. f x για κάθε (0,4) συνεπώς η f είναι γνήσια αύξουσα στο [4, 5] και γνήσια φθίνουσα στο [0,4].

τηλ ,

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου].

ΜΑΣ 203: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 2017 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

Μονοτονία - Ακρότατα Αντίστροφη Συνάρτηση

Transcript:

Το άθροισμα u,d διαφορίσιμη συνάρτηση f / A Παράδειγμα υ, d, με με Το άθροισμα ΑΚΡΙΒΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ u,υ / A ονομάζεται ακριβές διαφορικό όταν υπάρχει df u,d υ,d f u f υ 6 d 9 d είναι ακριβές διαφορικό, διότι αν f, / τότε ισχύει ότι f f 6 9 Στην επόμενη πρόταση δίδεται μια ικανή αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα άθροισμα ακριβές Πρόταση 1 Για δύο συναρτήσεις είναι ακριβές αν μόνο αν Εφαρμογή Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα u,υ / A με συνεχείς μερικές παραγώγους u υ u, d υ, d sin d cos d είναι ακριβές, να ευρεθεί μια διαφορίσιμη συνάρτηση f/ με df sin d cos d u υ, το άθροισμα Λύση Αν τεθούν τότε ισχύει με u υ cos u, sin υ, cos οπότε, σύμφωνα με την πρόταση 1, θα υπάρχει μια διαφορίσιμη συνάρτηση f f sin f cos () Επομένως, ολοκληρώνοντας τα δύο μέλη της σχέσης ως προς προκύπτει ότι

όπου c f, sin c () είναι η σταθερά της ολοκλήρωσης, η οποία θα είναι μια συνάρτηση του Στη συνέχεια, παραγωγίζοντας τα δύο μέλη της σχέσης () ως προς προκύπτει ότι f cos c () οπότε από τις σχέσεις () () θα είναι c Άρα κάθε συνάρτηση f της μορφής όπου κ, είναι λύση του προβλήματος τελικά f, sin κ c κ, όπου κ Ακριβής διαφορική εξίσωση Κάθε διαφορική εξίσωση της μορφής u,d υ,d 0 της οποίας το πρώτο μέλος είναι ένα ακριβές διαφορικό ονομάζεται ακριβής ή πλήρης Για να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης, αρκεί να βρεθεί μια διαφορίσιμη συνάρτηση f με df u,d υ,d Τότε η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα df 0 f, c η λύση της δίνεται στην παραπάνω πεπλεγμένη μορφή f, Παράδειγμα Για τη διαφορική εξίσωση έχουμε c sin d cos d 0 f, sin df sin d cos d Συνεπώς, η αρχική διαφορική εξίσωση δίνει για την οποία ισχύει ισοδύναμα, όπου c df 0 sin c Διαφορικές εξισώσεις που ανάγονται σε ακριβείς Υπάρχουν περιπτώσεις διαφορικών εξισώσεων της μορφής u,d υ,d 0 οι οποίες αν δεν είναι ακριβείς, ανάγονται σε ακριβείς διαφορικές εξισώσεις Συγκεκριμένα, επιλέγεται κατάλληλη θετική συνάρτηση I,, η οποία ονομάζεται ολοκληρωτικός παράγοντας, ώστε η ισοδύναμη εξίσωση

να είναι ακριβής I,u,d I,υ,d 0 Λυμένες ασκήσεις Άσκηση 1 Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα e e d e e d είναι ακριβές διαφορικό, στη συνέχεια να βρεθεί μια διαφορίσιμη συνάρτηση που το διαφορικό της να είναι ίσο με το δοσμένο άθροισμα Λύση Αν τεθεί, u, e e υ, e e τότε θα είναι u e e υ e e, u υ οπότε, σύμφωνα με την πρόταση 1, έπεται ότι θα υπάρχει διαφορίσιμη συνάρτηση f/ για την οποία ισχύει df u,d υ,d f e e f e e Ολοκληρώνοντας τη σχέση ως προς, προκύπτει ότι f, e e c () c είναι η σταθερά ολοκλήρωσης όπου Από τη σχέση () προκύπτει ότι f e e c () e e c () c 0, οπότε c Από τις σχέσεις () () έπεται ότι k, με k Άρα, από τη σχέση (), προκύπτει ότι το διαφορικό κάθε συνάρτησης της μορφής f, e e, k είναι ίσο με το δοσμένο άθροισμα

Άσκηση Να αποδειχθεί ότι η διαφορική εξίσωση cos sin d cos sin d 0 είναι ακριβής, να βρεθεί η γενική λύση της Λύση Αν τεθούν u, cos sin υ, cos sin τότε θα είναι u υ sin sin, οπότε η δοσμένη διαφορική εξίσωση είναι ακριβής Έτσι, θα υπάρχει μια διαφορισίμη συνάρτηση για την οποία ισχύει η σχέση f/ df cos sin d cos sin d f cos sin () f cos sin () Ολοκληρώνοντας τα δύο μέλη της σχέσης () ως προς, προκύπτει ότι f, cos cos c () όπου c είναι η σταθερά ολοκλήρωσης Από τη σχέση () προκύπτει ότι f sin cos c Από τις σχέσεις () (5) προκύπτει ότι Έτσι, κάθε συνάρτηση της μορφής (5) c 0 επομένως, η συνάρτηση f, cos cos k όπου k είναι μια πραγματική σταθερά, ικανοποιεί την εξίσωση c είναι σταθερή Τότε όμως, η δοσμένη διαφορική εξίσωση γίνεται df 0 f : σταθερή συνάρτηση Έτσι, η γενική λύση της δοσμένης διαφορικής εξίσωσης δίνεται σε πεπλεγμένη μορφή από την εξίσωση cos cos c όπου c Άσκηση Να λυθεί η διαφορική εξίσωση όταν 0 1 1 d d 0

Λύση Αν τεθούν u, υ, θα είναι u 6 υ, οπότε η δοσμένη διαφορική εξίσωση θα είναι ακριβής Έτσι, θα υπάρχει μια διαφορίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι df d d f () f () Ολοκληρώνοντας τα δύο μέλη της σχέσης () ως προς, προκύπτει f, c () όπου c είναι η σταθερά ολοκλήρωσης Από τη σχέση () προκύπτει ότι f c (5) Από τις σχέσεις () (5) προκύπτει ότι 1 1 c επομένως, c k, όπου k Έτσι, κάθε συνάρτηση της μορφής 1 f, k ικανοποιεί την εξίσωση Επομένως, η δοσμένη διαφορική εξίσωση γίνεται 1 df 0 d 0 1 c (6) f/

όπου c Επιπλέον, επειδή 1 όταν 1, προκύπτει ότι c 0 οπότε η σχέση (6) δίνει Τέλος, επειδή 0, προκύπτει ότι η ζητούμενη λύση είναι η συνάρτηση Άσκηση Δίνεται η διαφορική εξίσωση d 1 d 0 α) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση αυτή δεν είναι ακριβής β) Να αναχθεί η δοσμένη διαφορική εξίσωση σε ακριβή, με τη βοήθεια του ολοκληρωτικού παράγοντα I, γ) Να βρεθεί η γενική λύση της δοσμένης διαφορικής εξίσωσης Λύση α) Επειδή 9 1, προκύπτει ότι η δοσμένη διαφορική εξίσωση δεν είναι ακριβής β) Αν υποτεθεί ότι 0, πολλαπλασιάσουμε τα δύο μέλη της δοσμένης διαφορικής εξίσωσης με, προκύπτει η διαφορική εξίσωση d d 0 Αν τεθεί u, υ, τότε θα είναι u υ επομένως, η διαφορική εξίσωση είναι ακριβής γ) Επειδή η διαφορική εξίσωση είναι ακριβής, θα υπάρχει μια διαφορίσιμη συνάρτηση f/ για την οποία ισχύουν f f Ολοκληρώνοντας ως προς τα δύο μέλη της πρώτης από τις παραπάνω σχέσεις, προκύπτει ότι f, c όπου c είναι η σταθερά ολοκλήρωσης Τότε, θα είναι επομένως, για κάποιο k f c 1 c c k

1 Άρα f, k, η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης δίνεται σε πεπλεγμένη μορφή από τη σχέση 1 c όπου c Τέλος, η γενική λύση της δοσμένης διαφορικής εξίσωσης αποτελείται από την παραπάνω γενική λύση της, καθώς από τη λύση 0, που εξαιρέθηκε λόγω του περιορισμού 0 στο β)