Capitolul 3 NELINIARITĂŢI ALE COMPORTAMENTULUI MATERIALELOR - III-

Σχετικά έγγραφα
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Curs 4 Serii de numere reale

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice


5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

Integrala nedefinită (primitive)

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 1 Şiruri de numere reale

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

MARCAREA REZISTOARELOR

Subiecte Clasa a VIII-a

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Capitolul 14. Asamblari prin pene

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1


Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

TENSIUNI. DEFORMAŢII.

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

riptografie şi Securitate

Algebra si Geometrie Seminar 9

4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice

FENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Subiecte Clasa a VII-a

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SOLICITAREA DE TRACŢIUNE COMPRESIUNE

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

Curs 2 Şiruri de numere reale

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

V O. = v I v stabilizator

Circuite electrice in regim permanent

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere

REDRESOARE MONOFAZATE CU FILTRU CAPACITIV

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

Separarea tensiunilor principale la prelucrarea rezultatelor obţinute prin fotoelasticimetrie

8 Intervale de încredere

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Stabilizator cu diodă Zener

Lucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria:

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

CIRCUITE LOGICE CU TB

Dreapta in plan. = y y 0

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

z a + c 0 + c 1 (z a)

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)

Electronică anul II PROBLEME

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...

Transcript:

Capitolul 3 NELINIARITĂŢI ALE COMPORTAMENTULUI MATERIALELOR - III- 3.4. Criterii de plasticitate Criteriile de plasticitate au apărut din necesitatea de a stabili care sunt factorii de care depinde trecerea materialului în starea plastică. Cu alte cuvinte, ce condiţii trebuie să fie satisfăcute pentru ca deformaţiile produse într-un element al unei structuri să se menţină şi după înlăturarea încărcării. Criteriul de plasticitate reprezintă o condiţie care indică la ce nivel al tensiunii se iniţiază deformaţii plastice. În cazul unei solicitări monoaxiale, ce poate fi studiată prin teste de tipul celor descrise în 3.3.3, iniţierea deformaţiilor plastice are loc în punctul A din Fig. 3.5,a, având coordonatele ε c ; σ c. În cazul unei solicitări complexe, triaxiale, criteriul de plasticitate defineşte o suprafaţă limită a plasticităţii, reprezentând o generalizare a punctului de iniţiere a curgerii din solicitarea uniaxială în cazul spaţiului tridimensional al tensiunilor. În cazul unui corp aflat într-o stare spaţială de tensiune se acceptă că există o funcţie F σ ij, k, depinzând de componentele tensorului tensiunilor şi de un parametru de material k, astfel încât comportamentul materialului să fie elastic dacă F σ ij, k < 0 şi plastic dacă F σ ij, k = 0. În forma generală, un criteriu de plasticitate de curgere se poate scrie astfel: F σ ij, k = f σ ij k = 0, 3.34 unde f σ ij este o funcţie numai de tensiuni, numită funcţie de curgere de plasticitate. Parametrul de material k se poate obţine pe bază de studii experimentale. Există mai multe criterii de plasticitate, asociate cu teoriile de rezistenţă, care descriu condiţiile de producere a curgerii în cazul metalelor şi al materialelor ductile. Cele mai cunoscute sunt următoarele: Criteriul Rankine, al tensiunii normale maxime; Criteriul Tresca, al tensiunii tangenţiale maxime; Criteriul von Mises, al energiei de distorsiune maxime; Criteriile Mohr-Coulomb, Drucker-Prager, având la bază teoria dislocaţiilor. În continuare vor fi prezentate cele două criterii mai des utilizate în activitatea inginerească, în special pentru piese din materiale metalice.

a Criteriul Tresca Acest criteriu a fost enunţat de Saint-Vénant şi se bazează pe experienţele lui H.Tresca, cu privire la scurgerea metalelor prin orificii. Se enunţă astfel: Pentru o stare spaţială de tensiune curgerea se produce atunci când tensiunea tangenţială maximă din orice punct al materialului depăşeşte valoarea tensiunii tangenţiale corespunzătoare curgerii în cazul solicitării la tracţiune monoaxială. Planele pe care tensiunile tangenţiale au valori maxime se numesc plane de lunecare. Există două astfel de plane, care trec printr-una din direcţiile principale şi împart în două părţi egale unghiurile diedre respective ale triedrului 3, aşa cum s-a arătat în 3.3.. Cum tensiunea tangenţială maximă este valoarea absolută a uneia dintre cele trei tensiuni tangenţiale principale: τ = σ σ3 ; τ = σ 3 σ ; τ3 = σ σ, 3.35 condiţia de plasticitate enunţată mai sus se poate exprima astfel: sau τ τ c test uniaxial ; τ τ c test uniaxial ; sau τ3 τc test uniaxial. În cazul unui test uniaxial, σ = σ c ; σ corespunzătoare începerii curgerii este τ max = τ c 3.36 test uniaxial = = σ 3 = 0 şi deci tensiunea tangenţială σ = σ c. 3.37 Având in vedere relaţiile de mai sus, criteriul de plasticitate Tresca poate fi exprimat matematic sub forma: σ σ σ c; sau σ σ 3 σ c ; 3.38 sau σ 3 σ σ c. În cazul unei stări plane de tensiune unde σ 3 = 0 criteriul de plasticitate Tresca capătă forma: σ σ sau σ σ c; σ c; 3.39 sau σ σ c. Reprezentarea grafică a relaţiei 3.39 este dată în figura 3.9.

Dacă o stare plană de tensiune se află în interiorul hexagonului haşurat, se produc numai deformaţii elastice. Curgerea începe când starea de tensiune se află pe conturul hexagonului. OBSERVAŢIE: În cazul unei stări spaţiale de tensiune, criteriul de plasticitate Tresca poate fi reprezentat sub forma unei prisme cu şase feţe, prezentată în figura 3.0. Analog cu figura 3.9, toate punctele de pe această suprafaţă reprezintă stări limită de tensiune plastică iar cele din interior corespund stărilor elastice. Fig.3.9 Fig.3.0 b Criteriul von Mises Acest criteriu are la bază consideraţii energetice. Energia specifică de deformaţie se poate descompune în două părţi, una asociată variaţiei volumului corpului efect al tensorului sferic, având componentele σ = σ = σ 3 = σ m şi alta asociată schimbării formei corpului efect al tensorului deviator care are drept componente tensiunile normale principale reduse si - relaţia 3.8. Experimental s-a dovedit că deformaţiile plastice sunt determinate de tensorul deviator. Criteriul de plasticitate von Mises se poate enunţa astfel: În cazul unei stări spaţiale de tensiune curgerea se produce atunci când energia specifică de schimbare a formei corpului energia specifică de distorsiune depăşeşte valoarea energiei specifice de distorsiune corespunzătoare curgerii la solicitarea la tracţiune monoaxială. În concordanţă cu această condiţie de plasticitate, curgerea începe când: U f stare spatiala = U f test uniaxial 3.40 3

Energia specifică de schimbare a formei unui corp dintr-un material izotrop caracterizat de constantele elastice E şi ν, aflat într-o stare spaţială de solicitare, are forma: U f = [ + ν σ σ 6E + σ ] σ 3 + σ 3 σ. În cazul unui test uni-axial tracţiune mono-axială σ = σ c ; σ energia specifică de schimbare a formei corpului este U f test uniaxial = 6+Eν σ = + ν σ c. 6E 3.4 = σ 3 = 0, iar 3.4 Ţinând seamă de relaţiile 3.40 3.4, rezultă expresia matematică a criteriului de plasticitate von Mises: [σ ] σ + σ σ 3 + σ 3 σ = σ c. 3.43 Comparând 3.43 cu 3.34, rezultă că în cazul criteriului de plasticitate von Mises funcţia de plasticitate este f σ ij = σ σ + σ σ 3 + σ 3 σ, 3.44 iar parametrul de material este k= σ c. 3.45 Ţinând seamă de 3., criteriul de plasticitate von Mises se poate exprima în funcţie de intensitatea tensiunilor tangenţiale S astfel: 3 S = σ c, 3.46 adică S= k 6 = cons tan t. 3.47 În concluzie, criteriul de plasticitate von Mises este echivalent cu condiţia de constanţă a intensităţii tensiunilor tangenţiale τ + τ + τ 3 = const.. În cazul stărilor plane de tensiune σ 3 = 0, condiţia de plasticitate se scrie sub forma 3.48 σ σ σ + σ = σ c, care este ecuaţia unei elipse având forma din figura 3.. 4

Cele opt puncte marcate pe elipsă s-au obţinut astfel: Test uniaxial: σ = 0; σ = ± σ c ; σ = 0; σ = ± σ c. Tracţiune bi-axială: σ = σ ; σ = σ = ± σ c. Torsiune forfecare pură: σ = σ ; σ = ± 3 ± 0,577 σ c. În figura 3. se prezintă interpretarea geometrică, în spaţiul tensiunilor principale, a suprafeţei limită de plasticitate pentru o stare spaţială de tensiune. Punctele din interiorul elipsei în cazul stării plane de tensiune, respectiv cele din interiorul cilindrului în cazul stării spaţiale reprezintă deformaţii elastice. Fig.3. Fig.3. Pentru a face o comparaţie între cele două criterii, în figura 3.3,a se prezintă, pe aceeaşi figură, interpretările geometrice ale acestora pentru stări plane de tensiune. Se poate constata că diferenţa este foarte mică. De exemplu, în cazul stării de forfecare pură, criteriul von Mises dă o valoare a tensiunii de forfecare corespunzătoare curgerii cu aprox.5% mai mare decât valoarea determinată cu criteriul Tresca. În figura 3.3,b s-au reprezentat, pe aceeaşi figură, în spaţiul tridimensional al tensiunilor principale, suprafeţele limită corespunzătoare celor două criterii. Axa OP, egal înclinată faţă de direcţiile principale, este normală la planul octaedric numit şi planul π, de ecuaţie σ + σ + σ 3 = 0 şi are cosinusurile directoare / 3 ; / 3 ; / 3. Starea de tensiune dintr-un punct al corpului poate fi descrisă de un vector OA punctul A se află pe suprafaţa limită, ce poate fi descompus în două componente: OH, în lungul axei OP, reprezentând componenta hidrostatică σ = σ = σ 3 = σ m şi componenta OD, perpendiculară pe direcţia OP, aflată în planul π, reprezentând componenta tensorului deviator cu componentele s, s, s3. Curbele L, care reprezintă intersecţia suprafeţelor limită cu planul π, se numesc curbe de curgere. 5

a b Fig.3.3 Teste la tracţiune bi-axială au demonstrat o mai bună concordanţă cu rezultatele experimentale a criteriului von Mises decât a criteriului Tresca, mai ales în cazul materialelor metalice. 6