ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x 2 + y 2 = 8 που διέρχεται από το σημείο Α( 2, 2)..(Αφού πρώτα υπολογίσετε την θέση του Α ως προς τον κύκλο) 3. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x 2 + y 2 = 4 που διέρχεται από το σημείο Α( 2, 2) (Αφού πρώτα υπολογίσετε την θέση του Α ως προς τον κύκλο) 4. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x 2 + y 2 =20 που είναι παράλληλη στην 4 x +2 y +5 =0 5. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου x 2 +y 2 =25 που διέρχονται από τα σημεία ι) Α ( 3,4) και Β( 4,5) (Αφού πρώτα υπολογίσετε τις θέσεις του Α και Β ως προς τον κύκλο) 6. Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση χ 2 +ψ 2 =5. Να δειχθεί ότι οι εφαπτόμενες προς τον κύκλο αυτόν από το Α(-1,3) είναι κάθετες. 7. Από το σημείο Ρ(4,2) φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΡΑ, ΡΒ προς τον κύκλο C : χ 2 +ψ 2 =10. Να βρεθεί η γωνία (ΡΑ,ΡΒ).(Αφού πρώτα υπολογίσετε την απόσταση (ΡΟ)) 8. Δίνεται η εξίσωση (2x 1) 2 + 2y(2y+1) = 0 (1) Να δειχτεί ότι η (1) παριστάνει κύκλο (C). Να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του 9. Δίνεται η εξίσωση x 2 + y 2 4x + 3 = 0 (1) Α. Να δειχτεί ότι η (1) παριστάνει κύκλο (C). Να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του. Β. Να βρεθεί το λ ώστε η ευθεία (ε) 3x 4y + λ = 0 να είναι εφαπτομένη του κύκλου (C). 10. Δίνεται η εξίσωση x 2 +y 2 4y 5=0 Α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου να βρεθεί το κέντρο Κ και η ακτίνα Β. Να βρεθούν τα σημεία τομής του κύκλου με την ευθεία ε : y = x 11.Δίνεται η εξίσωση x 2 +y 2 4λx+2λ y 5=0, λ R (1) Να δειχτεί ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ R Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την (1) διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Να βρείτε την κοινή χορδή όλων των κύκλων που ορίζονται από την (1) 12.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που τα σημεία Α(5,1) και Β( 3, 5) είναι άκρα μιας διαμέτρου του 13.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το Κ(4,3) και εφάπτεται της χ+2ψ-3=0. 14. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(0,2), Β(1,1) και Γ(2. 2) 15. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του πάνω στην ευθεία χ-ψ+2=0, περνά από τα σημεία Α(3,0) και Β( 1,2)
16. Να βρεθεί η εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με κορυφές τα Α(3,0), Β(1,1) και Γ( 2, 4) 17. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του πάνω στην ευθεία χ-ψ+2=0, περνά από το σημείο Α(1,1) και έχει ακτίνα ρ=10. 18. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του πάνω στην ευθεία 2χ-ψ+5=0, ακτίνα ρ=1 και εφάπτεται στον Οχ 19. Να βρεθεί η εξίσωση της διαμέτρου του κύκλου x 2 +y 2 +4x 6y 3=0 που είναι παράλληλη στην διχοτόμο της xoy Ποια είναι η θέση της διχοτόμου ως προς τον κύκλο; 20. Να βρεθεί η εξίσωση της διαμέτρου του κύκλου x 2 +y 2 +4x 6y 17=0 που είναι κάθετη στην ε: 5x+2y 13=0 21. Δίνεται ο κύκλος (x+1) 2 +(y 1) 2 =100 και η ευθεία ε: x 2y+23=0 Να βρεθεί η εξίσωση της διαμέτρου του κύκλου που περνά από το μέσο της χορδής που ορίζουν τα σημεία τομής της ευθείας με τον κύκλο 22. ι) Να αποδειχθεί ότι η ευθεία ε: 5x+12y 14=0 τέμνει τον κύκλο x 2 +y 2 2x 8y 8=0 σε δύο σημεία ιι) Να υπολογισθεί το μήκος της χορδής 23. Δίνεται ο κύκλος x 2 +y 2 2x 8y 17=0 και η ευθεία 5x+12y 14=0 ι) Να αποδειχθεί ότι η ευθεία τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία Α,Β. ιι) Να βρεθεί το μήκος της χορδής ΑΒ και ιιι) Το εμβαδόν του τριγώνου ΚΑΒ αν Κ το κέντρο του κύκλου 24. Nα βρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων που διέρχονται από τα Α( 1,2) και Β( 1 2) και εφάπτονται στην ευθεία (ε) : ψ=2χ+4 25. Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κύκλων που περνούν από τα σημεία Α(1,2) και Β(3,4) και εφάπτονται στην ευθεία (ε) : 3χ+ψ-3=0. 26. Nα βρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων που εφάπτονται στην ε: 2χ ψ+4=0 στο σημείο της Α( 1,2) και έχει ακτίνα ρ= 5 27. Nα βρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων που εφάπτονται στην ε: 3χ+4ψ 5=0 διέρχονται από το Α( 4,4) και έχουν ακτίνα ρ=1 28. Nα βρεθούν οι εξισώσεις των κύκλων που εφάπτονται στην ε: χ 2ψ+1=0 στο σημείο της Α(1,0) και στη ευθεία ε : χ+2ψ=0 29. Nα βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται εξωτερικά του κύκλου x 2 +y 2 4x 5=0 και έχει κέντρο το Λ(5,4) 30. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο στην (ε) : 2χ+ψ=0 και εφάπτεται των ευθειών (ε 1 ) : 4χ 3ψ+10=0, (ε 2 ) : 4χ 3ψ-30=0. 31. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από Α(1,3) και εφάπτεται των ευθειών (ε 1 ) : 2χ+ψ 13=0, (ε 2 ) : 2χ+ψ-3=0.
32. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από Α(2,1) και εφάπτεται των ευθειών (ε 1 ) : χ 2ψ 2=0, (ε 2 ) : 2χ ψ+2=0. 33. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο που σχηματίζεται από τους δύο άξονες συντεταγμένων και την ευθεία που ορίζεται από την εξίσωση : 3χ-5ψ+15=0. 34. Έστω ο κύκλος C : x 2 +y 2-4y+3=0 και το σημείο Α( 1,0) Ι) Να δείξετε ότι το Α είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου ΙΙ) Να βρεθούν οι εφαπτόμενες του κύκλου που διέρχονται από το σημείο Α 35. Να βρεθούν οι εφαπτόμενες του κύκλου C : χ 2 +ψ 2-2χ+4ψ=0 που είναι κάθετες στην (ε) : χ-2ψ+9=0. 36. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου (x 5) 2 +y 2 =9 που διέρχονται από την αρχή τον αξόνων 37. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου x 2 +y 2 6y 3=0 που διέρχονται από τα σημεία ι) Α ( 2 2,1) και ιι) Β( 2 3,2) 38. Δίνονται οι ευθείες ε 1 : x y+2=0 και ε 2 : x+y 14=0 ι) Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες είναι κάθετες ιι) Να βρεθεί το σημείο τομής τους ιιι) Να αποδειχθεί ότι το κέντρο των κύκλο που εφάπτονται στις ευθείες είναι σημείο ευθείας παράλληλης στον χ χ ή στον ψ ψ. ιν) Να βρεθεί ο κύκλος που εφάπτεται στις ευθείες και διέρχεται από το Α(4,2) 39.*Να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου με εξίσωση 2χ 2 +2ψ 2 -χ=0. Δείξτε ότι εφάπτεται στον άξονα των ψ ψ στο (0,0) και να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου που είναι παράλληλες προς τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας χοψ. 40.Δίνεται ο κύκλος C: x 2 +y 2 4x=0 και το σημείο Α(3,1). Να δείξετε ότι το Α είναι εσωτερικό του κύκλου. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών που διέρχονται από το Α 41.Δίνεται ο κύκλος x 2 + y 2 2x 6y 15 = 0 και το σημείο του Μ(4,7). 1. Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου. 2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε του κύκλου, με σημείο επαφής το Μ. 3. Να υπολογίσετε την απόσταση της αρχής των αξόνων Ο από την ευθεία ε. 42.Θεωρούμε την εξίσωση x 2 + y 2 + 4x + 2y 4 = 0 (1) και το σημείο A(1,3). Α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ. Β) Έστω Κ είναι το κέντρο του κύκλου C που παριστάνει η εξίσωση (1) και ε η ευθεία που διέρχεται από το σημείο A(1,3) και είναι κάθετη στην ευθεία ΑΚ. α. Να δείξετε ότι το σημείο A(1,3) είναι εξωτερικό του κύκλου C. β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε. γ) Να δείξετε ότι η ευθεία ε και ο κύκλος C δεν έχουν κοινά σημεία. δ) Αν ένα σημείο Μ κινείται πάνω στον κύκλο C και ένα σημείο Λ βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε, τότενα βρείτε την ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει το μήκος (ΛΜ). 43. Έστω Ρ ένα σημείο του κύκλου C: x 2 +y 2 2λx 5=0 Αν η ευθεία ε: x+y 2=0 τέμνει τον κύκλο C στα σημεία Α,Β έτσι ώστε 0 APB 90 τότε α) Να βρείτε το λ
β) Για λ=2 να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου στα σημεία του Γ(1,μ) και Δ(1, μ) 44. Δίνεται ο κύκλος C : (x+2) 2 +(y 3) 2 =4 και η ευθεία (ε) : 3x+4y+λ=0 ι) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο τιμές του λ για τις οποίες η (ε) εφάπτεται στον κύκλο ιι) Για την θετική τιμή του λ να βρείτε το σημείο τομής της ευθείας και του κύκλου 45. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στους θετικούς ημιάξονες Οχ και Οψ και εξωτερικά στον κύκλο (x 4) 2 +(y 4) 2 =4 46. Δίνεται ο κύκλος C : x 2 +y 2 +2x 4y+λ-1=0 και το σημείο Α(-2,3) ι) Να βρεθεί το λ ώστε ο κύκλος να διέρχεται από το Α ιι) Για την παραπάνω τιμή του λ που θα βρείτε να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο Α 47. Δίνεται το σημείο Α(1,4) και ο κύκλος x 2 +y 2-4x+6y-12=0 ι) Να αποδείξετε ότι το Α είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου. ιι) Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το Α ιιι) Να βρεθεί η γωνία των δύο εφαπτομένων ιν) Να βρεθεί η ευθεία που ορίζουν τα σημεία τομής των εφαπτομένων με τον κύκλο και κατόπιν η απόσταση του Α από αυτήν 48. Να βρεθεί η εφαπτομένη του κύκλου x 2 +y 2 =20 σε σημείο του Μ η οποία τέμνει τους θετικούς ημιάξονες Οχ και Οψ στα Α και Β ώστε (ΜΒ)= 4 (ΑΜ) 49. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το Κ(3,3) και τέμνει την ευθεία ε : x 2y 7=0 στα σημεία Α,Β ώστε ΑΒ=4 50. Δείξτε ότι οι κύκλοι x 2 +y 2 4y+1=0, x 2 +y 2 2y 1=0 τέμνονται κάθετα. (Οι εφαπτόμενες στα σημεία τομής είναι κάθετες) 51. Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση x 2 +y 2 =1 (1) και το σημείο Α(2,0). Ένας κύκλος με κέντρο Κ(α,β) και ακτίνα R διέρχεται από το Α και τέμνει τον κύκλο (1) σε δύο αντιδιαμετρικά σημεία του (1). Να δειχθεί ότι α= 3 4. 52. Να βρεθούν οι εξισώσεις των κοινών εφαπτόμενων δύο κύκλων που ορίζονται από τις εξισώσεις : α) x 2 +y 2 =4, (x 6) 2 +y 2 =9 β) x 2 +y 2 =1, x 2 +(y 2) 2 =2. 53. ι) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C 1 : (x 3) 2 +(y+2) 2 =36 και C 2 : x 2 +(y 2) 2 = 1 εφάπτονται εσωτερικά και ιι) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής εφαπτομένης τους 54. Δίνεται η εξίσωση x 2 +y 2 +2μx-4(μ+1)y+3μ+14=0. Δείξτε ότι το κέντρο του κύκλου κινείται σε δύο ημιευθείες. 55. Να βρεθεί ο γ.τ. των μέσων χορδών του κύκλου (x 4) 2 +y 2 =16 που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. 56. Να βρεθεί ο γ.τ. των μέσων χορδών του κύκλου x 2 +y 2-2αx=0 που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. 57. Δίνεται ο κύκλος χ 2 +ψ 2-2αχ=0, α>0. Μια ευθεία (ε) διέρχεται από το κέντρο του και είναι παράλληλη στην χ+2ψ=0. Η (ε) τέμνει τον κύκλο στα Α και Β. Να βρεθεί το Εμβαδόν του ΟΑΒ.
58. Δίνεται ο κύκλος C : x 2 +y 2 x 2=0 και η ευθεία (ε) : x+2y 3=0 ι) Να αποδείξετε ότι τέμνονται σε δύο σημεία Α και Β. ιι)να αποδείξετε ότι η εξίσωση : (x 2 +y 2 x 2) +α(x+2y 3)=0 για κάθε χ παριστάνει κύκλο C ο οποίος διέρχεται από τα Α και Β. ιιι) Για ποια τιμή του α ο κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων; ιν) Να αποδείξετε ότι των κέντρων των κύκλων C είναι μία ευθεία 59. Να βρεθεί η ευθεία (x-y+2)+μ(2x+y-5)=0 που ορίζει στον κύκλο C:(x 1) 2 +(y+2) 2 =4 χορδή μήκους 6. 60. **Να βρεθούν οι εφαπτόμενες του C : x 2 +y 2 2x 6y+9=0 που σχηματίζουν γωνία 45 με την (ε) x y 4=0. 61.. Να προσδιορισθεί η τιμή του μ, ώστε η χορδή που ορίζει η ευθεία ε:2x-y+3=0 στον κύκλο C : x 2 +y 2 2μx 2μy=0 να φαίνεται από την αρχή των αξόνων υπό ορθή γωνία. 62.Δίνεται ο κύκλος C : χ 2 +ψ 2 =ρ 2. Στο σημείο Α(0,-ρ) φέρνουμε την εφαπτομένη (ε). Θεωρούμε τις ε 1, ε 2 μεταβλητές εφαπτόμενες του κύκλου που είναι παράλληλες. Αν Μ, Ν τα κοινά σημεία της ε με τις ε 1, ε 2 να δειχθεί ότι d(a,n) d(a,m)=ρ 2. 63. ***Δίνονται ο κύκλος C : χ 2 +ψ 2 =36 και η ευθεία ε : ψ= 3 χ. Αν κύκλος C 1 εφάπτεται στην ευθεία ε, στον θετικό ημιάξονα Οχ, εσωτερικά στον κύκλο C και βρίσκεται στο θετικό μέρος των αξόνων. α) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου C 1 β) Να βρεθούν οι εφαπτόμενες του C 1 που είναι κάθετες στην ευθεία 4χ-3ψ+5=0. 64.Δίνονται τα σταθερά σημεία Α,Β που απέχουν απόσταση (ΑΒ)=3 Να βρεθεί ο γ.τ. των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει AM(AM 2AB) 7 65. Δίνεται ο κύκλος C: x 2 + y 2 2x + 4y 19 = 0. Να βρείτε: Α. το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου Β. την εξίσωση του κύκλου C 1, ο οποίος είναι ομόκεντρος με τον κύκλο C και εφάπτεται στην ευθεία (ε): 3x 4y + 24 = 0 66.Δίνεται η εξίσωση: x 2 + y 2 6x + 4y + κ = 0 με κ R. (1) Α. Να βρεθούν οι τιμές του κ R ώστε η παραπάνω εξίσωση να παριστάνει κύκλο C. Β. Να δειχθεί ότι αν η ακτίνα του κύκλου C είναι ρ =1, τότε κ =12. Γ. Να δειχθεί ότι το σημείο Μ(4,2) είναι εξωτερικό του κύκλου C που προκύπτει από (1) για κ = 12. Στη συνέχεια να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων στον κύκλο αυτόν, που διέρχονται από το Μ. 67.Θεωρούμε την εξίσωση x 2 + y 2 2λx + λ 2 5 = 0 (1). Να αποδείξετε ότι η (1) είναι εξίσωση κύκλου για κάθε λ R. Να βρεθεί η τιμή του λ ώστε ο κύκλος να εφάπτεται στην ευθεία ε: y=2x 7 Για λ=1 να βρείτε την άλλη εφαπτομένη του κύκλου που διέρχεται από το σημείο τομής της ε με τον χ χ. 68.Δίνεται η εξίσωση C: x 2 + y 2 2x 4λx + 4λ = 0 (1) Α. Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο, του οποίου να προσδιοριστεί το κέντρο και η ακτίνα συναρτήσει του λ. Β. Ποιος ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων (C) Γ. Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την (1) διέρχονται από σταθερό
σημείο Α. Δ. Έστω Β, Γ τα σημεία τομής της ευθείας (ε): y = 6x με τον κύκλο (c). E. Να προσδιορίσετε το λ R ώστε. 69.Δίνονται οι ευθείες ε 1 : λx + y = λ και ε 2 : x λy = 3, λ R. Α. Δείξτε ότι η κάθε ευθεία διέρχεται από ένα σταθερό σημείο τα οποία να βρείτε. Β. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής Μ(x, y) είναι κύκλος. Γ. Δίνεται το σημείο Δ(3, 5). Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το Δ, καθώς και το μήκος των εφαπτομένων τμημάτων. 70.Δίνεται η εξίσωση (x 2y 3) + κ(3x + y 2) = 0 (1) με παράμετρο κ και ο κύκλος με εξίσωση: C: x 2 + (y 1) 2 = 5. Α. Να δείξετε ότι πάντα η εξίσωση (1) είναι οικογένεια ευθειών, δηλαδή παριστάνει ευθεία για κάθε κ. Β. Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας (1) διέρχονται από σταθερό σημείο Α, το οποίο και να προσδιορίσετε. Γ. Να δείξετε ότι για κ = 0 η ευθεία που προκύπτει από την οικογένεια των ευθειών (1) είναι εφαπτομένη του κύκλου c. Δ. Να βρείτε εκείνη την εξίσωση της ευθείας από την οικογένεια των ευθειών (1), που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου C. 71.Δίνεται η εξίσωση: x 2 + y 2 2κx + 4κy = 0 (1) με κ R {0}. Α. Να δείξετε ότι η (1) για κάθε κ 0 παριστά κύκλο που περνά από την αρχή των αξόνων, του οποίου να βρείτε την ακτίνα και το κέντρο. Β. Για κ 0, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των παραπάνω κύκλων. Γ. Δίνεται η ευθεία ε: 2x y 4 = 0, να βρείτε την τιμή του κ 0 για την οποία η ευθεία (ε) τέμνει τον κύκλο της σχέσης (1) σε δύο σημεία Α και Β τέτοια ώστε η χορδή ΑΒ να σχηματίζει με το σημείο Ο(0,0) ορθογώνιο τρίγωνο στο Ο(0,0) 72.Δίνεται η οικογένεια ευθειών (ε): (1 + 2λ)x + (1 λ)y + 3 = 0 (1) και ο κύκλος (c): x 2 + y 2 2x + 4y +1 = 0 Α. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου (c) στο σημείο του με τεταγμένη Ο. Β. Δείξτε ότι ο κύκλος (c) έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με κάθε ευθεία της οικογένειας που παριστάνει η (1). Γ. Βρείτε τις ευθείες της οικογένειας (1) που ορίζουν χορδή στον κύκλο με μήκος 2 2. 73.Α. Δίνεται η εξίσωση x 2 + y 2 + 6μx + 8λy = 0, όπου μ, λ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός. Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή των μ, λ, η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο. Β. Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς μ, λ ισχύει η σχέση 3μ + 2λ = 0. α. Να δείξετε ότι, όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση x 2 + y 2 + 6μx + 8λy = 0 για τις διάφορες τιμές των μ και λ, έχουν τα κέντρα τους σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β. Να βρείτε τα μ, λ έτσι, ώστε, αν Α, Β είναι τα σημεία τομής του αντίστοιχου κύκλου με την ευθεία x + y + 2 = 0, να ισχύει 0. γ. Για τις τιμές των μ, λ που βρήκατε στο ερώτημα β να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ.
74.Δίνεται η εξίσωση x 2 + y 2 2xσυνθ 2yημθ 1=0, 0 θ 2π. Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε θ η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα. π Β. Αν θ, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Μ(1,2). 2 Γ. Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του θ τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ = 1. 75.Δίνεται η εξίσωση x 2 + y 2 4x + 2y + 3 = 0 και το σημείο Μ(2,1). α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Κ(2, 1) και ακτίνα ρ = 2. β. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το σημείο Μ(2,1). γ. Αν Α, Β είναι τα σημεία επαφής των παραπάνω εφαπτομένων με τον κύκλο, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ. 76.Δίνεται η εξίσωση C : x 2 + y 2 + (ημθ )x (συνθ )y = 2 όπου θ. (1) α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. β) Να αποδείξετε ότι, όταν το θ μεταβάλλεται, τα κέντρα των κύκλων C κινούνται σε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση. γ) Να βρείτε τις τιμές του θ [0,π ) αν είναι γνωστό ότι ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο Μ(1,-1). δ) Έστω Κ το κέντρο του κύκλου C και Α, Β τα σημεία τομής του με την ευθεία ΟΚ (όπου Ο η αρχή των αξόνων). Να υπολογίσετε τις αποστάσεις (ΟΑ) και (ΟΒ). 2 2 77.Δίνεται ο κύκλος x y 25 και το σημείο του A (3,4). 1. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) του κύκλου στο σημείο Α. 2. Αν Ε είναι το σημείο τομής της (ε) με τον άξονα yy, να βρείτε την εξίσωση της παραβολής με εστία το Ε και κορυφή την αρχή των αξόνων Ο. 78.Δίνονται τα διανύσματα u, v με u 1, v 2 0 και η γωνία των διανυσμάτων 60. 2 2 1. Να υπολογιστούν η ακτίνα και το κέντρο του κύκλου C : x y (u v 5)x 2u v y 9 0 2. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων που άγονται από το σημείο A(2,3) προς τον κύκλo 79.Δίνεται ένα τρίγωνο με κορυφές Α(2λ 1, 3λ+2), Β(1,2) και Γ(2,3) όπου λ IR με λ 2. Α. Να αποδείξετε ότι το σημείο Α κινείται σε ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται στο IR. Β. Εάν λ=1, να βρείτε: α. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ β. την εξίσωση του κύκλου, που έχει κέντρο την κορυφή Α(1,5) και εφάπτεται στην ευθεία ΒΓ. 80.Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα, τα οποία σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ =, και 3 η εξίσωση: x 2 + y 2 2 x y + = 0 (1) Α Να αποδείξετε ότι: α. 2. β. Η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο με ακτίνα ρ = 1 2 2
Β. Αν Κ(1, 1) είναι το κέντρο του παραπάνω κύκλου, να αποδείξετε ότι: α. = 1, = 2 και ρ = 1. β. Ο κύκλος εφάπτεται στην ευθεία 3x + 4y 12 = 0 γ. Η προβολή του στο είναι ίση με το. 81. Δίνονται τα διανύσματα, με = 2, x 2 + y 2 x + 2 y 10 = 0 (1) Α. Να αποδείξετε ότι = 2 και 2 =2., και η εξίσωση: 3 Β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο C για κάθε τιμή του και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου. Γ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων C. Δ. Να υπολογίσετε την τιμή του ώστε η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x + y 10 = 0 να εφάπτεται στον κύκλο C. Ε. Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι C διέρχονται από δύο σταθερά σημεία 82.Δίνονται τα σημεία A( 1, 2), B( 3, 1), Γ(3, 2) και Δ(4, 1) ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων. A. Να αναλύσετε το διάνυσμα σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μία να έχει τη διεύθυνση του διανύσματος AB. Β. Να δείξετε ότι η γραμμή που γράφουν τα σημεία Μ(x, y) του επιπέδου για τα οποία ισχύει AM M = 0, είναι κύκλος του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου του προηγούμενου ερωτήματος που είναι κάθετη στο διάνυσμα u προβ 83. ίνονται οι παράλληλες ευθείες ε 1 : 3x+ 4y +6 = 0 και ε 2 : 3x + 4y +16=0. Α. Να βρείτε την απόσταση των παράλληλων ευθειών ε 1 και ε 2. Β. Να βρείτε την εξίσωση της µεσοπαράλληλης ευθείας των ε 1 και ε 2. Γ. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σηµείο τοµής της ευθείας ε 1 µε τον άξονα x x και αποκόπτει από την ευθεία ε 2 χορδή µήκους d = 4 3. 84.Δίνεται η εξίσωση 2 x 2 y 5λ 10 x 3λy 2λ 9 0, η οποία παριστάνει κύκλο για κάθε R. A) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων για κάθε R B) Να βρεθεί ο κύκλος C λ, που έχει το κέντρο του στον άξονα x x. Γ) Αν 0 M 3, 2, να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου C λ που έχει μέσον το σημείο 85. Δίνεται το σημείο Α(2,0) και ο κύκλος x 2 + y 2 =1. Α. Να αποδειχτεί ότι οι εφαπτόμενες του κύκλου που διέρχονται από το Α(2,0) είναι: (ε 1 ): x 3 y + 2= 0 και (ε 2 ): x+ 3 y +2= 0. Β. Να βρεθεί η γωνία των εφαπτομένων αυτών. Γ. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες αυτές είναι κοινές εφαπτόμενες του εν λόγω κύκλου και του κύκλου: (x 3) 2 + y 2 =25/4 Δ. Να εξεταστεί αν υπάρχει και άλλη κοινή εφαπτόμενη