ΑΣΚΗΣΗ Έστω τραπεζική κατάθεση ταµιευτηρίου µε ετήσιο επιτόκιο 8%. Ποιο είναι το πραγµατικό (effective) ετήσιο επιτόκιο, αν ο εκτοκισµός γίνεται κάθε τρίµηνο (εξάµηνο); Το πραγµατικό επιτόκιο είναι η ετήσια απόδοση της κατάθεσης, y, όταν οι εκτοκιζόµενοι τόκοι ενσωµατώνονται στο κεφάλαιο και ανατοκίζονται. Εφαρµόζεται ο τύπος τ ( y) ( r τ ) όπου τ είναι το κλάσµα του έτους και r το επιτόκιο. Με τριµηνιαίο ανατοκισµό ισχύει 4 ( ) τ και 4 0, 08 4 y) ( 4 y,04 4 8,4% Με εξαµηνιαίο ανατοκισµό ισχύει ( ) τ και 0, 08 y) ( y, 04 8, % τ τ Παρατηρούµε δηλαδή ότι όσο συχνότερος είναι ο ανατοκισµός, τόσο µεγαλύτερη είναι το πραγµατικό ετήσιο επιτόκιο. ΑΣΚΗΣΗ Τα τρέχοντα (περίοδος 0) επιτόκια προθεσµίας ενός έτους και προθεσµίας τριών ετών είναι αντίστοιχα r ( ), % και r ( ) 4, 0%. Να βρείτε το προθεσµιακό επιτόκιο µετά από ένα χρόνο (περίοδος ) για προθεσµία δύο ετών f (, ). Από τη συνθήκη έλλειψης arbitrage ισχύει ( r( ) ) ( f (, ) ) ( r( ) ) Αντικαθιστώντας έχουµε, 04, 0 ( f (, ) ), 04 f (, ) 4,%, 0 Προσοχή: κοµπιουτεράκια µε τετραγωνική ρίζα ( ) µπορούν να υπολογίσουν και τέταρτη ρίζα ( 4 ) πιέζοντας το πλήκτρο δύο φορές. ΑΣΚΗΣΗ Σε ποια τιµή διατίθενται τα ΕΓΕ διάρκειας και µηνών επιτοκίου,% και % αντίστοιχα. (Υποθέτουµε ηµερολογιακή σύµβαση 0/0)
Όταν δίνεται το επιτόκιο r, τότε η τρέχουσα τιµή (ως ποσοστό τοις εκατό) υπολογίζεται βάσει του τύπου P 0 00 /( r τ ) όπου πάλι τ είναι το κλάσµα του έτους και r το επιτόκιο. Το ΕΓΕ δωδεκάµηνης διάρκειας έχει τ και ισχύει P 0 00 /( 0) 9, 90% Το ΕΓΕ τρίµηνης διάρκειας έχει τ 4 και ισχύει P0 4 00 /( 0 ) 98, % ΑΣΚΗΣΗ 4 Σε ποια τιµή ως ποσοστό επί τοις εκατό της ονοµαστικής αξίας διατίθενται τα ΕΓΕ, και µηνών, έκδοσης Απριλίου 009 και λήξης Ιουλίου 009, Οκτωβρίου 009 και Απριλίου 0 επιτοκίου,0%,,% και,00% αντίστοιχα µε ηµερολογιακή σύµβαση (ACT/ACT). Υπολογίζουµε τον πραγµατικό αριθµό των ηµερών µεταξύ των ηµεροµηνιών έκδοσης και λήξης: Απριλίου 009 ως Ιουλίου 009: ηµέρες 709 ηµέρες Απριλίου 009 ως Οκτωβρίου 009 : ηµέρες 700 8 ηµέρες Απριλίου 009 ως Απριλίου 00: ηµέρες 7000 8 ηµέρες Υπολογίζουµε τις τιµές των γραµµατίων. Η τιµή του -µηνου γραµµατίου είναι: 00 9 0 99,8% Η τιµή του -µηνου γραµµατίου είναι: 00 8 0 98,74% Η τιµή του -µηνου γραµµατίου είναι: 00 00 97,09% ΑΣΚΗΣΗ Τι φόρο πληρώνουν οι αγοραστές του -µηνου γραµµατίου του προβλήµατος 4 και ποια είναι η καθαρή ποσοστιαία ετήσια απόδοσή του µετά τον φόρο στη λήξη του (φορολογικός συντελεστής 0%, προείσπραξη φόρου).
Ο τόκος του -µηνου γραµµατίου του προβλήµατος 4 ονοµαστικής αξίας 00 υπολογίζεται : 00-98,74, Ο φόρος επί των τόκων υπολογίζεται: (00-98,74) 0% Η τιµή αγοράς του γραµµατίου µε προείσπραξη φόρου υπολογίζεται: 98,7498,8% Η αντίστοιχη καθαρή απόδοση µετά τον φόρο υπολογίζεται: (00-98,74) (-0),4 ή,-,4 Η καθαρή ποσοστιαία απόδοση του γραµµατίου είναι : 8 00 98, 8 98, 8,9% ΑΣΚΗΣΗ Ο αγοραστής του -µηνου γραµµατίου του προβλήµατος 4 αποφασίζει να πωλήσει τον τίτλο στις 8 Οκτωβρίου 009, δηλαδή περίπου έξι µήνες πριν από τη λήξη του, προς 98,8%. Ποια ετήσια ποσοστιαία απόδοση πετυχαίνει; Ο πραγµατικός αριθµός ηµερών µεταξύ της ηµεροµηνίας έκδοσης και της ηµεροµηνίας πώλησης είναι : Απριλίου 009 ως 8 Οκτωβρίου 009 : ηµέρες 7008 78 ηµέρες Υπολογίζουµε την απόδοση µε βάση την τιµή αγοράς (97,09) µε τον φόρο (9: 98, 8 97, 8,9% 78 97, 8 ΑΣΚΗΣΗ 7 Οµόλογο εκδίδεται µε τοκοµερίδιο % και διάρκεια έτη µε απαιτούµενη απόδοση r,0%. Υπολογίστε την τιµή πώλησης µε βάση τον τύπο: ) του, ) του αθροίσµατος των όρων γεωµετρικής προόδου, υποθέτοντας ότι το τοκοµερίδιο είναι: α) ετήσιο, β) εξαµηνιαίο. α) ετήσιο τοκοµερίδιο: P 0 0, 0 ( 0) 0 ( 0) 4,8094,794,704004,0 β) εξαµηνιαίο τοκοµερίδιο:
P 0,, ( 07) ( 07), ( 07), ( 07) 4, ( 07) 0, ( 07),470,447,7,4,9 9,7 04,7 α) P0 /( 0) 00 0 ( 0) 9094 00 9094,807 0 9094 000 0 04,0 β) P0 /( 07) 00, 07 ( 07) 904, 00 904 07,,490 94 4, 94 04,7 ΑΣΚΗΣΗ 8 Οµόλογο του Ελληνικού ηµοσίου τοκοµεριδίου % µε υπόλοιπη διάρκεια ετών, πωλείται σε (ακαθάριστη) τιµή 04,0%. Υπολογίστε την απόδοση στη λήξη του οµολόγου α) ακριβώς, β) µε γραµµική παρεµβολή. α) Η απόδοση στη λήξη ικανοποιεί τη εξίσωση: 0 04, 0 y ( y) Θέτοντας x /( y) και αναδιατάσσοντας τους όρους προκύπτει η δευτεροβάθµια εξίσωση: 0x x 04, 0 Η θετική λύση της εξίσωσης είναι : x 4 0 ( 04, ) 0 09, 977 0 και λύνοντας ως προς την απόδοση βρίσκουµε: 977 y,8% y 977 β) Η γραµµική προσέγγιση της απόδοσης είναι : /00 /(00-04,)/00 % / (-4,%),9%
ΑΣΚΗΣΗ 9 Υπολογίστε την ετήσια και εξαµηνιαία προθεσµιακή τιµή συναλλάγµατος του δολαρίου ΗΠΑ στην Ευρώπη (F), αν τα ετήσια επιτόκια του ευρώ και του δολαρίου ΗΠΑ είναι αντίστοιχα r 4% και r $ % και η τρέχουσα τιµή συναλλάγµατος όψεως (spot) είναι S,0$ [η τιµή συναλλάγµατος του δολαρίου στην Ευρώπη εκφράζεται µε τον έµµεσο τρόπο, δηλαδή EUR/USD]. Η τελική αξία της τοποθέτησης ευρώ στην Ευρώπη για διάστηµα µηνών ( τ ) είναι : r Η τελική αξία της τοποθέτησης ευρώ στις ΗΠΑ για διάστηµα µηνών ( τ ) είναι : $ S ( r ) / F Από τη συνθήκη έλλειψης arbitrage ισχύει ότι η τελική αξία της τοποθέτησης θα πρέπει να εξισώνεται στις δύο αγορές: r $ S ( r ) / F και αντικαθιστώντας προκύπτει η προθεσµιακή τιµή συναλλάγµατος µηνών :,, 0, 04,, 0 / F F, 09$, 04 Από τη συνθήκη έλλειψης arbitrage για προθεσµία µηνών ισχύει : r S ( r $ ) / F και αντικαθιστώντας προκύπτει η προθεσµιακή τιµή συναλλάγµατος µηνών :,, 0 F, $, 0 ΑΣΚΗΣΗ 0 Υπολογίστε την ετήσια, εξαµηνιαία και τριµηνιαία προθεσµιακή τιµή συναλλάγµατος του ευρώ στις ΗΠΑ ( F ), αν τα επιτόκια του ευρώ και του δολαρίου ΗΠΑ είναι αντίστοιχα r,0% και r $,7% και η τρέχουσα τιµή συναλλάγµατος όψεως (spot) είναι S, 99 $ [η τιµή συναλλάγµατος του ευρώ στις ΗΠΑ εκφράζεται µε τον άµεσο τρόπο, δηλαδή EUR/USD ]. Προσοχή: Εδώ το δολάριο ΗΠΑ είναι το εγχώριο νόµισµα και η τιµή του εκφράζεται άµεσα, EUR/USD.
Η τελική αξία της τοποθέτησης δολαρίου στις ΗΠΑ για διάστηµα µηνών είναι : (07 ) Η τελική αξία της τοποθέτησης δολαρίου στην Ευρώπη για διάστηµα µηνών είναι : 99 ( 00) F Η συνθήκη έλλειψης arbitrage είναι : (07 ) F ( 00 ), 99 Και λύνοντας ως προς F βρίσκουµε την άµεση προθεσµιακή τιµή συναλλάγµατος µηνών στις ΗΠΑ:, 07 F, 99,7 $, 00 Η αντίστοιχη εξαµηνιαία και τριµηνιαία άµεση προθεσµιακή τιµή συναλλάγµατος του ευρώ στις ΗΠΑ είναι : F F 07, 99,8 $ 00 07, 99,78 $ 00