Ανάλυση και παράσταση συστηµάτων στο πεδίο - Περιεχόµενα ΗΡΑΚΛΗ Γ. ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΥ: ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Εισαγωγή 160 3.1 Απόκριση µηδενικής εισόδου (φυσική απόκριση) 160 3.2 Εξαναγκασµένη απόκριση 16 3.3 Η πλήρης απόκριση 166 3.5 Η βηµατική και η κρουστική απόκριση 168 3.5.1 Η βηµατική απόκριση 168 3.5.2 Η κρουστική απόκριση 170 3.6 Η συνέλιξη 173 3.6.1 Ιδιότητες της συνέλιξης 175 3.6.2 Η συνέλιξη παραστατικά 178 3.7 Λειτουργικά µπλοκ- Σύνδεση συστηµάτων 181 3.8 Απόκριση σε µιγαδική εκθετική διέγερση 18 3.9 Περιγραφή συστήµατος µε διαφορική εξίσωση 187 3.9.1 Βασικές λειτουργικές βαθµίδες 189 3.9.2 Παράσταση και προσοµοίωση συστηµάτων 190 Ανακεφαλαίωση 193 Ασκήσεις και προβλήµατα 19-159-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Εισαγωγή Οπως είδαµε στο πρώτο κεφάλαιο, οποιαδήποτε µεταβλητή µας ενδιαφέρει σε ένα ηλεκτρικό σύστηµα, µπορεί να οριστεί ως απόκρισή του. Η απόκριση ενός συστήµατος είναι το αποτέλεσµα κάποιας διέγερσης στην θύρα εισόδου. Ενα σύστηµα µπορεί να έχει µια ή πολλές διεγέρσεις (εισόδους) και µια ή περισσότερες αποκρίσεις (εξόδους). Ο υπολογισµός της απόκρισης για συγκεκριµένη διέγερση, αποτελεί το κύριο αντικείµενο της ανάλυσης συστηµάτων και η πολυπλοκότητά του είναι άµεσα συνδεδεµένη µε την πολυπλοκότητα και το είδος του συστήµατος. Από την στιγµή που οι διεγέρσεις είναι ηλεκτρικά σήµατα (δηλ. συναρτήσεις του χρόνου) οι αποκρίσεις θα είναι και αυτές σήµατα. Ο υπολογισµός των χρονικών αποκρίσεων ονοµάζεται ανάλυση στο πεδίο του χρόνου, αφού η ανεξάρτητη µεταβλητή είναι ο χρόνος. Στα επόµενα κεφάλαια θα παρουσιάσουµε την ανάλυση στο πεδίο των συχνοτήτων, όπου η ανεξάρτητη µεταβλητή είναι η συχνότητα. Η συζήτηση στο κεφάλαιο αυτό αφορά στην κατηγορία των αιτιοκρατικών ηλεκτρικών συστηµάτων LTI (γραµµικών χρονικά αµετάβλητων) συνεχούς χρόνου. Η κατηγορία αυτή των κυκλωµάτων και συστηµάτων είναι και η πλέον προσιτή και χρήσιµη, επιλύεται µε τα γνωστά µαθηµατικά και θέτει την βάση της ανάλυσης όλων των υπολοίπων κατηγοριών. 3.1 Απόκριση µηδενικής εισόδου (φυσική απόκριση) Η απόκριση µηδενικής εισόδου ή φυσική απόκριση, είναι η απόκριση που οφείλεται µόνον στις αρχικές συνθήκες του συστήµατος. Στην περίπτωση των κυκλωµάτων, οι αρχικές συνθήκες είναι οι τάσεις των αρχικά φορτισµένων πυκνωτών και τα αρχικά ρεύµατα των πηνίων. Ας θεωρήσουµε το κύκλωµα του σχήµατος 3.1α, στο οποίο ο αρχικά κλειστός διακόπτης Α ανοίγει για =0, ενώ ο αρχικά ανοικτός διακόπτης Β κλείνει την ίδια στιγµή. Πριν αλλάξουν θέση οι διακόπτες, την χρονική στιγµή =0, δεν υπάρχει ρεύµα στο κύκλωµα και απλώς διατηρείται ο πυκνωτής σε τάση V o =E. Οταν εποµένως αλλάξουν θέση οι διακόπτες, το κύκλωµα δεν δέχεται πλέον καµµια διέγερση, όπως φαίνεται στο σχήµα 3.1β. Αν θεωρήσουµε ως απόκριση του κυκλώµατος την τάση του πυκνωτη v C (), αυτή θα είναι η απόκριση µηδενικής εισόδου, που θα οφείλεται µόνον στην αρχική τάση του πυκνωτή. Για το κύκλωµα αυτό µπορούµε να γράψουµε από τους νόµους του Kirchhoff: -160-
3. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΧΗΜΑ 3.1 v C () ' v R () και i c () '!i R () Οµως από τις σχέσεις ρεύµατος-τάσεως του πυκνωτή και του αντιστάτη έχουµε: i C () ' C d d v C () και v R () ' Ri R () Από τις παραπάνω σχέσεις βρίσκουµε εύκολα ότι d d v C ()% 1 v C ()'0 γιά $0 και µε v C (0)'Ε Η παραπάνω είναι µια οµογενής διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης µε σταθερούς συντελεστές και αρχική συνθήκη v c (0)=E. H λύση της διαφορικής αυτής εξίσωσης είναι, σύµφωνα µε την θεωρία των διαφορικών εξισώσεων: v C ()'Ke s o µε s o '! 1 Η σταθερά Κ µπορεί να υπολογιστεί από την αρχική συνθήκη και την παραπάνω λύση γιά =0 v C (0)'Ke s o 0 'K Y K'v C (0)'E πράγµα που διαµορφώνει την έκφραση της τάσης του πυκνωτή στην τελική σχέση: v C () 'E e! 1 γιά $0 (3.1) Το γεγονός ότι η απόκριση υπολογίζεται από διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, κατατάσσει το συγκεκριµένο κύκλωµα στα κυκλώµατα πρώτης τάξης. Η τάση -161-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ λοιπόν του πυκνωτή, η απόκριση, χωρίς εξωτερική διέγερση αλλά µόνον από την αρχική συνθήκη του, είναι φθίνουσας εκθετικής µορφής, και φαίνεται στο σχήµα 3.2. ΣΧΗΜΑ 3.2 Το γινόµενο Τ=, ονοµάζεται σταθερά χρόνου του κυκλώµατος, ενώ η συχνότητα 1/, φυσική συχνότητα του κυκλώµατος. Η τάση του αντιστάτη θα είναι φυσικά ίση µε αυτήν του πυκνωτή, και θα είναι και αυτή εκθετική της µορφής v R () ' Ee! 1 γιά $0 Χαρακτηριστικό της εκθετικής απόκρισης είναι το ότι για =T=, η τιµή της απόκρισης γίνεται ίση µε το 0.377 της τιµής για =0, ενώ γιά =T, η απόκριση γίνεται ίση µε 0.018 της τιµής για =0. ΣΧΗΜΑ 3.3 Αντίστοιχοι υπολογισµοί µπορούν να γίνουν και στο κύκλωµα RL πρώτης τάξης του -162-
3. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ σχήµατος 3.3α, στο οποίο το πηνίο είναι αρχικά φορτισµένο µε αρχικό ρεύµα i(0)=i o. Επειδή η έννοια του αρχικά φορτισµένου µε ρεύµα πηνίου δεν γίνεται πολλές φορές κατανοητή, το σχήµα 3.3β δείχνει τον τρόπο µε τον οποίο ένα πηνίο µπορεί να έχει αρχικό ρεύµα. Συγκεκριµένα, πριν οι διακόπτες αλλάξουν θέση, όλο το ρεύµα I o της πηγής περνάει από το πηνίο. Με την αλλαγή θέσης των διακοπτών για =0, το ρεύµα αυτό είναι το αρχικό ρεύµα i(0) του πηνίου. Ετσι στο κύκλωµα του σχήµατος 3.3α, χωρίς πηγές, µπορούµε να υπολογίσουµε για παράδειγµα την απόκριση i L (). Γράφοντας τις εξισώσεις των νόµων του Kirchhoff και τις σχέσεις ρεύµατος-τάσεως για $0 έχουµε: v L () ' v R () i L () '!i R () v L () ' L d d i L () µε i L (0) ' I o v R () ' Ri R () Από τις παραπάνω σχέσεις µπορούµε εύκολα να υπολογίσουµε ότι d γιά $0 και µε i L (0)=I o d i L () % R L i L () ' 0 Η απόκριση µηδενικής εισόδου, για το κύκλωµα πρώτης τάξης RL, δίνεται από µια οµογενή εξίσωση πρώτης τάξης µε σταθερούς συντελεστές. Εποµένως, η λύση θα είναι της µορφής i L () ' Ke! R L γιά $0. Από την αρχική συνθήκη i L (0)=I o, βάζοντας =0 στην παραπάνω λύση, µπορούµε να υπολογίσουµε ότι Κ=I o, και εποµένως τελικά i L () ' I o e! R L $0 (3.2) Η γραφική παράσταση του φθίνοντος αυτού εκθετικού ρεύµατος συναρτήσει του χρόνου, δίνεται στο σχήµα 3. και ισχύουν οι παρατηρήσεις που συζητήσαµε L R προηγουµένως µε να είναι η σταθερά χρόνου και η φυσική συχνότητα. R L Χρησιµοποιήσαµε δύο απλά κυκλώµατα πρώτης τάξης για να δείξουµε ότι τα κυκλώµατα που περιέχουν στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας, µπορούν και δίνουν αποκρίσεις χωρίς να τους δώσουµε διέγερση. Η απόκριση αυτή, που οφείλεται στις αρχικές συνθήκες, ονοµάζεται απόκριση µηδενικής εισόδου ή φυσική απόκριση. Ο υπολογισµός της φυσικής απόκρισης για κυκλώµατα µεγαλύτερης τάξης (µε περισσότερα πηνία ή πυκνωτές) οδηγεί σε διαφορικές εξισώσεις µεγαλύτερης τάξης µε ανάλογη αύξηση της δυσκολίας επίλυσής τους. -163-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ 3. 3.2 Εξαναγκασµένη απόκριση (απόκριση µηδενικής κατάστασης) Η βασική απόκριση ενός συστήµατος είναι αυτή που οφείλεται σε κάποια εξωτερική διέγερση. Στην πράξη αυτή είναι και η απόκριση ενδιαφέροντος, αφού στα κυκλώµατα για παράδειγµα βάζουµε ένα σήµα στην είσοδο και παίρνουµε ένα άλλο σήµα στην έξοδο (απόκριση). Η απόκριση που οφείλεται µόνον στην διέγερση, µε τις αρχικές συνθήκες των στοιχείων αποθήκευσης ενέργειας µηδενικές, ονοµάζεται εξαναγκασµένη απόκριση (forced response) ή απόκριση µηδενικής κατάστασης (zero-sae response). Στα κυκλώµατα RLC, ως καταστάσεις ορίζονται τα ρεύµατα των επαγωγέων και οι τάσεις των πυκνωτών. Η εξαναγκασµένη απόκριση, εξαρτάται από το κύκλωµα και την διέγερση. Ετσι για διαφορετικές διεγέρσεις έχουµε διαφορετική εξαναγκασµένη απόκριση µε αποτέλεσµα να χρειαζόµαστε µια γενική µέθοδο υπολογισµού. Παρακάτω θα υπολογίσουµε την απόκριση του κυκλώµατος σε µια διέγερση που προέρχεται από την σύνδεση την χρονική στιγµή =0 µιας συνεχούς πηγής ρεύµατος. Στο κύκλωµα του σχήµατος 3.5, πριν αλλάξει θέση ο διακόπτης, το ρεύµα που πάει στο κύκλωµα είναι µηδενικό. Οταν ο διακόπτης κλείνει για =0, συνδέοντας την πηγή συνεχούς ρεύµατος i s ()=I στο κύκλωµα, όλο το ρεύµα κατευθύνεται προς τον πυκνωτή και τον αντιστάτη. Για τον υπολογισµό της εξαναγκασµένης απόκρισης, η αρχική τάση του -16-
3. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ πυκνωτή θεωρείται µηδενική και στην αρχή όλο το ρεύµα απορροφάται από τον πυκνωτή φορτίζοντάς τον. Οσο όµως µεγαλώνει το φορτίο του πυκνωτή, µεγαλώνει και η τάση του, που είναι ίδια µε αυτήν του αντιστάτη. Η τάση αυτή δηµιουργεί ρεύµα στον αντιστάτη σε βάρος του ρεύµατος του πυκνωτή, αφού τα δύο ρεύµατα πρέπει να έχουν άθροισµα Ι. Η παραπάνω ποιοτική περιγραφή πρέπει να εκφραστεί ποσοτικά µε την χρήση των αντίστοιχων σχέσεων, η επίλυση των οποίων θα επιτρέψει τον προσδιορισµό της εξαναγκασµένης απόκρισης. ΣΧΗΜΑ 3.5 Γιά $0 έχουµε ότι το εισερχόµενο στο κύκλωµα ρεύµα Ι, ισούται µε το άθροισµα του ρεύµατος του πυκνωτή και του ρεύµατος του αντιστάτη, δηλ.: ή ισοδύναµα C d d v() % 1 R v() ' i s () ' I! K e! d d v() % 1 v() ' 1 C I Φυσικά οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν γιά $0 και µε v(0)=0. Η εξίσωση είναι µια µη οµογενής διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης µε σταθερούς συντελεστές και σύµφωνα µε την θεωρία των διαφορικών εξισώσεων έχει λύση της µορφής v() ' Ke! 1 % v p Το πρώτο µέρος του αθροίσµατος είναι η λύση της αντίστοιχης οµογενούς διαφορικής εξίσωσης, ενώ το v p ονοµάζεται µερική λύση (paricular soluion). Ο υπολογισµός της v p µπορεί να γίνει βάζοντας την παραπάνω έκφραση της λύσης στην προς λύση διαφορική εξίσωση, η οποία γίνεται 1 % και εποµένως v p =RI και η λύση γίνεται: K e & 1 % v p ' I C -165-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ v() ' Ke! 1 % IR Ο υπολογισµός του Κ γίνεται από την αρχική συνθήκη της διαφορικής εξίσωσης, την οποία εφαρµόζουµε στην λύση: για =0, από την παραπάνω λύση και αφού v(0)=0, παίρνουµε K=!IR οπότε η τελική έκφραση για την λύση της µη οµογενούς διαφορικής εξίσωσης είναι v() '!RI e! 1 % RI ' RI 1! e! 1 (3.3) ΣΧΗΜΑ 3.6 Στο σχήµα 3.6 φαίνεται η παράσταση της εξαναγκασµένης απόκρισης του κυκλώµατος πρώτης τάξης του σχήµατος 3.5, για την συγκεκριµένη διέγερση. Υπενθυµίζεται ότι για άλλη διέγερση, η απόκριση θα είναι διαφορετική. Το κύκλωµα που χρησιµοποιήσαµε, είναι το πιο απλό που µπορεί κανείς να φανταστεί και παρ όλα αυτά, τα µαθηµατικά που απαιτούνται είναι αρκετά πολύπλοκα. Αν είχαµε χρησιµοποιήσει κύκλωµα 2ης τάξης, π.χ. ένα πηνίο παράλληλα µε πυκνωτή και αντιστάτη, η διαφορική εξίσωση που θα έπρεπε να λυθεί θα ήταν 2ης τάξης. 3.3 Η πλήρης απόκριση Η απόκριση ενός κυκλώµατος που οφείλεται στις αρχικές του συνθήκες (αρχική κατάσταση) και σε εξωτερική διέγερση, ονοµάζεται πλήρης απόκριση. -166-
3. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ Στα γραµµικά χρονικά αµετάβλητα κυκλώµατα, η πλήρης απόκριση είναι το άθροισµα της απόκρισης µηδενικής εισόδου, που οφείλεται στις αρχικές συνθήκες, και της εξαναγκασµένης απόκρισης που οφείλεται µόνον στην εξωτερική διέγερση. Παρακάτω θα υπολογίσουµε την απόκριση του κυκλώµατος σε µια διέγερση που προέρχεται από την σύνδεση την χρονική στιγµή =0 µιας συνεχούς πηγής ρεύµατος Ι, µε τον πυκνωτή αρχικά φορτισµένο στην τάση V o. Στο κύκλωµα του σχήµατος 3.7, πριν ανοίξει ο διακόπτης, δεν περνάει καθόλου ρεύµα προς το κύκλωµα. Οταν ο διακόπτης κλείνει για =0, συνδέοντας την πηγή συνεχούς ρεύµατος i s ()=I στο κύκλωµα, όλο το ρεύµα κατευθύνεται προς τον πυκνωτή και τον αντιστάτη. Η αρχική τάση του πυκνωτή είναι V o. ΣΧΗΜΑ 3.7 Γιά $0 έχουµε ότι το εισερχόµενο στο κύκλωµα ρεύµα Ι, ισούται µε το άθροισµα του ρεύµατος του πυκνωτή και του ρεύµατος του αντιστάτη, δηλ.: C d d v() % 1 R v() ' i s () ' I ή ισοδύναµα d d v() % 1 v() ' 1 C I µε v(0)=v C (0)=V o Η παραπάνω εξίσωση είναι η ίδια µε την εξίσωση που προέκυψε στην περίπτωση του υπολογισµού της εξαναγκασµένης απόκρισης µε διαφορά µόνον στην αρχική συνθήκη. Είναι µια µη οµογενής διαφορική εξίσωση µε σταθερούς συντελεστές και έχει κατά τα γνωστά λύση της µορφής v() ' Ke! 1 % v p Το πρώτο µέρος του αθροίσµατος είναι η λύση της αντίστοιχης οµογενούς διαφορικής εξίσωσης ενώ το v p η µερική λύση (paricular soluion). Για τον υπολογισµό του συντελεστή Κ χρησιµοποιούµε την αρχική συνθήκη οπότε η παραπάνω σχέση για =0 και v(0)= V o, δίνει K= V o!v p. Ο υπολογισµός της v p µπορεί να γίνει βάζοντας την παραπάνω έκφραση της -167-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ λύσης v() στην προς λύση διαφορική εξίσωση. Με τον τρόπο αυτό βρίσκουµε ότι v p =RI, οπότε K= V o!ri και η τελική λύση για $0 είναι: ' (V 0!RI) e! 1 % RI ' V 0 e! 1 % RI 1! e! 1 (3.) ΣΧΗΜΑ 3.8 H παραπάνω έκφραση δίνει την πλήρη απόκριση του κυκλώµατος, που οφείλεται στις αρχικές συνθήκες και στην εξωτερική διέγερση. Παρατηρήστε ότι η πλήρης απόκριση είναι το άθροισµα της απόκρισης µηδενικής εισόδου και της εξαναγκασµένης απόκρισης, αφού έχουµε ήδη στα προηγούµενα υπολογίσει ότι: Απόκριση µηδενικής εισόδου: V 0 e! 1 Εξαναγκασµένη απόκριση: RI 1!e! 1 Το σχήµα 3.8 δείχνει την πλήρη απόκριση του κυκλώµατος του παραδείγµατος για την συγκεκριµένη διέγερση, ως το άθροισµα των δύο επιµέρους αποκρίσεων. 3.5 Η βηµατική και η κρουστική απόκριση 3.5.1 Η βηµατική απόκριση Η εξαναγκασµένη απόκριση ενός συστήµατος στην µοναδιαία βηµατική -168-
3. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ διέγερση u(), ονοµάζεται βηµατική απόκριση. Φυσικά, αφού µιλάµε για την εξαναγκασµένη απόκριση, θεωρούµε ότι δεν έχουµε αρχικές συνθήκες. ΣΧΗΜΑ 3.9 Ο υπολογισµός της βηµατικής απόκρισης, η οποία είναι χαρακτηριστική του συστήµατος, γίνεται µε την κατάστρωση και επίλυση των σχετικών διαφορικών εξισώσεων. Ας θεωρήσουµε το κύκλωµα του σχήµατος 3.9 µε βηµατική διέγερση u() και µηδενικές αρχικές συνθήκες. Η εξίσωση του ΝΤΚ για >0, οπότε η τάση είναι ίση µε 1, θα είναι: Ri() % v 2 () ' 1 γιά >0 Επειδή όµως από την σχέση ρεύµατος-τάσεως του πυκνωτή έχουµε i() ' C d d v 2 (), η εξίσωση του ΝΤΚ γίνεται: d d v 2 () % 1 v 2 () ' 1 γιά >0 Η λύση της µη οµογενούς αυτής διαφορικής εξίσωσης είναι κατά τα γνωστά: v 2 () ' Ae! %v p γιά >0 Βάζοντας την παραπάνω v 2 () στην διαφορική εξίσωση, υπολογίζεται ότι v p =1. H σταθερά Α προσδιορίζεται από τις αρχικές συνθήκες, την τάση δηλ. του πυκνωτή για =0. Η τάση όµως αυτή είναι µηδενική αφού έχουµε θεωρήσει µηδενικές αρχικές συνθήκες. Βάζοντας εποµένως v 2 (0) =0 και =0 στην παραπάνω έκφραση της v 2 (), βρίσκουµε ότι Α=-1 και τελικά η λύση της διαφορικής εξίσωσης, η βηµατική απόκριση, είναι: v 2 () '&e! %1 γιά $0 (3.5) Το γεγονός ότι η λύση αυτή ισχύει για $0, εκφράζεται µε τον πολλαπλασιασµό της µε το µοναδιαίο βηµατικό σήµα u(), δηλ. v 2 () ' 1 & e! u() (3.6) -169-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Η γραφική παράσταση της βηµατικής απόκρισης του κυκλώµατος φαίνεται στο επόµενο σχήµα. 3.5.2 Η κρουστική απόκριση Η εξαναγκασµένη απόκριση ενός συστήµατος στην µοναδιαία κρουστική διέγερση δ(), ονοµάζεται κρουστική απόκριση. Φυσικά αφού πρόκειται περί εξαναγκασµένης απόκρισης, οι αρχικές συνθήκες είναι µηδενικές. Ο υπολογισµός της κρουστικής απόκρισης γίνεται µε την κατάστρωση και επίλυση των σχετικών διαφορικών εξισώσεων. Η κρουστική απόκριση είναι χαρακτηριστική του κάθε συστήµατος και αποτελεί τον καλύτερο τρόπο περιγραφής του στο πεδίο του χρόνου. Ας θεωρήσουµε το ίδιο κύκλωµα του σχήµατος 3.9 µε κρουστική διέγερση δ() και µηδενικές αρχικές συνθήκες, δηλ. τον πυκνωτή αφόρτιστο (σχήµα 3.9α). ΣΧΗΜΑ 3.9α Η εξίσωση του ΝΤΚ για >0, οπότε η τάση εισόδου είναι µηδενική, θα είναι Ri()%v 2 () ' 0 για >0 Επειδή όµως από την σχέση ρεύµατος-τάσεως του πυκνωτή έχουµε i() ' C d d v 2 () βρίσκουµε ότι η εξίσωση του ΝΤΚ είναι τελικά -170-
3. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ d d v 2 () % 1 v 2 () ' 0 γιά >0 Η λύση της οµογενούς αυτής διαφορικής εξίσωσης είναι κατά τα γνωστά: v 2 () ' Ae! γιά >0 όπου η σταθερά Α προσδιορίζεται από τις αρχικές συνθήκες. Στον υπολογισµό όµως της κρουστικής απόκρισης, θεωρούνται µηδενικές αρχικές συνθήκες, δηλ., ο πυκνωτής είναι αρχικά αφόρτιστος στο συγκεκριµένο κύκλωµα. Είναι όµως έτσι στην περίπτωση της κρουστικής διέγερσης ή κατά την χρονική στιγµή =0 που επισυµβαίνει, καταφέρνει να δώσει µια αρχική τάση στον πυκνωτή; Θα χρησιµοποιήσουµε λίγα όρια για να ξεπεράσουµε τις σχετικές δυσκολίες που παρουσιάζει η κρουστική. Θα θεωρήσουµε την κρουστική ως ένα παλµό p Δ () διάρκειας Δτ και πλάτους 1/Δτ µε το Δτ να τείνει στο µηδέν. Επειδή το κύκλωµα είναι αιτιοκρατικό (δηλ. στη χρονική στιγµή η έξοδος εξαρτάται µόνον από τις προηγούµενες τιµές της εισόδου), για 0##Δτ, η εξαναγκασµένη απόκριση µε διέγερση την p Δ () είναι ακριβώς η ίδια µε αυτήν που θα προκαλούσε µια βηµατική διέγερση (1/Δτ)u() δηλ. v 2 () ' 1 Δτ u() 1 & e & (Την βηµατική απόκριση υπολογίσαµε στο προηγούµενο εδάφιο, σχέση 3.6, και εδώ πρόκειται για την βηµατική απόκριση πολλαπλασιασµένη απλά επί 1/Δτ αφού η διέγερση είναι (1/Δτ)u()). Στη χρονική στιγµή Δτ εποµένως, η τάση του πυκνωτή µε διέγερση την βηµατική (1/Δτ)u() θα είναι v 2 (Δτ) ' 1 Δτ 1 & e & Δτ -171-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Στο όριο, καθώς το Δτ τείνει στο µηδέν ώστε η βηµατική να γίνει κρουστική, το v 2 (τ) τείνει στο v 2 (0+). Με τον κανόνα του Hospial, η παραπάνω σχέση δίνει v 2 (0%)' 1 Ενώ δηλ. η αρχική τάση του πυκνωτή είναι µηδέν, η κρουστική διέγερση, µε την εφαρµογή της, του δίνει ένα αρχικό φορτίο και τάση. Εχοντας τώρα την "αρχική" τάση του πυκνωτή για =0, µπορούµε να υπολογίσουµε την σταθερά Α στην v 2 () ' Ae! γιά >0, βάζοντας =0+: v (0%) ' A ' 1 2 Τελικά, η τάση του πυκνωτή για κρουστική διέγερση είναι v 2 () ' 1 e! που επειδή ορίζεται για >0, γράφεται v 2 ()'u() h() ' u() 1 e! Επειδή πρόκειται για την κρουστική απόκριση του κυκλώµατος, χρησιµοποιείται το σύµβολο h(): 1 e! Η γραφική παράσταση της κρουστικής απόκρισης του κυκλώµατος του σχήµατος 3.9α συναρτήσει του χρόνου για =1 φαίνεται στο σχήµα 3.10. ΣΧΗΜΑ 3.10-172-
3. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ Θα αποδείξουµε αργότερα ότι η βηµατική απόκριση είναι το ολοκλήρωµα της κρουστικής αλλά χρησιµοποώντας το γεγονός αυτό από τώρα µπορούµε να υπολογίσουµε την βηµατική απόκριση α() του κυκλώµατος ως α()' m 0 h()d ' u() 1&e & Η σχέση αυτή για την βηµατική απόκριση είναι ίδια µε αυτή που υπολογίσαµε στο προηγούµενο εδάφιο. Ο υπολογισµός της κρουστικής απόκρισης ενός κυκλώµατος µέσω των διαφορικών εξισώσεων και των ορίων είναι µια πολύπλοκη διαδικασία και σε επόµενα κεφάλαια θα µελετήσουµε απλούστερους τρόπους. Στη συνέχεια θα δείξουµε την χρησιµότητα της κρουστικής απόκρισης στα γραµµικά συστήµατα συνεχούς χρόνου. 3.6 Η συνέλιξη Η συνέλιξη (convoluion) είναι µια µαθηµατική διαδικασία, ένα ολοκλήρωµα, η οποία µας επιτρέπει να συνδέουµε την κρουστική απόκριση ενός συστήµατος LTI (γραµµικού, χρονικά αµετάβλητου) συνεχούς χρόνου µε την απόκρισή του σε οποιαδήποτε διέγερση. ΣΧΗΜΑ 3.11 Ας αρχίσουµε θεωρώντας ότι µια διέγερση f() σε ένα γραµµικό, σύστηµα συνεχούς -173-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ χρόνου, προκαλεί την απόκριση g(). Η διέγερση µπορεί να προσεγγιστεί µε παλµούς p Δ () διάρκειας Δτ και πλάτους 1/Δτ, όπως στο σχήµα 3.11. Κάθε παλµός p Δ (-nδτ) για να αποκτήσει πλάτος ίσο µε την τιµή f(nδτ) του σήµατος πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί f(nδτ)δτ, αφού το αρχικό του πλάτος είναι 1/Δτ. Με τον τρόπο αυτό, η διέγερση προσεγγίζεται µε το άθροισµα των παλµών και µπορούµε να γράψουµε ότι: f()' j n' f(nδτ)p Δ (&nδτ)δτ Αν ο παλµός p Δ () προκαλεί απόκριση h Δ (), επειδή το σύστηµα είναι χρονικά αµετάβλητο, ο κάθε παλµός p Δ (-nδτ) προκαλεί απόκριση h Δ (-nδτ). Επειδή το σύστηµα είναι γραµµικό, η απόκρισή του σε διέγερση f(nδτ)p Δ (-nδτ)δτ θα είναι φυσικά f(nδτ)h Δ (-nδτ)δτ, αφού η ποσότητα f(nδτ)δτ είναι σταθερή ως το πλάτος του συγκεκριµένου παλµού. Η συνολική προσεγγισµένη απόκριση, επειδή το κύκλωµα είναι γραµµικό, θα είναι το άθροισµα των αποκρίσεων που προκαλεί ο κάθε παλµός, δηλ. g() ' j f(nδτ)h Δ (&nδτ)δτ n ' Στη συνέχεια θα φανταστούµε το Δτ να τείνει στο dτ, το οποίο τείνει στο µηδέν. Στην περίπτωση αυτή οι όροι f(nδτ) γίνονται f(τ), οι παλµοί p Δ (-nδτ) γίνονται καθυστερηµένες κρουστικές δ(-τ) και οι αποκρίσεις τους γίνονται οι αντίστοιχες κρουστικές αποκρίσεις h(-τ). Για Δτ να τείνει εποµένως στο dτ, έχουµε: g() ' f(τ)h(&τ)dτ m Η παραπάνω εξίσωση, που ορίζει το συνελικτικό ολοκλήρωµα, είναι υψίστης σηµασίας για την θεωρία των συστηµάτων και κυκλωµάτων LTI συνεχούς χρόνου. Στην ουσία, εκφράζει την απόκριση ενός συστήµατος σε διέγερση f() συναρτήσει της κρουστικής απόκρισης h() του συστήµατος. Γνωρίζοντας δηλαδή την κρουστική απόκριση h() του κυκλώµατος, η απόκρισή του σε τυχούσα διέγερση f() υπολογίζεται από την παραπάνω σχέση. Η σύνδεση της απόκρισης µε την διέγερση µέσω της κρουστικής απόκρισης αποτελεί την καταξίωση της σηµασίας της κρουστικής απόκρισης. Στην µελέτη των συστηµάτων και κυκλωµάτων, χρησιµοποιούνται συνήθως διεγέρσεις που είναι µηδενικές για <0. Τέτοια σήµατα αναφέρονται στην βιβλιογρα- -17-
3. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ φία και ως αιτιοκρατικά (causal) ή µονόπλευρα και µπορούν να προκύψουν από οποιοδήποτε σήµα f() αν αυτό πολλαπλασιαστεί επί το µοναδιαίο βηµατικό σήµα u(). Στην περίπτωση αυτή, είναι δυνατόν να αλλάξουν τα όρια της ολοκλήρωσης, αφού το ολοκληρούµενο γινόµενο είναι µηδενικό από - έως 0: g() ' f(τ)h(&τ)dτ m g() ' f()(h() ' f(τ)h(&τ)dτ m 3.6.1 Ιδιότητες της συνέλιξης Η συνέλιξη ως µαθηµατική πράξη µεταξύ δύο σηµάτων έχει τις παρακάτω βασικές ιδιότητες: 1. f()(h()'h()(f() 2. f()(h() (x()'f()( h()(x() 3. f()( h()%x() 'f()(h()%f()(x(). f()(δ()'f() 5. f()(δ(& o )'f(& o ) 0 Γενικά η συνέλιξη g() µιας συνάρτησης f() µε µια άλλη h() συµβολίζεται και ορίζεται ως Οι δύο τελευταίες ιδιότητες δεν πρέπει να συγχέονται µε τις αντίστοιχες µε γινόµενα: f()δ(& o )'f( o )δ(& o ) και f(& ο )δ()'f(& o )δ() ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3.1-175-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ως παράδειγµα της δυνατότητος υπολογισµού της απόκρισης ενός κυκλώµατος σε οποιαδήποτε διέγερση αν γνωρίζουµε την κρουστική απόκριση, θα χρησιµοποιήσουµε το παραπάνω κύκλωµα, του οποίου έχουµε ήδη υπολογίσει την κρουστική απόκριση, για να υπολογίσουµε και την απόκρισή του σε ηµιτονική διέγερση e()=u()ηµ(ω). Σύµφωνα µε αυτά που αναφέρθηκαν προηγούµενα, η απόκριση του 1 κυκλώµατος θα είναι: v 2 ()'e()(h()'u()ηµ(ω)(u() e & Εισάγοντας τον ορισµό της συνέλιξης έχουµε: v 2 ()' 1 v 2 ()' u(τ)ηµ(ωτ)u(&τ) m e! v 2 ()' 1 e & e m 0 τ ηµ(ωτ)dτ &τ dτ Λαµβάνοντας υπόψη ότι η u()=0 γιά τ<0 αφού το σύστηµα είναι αιτιοκρατικό και ότι u( - τ)=0 για <τ µπορούµε να γράψουµε Ο υπολογισµός του ολοκληρώµατος δίνει τελικά: για$0 & u() ηµ(ω)&ω συν(ω)&e 1%ω 2 R 2 2 C Η παράσταση της εξόδου για την συγκεκριµένη είσοδο για =1 και ω=5, δίνεται στο σχήµα 3.12. ΣΧΗΜΑ 3.12 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3.2 Βηµατική απόκριση του ολοκληρωτή Ο ολοκληρωτής ως φυσικό σύστηµα, έχει απόκριση y(), που είναι το ολοκλήρωµα της διέγερσης x(). -176-
3. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ y()' x()d m Είναι προφανές ότι η κρουστική απόκριση του ολοκληρωτή θα είναι η απόκρισή του όταν x()=δ(), δηλ. h()' δ()d'u() m αφού σύµφωνα µε τις ιδιότητες της δ(), το ολοκλήρωµα είναι 0 για <0 και έχει τιµή 1 γιά >0. Ετσι, η κρουστική απόκριση του ολοκληρωτη είναι ένα βηµατικό σήµα. Το συµπέρασµα αυτό δίνει µιά νέα ιδιότητα της συνέλιξης: x()(u()' x()d m ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3.3: Σχέση κρουστικής και βηµατικής απόκρισης Αν θεωρήσουµε ένα σύστηµα µε κρουστική απόκριση h(), για να υπολογίσουµε την βηµατική του απόκριση, θα πρέπει να υπολογίσουµε την απόκρισή του α() για βηµατική διέγερση u(). Στην περίπτωση αυτή, η βηµατική απόκριση θα είναι α()'u()(h()' h(τ) u(&τ) dτ m Επειδή το σύστηµα είναι αιτιοκρατικό (causal), η h(τ) είναι µηδενική γιά τ<0 και η ολοκλήρωση µπορεί να γίνει από τ=0 αφού από - έως 0 το γινόµενο του ολοκληρώ- µατος µηδενίζεται: α()' h(τ) u(&τ) dτ. m 0 Η u(-τ) έχει µηδενική τιµή όταν τ> (π.χ. u(-2)=0) άρα η ολοκλήρωση έχει νόηµα µέχρι τ=, πράγµα που οδηγεί σε αλλαγή των ορίων ολοκλήρωσης από 0 έως, -177-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ διάστηµα στο οποίο η u(-τ) έχει τιµή 1, οπότε το η σχέση µπορεί να γραφτεί ως: α()' h(τ) dτ m 0 Η σχέση αυτή βγαίνει και απ' ευθείας από την ιδιότητα της προηγούµενης εφαρµογής: α()'u()(h()' h()d' h()d m m Η αλλαγή των ορίων γίνεται γιατί h()=0 όταν <0 (αιτιοκρατικό σύστηµα). Η βηµατική δηλ. απόκριση α() ενός συστήµατος LTI συνεχούς χρόνου είναι το ολοκλήρωµα της κρουστικής απόκρισής του h(). Ισχύει φυσικά και το αντίστροφο, ότι δηλ. η κρουστική απόκριση ενός συστήµατος LTI συνεχούς χρόνου είναι ίση µε την πρώτη παράγωγο της βηµατικής του απόκρισης: 0 h()' d. Η σχέση αυτή d α() χρησιµοποιείται συχνά για τον υπολογισµό της κρουστικής απόκρισης από την βηµατική απόκριση, αφού ο υπολογισµός της βηµατικής απόκρισης είναι συνήθως ευκολότερος. 3.6.2 Η συνέλιξη παραστατικά Αξίζει όµως κανείς να καταλάβει την πράξη της συνέλιξης δύο σηµάτων. Αυτό θα το προσπαθήσουµε µε τον υπολογισµό της απόκρισης του κυκλώµατος του σχήµατος 3.9 σε βηµατική διέγερση u(). Γνωρίζοντας την κρουστική απόκριση του κυκλώµατος s() ' u() ( u() h() ' u() 1 e & 1 e! και τον µηχανισµό δηµιουργίας της απόκρισης, µπορούµε να γράψουµε ότι για βηµατική διέγερση, η έξοδος θα είναι ' 1 u(τ) u(&τ) e & & τ m dτ -178-
3. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΧΗΜΑ 3.13 Οι συναρτήσεις u(τ) και h(τ) φαίνονται στο σχήµα 3.13. Οταν υπολογίζουµε το συνελικτικό ολοκλήρωµα, το είναι κάθε φορά σταθερό, αφού η µεταβλητή µας είναι το τ. Μπορεί δηλαδή να θεωρήσουµε ότι για κάθε σταθερή χρονική στιγµή, υπολογίζουµε το ολοκλήρωµα της συνέλιξης. Ας δούµε λοιπόν την συνέλιξη για µερικές τιµές του. Ας αρχίσουµε µε =0. Για την τιµή αυτή του χρόνου, η βηµατική απόκριση θα δίνεται από την α(0) ' u(τ) h(0 & τ) dτ ' 1 u(τ) u(& τ) e & & τ m m dτ Οι δύο συναρτήσεις που ολοκληρώνονται, δηλ. η u(τ) και η h(-τ) φαίνονται στο σχήµα 3.1. Η h(-τ) είναι απλά η χρονικά αντεστραµένη h(τ). Το γινόµενο u(τ)h(-τ) είναι µηδενικό για όλες τις τιµές του τ αφού για τις τιµές αυτές, κάποια από τις δύο είναι µηδενική. Εποµένως από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι α(0)=0. ΣΧΗΜΑ 3.1 Στη συνέχεια ας υπολογίσουµε την απόκριση για µια τιµή 1 >0. Για την χρονική αυτή στιγµή έχουµε α( 1 ) ' u(τ) h( m 1 & τ) dτ ' 1 u(τ) u( m 1 & τ) e & Οι συναρτήσεις u(τ) και h( 1 &τ)'u( 1 &τ)e & 1 &τ 1 & τ dτ φαίνονται στο σχήµα 3.15α. -179-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ 3.15 Οταν υπολογίζεται η απόκριση ενός αιτιοκρατικού συστήµατος µε το συνελικτικό ολοκλήρωµα, παρατηρήστε ότι η ολοκληρούµενη ποσότητα είναι µη µηδενική µόνον για τις τιµές του τ που βρίσκονται µεταξύ 0 και, αφού η οποιαδήποτε διέγερση είναι µηδενική γιά <0 και η h(-τ) είναι µηδενική για τ>. Εποµένως στην περίπτωσή µας: α() ' 1 m 0 e & τ dτ Τελικά από αυτή την ανάλυση γίνεται σαφές ότι η συνέλιξη δύο συναρτήσεων f() και h() για µια τιµή του προκύπτει ως το εµβδόν από 0 έως της καµπύλης που ορίζει το γινόµενο της πρώτης επί την δεύτερη, αφού την αντιστρέψουµε χρονικά και την µετατοπίσουµε προς τα δεξιά κατά (flip and slide). Οσο µεγαλώνει το, τόσο µετατοπίζεται προς τα δεξιά η χρονικά αντεστραµένη καµπύλη της h(τ). Το επόµενο σχήµα δείχνει την όλη διαδικασία γιά το συγκεκριµένο παράδειγµα. -180-
3. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ Λόγω της αντιµεταθετικής ιδιότητος της συνέλιξης, είναι δυνατόν να κρατάµε σταθερή την h(τ) και να σύρουµε την διέγερση, κατάσταση που φαίνεται στο σχήµα που ακολουθεί. 3.7 Λειτουργικά µπλοκ- Σύνδεση συστηµάτων Η κρουστική απόκριση κάθε συστήµατος είναι µοναδική για το σύστηµα και το περιγράφει πλήρως. Η συνέλιξη παριστάνει µαθηµατικά την επεξεργασία που πραγµατοποιεί το αιτιοκρατικό σύστηµα LTI στην διέγερση x() σε συνεργασία µε την κρουστική του απόκριση, για να δηµιουργήσει την απόκριση y(). Είναι εποµένως αυτονόητο, αν θέλουµε να παραστήσουµε ένα σύστηµα ως ένα λειτουργικό µπλοκ. να χρησιµοποιούµε την µοναδική για το σύστηµα h(), υπονοώντας ότι το µπλοκ την συνελίσσει µε την διέγερση για να δηµιουργήσει την απόκριση. Οι συνδέσεις συστηµάτων που παρουσιάστηκαν στο πρώτο κεφάλαιο, παρουσιάζονται ξανά εδώ υπό το πρίσµα της παραπάνω θεώρησης. Στην αλυσωτή σύνδεση του σχήµατος, είναι προφανές ότι η κρουστική απόκριση του -181-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ συνολικού συστήµατος είναι h o ()= h 1 ()*h 2 (). Το συνολικό δηλ. σύστηµα συνελίσσει την h o () µε την διέγερση για να δώσει την απόκριση. Στην παράλληλη σύνδεση, δηµιουργείται ένα σύστηµα, η κρουστική απόκριση h o () του οποίου είναι το άθροισµα των επιµέρους κρουστικών αποκρίσεων, των συστηµάτων που συνδέονται. Επαναλαµβάνεται εδώ ότι για να ισχύουν τα παραπάνω, πρέπει τα χαρακτηριστικά των συστηµάτων να επιτρέπουν την σύνδεση, χωρίς αυτή να επηρεάζει την έξοδο του πρώτου συστήµατος. Συγκεκριµένα, αν πρόκειται για ηλεκτρικά κυκλώµατα, θα πρέπει είτε η δεύτερη βαθµίδα να έχει άπειρη αντίσταση εισόδου ή η πρώτη βαθµίδα να έχει µηδενική αντίσταση εξόδου. Αν δεν ισχύει τίποτε από αυτά, πρέπει να παρεµβάλλεται µεταξύ πρώτης και δεύτερης βαθµίδας, ένας αποµονωτής. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3.5 Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήµατος του εποµένου σχήµατος. Παρατηρούµε ότι πρόκειται για δύο κυκλώµατα σαν αυτό του σχήµατος 3.9α, τα οποία δέχονται κοινή είσοδο και οι έξοδοί τους οδηγούνται σε έναν ηµιαθροιστή, οι είσοδοι του οποίου εξασφαλίζουν την άπειρη αντίσταση εισόδου µε την χρήση των -182-
3. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ αποµονωτών. Το σύστηµα µπορεί εποµένως να παρασταθεί ως παράλληλη σύνδεση των δύο κυκλωµάτων, των οποίων ήδη έχουµε υπολογίσει τις κρουστικές αποκρίσεις. Η συνολική κρουστική απόκριση θα είναι το ηµιάθροισµα των επιµέρους, δηλαδή: h o ()'0.5h 1 ()%0.5h 2 ()'0.5u() 1 R 1 C 1 e & R 1 C 1 % 1 R 2 C 2 e & R 2 C 2 Σηµειώνεται ότι τα παραπάνω δεν ισχύουν χωρίς τους αποµονωτές. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3.6 Για να υπολογίσουµε την κρουστική απόκριση του παρακάτω κυκλώµατος, παρατηρούµε ότι αυτό αποτελείται από δύο γνωστές βαθµίδες, αποµονωµένες µε έναν αποµονωτή που εξασφαλίζει ότι η σύνδεση δεν θα επηρεάσει την έξοδο της πρώτης βαθµίδας. Το κύκλωµα µπορεί να παρασταθεί όπως στο παρακάτω σχήµα. -183-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Πρόκειται για µια αλυσωτή σύνδεση δύο βαθµίδων και η συνολική κρουστική απόκριση θα είναι η συνέλιξη των κρουστικών αποκρίσεων των δύο συνδεµένων συστηµάτων: 1 h o ()'h 1 ()(h 2 ()' u() e R 1 C 1 & R 1 C 1 1 ( u() e R 2 C 2 & R 2 C 2 Ο υπολογισµός του παραπάνω συνέλικτικού ολοκληρώµατος δίνει τελικά: h o ()'u() ab b&a e &a &e &b µε a' 1 R 1 C 1 και b' 1 R 2 C 2 3.8 Απόκριση σε µιγαδική εκθετική διέγερση Γενικά η χρονική απόκριση y() ενός συστήµατος είναι διαφορετικής µορφής από την διέγερση x(), µε αποτέλεσµα να µην µπορεί να γραφτεί ως y()=k x() µε το Κ ανεξάρτητο από τον χρόνο. Για παράδειγµα, η βηµατική απόκριση του κυκλώµατος της προηγούµενης εφαρµογής µε κρουστική απόκριση -18-
3. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ h() ' u() 1 e! είναι, όπως είδαµε α() ' m h()d ' u() 1 & e & Ku() 0 Υπάρχει όµως µια κατηγορία σηµάτων, τα οποία δηµιουργούν στα γραµµικά χρονικά αµετάβλητα συστήµατα συνεχούς χρόνου αποκρίσεις της ίδιας χρονικής µορφής. Τα σήµατα που έχουν αυτή την ιδιότητα είναι µιγαδικά εκθετικά σήµατα του τύπου: x() ' e jω ο όπου το ω ο είναι µια σταθερά. Οι διεγέρσεις αυτές ως µιγαδικές, δίνουν µιγαδικές αποκρίσεις της µορφής y() ' Ke j(ω ο %φ ο ) µε τα Κ, ω ο και φ ο πραγµατικά και ανεξάρτητα από τον χρόνο. Για να το αποδείξουµε αυτό, ας θεωρήσουµε ένα σύστηµα µε κρουστική απόκριση h() και διέγερση την παραπάνω µιγαδική εκθετική x(). Η απόκριση θα είναι: y() ' x(τ)h(&τ)dτ ' h(τ)x(&τ)dτ ' m m ' h(τ)e jω ο (&τ) dτ ' e jω ο h(τ)e &jω ο τ dτ m m Είναι προφανές ότι το ολοκλήρωµα είναι ανεξάρτητο του χρόνου και µπορεί να γραφεί ως H(jω) ' h(τ)e &jω ο τ dτ m Η ποσότητα Η(jω), ονοµάζεται συνάρτηση του συστήµατος, είναι µιγαδική και ανεξάρτητη του χρόνου και θα την συναντήσουµε πολλές φορές στα επόµενα κεφάλαια. Η απόκριση εποµένως του συστήµατος όταν η διέγερση είναι x()'e jω ο -185-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ µπορεί να γραφτεί ως y() ' H(jω)e jω ο Επειδή η Η(jω) είναι µιγαδική µπορεί να γραφτεί συναρτήσει του µέτρου και της γωνίας της (όρισµα) ως εξής: H(jω) ' H(ω)e jφ(ω) µε H(ω) ' H(jω) και φ(ω) ' ËH(jω) Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις παίρνουµε: y() ' H(ω)e j(ω ο %φ(ω)) πράγµα που σηµαίνει ότι η απόκριση είναι και αυτή µιγαδική εκθετική µε διαφορετική απλά γωνία και πολλαπλασιασµένη επί την πραγµατική και ανεξάρτητη από τον χρόνο ποσότητα Η(ω). Η απόκριση λοπόν των γραµµικών χρονικά αµετάβλητων συστηµάτων συνεχούς χρόνου σε µιγαδικές εκθετικές διεγέρσεις είναι της ίδιας χρονικής µορφής. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3.7 Το γεγονός αυτό µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό της απόκρισης ενός κυκλώµατος σε µια ηµιτονική διέγερση. Με τον κανόνα του Euler έχουµε x()'e jω 0 'συνω 0 %jηµω 0 Η απόκριση στην διέγερση αυτή θα είναι σύµφωνα µε την προηγούµενη ανάλυση y() ' H(jω 0 ) x() που έχει ένα πραγµατικό και ένα φανταστικό µέρος. Το πραγµατικό µέρος αντιστοιχεί στην απόκριση στο πραγµατικό µέρος της διέγερσης συνω ο ενώ το φανταστικό µέρος στο φανταστικό µέρος της διέγερσης ηµω ο. Προκειµένου εποµένως να υπολογίσουµε την χρονική απόκριση του κυκλώµατος µε h() ' u() 1 e! -186-
3. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ σε ηµιτονική διέγερση, αρκεί να υπολογίσουµε την απόκρισή του σε µιγαδική εκθετική της µορφής x() ' e jω 0 και να πάρουµε το φανταστικό µέρος. δηλ. Απόκριση στην διέγερση ηµω 0 Y Im H(jω 0 ) e jω 0 Αντίστοιχα Απόκριση στην διέγερση συνω 0 Y Re H(jω 0 ) e jω 0 Γνωρίζοντας την παραπάνω h() έχουµε ότι H(jω 0 ) ' h(τ)e & jω 0 τ dτ ' 1 e & (jω 0 % 1 ) τ dτ ' m 1 ' 1 % jω 0 ' 1 ω & j 0 1 % ω 2 0 R 2 C 2 1 % ω 2 0 R 2 C 2 Εποµένως έχουµε για την απόκριση y() ' H(jω 0 ) e jω 0 ' 1 ω ' & j 0 (συνω 1 % ω 2 0 R 2 C 2 1 % ω 2 0 R 0 % j ηµω 0 ) 2 C 2 από όπου υπολογίζεται το φανταστικό µέρος και εποµένως η απόκριση για διέγερση ηµω ο είναι: ηµ(ω 0 ) & ω 0 συν(ω 0 ) 1 % ω 2 0 R 2 C 2 (Εξηγήστε γιατί το αποτέλεσµα αυτό είναι διαφορετικό από αυτό της εφαρµογής 3.1) 3.9 Περιγραφή συστήµατος µε διαφορική εξίσωση Οταν ένα γραµµικό χρονικά αµετάβλητο (LTI) σύστηµα συνεχούς χρόνου δεχθεί µια διέγερση x(), δίνει απόκριση y(). Η διέγερση και η απόκριση συνδέονται µε µια γραµµική διαφορική εξίσωση µε σταθερούς συντελεστές της µορφής -187-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ d a n d n&1 d n d ny()%a n&1 d n&1y()%...%a 1 d y()%a o y() ' d ' b m d m&1 d m d mx()%b m&1 d m&1x()%...%b 1 d x()%b o x() η οποία ονοµάζεται διαφορική εξίσωση του συστήµατος. Το n είναι η τάξη του συστήµατος. Παριστάνοντας τον τελεστή της k-παραγώγου µε παραπάνω διαφορική εξίσωση του συστήµατος γίνεται: Από την οποία βρίσκουµε y() ' k'n λ'm j a k D k y() ' j b λ D λ x() k'0 λ'0 λ'm j b λ D λ λ'0 x() ' k'n j a k D k k'0 y() ' H(jω)e jω ο B(D) x() ' H(D)x() A(D) D k ' d k µε προφανείς ορισµούς για τα A(D), B(D) και H(D). Η H(D) είναι ένας τελεστής που περιγράφει την διαδικασία που τελεί το σύστηµα πάνω στην διέγερση για να δηµιουργήσει την απόκριση και ονοµάζεται τελεστική συνάρτηση του συστήµατος. Στην περίπτωση που η διέγερση είναι µιγαδική εκθετική της µορφής x()'e jω ο έχουµε ήδη βρει ότι που σε συνδυασµό µε την προηγούµενη γενική σχέση δίνει H(D) ' H(jω) Στα µαθηµατικά µια συνάρτηση f() που ικανοποιεί την H(D)f() ' kf() ονοµάζεται ιδιοσυνάρτηση (eigenfuncion) ή χαρακτηριστική συνάρτηση της Η(D) και το k ιδιοτιµή (eigenvalue). Είναι προφανές ότι για τα γραµµικά χρονικά αµετάβλητα συστήµατα συνεχούς χρόνου, η χαρακτηριστική συνάρτηση είναι η e jω ο και η ιδιοτιµή η H(jω). Η ιδιοτιµή H(jω) ονοµάζεται, όπως ήδη αναφέρθηκε, συνάρτηση του συστήµατος. d k η -188-
3. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ 3.9.1 Βασικές λειτουργικές βαθµίδες Κάθε σύστηµα LTI συνεχούς χρόνου που περιγράφεται από µια διαφορική εξίσωση της µορφής d N d N&1 d d Ny()%a N&1 d N&1y()%...%a 1 d y()%a o y() ' d ' b M d M&1 d M d Mx()%b M&1 d M&1x()%...%b 1 d x()%b o x() ή ισοδύναµα µε την χρήση του τελεστή D D N y()%a N&1 D N&1 y()%...%a 1 Dy()%a o y() ' ' b M D M x()%b M&1 D M&1 x()%...%b 1 Dx()%b o x() µπορεί να παρασταθεί, να προσοµοιωθεί, ακόµα και να υλοποιηθεί µε την χρήση βασικών λειτουργικών βαθµίδων και συγκεκριµένα προσθετών (αθροιστών), αφαιρετών, βαθµωτών πολλαπλασιαστών και ολοκληρωτών, οι οποίες υλοποιούνται εύκολα µε γραµµικά κυκλώµατα που χρησιµοποιούν αντιστάτες R, πυκνωτές C και τελεστικούς ενισχυτές. Ο Ολοκληρωτής Ο ολοκληρωτής είναι βασική λειτουργική βαθµίδα στη θεωρία συστηµάτων και κυκλωµάτων και η παράστασή του καθώς και η µαθηµατική σχέση απόκρισηςδιέγερσης δίνονται παρακάτω. x() y()'y( o )% x()d γιά $ o Φυσικά ισχύει και ότι dy() 'x() d Προσθέτες (αθροιστές), αφαιρέτες και βαθµωτοί πολλαπλασιαστές Το σχήµα 3.16δείχνει την παράσταση και την σχέση απόκρισης-διέγερσης των τριών αυτών λειτουργικών βαθµίδων. -189-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ 3.16 3.9.2 Παράσταση, υλοποίηση ή προσοµοίωση συστηµάτων LTI µε τις βασικές λειτουργικές βαθµίδες Η διαφορική εξίσωση ενός συστήµατος LTI D N y()%a N&1 D N&1 y()%...%a 1 Dy()%a o y() ' ' b M D M x()%b M&1 D M&1 x()%...%b 1 Dx()%b o x() µπορεί να γραφτεί και ως D N y()&b N x() %D N&1 a N&1 y()&b N&1 x() %...%D a 1 y()&b 1 x() %a o y()&b o x()'0 αν θεωρήσουµε Μ=Ν, κάτι που µάλλον γενικεύει παρά εξειδικεύει, αφού συνήθως Μ<Ν. Πολλαπλασιάζοντας µε το D -N, και τακτοποιώντας τους όρους, βρίσκουµε: y()'b N x()%d &1 b N&1 x()&a N&1 y() %...%D &(N&1) b 1 x()&a 1 y() %D &N b o x()&a o y() Από την σχέση αυτή, αν αρχίσουµε από την απόκριση y() και δουλέψουµε προς τα αριστερά, προκύπτει το µοντέλο ή διάγραµµα ροής ή διάγραµµα προσοµοίωσης του σχήµατος 3.17, το οποίο παριστάνει, προσοµοιώνει ή ακόµα και υλοποιεί το σύστηµα. -190-
3. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΧΗΜΑ 3.17 Το διάγραµµα αυτό του σχήµατος 3.17, αναφέρεται ως πρώτη κανονική µορφή. Υπενθυµίζεται ότι το D -1 συµβολίζει το ολοκλήρωµα και εποµένως το D -k συµβολίζει την ολοκλήρωση k φορές. Οταν κάποιος συντελεστής είναι µηδενικός, απουσιάζει φυσικά ο αντίστοιχος βαθµωτός πολλαπλασιαστής. Το σχήµα 3.18 δείχνει ένα ακόµα διάγραµµα προσοµοίωσης του συστήµατος, που αναφέρεται ως η δεύτερη κανονική µορφή, για την οποία µπορείτε να αποδείξετε ότι υλοποιεί και αυτό την διαφορική εξίσωση του συστήµατος: D N y()%a N&1 D N&1 y()%...%a 1 Dy()%a o y() ' ' b M D M x()%b M&1 D M&1 x()%...%b 1 Dx()%b o x() ΣΧΗΜΑ 3.18-191-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Οι µορφές των διαγραµµάτων προσοµοίωσης ονοµάζονται κανονικές γιατί έχουν τόσους ολοκληρωτές, όση είναι η τάξη του συστήµατος. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3.8 Στο κύκλωµα του σχήµατος µε διέγερση e(), θεωρούµε ως απόκριση την τάση v 2 () του πυκνωτή. Η διαφορική εξίσωση του κυκλώµατος είναι d 2 d 2v 2 ()% R d L d v 2 ()% 1 LC v 2 ()' 1 LC e() µε Ν=2. Παίρνοντας και Μ=2 µπορούµε να γράψουµε: d 2 d 2v 2 ()% R L d d v 2 ()% 1 LC v 2 ()'0 d 2 d d 2e()%0 d e()% 1 LC e() µε προφανείς ορισµούς a 2 '1 a 1 ' R L a o ' 1 LC b 2 '0 b 1 '0 b o ' 1 LC -192-
3. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΧΗΜΑ 3.20 Χρησιµοποιώντας τα γνωστά ενεργά- κυκλώµατα ολοκληρωτών, αθροιστών και ενισχυτών τάσης, είναι δυνατόν να υλοποιήσουµε το σύστηµα αυτό, προσφέροντας έτσι ένα ισοδύναµο κύκλωµα του αρχικού RLC, χωρίς πηνίο. Ανακαφαλαίωση Είδαµε ότι η πλήρης απόκριση ενός γραµµικού χρονικά αµετάβλητου συστήµατος σχηµατίζεται από δύο επιµέρους αποκρίσεις: την απόκριση µηδενικής εισόδου και την εξαναγκασµένη απόκριση. Αυτό µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό της πλήρους απόκρισης, δηλ. προκειµένου να υπολογίσει κανείς απ ευθείας την πλήρη απόκριση, να υπολογίσει τις δύο αποκρίσεις και να τις προσθέσει. Ακόµα όµως και έτσι και για το απλούστατο των κυκλωµάτων του παραδείγµατος, τελικά απαιτείται η λύση διαφορικής εξίσωσης. Είναι εποµένως προφανές ότι οποιαδήποτε άλλη µέθοδος υπολογισµού της χρονικής απόκρισης χωρίς την χρήση διαφορικών εξισώσεων, θα ήταν περισσότερο από ευπρόσδεκτη. Οι ίδιες δυσκολίες παρουσιάζονται και στον υπολογισµό της τόσο σηµαντικής κρουστικής απόκρισης. Από την άλλη µεριά, αναρωτιέται κανείς αν ο υπολογισµός της χρονικής απόκρισης, που όπως είδαµε είναι διαφορετική για κάθε διαφορετική διέγερση, δίνει τις απαιτούµενες χρήσιµες πληροφορίες. Για παράδειγµα τώρα που γνωρίζουµε την χρονική απόκριση του κυκλώµατος του παραδείγµατος, για την συγκεκριµένη διέγερση, έχουµε κερδίσει τίποτε προς την κατεύθυνση της χρήσης και χρησιµότη- -193-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ τος του κυκλώµατος αυτού; Αν µας ρωτήσει δηλ. κάποιος τι δουλειά κάνει το κύκλωµα αυτό, µπορούµε να απαντήσουµε; Ο υπολογισµός της απόκρισης για την συγκεκριµένη διέγερση, µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό της απόκρισης του κυκλώµατος σε κάποια άλλη διέγερση, π.χ. σε ένα τετραγωνικό παλµό ή ένα ηµιτονικό σήµα; Η απάντηση είναι και ναι και όχι. Αν υπολογίσει κανείς την κρουστική απόκριση, αυτή µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό άλλων αποκρίσεων. Οµως και ο υπολογισµός της κρουστικής απόκρισης είναι µια επίπονη διαδικασία πράγµα που σηµαίνει ότι για ένα πολύπλοκο σύστηµα, πρέπει να λύσει κανείς πολύπλοκες διαφορικές εξισώσεις για να καταλήξει σε µια λύση. Ετσι περιορίζεται η χρησιµότητα της κρουστικής απόκρισης στην περιγραφή της µαθηµατικής διαδικασίας δηµιουργίας της απόκρισης από την διέγερση. Βοηθάει δηλαδή η κρουστική απόκριση να καταλάβουµε ότι τελικά το κύκλωµα πραγµατοποιεί µια µαθηµατική πράξη πάνω στην διέγερση για να δώσει την απόκριση. Η µαθηµατική αυτή πράξη είναι η συνέλιξη της διέγερσης µε την κρουστική απόκριση. Το να υπολογίζει βέβαια κανείς την κρουστική απόκριση ενός πολύπλοκου συστήµατος και µετά να υπολογίζει την συνέλιξή της µε µια σύνθετη διέγερση, είναι τις περισσότερες φορές αδύνατο. Οι υπολογισµοί αυτοί απλοποιούνται πολύ αν κανείς χρησιµοποιήσει µετασχηµατισµούς γιά να µεταφέρει το πρόβληµα σε άλλους χώρους, όπου η λύση γίνεται απλούστερη. Ασκήσεις και προβλήµατα 3.1 Υπολογίστε την κρουστική απόκριση των κυκλωµάτων του σχήµατος Α3.1 µε διαφορικές εξισώσεις (διέγερση e(), απόκριση v o ()). ΣΧΗΜΑ Α3.1 3.2 Γνωρίζοντας την κρουστική απόκριση των κυκλωµάτων του σχήµατος Α3.1, υπολογίστε την βηµατική τους απόκριση α) χρησιµοποιώντας την σχέση βηµατικής-κρουστικής απόκρισης και β) χρησιµοποιώντας την συνέλιξη. 3.3 Χρησιµοποιήστε την γραφική µέθοδο υπολογισµού της συνέλιξης για να υπολογίσετε την βηµατική απόκριση ενός LTI συστήµατος συνεχούς χρόνου, του -19-
3. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ οποίου η κρουστική απόκριση φαίνεται στο σχήµα Α3.2. Επιβεβαιώστε το αποτέλεσµα χρησιµοποιώντας την γενική σχέση που συνδέει την βηµατική και κρουστική απόκριση. ΣΧΗΜΑ Α3.2 ΣΧΗΜΑ Α3.3 3. Χρησιµοποιείστε την γραφική µέθοδο υπολογισµού της συνέλιξης για να υπολογίσετε την βηµατική απόκριση ενός LTI συστήµατος συνεχούς χρόνου, του οποίου η κρουστική απόκριση φαίνεται στο σχήµα Α3.3. Επιβεβαιώστε το αποτέλεσµα χρησιµοποιώντας την γενική σχέση που συνδέει την βηµατική και κρουστική απόκριση. 3.5 Υπολογίστε την βηµατική απόκριση ενός διαφοριστή. 3.6 Περιγράψτε τι κάνει ένα LTI σύστηµα συνεχούς χρόνου, το οποίο έχει κρουστική απόκριση h()=0.5δ(). 3.7 Ενα σύστηµα LTI συνεχούς χρόνου έχει βηµατική απόκριση b() που φαίνεται στο σχήµα Α3.. Υπολογίστε την απόκρισή του για διέγερση δ(-1). ΣΧΗΜΑ Α3. 3.8 Υπολογίστε µε την παραστατική µέθοδο της συνέλιξης την βηµατική απόκριση ενός ολοκληρωτή. 3.9 Γνωρίζοντας την κρουστική απόκριση του ολοκληρωτή, υπολογίστε την απόκρισή του, όταν η διέγερση είναι ένα µοναδιαίο επικλινές σήµα (ramp). 3.10 Υπολογίστε την έξοδο του LTI συστήµατος του σχήµατος Α3.5 και αποδείξτε ότι η κρουστική του απόκριση είναι ένας τετραγωνικός παλµός. Το σύστηµα χρησιµοποιεί έναν ολοκληρωτή, έναν ιδανικό καθυστερητή κατά 2 και έναν αθροιστή. -195-
ΣΗΜΑΤΑ, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΧΗΜΑ Α3.5 3.11 Αν ένα LTI σύστηµα έχει τετραγωνική κρουστική συνάρτηση από 0 έως 2, υπολογίστε την απόκριση όταν η διέγερση είναι: x()'δ(%2)%3e &0.5 &u(&3) ΣΧΗΜΑ Α3.6 3.12 Αποδείξτε ότι το µοντέλο του σχήµατος Α3.6 µε a N =1, παριστάνει ένα σύστηµα µε διαφορική εξίσωση D N y()%a N&1 D N&1 y()%...%a 1 Dy()%a o y() ' ' b M D M x()%b M&1 D M&1 x()%...%b 1 Dx()%b o x() όπου D k ' d k και Μ#Ν d k -196-