ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν. Όλες οι μεταφορές της Orient Express γίνονται μέσω τριών αποθηκών που διαθέτει στην Ευρωπαϊκή Ένωση, ανά μία στις περιοχές του Πειραιά, του Ρότερνταμ και του Αμβούργου. Για τον επόμενο μήνα, η Orient Express προγραμματίζει τη μεταφορά 45 κοντέινερ με υπολογιστές από τον Πειραιά, 6 κοντέινερ από το Ρότερνταμ και 35 κοντέινερ από το Αμβούργο. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται το κόστος μεταφοράς ενός κοντέινερ από κάθε λιμάνι της Ευρωπαϊκής Ένωσης προς κάθε λιμάνι της Ασίας. Λιμάνι Λιμάνι Ασίας Ευρωπαϊκής Ένωσης Hong Kong Σιγκαπούρη Ταϊβάν Πειραιάς 3 34 Ρότερνταμ 49 5 6 Αμβούργο 36 3 5 Η Orient Express έχει αναλάβει και την αποζημίωση των πελατών στην περίπτωση που δεν παραδοθούν οι αιτούμενες ποσότητες: για κάθε κοντέινερ που δεν παραδίδει στο Hong Kong καταβάλλει 8, 9 για κάθε κοντέινερ που δεν παραδίδει στη Σιγκαπούρη και για κάθε κοντέινερ που δεν παραδίδει στην Ταϊβάν. Θεωρώντας ότι ζήτηση για τον επόμενο μήνα έχει διαμορφωθεί στα 6 κοντέινερ υπολογιστών για το Hong Kong, 5 για τη Σιγκαπούρη και 5 για την Ταϊβάν βρείτε το οικονομικότερο σχέδιο μεταφοράς των κοντέινερ με τους φορητούς ηλεκτρονικούς υπολογιστές. ΑΣΚΗΣΗ Μια εταιρεία μεταφοράς πετρελαιοειδών ξεκίνησε πρόσφατα τις μεταφορικές της δυνατότητες με την αγορά (διάθεση) 3 φορτηγών/βυτιοφόρων σε κάθε μία από τις τρεις πόλεις Δ, Δ, Δ3 που βρίσκονται οι αποθήκες της (τα διυλιστήρια). Η εταιρεία θα χρησιμοποιήσει τα φορτηγά αυτά για τις μεταφορές πετρελαιοειδών που πρόκειται να πραγματοποιήσει προς τις πόλεις Ζ, Ζ και Ζ3 με κέρδος σε χρηματικές μονάδες ως ακολούθως: ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ Ζ Ζ3 Δ,8,,6 Δ, 7 9 Δ3,4 8, (είναι διαφορετικό λόγω της απόστασης, του κόστους μεταφοράς, των διοδίων κλπ.). Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι δυνατότητες "φιλοξενίας" σε αριθμό φορτίων/φορτηγών που υπάρχουν στις πόλεις Ζ, Ζ, Ζ3 είναι αντίστοιχα 4, 6 και 5, προσδιορίστε το πλήθος των φορτηγών που πρέπει να δρομολογηθούν στην κάθε διαδρομή ώστε να μεγιστοποιείται το συνολικό κέρδος της εταιρείας. ΑΣΚΗΣΗ 3 Μια βιομηχανία χημικών προϊόντων παράγει, στα δύο εργοστάσιά της, ένα εξειδικευμένο διάλυμα το οποίο χρησιμοποιείται για την εμφάνιση φωτογραφιών. Λόγω όμως εσφαλμένου προγραμματισμού, η επιχείρηση αναμένεται να αντιμετωπίσει ένα αρκετά σοβαρό πρόβλημα έλλειψης προϊόντος κατά το τρέχον τρίμηνο, επειδή έχει ήδη δεχτεί, από τέσσερις βασικούς της πελάτες, παραγγελίες που ξεπερνούν τη συνολική παραγωγική της δυναμικότητα. Έτσι, θέλει κατ' αρχή να αντιμετωπίσει το πρόβλημα «πόση ποσότητα θα αποστείλει σε κάθε πελάτη» και ταυτόχρονα να αποφασίσει «ποιον ή ποιους θα αφήσει ανικανοποίητους και σε πιο βαθμό». Στον πίνακα που ακολουθεί, βλέπετε το μοναδιαίο κόστος παραγωγής, συσκευασίας και μεταφοράς (συνολικά), ανά τόνο προϊόντος που παράγεται κι αποστέλλεται από κάθε εργοστάσιο σε κάθε πελάτη (σε χρηματικές μονάδες). Βλέπετε επίσης τις μέγιστες παραγόμενες ποσότητες που μπορεί να διαθέσει μέσα στο τρίμηνο κάθε εργοστάσιο, καθώς και τις απαιτήσεις των πελατών, σύμφωνα με τις παραγγελίες.
Πελάτης Πελάτης Πελάτης 3 Πελάτης 4 Προσφορά Εργοστάσιο 3 34 3 4 5 Εργοστάσιο 34 3 8 38 3 Ζήτηση 5 3 Για κάθε τόνο που δεν αποστέλλεται λόγω αδυναμίας ικανοποίησης της ζήτησης, η επιχείρηση καταβάλλει ένα πρόστιμο σύμφωνα με κάποια ρήτρα που έχει διακανονιστεί με τον πελάτη. Τα πρόστιμα αυτά για κάθε πελάτη (σε χρηματικές μονάδες ανά τόνο ζήτησης που δεν ικανοποιείται) τα βλέπετε στον ακόλουθο πίνακα. Πελάτης Πελάτης Πελάτης 3 Πελάτης 4 Πρόστιμο ανικανοποίητης ζήτησης ανά τόνο 3 3. Να διαμορφωθεί ο κατάλληλος πίνακας μεταφοράς του προβλήματος και να βρεθεί μια αρχική βασική εφικτή λύση.. Συνεχίζοντας από το προηγούμενο ερώτημα, βρείτε το άριστο σχέδιο ικανοποίησης των παραγγελιών με τη χρήση της μεθόδου μεταφοράς. Όταν ολοκληρώσετε την επίλυση, να διατυπώσετε με ακρίβεια το τελικό άριστο σχέδιο που βρήκατε καθώς επίσης και το συνολικό του κόστος. 3. Αν υπάρχει εναλλακτική άριστη λύση εντοπίστε την. ΑΣΚΗΣΗ 4 Το tablea του προβλήματος μεταφοράς που ακολουθεί περιλαμβάνει μια αρχική βασική εφικτή λύση που εντοπίστηκε με κάποια από τις γνωστές μεθόδους: v 4 9 6 8 9 4-6 -4 7-4 3 - -8 4-4 8-9 6-3 -5 7 9 3 35 3-6 4 5 6 5-5 -9-8 - -3-4 8-8 * 5 5 3 5 45 5 4 5 5 Η λύση αυτή δεν είναι η βέλτιστη ( δ i >) και ζητείται η εφαρμογή της μεθόδου MODI για τον εντοπισμό της. 5 4 5 ΑΣΚΗΣΗ 5 Θεωρείστε το πιο κάτω πρόβλημα μεταφοράς (ο πίνακας που ακολουθεί δίνει το κόστος μεταφοράς μιας μονάδος κάποιου προϊόντος από το σταθμό προέλευσης i στο σταθμό προορισμού ): Προορισμός Προέλευση D D D 3 D 4 Προσφορά S 6 9 4 7 S 3 5 6 4 S 3 4 8 3 3 Ζήτηση 5 5
. Με τη μέθοδο Vogel εντοπίστε μια αρχική βασική εφικτή λύση του.. Στη συνέχεια χρησιμοποιήστε την αρχική λύση που βρήκατε για να φτάσετε στη βέλτιστη λύση του προβλήματος. 3. Βρείτε το διάστημα αριστότητας του συντελεστή c. 4. Υποθέστε ότι η τιμή του c 33 μεταβάλλεται από σε 4. Δώστε τη νέα(;) βέλτιστη λύση του προβλήματος. 5. Υποθέστε ότι η η προσφορά του ου σταθμού προέλευσης αυξάνει κατά 5 μονάδες ενώ του 3ου ελαττώνεται ισόποσα. Χωρίς να λύσετε το πρόβλημα από την αρχή, δώστε τη νέα(;) βέλτιστη λύση του. ΑΣΚΗΣΗ 6 Γνωστή εταιρεία υφασμάτων χρησιμοποιεί για την κατασκευή τους πέντε διαφορετικές βιοτεχνίες οι οποίες βρίσκονται σε ισάριθμες περιοχές της χώρας. Η πρώτη ύλη (βαμβάκι) διοχετεύεται σ αυτές από τρεις ανεξάρτητους προμηθευτές οι οποίοι έχουν δυνατότητα 36, 7 και 45 τόνων αντίστοιχα. Προκειμένου να καλυφθεί η τρέχουσα ζήτηση της αγοράς, οι βιοτεχνίες,, 3, 4 και 5 χρειάζονται αντίστοιχα 8, 9, 3, και 4 τόνους βαμβακιού. Ο πίνακας που ακολουθεί δίνει το κόστος μεταφοράς (σε χρηματικές μονάδες) ενός τόνου βαμβακιού από τον i-προμηθευτή στη -βιοτεχνία: Προορισμός Προέλευση D D D 3 D 4 D 5 Προσφορά S 4 3 6 8 36 S 9 4 6 7 S 3 7 6 7 45 Ζήτηση 8 9 3 4. Προσδιορίστε το βέλτιστο σχέδιο μεταφοράς.. Βρείτε το διάστημα αριστότητας του συντελεστή c. 3. Υποθέστε ότι η τιμή του c μεταβάλλεται από σε. Δώστε τη νέα(;) βέλτιστη λύση του προβλήματος. 3
ΑΣΚΗΣΗ Ορίζοντας ως x i το πλήθος των κοντέινερ που θα δρομολογηθούν από τα λιμάνια τη Ευρωπαϊκής Ένωσης προς τα λιμάνια της Ασίας έχουμε προς επίλυση ένα πρόβλημα μεταφοράς. Επιπλέον, επειδή s i = 4 < 6 = d, θα πρέπει να προστεθεί ένας υποθετικός σταθμός προέλευσης με προσφορά ίση με 6 4 = κοντέινερ. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Vogel για την εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης του προβλήματος, παίρνουμε ως τέτοια την: 3 4 3 4 5 3 6 6 Προσφορά 3 34 9 45 45 49 5 6 3 3 3 3 66 6 554 4 5 36 3 5 4 4 3535 35 8 9 Ζήτηση 6 6 6 6 5 5 5 5 5 i Η λύση αυτή έχει 6 θετικές συνιστώσες και συνεπώς είναι μη εκφυλισμένη. Βρίσκοντας τα δυναμικά i και v και σχηματίζοντας τις διαφορές δ i = i + v c i που αντιστοιχούν στις μη βασικές μεταβλητές βλέπουμε ότι υπάρχουν θετικές τιμές μεταξύ τους και συνεπώς η λύση που περιλαμβάνεται στο tablea δεν είναι η βέλτιστη. Το συνολικό κόστος μεταφοράς ανέρχεται σε 79,5. v 5 34-8 3 4 34 45 49 5 6 7 4 5-7 36 3-9 5 7 35 8-9 9-8 58 6 5 5 45 6 35 4
Στη συνέχεια, με εισερχόμενο κελί το (, ), κατασκευάζουμε το μονοπάτι ανακατανομής των εκχωρήσεων -8 3 4 34 45 49 5 6 4 5-7 36 3-9 5 35 8-9 9-8 6 5 5 45 6 35 Η νέα λύση, στην οποία το κελί (, ) είναι βασικό και το (, ) μη βασικό μια και θ = min{, 45} =, δίνεται στο tablea που ακολουθεί. Ο έλεγχος αριστότητας αποδεικνύει ότι αυτή η λύση είναι η ζητούμενη βέλτιστη λύση του προβλήματος (δ i (i, )). v 34-8 3 34 3 49-4 5 6 7 4-3 36 3-5 5 35 8-3 9-8 58 6 5 5 45 6 35 Το βέλτιστο κόστος μεταφοράς ανέρχεται σε 73,5. 5
ΑΣΚΗΣΗ Ορίζοντας ως x i το πλήθος των φορτηγών που θα δρομολογηθούν από την αποθήκη Δ i προς την πόλη Ζ έχουμε προς επίλυση ένα πρόβλημα μεταφοράς στο οποίο η αντικειμενική συνάρτηση είναι συνάρτηση μεγιστοποίησης κι όχι ελαχιστοποίησης. Για το λόγο αυτό θεωρούμε στα tablea ότι είναι c = c. Επιπλέον, επειδή si = < = i 9 d θα πρέπει να προστεθεί ένας υποθετικός σταθμός προέλευσης με προσφορά ίση με 9 = 6 φορτηγά. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Vogel για την εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης του προβλήματος, παίρνουμε ως τέτοια την: 3 8 8 Ζήτηση 7 9 4,3 4,3 6 i Προσφορά -,8 -, -,6 3 3 -, -7-9 3 3 3 3 -,4-8 -, 3 3 3 6 6 6 6 3 4 6 5 4 3 5 4 3 3 Η λύση αυτή έχει 6 θετικές συνιστώσες και συνεπώς είναι μη εκφυλισμένη. Βρίσκοντας τα δυναμικά i, v και σχηματίζοντας τις διαφορές δ i = i + v - c i που αντιστοιχούν στις μη βασικές μεταβλητές διαπιστώνουμε ότι η λύση αυτή είναι η βέλτιστη (δ i i, ) και συνεπάγεται συνολικό κέρδος της τάξης των -(-6,) = 6, χρηματικών μονάδων. i v -, -, -, -3 -,8 -, -5 -,6 3 -, -4-7 - -9, 3-8 -,4 -,4-8 -, - 3, 3 4 6 5 3 3 3 6 6
ΑΣΚΗΣΗ 3. Ζήτηση 7 5 3 7 5 3 7 5 36 Προσφορά 3 34 3 4 5, 5, 5, 5, *, 3, 34 3 8 38 3, 3, 3, 3, 3 3 4,,,,, 5, 5, 5,, 3, 3, 3, 3,,, Ορίζουμε να είναι x i, οι τόνοι του διαλύματος που θα αποσταλούν από το i-εργοστάσιο στον -πελάτη (i =, και =,, 3, 4). Επιπλέον, επειδή si = 8 < = d θα πρέπει να προστεθεί ένας i υποθετικός σταθμός προέλευσης (Εργοστάσιο 3) με προσφορά ίση με, 8, = 4, τόνους. Το κόστος μεταφοράς c 3 ( =,, 3, 4) προσδιορίζεται από τον πίνακα με τα πρόστιμα. Η εφαρμογή της μεθόδου Vogel για τον εντοπισμό μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης του προβλήματος οδηγεί διαδοχικά: στην εκχώρηση, μονάδων στο κελί (3, 4) με παράλληλη διαγραφή της 4ης στήλης, στην εκχώρηση, μονάδων στο κελί (3, ) με διαγραφή μόνον της 3ης γραμμής, στην εκχώρηση 3, μονάδων στο κελί (, ) με διαγραφή της ης γραμμής και τέλος, στη εκχώρηση, και 3, μονάδων στα κελιά (, ), (, 3) αντίστοιχα. Το κελί (, ) αν και με μηδενική εκχώρηση, είναι ένα βασικό κελί. Το κόστος μεταφοράς ανέρχεται στις 6, χρηματικές μονάδες.. Βρίσκοντας τα δυναμικά i και v και σχηματίζοντας τις διαφορές δ i = i + v c i που αντιστοιχούν στις μη βασικές μεταβλητές βλέπουμε ότι υπάρχουν θετικές τιμές μεταξύ τους και συνεπώς η λύση που περιλαμβάνεται στο tablea δεν είναι η βέλτιστη. v 3 34 3 3 3 34 3-8 4 *, 3, -6 34 3 8-38 -4 3, 3-3 -3,,, 5, 3,, 5, 3, 4, 7
Στη συνέχεια με εισερχόμενο κελί το (3, ), κατασκευάζουμε το μονοπάτι ανακατανομής των εκχωρήσεων : 3 34 3-8 4 5, * 3,, -6 34 3 8-38 3, 3, 3-3 4,,,, 5, 3,, Επειδή υπάρχουν ισοβαθμήσεις στο κριτήριο για την επιλογή του εξερχόμενου κελιού, διαλέγουμε αυθαίρετα το (3, ). Το κόστος ευκαιρίας είναι ίσο με και συνεπώς στη νέα λύση θα έχουμε μια βελτίωση κατά, χρηματικές μονάδες (οπότε το συνολικό κόστος θα γίνει 6, χρηματικές μονάδες). Η νέα λύση, στην οποία το κελί (3, ) είναι βασικό και το (3, ) μη βασικό, δίνεται στο tablea που ακολουθεί. Λόγω των ισοβαθμήσεων που παρατηρήθηκαν είναι εκφυλισμένη και για τη συνέχεια της διαδικασίας MODI, το κελί (, ) θεωρείται βασικό. Ο έλεγχος αριστότητας αποδεικνύει ότι αυτή η λύση είναι η ζητούμενη βέλτιστη λύση του προβλήματος: δ i (i, ). -4-3 v 3 34 3 33 3-34 3-7 4, * -6 34 3 3, 8-9 38 3, - 3-3,,, 5, 3,, 5, 3, 4, 3. Επειδή στο βέλτιστο tablea του προβλήματος μεταφοράς είναι δ 3 =, το πρόβλημα έχει εναλλακτική βέλτιστη λύση. Για να τον εντοπισμό της αρκεί να γίνει βασικό το κελί (, 3). 3 34 3 5,, * 3, -6 34 3 8-38 3, 3, 3-3,, 4,, 5, 3,, 8
Το μονοπάτι ανακατανομής των εκχωρήσεων υποδεικνύει ισοβαθμήσεις στο κριτήριο για την επιλογή του εξερχόμενου κελιού. Επιλέγοντας -αυθαίρετα- το (, 3), καταλήγουμε στην κατωτέρω (εναλλακτική) βέλτιστη λύση: -4-3 v 3 34 3 33 3-34 3-7 4, 3, -6 34 3 8-9 38 * 3, - 3-3,,, 5, 3,, 5, 3, 4, 9
ΑΣΚΗΣΗ 4 Επειδή υπάρχουν ισοβαθμήσεις στο κριτήριο για την επιλογή του εισερχόμενου κελιού διαλέγουμε αυθαίρετα το (, 4). Στη συνέχεια κατασκευάζουμε το μονοπάτι ανακατανομής των εκχωρήσεων: 4-6 -4 7-4 3 4-4 8-9 6-3 -5 7 9 35 3-6 4 5 3 6 5-5 -9-8 - -3-4 8-8 5 5 3 5 45 5 4 5 5 5 4 5 Το κελί με αρνητικό πρόσημο και την ελάχιστη ποσότητα είναι το (, 7) με εκχώρηση ίση με. Επειδή το κόστος ευκαιρίας είναι ίσο με, στη νέα λύση θα έχουμε συνολικό κόστος μικρότερο κατά (ισούται με 4,95). Η νέα λύση, στην οποία η μεταβλητή x 4 είναι βασική και η x 7 μη βασική, δίνεται στο tablea που ακολουθεί. Τα κόστη ευκαιρίας δ i δεν είναι όλα μη θετικά (δ 46 = ) και κατά συνέπεια υπάρχει καλύτερη λύση. Με εισερχόμενο κελί το (4, 6) κατασκευάζουμε το (νέο) μονοπάτι ανακατανομής των εκχωρήσεων. - -7 v 3 8 7 8 - - 4-7 -5 7-5 3-4 -4 8-9 6-3 -4 7 9 5 3-6 4 5 6 5 5-5 -8-8 - -3-3 8-8 5 3 5 45 5 4 5 5 5 4 5 Το κελί με αρνητικό πρόσημο και την ελάχιστη ποσότητα είναι το (4, ) με εκχώρηση ίση με. Το κόστος ευκαιρίας είναι ίσο με, οπότε στη νέα λύση θα έχουμε συνολικό κόστος μικρότερο κατά (ισούται με 4,85).
v 8 4 7 7 - - 4-7 -6 7-6 3-4 -4 8-9 9 6 - -3 7 9-9 -7 35 3-5 4 5 3-6 4 5-4 -7-8 - -4-3 8-9 5 3 5 45 5 4 5 5 5 4 5 Επειδή δ i (i, ) η ανωτέρω λύση είναι η ζητούμενη βέλτιστη.
ΑΣΚΗΣΗ 5. Επειδή si = 9 > 75 = d προσθέτουμε έναν υποθετικό σταθμό προορισμού D 5 με ζήτηση ίση με i 9-75 = μονάδες του προϊόντος και με μηδενικό κόστος μεταφοράς από τους υπάρχοντες σταθμούς προέλευσης. Σύμφωνα με την υπόδειξη περί της μεθόδου που θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για την εύρεση της αρχικής βασικής εφικτής λύσης του προβλήματος, η μέθοδος Vogel δίνει: 4 4 3 Προσφορά (d ) 3 3 6 3 Ζήτηση (s i ) 6 9 4 7 5 5 5 5 3 5 6 4 5 5 5 4 8 3 3 3 3 5 5 5 5 Το κόστος μεταφοράς για την ανωτέρω λύση είναι R =. 5 5 5 5. Η λύση που έχουμε έχει 7 θετικές συνιστώσες και συνεπώς είναι μη εκφυλισμένη. Βρίσκοντας τα δυναμικά i, v και σχηματίζοντας τις διαφορές δ i = i + v c i που αντιστοιχούν στις μη βασικές μεταβλητές v - 4 5-4 6 3-4 4-5 6 5-9 8 5 5 4 5-7 6 5 5 5 5 3-4 3 βλέπουμε ότι υπάρχουν θετικές τιμές (δ 5 ) κι άρα η λύση που περιλαμβάνεται στο tablea δεν είναι η βέλτιστη. Μια καλύτερη λύση προκύπτει αν κάνουμε βασική τη μεταβλητή x 5 και μη βασική την x 33 αφού θ = min{5, } = 5. Η νέα λύση δίνεται στο πιο κάτω tablea και είναι η βέλτιστη : δ i (i, ). Το αντίστοιχο κόστος μεταφοράς είναι R = 5.
v - 3 4 5-3 6-4 6 4-7 3-5 - 6 5-3 4-8 8 3 5-5 5 5 5 4 3 3. Η μεταβλητή x είναι μια μη βασική μεταβλητή στην άριστη λύση του δοθέντος προβλήματος μεταφοράς και συνεπώς το εύρος αριστότητας του συντελεστή c είναι το [ +v, ) = [3, ). 4. Η μεταβλητή x 33 είναι μια βασική μεταβλητή κι άρα η μεταβολή του συντελεστή c 33 σε c ˆ 33 = c 33 + Δ επηρεάζει τόσο τα δυναμικά i, v όσο και τις διαφορές δ i. Για να μην μεταβάλλεται η άριστη λύση θα πρέπει για τις νέες διαφορές να ισχύει ˆ δ ˆ ˆ ˆ i = i + v ci. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, οι τιμές για τα νέα δυναμικά είναι: =, =, 3 = Δ-, v = 3, v =, v 3 = 4, v 4 = 5-Δ, v 5 = κι επομένως η παρούσα λύση παραμένει η βέλτιστη αν είναι δ 4 = -Δ- δ 4 = -Δ- δ 3 = Δ-3 δ 3 = Δ-8 δ 35 = Δ- (είναι δ, δ, δ 3 ) που ισχύει για Δ. Συνεπώς το εύρος αριστότητας του c 33 είναι το [, 4]. Η τρέχουσα λύση εξακολουθεί να είναι η βέλτιστη για c 33 = 4 που ζητείται εδώ. 5. Πρόκειται για την περίπτωση όπου οι ποσότητες s, s 3 μεταβάλλονται και γίνονται αντίστοιχα s +Δ, s 3 -Δ. Η βασική εφικτή λύση του νέου προβλήματος προσδιορίζεται από την υπάρχουσα, ως συνάρτηση της ποσότητας Δ, αφού πρώτα βρεθεί το μονοπάτι ανακατανομής των εκχωρήσεων: v - 3 4 5-3 6-4 6 4-7 +Δ -Δ 3-5 - 6 5-3 4-8 8 3 5+Δ - 5-Δ 5 5 5 4+Δ 3-Δ Για 5 Δ 5, η λύση που περιλαμβάνεται στο ανωτέρω tablea είναι βασική και εφικτή κι άρα είναι η βέλτιστη. Εδώ Δ = 5 και συνεπώς νέα βέλτιστη λύση είναι η x 3 =, x = 5, x =, x = 5 x 5 =, x 34 = 5. Το νέο κόστος μεταφοράς ισούται με 5 + Δ = χρηματικές μονάδες (: ο ρυθμός μεταβολής της βέλτιστης αντικειμενικής τιμής ανά μονάδα μεταβολής του Δ στο διάστημα [-5, 5] είναι 3 = ). 3
ΑΣΚΗΣΗ 6. Επειδή si = 8 > 85 = d προσθέτουμε έναν υποθετικό σταθμό προορισμού D 6 με ζήτηση ίση i με 8-85 = 3 τόνους βαμβακιού και με μηδενικό κόστος μεταφοράς από τους υπάρχοντες σταθμούς προέλευσης. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Vogel για την εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης του προβλήματος, παίρνουμε την: 5 4 4 Προσφορά (d ) 8 8 8 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Ζήτηση (s i ) 4 3 6 8 36 36 36 8 8 9 8 9 9 9 4 6 7 4 4 4 4 3 7 6 7 45 45 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 3 3 3 3 9 9 4 4 4 4 4 4 4 4 Η λύση που έχουμε έχει 8 θετικές συνιστώσες και συνεπώς είναι μη εκφυλισμένη. Βρίσκοντας τα δυναμικά i, v και σχηματίζοντας τις διαφορές δ i = i + v c i που αντιστοιχούν στις μη βασικές μεταβλητές 3 v 3 4 3 9 4-4 3-7 6-4 8-8 9 9 - -4 9 4-5 - 6 4 3-5 7 6 7 4 8 9 3 4 3 36 7 45 βλέπουμε ότι υπάρχουν θετικές τιμές (δ 36 ) κι άρα η λύση που περιλαμβάνεται στο tablea δεν είναι η βέλτιστη. Μια καλύτερη λύση προκύπτει αν κάνουμε βασική τη μεταβλητή x 36 και μη βασική την x 33 αφού θ = min{, 3} =. Η νέα λύση, που δίνεται στο πιο κάτω tablea, 4
v 4 3 6-4 3-5 6-8 - 8 9 9 - -4 9 4-3 6 4 3-7 -4 7-6 7 4 8 9 3 4 3 36 7 45 δεν είναι η βέλτιστη του προβλήματος αφού και πάλι υπάρχουν διαφορές δ i (δ 5 ). Επειδή θ = min{3, 4} = 3, μια καλύτερη λύση προκύπτει αν κάνουμε βασική τη μεταβλητή x 5 και μη βασική την x 6. v 4 3-4 3-6 6-3 8-8 9 9 - -4 9 4-6 - 7-4 6-4 3-6 7 3 8 9 3 4 3 36 7 45 Η νέα λύση είναι η βέλτιστη : δ i (i, ). Το αντίστοιχο κόστος μεταφοράς είναι R 3 = 3.. Η μεταβλητή x είναι μια μη βασική μεταβλητή στην άριστη λύση του δοθέντος προβλήματος μεταφοράς και συνεπώς το εύρος αριστότητας του συντελεστή c είναι το [ +v 5, ) = [, ). 3. Και η μεταβλητή x είναι μια μη βασική μεταβλητή στην άριστη λύση του δοθέντος προβλήματος μεταφοράς. Το εύρος αριστότητας του συντελεστή c είναι το [ +v, ) = [3, ) κι άρα για c = που ζητείται εδώ, η τρέχουσα βέλτιστη λύση δεν παραμένει τέτοια. Για να βρούμε τη νέα, θα πρέπει να συνεχίσουμε τη διαδικασία (επαναληπτικά βήματα) με εισερχόμενο κελί το (, ).
v 4 3-8 9 4 9 7 3 9 4 4 6 6 3 3 8 9 3 4 3 8 6 7 36 7 45 Επειδή θ = min{4, 8} = 4 μη βασική γίνεται η μεταβλητή x 3 : v 4 3 6-4 3-4 6-8 - 4 9 3-5 9-4 -3 6-4 -7-7 3-6 7 3 8 9 3 4 3 36 7 45 Στο ανωτέρω tablea είναι δ i (i, ) και συνεπώς, η λύση που περιλαμβάνεται σ αυτό, είναι η ζητούμενη βέλτιστη για c =. 6