Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.

5.TEMATS FUNKCIJAS Temata apraksts Skolēnam sasniedzamo rezultātu ceļvedis Uzdevumu piemēri M UP_5_P Figūras laukuma atkarība no figūras formas Skolēna darba lapa M UP_5_P Funkcijas kā reālu procesu modeļi Skolēna darba lapa M LD_5 Kā izdevīgāk Skolēna darba lapa Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.

F U N K C I JA S FUNKCIJAS T E M A T A A P R A K S T S Funkcijas jēdziens ir viens no fundamentālajiem matemātikas jēdzieniem. Temata ietvaros, akcentējot funkciju nozīmi dažādu dabas un sociālu procesu aprakstīšanā un analizēšanā, plānots nostiprināt zināšanas un pilnveidot prasmes funkciju pētīšanā. Nosakot grafiski vai analītiski funkciju īpašības, tiek aktualizētas prasmes, kas nepieciešamas nākamajam tematam, kur aplūko dažādus vienādojumus, nevienādības un to sistēmas. 46 Pamatskolā jau ir aplūkotas dažādas sakarības starp mainīgajiem lielumiem, devītajā klasē tiek definēta funkcija, skolēniem ir iemaņas funkciju uzdošanā un to pētīšanā. Vidusskolā skolēni jau ir apguvuši visas matemātikas programmā minētās funkcijas. Zināšanu par funkcijām padziļināšanai tiek ieviests saliktas funkcijas jēdziens, saistot to ar funkcionālās simbolikas izpratni un lietošanu, un inversās funkcijas jēdziens, demonstrējot to kopsakarā ar apgūtajām funkcijām un saistot ar simetrijas jēdziena atkārtošanu, attēlojot grafiski savstarpēji inversas funkcijas. Grafiku transformācijas tiek nevis formāli iegaumētas, bet apgūtas pētnieciskā ceļā, noskaidrojot parametra un moduļa ietekmi uz konkrētu funkciju grafikiem, lietojot IT. Prasmes pamatot, secināt un pierādīt tiek pilnveidotas, risinot ekstrēmus uzdevumus. Mācību procesā izmantojamas informācijas tehnoloģijas, izvērtējot to iespējas grafiku zīmēšanā, funkciju pētīšanā, kā arī fizikālu, ķīmisku un ekonomisku procesu matemātiskā modelēšanā.

F U N K C I J A S MATEMĀTIKA. klase C E Ļ V E D I S Galvenie skolēnam sasniedzamie rezultāti STANDARTĀ Nosaka funkciju un to kompozīciju īpašības, izmantojot grafiku un analītiski, lieto funkciju īpašības. Lieto matemātikas mācību saturā sastopamos jēdzienus un pieņemtos simbolus kā valodas kultūras elementus. Lieto dažādus spriedumu iegūšanas veidus; vispārina, klasificē, saskata analoģijas, novērtē procesu tendences; izvirza hipotēzi, izmantojot iepriekšējās zināšanas vai darba gaitā iegūtos rezultātus. Novērtē matemātikas iespējas sabiedrībai nozīmīgu praktisku problēmu atrisināšanā. PROGRAMMĀ Nosaka saliktu funkciju nulles, nemainīgu zīmju intervālus, augšanas un dilšanas intervālus, vislielāko un vismazāko vērtību, vērtību apgabalu grafiski un analītiski. Lieto jēdzienus funkcijas definīcijas, vērtību apgabals; augoša, dilstoša funkcija; funkcijas nulles; funkcijas lielākā, mazākā vērtība; nemainīgu zīmju intervāli; argumenta pieaugums, funkcijas vērtības pieaugums, periodiskums, paritāte, raksturojot funkcijas īpašības. Lieto funkcionālo simboliku. Pētnieciskā ceļā noskaidro parametra a un moduļa ietekmi, konstruējot funkciju =af(), =f(a), =f()+a, =f(+a), = f() grafikus. Lieto funkciju vispārīgās īpašības, pētot funkcijas kā reālu procesu modeļus. Izprot procesus dabā un cilvēka darbības sfērās kā funkcijas. 47 STUNDĀ KD. Funkcijas lielākā un mazākā vērtība. KD. Salikta funkcija. VM. Funkciju grafiku transformācijas. Situāciju analīze. LD. Kā izdevīgāk? VM. Funkcionāli procesi.

F U N K C I J A S U Z D E V U M U P I E M Ē R I Sasniedzamais rezultāts I II III Izprot saliktas funkcijas jēdzienu.. Uzraksti kā funkciju, kas atkarīga no mainīgā! = z+3; z=sin. Doti funkciju =f() un =g() grafiki un šo funkciju vērtības dažām argumenta vērtībām. Nosaki f(g(3))!. Uzraksti analītiskās izteiksmes tādām funkcijām =f() un =g(), kurām f(g())=g(f())!. Uzraksti formulu saliktai mainīgā funkcijai, kuras iekšējā funkcija ir mainīgā sinusa vērtības aprēķināšana, bet ārējā funkcija ir kāpināšana kvadrātā! 4 3 = f() 5 4 3 = g(). Dots, ka f(+3)= +6+. Nosaki funkcijas =f() analītisko izteiksmi! 48 3. Dots, ka f()= ++5. Nosaki f(+)! 3 4 5 3. Dotas funkcijas f()= + un g()= +. Uzraksti formulu saliktai funkcijai, ja: a) f ir tās iekšējā funkcija un g ir tās ārējā funkcija, b) g ir tās iekšējā funkcija un f ir tās ārējā funkcija! Nosaka saliktu funkciju nulles, nemainīgu zīmju intervālus, augšanas un dilšanas intervālus, vislielāko un vismazāko vērtību, vērtību apgabalu grafiski un analītiski.. Pie kādām a vērtībām funkcija =log a ir augoša?. Sastādi vienādojumu, kuru atrisinot, var iegūt funkcijas =sin nulles! 3. Uzraksti nevienādību, kuru atrisinot, var iegūt pozitīvās funkcijas =log vērtības!. Nosaki funkcijas vislielāko un vismazāko vērtību! a) = +7 b) = 5+7 c) =3sin 4. Nosaki funkcijas =5 3 vērtību apgabalu! 3. Nosaki intervālu, kurā funkcijas =log 4 (+) vērtības ir negatīvas!. Uzraksti analītisko izteiksmi funkcijai =f() tā, lai: a) funkcijām =f() un =f()+ būtu atšķirīgi vērtību apgabali, b) funkcijām =f() un =f()+ būtu vienādi vērtību apgabali!. Dots, ka funkcijas =f() vērtību apgabals ir kopa A, bet funkcijas =g() vērtību apgabals ir kopa B. Izvērtē, vai funkcijas =f(g()) vērtību apgabals noteikti ir vai nu kopa A, vai kopa B!

F U N K C I J A S MATEMĀTIKA. klase Sasniedzamais rezultāts I II III Izprot inversās funkcijas jēdzienu analītiski un grafiski. Dots funkcijas grafiks. Konstruē inversās funkcijas grafiku! -3 - - -. Dota funkcija =. Uzraksti inversās funkcijas analītisko izteiksmi!. Dots funkcijas f()= grafiks. Konstruē inversās funkcijas grafiku! Uzraksti inversās funkcijas analītisko izteiksmi! 3 Dots, ka funkcijas =f() un =g() ir savstarpēji inversas funkcijas. Izsaki hipotēzi par funkcijas =f(g()) analītisko izteiksmi! - -3 - - 3-49 - Lieto jēdzienus funkcijas definīcijas, vērtību apgabals; augoša, dilstoša funkcija; funkcijas nulles; funkcijas lielākā, mazākā vērtība; nemainīgu zīmju intervāli; argumenta pieaugums, funkcijas vērtības pieaugums, periodiskums, paritāte, raksturojot funkcijas. Definē vai izskaidro dotos jēdzienus! a) Augoša funkcija. b) Funkcijas lielākā vērtība. c) Nemainīgu zīmju intervāli. d) Periodiskas funkcijas. Dotas funkcijas = + un =. Kas kopīgs un kas atšķirīgs šīm funkcijām? Klasificē visas tev zināmās funkcijas, izmantojot jēdzienus augoša funkcija, dilstoša funkcija!

F U N K C I J A S Sasniedzamais rezultāts I II III 5 Pētnieciskā ceļā noskaidro parametra a un moduļa ietekmi, konstruējot funkciju =af(), =f(a), =f()+a, =f(+a), = f() grafikus.. Konstruē funkcijas = +4 grafiku, precīzi atliekot vismaz trīs grafika punktus!. Konstruē funkcijas = grafiku, izmantojot doto vērtību tabulu! -3 - - 3 3. Uzskicē funkcijas grafiku! 4 a) = b) = 5 c) =log,. Dotas funkcijas =,5, =,5 +3, =,5 3. a) Vienā koordinātu sistēmā konstruē šo funkciju grafikus, izmantojot doto vērtību tabulu! -3 - - =,5 =,5 +3 =,5 3 b) Tajā pašā koordinātu sistēmā ieskicē funkcijas =,5 grafiku!. Uzskicē funkcijas grafiku! 3 a) = + b) = 3sin. Dotas funkcijas: = +3, = log, = 4. a) Konstruē šo funkciju grafikus! b) Uzraksti secinājumu par funkcijas = f() grafika konstruēšanu, izmantojot funkcijas =f() grafiku! c) Uzskicē funkcijas = sin grafiku!. Dots funkcijas =f() grafiks. Konstruē funkcijas =f() 3 grafiku! - 3 4 - c) =,4 3 - -3 Lieto funkcionālo simboliku.. Dots, ka g()=4, h(4)=5 un f()=h(g()). Nosaki f()!. Dota salikta funkcija =f(g()), kur f()= +3 4, g()= +4 7. Aprēķini f(g())! Dots, ka f()= + un g()=. Nosaki tās mainīgā vērtības, ar kurām saliktas funkcijas =f(g()) vērtības ir 3! f()= ; g()= +. Pierādi, ka f(g())=g(f())! Izvērtē IT izmantošanas iespējas funkciju grafiku konstruēšanā. Kurai no dotajām funkcijām, konstruējot grafiku, ir lietderīgi izmantot IT? 4 a) = b) = 3 4 c) = 6+8 Funkcijai = 3 4 jānosaka: a) funkcijas maksimālā un minimālā vērtība; b) punkti, kuros funkcija krusto un asi; c) intervāli, kur funkcijai ir pozitīvas/negatīvas vērtības; Izvērtē, kādos gadījumos funkciju grafiku konstruēšanai un īpašību noteikšanai lietderīgi izmantot IT un kādos nē! d) intervāli, kur funkcija aug/dilst. Novērtē IT izmantošanas nepieciešamību šo jautājumu atrisināšanai (par katru jautājumu atsevišķi)!

F U N K C I J A S MATEMĀTIKA. klase Sasniedzamais rezultāts I II III Izmanto zināšanas par funkcijas īpašībām ekstrēmu uzdevumu risināšanā. Dots apgalvojums: nezināma skaitļa un tā kvadrāta summa ir S. a) Uzraksti šo apgalvojumu matemātiskas izteiksmes veidā! b) Uztverot iegūto izteiksmi kā funkciju, uzskicē tās grafiku! c) Izmantojot grafiku, nosaki skaitli, kura summa ar tā kvadrātu ir vismazākā!. Raķeti izšāva gaisā. Raķetes attālumu H no zemes virsmas laika momentā t var aprēķināt ar formulu H(t)=8t 5t. a) Kādā laika momentā raķete sasniegs maksimālo attālumu no zemes virsmas? b) Kāds būs maksimālais attālums no zemes virsmas? c) Pēc cik ilga laika raķete nokritīs uz zemes?. Cilindra augstums ir 6 cm. Cilindra pamatā ievilkta taisnstūra perimetrs ir 4 cm.. Taisnleņķa trapecei šaurais leņķis ir 45, bet perimetrs cm. Kādam jābūt trapeces augstumam, lai trapeces laukums būtu vislielākais?. Izlasi doto tekstu (M UP_5_P) un aprēķini taisnstūra izmērus, lai tā laukums būtu vislielākais, ja trīs malu garumu summa ir konstanta! Izsaki pieņēmumu, vai taisnstūra forma ir tā, kura dod vislielāko laukumu! Atbildi pamato! a) Uzraksti cilindra tilpumu V kā funkciju no taisnstūra malas! 5 b) Nosaki mazāko iespējamo V vērtību! Izprot procesus dabā un cilvēka darbības sfērās kā funkcijas. Apraksti reālu procesu, kura matemātiskais modelis ir: a) lineāra funkcija, b) kāda no trigonometriskajām funkcijām, c) kvadrātfunkcija, Izmantojot izklājlapas MS Ecel iespējas un dotos datus (M UP_5_P) modelē Latvijas iedzīvotāju skaita izmaiņu kā funkcionālu sakarību! Darbs grupām. a) Izvēlieties kādu no cilvēka darbības sfērām, formulējiet funkcionālas sakarības, kas raksturo to, un aprakstiet šīs sakarības, iekļaujot savā aprakstā arī jēdzienus: definīcijas apgabals un vērtību apgabals! d) eksponentfunkcija! b) Prognozējiet, vai kādu no jums zināmajām funkcijām (lineāra, kvadrātfunkcija, eksponentfunkcija, logaritmiskā funkcija, trigonometriskās funkcijas) var izmantot kā modeli, kas raksturo formulētās sakarības! c) Ja jums ir pieejami reāli dati, kas raksturo izvēlēto jomu, izmantojot izklājlapas MS Ecel iespējas, iegūstiet prognozētās funkcijas analītisko izteiksmi!

F U N K C I J A S Sasniedzamais rezultāts I II III Lieto funkciju vispārīgās īpašības, pētot funkcijas kā reālu procesu modeļus. Regulāras četrstūra prizmas augstums ir par cm garāks nekā pamata mala. Uzraksti prizmas pilnas virsmas laukumu S kā funkciju, kas atkarīga no pamata malas garuma!. Ķīmiskās reakcijas ātrumu var aprēķināt ar formulu V(t)=V,t, kur t temperatūra Celsija grādos. Aprēķini temperatūru t, kurā reakcijas ātrums ir 3 reizes lielāks nekā reakcijas ātrums C temperatūrā!. Novērots, ka veikalā dienā vidēji nopērk 5 kg ābolu, ja to cena ir p =,3 Ls/kg, un kg ābolu, ja to cena ir p =,4 Ls/kg. Pieņemot, ka pieprasījuma funkcija ir lineāra, t.i., D(p)=a bp (a,b>), atrodi šīs funkcijas koeficientus a un b!. Iedzīvotāju skaitu valstī var aprēķināt ar formulu P(t)=P e kt. 974. gadā iedzīvotāju skaits Indijā bija 574, 984. gadā 746388. Aprēķini iespējamo iedzīvotāju skaitu 4. gadā! Kurā gadā Indijas iedzīvotāju skaits var sasniegt 5?. Psihologi eksperimentāli konstatējuši, ka cilvēku spēju uztvert apkārtējās vides kairinātājus jeb faktorus (skaņas skaļumu, toņa augstumu, gaismas spožumu u.tml.) izsaka funkcija S(R)=c ln R, kur R vides kairinātāja r intensitāte, r intensitātes mazākā iespējamā vērtība, kura eksperimentāli ir noteikta, c konstante, kas atkarīga no vides kairinātāja veida (c>), S cilvēka spēja uztvert vides kairinātāju. 5 a) Uzskicē funkcijas S(R)=c ln R r grafiku! b) Komentē, kādi fakti vai novērojumi apstiprina vai noliedz šī matemātiskā modeļa atbilstību realitātei!

S k o l ē n a d a r b a l a p a M UP_5_P Vārds uzvārds klase datums FIGŪRAS LAUKUMA ATKARĪBA NO FIGŪRAS FORMAS Pirms vairākiem tūkstošiem gadu tagadējās Sīrijas un Libānas teritorijā dzīvoja feniķiešu ciltis. Būdami labi jūras braucēji, feniķieši nodarbojās ar tirdzniecību, siroja un pakāpeniski kolonizēja visu Vidusjūras piekrasti, nodibinot tur savas apmetnes. Romas dzejnieks Vergīlijs poēmā Eneīda stāsta par šādu gadījumu. Reiz feniķiešu kuģis, ko vadījusi valdnieka meita Dīdona, glābdamies no vajātājiem, piestājis Āfrikas piekrastē tagadējās Tunisijas teritorijā. Feniķieši lūguši atļauju izkāpt krastā un apmesties uz tik maza zemes gabaliņa, kuru var apņemt ar vērša ādu. Vietējais valdnieks, uzskatīdams, ka šāds lūgums nav nopietns, atļauju ir devis. Taču Dīdona likusi feniķiešiem sagriezt vērša ādu šaurās strēmelēs un ar iegūto auklu norobežot pēc iespējas lielāku zemes gabalu, kur izveidojusi savu apmetni. No šīs apmetnes esot radusies Kartāgas pilsēta. Feniķieši ir risinājuši vienu no pirmajiem optimizācijas uzdevumiem par dotā garuma līnijas formu, lai ar šo līniju ierobežotās figūras laukums būtu vislielākais. Uzdevums Pieņemsim, ka feniķiešu apmetnei bija taisnstūra forma, kura viena mala sakrita ar jūras krastu (šādu papildinājumu viltīgā Dīdona varēja izlūgties) un auklas garums bija 3 m. Aprēķini taisnstūra izmērus, lai tā laukums būtu vislielākais, ja trīs malu garumu summa ir konstanta! Izsaki pieņēmumu, vai taisnstūra forma ir tā, kura dod vislielāko laukumu! Atbildi pamato! 3

S k o l ē n a d a r b a l a p a M UP_5_P Vārds uzvārds klase datums FUNKCIJAS KĀ REĀLU PROCESU MODEĻI Tabulā apkopoti dati par iedzīvotāju skaitu atsevišķās vecuma grupās Latvijā. 6. gadā (gada sākumā). Gads Vecuma grupas (gadi) - 4 5-64 65 + 488 637 35336 4976 5944 367 39478 594 363889 3 3764 5899 369548 4 35655 5873 375388 5 3445 583843 3876 6 38547 5844 38569 Uzdevums a) Izmantojot izklājlapas MS Ecel iespējas, attēlo grafiski iedzīvotāju kopīgā skaita izmaiņu no.gada līdz 6.gadam! b) Uzklikšķini ar labo peles taustiņu uz iegūtās līknes. Izmantojot komandas Add trendline / Tpe izvēlies, tavuprāt, atbilstošo funkcijas veidu un iegūsti tās funkcijas grafiku, kas modelē iedzīvotāju skaita izmaiņu! c) Ar komandu Options / Displa equation on chart palīdzību iegūsti funkcijas analītisko izteiksmi uz ekrāna! d) Izmantojot iegūto formulu, aprēķini prognozējamo iedzīvotāju skaitu Latvijā 7.gada sākumā! e) Sameklējot atbilstošo informāciju, salīdzini iegūto rezultātu ar reāliem datiem par iedzīvotāju skaitu Latvijā 7.gada sākumā! f) Raksturo iedzīvotāju skaita izmaiņas atsevišķās vecuma grupās, izmantojot iegūtās zināšanas! 4

S k o l ē n a d a r b a l a p a M LD_5 Vārds uzvārds klase datums KĀ IZDEVĪGĀK? Situācijas apraksts Marta vēlas atvērt kontu vienā no trim bankām. Bankas piedāvā šādas mēneša izmaksas par kontu apkalpošanu: Banka Medus pods Banka Uz saulaino tāli Banka Laimes zeme Ls 6, plus Ls,35 par katru bankas veikto operāciju. Ls 3, plus Ls,75 par katru bankas veikto operāciju. Ls, neatkarīgi no bankas veikto operāciju skaita. Pētāmā problēma Lielumi Neatkarīgais lielums Atkarīgais lielums Fiksētais lielums Datu apstrāde Rezultātu analīze, izvērtējums un secinājumi 7

KĀ IZDEVĪGĀK? Darba izpildes laiks minūtes M LD_5 Mērķis Pilnveidot problēmu formulēšanas, datu apstrādes un rezultātu izvērtēšanas prasmes, veidojot problēmas risinājuma matemātisko modeli. Sasniedzamais rezultāts Saskata un formulē pētāmo problēmu. Izvēlas problēmas risinājuma matemātisko modeli un atrisina to. Izvērtē rezultātus. Saskata un klasificē lielumus, formulē pētāmo problēmu Veido plānu Iegūst un apstrādā informāciju Formulē pieņēmumu/ hipotēzi Veic pierādījumu Analizē un izvērtē rezultātus, secina Prezentē darba rezultātus Sadarbojas, strādājot grupā (pārī) Mācās Mācās Patstāvīgi Lielumi Neatkarīgais lielums mēnesī veikto bankas operāciju skaits. Atkarīgais lielums mēneša maksājums. Fiksētais lielums bankas noteiktās izmaksas par pakalpojumu. Datu apstrāde Mēneša maksājuma lielumu katrā bankā var izteikt kā funkciju, atkarībā no mēnesī veikto bankas operāciju skaita. Bankā Medus pods = 6 +,35 Bankā Uz saulaino tāli = 3 +,75 Bankā Laimes zeme = Šo trīs funkciju grafikus var attēlot vienā koordinātu plaknē. 8 6 = = 6 +,35 A B 8 Situācijas apraksts Marta vēlas atvērt kontu vienā no trim bankām. Bankas piedāvā šādas mēneša izmaksas par kontu apkalpošanu: Banka Medus pods Ls 6, plus Ls,35 par katru bankas veikto operāciju. Banka Uz saulaino tāli Ls 3, plus Ls,75 par katru bankas veikto operāciju. Banka Laimes zeme Ls, neatkarīgi no bankas veikto operāciju skaita. Pētāmā problēma Kuras bankas pakalpojumi Martai ir izdevīgāki? 4-4 6 8 4 - = 3 +,75 Ja < < 7,5, vismazākais mēneša maksājums ir bankā Uz saulaino tāli. Ja 7,5 < <,5, vismazākais mēneša maksājums ir bankā Medus pods. Ja >,5, vismazākais mēneša maksājums ir bankā Laimes zeme. A B

MATEMĀTIKA. klase Mainīgā vērtības 7,5 un,5 var neapskatīt, jo mēnesī veiktais operāciju skaits var būt tikai vesels skaitlis. Skolēni var nonākt pie rezultāta, plānveidā aplūkojot visas iespējamās situācijas, neizmantojot funkcijas, to grafikus. Tādā gadījumā pie rezultātu analīzes vēlams skolēniem piedāvāt iepazīties ar šo risinājumu (var to iepriekš izdrukāt), salīdzināt rezultātus un tā iegūšanas procesa efektivitāti. Rezultātu analīze, izvērtējums un secinājumi Ja mēnesī veikto bankas operāciju skaits nav lielāks par 7, izdevīgāk izmantot bankas Uz saulaino tāli pakalpojumus, ja mēnesī veikto bankas operāciju skaits ir no 8 līdz, izdevīgāk izmantot bankas Medus pods pakalpojumus, ja mēnesī jāveic vismaz naudas operācijas, jāizvēlas banka Laimes zeme. Skolēni izvērtē arī savas izvēlētās metodes lietderību. 9

K Ā R T Ē J Ā S V Ē R T Ē Š A N A S D A R B S M KD_5_ Vārds uzvārds klase datums SALIKTA FUNKCIJA. uzdevums ( punkti) Aizpildi tabulu, nosakot, vai dotā funkcija ir salikta vai elementāra! Saliktajām funkcijām nosaki iekšējo un ārējo funkciju! Funkcija =f(g() Salikta vai elementāra funkcija Saliktas funkcijas iekšējā funkcija Saliktas funkcijas ārējā funkcija = 5 Elementāra = Salikta g()= ƒ()= =log 3 =tg = + =4 =sin =. uzdevums (5 punkti) Aizpildi tabulu, uzrakstot funkcijas kā mainīgā funkcijas! Funkcija =f() Funkcija =g() Funkcija =f(g()) Funkcija =g(f()) f()=5 g()= 3 f()=+ g()= f()= g()=lg f()= = 3 =4sin g()=tg =ctg = = 3

K Ā R T Ē J Ā S V Ē R T Ē Š A N A S D A R B S M KD_5_ Vārds uzvārds klase datums FUNKCIJAS LIELĀKĀ UN MAZĀKĀ VĒRTĪBA. uzdevums (5 punkti) Papildini teikumus, izmantojot dotās funkcijas grafiku! 4 Lielākā funkcijas vērtība intervālā [;3] ir punktā = un tā ir =. Mazākā funkcijas vērtība intervālā [;3] ir punktā = un tā ir =. Intervālā funkcijas lielākā vērtība ir =. Intervālā funkcijas mazākā vērtība ir =. -3 - - 3 4 - Intervāla abos galapunktos ir funkcijas mazākā vērtība šajā intervālā.. uzdevums (6 punkti) Nosaki funkcijas lielāko un/vai mazāko vērtību (ja tādas eksistē) visā tās definīcijas apgabalā! a) = +6 5 b) = 3sin c) = +3 4

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B S M ND_5_V Vārds uzvārds klase datums FUNKCIJAS. variants. uzdevums (5 punkti) Pie funkcijas grafika uzraksti tam atbilstošo funkcijas formulu, izvēloties no dotajām! =sin, = +, = +3, = 3, =log, 3 = +, =,5, =log 3, =cos =,8-4 6 8-5 -4-3 - - 3 4 5 - -6-5 -4-3 - - 3 4 - -5-4 -3 - - 3 4 5-4 -3 - - 3 4 5 6 7. uzdevums (4 punkti) Dotas funkcijas f()= 3 un g()=log. a) Uzraksti salikto funkciju f(g()) kā funkciju no mainīgā! b) Aprēķini f(g())! c) Uzraksti salikto funkciju g(f()) kā funkciju no mainīgā! d) Aprēķini g(f())! 4

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B S M ND_5_V 3. uzdevums (6 punkti) a) Uzzīmē funkcijas = grafiku, precīzi atliekot vismaz četrus grafika punktus! 3-7 -6-5 -4-3 - - 3 4 5 6 7 8 9 - - -3-4 b) Funkcijas = mazākā vērtība ir Funkcijas = Funkcijas = Funkcijas = vērtības ir pozitīvas intervālā nulles ir argumentam pieaugot no līdz 9, funkcijas vērtības pieaugums ir 4. uzdevums (4 punkti) Zemestrīces laikā izdalīto enerģiju E var aprēķināt ar formulu E(R)=,7 R,46,67, kur R zemestrīces stiprums ballēs (R>). Enerģijas daudzumu var aplūkot kā funkciju (R>), kas atkarīga no R. a) Nosaki funkcijas E(R) veidu, pasvītrojot pareizo atbildi! Funkcija E(R) ir lineāra funkcija. Funkcija E(R) ir logaritmiskā funkcija. Funkcija E(R) ir eksponentfunkcija. Funkcija E(R) ir pakāpes funkcija. b) Nosaki funkcijas augšanas un dilšanas intervālus! c) Nosaki R vērtību, ja E(R)=,7! 43

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B S M ND_5_V 5. uzdevums (6 punkti) Trijstūra malas ir 3 cm un 4 cm, leņķis starp tām ir α. a) Izsaki trijstūra laukumu S kā funkciju no α, norādot tās definīcijas apgabalu! b) Uzzīmē funkcijas S grafiku! c) Nosaki, kādās robežās var mainīties trijstūra laukums! d) Izvērtē apgalvojumu: Katrai laukuma S vērtībai atbilst viena vienīga leņķa α vērtība! 44

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B S M ND_5_V 6. uzdevums (4 punkti) Dots funkcijas = 4 grafiks. Apskatot konkrētas a vērtības, izsaki pieņēmumu par parametra a ietekmi uz funk- cijas = 4, a R grafiku! +a 45

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B S M ND_5_V Vārds uzvārds klase datums FUNKCIJAS. variants. uzdevums (5 punkti) Pie funkcijas grafika uzraksti tam atbilstošo funkcijas formulu, izvēloties no dotajām! =sin, = +, = +3, = 3, =log 3, = +, =,5, =log 3, =cos =,8 4 4 6 8-5 -4-3 - - 3 4 5 - - -5-4 -3 - - 3 4 5-5 -4-3 - - 3 4 5 - -4-6 -5-4 -3 - - 3 4 -. uzdevums (4 punkti) Dotas funkcijas, kur f()=, g()=. a) Uzraksti salikto funkciju f(g()) kā funkciju no mainīgā! b) Aprēķini f(g())! c) Uzraksti salikto funkciju g(f()) kā funkciju no mainīgā! d) Aprēķini g(f())! 46

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B S M ND_5_V 3. uzdevums (6 punkti) a) Uzzīmē funkcijas = grafiku, precīzi atliekot vismaz četrus grafika punktus! 3-7 -6-5 -4-3 - - 3 4 5 6 7 8 9 - - -3-4 b) Funkcijas = mazākā vērtība ir Funkcijas = Funkcijas = Funkcijas = vērtības ir negatīvas intervālā nulles ir argumentam pieaugot no līdz 4, funkcijas vērtības pieaugums ir 4. uzdevums (4 punkti) Zemestrīces stiprumu ballēs R var aprēķināt ar formulu R(E)=,67g(,37E)+,46, kur E enerģija, kas izdalās zemestrīces laikā (E>). Zemestrīces stiprumu var aplūkot kā funkciju R(E), kas atkarīga no E. a) Nosaki funkcijas =R(E) veidu, pasvītrojot pareizo atbildi! Funkcija R(E) ir lineāra funkcija. Funkcija R(E) ir logaritmiskā funkcija. Funkcija R(E) ir eksponentfunkcija. Funkcija R(E) ir pakāpes funkcija. b) Nosaki funkcijas augšanas un dilšanas intervālus! c) Nosaki E vērtību, ja R(E)=,46! 47

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B S M ND_5_V 5. uzdevums (6 punkti) Paralelograma malas ir 4 cm un cm, leņķis starp tām ir α. a) Izsaki paralelograma laukumu S kā funkciju no α, norādot tās definīcijas apgabalu! b) Uzzīmē funkcijas S grafiku! c) Nosaki, kādās robežās var mainīties paralelograma laukums! d) Izvērtē apgalvojumu: Katrai laukuma S vērtībai atbilst viena vienīga leņķa α vērtība! 48

N O B E I G U M A V Ē R T Ē Š A N A S D A R B S M ND_5_V 6. uzdevums (4 punkti) Dots funkcijas = 4 grafiks. Apskatot konkrētas a vērtības, izsaki pieņēmumu par parametra a ietekmi uz funkci- jas = 4, a R grafiku! +a 49

FUNKCIJAS. variants. uzdevums (5 punkti) Pie funkcijas grafika uzraksti tam atbilstošo funkcijas formulu, izvēloties no dotajām! =sin, = +, = +3, = 3, =log 3, = +, =,5, =log 3, =cos =,8 3. uzdevums (6 punkti) a) Uzzīmē funkcijas = grafiku, precīzi atliekot vismaz četrus grafika punktus! b) Funkcijas = mazākā vērtība ir Funkcijas = vērtības ir pozitīvas intervālā Funkcijas = nulles ir Funkcijas = argumentam pieaugot no līdz 9, funkcijas vērtības pieaugums ir - 4 6 8-5 -4-3 - - 3 4 5 - -6-5 -4-3 - - 3 4-4. uzdevums (4 punkti) Zemestrīces laikā izdalīto enerģiju E var aprēķināt ar formulu E(R)=,7 R,46,67, kur R zemestrīces stiprums ballēs (R>). Enerģijas daudzumu var aplūkot kā funkciju E(R), kas atkarīga no R. -5-4 -3 - - 3 4 5-4 -3 - - 3 4 5 6 7 a) Nosaki funkcijas E(R) veidu, pasvītrojot pareizo atbildi! Funkcija E(R) ir lineāra funkcija. Funkcija E(R) ir logaritmiskā funkcija. Funkcija E(R) ir eksponentfunkcija. Funkcija E(R) ir pakāpes funkcija. b) Nosaki funkcijas augšanas un dilšanas intervālus! c) Nosaki R vērtību, ja E(R)=,7!. uzdevums (4 punkti) Dotas funkcijas f()= 3 un g()=log. a) Uzraksti salikto funkciju f(g()) kā funkciju no mainīgā! b) Aprēķini f(g())! c) Uzraksti salikto funkciju g(f()) kā funkciju no mainīgā! d) Aprēķini g(f())! 5. uzdevums (6 punkti) Trijstūra malas ir 3 cm un 4 cm, leņķis starp tām ir α. a) Izsaki trijstūra laukumu S kā funkciju no α, norādot tās definīcijas apgabalu! b) Uzzīmē funkcijas S grafiku! c) Nosaki, kādās robežās var mainīties trijstūra laukums! d) Izvērtē apgalvojumu: Katrai laukuma S vērtībai atbilst viena vienīga leņķa α vērtība! 6

MATEMĀTIKA. klase 6. uzdevums (4 punkti) Dots funkcijas = 4 grafiks. Apskatot konkrētas a vērtības, izsaki pieņēmumu par parametra a ietekmi uz funkcijas = 4, a R grafiku! +a 7

FUNKCIJAS. variants. uzdevums (5 punkti) Pie funkcijas grafika uzraksti tam atbilstošo funkcijas formulu, izvēloties no dotajām! =sin, = +, = +3, = 3, =log 3, = +, =,5, =log 3, =cos =,8 4 6 8 - -5-4 -3 - - 3 4 5 - -4. uzdevums (4 punkti) -5-4 -3 - - 3 4 5 - -6-5 -4-3 - - 3 4 Dotas funkcijas, kur f()=, g()=. - a) Uzraksti salikto funkciju f(g()) kā funkciju no mainīgā! b) Aprēķini f(g())! c) Uzraksti salikto funkciju g(f()) kā funkciju no mainīgā! d) Aprēķini g(f())! 4-5 -4-3 - - 3 4 5 3. uzdevums (6 punkti) a) Uzzīmē funkcijas = grafiku, precīzi atliekot vismaz četrus grafika punktus! b) Funkcijas = mazākā vērtība ir Funkcijas = vērtības ir negatīvas intervālā Funkcijas = nulles ir Funkcijas = argumentam pieaugot no līdz 4, funkcijas vērtības pieaugums ir 4. uzdevums (4 punkti) Zemestrīces stiprumu ballēs R var aprēķināt ar formulu R(E)=,67g(,37E)+,46, kur E enerģija, kas izdalās zemestrīces laikā (E>). Zemestrīces stiprumu var aplūkot kā funkciju R(E), kas atkarīga no E. a) Nosaki funkcijas =R(E) veidu, pasvītrojot pareizo atbildi! Funkcija R(E) ir lineāra funkcija. Funkcija R(E) ir logaritmiskā funkcija. Funkcija R(E) ir eksponentfunkcija. Funkcija R(E) ir pakāpes funkcija. b) Nosaki funkcijas augšanas un dilšanas intervālus! c) Nosaki E vērtību, ja R(E)=,46! 5. uzdevums (6 punkti) Paralelograma malas ir 4 cm un cm, leņķis starp tām ir α. a) Izsaki paralelograma laukumu S kā funkciju no α, norādot tās definīcijas apgabalu! b) Uzzīmē funkcijas S grafiku! c) Nosaki, kādās robežās var mainīties paralelograma laukums! d) Izvērtē apgalvojumu: Katrai laukuma S vērtībai atbilst viena vienīga leņķa α vērtība! 8

MATEMĀTIKA. klase 6. uzdevums (4 punkti) Dots funkcijas = 4 grafiks. Apskatot konkrētas a vērtības, izsaki pieņēmumu par parametra a ietekmi uz funkcijas = 4, a R grafiku! +a 9

FUNKCIJAS Vērtēšanas kritēriji Uzdevums.. 3. 4. Kritēriji Atpazīst augošu (dilstošu) eksponentfunkciju punkts Atpazīst dilstošu (augošu) logaritmisko funkciju punkts Atpazīst funkciju =cos (=sin) punkts Atpazīst kvadrātfunkciju, kuras zari ir vērsti uz leju (uz augšu) punkts Atpazīst funkciju ar moduli punkts Uzraksta saliktas funkcijas f(()) analītisko izteiksmi punkts Aprēķina saliktas funkcijas vērtību dotajā punktā punkts Uzraksta saliktas funkcijas g(()) analītisko izteiksmi punkts Aprēķina saliktas funkcijas vērtību dotajā punktā punkts Nosaka funkcijas vērtības vismaz četriem grafika punktiem punkts Uzzīmē funkcijas = (= ) grafiku, ievērojot tās definīcijas apgabalu punkts Nosaka funkcijas vismazāko vērtību punkts Nosaka intervālu, kurā funkcijas vērtības ir pozitīvas (negatīvas) punkts Nosaka funkcijas nulles punkts Aprēķina funkcijas vērtības pieaugumu punkts Nosaka funkcijas E(R) (E(R)) veidu punkts Nosaka, ka funkcija ir augoša visā savā definīcijas apgabalā punkts Ievieto izteiksmē E(R) vērtību punkts Aprēķina E(R) vērtību, lietojot kalkulatoru punkts Punkti 5 4 6 4 Izsaka trijstūra (paralelograma) laukumu S kā funkciju no α punkts Norāda funkcijas S definīcijas apgabalu punkts Izprot, ka funkcijas grafiks ir sinusoīda punkts 5. Konstruējot funkcijas S grafiku, ievēro definīcijas un vērtību 6 apgabalus punkts Nosaka, kādās robežās ir trijstūra (paralelograma) laukuma vērtības punkts Pamato apgalvojuma aplamību punkts Uzzīmē funkcijas grafiku vienai konkrētai a vērtībai punkts 6. Formulē pieņēmumu, vai punkti (atkarībā no tā, cik pilnīgi un 4 precīzi tas noformulēts) Kopā 9