apitolul FUNDAMENTE Introducere În acest capitol sunt trecute în revistă cunoştinţele fundamentale necesare oricărui explorator în domeniul electronicii. Începem capitolul cu începutul, vorbind despre semnale electrice şi continuând apoi cu relaţiile şi teoremele utilizate în circuitele electronice. Sursele de tensiune şi curent precum şi componentele pasive (rezistoare, condensatoare şi bobine) îşi găsesc şi ele locul printre cunoştinţele fundamentale. Pe lângă domeniul timp este abordat şi domeniul frecvenţă cu reprezentarea răspunsului în frecvenţă al circuitelor ce conţin elemente reactive. Astfel o bună parte a acestui capitol constituie mai degrabă o revedere a unor noţiuni şi cunoştinţe. Pe lângă aceasta, este prezentată o parte a terminologiei, convenţiilor şi notaţiilor folosite în întreaga lucrare. La finalul parcurgerii acestui capitol ar trebui să fim înarmaţi cu mijloace şi instrumente de lucru tocmai potrivite pentru înţelegerea principiilor de funcţionare ale dispozitivelor electronice şi a principalelor lor aplicaţii... Semnale electrice Prin semnal înţelegem orice variabilă care poate oferi informaţie: sunet, imagine, temperatură, forţă, viteză, etc. În electronică ne interesează în primul rând semnalele de natură electrică pe care le numim semnale electrice: Tensiune electrică: simbol v sau ; unitatea de măsură - volt cu -3-6 submultiplii m (m0 ), μ (μ0 ); urent electric: simbol i sau I; unitatea de măsură - amper A cu submultiplii
ma (ma0-3 A), μa (μa0-6 A). În funcţie de variaţia lor în timp semnalele electrice sunt de două tipuri : - semnale continue a căror valoare nu se modifică în timp şi pentru care se foloseşte notaţia c.c. (curent continuu). - semnale variabile în timp a căror valoare se modifică în timp şi pentru care se foloseşte notaţia c.a. (curent alternativ). Pentru exemplificare În Fig...a) este prezentată o tensiune continuă 5 iar în Fig...b) este prezentată o tensiune variabilă, în particular o tensiune alternativă sinusoidală v3sinωt. v[] v[] 3 5 0 A t[ms] 0 (+) (-) t[ms] a) -3 Fig.... ariaţia în timp a unei tensiuni: a) continue; b) sinusoidale Parametrii unui semnal sinusoidal sunt: Amplitudinea: A3 aloarea vârf la vârf care este diferenţa dintre valoarea maximă şi minimă a semnalului: 6 aloarea efectivă (eficace) a semnalului A, ef Perioada semnalului Tms aloarea medie sau componenta continuă pe un interval de timp. În cazul semnalului periodic valoarea medie se calculează pe o perioadă. Tensiunea alternativă sinusoidală are alternanţa pozitivă (+) egală cu cea negativă (-) astfel că valoarea medie a tensiunii este zero. Mai spunem că tensiunea din figură este axată pe zero volţi. aloarea instantanee sau valoarea momentană este valoarea pe care o are semnalul la un anumit moment de timp. De exemplu la tt/4 valoarea instantanee este +3. b)
Semnalele sinusoidale sunt cel mai des folosite semnale. Alimentarea de la reţea a majorităţii aparatelor electrice (calculator, televizor, frigider, etc) este realizată cu o tensiune sinusoidală cu valoarea efectivă de 30, amplitudinea de 35 şi frecvenţa de 50Hz. În SUA tensiunea de reţea are valoarea efectivă de 7 la frecvenţa de 60Hz. Observaţie: În cazul măsurării unei tensiuni sinusoidale cu voltmetrul acesta va indica valoarea efectivă. Pe lângă semnalul sinusoidal în practică mai există o sumedenie de semnale variabile cele mai întâlnite fiind : semnalul triunghiular, dreptunghiular, dinte de fierăstrău, impuls pozitiv sau negativ, treaptă, etc. Surse de semnal. Notaţii. Pentru surse de semnal electric vom folosi simbolurile din Fig.... v + i a) b) c) Fig.... Simbolurile pentru surse de semnal : a) tensiune; b) tensiune continuă; c) curent. Uneori se mai foloseşte semnul + lângă unul din terminalele sursei pentru a indica terminalul pozitiv. Pentru a deosebi, prin notaţie, tipurile de semnale vom utiliza următoarea convenţie (vezi şi Fig...3.): numai semnal continuu - literă mare si indice mare S, IS ; numai semnal variabil - literă mică si indice mic v s, i s ; semnal total (componentă continuă şi componentă variabilă) - literă mică şi indice mare v S, i S i S I S +i s + S v S S +v s - v s ~ Fig...3. Notarea semnalelor 3
onsiderând S 5 şi v s (t)3sinωt[], tensiunea totală este v S (t)5+3sinωt[]. Acestei tensiuni îi mai spunem şi tensiune sinusoidală cu amplitudinea de 3 axată ( cu componenta continuă) pe 5 şi este prezentată în Fig...4. v S [] 8 5 3 0 t Fig...4. v S 5+3sinωt [].. elaţii si teoreme de circuite electrice... Legea lui Ohm Legea lui Ohm precizează relaţia de proporţionalitate dintre căderea de tensiune pe un rezistor şi curentul prin acel rezistor, factorul de proporţionalitate fiind rezistenţa. I Fig.... Exemplificarea legii lui Ohm I Dacă sensurile arbitrar alese pentru tensiune şi curent sunt opuse atunci apare semnul minus în scrierea legii lui Ohm (vezi Fig....). -I... Teoremele lui Kirchhoff Kirchhoff a formulat două teoreme fundamentale pentru analiza circuitelor electrice. 4
Prima teorema a lui Kirchhoff sau teorema lui Kirchhoff pentru curenţi (TKI): Suma algebrică a curenţilor din laturile ce concură într-un nod de circuit este nulă. În această sumă curenţii care intră, respectiv cei care ies vor avea semne opuse. Pentru nodul de circuit din Fig.... TKI se scrie : I +I -I 3 0 I I I 3 Fig... Exemplificare pentru TKI. No tă : TKI poate fi interpretată astfel : într-un nod de circuit nu există nici consum nici generare de curent, tot curentul care intră in nod trebuie să iasă. A doua teoremă a lui Kirchhoff sau teorema lui Kirchhoff pentru tensiuni (TK): Suma algebrică a căderilor de tensiune de-a lung ul unui ochi de circuit este nulă. Pentru aplicarea acestei teoreme se alege arbitrar un sens de parcurgere al ochiului de circuit. Tensiunile care coincid ca şi sens cu sensul de parcurgere intră în sumă cu semnul plus iar cele lalte tensiuni intră cu semnul minus. Pentru sursele de tensiune este considerată tensiunea la borne şi nu tensiunea electromotoare. Pentru circuitul din Fig...3. TK se scrie (sensul de parcurgere este în sens orar): I Fig...3. Exemplificare pentru TK - + + - 0 Sau dacă se consideră curentul I prin circuit : - + I+ +I 0..3. onectarea rezistoarelor onectarea serie Două sau mai multe rezistoare sunt conectate în serie dacă sunt parcurse de acelaşi curent (Fig...4.) 5
I ech Fig...4. ezistoare conectate în serie. ech + Prin conectarea serie obținem o rezistenţă echivalentă mai mare decât oricare dintre rezistenţele componente. onectarea paralel Două sau mai multe rezistoare conectate în paralel au aceeaşi tensiune la borne (Fig...5.) Fig...5. ezistoare conectate în paralel. ech ech + Lăsăm spre amuzamentul cititorului demonstrarea acestei relaţii. Prin conectare a în paralel se obţine o rezistenţa echivalentă mai mică decât oricare din rezistenţele componente. Pentru n rezistoare în paralel rezistenţa echivalentă se determină cu formula: ech i i Trucuri: ezistenţa echivalentă a unui rezistor de valoare mare în serie (paralel) cu un rezistor de valoare mult mai mică poate fi considerată egală cu rezistenţa mai mare (mică). Pentru 00kΩ şi kω, avem: conectare serie: ech 00kΩ; conectare paralel: ech KΩ Pentru a calcula rezistenţa echivalentă pentru 5kΩ în paralel cu 0kΩ putem vedea cei 5kΩ ca fiind două rezistenţe de 0kΩ în paralel. Avem astfel trei rezistenţe de 0kΩ în paralel. ezistenţa echivalentă necesită calcule foarte simple: 0kΩ/33,33kΩ. n 6
Aceste trucuri sunt foarte folositoare deoarece uşurează calculele putându-ne concentra asupra analizei şi proiectării circuitelor. Este de dorit să rezistăm tentaţiei de a calcula valorile rezistenţelor si a altor elemente de circuit cu multe zecimale. Sunt cel puţin două motive pentru aceasta: a) componentele au o precizie finită (în mod tipic rezistoarele au o toleranţă de 5% sau %, parametrii dispozitivelor active suferă de dispersie de fabricaţie, etc.) b) un circuit electronic bine proiectat este într-o mare măsură insensibil la valorile precise ale componentelor (bineînţeles, există şi excepţii). Putem înţelege mult mai bine şi mai repede circuitele dacă ne formăm obiceiul de a face calculele aproximative în minte în loc să privim numere precise, cu multe zecimale, apărând pe afişajul unui calculator de buzunar...4. Divizoare rezistive Divizorul de tensiune Divizorul de tensiune este unul dintre cele mai răspândite fragmente de circuite electronice. Orice circuit electronic real conţine câteva divizoare de tensiune. Acesta furnizează la ieşire o fracţiune predictibilă din tensiunea de intrare după cum se poate observa în Fig...6. i v I v O Fig...6. Divizorul de tensiune v vi i + i v O O v I + Tensiune de ieşire este direct proporţională cu rezistenţa pe care se măsoară şi invers proporţională cu suma rezistenţelor. Păstrând tensiunea de la intrare 7
neschimbată, dacă creşte şi tensiunea de ieşire creşte. Truc: Dacă avem nevoie de un divizor care din I 5 să furnizeze la ieşire O 5 avem o singură relaţie de calcul şi două necunoscute şi.. Este o idee bună de a impune (dacă nu apar alte restricţii) curentul prin divizor ImA, caz în care suma rezistenţelor în KΩ este numeric egală cu tensiunea de intrare iar valoarea lui este numeric egală cu tensiunea de ieşire O. Astfel rezultă 5kΩ şi 5KΩ-5KΩ0KΩ. el mai simplu divizor reglabil de tensiune poate fi realizat cu un singur rezistor reglabil numit potenţiometru care permite reglajul factorului de divizare (fracţiunea din tensiunea de intrare ce se obţine la ieşire) între 0 şi (Fig...7.). ea mai cunoscută aplicaţie a acestui divizor este controlul volumului la un amplificator audio. v I P v O Fig...7. Divizor reglabil de tensiune Micşorarea domeniului de reglaj al factorului de divizare se poate realiza prin înserierea cu potenţiometru a unui rezistor de valoare fixă. Exemplul..: um arată schema unui divizor de tensiune cu factorul de divizare reglabil în domeniul [0.5;]? e valori au elementele din circuit? Soluţie: intrare P 0K 0K ieşire Fig...8. Divizor reglabil în domeniul [0.5;] 8
Divizorul de curent Schema electrică a unui divizor de curent este prezentată în Fig...9. i i i i TKI: ii +i TK: i - i 0 ezolvând sistemul de mai sus de două ecuaţii liniare cu două necunoscute obţinem: i i şi i i + + Fig...9. Divizorul de curent Dacă se consideră i curentul de intrare, oricare din curenţii i şi i poate fi considerat curent de ieşire. urentul de ieşire nu este direct proporţional cu rezistenţa prin care se măsoară ci cu cealaltă rezistenţă din divizor. Astfel menţinând i constant dacă creşte, curentul i creşte şi i scade...5. Metoda suprapunerii efectelor Pe lângă teoremele lui Kirchhoff, care sunt valabile pentru un circuit oarecare, liniar sau neliniar, pentru circuitele liniare există si metode specifice care simplifică mult calculele. Una dintre acestea este metoda suprapunerii efectelor sau metoda superpoziţiei. Un circuit este liniar dacă răspunsul circuitului la aplicarea unei sume de semnale de intrare este egal cu suma răspunsurilor care se obţin dacă fiecare semnal de intrare acţionează separat. Dacă f(x ) este răspunsul circuitului la aplicarea semnalului x, iar f(x ) este răspunsul la aplicarea semnalului x, atunci răspunsul circuitului la aplicarea sumei de semnale x +x este f(x )+ f(x ). f(x + x ) f(x )+ f(x ) Un circuit liniar atacat cu un semnal sinusoidal întotdeauna răspunde tot cu un semnal sinusoidal, chiar dacă în general amplitudinea şi faza sunt schimbate. 9
Pentru exemplificare să considerăm mai întâi circuitul din Fig...0 a), pentru care semnalele aplicate sunt sursele de curent i şi i, iar semnalul de ieşire este v o. i i D i v o i i i v D v o a) b) Fig...0. ircuit: a) liniar ; b) neliniar. onform legii lui Ohm : v o i sau spunem că funcţia circuitului este : f f L ( x) x x i ; x i ; f L ( x i ; f L ( x ) i f ) L x ) + f L ( x ) i + ( i L x + x f L ( i + i ) ( + i ) ( ) i i + i Se observă că: f L ( x + x ) f L ( x ) + f L ( x ) deci circuitul este liniar. Pentru circuitul din Fig...0. b) dependenţa curent-tensiune pe dioda D este de tip exponenţial: i I S e unde I S curent de saturaţie ; T tensiune termică deci funcţia circuitului este : v O f v N D T T v D T ln ( x) ln i I x I S S 0
i ; f N ( i ) T ln I S i f N ( i ) T ln I S Este evident că : adică : Deci circuitul este neliniar. T f N ( i i + + ) T ln I S i i T ln T I I ln i ln + S S i i + i I f ( i ) + f ( i ) f N i + i ) N N S ( Metoda suprapunerii efectelor constă în următoarel e [Mir83]: Pentru analiza unui circuit liniar cu mai multe surse se determină răspunsul circuitului separat la acţiunea fiecărei surse, considerând toate celelalte surse pasivizate. Suma tuturor răspunsurilor parţiale obţinute reprezintă răspunsul complet al circuitului. Exemplul..: Să determinăm tensiunea v O pentru circuitul din Fig...a), folosind metoda suprapunerii efectelor. 5K I S 4.5mA S 8,5K O a) 5K S 8,5K O I S 4.5mA 5K,5K O b) c) Fig... Aplicarea metodei suprapunerii efectelor.
Deoarece avem doua surse vom avea două situaţii distincte : ) Prin pasivizarea sursei de curent rezultă circuitul echivalent din Fig...b) şi,5 O + S 8 6 5 +,5 ) Prin pasivizarea sursei de tensiune obţinem circuitul echivalent din Fig... c) şi 5,5 O I S 3 5 + 5 +,5 Tensiunea totală de ieşire a circuitului este : 6 + ( 5) O O + O..6. Teorema lui Thevenin Teorema lui Thevenin afirmă că orice uniport care conţine rezistoare şi surse este echivalent cu un uniport care conţine o sursă ideală de tensiune v Th înseriată cu o rezistență Th. Prin uniport înţelegem un circuit cu o singură poartă adică două terminale de acces prin care circulă acelaşi curent. Teorema se mai numeşte şi teorema generatorului echivalent de tensiune deoarece echivalează o reţea cu rezistenţe şi surse cu o singură sursă (generator) reală de tensiune. um putem determina valorile sursei echivalente de tensiune? Destul de simplu: v Th se determină ca fiind tensiunea la mers în gol a uniportului (fără sarcină conectată la terminale); Th este rezistenţa echivalentă a diportului cu sursele pasivizate. Prin surse pasivizate înţelegem surse aduse la zero, adică pentru o sursă de tensiune, tensiunea la borne este zero (echivalent cu scurtcircuit) iar pentru o sursă de curent, curentul prin sursă este zero (echivalent cu întrerupere) după cum se observă în Fig.... pasivizare 0 I pasivizare I0 a) b) Fig.... Pasivizarea unei surse de: a) tensiune; b) curent
Exemplul..3. Aplicând teorema lui Thevenin pentru circuitul din Fig...3.a) obţinem sursa de tensiune echivalentă din Fig..3.b) [Mir 83]. Th 0K Ω A 0 KΩ A v S 0 0KΩ I S ma v Th 5 B a) b) Fig...3. Aplicare a teoremei lui Thevenin a) circuitul iniţial; b) circuitul echivalent B Aplicând teorema suprapunerii efectelor avem pentru v Th măsurată între punctele A si B pe schema din Fig...a) vth vs + I S 5+05 + + ircuitul de calcul pentru Th cu sursele pasivizate este cel din Fig...4. 0K 0K A B Th Fig...4. ircuitul pentru calculul Th Th // 0KΩ ezistenţa T h are şi o altă semnificaţie şi anume ea reprezintă rezistenţa văzută la poarta uniportului denumită şi rezistenţa de ieşire. Aceasta rezistenţă mai poate fi calculată şi determinând curentul de ieşire de scurtcircuit la poarta AB (Fig...3.a). vth Th i S 3
De menţionat că există şi teorema generatorului echivalent de curent (Teorema lui Norton) însă fiind mai rar utilizată nu o prezentăm în lucrarea de faţă, recomandând în schimb lucrările [Mir83] şi [Şor8]...7. Teorema lui Millman Teorema lui Millman [Mir83] exprimă potenţialul unui nod al circuitului în funcţie de conductanţele laturilor incidente în acel nod şi potenţialele nodurilor vecine, toate potenţialele fiind măsurate faţa de potenţialul unui nod comun de referinţă. Pentru schema generală din Fig...5., conform teoremei lui Millman avem expresia: G k n Gk Fig...5. Schemă pentru ilustrarea teoremei lui Millman n k n k K G G k k eamintim că G este conductanţa şi se măsoară în S (simens). 5 Exemplul..4. Să determinăm căderea de tensiune pe pentru circuitul din Fig...6. N 0K 0K 3 0K M 0 Fig...6. Exemplificarea aplicării Teoremei lui Millman onsiderăm M ca fiind nodul comun de referinţă. Potenţialul n în punctul N faţă de punctul M se scrie: 4
N G + G + N G + G + G + + + 3 0 G 5 0 + 0 0,5 + + 0 0 0..8. Puterea Puterea (lucrul pe unitatea de timp) corespunzător unui circuit este (Fig...7): P I unde este tensiunea pe circuit iar I curentul prin circuit. Unitatea de măsură a puterii este W (watt) cu submultiplul mw0-3 W şi multiplii KW0 3 W, MW0 6 W, GW0 9 W. I ircuit electronic I Fig...7. Exemplificare pentru puterea pe un circuit u sensurile din Fig...7. (curentul şi tensiunea au acelaşi sens) dacă rezultă: P>0 - puterea este consumată (absorbită) P<0 - puterea este generată Exemplul..5. I I S K Fig...8. I s 5 ma; I' I 5 ma Puterea pe sursă este P S S I0 (-5mA)-50mW, putere generata de sursă. Puterea pe rezistor P I 0 5mA50mW, puterea este consumată de rezistor. În calculul puterii de mai sus atât pe sursă cât şi pe rezistor am considerat 5
acelaşi sens pentru tensiune şi pentru curent (convenţia de la receptoare). Dacă pentru tensiune şi curent se consideră sensuri opuse (convenţia de la generatoare) in terpretarea puterii se schimbă, adică P > 0 este putere generată iar P < 0 este putere consumată. De remarcat este faptul că puterea se conservă, adică într-un circuit puterea generată este egală, în modul, cu puterea consumată. Pentru calculul puterii disipate în rezistoare se obţin relaţiile de calcul echivalente (folosind legea lui Ohm): P I şi P Transferul de putere Există o problemă interesantă: ce rezistenţă de sarcină L trebuie să folosim pentru a obţine transfer maxim de putere de la o sursă cu rezistenţa internă S cunoscută ( Fig...9.) S S Sursa reală Sarcină L Fig...9. Transfer maxim de putere pentru L S Pentru valori extreme ale rezistenţei de sarcină: L 0 L P P L L 0, ( I 0) Există o valoare intermediară pentru pentru care puterea disipată este maximă şi această valoare este: L S Încercaţi să demonstraţi afirmaţia de mai sus. a nu cumva afirmaţia anterioară să ne inducă o impresie greşită, accentuăm că în mod obişnuit în practică circuitele electronice sunt proiectate astfel încât rezistenţa de sarcină este mult mai mare decât rezistenţa internă a sursei. Menţionăm că sursa reală din exemplul anterior poate fi modelarea prin echivalent Thevenin a ieşiri unui circuit, spre exemplu a unui amplificator. I I L L 0 6
.3. ondensatorul şi bobina În Fig..3.. sunt prezentate simbolurile pentru condensator şi bobină. + L a) b) Fig..3. Simbolul pentru: a) condensator; b) bobină Unitatea de măsură pentru capacitate este F (Farad), cu submultiplii: µf 0-6 F, nf 0-9 F, pf 0 - F. Unitate de măsură pentru inductanţa bobinei este H (Henry) cu submultiplii: mh 0-3 H, μh 0-6 H..3.. elaţia curent-tensiune ondensator Un condensator cu capacitatea de farazi şi cu tensiunea la terminale de v volţi, are o sarcină electrică de q coulombi stocată pe o armătură şi q pe cealaltă armătură. qcv a şi relaţie de definiţie între tensiunea şi curentul pe condensator se foloseşte ecuaţia diferenţială: dv i c dt iteza de variaţie a tensiunii determină curentul prin condensator. De exemplu dacă pe un condensator cu capacitatea F variaţia tensiunii este de /s, curentul prin condensator este de A. Sau altfel privite lucrurile, dacă se furnizează un curent de A printr-un condensator de F tensiunea pe condensator creşte cu în fiecare secundă. Observaţii: curentul prin condensator este cu atât mai mare cu cât capacitatea este mai mare. pe condensator nu pot apărea salturi bruşte de tensiune deoarece acestea ar necesita un curent infinit prin condensator. ariaţia bruscă a potenţialului pe o armătură este transmisă integral pe cealaltă armătură. 7
Bobină Dacă înţelegem comportarea condensatorului nu vom avea nici o dificultate cu bobina, cele două elemente de circuit fiind duale Sunt duale între ele: rezistenţă - conductanţă G capacitate - inductanţă L tensiune v - curent i Putem folosi principiul dualităţii: ecuaţiile a două circuite duale unul altuia, exprimate în mărimi duale, au aceeaşi formă [Mir 83]. La bobină viteza de variaţie a curentului determină tensiunea la bornele ei. elaţia într e tensiune şi curent este: di v L dt O tensiune de aplicată unei bobine cu inductanţa de H conduce la o creştere a curentului prin bobină cu A în fiecare secundă. În continuare comportarea bobinei în circuit poate fi dedusă prin dualitate prin comportarea condensatorului..3.. onectarea condensatoarelor şi bobinelor L L L ech L + L ech + a) b) Fig..3.. onectarea serie a: a) condensatoarelor. b) bobinelor L L L L ech ech + L + L a) b) Fig..3.3. onectarea paralel a: a) condensatoarelor b) bobinelor L 8
Prin conectarea în serie (paralel) a condensatoarelor se obţine o capacitate mai mică (mare)..3.3. omportarea în c.c..3.3.. ircuit cu sursă de tensiune Să considerăm un circuit simplu cu un condensator, o rezistenţă şi o sursă de tensiune continuă legate în serie, după cum se vede în Fig..3.4. i I v Fig..3.4. ircuitul serie cu sursă de tensiune continuă Ne interesează evoluţia în timp a mărimilor în circuit, în particular tensiunea pe condensator v (t) şi curentul prin condensator i (t). Folosind TK avem: I i +v. Avem relaţia pe condensator: dv i dt dv I + v dt Obţinem o ecuaţie diferenţială neomogenă de ordin unu cu necunoscuta v : dv dt + v I ezolvând ecuaţia şi punând condiţiile la limită: t0; v v (0 ) - tensiunea pe condensator la momentul iniţial t ; v v ( ) - tensiunea pe condensator la momentul final; se obţine soluţia: t 0 t v ( t) v (0) e τ + ( e τ ) v ( ) unde τ se numeşte constanta de timp a circuitului, cu unitatea de măsură secundă (s). Pentru circuitul din Fig..3.4. considerăm că la momentul iniţial condensatorul este complet descărcat, v (0)0, iar tensiunea la care se încarcă condensatorul într-un timp infinit de lung este tensiunea sursei de intrare v( ) I. Ecuaţia ce descrie evoluţia în timp a tensiunii pe condensator este: 9
v t ( t) ( e τ v ) Forma de undă este prezentată în Fig..3.5. a) i I I I 0.63 I τ τ 3τ 4τ 5τ τ τ 3τ 4τ 5τ 6τ regim tranzitoriu regim regim tranzitoriu regim permanent a) permanent b) Fig..3.5. ronogramele tensiunii şi curentului prin condensator pentru circuitul din Fig..3.4. După tτ condensatorul s-a încărcat la 63% din valoarea finală. ondensatorul se poate considera încărcat în întregime după un timp t5τ când ajunge la 99% din valoarea finală. Evoluţia curentului prin condensator este prezentată în Fig..3.5. b). i 6τ 0.37 I ( t) v I ( I urentul prin condensator are valoarea maximă în momentul iniţial i ( 0), deoarece toată tensiunea sursei cade pe. Pe măsură ce creşte tensiunea pe condensator, curentul prin circuit scade, tinzând la zero după t5τ. În circuitul alimentat cu o sursă de tensiune continuă, după trecerea regimului tranzitoriu t (0; 5τ) se intră în regimul permanent în care nu se mai întâmplă nimic, curentul f iind zero. Observaţie: Interpretăm afirmația de mai sus astfel: în c.c., după trecerea regimului tranzitoriu, condensatorul poate fi considerat o întrerupere..3.3.. Încărcarea la curent constant onsiderăm un circuit format dintr-un condensator şi o sursă de curent continuu (Fig..3.6.) t t) t 30
v I i v panta I a) 0 b) Fig..3.6. ondensatorul la curent constant: a) schema electrică ; b) tensiunea pe condensator La momentul iniţial condensatorul se consideră descărcat v (0)0. urentul prin condenator este constant în timp i (t)i, astfel încât avem : t v (t) i ( t) dt 0 v ( t) I t Tensiunea pe condensator creşte liniar în timp (Fig..3.7.). Dacă circuitul funcţionează o perioadă oarecare de timp, tensiunea creşte continuu existând pericolul distrugerii condensatorului sau sursei. Dacă la un moment dat se inversează sensul curentului, condensatorul se va descărca. t.3.4. omportarea în curent alternativ ircuitele cu condensatoare şi bobine sunt mai complicate decat circuitele pur rezistive, deoarece comportarea lor depinde de frecvenţa. De exemplu un divizor de tensiune, care conţine şi un condensator va avea un factor de divizare dependent de frecvenţă. ondensatorul şi bobina sunt cunoscute ca şi elemente de circuit reactive. Pentru aceste elemente de circuit se defineşte reactanţa X: X ; pentru condensator ω X L ωl ; pentru bobina Unitatea de măsură pentru reactanţă este aceeași cu cea pen tru rezistență [ Ω ]. Un alt termen utilizat în circuitele ce conţin elemente reactive este cel de 3
impedanţă, care se notează cu Z. Impedanţa este un termen general, este o rezistenţa generalizată [Hor97]. Z + j ( X X ) L eactanța este partea imaginara a impedanței. Impedanţele capacitivă, Z şi inductivă Z sunt: Z jx ; Z + unde j Pentru condensator şi bobină ideale (0) impedanţele sunt numere complexe: Zc ; Z j L jω L ω eactanţa condensatorului (bobinei) scade (creşte) cu creşterea frecvenţei f. Astfel, în curent continuu (f0 Hz) un condensator este echivalent cu o întrerupere (X ) pe când o bobina este echivalentă cu un scurtcircuit (X L 0 ). L L jx L.4. Generalizarea relaţiilor si teoremelor de circu ite electrice ând circuitele analizate conţin si elemente reactive (condensatoare şi bobine) toate relaţiile şi teoremele de circuit (vezi paragraful..) trebuie reformulate. Toate aceste relaţii şi teoreme rămân valabile (cu respectarea condiţiilor de aplicare) doar că în loc de rezistenţă se foloseşte impedanţa. Legea lui Ohm generalizată: I Z ZI Fig..4..Generalizarea legii lui Ohm Dacă, de exemplu ZZc jω tensiunea rezultată este I πf 3
onectarea impedanţelor va lua locul conectării rezistoarelor. De exemplu două impedanţe în serie Z şi Z au impedanţa echivalentă ZZ +Z. Dacă: Z Z Z şi Z Z L jωl jω + jωlj(- ω +ωl) jω Divizoarele se pot realiza cu impedanţe în loc de rezistoare. elaţiile de calcul rămân valabile, înlocuind cu Z. Metoda suprapunerii efectelor se poate aplica şi pentru circuite cu şi L, folosind impedanţele corespunzătoare, cu condiţia ca circuitul să fie liniar. Teorema lui Thevenin pentru circuite care conţin elemente reactive se reformulează astfel: Orice uniport care conţine rezistoare, condensatoare, bobine şi surse este echivalent cu un uniport care conţine o sursă ideală de tensiune înseriată cu o impedanţă complexă. Teorema lui Millman exprimă potenţialul unui nod al circuitului in funcţie de admitanţele complexe ale laturilor incidente în acel nod şi potenţialele nodurilor vecine, toate potenţialele fiind măsurate faţă de potenţialul unui nod comun de referinţă. Prin admitanţă se înțelege inversul impedanţei, se notează cu Y şi se măsoară în S (Siemens). Y Z Admitanţa unui condensator este Y jω.5. ăspunsul în frecvenţă Dacă un semnal sinusoidal este aplicat la intrarea unui circuit liniar, la ieşirea circuitului vom obţine tot un semnal sinusoidal de aceeaşi frecvenţă, dar care poate avea amplitudinea şi faza diferite de cele ale semnalului de intrare. Astfel un circuit poate fi caracterizat în termenii schimbării pe care el o produce în amplitudinea şi faza semnalelor sinusoidale de diferite frecvenţe aplicate la intrare..5.. Funcţia de transfer complexă Pentru a studia comportarea în frecvenţă a unui circuit se foloseşte funcţia de transfer complexă. Funcţia de transfer complexă F(jω) este o caracteristică a circuitului şi ea descrie complet răspunsul lui în frecvenţă. 33
F ( jω) X O X I ( jω) ( jω) u X I (jω),x O (jω) am notat semnalele sinusoidale în complex pentru intrare, respectiv pentru ieşire. Acestea pot fi tensiuni sau curenţi. Studiul răspunsului în frecvenţă al unui circuit se reduce la studiul funcţiei de transfer F(jω). Exemplul.5.. are este funcţia de transfer complexă a circuitului din Fig.5.. v I (jω) v O (jω) Fig..5.. ircuit Soluţie: F ( jω) vo ( jω) v ( jω) v O (jω) se poate deduce considerând un divizor de tensiune pentru care tensiunea de intrare v I (jω) se divide pe impedanţa condensatorului Z şi pe cea a rezistorului Z. v O ( j ω ) v ( jω ) Z I Z + Z Z F( jω ) Z + Z jω + jω F( jω ) + jω Prin înlocuirea impedanţelor obţinem: F( jω) Funcţia de transfer fiind un număr complex, este caracterizat de modul şi fază : Modul ( j ) F ω I + ( ω) 34
Faza Φ ( ω) arctg( ω) Atât modulul cât şi faza sunt funcţii de frecvenţă (mai precis de pulsaţie ωπf). eprezentarea grafică a acestor funcţii ne furnizează o imagine clară asupra răspunsului în frecvenţă a circuitului..5.. eprezentarea răspunsului în frecvenţă Scara logaritmică Pentru reprezentarea modulului funcţiei de transfer folosim un sistem de axe de coordonate în care pe abscisa avem frecvenţa (sau pulsaţia). Având în vedere domeniul foarte mare de valori al frecvenţei, de la herţi la megaherţi folosirea unei scă ri liniare este aproape imposibilă. De aceea se folosește o scara logaritmică, neliniară care are proprietatea că dilatează valorile mici şi comprimă valorile mari, permiţînd astfel reprezentarea unui interval de variaţie foarte mare. Scara logaritmică este exemplificată în Fig..5.. 0 lg 0.0 0. 0 00 0 3 4 0 Fig..5.. Scară logaritmică Originea axei este considerată valoarea. Pe axă scriem valorile ca puteri ale lui 0, dar ceea ce măsuram pe axa este logaritm zecimal din aceste valori. Intervalul cuprins între două valori aflate în raport de 0 (sau /0) se numeşte 3 decadă. De exemplu sunt decade intervalele cuprinse între şi 0 sau între 0 şi 0 4. Decibel Pe axa modulului funcţiei de transfer se pot folosi atât valori exprimate ca raport, F ( jω ) cât şi valori exprimate în decibeli, ca logaritm al raportului, F jω ( ) db F ( j ) ( ) ω 0 lg F jω db Decibelul este submultiplu al unităţii de măsură bel care este logaritmul zecimal al raportului a două puteri, când acest raport este egal cu 0. orespondenţa între valorile modulului unei funcţii de transfer exprimate ca raport şi exprimate în db este prezentată în Fig..5.3. 35
F ( jω) F( jω ) db 000 00 0 0. 0.0 60 40 0 0 0 40 Origine Fig..5.3. orespondenţa între valorile modulului unei funcţii de transfer exprimate ca raport şi exprimate în decibeli. Dacă semnalul de ieşire este egal cu cel de intrare F ( jω) de transfer în db este ( j ) 0, modulul funcţiei F ω, care poate fi considerat ca origine a axei. db Pentru un amplificator, când semnalul de ieşire este mai mare decât cel de F jω >, iar pentru un circuit care atenuează, semnalul de ieşire intrare avem ( ) 0 db este mai mic decât cel de intrare şi avem F( jω ) < 0. db eprezentarea grafică Modulul funcţiei de transfer pentru circuitul din Fig.5.. este: F ( jω ) + ( ω) om trata mai întâi reprezentarea asimptotică a acestei funcţii, considerând valori extreme pentru ω: F jω ω 0 ; ( ) ω>> ; F( jω) ω aracteristica asimptotică a modulului funcţiei de transfer este arătată în Fig..5.4.b) cu linie întreruptă. Punctul de intersecţie al celor două asimptote este la pulsaţia ω 0 a cărei valoare se obţine prin egalarea celor două funcţii. ω 0 36
ω 0 ω 0 se numeşte pulsaţie de frângere sau de tăiere, iar frecvenţa corespunzătoare f ω0 0 π se numeşte frecvenţă de frângere sau de tăiere. ( ) jω F F( jω ) db -0.707 0. 0.0-3 -0-40 0.0 0. 0 00 ω a) Ф(ω) 0 0-45 0 0. 0 ω b) -90 0 Fig..5.4. ăspunsul în frecvenţă al circuitului FTJ din Fig..5.: a) caracteristica amplitudine-pulsaţie; b) caracteristica fază-pulsaţie Înlocuind, funcţia de transfer se poate scrie în forma: ω 0 F ( jω) ω + j ω o cu modulul: ( jω) F şi faza: + ω ω 0 Φ ( ω) arctg ω ω 0 37
aloarea reală a modulului frecvenţei de transfer la pulsaţia (frecvenţa) de frângere este: F( jω 0 ) 0. 707 + aracteristica reală a funcţiei de transfer este prezentată cu linie plină în Fig..5.4.a). Dacă se măsoară în decibeli, modulul funcţiei de transfer la frecvenţa de frângere este: F( jω0 ) 0 lg 3 db db La frecvenţe mult mai mici decât frecvenţa de frângere, amplitudinea semnalului de ieşire este egală cu cea a semnalului de intrare ( F ( jω) ). Din caracteristica reală a funcţiei de transfer (Fig..5.4.a)) se observă că pe măsură ce ne apropiem de pulsaţia de frângere amplitudinea semnalului de ieşire scade. Ea devine, la pulsaţia de frângere, 0.707 din amplitudinea semnalului de intrare. Aşadar la trecerea prin circuit toate semnalele având frecvenţe cel mult egale cu frecvenţa de frângere sunt atenuate cu cel mult 30%, sau cu 3dB. Se numeşte bandă de frecvenţe de trecere la 3 db atenuare (la 30%), domeniul de frecvenţe în care semnalele sunt atenuate cu cel mult 3dB (30%) faţă de valoare maximă. Pentru circuitul nostru banda de frecvenţă de trecere este: B π In afara benzii, modulul funcţiei de transfer este invers proporţional cu pulsaţia: F ( jω ) ω Panta acestei drepte este 0dB/decadă. Spunem ca atenuarea în afara benzii este de 0dB/decadă. ircuitul care lasă să treacă semnalele cu frecvenţe joase şi atenuează semnalele cu frecvenţe ridicate se numeşte filtru trece jos FTJ. Mai există filtre trece sus FTS, filtre trece bandă FTB şi filtre opreşte bandă FOB. Faza funcţiei de transfer este: Ф(ω ) -arctg(ω) Pentru: ω 0; Ф(ω ) -arctg 0 0 ω ; Ф(ω ) -arctg -90 0 ω ω 0 ; Ф(ω ) -arctg -45 0 38
Faza funcţiei de transfer în raport cu pulsaţia este reprezentată în Fig..5.4.b). Defazajul merge de la 0 0 ( la frecvențe bine sub frecvența de frângere) până la -90 0 (la frecvenţe bine peste frecvenţa de frângere), cu o valoare de -45 0 la frecvenţa de frângere. Un FTS este prezentat în Fig..5.5, răspunsul său în frecvenţă fiind arătat în Fig..5.6. v I (jω) v O (jω) Fig..5.5. Filtru trece sus F(jω) db 0.0f 0 0.f 0 f 0 0 f 0 00 f 0 0-3 f -0-40 panta 0dB/dec. Ф(ω) 90 0 45 0 0 0.0 f 0 0. f 0 f 0 00 f 0 f Fig..5.6. ăspunsul în frecvenţă pentru FTS Funcţia de transfer este: F jω ω + jω ( j ) F ω ω ; Ф(ω)90-arctgω + ( j ) ( ω ) 39
Frecvenţa de tăiere este f0, banda de frecvenţe de trecere la 3dB π atenuare este: B [f 0 ; ], atenuarea în afara benzii este de 0dB/dec.; defazajul la frecvenţa de tăiere este 45 0. Observaţie: Atât pentru FTJ cât şi pentru FTS, la frecvenţe mai mari decât 0f 0 panta modulului funcţiei de transfer este cu 0dB/dec. mai mică decât panta la frecvenţe mai mici decât 0.f 0.. De asemenea defazajul este mai mic cu 90 0. Pe caracteristica asimptotică a modulului funcţiei de transfer spunem că la frecvenţa de tăiere apare o atenuare de 0dB/dec. Exemplul.5.. În Fig..5.7. este prezentată caracteristica amplificare-frecvenţă (modulul funcţiei de transfer) a unui amplificator de tip FTB. are sunt banda de frecvenţă şi amplificarea în bandă? are este funcţia de transfer a circuitului? 60 40 37 0 F( jω ) db 0 0 0 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 f[hz] Fig..5.7. aracteristica amplificare-frecvenţă de tip FTB Soluţie Se observă că există două frecvenţe de tăiere f L KHz şi f H 00KHz la care avem o amplificare de 37 db, cu 3 db mai mică decât amplificarea maximă de 40 db. Banda de frecvenţă de trecere este B [;00]KHz. Amplificarea în bandă este 40 db, iar măsurată ca raport între semnalul de intrare şi cel de ieşire este de 00. Funcţia de transfer a circuitului trebuie să prezinte doua frecvenţe de tăiere, deci ω ω numitorul să fie un produs de tipul + j + j. De asemenea la ω L ω H ω numărător trebuie să avem o expresie de forma j care arată că venim dinspre origine ω0, cu panta 0 db/dec. ω L şi ω H se citesc direct de pe grafic: ω 3 5 ω L π 0 ; π 0 ω H 40
ω se determină punând condiţia ca la frecvenţa f0 Hz, ( j ) 0 F ω db db F ( jω ) + ω j π 0 ω ω j + j 3 π 0 π 0 5 + f j 0 f j + 3 0 f j 0 5 Lăsăm spre distracţia cititorului să deducă faza Ф(ω) şi să traseze caracteristica fază-frecvenţă. 4