PAU Código: 25 SETEMBRO 2013 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución ás cuestións. As respostas deben ser razoadas. Pódese usar calculadora sempre que non sexa programable nin memorice texto. O alumno elixirá unha das dúas opcións. OPCIÓN A C.1.- A ecuación dunha onda transversal de amplitude 4 cm e frecuencia 20 Hz que se propaga no sentido negativo do eixo X cunha velocidade de 20 m s ¹ é: A) y(x, t) = 4 10 ² cos π (40 t + 2 x) m. B) y(x, t) = 4 10 ² cos π (40 t 2 x) m. C) y(x, t) = 4 10 ² cos 2 π (40 t + 2 x) m. C.2.- Un espello cóncavo ten 80 cm de radio de curvatura. A distancia do obxecto ao espello para que a súa imaxe sexa dereita e 4 veces maior é: A) 50 cm. B) 30 cm. C) 60 cm. C.3.- Unha radiación monocromática, de lonxitude de onda 300 nm, incide sobre cesio. Se a lonxitude de onda limiar do cesio é 622 nm, o potencial de freado é: A) 12,5 V. B) 2,15 V. C) 125 V. (Datos: 1 nm = 10⁹ m; h = 6,63 10 ³⁴ J s; c = 3 10⁸ m s ¹; qₑ = -1,6 10 ¹⁹ C) C.4.- Se temos un resorte de constante elástica coñecida, como podemos determinar o valor dunha masa descoñecida? Describe as experiencias que debemos realizar. P.1.- Deséxase poñer un satélite de masa 10³ kg en órbita arredor da Terra e a unha altura dúas veces o raio terrestre. Calcula: a) A enerxía que hai que comunicarlle desde a superficie da Terra. b) A forza centrípeta necesaria para que describa a órbita. c) O período do satélite na devandita órbita. (Datos: R T = 6370 km; g₀ = 9,8 m s ²) P.2.- Acelérase unha partícula alfa mediante unha diferenza de potencial de 1 kv, penetrando a continuación, perpendicularmente ás liñas de indución, nun campo magnético de 0,2 T. Acha: a) O raio da traxectoria descrita pola partícula. b) O traballo realizado pola forza magnética. c) O módulo, dirección e sentido dun campo eléctrico necesario para que a partícula alfa non experimente desviación algunha ao seu paso pola rexión na que existen os campos eléctrico e magnético. (Datos: m α = 6,68 10 ²⁷ kg; q α = 3,2 10 ¹⁹ C) OPCIÓN B C.1.- A actividade no instante inicial de medio mol dunha sustancia radioactiva cuxo período de semidesintegración é de 1 día, é: A) 2,41 10¹⁸ Bq. B) 3,01 10²³ Bq. C) 0,5 Bq. (Dato: N A = 6,022 10²³ mol ¹) C.2.- A lonxitude de onda asociada a un electrón de 100 ev de enerxía cinética é: A) 2,3 10 ⁵ m. B) 1,2 10 ¹⁰ m. C) 10 ⁷ m. (Datos: mₑ = 9,1 10 ³¹ kg, h = 6,63 10 ³⁴ J s; qₑ = -1,6 10 ¹⁹ C) C.3.- As liñas de indución do campo magnético son: A) Sempre pechadas. B) Abertas ou pechadas, xa que dependen do axente creador do campo magnético. C) Sempre abertas, por semellanza co campo eléctrico. C.4.- Se na práctica de óptica xeométrica a lente converxente ten unha distancia focal imaxe de +10 cm, a que distancias da lente podes situar o obxecto para obter imaxes sobre a pantalla, se se cumpre que s + s = 80 cm? Debuxa a marcha dos raios. P.1.- Tres cargas eléctricas puntuais de 10 ⁶ C atópanse situadas nos vértices dun cadrado de 1 m de lado. Calcula: a) A intensidade do campo e o potencial electrostático no vértice libre. b) Módulo, dirección e sentido da forza do campo electrostático sobre unha carga de -2 10 ⁶ C situada en devandito vértice. c) O traballo realizado pola forza do campo para trasladar dita caga desde o vértice ao centro do cadrado. Interpreta o signo do resultado. (Dato: K = 9 10⁹ N m² C ²) P.2.- Unha bóla colgada dun fío de 2 m de lonxitude desvíase da vertical un ángulo de 4, sóltase e obsérvanse as súas oscilacións. Acha: a) A ecuación do movemento harmónico simple. b) A velocidade máxima da bóla cando pasa pola posición de equilibrio. c) Comproba o resultado obtido no apartado anterior, utilizando a ecuación da conservación da enerxía mecánica.
Solucións OPCIÓN A 1. C.1.- A ecuación dunha onda transversal de amplitude 4 cm e frecuencia 20 Hz que se propaga no sentido negativo do eixo X cunha velocidade de 20 m s ¹ é: A) y(x, t) = 4 10 ² cos π (40 t + 2 x) m. B) y(x, t) = 4 10 ² cos π (40 t 2 x) m. C) y(x, t) = 4 10 ² cos 2 π (40 t + 2 x) m. Solución: A A ecuación dunha onda harmónica unidimensional pode escribirse como: y = A sen(ω t ± k x) Na que y é a elongación do punto que oscila (separación da posición de equilibrio) A é a amplitude (elongación máxima) ω é a frecuencia angular que está relacionada coa frecuencia f por ω = 2 π f. t é o tempo k é o número de onda, a cantidade de ondas que entran nunha lonxitude de 2 π metros. Está relacionada coa lonxitude de onda λ por k = 2 π / λ x é a distancia do punto ao foco emisor. O signo ± entre ω t e k x é negativo se a onda propágase en sentido positivo do eixe X, e positivo se o fai en sentido contrario. Como di que se propaga en sentido negativo do eixe X podemos descartar a opción B. A frecuencia angular ω da ecuación da opción A é ω₁ = π 40 [rad/s], que corresponde a unha frecuencia de 20 Hz. f 1 = ω 2 π π [ rad/s] =40 =20 s 1 2π [rad] 2. C.2.- Un espello cóncavo ten 80 cm de radio de curvatura. A distancia do obxecto ao espello para que a súa imaxe sexa dereita e 4 veces maior é: A) 50 cm. B) 30 cm. C) 60 cm. Datos (convenio de signos DIN) Cifras signifcativas: 3 Radio de curvatura R = -80,0 cm = -0,800 m Aumento lateral A L = 4,00 Posición do obxecto s Distancia focal do espello f Posición da imaxe sʹ Tamaño do obxecto y Tamaño da imaxe yʹ Relación entre a posición da imaxe e a do obxecto nos espellos 1 sʹ + 1 s = 1 f Aumento lateral nos espellos A L = yʹ y s Solución: B A distancia focal do espello é a metade do radio de curvatura. Como o espello é cóncavo o foco atópase á esquerda, e, polo convenio de signos, a distancia focal é negativa
O aumento lateral en espellos é Substitúense f, sʹ na ecuación dos espellos f = R / 2 = -0,400 m A L = sʹ s =4,00 sʹ = -4,00 s 1 4,00 s + 1 s = 1 0,400 [ m] Multiplicando ambos os lados por (-4,00 s) queda unha ecuación sinxela A solución é: 1 4,00 = 10 s s = -0,300 m 3. C.3.- Unha radiación monocromática, de lonxitude de onda 300 nm, incide sobre cesio. Se a lonxitude de onda limiar do cesio é 622 nm, o potencial de freado é: A) 12,5 V B) 2,15 V C) 125 V Datos: 1 nm = 10⁹ m; h = 6,63 10 ³⁴ J s; c = 3 10⁸ m s ¹; qₑ = -1,6 10 ¹⁹ C Datos Cifras signifcativas: 3 Lonxitude de onda da radiación λ = 300 nm = 3,00 10 ⁷ m Lonxitude de onda limiar do cesio λ₀ = 622 nm = 6,22 10 ⁷ m Constante de Planck h = 6,62 10 ³⁴ J s Velocidade da luz no baleiro c = 3,00 10⁸ m/s Carga do electrón e = -1,60 10 ¹⁹ C Potencial de freado V Frecuencia limiar f₀ Ecuación de Planck (enerxía dun fotón) E = h f Ecuación de Einstein do efecto fotoeléctrico E = Wₑ + E Relación entre a frecuencia dunha onda luminosa e a lonxitude de onda f = c / λ Relación entre a enerxía cinética dos electróns e o potencial de freado E = e V Solución: B Cando a luz interacciona co metal da célula fotoeléctrica faino coma se fose un chorro de partículas chamadas fotóns (paquetes de enerxía). Cada fotón choca cun electrón e transmítelle toda a súa enerxía. Para que ocorra efecto fotoeléctrico, os electróns emitidos deben ter enerxía sufciente para chegar ao anticátodo, o que ocorre cando a enerxía do fotón é maior que o traballo de extracción, que é unha característica do metal. A ecuación de Einstein do efecto fotoeléctrico pode escribirse: E = Wₑ + E Na ecuación, E representa a enerxía do fotón incidente, Wₑ o traballo de extracción do metal e E a enerxía cinética máxima dos electróns (fotoelectróns) emitidos. A enerxía que leva un fotón de frecuencia f é: E = h f En esta ecuación, h é a constante de Planck e ten un valor moi pequeno: h = 6,63 10 ³⁴ J s
Partindo da ecuación de Einstein e substituíndo nela as de Planck e a relación entre lonxitude de onda e frecuencia, queda E c =E f W e =h f h f 0 = h c λ h c λ 0 =h c( 1 λ 1 λ 0) E c =6,62 10 34 [ J s] 3,00 10 8 [ m s ]( 1 1 3,00 10 7 [ m] 1 6,22 10 [m]) =3,43 7 10 19 J Usando a relación entre a enerxía cinética dos electróns e o potencial de freado E = e V V = E c e =3,43 10 19 [ J] 1,6 10 19 [C] =2,14 V 4. C.4.- Se temos un resorte de constante elástica coñecida, como podemos determinar o valor dunha masa descoñecida? Describe as experiencias que debemos realizar. Solución: Colgaríase o resorte cun prato de balanza e anotaríase a posición do prato, medida cunha regra vertical: y₁ Sen mover a regra, colocaríase a masa no prato e mediríase e anotaríase a nova posición do prato: y₂ Calcularíase o alongamento y = y₂ y₁. Coñecido o valor da constante podería calcularse a forza de recuperación elástica pola ecuación de Hooke F = - k y Como no equilibrio estático entre a forza elástica e o peso do obxecto son iguais: A masa calcúlase despexándoa na ecuación anterior. k y = m g m= k Δ y g 5. P.1.- Deséxase poñer un satélite de masa 10³ kg en órbita arredor da Terra e a unha altura dúas veces o radio terrestre. Calcula: a) A enerxía que hai que comunicarlle desde a superficie da Terra. b) A forza centrípeta necesaria para que describa a órbita. c) O período do satélite na devandita órbita. Datos: R T = 6370 km; g₀ = 9,8 m/s² Rta.: a) E = 5,20 10¹⁰ J; b) F = 1,09 10³ N; c) T = 7 h 19 min Datos Cifras signifcativas: 3 Masa do satélite m = 10³ kg = 1,00 10³ kg Radio da Terra R = 6370 km = 6,37 10⁶ m Altura da órbita h = 2 6370 km = 1,27 10⁷ m Aceleración da gravidade na superfcie da Terran (en inglés) g₀ = 9,80 m/s² Enerxía que hai que comunicarlle desde a superfcie da Terra E Forza centrípeta necesaria para que describa a órbita F Período orbital do satélite T Masa da Terra M Constante da gravitación universal G Velocidade dun satélite a unha distancia r do centro dun astro de masa M v= G M r Velocidade nun movemento circular uniforme de raio r e período T v= 2π r T
Relación entre a masa, a gravidade e o raio dun astro G M = g₀ R² Enerxía cinética E = ½ m v² Enerxía potencial gravitacional (referida ao infnito) E p = G M m r Enerxía mecánica E = E + Eₚ Solución: a) A enerxía mecánica é a suma das enerxías cinética e potencial. A expresión da enerxía potencial é: E p = G M m r Ao non ter a masa da Terra substitúese G M por g₀ R². E p = G M m = g R2 0 m r r Suponse que na superfcie da Terra o satélite está en repouso ª, polo que só ten enerxía potencial, que vale: Eₚ(chan) = G M m R = g 0 R2 m = g R 0 R m= 9,80 [m /s 2 ] 6,37 10 6 [ m] 1,00 10 3 [kg]= 6,24 10 10 J O raio dunha órbita circular a unha altura dúas veces o raio terrestre é A enerxía potencial na órbita é: Eₚ(órbita) = G M m r r = R + h = R + 2 R = 3 R = 3 6,37 10⁶ [m] = 1,91 10⁷ m = g 0 R2 m 3 R = g 0 R m = E p s 3 = 6,24 1010 J = 2,08 10 10 J 3 3 Para calcular a enerxía cinética na órbita necesitamos calcular a velocidade orbital. A velocidade dun satélite que xira a unha distancia r arredor do centro dun astro de masa M é: v= G M r Substitúese G M por g₀ R² na ecuación da velocidade, e queda v= = g 0 R 2 g 0 R 2 r 3 R = g 0 R 3 = 9,80 [ m/s2 ] 6,37 10 6 [m] =4,56 10 3 m/ s=4,56 km /s 3 Análise: Espérase que un satélite en órbita arredor da Terra teña unha velocidade duns poucos km/s. O resultado está de acordo con esta suposición. A enerxía cinética en órbita é: A enerxía mecánica en órbita valerá E (órbita) = m v² /2 = [1,00 10³ [kg] (4,56 10³ [m/s])²] / 2 = 1,04 10¹⁰ J E(órbita) = E (órbita) + Eₚ(órbita) = 1,04 10¹⁰ [J] + (-2,08 10¹⁰ [J]) = -1,04 10¹⁰ J Análise: A enerxía mecánica ten o valor oposto ao da enerxía cinética A enerxía que hai que comunicarlle ao satélite na superfcie da Terra é a diferenza entre a que terá en órbita e a que ten no chan: b) A forza centrípeta é: E = E(órbita) E(chan) = -1,04 10¹⁰ (-6,24 10¹⁰ J) = 5,20 10¹⁰ J ª Para un sistema de referencia no centro da Terra, calquera punto da superfcie ten velocidade debido á rotación terrestre. A velocidade dun punto da superfcie terrestre vale: v = ω R = 2 π R / T = 463 m/s. Para un obxecto de 1000 kg, a enerxía cinética sería E = ½ m v² = 1,07 10⁸ J moito menor que o valor absoluto da enerxía potencial (6,24 10¹⁰ J)
F =m a N =m v2 r =m g 0 R 3 3 R = m g 0 9 = 1,00 103 [ kg] 9,80 [m/s 2 ] =1,09 10 3 N 9 c) O período calcúlase a partir da expresión da velocidade no movemento circular uniforme: T = 2 π r v = 2 3,14 1,91 107 [m] =2,63 10 4 s=7 h 18 min 7,58 10 3 [m/s] 6. P.2.- Acelérase unha partícula alfa mediante unha diferenza de potencial de 1 kv, penetrando a continuación, perpendicularmente ás liñas de indución, nun campo magnético de 0,2 T. Acha: a) O radio da traxectoria descrita pola partícula. b) O traballo realizado pola forza magnética. c) El módulo, dirección e sentido dun campo eléctrico necesario para que a partícula alfa non experimente desviación algunha ao seu paso pola rexión na que existen os campos eléctrico e magnético. Datos: m α = 6,68 10 ²⁷ kg; q α = 3,2 10 ¹⁹ C Rta.: a) R = 3,2 cm; b) W B = 0; c) E = 6,2 10⁴ V/m Datos Cifras signifcativas: 3 Carga da partícula alfa q α = 3,2 10 ¹⁹ C Diferencia de potencial de aceleración V = 1,00 kv = 1,00 10³ V Masa da partícula alfa m α = 6,68 10 ²⁷ kg Intensidade do campo magnético B = 0,200 T Radio da traxectoria descrita pola partícula alfa R Traballo realizado pola forza magnética W B Vector campo eléctrico que anule o efecto do campo magnético E Vector da forza magnética sobre a partícula alfa F B Vector forza eléctrica sobre a partícula alfa F E Lei de Lorentz: forza magnética sobre unha carga q que se despraza no interior F dun campo magnético B cunha velocidade v B = q (v B) Aceleración normal (nun movemento circular de raio R) a N = v 2 R 2ª lei de Newton da Dinámica F = m a Velocidade nun movemento circular uniforme de raio R v= 2π R T Forza F E exercida por un campo electrostático E sobre unha carga q F E = q E Solución: a) Para calcular a velocidade da partícula alfa temos que ter en conta que ao acelerar a partícula alfa cunha diferenza de potencial (supomos que desde o repouso), este adquire unha enerxía cinética: W(eléctrico) = q ΔV = ΔE = ½ m v² ½ m v₀² Se parte do repouso, v₀ = 0. A velocidade fnal é: v= 2q α Δ V = 2 3,20 10 19 [C] 1,00 10 3 [ V] =3,10 10 5 m /s m α 6,28 10 27 [kg] Se só actúa a forza magnética:
F = F B A partícula alfa describe unha traxectoria circular con velocidade de valor constante, polo que a aceleración só ten compoñente normal a N, Despexando o raio R v F B =m a=m a N =m v2 F R Usando a expresión da lei de Lorentz (en módulos) para a forza magnética B q B v sen φ =m v 2 R R = m v q B sen φ = 6,28 10 27 [kg ] 3,10 10 5 [ m/s] 3,20 10 19 [C] 0,200[ T] sen90 =3,23 10 2 m=3,23 cm b) Como a traxectoria é circular, o desprazamento é, en todo momento, perpendicular á forza magnética, polo que o seu traballo é nulo. W B = F B s cos 90 = 0 X+ Z+ c) Tomando o sistema de referencia como o de fgura da dereita, cando só actúa a forza magnética a traxectoria da partícula alfa é unha circunferencia. Na fgura anterior debuxouse a partícula alfa movéndose inicialmente no sentido positivo do eixe Y e o campo magnético dirixido no sentido negativo do eixe Z. Cando actúa unha forza eléctrica que anula a magnética, B F B + F E = q (v B) + q E = 0 O campo eléctrico debe valer: E = (v B) = -(3,10 10⁵ j [m/s] 0,200 ( k) [T]) = 6,19 10⁴ i N/C O campo eléctrico está dirixido no sentido positivo do eixe X. En calquera sistema de referencia, a dirección do campo eléctrico debe ser perpendicular tanto á dirección do campo magnético como á dirección da velocidade. O sentido do campo eléctrico ten que ser igual que o da forza eléctrica e oposto ao da forza magnética. OPCIÓN B 1. C.1.- A actividade no instante inicial de medio mol dunha sustancia radioactiva cuxo período de semidesintegración é de 1 día, é: A) 2,41 10¹⁸ Bq. B) 3,01 10²³ Bq. C) 0,5 Bq. Dato: N A = 6,022 10²³ mol ¹ Solución: A A actividade radioactiva é o número de desintegracións por segundo e é proporcional á cantidade de isótopo radioactivo A = - d N / d t = λ N Sendo λ a constante de desintegración radioactiva. Integrando a ecuación anterior, atópase a relación entre λ e o período de semidesintegración T ½ Cando t = T ½, N = N₀ / 2 λ t N =N 0 e λ = ln(n 0 /N ) t F B Y+ v E F E
λ = ln 2 / T ½ λ = ln 2 0,693 = T 1/2 1 [día] 24 [ h/ día] 3600 [s/ h] =8,02 10 6 s 1 A = λ N = 8,02 10 ⁶ [s ¹] 0,500 [mol] 6,022 10²³ [mol ¹] = 2,42 10¹⁸ Bq 2. C.2.- A lonxitude de onda asociada a un electrón de 100 ev de enerxía cinética é: A) 2,3 10 ⁵ m B) 1,2 10 ¹⁰ m C) 10 ⁷ m Datos: mₑ = 9,1 10 ³¹ kg, h = 6,63 10 ³⁴ J s; qₑ = -1,6 10 ¹⁹ C Solución: B De Broglie propuxo que nalgúns casos o comportamento de certas partículas podería interpretarse como o de ondas cuxa lonxitude de onda asociada λ viría dada pola expresión: λ = h p = h m v Na ecuación, h é a constante de Planck, m a masa da partícula e v a súa velocidade. A enerxía cinética de 100 ev é: E = 100 1,6 10 ¹⁹ [C] 1 [V] = 1,6 10 ¹⁷ J Un electrón con esa enerxía cinética móvese a unha velocidade de: v= 2E c m = 2 1,6 10 17 [ J ] 9,1 10 31 [ kg] =5,93 106 m/s Substituíndo na ecuación de De Broglie, queda λ = h m v = 6,63 10 34 [ J s ] 9,1 10 31 [kg] 5,93 10 6 [m/ s] =1,23 10 10 m 3. C.3.- As liñas de indución do campo magnético son: A) Sempre pechadas. B) Abertas ou pechadas, xa que dependen do axente creador do campo magnético. C) Sempre abertas, por semellanza co campo eléctrico. Solución: A Se o campo magnético é producido por un imán, un solenoide ou unha espira, as fontes do campo magnético son os polos N do elemento mentres que os sumidoiros son os polos S. Pero como ambos os polos son inseparables, as liñas de campo son pechadas. (Se partimos un imán en dous, cada parte segue tendo dous polos. Non se poden conseguir por división monopolos magnéticos) Se o campo é producido por unha corrente rectilínea indefnida, as liñas de campo son circunferencias concéntricas arredor do fío. 4. C.4.- Se na práctica de óptica xeométrica a lente converxente ten unha distancia focal imaxe de +10 cm, a que distancias da lente podes situar o obxecto para obter imaxes sobre a pantalla, se se cumpre que s + s = 80 cm? Debuxa a marcha dos raios. Rta.: s₁ = -0,117 m, s₂ = -0,683 m
Datos (convenio de signos DIN) Cifras signifcativas: 3 Distancia focal da lente f ʹ = 10,0 cm = 0,100 m Distancia entre o obxecto e a súa imaxe d = 80,0 cm = 0,800 m Posición do obxecto s Tamaño do obxecto y Posición da imaxe sʹ Tamaño da imaxe yʹ Relación entre a posición da imaxe e a do obxecto nas lentes 1 sʹ 1 s = 1 fʹ Solución: Úsase a ecuación: s + sʹ = 0,800 m Tendo en conta que, polo criterio de signos, a distancia do obxecto á lente é negativa, s < 0, pero a distancia da imaxe, cando é real, é positiva sʹ > 0, queda Substituíndo f e sʹ na ecuación das lentes, queda 1 sʹ 1 s = 1 fʹ 1 s +0,800 [ m] 1 s = 1 0,100 [ m] 1 s +0,800 =1 s + 1 0,100 =s+0,100 0,100s 0,100 s = (s + 0,100) (s + 0,800) s² + 0,800 s + 0,08 0 = 0 s₁ = -0,117 m -s + sʹ = 0,800 m s₂ = -0,683 m O debuxo representa de forma aproximada a primeira solución. O s f F' s' I 5. P.1.- Tres cargas eléctricas puntuais de 10 ⁶ C atópanse situadas nos vértices dun cadrado de 1 m de lado. Calcula: a) A intensidade do campo e o potencial electrostático no vértice libre. b) Módulo, dirección e sentido da forza do campo electrostático sobre unha carga de -2 10 ⁶ C situada en devandito vértice. c) O traballo realizado pola forza do campo para trasladar dita caga desde o vértice ao centro do cadrado. Interpreta o signo do resultado. Dato: K = 9 10⁹ N m² C ² Rta.: a) E = 1,72 10⁴ N/C, diagonal cara a fóra; V = 2,44 10⁴ V; b) F = 0,03404 N, diagonal cara ao centro; c) W E = 0,02706 Datos Cifras signifcativas: 3 Lado do cadrado l = 1,00 m Valor da carga situada no punto A(0, 0) m Q A = 1,00 10 ⁶ C Valor da carga situada no punto B(1,00, 0) m Q B = 1,00 10 ⁶ C Valor da carga situada no punto C(0, 1,00) m Q C = 1,00 10 ⁶ C Valor da carga situada no punto D(1,00, 1,00) m Q D = -2,00 10 ⁶ C Constante eléctrica K = 9,00 10⁹ N m² C ² Intensidade do campo electrostático no punto D E D
Datos Cifras signifcativas: 3 Potencial electrostático no punto D V D Traballo do campo ao levar a carga desde D ao centro do cadrado G W D G Distancia entre dous puntos A e B r AB Intensidade do campo electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a unha distancia r E=K Q r u 2 r Principio de superposición E A = E Ai Potencial electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada V =K Q a unha distancia r r Potencial electrostático nun punto debido a varias cargas V = V Traballo que fai a forza do campo cando se move unha carga q desde un punto A até outro punto B W A B = q (V A V B ) Solución: a) Faise un debuxo das cargas e de cada un dos vectores campo e da suma vectorial que é o vector campo E resultante. As distancias BD e CD valen a lonxitude do lado: r BD = r CD = l = 1,00 m A distancia AD é a lonxitude da diagonal do cadrado r AD = r AD = (1,00 [ m]) 2 +(1,00 [m]) 2 =1,41 m Elíxese un sistema de referencia coa orixe en cada carga, tomando o eixe X horizontal, positivo cara á dereita e o eixe Y vertical, positivo cara arriba. O vector unitario u CD do punto D tomando como orixe o punto C é o vector i unitario do eixe X. A O vector unitario u BD do punto D tomando como orixe o punto B é o vector j unitario do eixe Y. O vector unitario u AD do punto D tomando como orixe o punto A é: u AD = r AD r AD =(1,00 i +1,00 j) [ m] =0,707 i +0,707 j 1,41 [ m] A intensidade de campo electrostático no punto D, debida á carga de 1 µc situada no punto A é: E A D =9,00 10 9 [ N m 2 C 2 ] 1,00 10 6 [ C] (1,41 [ m]) 2 (0,707 i +0,707 j)=(3,18 10 3 i +3,18 10 3 j) N/C A intensidade de campo electrostático no punto D, debida á carga de 1 µc situada no punto B é: E B D =9,00 10 9 [ N m 2 C 2 ] 1,00 10 6 [C] (1,00 [ m]) 2 j=9,00 10 3 j N/C Por analoxía, a intensidade de campo electrostático no punto D, debida á carga de 1 µc situada no punto C é: Aplicando o principio de superposición, E C D = 9,00 10³ i N/C E D = E D = E A D + E B D + E C D E D = (3,18 10³ i + 3,18 10³ j) [N/C] + (9,00 10³ j) [N/C] + (9,00 10³ i) [N/C] = (1,22 10⁴ i + 1,22 10⁴ j) N/C Análise: O vector intensidade de campo eléctrico resultado do cálculo é diagonal cara arriba e cara á dereita, coherente co debuxo que se fxo. O valor do campo é: E D = (1,22 10 4 [ N/C]) 2 +(1,22 10 4 [N/C]) 2 =1,72 10 4 N/C C E B D D B E A D E D E C D
Xeneralizando o resultado para calquera sistema de referencia, E D = 1,72 10⁴ N/C. O campo vai na dirección da diagonal, cara a fóra. Os potenciais electrostáticos no punto D debidos ás cargas en C e B son iguais e valen: V B D =V C D =9,00 10 9 [ N m 2 C 2 ] 1,00 10 6 [C] =9,00 10 3 V (1,00 [ m]) O potencial electrostático no punto D debido á carga en A vale: V A D =9,00 10 9 [ N m 2 C 2 ] 1,00 10 6 [C] =6,36 10 3 V (1,41 [ m]) O potencial electrostático nun punto debido á presenza de varias cargas, é a suma alxébrica dos potenciais debidos a cada carga. V D = V A D + V B D + V C D = 6,36 10³ [V] + 2 9,00 10³ [V] = 2,44 10⁴ V b) Como a intensidade do campo electrostático nun punto é a forza sobre a unidade de carga positiva colocada nese punto, podemos calcular a forza electrostática sobre a carga de -2 µc a partir do vector intensidade de campo electrostático: F = q E = -2,00 10 ⁶ [C] (1,22 10⁴ i + 1,22 10⁴ j) [N/C] = (-2,44 10 ² i 2,44 10 ² j) N Xeneralizando o resultado para calquera sistema de referencia, F = q E = 2,00 10 ⁶ [C] 1,72 10⁴ [N/C] = 3,44 10 ² N. A forza vai na dirección da diagonal, cara ao centro do cadrado, porque a carga é negativa. c) O traballo que fai a forza do campo cando se traslada a carga q = -2 µc desde o vértice D ao centro G do cadrado é W D G = q (V D V G ) Falta calcular o potencial electrostático no punto G situado no centro do cadrado de forma análoga a como se fxo antes. A distancia de cada vértice ao centro do cadrado é a metade da diagonal: r AG = r BG = r CG = 1,41 [m] / 2 = 0,707 m Os potenciais electrostáticos no punto G debidos ás cargas en A, B e C son iguais e valen: V A G =V B G =V C G =V =9,00 10 9 [N m 2 C 2 ] 1,00 10 6 [ C] (0,707 [ m]) =1,27 104 V O potencial electrostático en G é a suma alxébrica dos potenciais debidos a cada carga. O traballo da forza do campo é V G = V A G + V B G + V C G = 3 V = 3 1,27 10⁴ [V] = 3,82 10⁴ V W E = W D G = q (V D V G ) = -2,00 10 ⁶ [C] (2,44 10⁴ 3,82 10⁴) [V] = 2,76 10 ² J O traballo é positivo porque o sentido da forza (cara ao centro do cadrado) e o do desprazamento son iguais. 6. P.2.- Unha bóla colgada dun fío de 2 m de lonxitude desvíase da vertical un ángulo de 4, sóltase e obsérvanse as súas oscilacións. Acha: a) A ecuación do movemento harmónico simple. b) A velocidade máxima da bóla cando pasa pola posición de equilibrio. c) Comproba o resultado obtido no apartado anterior, utilizando a ecuación da conservación da enerxía mecánica. Rta.: a) s = 0,140 sen(2,21 t + 4,71) [m]; b) vₘ = 0,309 m/s Datos Cifras signifcativas: 3 Lonxitude do fío L = 2,00 m Amplitude angular (elongación angular máxima) θ₀ = 4,00 = 0,06908 rad
Datos Cifras signifcativas: 3 Aceleración da gravidade (non a dan pero sen ela non se pode resolver) g = 9,81 m/s² Elongación en función do tempo θ Velocidade máxima da bóla vₘ Pulsación (frecuencia angular) ω De movemento no M.H.S. θ = θ₀ sen(ω t + φ₀) s = A sen(ω t + φ₀) Período do péndulo Relación entre o arco s e o ángulo central θ nunha circunferencia de radio R Relación entre a frecuencia angular e a frecuencia e o período Solución: a) Tomando o movemento de péndulo como harmónico simple porque θ sen θ Calcúlase o período e a frecuencia angular A ecuación de movemento queda sen 0,06908 = 0,06907 0,06908 T =2 π L g = 2π ω = 2 π T 2,00 [m ] 9,81 [m /s 2 ] =2,84 s 2π [rad] = =2,21 rad /s 2,84 [s] θ = 0,06908 sen(2,21 t + φ₀) [rad] Cando t = 0, θ = 0,06908 (está na posición de máxima elongación), 0,06908 = 0,06908 sen(ω 0 + φ₀) sen φ 0 =1{φ 0 = π 2 φ 0 = 3π 2 Tomando como positivo o sentido en que se mova ao principio, queda A elongación máxima ou amplitude: A ecuación de movemento quedaría θ = 0,06908 sen(2,21 t + 4,71) [rad] A = sₘ = θ₀ R = θ₀ L = 0,06908 [rad] 2,00 [m] = 0,140 m s = 0,140 sen(2,21 t + 4,71) [m] T =2 π L g s = θ R ω =2 π f = 2 π T b) A velocidade máxima cando pasa pola posición de equilibrio, calcúlase derivando a ecuación de movemento v= ds dt Alcanza un valor máximo cando o coseno da fase é 1. d {0,140sen(2,21 t +4,71)} = =0,309 cos(2,21 t +4,71) m/s dt vₘ = 0,309 m/s c) No punto máis alto, a altura vale: L θ L cosθ L h
hₘ = L L cos θ₀ = L (1 cos θ₀) = 2,00 [m] (1 cos 0,06908) = 4,87 10 ³ m Como a única forza non conservativa (a tensión do fío) non realiza traballo (porque o desprazamento é perpendicular sempre á dirección da forza), a enerxía mecánica consérvase. Entre a posición máis alta (punto 1) e a máis baixa (punto 2) (E + Eₚ)₁ =(E + Eₚ)₂ ½ m v₁² + m g h₁ = ½ m v₂² + m g h₂ ½ m 0² + m g h₁ = ½ m v₂² + m g 0 2 g h₁ = v₂² v 2 = 2 g h 1 = 2 9,81 [ m/ s 2 ] 4,87 10 3 [m ]=0,309 m /s Cuestións e problemas das Probas de Acceso á Universidade (P.A.U.) en Galicia. Respostas e composición de Alfonso J. Barbadillo Marán. Algúns cálculos fxéronse cunha folla de cálculo OpenOfce (ou LibreOfce) do mesmo autor. Algunhas ecuacións e as fórmulas orgánicas construíronse coa extensión CLC09 de Charles Lalanne-Cassou. A tradución ao/desde o galego realizouse coa axuda de traducindote, de Óscar Hermida López. Procurouse seguir as recomendacións do Centro Español de Metrología (CEM) O meu agradecemento a Hervilia Seco pola revisión deste documento.