ΑΣΚΗΣΗ 3 Ανάλυση και επεξεργασία σηµάτων βιολογικών συστηµάτων 3.1. Εισαγωγή 3.1.1 Ορισµός βιοσήµατος Το βιολογικό σήµα (ή βιοσήµα) είναι χωρική, χρονική, ή χωροχρονική καταγραφή ενός βιολογικού γεγονότος όπως µια παλλόµενη καρδιά ή ένας συσπώµενος µυς. Η ηλεκτρική, χηµική, και µηχανική δραστηριότητα που εµφανίζεται κατά τη διάρκεια αυτού του βιολογικού γεγονότος παράγει συχνά σήµατα που µπορούν να µετρηθούν και να αναλυθούν. Τα βιολογικά σήµατα, εποµένως, περιέχουν τις πληροφορίες που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να εξηγήσουν τους φυσιολογικούς µηχανισµούς που υποκρύπτονται σε ένα συγκεκριµένο βιολογικό γεγονός ή ένα σύστηµα. Τα βιοσήµατα µπορούν να αποκτηθούν µε ποικίλους τρόπους, π.χ., από το στηθοσκόπιο που χρησιµοποιεί ο γιατρός ένα για να ακούσει τον ήχο της καρδιάς ενός ασθενή ή µε την χρήση των ιδιαίτερα σύνθετων και τεχνολογικά προηγµένων βιοϊατρικών οργάνων. Στις περισσότερες περιπτώσεις, δεν αρκεί απλά η απόκτηση ενός βιολογικού σήµατος. Πρέπει να αναλυθούν για να ανακτηθούν πιο σχετικές πληροφορίες απ αυτά. Οι βασικές µέθοδοι ανάλυσης σηµάτων, π.χ., ενίσχυσης, φιλτραρίσµατος, ψηφιοποίησης, επεξεργασίας, και αποθήκευσης, µπορούν να εφαρµοστούν σε πολλά βιολογικά σήµατα. Αυτές οι τεχνικές ολοκληρώνονται γενικά µε τη χρησιµοποίηση των ψηφιακών υπολογιστών. Επιπρόσθετα σε αυτές τις γνωστές διαδικασίες, έχουν αναπτυχθεί διαφορετικές ψηφιακές µέθοδοι για την ανάλυση των βιολογικών σηµάτων. Σε αυτές περιλαµβάνονται ο υπολογισµός µέσου όρου σηµάτων, η ανάλυση κυµατιδίων, και οι τεχνικές τεχνητής νοηµοσύνης.
30 Άσκηση 3 3.1.2 Φυσιολογική προέλευση των βιοσηµάτων Βιοηλεκτρικά σήµατα Τα κύτταρα των νεύρων και των µυών παράγουν βιοηλεκτρικά σήµατα που είναι τα αποτελέσµατα των ηλεκτροχηµικών µεταβολών εντός των κυττάρων και µεταξύ αυτών. Εάν ένα κύτταρο νεύρου ή µυός υποκινείται από ένα ερέθισµα που είναι αρκετά ισχυρό να φθάσει ένα απαραίτητο κατώφλι, το κύτταρο θα παραγάγει ένα δυναµικό δράσης. Η πλήρης δυναµικότητα δράσης, που αντιπροσωπεύει τη ροή των ιόντων στην κυτταρική µεµβράνη, µπορεί να µετρηθεί µε τη χρησιµοποίηση των διακυτταρικών ηλεκτροδίων. Η δυναµικότητα δράσης που παράγεται από ένα διηγερµένο κύτταρο µπορεί να µεταδοθεί από το ένα κύτταρο στα παρακείµενα κύτταρα. Όταν πολλά κύτταρα διεγείρονται, παράγεται ένα ηλεκτρικό πεδίο και διαδίδει το σήµα µέσω του βιολογικού µέσου. Οι αλλαγές στο ενδοκυτταρικό δυναµικό µπορούν να µετρηθούν στην επιφάνεια του οργάνου ή του οργανισµού µε τη χρήση ηλεκτροδίων επιφανείας. Το ηλεκτροκαρδιογράφηµα (ΗΚΓ), το ηλεκτροεγκεφαλογράφηµα (ΗΕΓ), και το ηλεκτροµυογράφηµα (ΗΜΓ) είναι παραδείγµατα αυτού του φαινοµένου (Σχ. 1 Σχ. 2). Σχήµα 1: Ηλεκτρογράφηµα καταγεγραµµένο από την επιφάνεια της καρδιάς χοίρου κατά τη διάρκεια φυσιολογικού φλεβοκοµβικού ρυθµού Σχήµα 2: Ηλεκτρογράφηµα καταγεγραµµένο από την επιφάνεια της καρδιάς του ίδιου χοίρου κατά τη διάρκεια κοιλιακής µαρµαρυγής
Ανάλυση και επεξεργασία σηµάτων βιολογικών συστηµάτων 31 Βιοµαγνητικά σήµατα ιαφορετικά όργανα, συµπεριλαµβανοµένης της καρδιάς, του εγκεφάλου, και των πνευµόνων, παράγουν µαγνητικά πεδία που είναι αδύνατα έναντι άλλων γεγονότων όπως οι ηλεκτρικές µεταβολές που εµφανίζονται σ αυτά. Βιοµαγνητισµός είναι η µέτρηση των µαγνητικών σηµάτων που συνδέονται µε τη συγκεκριµένη φυσιολογική δραστηριότητα. Τα βιοµαγνητικά σήµατα εποµένως µπορούν να παρέχουν πολύτιµες πρόσθετες πληροφορίες που συνήθως δεν περιλαµβάνονται στα βιοηλεκτρικά σήµατα. Επιπλέον, µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να λάβουν πρόσθετες πληροφορίες για την ενδοκυτταρική δραστηριότητα. Βιοχηµικά σήµατα Τα βιοχηµικά σήµατα περιέχουν πληροφορίες για τα επίπεδα και τις µεταβολές των διαφόρων χηµικών ουσιών στο σώµα. Παραδείγµατος χάριν, η συγκέντρωση των διαφόρων ιόντων, όπως το ασβέστιο και το κάλιο, στα κύτταρα µπορεί να µετρηθεί και να καταγραφεί, όπως µπορούν και οι αλλαγές στις µερικές πιέσεις του οξυγόνου και του διοξειδίου του άνθρακα στο αναπνευστικό σύστηµα ή το αίµα. Όλα αυτά αποτελούν βιοχηµικά σήµατα. Τα βιοχηµικά σήµατα µπορούν να χρησιµοποιηθούν για ποικίλους λόγους, όπως ο καθορισµός των επιπέδων γλυκόζης, λακτάσης και µεταβολιτών και η παροχή πληροφοριών για τη λειτουργία των διαφόρων φυσιολογικών συστηµάτων. Εµβιοµηχανικά σήµατα Οι µηχανικές λειτουργίες των βιολογικών συστηµάτων, που περιλαµβάνουν κίνηση, µετατόπιση, ένταση, δύναµη, πίεση, και ροή, παράγουν επίσης βιοσήµατα. Η πίεση αίµατος, πχ, είναι µια µέτρηση της δύναµης που το αίµα ασκεί στα τοιχώµατα των αγγείων. Οι αλλαγές στην πίεση αίµατος µπορούν να καταγραφούν σαν µια κυµµατοµορφή (Σχ 3). Η ανοδική διαδροµή στην κυµµατοµορφή αντιπροσωπεύει τη συστολή των κοιλιών της καρδιάς όπως το αίµα εξωθείται από την καρδιά στο σώµα και η πίεση αίµατος αυξάνει στη συστολική πίεση, τη µέγιστη πίεση αίµατος. Το προς τα κάτω κοµµάτι της κυµµατοµορφής απεικονίζει την κοιλιακή χαλάρωση καθώς η πίεση αίµατος παρουσιάζει πτώση στην ελάχιστη τιµή που καλείται διαστολική πίεση. Σχήµα 3: Κυµατοµορφή πίεσης αίµατος καταγεγραµµένη από το αορτικό τόξο 4 ετών παιδιού (µε δειγµατοληψία στα 200 samples/sec)
32 Άσκηση 3 Βιοακουστικά σήµατα Τα βιοακουστικά σήµατα είναι ένα πρόσθετο υποσύνολο των βιοµηχανικών σηµάτων που περιλαµβάνουν τη δόνηση (κίνηση). Πολλά βιολογικά γεγονότα παράγουν ακουστικό θόρυβο. Για παράδειγµα, η ροή του αίµατος µέσω των βαλβίδων στην καρδιά έχει έναν διακριτικό ήχο. Οι µετρήσεις του βιοακουστικού σήµατος µιας καρδιακής βαλβίδας µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να βοηθήσουν στη διαπίστωση της σωστής ή µη λειτουργίας. Το αναπνευστικό σύστηµα, οι αρθρώσεις, και οι µύες παράγουν επίσης βιοακουστικά σήµατα που διαδίδονται µέσω του βιολογικού µέσου και µπορούν συχνά να µετρηθούν στην επιφάνεια του δέρµατος µε τη χρησιµοποίηση των ακουστικών µετατροπέων όπως τα µικρόφωνα και τα επιταχύµετρα. Βιοοπτικά σήµατα Τα βιοοπτικά σήµατα παράγονται από τις οπτικές ιδιότητες των βιολογικών συστηµάτων. Τα βιοοπτικά σήµατα µπορούν να εµφανιστούν φυσικά ή, σε µερικές περιπτώσεις, µπορούν να προκληθούν χρησιµοποιώντας µια βιοϊατρική τεχνική. Παραδείγµατος χάριν, οι πληροφορίες για την υγεία ενός εµβρύου µπορούν να ληφθούν µε τη µέτρηση των χαρακτηριστικών φθορισµού του αµνιακού υγρού. Η εκτίµηση της καρδιακής παροχής µπορεί να γίνει µε τη χρησιµοποίηση της µεθόδου διαλύσεων χρωστικών ουσιών που περιλαµβάνει τον έλεγχο της συγκέντρωσης µιας χρωστικής ουσίας όπως επανακυκλοφορεί µέσω της κυκλοφορίας του αίµατος. Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται µερικά από τα πιο κοινά βιολογικά σήµατα µε κάποια από τα χαρακτηριστικά τους.
Ανάλυση και επεξεργασία σηµάτων βιολογικών συστηµάτων 33 Ταξινόµηση Τρόπος Λήψης Εύρος Συχνοτήτων υναµικό Εύρος Σχόλια υναµικό ράσης Μικροηλεκτρόδια 100 Hz - 2kHz 10µV-100mV Επεµβατική µέτρηση δυναµικού κυτταρικής µεµβράνης Ηλεκτροεγκεφαλογράφηµα (ΗΕΓ) Επιφανείας Ηλεκτρόδια Επιφανείας 0,5-100 Hz 2-100µV Ρυθµός έλτα 0,5-4 Hz Παιδιά, βαθύς ύπνος και παθολογίες Ρυθµός Θήτα 4-8 Hz Κροταφικές και κεντρικές περιοχές σε κατάσταση ετοιµότητας Ρυθµός Άλφα 8-13 Hz Ξυπνητός, χαλαρός, κλειστά µάτια Ρυθµός Βήτα Προκλητά υναµικά (EP) Ηλεκτρόδια Επιφανείας 13-22 Hz 0.1-20µV Απόκριση δυναµικού εγκεφάλου σε ερέθισµα Οπτικά (VEP) 1-300 Hz 1-20µV Καταγραφές ινιακού λοβού Ακουστικά (AEP) Σωµατοαισθη- τικά (SEP) Ηλεκτροµυογράφηµα (ΗΜΓ) Μιας ίνας Μιας κινητικής µονάδας Επιφανειακό Ηλεκτροκαρδιογράφηµα (ΗΚΓ) Βελονοειδή Ηλεκτρόδια Βελονοειδή Ηλεκτρόδια Ηλεκτρόδια Επιφανείας Ηλεκτρόδια Επιφανείας 100 Hz - 3 khz 0,5-10µV 2 Hz - 3 khz 500 Hz - 10 khz 1-10mV 5 Hz - 10 khz 100µV-2mV υναµικά δράσης από µία µυϊκή ίνα 2-500 Hz 50µV-5mV 0,05-100 Hz 1-10mV Πίεση αίµατος Μετατροπείς Συνήθως η µέτρηση γίνεται επεµβατικά 3.2. Ταξινόµηση βιοσηµάτων Αναγνωρίζουµε δύο ευρείες κατηγορίες σηµάτων: τα συνεχή σήµατα και τα διακριτά σήµατα. Τα συνεχή σήµατα περιγράφονται από µία συνεχή συνάρτηση s(t) η οποία παρέχει πληροφορία για το σήµα οποιαδήποτε χρονική στιγµή. Τα διακριτά σήµατα περιγράφονται από µία ακολουθία s(m) η οποία παρέχει πληροφορία σε συγκεκριµένες χρονικές στιγµές. Τα περισσότερα από τα βιολογικά σήµατα είναι συνεχή. Επειδή όµως η σύγχρονη τεχνολογία παρέχει δυναµικά εργαλεία για επεξεργασία διακριτών σηµάτων, πολύ συχνά µετατρέπουµε ένα συνεχές σήµα σε διακριτό µε τη διαδικασία της δειγµατοληψίας. Ένα συνεχές σήµα s(t) µετατρέπεται στην ακολουθία s(m) µε την ακόλουθη σχέση: s m) = s( t) t= mt s ( m =, -1, 0, 1, όπου T s είναι η περίοδος δειγµατοληψίας και f s = (2π/ T s ) είναι η συχνότητα δειγµατοληψίας. Περισσότερες λεπτοµέρειες αναφέρονται σε επόµενη ενότητα.
34 Άσκηση 3 Επίσης µπορούµε να διαχωρίσουµε τα σήµατα σε δύο µεγάλες κατηγορίες: ντετερµινιστικά και στοχαστικά σήµατα. Τα ντετερµινιστικά σήµατα είναι σήµατα τα οποία µπορούν να περιγραφούν ακριβώς µε µαθηµατικό ή γραφικό τρόπο. Αν ένα σήµα είναι ντετερµινιστικό και δίνεται η µαθηµατική του περιγραφή, δεν µεταφέρει καµία πληροφορία. Τα πραγµατικά σήµατα δεν είναι ποτέ ντετερµινιστικά. Υπάρχει πάντα κάποιος άγνωστος και απρόβλεπτος θόρυβος, κάποια απρόβλεπτη αλλαγή στις παραµέτρους και στα υποκείµενα χαρακτηριστικά του σήµατος που το καθιστούν µη ντετερµινιστικό. Εντούτοις, είναι πολύ συχνά "βολική" η προσέγγιση ή η µοντελοποίηση ενός σήµατος µε τη χρήση µιας ντετερµινιστικής συνάρτησης. Μια σηµαντική οικογένεια ντετερµινιστικών σηµάτων είναι τα περιοδικά σήµατα. Περιοδικό σήµα είναι ένα ντετερµινιστικό σήµα το οποίο µπορεί να εκφρασθεί από τη σχέση: s ( t) = s( t + nt ) όπου n είναι ένας ακέραιος και T είναι η περίοδος. Το περιοδικό σήµα αποτελείται από µια βασική κυµατοµορφή µε διάρκεια T δευτερόλεπτα. Αυτή η βασική κυµατοµορφή επαναλαµβάνεται άπειρες φορές στον άξονα του χρόνου. Το πιο απλό περιοδικό σήµα είναι το ηµιτονοειδές σήµα. Κάτω από ορισµένες συνθήκες, το σήµα της πίεσης αίµατος µπορεί να µοντελοποιηθεί από ένα σύνθετο περιοδικό σήµα, µε περίοδο τη διάρκεια ενός καρδιακού παλµού και την κυµατοµορφή του ενός παλµού ως τη βασική κυµατοµορφή που επαναλαµβάνεται. Βέβαια, αυτό είναι ένα γενικό και ανακριβές µοντέλο. Οι περισσότερες ντετερµινιστικές συναρτήσεις είναι µη περιοδικές. Μερικές φορές, αξίζει να θεωρήσουµε ένα "σχεδόν περιοδικό" τύπο σήµατος. Το ΗΚΓ µπορεί να θεωρηθεί ως "σχεδόν περιοδικό". Το διάστηµα RR του ΗΚΓ δεν είναι ποτέ σταθερό, και µία PQRST κυµατοµορφή είναι σχεδόν όµοια σε κάθε καρδιακό παλµό. 3.3. Λήψη βιολογικού σήµατος Η σχηµατική απεικόνιση ενός γενικού συστήµατος λήψης βιολογικού σήµατος φαίνεται στο σχήµα 4. ιάφορα µεγέθη µετρούνται σε ένα βιολογικό σύστηµα. Αυτά αφορούν ηλεκτροµαγνητικές ποσότητες, αλλά και µηχανικές, χηµικές και γενικά µη ηλεκτρικές µεταβλητές (όπως πίεση, θερµοκρασία, κίνηση κ.ά.). Τα ηλεκτρικά σήµατα δειγµατοληπτούνται από αισθητήρες (ηλεκτρόδια), ενώ τα µη ηλεκτρικά σήµατα µετατρέπονται σε ηλεκτρικά µε κατάλληλους µετατροπείς και στη συνέχεια είναι εύκολο να επεξεργαστούν, να µεταδοθούν αλλά και να αποθηκευθούν. Αναλογικό σήµα A/D Μετατροπέας Ψηφιακό σήµα Μετατροπέας ή αισθητήρας Ενισχυτής Αναλογικό φίλτρο ειγµατοληψία Κβαντισµός Ψηφιακή επεξεργασία Σχήµα 4: Γενικό διάγραµµα της διαδικασίας λήψης ενός ψηφιακού σήµατος Ένα αναλογικό τµήµα προεπεξεργασίας είναι αναγκαίο να υπάρχει ώστε να δώσει την κατάλληλη ενίσχυση αλλά και να κάνει το κατάλληλο φιλτράρισµα (και το σήµα
Ανάλυση και επεξεργασία σηµάτων βιολογικών συστηµάτων 35 να µπορεί να µετατραπεί σε ψηφιακό µε τη χρήση ενός αναλογικού σε ψηφιακό - Α/D - µετατροπέα), αλλά και να αφαιρέσει ποσοστό θορύβου ή να αντισταθµίσει µη επιθυµητά χαρακτηριστικά των αισθητήρων. Επιπλέον, το αναλογικό σήµα θα πρέπει να περιοριστεί, όσον αφορά το εύρος του και µετά να µετατραπεί σε ψηφιακό. Αυτή η διαδικασία είναι αναγκαία ώστε να αποφευχθούν φαινόµενα αναδίπλωσης κατά τη δειγµατοληψία. Εδώ είναι απαραίτητο να αναφερθεί ότι είναι αναγκαία η διατήρηση της πληροφορίας που περιέχει η αρχική (πρωτότυπη) συνεχής κυµατοµορφή. Αυτό είναι ένα σηµαντικό σηµείο κατά την εγγραφή βιοϊατρικών σηµάτων, των οποίων κάποια χαρακτηριστικά είναι δείκτες για την ύπαρξη παθολογιών. Έτσι, το σύστηµα λήψης του ψηφιακού σήµατος δεν πρέπει να εισάγει καµία µορφή παραµόρφωσης που µπορεί να παρερµηνευθεί ή να καταστρέψει αλλαγές του σήµατος που φανερώνουν παθολογικά φαινόµενα. Για το λόγο αυτό, το αναλογικό φίλτρο πρέπει να είναι σχεδιασµένο µε σταθερό κέρδος και γραµµική φάση (ή µηδενική), τουλάχιστον όσον αφορά τις συχνότητες που µας ενδιαφέρουν. Αυτές οι προϋποθέσεις επιτρέπουν στο σήµα να φτάνει χωρίς παραµόρφωση µέχρι τον A/D µετατροπέα. Στη συνέχεια το σήµα ψηφιοποιείται µε τη βοήθεια του A/D µετατροπέα και πλέον αποτελείται από σειρές διακριτών αριθµών, τόσο ως προς το πλάτος, όσο και ως προς το χρόνο, τους οποίους αριθµούς µπορούν εύκολα να επεξεργαστούν ψηφιακοί επεξεργαστές. Η A/D µετατροπή ιδανικά γίνεται σε δυο βήµατα: 1) διαδικασία της δειγµατοληψίας, όπου το συνεχές σήµα µετατρέπεται σε σήµα διακριτού χρόνου και τα στοιχεία του ονοµάζονται δείγµατα, και 2) κβαντισµός, όπου σε κάθε δείγµα αντιστοιχίζεται µια τιµή η οποία ανήκει σε ένα συγκεκριµένο σύνολο διακριτών τιµών. Και οι δυο διαδικασίες µεταβάλλουν τα χαρακτηριστικά ενός σήµατος και τα αποτελέσµατά τους θα συζητηθούν παρακάτω. 3.3.1 Το θεώρηµα της δειγµατοληψίας Η χρήση του διακριτού σήµατος αντί του αναλογικού είναι δυνατή γιατί, υπό ορισµένες παραδοχές, το διακριτό σήµα είναι απόλυτα αντιπροσωπευτικό του αντίστοιχου συνεχούς, αυτού δηλαδή από το οποίο υπολογίσθηκε. Αυτό είναι γνωστό ως το θεώρηµα της δειγµατοληψίας (θεώρηµα του Shannon), το οποίο αναφέρει ότι είναι δυνατή η πλήρης ανακατασκευή ενός συνεχούς σήµατος από τα δείγµατά του όταν, και µόνο όταν, η συχνότητα δειγµατοληψίας είναι µεγαλύτερη από το διπλάσιο της µέγιστης συχνότητας του σήµατος. Για να µπορέσουµε να καταλάβουµε το θεώρηµα της δειγµατοληψίας, ας θεωρήσουµε ένα συνεχές σήµα x(t), µε µέγιστη συχνότητα f b, του οποίου ο µετασχηµατισµός Fourier X(f) φαίνεται στο σχήµα 5a και ας υποθέσουµε ότι το δειγµατοληπτούµε οµοιόµορφα. Η διαδικασία της δειγµατοληψίας µπορεί να µοντελοποιηθεί µε τον πολλαπλασιασµό του σήµατος επί την παρακάτω συνάρτηση: i( t) = δ ( t kt s ) k=, όπου δ(t) είναι η συνάρτηση Dirac, k ένας ακέραιος και T s η περίοδος δειγµατοληψίας. Το διακριτό σήµα προκύπτει ως εξής: x ( t) = x( t) i( t) = x( t) δ ( t s kt s k=, )
36 Άσκηση 3 Σχήµα 5: Αποτέλεσµα της συχνότητας δειγµατοληψίας (fs) σε σήµα µέγιστης συχνότητας fb. a) Μετασχηµατισµός Fourier του αρχικού σήµατος, b) Μετασχηµατισµός Fourier του διακριτού σήµατος όταν fs<2fb, c) Μετασχηµατισµός Fourier του διακριτού σήµατος όταν fs>2fb. Οι σκούρες περιοχές στο (b) υποδηλώνουν τις αναδιπλούµενες συχνότητες. Λαµβάνοντας υπόψη ότι ο πολλαπλασιασµός στο πεδίο του χρόνου συνεπάγεται συνέλιξη στο πεδίο των συχνοτήτων, προκύπτει: 1 X s ( f ) = X ( f ) I ( f ) = X ( f ) δ ( f T s kf 1 ) = s k=, Ts k=, X ( f kf ) s όπου f s = 1/T s είναι η συχνότητα δειγµατοληψίας. Έτσι, όπως φαίνεται και στο σχήµα 5b,c, ο µετασχηµατισµός Fourier του διακριτού σήµατος X s (f) είναι και αυτός περιοδικός και αποτελείται από µια σειρά πανοµοιότυπων επαναλήψεων του Χ(f) που έχουν ως κέντρο πολλαπλάσια της συχνότητας δειγµατοληψίας. Πρέπει να τονίσουµε ότι οι αρµονικές συχνότητες του Χ(f) που είναι µεγαλύτερες από την f s /2 εµφανίζονται, όταν f s <2f b, διπλωµένες στις χαµηλότερες αρµονικές. Αυτό το φαινόµενο ονοµάζεται επικάλυψη, και όταν συµβαίνει η αρχική πληροφορία δεν µπορεί να ανακατασκευαστεί γιατί οι αρµονικές του αρχικού σήµατος είναι ανεπανόρθωτα αλλοιωµένες από τις επικαλύψεις των µετατοπισµένων εκδόσεων του Χ(f). Μια οπτική επιθεώρηση του σχήµατος 5, µας επιτρέπει να παρατηρήσουµε ότι µπορούµε να αποφύγουµε αυτό το φαινόµενο όταν το αρχικό σήµα έχει πεπερασµένο εύρος συχνοτήτων (X(f)=0 για f>fb) και η συχνότητα δειγµατοληψίας είναι fs>2fb. Σε αυτή την περίπτωση (όπως φαίνεται και στο σχήµα 5c) δεν συµβαίνει επικάλυψη και η αρχική κυµατοµορφή µπορεί να ανακατασκευαστεί από το διακριτό σήµα µε χρήση βαθυπερατών φίλτρων.
Ανάλυση και επεξεργασία σηµάτων βιολογικών συστηµάτων 37 Hz Hz Σχήµα 6: Φάσµα ενός ΗΕΓ (µε περιεχόµενο συχνοτήτων ενδιαφέροντος από 0-40Hz). Η παρουσία θορύβου λόγω παρεµβολών τροφοδοσίας στα 50 Hz (a) προκαλεί λάθος επικάλυψης στη συνιστώσα των 30 Ηz στο διακριτό σήµα (b) για συχνότητα δειγµατοληψίας 80 Hz. Η υπόθεση του πεπερασµένου εύρους συχνοτήτων του σήµατος συνήθως δεν ισχύει στην πράξη, λόγω των χαρακτηριστικών του σήµατος και της επίδρασης θορύβου µεγάλου εύρους. Είναι πάντα ανάγκη, πριν από τη δειγµατοληψία, το σήµα να φιλτράρεται, ακόµα και όταν υποθέτουµε ότι το σήµα µας είναι ήδη πεπερασµένης συχνότητας. Ας θεωρήσουµε ένα σήµα ηλεκτροεγκεφαλογραφήµατος (ΗΕΓ) όπου το περιεχόµενο των συχνοτήτων ενδιαφέροντος κυµαίνεται από 0 ως 40Ηz (οι συνήθεις διαγνωστικές ζώνες είναι δ: 0-3,5Hz, θ: 4-7Hz, α: 8-13Hz και β: 14-40Hz). Έστω ότι αποφασίζουµε να χρησιµοποιήσουµε συχνότητα δειγµατοληψίας 80Hz (σύµφωνα µε το θεώρηµα της δειγµατοληψίας). Αν γίνει αυτό χωρίς προηγουµένως να έχουµε εφαρµόσει κάποιο φίλτρο στο σήµα µας, είναι πολύ πιθανό να προκύψουν κάποια δυσάρεστα αποτελέσµατα. Τυπικά, θόρυβος λόγω παρεµβολών τροφοδοσίας στα 50Hz, θα επαναληφθεί πανοµοιότυπα στα 30Ηz, αλλοιώνοντας εντελώς το νέο σήµα. Η επίδραση φαίνεται στο σχήµα 6a (πριν τη δειγµατοληψία) και στο σχήµα 6b (µετά τη δειγµατοληψία). Εποµένως, η εφαρµογή του αναλογικού φίλτρου, όπως φαίνεται στο σχήµα 4, απαιτείται έτσι ώστε να περιορίσουµε το σήµα µας σε κάποιο συγκεκριµένο εύρος συχνοτήτων πριν τη δειγµατοληψία και να αποφύγουµε λάθη επικάλυψης. 3.3.2 Κβαντισµός Ο κβαντισµός παράγει ένα διακριτό σήµα, του οποίου τα δείγµατα µπορούν να πάρουν µόνο ορισµένες τιµές ανάλογα µε τον τρόπο µε τον οποίο γίνεται η κωδικοποίησή τους. Είναι µία καθαρά µη γραµµική διαδικασία της οποίας όµως ευτυχώς τα αποτελέσµατα µπορούν να ελεγχθούν µε στατιστική µοντελοποίηση. Συνήθως το µη γραµµικό τµήµα αντικαθίσταται από ένα στατιστικό µοντέλο όπου το κβαντικό σφάλµα λαµβάνεται ως πρόσθετος θόρυβος e(n) στο σήµα x(n).
38 Άσκηση 3 3.4. Επεξεργασία βιολογικών σηµάτων 3.4.1 Ανάλυση στο πεδίο της συχνότητας Φασµατική ανάλυση Οι διάφορες µέθοδοι για τον υπολογισµό της φασµατικής πυκνότητας ισχύος (PSD) ενός σήµατος διακρίνονται σε µη-παραµετρικές και παραµετρικές. Μη-παραµετρικές µέθοδοι Πρόκειται για παραδοσιακή µέθοδο ανάλυσης βασισµένη στο µετασχηµατισµό Fourier που υπολογίζεται µέσω του γρήγορου µετασχηµατισµού Fourier (FFT). H έκφραση του PSD ως συνάρτηση της συχνότητας, P(f), υπολογίζεται ως εξής: 2 j 2πfkTs = N 1 1 1 P( f ) = Ts y( k) e Y ( f ) T = 0 NT s k όπου T s η περίοδος δειγµατοληψίας, Ν ο αριθµός των δειγµάτων και Y(f) ο διακριτός µετασχηµατισµός Fourier του y(n). Η φασµατική πυκνότητα ισχύος (PSD) µπορεί επίσης να υπολογιστεί σε δύο βήµατα από τον FFT της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης Ryy(k) του σήµατος, όπου η τιµή της Ryy(k) δίνεται από την έκφραση: s 2 R ˆ yy ( k) = 1 N N k 1 i= 0 y( i) y * ( i + k) όπου το * δηλώνει συζυγή µιγαδικό. Εποµένως η PSD µπορεί να εκφραστεί ως: όπου -(1/2Τ s ) f (1/2T s ). P( f ) = T N s k = N R ( k) e yy j 2πfkTs Οι µέθοδοι που βασίζονται στο µετασχηµατισµό FFT είναι πολύ διαδεδοµένες λόγω της υπολογιστικής τους ταχύτητας, και της άµεσης ερµηνείας των αποτελεσµάτων. Πάντως, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και ο µετασχηµατισµός Fourier θεωρητικά καθορίζονται από µια άπειρη ακολουθία δεδοµένων. Έτσι προκύπτουν λάθη από την ανάγκη να δουλέψουµε µε περιορισµένο αριθµό δεδοµένων προκειµένου να εκτιµήσουµε τις πραγµατικές τιµές των συναρτήσεων. Επιπλέον, συχνά χρειάζεται να κάνουµε υποθέσεις, µη ρεαλιστικές, για τα δεδοµένα εκτός του παραθύρου εργασίας, τα οποία συχνά θεωρούνται µηδέν. Αυτό υπονοεί εφαρµογή τετραγωνικού παραθύρου στα δεδοµένα εξόδου. ιαφορετικά παράθυρα που συνδέουν οµαλά τα πλαϊνά δείγµατα µε το µηδέν χρησιµοποιούνται συχνά για να λύσουν αυτό το πρόβληµα. Επιπλέον η εκτίµηση της PSD του σήµατος δεν είναι πάντα η στατιστικά αναµενόµενη και χρησιµοποιούνται διάφορες τεχνικές που βελτιώνουν τις στατιστικές του ιδιότητες. Μια από τις τεχνικές αυτές είναι και η εκτίµηση της PSD µε τη µέθοδο του Welch. Η βασική ιδέα της µεθόδου αυτής είναι απλή:
Ανάλυση και επεξεργασία σηµάτων βιολογικών συστηµάτων 39 Το σήµα αρχικά χωρίζεται σε µικρότερα τµήµατα τα οποία δύναται να αλληλοκαλύπτονται, στη συνέχεια εφαρµόζεται κάποιο παράθυρο στα τµήµατα αυτά, µετά υπολογίζονται οι PSD για κάθε ένα από τα τµήµατα και τέλος εκτιµάται η µέση τιµή αυτών. Η εκτίµηση της PSD του σήµατος µε τη µέθοδο του Welch αποτελεί µια από τις περισσότερο εφαρµοζόµενες µεθόδους. Παραµετρικές µέθοδοι Η παραµετρική προσέγγιση θεωρεί ότι η υπό ανάλυση χρονική ακολουθία είναι έξοδος ενός δοθέντος µαθηµατικού µοντέλου, και δεν γίνονται δραστικές υποθέσεις σχετικά µε τα δεδοµένα εκτός παραθύρου, όπως προηγουµένως. Η PSD υπολογίζεται ως συνάρτηση των παραµέτρων του µοντέλου, σύµφωνα µε κατάλληλες εκφράσεις. Ένα κρίσιµο σηµείο σε αυτή την προσέγγιση είναι η επιλογή του κατάλληλου µοντέλου για την αναπαράσταση της ακολουθίας των δεδοµένων. Το µοντέλο εξαρτάται αποκλειστικά από τα φυσιολογικά, ανατοµικά και φυσικά χαρακτηριστικά του βιολογικού συστήµατος, αλλά παρέχει µε απλότητα τις σχέσεις εισόδου-εξόδου της διαδικασίας στη λεγόµενη black-box προσέγγιση. 3.4.2 Ψηφιακά φίλτρα Ένα ψηφιακό φίλτρο είναι ένα σύστηµα διακριτού χρόνου που πραγµατοποιεί κάποιο µετασχηµατισµό σε ένα ψηφιακό σήµα x(n), παράγοντας µια έξοδο y(n) όπως φαίνεται και στο σχήµα 2.4. Τα χαρακτηριστικά του µετασχηµατισµού T[.] προσδιορίζουν το φίλτρο. Το φίλτρο είναι χρονικά µεταβλητό αν ο µετασχηµατισµός T[.] είναι συνάρτηση του χρόνου, διαφορετικά είναι χρονικά αµετάβλητο. Αντίστοιχα χαρακτηρίζεται ως γραµµικό, αν, και µόνο αν, όταν έχουµε δύο διαφορετικές εισόδους x1(n) και x2(n) και παράγουν αντίστοιχα τις εξόδους y1(n) και y2(n), ισχύει: T[ax 1 +bx 2 ] = at[x 1 ]+b T[x 2 ] = ay 1 +by 2 Στη συνέχεια θα θεωρηθούν µόνο γραµµικά και χρονικά αµετάβλητα συστήµατα, αν και ορισµένες ενδιαφέρουσες εφαρµογές µη γραµµικών και χρονικά εξαρτηµένων συστηµάτων έχουν προταθεί για την ανάλυση βιολογικών σηµάτων. Σχήµα 7: Γενικό διάγραµµα ενός ψηφιακού φίλτρου. Το ψηφιακό σήµα εξόδου y(n) προκύπτει από το σήµα εισόδου x(n) µέσω του µετασχηµατισµού T[.] που προσδιορίζει το φίλτρο. Η συµπεριφορά ενός φίλτρου συνήθως περιγράφεται από τη σχέση εισόδουεξόδου. Συνήθως υπολογίζεται από την εφαρµογή διαφορετικών εισόδων στο φίλτρο και την παρατήρηση των αντίστοιχων εξόδων. Ειδικότερα, αν η είσοδος είναι η δ(n) - συνάρτηση Dirac, η έξοδος, η οποία ονοµάζεται κρουστική απόκριση, παίζει ιδιαίτερο
40 Άσκηση 3 ρόλο στην περιγραφή του φίλτρου. Αυτή η απόκριση χρησιµοποιείται για τον προσδιορισµό της απόκρισης σε πιο πολύπλοκες εισόδους. Έστω µία είσοδος x(n) που είναι άθροισµα καθυστερηµένων παλµών µε βάρη, δηλαδή: x( n) = δ = x( k) ( n k, και ας ορίσουµε την απόκριση του συστήµατος στην είσοδο δ(n-k) ως h(n-k). Αν το φίλτρο είναι χρονικά αµετάβλητο, κάθε καθυστερηµένος παλµός θα παράγει την ίδια απόκριση, απλά χρονικά µεταφεροµένη, και λόγω της γραµµικότητας, αυτές οι αποκρίσεις θα αθροιστούν ως εξής: = x( k) h( n k, k) y ( n) = k) (4.1) Αυτή η συνέλιξη συνδέει την είσοδο και την έξοδο του συστήµατος και προσδιορίζει τα χαρακτηριστικά του φίλτρου. Θα αναφερθούµε σε δύο από τα χαρακτηριστικά αυτά, την ευστάθεια και την αιτιατότητα. Το πρώτο εξασφαλίζει ότι πεπερασµένες είσοδοι θα παράγουν πεπερασµένη έξοδο. Αυτή η ιδιότητα µπορεί να εξαχθεί από την κρουστική απόκριση. Αποδεικνύεται ότι το φίλτρο είναι ευσταθές αν και µόνο αν: k =, h ( k) < Η αιτιατότητα σηµαίνει ότι το σύστηµα δεν θα παράγει καµία έξοδο πριν εφαρµοσθεί σε αυτό η είσοδος. Ένα φίλτρο είναι αιτιατό αν και µόνο αν: h(k)=0 για k<0 Ακόµα και αν η σχέση (4.1) περιγράφει πλήρως τα χαρακτηριστικά του φίλτρου, πολύ συχνά είναι χρήσιµη η έκφραση της σχέσης εισόδου-εξόδου σε γραµµικά διακριτού χρόνου συστήµατα µε τη µορφή του µετασχηµατισµού z, ο οποίος επιτρέπει την έκφραση της σχέσης (4.1) σε µία πιο χρήσιµη, λειτουργική και απλούστερη µορφή. Ο µετασχηµατισµός z Ο µετασχηµατισµός z µιας ακολουθίας x(n) ορίζεται ως εξής: k X ( z) = x( k) z (4.2) k=, όπου z είναι µια µιγαδική µεταβλητή. Αυτή η σειρά θα συγκλίνει ή θα αποκλίνει για διάφορες τιµές του z. Οι τιµές του z για τις οποίες η σχέση (4.2) συγκλίνει είναι η περιοχή σύγκλισης και εξαρτάται από τη σειρά x(n). Από τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού z ανακαλούµε τις ακόλουθες: Την ιδιότητα της καθυστέρησης: Αν w(n) = x(n-t) τότε W(z) = X(z) z -T Τη συνέλιξη: Αν w ( n) = x( k) y( n k) τότε W(z) = X(z)Y(z) k=,
Ανάλυση και επεξεργασία σηµάτων βιολογικών συστηµάτων 41 Η συνάρτηση µεταφοράς στο πεδίο z Χάρη στην προηγούµενη ιδιότητα µπορούµε να εκφράσουµε τη σχέση (2.9) στο πεδίο z µε ένα απλό πολλαπλασιασµό: Υ(z)=H(z). X(z) όπου η H(z) είναι γνωστή ως συνάρτηση µεταφοράς του φίλτρου, και είναι ο µετασχηµατισµός z της κρουστικής απόκρισης. H H(z) παίζει σηµαντικό ρόλο στην ανάλυση και το σχεδιασµό ψηφιακών φίλτρων. Η απόκριση σε ηµιτονοειδείς εισόδους µπορεί να υπολογισθεί ως εξής: Θεωρούµε ένα µιγαδικό ηµίτονο x(n)=e jωnts, ως είσοδο, και τότε η αντίστοιχη έξοδος του φίλτρου θα είναι: jωts ( n k ) jωnts jωkts h( k) e = e h( k) e = x( n) H ( z) jω z= e Ts k = 0, k = 0, y( n) = Εποµένως ένα ηµίτονο στην είσοδο εξακολουθεί να είναι το ίδιο ηµίτονο στην έξοδο, πολλαπλασιασµένο όµως µε τη µιγαδική ποσότητα H(ω). Αυτή η µιγαδική συνάρτηση καθορίζει την απόκριση του φίλτρου για κάθε ηµίτονο συχνότητας ω στην είσοδο, και είναι γνωστή ως η απόκριση συχνότητας του φίλτρου. Υπολογίζεται στο επίπεδο z, υπολογίζοντας την H(z) για z=ejωts. Όπως κάθε µιγαδική συνάρτηση, έτσι και η Η(ω) έχει µέτρο Η(ω) και όρισµα Arg(H(ω)). Για µια µεγάλη κατηγορία γραµµικών, χρονικά ανεξάρτητων φίλτρων, η Η(z) µπορεί να εκφρασθεί µε την παρακάτω µορφή: H ( z) = 1+ b m m= 0, M a z k k = 1, N που εκφράζει στο πεδίο z την παρακάτω διαφορική εξίσωση στο πεδίο του χρόνου: y( n) = k k= 1, N a y( n k) + m z k m m= 0, M b x( n m) Όταν τουλάχιστον ένας συντελεστής αk είναι διάφορος του µηδενός τότε κάποιες τιµές της εξόδου συµβάλλουν στην τρέχουσα έξοδο. Το φίλτρο περιέχει κάποια ανάδραση και λέγεται ότι είναι σχεδιασµένο σε αναδροµική µορφή. Από την άλλη πλευρά, όταν όλοι οι συντελεστές αk είναι µηδενικοί, τότε η έξοδος του φίλτρου προκύπτει µόνο από την τρέχουσα ή προηγούµενες εισόδους και το φίλτρο λέγεται ότι είναι σχεδιασµένο σε µη αναδροµική µορφή. Η συνάρτηση µεταφοράς µπορεί να εκφραστεί σε µια πιο χρήσιµη µορφή υπολογίζοντας τους πόλους και τα µηδενικά της συνάρτησης: bo z H ( z) = Π N M Π k= 1, N m= 1, M ( z p ( z z όπου z m είναι τα µηδενικά και p k είναι οι πόλοι. Η µορφή αυτή µε τα µηδενικά και τους πόλους παρουσιάζει µεγάλο ενδιαφέρον γιατί µερικές ιδιότητες του φίλτρου γίνονται άµεσα εµφανείς από τη γεωµετρία των πόλων και των µηδενικών στο µιγαδικό k ) m )
42 Άσκηση 3 επίπεδο. Για την ακρίβεια, είναι δυνατό να συµπεράνουµε για την ευστάθεια του φίλτρου και χονδρικά να εκτιµήσουµε την απόκριση συχνότητας χωρίς υπολογισµούς, απλώς κοιτώντας το διάγραµµα. Η ευστάθεια επαληθεύεται όταν όλοι οι πόλοι βρίσκονται µέσα στο µοναδιαίο κύκλο, όπως µπορεί να αποδειχθεί αν λάβει κανείς υπόψη του τη σχέση που συνδέει το µετασχηµατισµό z και το µετασχηµατισµό Laplace, και ότι το αριστερό ηµιεπίπεδο στο επίπεδο s αντιστοιχεί µέσα στο µοναδιαίο δίσκο στο επίπεδο z. Η απόκριση συχνότητας µπορεί να υπολογισθεί σηµειώνοντας ότι ( z z m ) jω z= e Ts είναι ένα διάνυσµα που ενώνει το m-στο µηδενικό µε το σηµείο του µοναδιαίου κύκλου καθορισµένο από τη γωνία ωts. Ορίζοντας: r B ( z ) m = z m jωτ z= e s r A k = ( z p k ) jωτ z= e s λαµβάνουµε: boπ H ( ω ) = Π m= 1, M k= 1, N m m= 1, M k= 1, N r B r A r r H ( ω) = B A + ( N M ) ωτ k k m s Έτσι, το µέτρο του Η(ω) µπορεί να υπολογισθεί σε κάθε συχνότητα από τις αποστάσεις µεταξύ των πόλων και των µηδενικών και από το σηµείο του µοναδιαίου κύκλου που αντιστοιχεί στο ω=ωο. Για να κάνουµε µια εκτίµηση του Η(ω) κινούµαστε στο µοναδιαίο κύκλο και χονδρικά εκτιµούµε την επίδραση των πόλων και των µηδενικών λαµβάνοντας υπόψη µερικούς κανόνες. 1. Όταν είµαστε κοντά σε µηδενικό, το µέτρο Η(ω) θα πλησιάζει στο µηδέν και θα εµφανισθεί µια θετική µετακίνηση της φάσης Η(ω) καθώς το διάνυσµα από το µηδενικό αντιστρέφει τη γωνία του. 2. Όταν είµαστε κοντά σε πόλο, το µέτρο Η(ω) θα τείνει σε κορυφή και µια αρνητική αλλαγή στη φάση Η(ω) θα εµφανισθεί (όσο πιο κοντά είναι ο πόλος στο µοναδιαίο κύκλο τόσο πιο απότοµη θα είναι και η κορυφή, µέχρι το άπειρο όπου και το φίλτρο καθίσταται ασταθές). 3. Kοντά σε ζευγάρι πόλου-µηδενικού, το µέτρο Η(ω) τείνει στο µηδέν ή στο άπειρο αν είναι κοντύτερα το µηδενικό ή ο πόλος, ενώ µακριά από το ζεύγος το µέτρο µπορεί να θεωρηθεί µονάδα. FIR και IIR φίλτρα Ένας συνήθης τρόπος κατηγοριοποίησης των φίλτρων βασίζεται στα χαρακτηριστικά των κρουστικών αποκρίσεών τους. Στα φίλτρα πεπερασµένης απόκρισης (FIR), η h(n) αποτελείται από ένα περασµένο πλήθος µη µηδενικών τιµών,
Ανάλυση και επεξεργασία σηµάτων βιολογικών συστηµάτων 43 ενώ στα φίλτρα άπειρης απόκρισης (IIR) η h(n) ταλαντώνει µέχρι το άπειρο µε µη µηδενικές τιµές. Είναι φανερό ότι στα IIR φίλτρα πρέπει να υπάρχει ανάδραση έτσι ώστε η έξοδος του συστήµατος να µην µηδενίζεται όταν πάψει η είσοδος. Η ύπαρξη της ανάδρασης επιβάλει επιπλέον προσοχή όσον αφορά την ευστάθεια του συστήµατος. Ακόµα και όταν τα FIR φίλτρα συνήθως υλοποιούνται σε µη αναδροµική µορφή, και τα IIR φίλτρα σε αναδροµική µορφή, αυτοί οι δύο τρόποι κατηγοριοποίησης δεν συµπίπτουν. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, δυο βασικές προϋποθέσεις για τα φίλτρα είναι η ευστάθεια και η γραµµικότητα της φάσης της απόκρισης του συστήµατος. Τα FIR φίλτρα µπορούν εύκολα να σχεδιασθούν για να πληρούν αυτές τις απαιτήσεις καθώς είναι πάντα ευσταθή και η γραµµικότητα της φάσης απόκρισης µπορεί να επιτευχθεί µε την επιβολή συµµετρικότητας των συντελεστών της απόκρισης ως προς το κεντρικό τους σηµείο. Αυτό σηµαίνει ότι: b = ± * m b M m όπου b m είναι οι Μ συντελεστές ενός FIR φίλτρου. Το πρόσηµο + ή βρίσκεται σε συµφωνία µε τη συµµετρικότητα (άρτια ή περιττή) και την τιµή του Μ. Αυτό είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη για να έχει το φίλτρο γραµµική φάση. Σχεδιαστικά Κριτήρια Συχνά το φίλτρο είναι έτσι σχεδιασµένο ώστε να πληροί κάποιες προϋποθέσεις όσον αφορά την απόκριση συχνότητας, η οποία εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά της συγκεκριµένης εφαρµογής για την οποία προορίζεται το φίλτρο. Είναι γνωστό ότι ιδανικά φίλτρα, όπως αυτά που παρουσιάζονται στο σχήµα 8, δεν είναι υλοποιήσιµα (θα απαιτούσαν άπειρο πλήθος συντελεστών στην απόκριση συχνοτήτων). Εποµένως, µπορούµε να σχεδιάσουµε φίλτρα τα οποία µπορούν µόνο να µιµηθούν τα αντίστοιχα ιδανικά, µε ένα αποδεκτό σφάλµα. Στο σχήµα 9 παρουσιάζεται η απόκριση συχνότητας ενός µη ιδανικού κατωδιαβατού φίλτρου. Υπάρχουν κυµατώσεις στη ζώνη διέλευσης (passband) και στη ζώνη αποκοπής (stopband) και υπάρχει µια ζώνη µετάβασης (transition) από τη ζώνη διέλευσης στη ζώνη αποκοπής, που ορίζεται από το διάστηµα ωs - ωp. Σχήµα 8: Ιδανική απόκριση συχνοτήτων για a) κατωδιαβατό, b) υψιδιαβατό, c) ζωνοδιαβατό, και d) φίλτρο απόρριψης ζώνης
44 Άσκηση 3 ιάφορες σχεδιαστικές τεχνικές είναι διαθέσιµες, οι οποίες µπορούν να υλοποιούν φίλτρα µε προκαθορισµένες απαιτήσεις. Περιλαµβάνουν την τεχνική του παραθύρου, δειγµατοληψίας συχνότητας ή εµπειρικό σχεδιασµό για FIR φίλτρα. Για τα IIR φίλτρα χρησιµοποιούνται τα φίλτρα Butterworth, Chebychev, ελλειπτικά κ.ά. Σχήµα 9: Απόκριση συχνότητας ενός πραγµατικού κατωδιαβατού φίλτρου. Κυµατώσεις υπάρχουν και στη ζώνη διέλευσης και στη ζώνη αποκοπής, αλλά περιορίζονται σε συγκεκριµένες περιοχές. Περιορισµοί επίσης υπάρχουν για το πλάτος της ζώνης µετάβασης. Παραδείγµατα υστυχώς, το ΗΚΓ «µολύνεται» συχνά από το θόρυβο και τα τεχνητά σφάλµατα που µπορούν να είναι στην εντός ενδιαφέροντος ζώνης συχνοτήτων και µπορεί να εκδηλωθεί µε παρόµοιες µορφολογίες σαν το ίδιο το ΗΚΓ. Μιλώντας γενικά, οι «µολυσµατικοί» παράγοντες ΗΚΓ µπορούν να ταξινοµηθούν όπως παρακάτω: 1. Παρεµβολή ηλεκτροφόρων καλωδίων: θόρυβος 50 ± 0.2 Hz κυρίου δικτύου παροχής (ή 60 Hz αναλόγως του δικτύου), µε ένα πλάτος µέχρι και το 50% του διακόρυφου πλάτους του ΗΚΓ (peak-to-peak). 2. Θόρυβος επαφών ηλεκτροδίων: Απώλεια επαφής µεταξύ του ηλεκτροδίου και δέρµατος που εκδηλώνεται ως αιχµηρές µεταβολές µε κορεσµό στα επίπεδα του διακόρυφου πλάτους για περιόδους περίπου 1 sec στο ΗΚΓ (που οφείλεται συνήθως σε ένα ηλεκτρόδιο που έχει σχεδόν ή εντελώς αφαιρεθεί). 3. Τεχνητά σφάλµατα κίνησης ασθενούς-ηλεκτροδίων: Μετακίνηση του ηλεκτροδίου µακριά από την περιοχή επαφής µε το δέρµα, που οδηγεί σε διακυµάνσεις της εµπέδησης µεταξύ του ηλεκτροδίου και του δέρµατος που προκαλούν δυνητικά διακυµάνσεις στο ΗΚΓ και συνήθως τις εκδηλώνει ως απότοµα (αλλά συνεχή) «άλµατα» της γραµµής βάσης ή πλήρη κορεσµό µέχρι και 0,5 sec. 4. Ηλεκτροµυογραφικός θόρυβος (ΗΜΓ): Ηλεκτρική δραστηριότητα λόγω των συστολών των µυών µε διάρκεια περίπου 50 msec µεταξύ της DC συνιστώσας και 10.000 Hz µε ένα µέσο πλάτος ίσο µε 10% του διακόρυφου πλάτους του ΗΚΓ. 5. Ολίσθηση γραµµής βάσης: Συνήθως από την αναπνοή µε ένα εύρος περίπου 15% του διακόρυφου πλάτους του ΗΚΓ στις συχνότητες µεταξύ 0,15 και 0,3 Hz.
Ανάλυση και επεξεργασία σηµάτων βιολογικών συστηµάτων 45 6. Θόρυβος συσκευών συλλογής δεδοµένων: Τεχνητά σφάλµατα που παράγονται από το hardware επεξεργασίας σήµατος, όπως ο κορεσµός σηµάτων. 7. Ηλεκτροχειρουργικός θόρυβος: Θόρυβος που παράγεται από άλλο ιατρικό εξοπλισµό παρόντα στο περιβάλλον παρακολούθησης του ασθενούς στις συχνότητες µεταξύ 100 khz και 1 MHZ, µε κατά προσέγγιση διάρκεια 1 έως 10 sec. 8. Θόρυβος κβαντοποίησης και aliasing. 9. Τεχνητά σφάλµατα επεξεργασίας σήµατος (π.χ., φαινόµενο Gibbs). Αν και κάθε ένας από αυτούς τους «µολυσµατικούς» παράγοντες µπορεί να µειωθεί από τη συνετή χρήση του hardware και της πειραµατικής διάταξης, είναι αδύνατη η αφαίρεση όλων των «µολυσµατικών» παραγόντων. Εποµένως, είναι σηµαντικό να ποσοτικοποιηθεί η φύση του θορύβου σε ένα συγκεκριµένο σύνολο στοιχείων και να επιλεχθεί ένας κατάλληλος αλγόριθµος που ταιριάζει στους «µολυσµατικούς» παράγοντες και την προοριζόµενη εφαρµογή. Μερικά παραδείγµατα διαφορετικών φίλτρων θα παρουσιαστούν στη συνέχεια, δείχνοντας µερικές εφαρµογές στην ψηφιακή επεξεργασία ηλεκτροκαρδιογραφηµάτων (ΗΚΓ). Είναι γνωστό ότι το ΗΚΓ περιέχει ωφέλιµη πληροφορία µέσα σε ένα ευρύ φάσµα συχνοτήτων. Τα περιεχόµενα χαµηλών συχνοτήτων πρέπει να διατηρηθούν για τη σωστή µέτρηση των αργών ST τµηµάτων, ενώ τα περιεχόµενα υψηλότερων συχνοτήτων χρειάζονται για το σωστό υπολογισµό πλάτους και διάρκειας των ταχύτερων συµβαλλόµενων κυµάτων, κυρίως όσον αφορά το σύµπλεγµα QRS. υστυχώς θόρυβος από διάφορες πηγές προστίθεται στις ίδιες συχνότητες, όπως για παράδειγµα είναι ο υψίσυχνος θόρυβος από τη µυική συστολή (θόρυβος ηλεκτροµυογραφήµατος - ΗΜΓ), η επίδραση της αναπνοής, παράσιτα λόγω κίνησης ή ο χαµηλής συχνότητας θόρυβος στη διεπαφή δέρµατος-ηλεκτροδίου κ.ά. Στο πρώτο παράδειγµα θα εξετάσουµε την επίδραση δύο διαφορετικών κατωδιαβατών φίλτρων. Ένα ΗΚΓ, αλλοιωµένο από θόρυβο ΗΜΓ (σχήµα 10a) περνά από δύο διαφορετικά κατωδιαβατά φίλτρα των οποίων οι αποκρίσεις συχνότητας φαίνονται στο σχήµα 10b,c. Τα δύο FIR φίλτρα έχουν συχνότητα αποκοπής στα 40 και στα 20Hz, αντίστοιχα, και έχουν σχεδιαστεί µε τεχνικές παραθύρου. Οι κυµατοµορφές εξόδου παρουσιάζονται στο σχήµα 10d,e. Παρατηρείται σηµαντική µείωση του υπερτιθέµενου θορύβου, αλλά ταυτόχρονα παρατηρείται αλλοίωση της κυµατοµορφής του ΗΚΓ. Συγκεκριµένα, το πλάτος του κύµατος R ελαττώθηκε σταδιακά λόγω ελάττωσης της συχνότητας αποκοπής, ενώ το εύρος του QRS αυξήθηκε σταδιακά. Από την άλλη πλευρά, τα P κύµατα εµφανίζονται σχεδόν ανεπηρέαστα αφού έχουν συχνότητα χαµηλότερη από 20 µε 30Hz. Σε αυτό το σηµείο πρέπει να πούµε ότι αύξηση της διάρκειας του κύµατος QRS είναι συχνά συνδεδεµένη µε διάφορες παθολογικές καταστάσεις, όπως κοιλιακή υπερτροφία. Είναι εποµένως αναγκαίο να ελέγχει κανείς ότι δεν εισάγει λανθασµένες θετικές (false-positive) ενδείξεις µε τον υπερβολικό περιορισµό της ζώνης διέλευσης συχνοτήτων του φίλτρου.
46 Άσκηση 3 Σχήµα 10: Επίδραση δύο διαφορετικών κατωδιαβατών φίλτρων b) και c) στο ΗΚΓ του a) το οποίο είναι αλλοιωµένο από θόρυβο ΗΜΓ. Μείωση πλάτους και µεταβλητότητα στο πλάτος του QRS συµπλέγµατος λόγω δραστικού κατωδιαβατού φιλτραρίσµατος είναι εµφανείς. Ένα παράδειγµα εφαρµογής φίλτρου απόρριψης ζώνης (notch filter) παρουσιάζεται στο σχήµα 11. Χρησιµοποιείται για την ελάττωση του θορύβου των 50Hz, και υλοποιείται µε την τοποθέτηση ενός µηδενικού στη συχνότητα που θέλουµε να αποκόψουµε. Σχήµα 11: a) ΗΚΓ µε θόρυβο στα 50 Hz b) φίλτρο απόρριψης των 50 Hz c) το σήµα εξόδου µετά την εφαρµογή του φίλτρου. Τέλος, ένα παράδειγµα εφαρµογής υψιδιαβατού φίλτρου παρουσιάζεται για την ανίχνευση του QRS συµπλέγµατος. Το QRS σύµπλεγµα περιέχει συνήθως συνιστώσες υψηλότερων συχνοτήτων, και εποµένως τέτοιες συχνότητες ενισχύονται µε την εφαρµογή υψιδιαβατών φίλτρων. Στο σχήµα 12 φαίνεται πώς µπορεί να γίνει προσδιορισµός των QRS συµπλεγµάτων (σχήµα 12a) µε τη χρήση υψιδιαβατού φίλτρου παραγώγου για τη µείωση της επίδρασης θορύβου στις υψηλές συχνότητες (σχήµα 12b). Το σήµα µετά την εφαρµογή του φίλτρου (σχήµα 12c) παρουσιάζει απότοµες και καλά ορισµένες κορυφές που αναγνωρίζονται εύκολα µε τη χρήση κατωφλίου.
Ανάλυση και επεξεργασία σηµάτων βιολογικών συστηµάτων 47 Σχήµα 12: a) ΗΚΓ b) υψιδιαβατό φίλτρο c) το σήµα εξόδου µετά την εφαρµογή του φίλτρου. 3.5. Πειραµατικό Μέρος Σε περιβάλλον Matlab θα δοθεί ένα σήµα ΗΚΓ στο οποίο θα προστεθεί θόρυβος µε τη βοήθεια µιας γεννήτριας παραγωγής θορύβου η οποία δηµιουργεί ένα µείγµα θορύβου από (α) ολίσθηση γραµµής βάσης, (β) τεχνητά σφάλµατα κίνησης ηλεκτροδίων, και (γ) ηλεκτροµυογραφικό θόρυβο και αφού αυτός αφαιρεθεί µε την εφαρµογή κατάλληλου φίλτρου, θα διαπιστώνεται αν το φίλτρο αφαίρεσε και σηµαντικά στοιχεία από το ΗΚΓ ικανά να αποδώσουν ακριβή διάγνωση. Για περισσότερη µελέτη σχετικά µε το υπολογιστικό περιβάλλον του Matlab: Matlab Documentation (PDF) http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/pdf_doc/matlab/getstart.pdf Matlab Documentation (HTML) http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/techdoc/matlab.html