Γεωργικός Πειραματισμός (Κωδ. 355) Βασικές Στατιστικές Μέθοδοι και Εργαλεία Αάλυσης Δεδομέω 3. Γραμμική Συσχέτιση και Γραμμική Παλιδρόμηση Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Συτελεστής γραμμικής συσχέτισης του Pearon (Pearon correlaton coeffcent) (, ), =,,3,..., =, r = = r + = = = ( )( ) = = = = ( ) = = = = ( ) = = = <r< <r< -<r< Διάγραμμα διασποράς (catterplot) r= r= r= Η γεική υπόθεση για έα μοτέλο παλιδρόμησης H Χ μετριέται χωρίς σφάλμα εώ η Υ για κάθε επίπεδο τυχαία μεταβλητή με πεπερασμέη μέση τιμή και διακύμαση. της Χ, είαι Το στατιστικό γραμμικό μοτέλο (tochatc or probabltc model) Η ευθεία παλιδρόμησης της Y πάω στη Χ Στο στατιστικό γραμμικό μοτέλο θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις,,..., είαι τυχαίες παρατηρήσεις από πληθυσμούς με μέσες τιμές α + β και σχετίζοται με τα μέσω τω σχέσεω = α + β + ε, =,,..., Y = τετερμιιστικό μοτέλο + τυχαίο σφάλμα Τα ε = ( α + β ) είαι τυχαίες μεταβλητές με E( ε ) =, V ( ε ) = σ, Cov( ε, ε j ) =, j οομάζοται τυχαία σφάλματα (random error) και ατίστοιχα εκφράζου τη η απόκλιση της παρατήρησης από τη μέση τιμή α + β του πληθυσμού από το οποίο αυτή προέρχεται (του πληθυσμού όλω τω δυατώ ότα το Χ έχει τιμή ). Προφαώς έχουμε E( Y ) = α + β και V ( Y ) = σ = V ( ε ) E( Y ) = α + β Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος
Y ~ N( α + β, σ ), =,,..., Το καοικό γραμμικό μοτέλο (, ), =,,3,..., Η ευθεία ελαχίστω τετραγώω ˆ = ˆ α + ˆ β ˆ β = = = g ( α, β ) = = ε = και ˆ α = ˆ β ˆ = + ˆ( β ) Ερμηεία τω παραμέτρω: Το βˆ εκφράζει τη ααμεόμεη (μέση) μεταβολή της εξαρτημέης μεταβλητής Υ ότα η τιμή της αεξάρτητης μεταβλητής Χ αυξηθεί κατά μια μοάδα. Έτσι, ότα η τιμή της Χ αυξηθεί κατά μια μοάδα το ŷ αυξάεται κατά βˆ μοάδες α ˆ β > ή ελαττώεται κατά βˆ μοάδες α ˆ β <. Το αˆ εκφράζει τη ααμεόμεη (μέση) τιμή της εξαρτημέης μεταβλητής Υ ότα η τιμή της αεξάρτητης μεταβλητής Χ πάρει τη τιμή Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος
ˆ ε = ˆ = ( ˆ α + ˆ β ) Υπόλοιπα (redual) Συτελεστής προσδιορισμού (Coeffcent of determnaton) Μέσο τετραγωικό υπόλοιπο (redual mean quare ή mean quare error) Τυπικό σφάλμα της εκτίμησης (tandard error of the etmate) Διαστήματα Εμπιστοσύης για τις παραμέτρους α, β Διάστημα Εμπιστοσύης για τη πρόβλεψη της μέσης τιμής Ε(Υ) της Υ για Χ = = ( ) = = ( ˆ ) + = ( ˆ ) SSTO = SSR + SSE SSR r = SSTO Ερμηεία του συτελεστή προσδιορισμού r : οι παρατηρήσεις όλες μεταξύ τους ίσες, παρουσιάζου μεταβλητότητα (SSTO). Έα μέρος αυτής της μεταβλητότητας εξηγείται από τα μέσω του γραμμικού δε είαι μοτέλου (SSR). Το υπόλοιπο μέρος της συολικής μεταβλητότητας δε εξηγείται από το γραμμικό μοτέλο (SSE) αποδίδεται στη τύχη και εκφράζει τη τυχαιότητα τω παρατηρήσεω, δηλαδή τις τυχαίες αποκλίσεις τους από το μέσο τους (τα ε ). Ο συτελεστής προσδιορισμού r εκφράζει το ποσοστό της συολικής μεταβλητότητας της εξαρτημέης μεταβλητής Υ που εξηγείται από τη αεξάρτητη μεταβλητή Χ μέσω του γραμμικού μοτέλου. Σημείωση: Στο SSE εσωματώεται (α) η επίδραση παραγότω που συεισφέρου στη μεταβλητότητα τω αλλά δε συμπεριλαμβάοται στο μοτέλο (δηλαδή, εσωματώεται η επίδραση μεταβλητώ πέρα της Χ) και (β) η επίδραση από πιθαή αστοχία στη επιλογή μοτέλου (μπορεί η σχέση α περιγράφεται «καλύτερα» από έα μη γραμμικό μοτέλο). SSE = MSE = = Αποτελεί μια αμερόληπτη εκτίμηση της διακύμασης V ( Y ) = σ = V ( ε ) = MSE ( α)% Διάστημα εμπιστοσύης για τη παράμετρο α ˆ α ± SE ( ˆ) α t ; α ( α)% Διάστημα εμπιστοσύης για τη παράμετρο β ˆ β ± SE ( ˆ) β t ; α Όπου, SE( ˆ) α = + και SE ( ˆ) β = ( ) ( α)% Διάστημα Εμπιστοσύης για τη πρόβλεψη της μέσης τιμής Ε(Υ ) για X = ˆ ± ( ˆ ) t ; α Όπου, ˆ ˆ ˆ = α + β και ( ) ( ˆ = ) + ( ) Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 3
Διάστημα Πρόβλεψης για τη τιμή της Υ ότα η Χ πάρει τιμή. Περιοχή απόρριψης της H : β = β Περιοχή απόρριψης της H : ρ = Σύγκριση τω κλίσεω δύο ευθειώ παλιδρόμησης H : β = β H : β β Συτελεστής γραμμικής συσχέτισης και παλιδρόμηση Αιτιότητα ( α)% Διάστημα Πρόβλεψης για τη τιμή της Υ ότα X = ˆ Όπου, ˆ ˆ ˆ = α + β έατι της H : β β ˆ β β έατι της H : ρ t, α ( ) ± + + ; α ( ) t έατι της H : β > β ( ˆ β β ) t έατι της H : ρ > r t, α r r Περιοχή απόρριψης της H : β = β ˆ β ˆ β t + ( ) ( ) + ( ) ( ), α έατι της H : β < β ( ˆ β β) t έατι της H : ρ < r r t, α r t, α + 4; α Όπου, = + 4,, τα μέσα τετραγωικά υπόλοιπα τω δύο μοτέλω και,, οι δειγματικές διακυμάσεις τω δύο αεξάρτητω μεταβλητώ, α Ότα έχουμε πειραματικά δεδομέα όπου ο ερευητής ελέγχει-καθορίζει τις τιμές της μιας μεταβλητής, τότε η μεταβλητή αυτή είαι αεξάρτητη (Χ) και η τυχαία μεταβλητή απόκρισης (Υ) εξαρτημέη. Σε αυτή τη περίπτωση εκτιμάμε τη ευθεία παλιδρόμησης της Υ πάω στη Χ. Ότα και οι δύο μεταβλητές (Χ και Υ) είαι τυχαίες, τότε μπορούμε α θεωρήσουμε ως αεξάρτητη οποιαδήποτε από τις δύο και α μελετήσουμε είτε τη παλιδρόμηση της Υ πάω στη Χ είτε τη παλιδρόμηση της Χ πάω στη Υ. Έτσι, α ˆ = ˆ α + ˆ β και ˆ = aˆ + bˆ τότε ˆ β = και ˆ b = και επομέως: ˆ β b ˆ = r Η συσχέτιση δε συεπάγεται κατ αάγκη αιτιότητα. (http://www.aua.gr/gpapadopoulo/fle/aocaton_or_cauaton.pdf) Προεκβολή (etrapolaton) Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 4
Προβλήματα και Ασκήσεις. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται η ποσότητα αζωτούχου λιπάσματος () που χρησιμοποιήθηκε σε καθέα από 8 πειραματικά αγροτεμάχια καλλιέργειας βρόμης καθώς και η απόδοση () κάθε αγροτεμαχίου. 3 3 4 4 (σε άδες pound/στρέμμα) 9 38 4 57 54 68 65 (σε buhel/στρέμμα) (α) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη μέση απόδοση βρόμης για συγκεκριμέη ποσότητα αζωτούχου λιπάσματος. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να δώσετε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη κλίση του μοτέλου. Πώς ατιλαμβάεστε (ερμηεύετε) αυτό το διάστημα; (δ) Ποιο ποσοστό της μεταβλητότητας της απόδοσης της καλλιέργειας εξηγείται από τη ποσότητα αζωτούχου λιπάσματος μέσω του μοτέλου που εκτιμήσατε στο (α); (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. (στ) Για ποσότητα αζωτούχου λιπάσματος ίση με 5 pound/στρέμμα τι απόδοση βρόμης ααμέετε κατά μέσο όρο αά στρέμμα; (ζ) Για τη εκτίμηση που ζητείται στο (στ) δώστε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης. (η) Για ποσότητα αζωτούχου λιπάσματος ίση με 5 pound/στρέμμα τι απόδοση βρόμης ααμέετε κατά μέσο όρο αά στρέμμα; Τι αξία μπορεί α έχει αυτή η εκτίμηση;. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται ο υπό αόργαη μορφή φώσφορος () σε 6 δείγματα εδαφώ και ατίστοιχα ο φώσφορος () που αφομοιώθηκε από φυτά καλαμποκιού που καλλιεργήθηκα σε αυτά τα εδάφη (οι τιμές είαι σε ppm). Έδαφος Έδαφος,4 64 9,9 76,4 6 3, 96 3 3, 7 3, 77 4,6 6,6 93 5 4,7 54 3 3, 95 6,7 77 4,9 54 7 9,4 8 5 9,9 99 8, 93 6,6 93 (α) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω το οποίου α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη ποσότητα φωσφόρου που κατά μέσο όρο απορροφού τα φυτά καλαμποκιού από τη ποσότητα φωσφόρου που βρίσκεται σε αόργαη μορφή στο έδαφος. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να δώσετε μια εκτίμηση με 95% εμπιστοσύη της μέσης αύξησης της ποσότητας φωσφόρου που αφομοιώεται από τα φυτά καλαμποκιού για κάθε επιπλέο ppm φωσφόρου στο έδαφος. Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 5
(δ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. (στ) Για ποσότητα φωσφόρου (αόργαης μορφής) στο έδαφος ίση με ppm τι ποσότητα φωσφόρου εκτιμάτε ότι θα απορροφήσου κατά μέσο όρο τα φυτά καλαμποκιού; Δώστε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης. Να απατήσετε χρησιμοποιώτας τα παρακάτω output από τη αάλυση τω δεδομέω με το στατιστικό πακέτο Statgraphc. Coeffcent Leat Square Standard T Parameter Etmate Error Stattc P-Value Intercept 63,943 3,79 7,75, Slope,58,534 4,98574, Anal of Varance Source Sum of Square Df Mean Square F-Rato P-Value Model 4,83 4,83 4,86, Redual 35,7 4 96,5833 Total (Corr.) 3753, 5 Predcted Value 95,% 95,% Predcted Predcton Lmt Confdence Lmt X Y Lower Upper Lower Upper, 89,44 66,835,374 8,99 96,895 3. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται η απόδοση μιας ποικιλίας σιταριού (Yecora) και μιας ποικιλίας κουκιώ (ΚΥ-88) καθώς και οι τιμές (ατίστοιχα) του Δείκτη Υδατικού Δυαμικού (Water Potental Inde-WPI). Σιτάρι (Yecora) WPI Απόδοση (MPa) (Mg/ha) Κουκιά (KY-88) WPI (MPa) Απόδοση (Mg/ha) -,49 6, -,65,656 -,33 6,7 -,59,638 -,9 7, -,564,838 -,74 4,73 -,5,69 -,69 4,8 -,967,76 -,79 3,47 -,984,433 -,37 6,88 -, 3,58 -,33 5,67 -,35,79 -,44 6,47 -,59,94 -, 4,47 -,8,43 -,9 3,47 -,9,966 -,,7 -,994,93 -,6,354 (α) Στα δεδομέα που αφορού το σιτάρι ποικιλίας Yecora (και ατίστοιχα στα δεδομέα που αφορού στη ποικιλία κουκιώ ΚΥ-88) α προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη μέση απόδοση σιταριού Yecora (και ατίστοιχα τη μέση απόδοση κουκιώ ΚΥ- 88) για συγκεκριμέη τιμή του Δείκτη Υδατικού Δυαμικού. Karamano, A. J. & Papatheohar, A. Y. (999). Aement of drought retance of crop genotpe b mean of the water potental nde. Crop cence, 39(6), 79-797. Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 6
(β) Για καθέα από τα μοτέλα που εκτιμήσατε στο (α) α ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του, α υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του και α εξετάσετε α είαι στατιστικά σηματικό. Πώς συγκρίοται οι κλίσεις τω δύο γραμμικώ μοτέλω; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. Για τα δεδομέα που αφορού στο σιτάρι δίοται: = -9,49, = 6, 9, =, 496, =, 8, =, 4768 Για τα δεδομέα που αφορού στα κουκιά δίοται: = -5,78, =, 34, =, 73, =, 67, =, 63 4. Έας γεωπόος-ερευητής σε φυτώριο πειραματικού σταθμού, έχει επιοήσει μια κλίμακα μέτρησης του «βαθμού φρεσκάδας» που διατηρού οι τριαταφυλλιές αφότου συσκευαστού και αποθηκευτού μέχρι α μεταφυτευθού. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται ο χρόος αποθήκευσης σε ημέρες () καθεμιάς από δέκα τριαταφυλλιές και ατίστοιχα ο «βαθμός φρεσκάδας» (). 5 5 5 5 5 5 5,3 6,8 3,6 3,8 9,8 8,7 5,5 4,7.8, (α) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορούμε α εκτιμήσουμε το ααμεόμεο «βαθμό φρεσκάδας» τω τριαταφυλλιώ για συγκεκριμέο χρόο αποθήκευσης. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που (δ) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. (ε) Τι «βαθμό φρεσκάδας» ααμέετε α έχου οι τριαταφυλλιές μετά από 8 ημέρες αποθήκευσης; (στ) Για τη εκτίμηση που ζητείται στο (ε) δώστε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης. (ζ) Τι «βαθμό φρεσκάδας» ααμέετε α έχου οι τριαταφυλλιές μετά από 3 ημέρες αποθήκευσης; Τι αξία μπορεί α έχει αυτή η εκτίμηση; Δίοται: = 5, = 9, = 75, =, 986 =. 5. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται τα δεδομέα που προέκυψα από έα πείραμα για τη διερεύηση της σχέσης μεταξύ της φωτειής διαπερατότητας () τω φύλλω μιας ποικιλίας ρυζιού και της επιφάειας του φύλλω όπως αυτή περιγράφεται μέσω εός δείκτη ().,5 75, 5,6 9,,6 7, 7, 5,,8 4, 8,75,,5 9, 9,6,,8 7,,4, 5,45,,,9 (α) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη φωτειή διαπερατότητα τω φύλλω ρυζιού για συγκεκριμέη τιμή του δείκτη. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 7
(γ) Να κατασκευάσετε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη κλίση του μοτέλου. Πώς ατιλαμβάεστε (ερμηεύετε) αυτό το διάστημα; (δ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. (στ) Για τη διάγωση πιθαώ αποκλίσεω από τις υποθέσεις του καοικού γραμμικού μοτέλου που προσαρμόσαμε στο (α), κατασκευάσαμε (με το στατιστικό πακέτο Statgraphc) το διάγραμμα διασποράς (catter plot) τω δεδομέω και τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω, το διάγραμμα υπολοίπω (redual plot) και το καοικό διάγραμμα πιθαότητας (Normal Probablt Plot) τω υπολοίπω (σχήματα, και 3 ατίστοιχα). Υποδεικύου αυτά τα διαγράμματα παραβίαση κάποιας (ή κάποιω) από τις υποθέσεις-παραδοχές του καοικού γραμμικού μοτέλου (γραμμικότητα, καοικότητα, ομοσκεδαστικότητα, αεξαρτησία); Δίοται: = 67, = 75, = 55, = 4359, = 53. Σχήμα- Σχήμα- Σχήμα-3 Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 8
6. Έας γεωπόος προκειμέου α μελετήσει το τρόπο που η ποσότητα λιπάσματος επηρεάζει τη απόδοση μιας καλλιέργειας, πειραματίσθηκε με διαφορετικές ποσότητες λιπάσματος σε αγροτεμάχια ίδιου εμβαδού. Μερίμησε επίσης, στα αγροτεμάχια α επικρατού ίδιες ή παρόμοιες καλλιεργητικές συθήκες έτσι ώστε οι όποιες διαφοροποιήσεις στη παραγωγή τω αγροτεμαχίω α οφείλοται κατά κύριο λόγο στις διαφορετικές ποσότητες λιπάσματος. Στο πίακα που ακολουθεί δίεται η παραγωγή κάθε αγροτεμαχίου () και η ατίστοιχη ποσότητα λιπάσματος () που χρησιμοποιήθηκε. 6 8 6 8 4 (σε κιλά) 76 55 79 57 694 634 75 57 59 754 (σε άδες κιλά) (α) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη μέση απόδοση της καλλιέργειας για συγκεκριμέη ποσότητα λιπάσματος. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να δώσετε μια εκτίμηση με 95% εμπιστοσύη της μέσης αύξησης της παραγωγής α χρησιμοποιηθεί έα επιπλέο κιλό λιπάσματος. (δ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. (στ) Για ποσότητα λιπάσματος ίση με 9 κιλά/αγροτεμάχιο τι απόδοση ααμέετε κατά μέσο όρο αά αγροτεμάχιο; (ζ) Για τη εκτίμηση που ζητείται στο (στ) δώστε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης. (η) Για ποσότητα λιπάσματος ίση με κιλά/αγροτεμάχιο τι απόδοση ααμέετε; Τι αξία μπορεί α έχει αυτή η εκτίμηση; Δίοται: =64, = 646, = 38, = 4654, = 8. 7. Στο πλαίσιο μιας μελέτης για τη σχέση του ύψους και της ηλικίας τω δέδρω μιας δασικής έκτασης, συγκετρώθηκα τα ακόλουθα δεδομέα. Ηλικία (σε m) 3 5 4 Ύψος (σε έτη) 9 5 7 4 (α) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορούμε (για τη συγκεκριμέη δασική έκταση) α εκτιμήσουμε το μέσο ύψος τω δέδρω συγκεκριμέης ηλικίας. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να δώσετε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη κλίση του μοτέλου. Πώς ατιλαμβάεστε (ερμηεύετε) αυτό το διάστημα; (δ) Ποιο ποσοστό της μεταβλητότητας του ύψους τω δέδρω εξηγείται από τη ηλικία τους μέσω του μοτέλου που εκτιμήσατε στο (α);. (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. Τα παρακάτω output προέκυψα από σχετική αάλυση τω δεδομέω με το στατιστικό πακέτο SPSS. Να απατήσετε στα ερωτήματα χρησιμοποιώτας αυτά τα output (και αφού συμπληρώσετε τα κεά). Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 9
Model Coeffcent a Untandardzed Coeffcent Standardzed Coeffcent B Std. Error Beta (Contant),7,835 3,35,48,,5,979 8,345? a. Dependent Varable: ANOVA b Model Sum of Square df Mean Square F Sg. Regreon? 44, 69,63,4 a Redual,9 3? Total 46, 4 a. Predctor: (Contant), b. Dependent Varable: 8. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται η απόδοση σε σπόρο () φυτώ μιας ποικιλίας σκληρού σιταριού. Επίσης, για κάθε φυτό φαίοται τέσσερα συστατικά της απόδοσης: ο αριθμός σταχιώ, ο αριθμός σταχιδίω αά στάχυ και ο αριθμός σπόρω αά σταχίδιο. (σε gr) Στάχια/ φυτό Σταχίδια/ στάχυ (l) Σπόροι/ σταχίδιο (w) (σε gr) Στάχια/ φυτό Σταχίδια/ στάχυ (l) t Σπόροι/ σταχίδιο (w) () (), 4,4 9,8,9 3,6 5,9 3,, 6,8 9, 4,5,8 6, 5,3 6,,4 8,8 5,6,5,9 4, 5,,5,,,6,,9,, 4,8,4 3,6 3,3 3,,3 5,3 6,3,5,6 4, 5,,3,4,,4 6,4,8 7,4 9,4,7,, 9,6 6,,,,5 8,4,,9 3,8 3,3,,,8 4,,9 9,5 9,6 6,4,9,3 3,4 4,7,8,7 4,7,,8 7,6 8,3 7,8,9,9,3 4,3, (α) Με βάση τα δεδομέα του πίακα α γίει αάλυση συσχέτισης τω χαρακτηριστικώ απόδοσης της συγκεκριμέης ποικιλίας σκληρού σιταριού. (β) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη μέση απόδοση σε σπόρο αά φυτό α μας είαι γωστός ο αριθμός σταχιώ αά φυτό. (γ) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που εκτιμήσατε στο (β). (δ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που εκτιμήσατε στο (β). (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (β); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. Δίοται: = 8, = 58, = 38, = 37, = 35. 9. Ο Sr Franc Galton σε εργασία του το 894 διερεύησε τη σχέση μεταξύ της διαμέτρου του σπόρου αρακά (d) και της διαμέτρου του παραγόμεου καρπού Sg. Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος
(d). Για α συγκετρώσει πολλά δεδομέα, αέθεσε σε πολλούς φίλους του α φυτέψου σπόρους διαμέτρω.5-. ιτσώ. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται έα μέρος από τα δεδομέα που συγκέτρωσε (οι μετρήσεις είαι σε ίτσες). d d d d d d d d..467.9.47.7.39.5.377..567.9.57.7.49.5.477..667.9.67.7.59.5.577..767.9.77.7.69.5.677..867.9.87.7.79.5.777..967.9.97.7.89.5.877..67.9.7.7.99.5.977..67.9.7.6.48..66..466.8.435.6.58..66..566.8.535.6.68.8.935..666.8.635.6.78.8.35..766.8.735.6.88..966..866.8.835.6.98.6.8 Να διερευήσετε τη σχέση μεταξύ της διαμέτρου του σπόρου-γοέα και της διαμέτρου του παραγόμεου καρπού. Δίοται: d = 9, 4, d = 9,, d =, 73, d =, 63, d d =, 66.. Στο πλαίσιο εός πειράματος (Lnnk, 96) διερευήθηκε α και πώς η διαλυτότητα του ιτρικού ατρίου (NaNO3) εξαρτάται από τη θερμοκρασία. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται για εέα διαφορετικές θερμοκρασίες (σε βαθμούς κελσίου) τα μέρη ιτρικού ατρίου που διαλύθηκα σε μέρη ερού. Θερμοκρασία () Μέρη NaNO 3 () 67 4 7 76 5 8 86 9 93 36 99 5 4 68 5 (α) Να βρείτε (εκτιμήσετε) τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω μέσω της οποίας α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη μέση διαλυτότητα ιτρικού ατρίου για συγκεκριμέη θερμοκρασία. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να δώσετε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη κλίση του μοτέλου. Πώς ατιλαμβάεστε (ερμηεύετε) αυτό το διάστημα; (δ) Ποιο ποσοστό της μεταβλητότητας της διαλυτότητας του ιτρικού ατρίου εξηγείται από τη θερμοκρασία μέσω του μοτέλου που εκτιμήσατε στο (α); (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. (στ) Δώστε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη ααμεόμεη διαλυτότητα ιτρικού ατρίου σε θερμοκρασία 3 ο C. Δίοται: = 34, = 8, = 44, = 76334, = 464. Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος
. Σε δείγματα μελιού έγια επεμβάσεις με malathon και fluvalnate σε συθήκες ncubator και torage. Για α μελετηθεί ο ρυθμός αποδόμησης τω ουσιώ αυτώ, έγια μετρήσεις της συγκέτρωσης κάθε ουσίας σε διάφορους χρόους t μετά τη ατίστοιχη επέμβαση. Τα αποτελέσματα τω μετρήσεω αυτώ φαίοται στους παρακάτω πίακες. Χρόος μετά τη αγωγή t (σε εβδ.) Malathon Συγκέτρωση Χρόος μετά τη επέμβαση Fluvalnate Συγκέτρωση (σε ppb) (σε ppb) t Incubator Storage Incubator Storage (σε εβδ.) 98.7 99.3 93.5.5 96. 97.5 4 79.9 3.7 3 83.7 8.9 8 6. 4.6 4 77.7 8. 79.3 98. 5 4.3 5.4 6 37.4 95.6 6 9.7 37.7 8.3 76. 7 7. 5.4 4 6.9 6.3 8.3 8.8 9 5.7 5.9 3.3. (α) Οι ερευητές προσάρμοσα στις πειραματικές μετρήσεις και για κάθε περίπτωση ξεχωριστά (malathon σε ncubator, malathon σε torage, fluvalnate σε ncubator, fluvalnate σε torage), το απλό γραμμικό μοτέλο παλιδρόμησης. Να εκτιμήσετε αυτά τα μοτέλα γραμμικής παλιδρόμησης και α ερμηεύσετε τις τιμές τω παραμέτρω τους. (β) Να αξιολογήσετε τα μοτέλα που (γ) Για κάθε περίπτωση, α εκτιμήσετε τη μέση συγκέτρωση της ουσίας δύο εβδομάδες μετά τη ατίστοιχη επέμβαση. (δ) Να ελέγξετε α υπάρχει στατιστικώς σηματική διαφορά μεταξύ τω ρυθμώ αποδόμησης ) της ουσίας malathon σε συθήκες ncubator και σε συθήκες torage ) της ουσίας fluvalnate σε συθήκες ncubator και σε συθήκες σε torage ) της ουσίας malathon σε συθήκες ncubator και της ουσίας fluvalnate σε συθήκες ncubator.. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται για έξι διαφορετικές θερμοκρασίες περιβάλλοτος οι ρυθμοί καταάλωσης οξυγόου που παρατηρήθηκα σε πουλιά ορισμέου είδους. Θερμοκρασία ( C) -5 5 () Καταάλωση Οξυγόου (ml/g/hr) () 3,6 3,3,6,3,,9 (α) Να βρείτε (εκτιμήσετε) τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω μέσω της οποίας α μπορούμε για το συγκεκριμέο είδος πουλιώ α εκτιμήσουμε το μέσο ρυθμό καταάλωσης οξυγόου για συγκεκριμέη θερμοκρασία. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που βρήκατε στο (α); Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. Balaann, P. G., & Santa, L. A. (99). Dpaton of malathon and fluvalnate redue from hone. Journal of Apcultural Reearch, 3(), 7-76. Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος
(δ) Δώστε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για το μέσο ρυθμό καταάλωσης οξυγόου τω πουλιώ σε θερμοκρασία περιβάλλοτος 8 ο C. Δίοται: = 4, = 5, 9, = 694, = 44, 35, = 8, 4. 3. Σε έα γωστό πείραμα (Forbe 857) μετρήθηκε η θερμοκρασία βρασμού του ερού σε διάφορες τιμές ατμοσφαιρικής πίεσης. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται έα μέρος από τα δεδομέα που προέκυψα. Πίεση (σε ίτσες) () Θερμοκρασία βρασμού σε ( o F) (),79 94,5,4 97,9,67 98.4 3,35 99,9 3,89,9 4,,4 5,4 3,6 6,57 4,6 7,76 8,6 8,49 9,5 (α) Να βρείτε (εκτιμήσετε) τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω μέσω της οποίας α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη μέση θερμοκρασία βρασμού του ερού υπό συγκεκριμέη ατμοσφαιρική πίεση. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που βρήκατε στο (α); Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. (δ) Δώστε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη μέση θερμοκρασία βρασμού του ερού υπό ατμοσφαιρική πίεση 3 ίτσες. Δίοται: = 45, = 9, = 66, = 47958, = 49593. 4. Γεωπόος εδιαφέρεται α εκτιμήσει τη απόδοση () καλλιέργειας βαμβακιού με βάση το αριθμό τω καρπώ/καρυδιώ () στο μέσο της καλλιεργητικής περιόδου. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται η απόδοση καθεός από επτά αγροτεμάχια και ατίστοιχα ο αριθμός καρπώ κατά το μέσο της καλλιεργητικής περιόδου. Απόδοση 7 9 5 3 (σε μπάλες) Αριθμός καρπώ 5,5,8 4,7 4,3 3,7 6, 4,5 (σε εκατοτάδες) (α) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορεί ο γεωπόος α εκτιμήσει τη μέση απόδοση βαμβακιού αά αγροτεμάχιο με βάση το αριθμό καρπώ κατά το μέσο της καλλιεργητικής περιόδου. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να δώσετε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη κλίση του μοτέλου. Πώς ατιλαμβάεστε (ερμηεύετε) αυτό το διάστημα; (δ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 3
(στ) Δώστε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη ααμεόμεη απόδοση βαμβακιού (αά αγροτεμάχιο) α κατά το μέσο της καλλιεργητικής περιόδου καταμετρηθού 43 καρποί. (ζ) Για αριθμό καρπώ στο μέσο της καλλιεργητικής περιόδου ίσο με 7 τι απόδοση ααμέετε; Τι αξία μπορεί α έχει αυτή η εκτίμηση; Δίοται: = 3,6, = 35, = 49, 8, = 645, = 64, 6. 5. (Συέχεια της άσκησης 4) Σε έα κρίσιμο για τη αάπτυξη τω φυτώ στάδιο, ο γεωπόος μέτρησε το αριθμό τω επιβλαβώ ετόμω αά αγροτεμάχιο. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται τα δεδομέα που προέκυψα. Απόδοση 7 9 5 3 (σε μπάλες) Αριθμός ετόμω 3 8 (α) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορεί ο γεωπόος α εκτιμήσει τη μέση απόδοση βαμβακιού αά αγροτεμάχιο με βάση το αριθμό τω επιβλαβώ ετόμω αά αγροτεμάχιο. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να δώσετε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη κλίση του μοτέλου. Πώς ατιλαμβάεστε (ερμηεύετε) αυτό το διάστημα; (δ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. Δίοται: = 96, = 35, = 4, = 645, = 799. 6. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται η ηλικία και το βάρος δώδεκα μοσχαριώ Ηλικία 3 3 4 4 6 6 8 (σε μήες) Βάρος 35 7 55 5 7 95 4 8 95 9 (σε Kg) (α) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορούμε α εκτιμήσουμε το μέσο βάρος τω μοσχαριώ συγκεκριμέης ηλικίας. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να δώσετε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη κλίση του μοτέλου. Πώς ατιλαμβάεστε (ερμηεύετε) αυτό το διάστημα; (δ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. (στ) Δώστε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη εκτίμηση του μέσου βάρους τω μοσχαριώ ηλικίας 7 μηώ. Δίοται: = 7, =, = 6, = 6, = 9995. 7. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται τα δεδομέα που συγκετρώθηκα στο πλαίσιο μελέτης που έγιε για τη ποσότητα σωματιδίω ρύπασης που Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 4
απομακρύοται από το ατμοσφαιρικό αέρα σε σχέση με τη ημερήσια βροχόπτωση. Ημερήσια βροχόπτωση () (σε.cm) Σωματίδια () (σε μg/m 3 ) 4,3 6 4,5 5 5,9 6 5,6 8 6, 4 5, 8 3,8 3, 4 7,5 8 (α) Να βρείτε (εκτιμήσετε) τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω μέσω της οποίας α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη μέση ποσότητα σωματιδίω που απομακρύοται από το ατμοσφαιρικό αέρα για συγκεκριμέη ημερήσια βροχόπτωση. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που (δ) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που βρήκατε στο (α); Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. (ε) Δώστε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη μέση ποσότητα σωματιδίω που απομακρύοται από το ατμοσφαιρικό αέρα ότα η ημερήσια βροχόπτωση είαι 4.8 (. cm). Δίοται: = 45, = 98, = 44, = 3477, = 5366. 8. Τα δεδομέα που ακολουθού προέκυψα στο πλαίσιο πειράματος για τη μελέτη και διερεύηση της επίδρασης της θερμοκρασίας συτήρησης () στη υφή της επιφάειας () της φράουλας (οι τιμές της θερμοκρασίας έχου κωδικοποιηθεί). - - 4, 3,5,,5, (α) Να βρείτε (εκτιμήσετε) τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω μέσω της οποίας α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη υφή της επιφάειας τω φραουλώ από τη θερμοκρασία συτήρησής τους. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που (δ) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. Δίοται: =, =, = 6, = 3, 5, = 4. 9. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται η απόδοση σε σπόρο φυτώ εός πληθυσμού λούπιου. Επίσης φαίεται το ύψος κάθε φυτού αμέσως μετά τη συγκομιδή, ο αριθμός σπόρω αά φυτό και ο αριθμός λοβώ αά φυτό 3. 3 Χαρακτηρισμός του Λούπιου τω Άδεω και καταγραφή τω επικοιαστώ του σε δύο περιοχές στη Ελλάδα. Μεταπτυχιακή Μελέτη, Μπάρδα Μυρτώ, 8. (Επιβλ. Καθηγ. Μπεμπέλη Π.) Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 5
Απόδοση (gr) Ύψος φυτού (cm) l Σπόροι/φυτό w Λοβοί/φυτό,45 43,5 7 7 4,8 47 39 9,65 3 9 3, 3,38 3 7,66 7 3, 33,5 6,58 44 4 4,44 43 9 9,5 34,5 9,43 35 9 6,4 3 8 3,63 35,5 8 3,39 38,5 6 8,5 33 9 6,9 6 3,38 3 6 9 8,8 3 5,9 3 5 (α) Με βάση τα δεδομέα του πίακα α γίει αάλυση συσχέτισης τω τεσσάρω χαρακτηριστικώ του συγκεκριμέου πληθυσμού λούπιου. (β) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη μέση απόδοση σε σπόρο αά φυτό α μας είαι γωστό το ύψος του φυτού. (γ) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που εκτιμήσατε στο (β). (δ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που εκτιμήσατε στο (β). (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (β); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. Δίοται: = 668,5, = 5, 9, = 38, 3, = 53, 3, = 963, 5.. Στο πίακα που ακολουθεί δίοται τα αποτελέσματα μετρήσεω πέτε μορφολογικώ χαρακτηριστικώ άγριου κριθαριού (Hordeum podaneum). Μήκος σπόρου Πλάτος σπόρου Μήκος λέπυρου Μήκος τρίχας λέπυρου Συμπάγια 9,,8 6,3 9,5,9 8,98,84,63 5,6,97 9,8,9 7,5,4 3 9,65,84 5,5 7,8,3 8,3,97,37 5,45 3,76 9,45,98 3,5 6,6 5, 8,85,96 3,9 6, 4,6 9,3,99 4,67 7,,45 8,86,86,75 5,9 5, 9,8,98 3,3 6,7 5,7 Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 6
(α) Με βάση τα δεδομέα του πίακα α γίει αάλυση συσχέτισης τω πέτε συγκεκριμέω χαρακτηριστικώ του άγριου κριθαριού. (β) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορούμε α εκτιμήσουμε το μήκος του σπόρου από το μήκος του λέπυρου. (γ) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που εκτιμήσατε στο (β). (δ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που εκτιμήσατε στο (β). (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (β); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. Δίοται: = 49, = 98, 5, = 5833, = 885, = 5366.. (Συέχεια της Άσκησης ) Για τη διάγωση πιθαώ αποκλίσεω από τις υποθέσεις του καοικού γραμμικού μοτέλου που προσαρμόσαμε στο ερώτημα (α), κατασκευάσαμε (με το στατιστικό πακέτο Statgraphc) το διάγραμμα διασποράς τω δεδομέω και τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω, το διάγραμμα υπολοίπω και το καοικό διάγραμμα πιθαότητας τω υπολοίπω (σχήματα, και 3 ατίστοιχα). Υποδεικύου αυτά τα διαγράμματα παραβίαση κάποιας (ή κάποιω) από τις υποθέσεις-παραδοχές του καοικού γραμμικού μοτέλου (γραμμικότητα, καοικότητα, ομοσκεδαστικότητα, αεξαρτησία); Σχήμα- Σχήμα- Σχήμα-3 Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 7
Άσκηση 4 (εδεικτική απάτηση) Για τους απαιτούμεους υπολογισμούς διευκολύει α συμπληρώσουμε το πίακα δεδομέω ως εξής: = 5,5 3,5 44 5,5,8 7 7,84 89 47,6 4,7,9 4 94 4,3 9 8,49 36 8,7 3,7 5 3,69 5 55,5 6, 3 37, 59 4,3 4,5,5 4 9 = 3,6 = 35 = 49, 8 = 645 = 64, 6 = = Υπολογίζουμε τα στατιστικά,,, συέχεια. = = 3,6 = = 7 4,5, = και 35 = = 9,9 7 = = 64,6 7 4,5 9,9 = 6 = = ( 49,8 7 4,5 ) =, 4 = 6 ( 645 7 9,9 ) = 6, 7 = 6 = MSE = =,5 =,3 ( ) =, 6 6,6 = 6,7 =,5 5,4 (α) Για τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω ˆ = ˆ α + ˆ β έχουμε ˆ,6 β = = =, και ˆ α = ˆ β = 9,9, 4,5 = 9, 8,4 Άρα, το ζητούμεο γραμμικό μοτέλο περιγράφεται από τη εξίσωση ˆ = 9,8 +, = που θα μας χρειαστού στη Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 8
(β) Ερμηεία του βˆ : Επειδή ˆ β =, >, αύξηση του αριθμού τω καρπώ συεπάγεται αύξηση της απόδοσης βαμβακιού. Για κάθε επιπλέο άδα καρπώ η μέση απόδοση εκτιμάται ότι θα αυξάεται κατά, μπάλες αά αγροτεμάχιο. Ερμηεία του αˆ : Δίει τη εκτίμηση της μέσης απόδοσης για = (δηλαδή, για μηδέ καρπούς). Επειδή όμως η τιμή είαι εκτός του εύρους τω πειραματικώ δεδομέω αλλά και επειδή με όρους του φυσικού προβλήματος δε έχει όημα (α ααμέουμε απόδοση από μηδέ καρπούς), η εκτίμηση αυτή δε είαι μια αξιοποιήσιμη πρόβλεψη και ασφαλώς δε έχει όημα. (γ) Το ζητούμεο ( α)% διάστημα εμπιστοσύης δίεται από το τύπο ˆ β ± SE ( ˆ) β t ; α,3 Όπου, α =, 5 και SE ( ˆ) β = = =, 45,4 6 Άρα έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη κλίση του μοτέλου είαι, ±,45t ή, ±,45, 57 ή, ±, 6 ή [,94 3,6] 5;.5 Αυτό σημαίει ότι για κάθε επιπλέο άδα καρπώ είμαστε 95% βέβαιοι ότι η μέση απόδοση θα αυξάεται από,94 έως 3,6 μπάλες αά αγροτεμάχιο. (δ) O συτελεστής προσδιορισμού είαι,6 r = = =,8.,4 6,7 Δηλαδή, ο αριθμός τω καρπώ (κατά το μέσο της καλλιεργητικής περιόδου) εξηγεί μέσω του γραμμικού μοτέλου το 8% της συολικής μεταβλητότητας της απόδοσης του βαμβακιού. (ε) Θα κάουμε το έλεγχο της υπόθεσης H : β έατι της H : β = όπου β η κλίση της ευθείας παλιδρόμησης. Η απορριπτική περιοχή του ελέγχου ορίζεται από τη αισότητα ˆ β β t, α Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 9
, 7 και επειδή για επίπεδο σηματικότητας α = 5% η τιμή = 4, 64 που,3, παίρει η στατιστική συάρτηση ελέγχου αήκει στη απορριπτική περιοχή αφού, 7 = 4,64 t 5 ;.5 =,57, η μηδεική υπόθεση απορρίπτεται, δηλαδή σε,3, επίπεδο σηματικότητας 5%, το μοτέλο που προσαρμόσαμε είαι στατιστικά σηματικό. Αυτό σημαίει ότι ο αριθμός καρπώ (κατά το μέσο της καλλιεργητικής περιόδου) μέσω του γραμμικού μοτέλου συεισφέρει στατιστικά σηματικά στη πρόβλεψη της μέσης απόδοσης βαμβακιού. (στ) Για = 4, το μοτέλο που προσαρμόσαμε στα πειραματικά δεδομέα προβλέπει ˆ = 9,8 +, 4, = 8, 6 μπάλες αά αγροτεμάχιο. Αυτό σημαίει ότι α στο μέσο της καλλιεργητικής περιόδου καταμετρηθού 4 καρποί, η ααμεόμεη απόδοση βαμβακιού εκτιμάται (προβλέπεται) ίση με 8,6 μπάλες αά αγροτεμάχιο. Έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για αυτή τη εκτίμηση δίεται από το τύπο ˆ ± ( ˆ ) t ; α όπου, ˆ = 8, 6 και ( ) (4, 4,5) ( ˆ ) = =.5 =,3 ( ) + 7 6,4 + δηλαδή, 8,6 ±,3t 5;, 5 ή 8,6 ±, 3. Αυτό σημαίει ότι για αριθμό καρπώ 4 (στο μέσο της καλλιεργητικής περιόδου) το διάστημα [ 7,39 9,85] περιέχει τη μέση απόδοση βαμβακιού με πιθαότητα 95%. (ζ) Για = 7 το μοτέλο προβλέπει ˆ = 9,8 +, 7 = 4, 5 μπάλες αά αγροτεμάχιο όμως αυτή η εκτίμηση δε είαι μια καλή και αξιοποιήσιμη πρόβλεψη γιατί η τιμή = 7 βρίσκεται εκτός του εύρους τω πειραματικώ δεδομέω. Στο σχήμα που ακολουθεί φαίεται το διάγραμμα διασποράς τω δεδομέω, το γραμμικό μοτέλο που προσαρμόσαμε και η 95% ζώη εμπιστοσύης. Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος