Περιεχόµενα Ολοκληρώµατα. ιπλό Ολοκλήρωµα...................... i
Κεφάλαιο Ολοκληρώµατα. ιπλό Ολοκλήρωµα Ι. Πάνω σε ορθογώνιο Εστω f : R α, β] γ, δ] R µία ϕραγµένη συνάρτηση στο ορθογώνιο R. Ορίζουµε µία διαµέριση του ορθογωνίου R, ως εξής : P α, ξ, ξ,..., ξ n, β}, P γ, n, n,..., n n, δ}, µε α ξ < ξ <... < ξ n < ξ n β µε γ n < n <... < n n < n n δ διαµερίσεις των διαστηµάτων α, β], γ, δ], αντίστοιχα, δηλαδή α, β] Το σύνολο δ n m ξ i, ξ i ], γ, δ] n j, n j ] i j η j η j γ α ξ i ξ i β R ij : i n, j m},
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκληρώµατα όπου R ij ξ i, ξ i ] n j, n j ] είναι µία διαµέριση του ορθογωνίου R. Εστω και A(R ij ) : το εµβαδόν του R ij (ξ i, ξ i )(n j, n j ) M ij sup R ij f(, ), m ij inf R ij f(, ) Αν P µία τυχούσα διαµέριση του R, ορίζουµε : n m U(f, P ) : M ij A(R ij ) : άνω άθροισµα L(f, P ) : i j n i j m m ij A(R ij ) : κάτω άθροισµα Επίσης ορίζουµε (αποδεικνύεται ότι υπάρχουν) fd(a) : inf U(f, P ) : άνω ολοκλήρωµα της fστο R. R P fd(a) : sup L(f, P ) : κάτω ολοκλήρωµα της fστο R. R P Ορισµός Η f ϑα λέγεται ολοκληρώσιµη στο ορθογώνιο R, όταν fd(a) fd(a) R R Ο αριθµός R fd(a) R fd(a) λέγεται διπλό ολοκλήρωµα της f στο R και συµβολίζεται fd(a) ή f(, )dd R R Ιδιότητες του διπλού ολοκληρώµατος Εχει τις ίδιες ιδιότητες µε το (απλό) ορισµένο ολοκλήρωµα. π.χ. i. (λ f (, ) + λ f (, )) dd λ f (, )dd + λ f (, )dd
. ιπλό Ολοκλήρωµα 3 ii. f(, )dd f(, ) dd Αν l k k, k : κλ. ορθ., ανά δύο δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηµεία, τότε f(, )dd ιαδοχικά ολοκληρώµατα Ορίζονται ως l k k f(, )dd β δ α γ δ β γ α f(, )dd f(, )dd β ] δ α γ f(, )d d δ ] β γ α f(, )d d µε την υπόθεση ότι υπάρχουν τα επιµέρους (απλά) ορισµένα ολοκλη- ϱώµατα. Θεώρηµα... Εστω f : α, β] γ, δ] R συνεχής τότε υπάρχουν : f(, )dd, β δ α γ f(, )dd, δ β γ α f(, )dd και είναι ίσα. ΙΙ. Σε ϕραγµένο υποσύνολο του R Εστω f : R R ϕραγµένη συνάρτηση, ορισµένη στο ϕραγµένο σύνολο R. Εστω R κλειστό ορθογώνιο του R τέτοιο ώστε R (το R υπάρχει, αφού ϕραγµένο). Θεωρούµε τη συνάρτηση f : R R όπου f(, ) f(, ), (, ), (, ) R δηλαδή η f είναι µία επέκταση της f στο R, προφανώς ϕραγµένη.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκληρώµατα R Ορισµός Η συνάρτηση f λέγεται ολοκληρώσιµη στο όταν η f είναι ολοκλη- ϱώσιµη στο R και ορίζουµε f(, )dd R f(, )dd Αποδεικνύεται ότι το ολοκλήρωµα f(, )dd είναι ανεξάρτητο από το ορθογώνιο R. Θεώρηµα... Αν η f : R R είναι συνεχής, τότε είναι ολοκληρώσιµη στο R. Το διπλό ολοκλήρωµα παριστάνει γεωµετρικά τα εξής : (i) dd εµβαδόν του R R (ii) R f(, )dd όγκος του στερεού Σ(f, R), όπου Σ(f, R) είναι το στερεό : Παραδείγµατα ), ], 3], f(, ) + cos(π)
. ιπλό Ολοκλήρωµα 5 z f(, ) f(, )dd 5 6 3 ( + 3 cos(π) ) dd + cos(π) ] 3 d ( 5 + 65 ) cos(π) d 5 6 3 65 ] π cos(π) ) Να ϐρεθεί ο όγκος του στερεού Σ(f, R), όπου, ], ], f(, ) + V f(, )dd ( + )d + ] 3. ( + )dd ] + d
6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκληρώµατα Πολικές Συντεταγµένες Εστω O ο πόλος. Με αφετηρία το O σχεδιάζουµε τον πολικό άξονα, κατά αντιστοιχία µε τον ϑετικό ηµιάξονα στις Καρτεσιανές συντεταγµένες. Ενα τυχαίο σηµείο P του επιπέδου µπορεί να περιγραφεί απο ένα Ϲεύγος πολικών συντεταγµένων (r, θ), όπου το r δείχνει την κατευθυνόµενη απόσταση του P απο το O και το θ δείχνει την κατευθυνόµενη γωνία του OP µε τον πολικό άξονα (θ > όταν διαγράφεται αριστερόστροφα και θ < όταν διαγράφεται δεξιόστροφα). Συσχετισµός πολικών και καρτεσιανών συντεταγµένων r cos θ, r sin θ, + r, tan θ Ασκήσεις ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα : I ( + )dd :,
. ιπλό Ολοκλήρωµα 7 Εφαρµόζουµε τον πολικό µετασχηµατισµό : T : r cos θ, θ π r sin θ, r. I r rdrdθ r ] dθ dθ π 8. ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα : I + dd :, Αν ( ) + θ π T G r Εφαρµόζουµε τον πολικό µετασχηµατισµό : T : r cos θ r sin θ Η εξίσωση του ηµικυκλίου σε πολικές συντεταγµένες είναι : r r cos θ, δηλαδή r cos θ. Άρα θ π και r cos θ.
8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκληρώµατα I 8 3 cos θ 8 3 sin θ rrdrdθ cos θ( sin θ)dθ 8 3 ] π 8 sin 3 ] π θ 3 3 r 3 ] cos θ dθ 8 3 cos θdθ 8 3 8 3 8 9 6 9. cos 3 θdθ sin θd sin θ 3) Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωµα : dd, όπου (, ) :,, + } R που ϐρίσκεται στο πρώτο τεταρτηµόριο και περιέχεται µεταξύ των αξόνων O, O και της περιφέρειας του κύκλου +. Παρατηρούµε ότι το είναι απλό σύνολο, δηλαδή (, ) :, ] και } (, ) :, ] και } Ετσι έχουµε : dd dd Το πρώτο διαδοχικό ολοκλήρωµα υπολογίζεται ευκολότερα ως εξής : dd dd ] d 3 ] 3. ( )d
. ιπλό Ολοκλήρωµα 9 Σηµείωση: Ο υπολογισµός του ολοκληρώµατος d µπορεί να γίνει εάν ε- ϕαρµόσουµε το µετασχηµατισµό : t, t (, ) t ή sin t. + Θεώρηµα..3. Εστω f : R R συνεχής στο ( απλό) ή υπάρχουν πεπερασµένα σηµεία ασυνέχειας, τότε υπάρχουν τα : f(, )dd, β α Εφαρµογή φ () φ () f(, )dd και είναι ίσα. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα cos dd, όπου είναι το υποσύνολο του R που ϐρίσκεται µεταξύ της παραβολής και της ευθείας +. Το είναι - απλό : (, ) :, ] και + } cos dd + sin( cos dd + ) sin sin ] + d ] d Ασκήσεις ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα : I + + dd, όπου (, ) R : + α, + β, } Εφαρµόζουµε τον πολικό µετασχηµατισµό : r cos θ T : r sin θ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκληρώµατα Από + α r α r α + β r β r β Άρα α r β. Από r sin θ θ π. θ T π r cos θ r sin θ (r, θ) (, ) α β r α β + π + dd β α β α r cos θ + r sin θ r rdrdθ (cos θ + sin θ)drdθ (β α) ) Να ϐρεθεί το εµβαδόν A() του συνόλου που περικλείεται από την παραβολή και τις ευθείες,. Επίσης, να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού Σ(f, ) όπου f(, ) 3+ 6. (, )
. ιπλό Ολοκλήρωµα z Το σύνολο είναι -απλό : (, ) :, ] και } V A() dd 3 3 ] 3. ] 3 + dd 6 3 ( ] d dd 3 3 + 6 + 3 ) ( ( ) d ) 3 + dd 6 d 56 5 6 3. 3) Να υπολογιστεί το εµβαδόν του συνόλου R που περιβάλλεται από τις καµπύλες µε εξισώσεις : e,,,. Επίσης, να υπολογιστεί και ο όγκος του στερεού Σ(f, ), όπου f : R R µε f(, ) + +. Το σύνολο είναι -απλό : (, ) :, e }.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκληρώµατα A() e dd ] e e e 3 dd (e )d z f(, ) z ++ e V ( + + )dd + +... e + 7e ] e e 5 d e ( + + )dd (e + e + e 3 )d ) Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωµα I dd όπου : (, ) :,, + 5, 3 + }.
. ιπλό Ολοκλήρωµα 3 3 3 + 5 5 Το σύνολο είναι -απλό : (, ) : 3, 3 5 }. dd Αλλος τρόπος 3 3 5 3 dd 3 (5 6 9 )d (75 5) 5. ] 5 d 3 5 5 9 3 ] 3 3 Το είναι και στοιχειώδες σύνολο :, όπου (, ) :, 3 }, (, ) : 5, 5 } και απλό. Ετσι : dd dd + dd 3 dd +... 6 + 9 5. 5 5 dd 5) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα I dd όπου είναι η καρδιοειδής (, ) R : + + }.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκληρώµατα Για : + ± ( + ) ή Για : ± ( + ) ( ) ή ή Εφαρµόζουµε τον πολικό µετασχηµατισµό : r cos θ, θ 3 π r sin θ, r ( cos θ) 3 π ( cos θ) 3 π I r sin θdrdθ 8 ( cos θ) 3 d( cos θ) 3 8 ] 3 ( ( cos θ) π 8 ) ( + ) + 3 3 3 Ληµνίσκος: ( + ) ( ) Εφαρµόζουµε τον πολικό µετασχηµατισµό : r cos θ r sin θ
. ιπλό Ολοκλήρωµα 5 r r(cos θ sin θ) r cos θ Για : ± A() A( ) A( ) A() cos θ rdrdθ tan θ θ π cos θdθ sin θ] π. 6) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα : I ( + + ) 3 dd όπου είναι το τετράγωνο : (, ) :, }. r
6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκληρώµατα I I + I ( + + ) 3 dd + ( + + ) 3 dd I cos θ π : ( + cos θ r cos θ, θ π r sin θ, r cos θ ( + r ) 3 rdrdθ ) ] dθ d sin θ sin θ π arcsin sin θ ] π π arcsin + arcsin π π 6 π I π π sin θ ( + r ) 3 rdrdθ π ] sin θ dθ π ( + sin θ) + π + arcsin cos θ ] π Άρα π π π 6 π π I I + I π + π I π 6 ( + r ) ] cos θ dθ cos θ sin θ dθ ] ( + r ) d cos θ cos θ ] sin θ dθ 7) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα : I e ( + ) dd Είναι + Εφαρµόζουµε τον πολικό µετασχηµατισµό : r cos θ r sin θ
. ιπλό Ολοκλήρωµα 7 Άρα + r και θ π I e r rdrdθ e r ] dθ (e )dθ e π π( e ) 8) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα : I e dd Είναι +
8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκληρώµατα Άρα I e dd e ( ) ( ) d e e ] (e8 ) ] d 9) Υπολογίστε το εµβαδόν του επιπέδου χωρίου που ϐρίσκεται στο ε- σωτερικό του Ληµνίσκου : ( + ) α( ) Εφαρµόζουµε τον πολικό µετασχηµατισµό : r cos θ r sin θ r α r cos θ r α cos θ Είναι α cos θ A() rdrdθ α cos θdθ α sin θ] π α. ) Να αποδείξετε ότι ισχύει : 3 e dd 3 e, όπου (, ) :, + }. Είναι + + e e e + e e e e e Είναι + e dd + dd + dd ( + )d + 3 ] + d ] 3
. ιπλό Ολοκλήρωµα 9 Και + e dd + e dd + e dd e ] + d e ( + )d ] e + 3 e 3 ηλαδή 3 e dd 3 e ) Να υπολογίσετε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα : I α α ( α ) 3 dd α Υπολογίζεται µε αλλαγή τάξης ολοκλήρωσης Αν απλό τότε υπολογίζεται δύσκολα. Αν απλό τότε : (, ) : α, α }.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκληρώµατα I Είναι α α ( α ) 3 α dd α α ( α ) ] 3 α d ( α ) d (α + α )d α + 5 5 3 α 3 α 5 + α5 5 3 α5 8α5 5. ] α