1. O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES 1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE

O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE MATEMÁTICA II 06 Exames e Textos de Matemática de Pepe Sacau ten unha licenza Creative Commons Atribución Compartir igual 40 Internacional Define-se un vector fixo AB do espazo tri-dimensional como unha flecha orientada, que ten orixe no ponto A e extremo no ponto B O vector fixo posúe trés características, que son: i módulo do vector: é a lonxitude da flecha e indica-se por AB ; ii direción do vector: é a recta do espazo que contén a flecha, ou calquer outra recta parelela a esta; iii sentido do vector: entende-se por tal cada unha das duas posibilidades de percorrer a recta que determina a direción do vector O vector que ten orixe e extremo coincidentes, chama-se vector nulo Este vector ten módulo cero e carece de direción e sentido Di-se que dous vectores fixos CD AB e son equipolentes : AB e CD teñen o mesmo módulo, direción e sentido Tal relación de equipoléncia indica-se da forma AB CD Define-se un vector libre [ AB ] como o conxunto de todos os vectores fixos que son equipolentes ao vector fixo AB, é dicer, o conxunto de todos os vectores fixos que, independentemente da sua posición no espazo orixe e extremo, teñen igual módulo, direción e sentido que o próprio AB Cada elemento deste conxunto que denominamos vector libre é un representante do vector libre [ Asi, AB ] dous vectores fixos equipolentes determinan o mesmo vector libre Designaremos por V ao conxunto dos vectores libres do espazo, e de agora en diante falaremos simplesmente de vectores para referir-nos aos vectores libres, agás que se especifique o contrário Para evitar particularizar un vector libre en algún dos seus u ou similar representantes, designaremos os vectores libres da forma

MATEMÁTICA II 06 O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES O conxunto V está dotado dunha estrutura de espazo vectorial, definindo as seguintes operacións: i Suma de vectores libres: esta operación define-se de forma gráfica, utilizando a "regra do paralelogramo" ii Produto dun escalar por un vector libre: o produto dun escalar α 0 por un vector u, define-se como outro vector que ten as seguintes características: igual direción u, o mesmo sentido que u se α> 0 e sentido contrário se α< 0 e módulo que α veces o módulo de u Se α0, o produto α u é o vector nulo, que non ten direción nen sentido, e ten módulo 0 Pode demostrar-se sen dificuldade que estas duas operacións, definidas de forma gráfica, cumpren as propriedades requeridas para conformar un espazo vectorial, chamado espazo vectorial dos vectores libres do espazo Un conxunto B formado por trés vectores non coplanares forman o que se denomina unha base do espazo V A idea de base implica duas condicións: i B é un conxunto linearmente independente; ii B é un conxunto xerador, é dicer, calquer vector do espazo V é combinación linear dos vectores de B u, u, u } é unha Polo tanto, se o conxunto B u poderá base de V, entón calquer vector obter-se como combinación linear dos seus u x u + y u + z u Os escalares vectores, ou sexa, existen x, y, z ℝ tais que u, u, u } u a respeito da base B x, y, z chaman-se coordenadas do vector

MATEMÁTICA II 06 É imediato demostrar que as coordenadas dun vector son únicas para cada base que se u ten como coordenadas x, y,z e tamén manexe: supoñamos que o vector B u, u, u } Isto significa que x ',y ', z ', a respeito dunha base u x u + y u + z u e tamén que u x ' u + y ' u +z ' u Se restamos ambas expresións resulta x x ' u +y y ' u + z z ' u O Pero como os vectores da base B forman un conxunto independente, a única posibilidade de obter o vector nulo a partir deles é que sexan nulos os escalares, é dicer: x x ' y y ' z z ' 0, que equivale a afirmar que xx ', y y ', zz ' A conclusión é que dada unha base e un vector libre, existe unha única forma de obter tal vector como combinación linear dos da base, é dicer, o vector ten coordenadas únicas a respeito da base escollida Isto permite-nos identificar cada vector coas suas coordenadas a respeito dunha base pré-fixada Asi, se temos unha base B e un vector u que ten por coordenadas x, y,z, diremos simplesmente que u x,y, z En particular, se os vectores da base son unitários de módulo e perpendiculares entre si ortogonais, dise que é unha base ortonormal Unha base destas características é a que usaremos habitualmente, agás que se indique o contrário, e referiremo-nos a ela como a base canónica do espazo vectorial V Esta base k }, unitários e está formada por trés vectores Ci, j, ortogonais, e representaremo-la como se indica no gráfico adxunto Expresados nunha base calquer, a suma de vectores e o produto dun vector por un escalar toman a seguinte forma: i Suma de vectores libres u x u + y u + z u e v x ' u + y ' u +z ' u, entón o vector suma será: Se u+ v x u + y u + z u +x ' u + y ' u + z ' u x + x ' u +y + y ' u +z+ z' u u x,y, z e v x ', y ', z ', entón Expresado en termos de coordenadas: se u+ v x + x ', y + y ', z+ z ' ii Produto dun escalar por un vector libre u x u + y u + z u e α ℝ, o produto resulta: Se α u α x u + y u +z u α x u +α y u +α z u u x,y, z e α ℝ, entón α u α x, α y,α z Usando coordenadas resulta: se u,, 0 e v 4,,, expresados a respeito da base B u, u, u }, obter as 4 u v Se os vectores da base B son u,, 0, u, 0, e u 0,, coordenadas do vector w a respeito desta mesma base a respeito da base canónica, obter as coordenadas do vector w Ex Dados os vectores 7 4 u v 4,, 0 4,, 4, 8,0,, 6,, A respeito da base B o vector será w Se queremos obter as coordenadas deste mesmo vector a respeito da base canónica abonda con interpretar o 7 7 w 6,, 6 u + u + u conceito de coordenadas; deste xeito temos: 7 7 7 9 5 6,, 0 +, 0, + 0,, 6, 6, 0+,0, +0,,, 7, 6, poderá expresar-se como w Asi que o vector w respeito da base canónica 7 9 5, a respeito da base B e como w,7, a

MATEMÁTICA II 06 PRODUTO ESCALAR DE VECTORES LIBRES DEFINICIÓN E PROPRIEDADES u e v, define-se o produto escalar da seguinte forma: Dados dous vectores libres V V ℝ cos u, v u, v u v : u v O produto escalar posúe as seguintes propriedades: u 0 ; e ademais i Definida positiva: u V u u ² u u u ² u u u v v u ii Comutativa: u, v V u u v u α v iii Homoxénea: u, v V α ℝ α u v α iv Distributiva a respeito da suma de vectores libres: V u, v, w u v + w u v + u w v Ortogonalidade: u, v V / u, v O u v u v 0 EXPRESIÓN ANALÍTICA As propriedades descritas anteriormente permiten obter unha fórmula para o cálculo do produto escalar de dous vectores a partir das suas expresións en coordenadas a respeito dunha base de V u x u + y u + z u e v x ' u + y ' u + z ' u, ou equivalentemente Sexan os vectores u x,y, z e v x ', y ',z ', expresados na base u, u, u } v x u +y u + z u x ' u +y ' u +z ' u E usando as propriedades anteriores resulta: u xx ' u u +xy ' u u +xz ' u u +yx ' u u +yy ' u u +yz ' u u +zx ' u u +zy ' u u +zz ' u u k }, a fórmula reduce-se a No caso de que a base utilizada sexa a canónica Ci, j,, xá que os produtos, e son nulos e os produtos i i, u v xx ' +yy ' +zz ' i j i k j k j j e k k son Esta fórmula coñece-se como expresión analítica do produto escalar a respeito dunha base ortonormal, e permite desenvolver os seguintes procedimentos: u u u, se i Cálculo do módulo dun vector: xá que u u u x² +y² +z² u x, y, z, entón x, y, z, ii Normalización dun vector: se u entón u x, y,z é un vector unitário de módulo u x² +y² +z² o vector iii Cálculo do ángulo determinado por dous vectores: se u x, y, z e v x ', y ',z ' xx ' + yy ' + zz ' u, v entón cos x² + y² +z² x ' ² + y ' ² +z ' ² u iv Ortogonalidade de vectores: se u v u v 0 xx ' + yy ' +zz ' 0 4 e v son vectores non nulos,

MATEMÁTICA II 06 INTERPRETACIÓN XEOMÉTRICA Se denominamos p á proxeción ortogonal u sobre o vector v, resulta que: do vector p u cos u ^, v Ao multiplicar polo módulo de v obtén-se: v p u v cos u ^, v u v Logo a proxeción de u sobre v é p u v v u v Se ademais o vector v fose unitário, entón a proxeción será p Se u x, y, z son as coordenadas dun vector a respeito da base canónica Ci, j, k } e calculamos o produto escalar u por cada un dos vectores da base, de obtemos respectivamente as trés u Cada unha delas coordenadas de u representa, polo tanto, a proxeción de sobre cada un dos vectores i, j e k : x u i, y u j e z u k Ex Dados os vectores u5,, e v,0,, expresados a respeito da base canónica, obter o seu produto escalar, os seus módulos, o ángulo que forman e a proxeción de u sobre v Obter un vector unitário de igual direción que u e sentido contrário Ao estar expresados a respeito da base canónica o produto escalar é: u v 5,,, 0, 5 + 0 + 5 + 8 Os módulos son u 5 + + 5 +4+9 8 e v +0 + u v 8 8 4 9 ^,v O ángulo será: cos u, logo é un ángulo agudo por ter coseno positivo u v 8 76 9 u v 8 A proxeción de u sobre v é p 4 v 5 u 5,,,, O vector unitário de igual direción e sentido oposto obtén-se facendo u 8 8 8 8 Ex Obter as proxecións do vector u 4,, sobre os vectores da base canónica Como a base canónica está formada por vectores unitários, as proxecións obteñen-se simplesmente multiplicando escalarmente o vector u por cada un dos vectores da base: p x 4,,,0, 0 4, p y 4,, 0,, 0 e p z 4,, 0, 0, Evidentemente obtemos as coordenadas x, y e z do próprio vector u 5

MATEMÁTICA II 06 PRODUTO VECTORIAL DE VECTORES LIBRES DEFINICIÓN, PROPRIEDADES E EXPRESIÓN ANALÍTICA u e v, define-se o produto vectorial da seguinte forma: Dados dous vectores libres V V V u v é un vector que ten as seguintes características:, onde u, v u v u v : u i Módulo de v u v sen u, v u v : perpendicular ao plano determinado polos vectores u e v ii Direción de u v : o sentido do vector iii Sentido de desparafusador" ou tamen da man direita u v ven indicado pola "regra do No caso de que algún dos vectores sexa o vector nulo, ou ben se os vectores forman un u v é o vector nulo conxunto linearmente dependente, entón O produto vectorial posúe as seguintes propriedades: v v u i Anti-comutativa: u, v V u α v ii Homoxénea: u, v V α ℝ α u v α u v u V u v +w u v + u w iii Distributiva a respeito da suma: u, v, w Se traballamos nunha base ortonormal e as coordenadas dos vectores son u x, y, z e u v obtén-se calculando o determinante v x ', y ',z ', entón o produto vectorial i j k u v x y z x' y ' z' INTERPRETACIÓN XEOMÉTRICA u e v determinan un Dous vectores libres paralelogramo A sua área A obterá-se como o produto da lonxitude da base b pola altura h A lonxitude da base é o módulo do vector v e a altura é o produto do módulo de u polo seno do ángulo que determinan ambos vectores, logo: Ab h u v sen u, v u v Asi, a área do paralelogramo determinado polos u e v é o módulo do produto vectorial de ambos vectores u e v será: Como consecuéncia imediata disto, a área do triángulo determinado por At b h u v Ex 4 Obter dous vectores unitários e ortogonais a u,, e v, 0,4 e a área do triángulo determinado por u e v O produto escalar u v dá por definición un vector perpendicular a ambos; logo: i j k u v 8 i 5 j 6 k 8, 5, 6 0 4 O módulo deste vector é u v 8 + 5 + 6 5 ; logo os w 8, 6, 5 e w 8, 6, 5 5 5 5 5 5 A área do triángulo determinado polos vectores u e v é A u v 6 dous vectores pedidos son

MATEMÁTICA II 06 4 PRODUTO MISTO DE TRÉS VECTORES LIBRES 4 DEFINICIÓN, PROPRIEDADES E EXPRESIÓN ANALÍTICA O produto misto de trés vectores define-se da seguinte forma: V V V ℝ ]: u, v, w [ u, v, w u v w Esta operación posúe as propridades seguintes: V [ u, v,w ] [ v,u,w ] i Permutación de vectores: u, v, w V [ u, v,w ][ v,w, u ][ w, u, v] ii Rotación de vectores: u, v, w iii Homoxénea: V α ℝ [α ][ ][u, v,α w ]α [ v, u, w ] u, v, w u, v,w u, α v, w iv Distributiva a respeito da suma de vectores: u, u, v,w V [ u + u, v, w ][ u, v, w ]+[ u, v,w ] [ u, v, w V O ]0 o v Co-planariedade de vectores: u, v, w u, v,w u, v, w } é linearmente dependente u, v, w } é un conxunto de conxunto vectores co-planares x ' ', y ' ',z ' ', a Se os vectores teñen coordenadas u x, y, z, v x ', y ', z ' e w respeito dunha base ortonormal, entón o produto misto obtén-se como un determinante: x y z ] x ' [u, v, w y' z' x ' ' y ' ' z' ' 4 INTERPRETACIÓN XEOMÉTRICA Trés vectores non co-planares determinan un paralelepípedo O seu volume V é o produto da área A da sua base pola altura h Xá que a base da figura está determinada polos vectores v e w, a área é o módulo do produto vectorial v w A altura do paralelepípedo é a proxeción u sobre o vector v w, que é do vector u v w perpendicular á base: h v w u v w [ ] u v w u, v,w Logo o volume será: V A h v w v w u, v e w é a sexta parte do paralelepípedo, polo Ademais, o tetraedro determinado por ] u, v,w tanto o seu volume é V t [ 6 [Nota: As expresións que dan o volume han de tomar-se en valor absoluto, para obter volumes positivos] Ex 5 Estudar se os vectores u, 4,0, v 5,, calcular o seu volume u, v,w ] 5 O produto misto dos trés vectores é [ 0 que determinan un tetraedro 60 ] 0 u v,w O seu volume será V [ u, 6 6 0,, determinan un tetraedro e, en caso afirmativo, e w 4 0 60 0, e polo tanto, non son vectores coplanares, asi 7

MATEMÁTICA II 06 5 O ESPAZO AFIN 5 COORDENADAS DUN PONTO Entendemos por espazo afín tri-dimensional E³ o conxunto formado polos pontos, rectas e planos no espazo clásico de trés dimensións Para realizar o estudo deste espazo é necesário identificar esas figuras mediante ecuacións Con esta fin, imos dotar ao conxunto E³ dun sistema de referéncia, que consiste no seguinte: escolleremos un ponto O que será a orixe de referéncia e unha base ortonormal Ci, j, k }, tal e como foi descrita no início do tema O conxunto formado por estes catro elementos RO, i, j, k } é un sistema de referéncia ortonormal do espazo afín tri-dimensional Dado calquer ponto A de E³, podemos obter o vector OA, que ten a sua orixe en O e extremo en A Este vector chama-se vector de posición do ponto A O vector OA, contemplado como vector libre, pode expresar-se como combinación linear dos vectores i, j, k }, da forma OAx i + y j + z k Os escalares x, y e z son as coordenadas do vector OA a respeito da base C i, j, k } ; asi, diremos que x, y, z son as coordenadas do ponto A a respeito do sistema de referéncia RO, i, j, k} Conforme este modelo, dados dous pontos A e B, de coordenadas Ax 0,y 0, z0 e B x,y,z o vector AB é a diferenza entre os vectores de posición OA e OB e polo tanto AB x x 0 i + y y 0 j + z z 0 k, ou o que é o mesmo, o vector AB ten coordenadas AB x x 0, y y 0, z z 0 Ex 6 Dado o paralelogramo ABCD, no que se coñecen os vértices A,, 4, B,,0 e C,0,, obter as coordenadas do vértice D, as coordenadas do ponto médio do lado AB e as coordenadas do ponto de corte das duas diagonais Os lados BA e CD son iguais, e polo tanto tamén son iguais os vectores BA e CD Asi que as coordenadas do ponto D serán as coordenadas do seu vector de posición OD, que se pode obter vectorialmente como: OD OC+ CD OC+ BA, 0, +, 5,4,5, 7 ; logo D, 5,7 O ponto médio M do lado AB obtén-se do xeito: 5 OM OB+ BA,, 0+, 5, 4,,0 +,,,, ; polo tanto M,, 7 OG OA + AC,, 4+,,,, 4+,, 0,, O ponto de corte das diagonais será, 7 logo G 0,, 8

MATEMÁTICA II 06 5 ECUACIÓNS DA RECTA Unha recta r fica completamente determinada se identificamos algún ponto que pertenza a ela e a sua direción Se Ax 0, y 0, z0 r e u a,b,c é un vector que indica a direción de r, di-se que r A, u é unha determinación linear da recta r Partindo desta determinación a ecuación vectorial da recta é: OX OA+t u, ou de xeito equivalente: x, y, z x 0, y 0,z0 +t a,b,c Nesta ecuación x, y, z son as coordenadas de calquer ponto X ponto xenérico de r, x 0, y 0, z0 son as u e t é un coordenadas do ponto A, a, b,c son as coordenadas do vector director parámetro que toma valores libremente no conxunto ℝ x x 0 +ta r y y 0 +tb O desglose da ecuación vectorial dá as ecuacións paramétricas da recta: zz 0 +tc Ao resolver o parámetro t nas ecuacións paramétricas e igualar obtemos a ecuación x x 0 y y 0 z z0 contínua: r a b c Por último, se tomamos duas das igualdades que conforman a ecuación contínua, eliminamos denominadores e reducimos as expresións resultantes, pasando todo ao primeiro membro de xeito que se anule o segundo membro, aparece un sistema de duas ecuacións que se coñece co nome de ecuación xeral, implícita ou cartesiana de r x t Ex 7 Obter as ecuacións implícitas da recta r, que é paralela á recta s y t e contén ao ponto A,,0 zt A recta fica determinada por un ponto e un vector director Ao ser paralelas, r e s teñen a mesma direción e polo tanto podemos usar o vector director de s ; asi que a recta buscada é r A, us O vector us pode-se determinar de várias formas Unha delas consiste en observar os coeficientes de t nas ecuacións paramétricas de s, co que obtemos us,, Outra forma seria dar-lle dous valores a t, co que obtemos dous pontos B, C s, e o vector BC serve tamén como vector director: a recta r será: r A, us x, y,z,,0 +t,, en forma vectorial x t x y + z En forma paramétrica temos r y + t, e resolvendo t nas trés ecuacións, resulta r zt As implícitas obteñen-se eliminando denominadores: x y + z x z x+ z 0 e z y + z y z+0 x+ z 0 Reunindo ambas ecuacións resulta r y z+ 0 9

MATEMÁTICA II 06 xy Ex 8 Obter as ecuacións paramétricas e contínua da recta r, de ecuacións implícitas r x y z0 r xy x y 0, que é un sistema compatíbel indeterminado de rango : x y z0 x y z0 xy 0 0 0 M* 0 ; logo podemos expresar o sistema da forma, onde o menor e x zy 0 xy x y [] Se mudamos o parámetro y por t, temos resolvendo en función do parámetro y temos: x zy z0 xt z as paramétricas: r yt E de aquí, a ecuación contínua será: r x y 0 z0 Esta ecuación merece desde logo un comentário, xá que debemos interpretar corretamente o denominador nulo A y interpretación resulta evidente se facemos x x 0z z0 ; asi que realmente estamos a falar da recta 0 r xy z0 Nota []: É completamente inecesário resolver o sistema pasando polo estudo do rango e demais, mas convén ter claro que non sempre é posíbel escoller como parámetro calquer das trés variábeis; en particular neste caso non se pode escoller como parámetro z, xá que non é libre: z0 5 ECUACIÓNS DO PLA α Un plano determina-se identificando un ponto Ax 0, y 0, z0 α e dous vectores v a,b,c e wa ', b',c' que indican duas direccións non coincidentes do plano, ou v e w tal que equivalentemente, rang v,w } é unha Di-se que α A, v,w determinación linear do plano α A ecuación vectorial do plano determinado desta forma é: ou, OX OA+t u + s w equivalentemente x, y, zx 0, y 0,z0 +t a, b,c +s a ', b ',c ' Nesta ecuación x, y, z son as α coordenadas do ponto xenérico X de, x 0, y 0, z0 son as coordenadas de A, v e w,e t e s a, b, c e a ',b ',c ' son as coordenadas dos vectores directores son parámetros que toman valores en ℝ x x 0 + ta+sa ' α y y 0 +tb+sb ' Ao desglosar a ecuación vectorial obtemos as paramétricas: zz0 +tc+sc ' 0

MATEMÁTICA II 06 v e w son cooutra forma de obter o plano é pensar no seguinte: os vectores AX, 0, ou tamén: } Isto implica que det AX, planares e polo tanto rang AX, v,w v,w x x 0 y y 0 z z0 a b c 0 a' b' c' Ao calcular o determinante e reducir esta expresión, obtén-se unha ecuación da forma Ax + By +Cz +D0, que é a ecuación xeral ou implícita do plano Hai ainda outra via alternativa para obter a ecuación dun plano Sexa o ponto Ax 0, y 0, z0 α e sexa n A,B, C un vector perpendicular ao plano α ; entón α A, n chama-se determinación normal do plano α Xá que calquer vector AX contido no plano há de ser perpendicular ao vector n, o produto escalar de ambos vectores debe ser nulo, polo que a ecuación do plano virá dada pola expresión seguinte: n AX A,B,C x x 0, y y 0, z z0 A x x 0 + B y y 0 +C z z0 0 Ao desenvolver esta expresión resulta unha ecuación do tipo Ax + By +Cz +D0, co que n obtemos outra via que nos proporciona de novo a ecuación xeral do plano O vector α denomina-se vector normal do plano

MATEMÁTICA II 06 6 POSICIÓNS RELATIVAS Neste epígrafe estudarán-se as distintas configuracións espaciais que poden adoptar entre si as rectas e os planos no espazo afín Para isto utilizarán-se as ecuacións xerais das figuras e estudará-se a compatibiladade dos sistemas de ecuacións resultantes, que equivale a estudar o rango das matrices de coeficientes e ampliada de tal sistemas 6 POSICIÓNS RELATIVAS DE DOUS PLAS Sexan os planos de ecuacións α Ax +By +Cz +D0 e β A' x +B ' y +C ' z+ D' 0, e as A B C A B C D matrices de coeficientes M e ampliada M * A' B' C ' A' B ' C ' D ' rang M rang M * COMPATIBILIDADE Compatíbel indeterminado Incompatíbel Compatíbel indeterminado Planos coincidentes GRAUS DE LIBERDADE POSICIÓN RELATIVA Planos coincidentes Planos paralelos e distintos Planos secantes Planos paralelos INTERSECIÓN Plano Recta Planos secantes No primeiro caso, os dous planos teñen ecuacións equivalentes, polo que os coeficientes A B C D de α e β son proporcionais, isto é: A' B' C ' D ' [Nota: Nesta proporción admiten-se consecuentes nulos sempre que o sexan tamén os seus respectivos antecedentes] No caso de que os planos sexan paralelos A B C D resulta: A' B' C ' D ' Chama-se feixe de planos paralelos ao conxunto de todos os planos parelelos a un plano α dado Se α Ax +By +Cz +D0, segundo a condición anterior, calquer outro plano δ paralelo a α terá unha ecuación do tipo δ Ax +By +Cz+ k 0 O α feixe de planos paralelos a é Πδ Ax + By +Cz +k 0 / k ℝ}

MATEMÁTICA II 06 A recta interseción de dous planos secantes ten por ecuación xeral o sistema formado Ax +By +Cz +D0 polas ecuacións dos planos α e β : Ao resolver este sistema A ' x +B ' y +C ' z+d ' 0 obteñen-se as ecuacións paramétricas da recta interseción 6 POSICIÓNS RELATIVAS DE TRÉS PLAS Sexan os γ A' ' x +B ' ' y +C ' ' z+d' ' 0 A M * A' A' ' B B' B' ' C C' C' ' rang M rang M * β A' x +B ' y +C ' z+ D' 0 A B C M A ' B ' C ' matrices A' ' B ' ' C ' ' α Ax +By +Cz +D0, planos e as e e D D' D' ' COMPATIBILIDADE Comp indeterminado Incompatíbel Comp indeterminado Incompatíbel Comp determinado GRAUS DE LIBERDADE 0 POSICIÓN RELATIVA INTERSECIÓN Planos coincidentes Plano Planos paralelos [] Feixe de planos secantes [] Recta Planos secantes dous a dous [] Triedro Ponto Notas: [] Dous dos trés planos poden ser coincidentes; [] pode acontecer que cada plano corte aos outros dous formando un prisma, ou ben que dous deles sexan paralelos e corten ao outro Planos coincidentes Planos paralelos Planos secantes dous a dous prisma Planos secantes dous a dous dous paralelos Planos secantes feixe Planos secantes triedro

MATEMÁTICA II 06 No caso do feixe de planos secantes, a recta interseción denomina-se eixo do feixe e obtén-se resolvendo o sistema formado por duas ecuacións principais dos planos En xeral, entende-se por feixe de planos secantes o conxunto de todos os planos que conteñen a unha determinada recta Calquer plano deste conxunto obtén-se como combinación linear das ecuacións principais do sistema, da seguinte forma: se α Ax +By +Cz +D0 e β A' x +B ' y +C ' z+ D' 0 son duas ecuacións linearmente independentes do sistema, calquer outro plano δ deste feixe de planos secantes terá ecuación δ λ Ax +By +Cz +D+μ A' x +B ' y +C ' z +D ' 0 Asi, o feixe de planos secantes é o conxunto: Σδ λ Ax +By +Cz +D+μ A' x +B ' y +C ' z+d ' 0 / λ, μ ℝ} No caso do triedro, o ponto interseción calcula-se resolvendo o sistema formado polas trés ecuacións 4

MATEMÁTICA II 06 6 POSICIÓNS RELATIVAS DUNHA RECTA E UN PLA A' x +B ' y +C ' z +D ' 0 Sexan o plano α Ax +By +Cz +D0 e a recta r, co que A' ' x + B' ' y + C ' ' z+d ' ' 0 A B C se forman as matrices M A ' B ' C ' A' ' B ' ' C ' ' rang M rang M * COMPATIBILIDADE Comp indeterminado Incompatíbel Comp determinado A e M * A' A' ' B B' B' ' C D C ' D' C' ' D' ' GRAUS DE LIBERDADE POSICIÓN RELATIVA INTERSECIÓN A recta está contida no plano Recta r A recta e paralelos 0 o plano son Secantes Ponto Nota: É imposíbel que o rango de M sexa inferior a dous De ser asi as duas ecuacións que determinan a recta serian equivalentes e polo tanto non determinarian unha recta Recta contida no plano Recta paralela ao plano Recta e plano secantes O ponto interseción, no caso de seren secantes, calcula-se resolvendo o sistema de trés ecuacións Outra posibilidade é introducir as ecuacións paramétricas da recta na ecuación xeral do plano e resolver a ecuación resultante no parámetro t da recta 5

MATEMÁTICA II 06 64 POSICIÓNS RELATIVAS DE DUAS RECTAS Ax + By +Cz +D0 A' ' x+ B ' ' y +C ' ' z+d ' ' 0 Sexan r e s duas rectas e A' x +B ' y +C ' z +D ' 0 A' ' ' x + B' ' ' y +C ' ' ' z+ D' ' ' 0 A as matrices M A ' A' ' rang M rang M * C C' C' ' COMPATIBILIDADE Comp indeterminado Incompatíbel Comp determinado 4 Incompatíbel Rectas paralelas A A' e M * A' ' A' ' ' Rectas coincidentes 6 B B' B' ' GRAUS DE LIBERDADE 0 B B' B' ' B' ' ' C C' C' ' C'' ' D D' D' ' D' ' ' POSICIÓN RELATIVA Rectas coincidentes INTERSECIÓN Recta Rectas paralelas e distintas Rectas secantes cortan-se Ponto Rectas que se cruzan Rectas secantes Rectas que se cruzan

MATEMÁTICA II 06 7 ÁNGULOS E DISTÁNCIAS 7 ÁNGULOS Ángulo determinado por duas rectas Dadas duas rectas, define-se o ángulo determinado por ambas como o menor dos seguintes ángulos: o determinado polos vectores directores das duas rectas e o seu suplementar En calquer caso ambos ángulos teñen o mesmo coseno, en valor absoluto, polo que o ángulo buscado fica determinado polo signo positivo do coseno Asi que, se ur a, b,c e usa ',b ',c ' son os vectores directores das rectas r e s temos: aa ' + bb ' +cc ', logo o ángulo determinado polas a² + b² +c² a ' ² + b ' ² +c ' ² aa ' +bb ' +cc ' rectas r e s será θ r, sacos a² +b² +c² a ' ² +b ' ² +c ' ² cos ur, us cos r,s u s0 aa ' +bb ' +cc ' 0 i Perpendicularidade de duas rectas: r s ur ii Paralelismo de duas rectas: r s rang ur, us } os denominadores non sexan nulos a b c, sempre que a' b' c ' Ángulo determinado por dous planos Dados dous planos, define-se o ángulo determinado por ambos como o menor dos seguintes ángulos: o determinado polos vectores normais dos dous planos e o seu suplementar Utilizando o mesmo critério que no caso das rectas, se nα A, B,C e nβ A ',B ',C ' son os vectores normais dos planos α e β : AA ' + BB ' +CC ', logo o ángulo determinado polos A² +B² +C² A' ² +B ' ² +C ' ² AA ' +BB ' +CC ' planos α e β será θ α,βacos A² +B² + C² A' ² +B ' ² +C ' ² i Perpendicularidade de dous planos: α β nα nβ0 AA' + BB ' +CC ' 0 cos α,β cos nα, nβ ii Paralelismo de duas rectas: α β rang nα, nβ } os denominadores non sexan nulos A B C, sempre que A' B' C ' 7

MATEMÁTICA II 06 Ángulo determinado por unha recta e un plano Dados unha recta e un plano, define-se o ángulo determinado por ambos como o ángulo determinado pola recta e a sua proxeción ortogonal o plano Este ángulo é complementar do formado pola recta e a direción normal do plano, asi que se ur a,b,c é o vector director da recta e nα A, B,C o normal do plano, entón: aa+ bb+ cc, logo o ángulo determinado pola recta a² + b² +c² A² + B² +C² aa+bb+cc r e o plano α será θ r, αasen a² +b² + c² A² +B² +C² sen r, α cos ur, nα i Perpendicularidade de recta e plano: r α rang ur, nα } sempre que os denominadores non sexan nulos a b c, A B C ii Paralelismo dunha recta e un plano: r α ur nα0 aa+ bb+cc 0 7 DISTÁNCIAS Distáncia entre dous pontos A distáncia entre dous pontos A e B é o módulo do vector AB AB : d A,B Distáncia entre un ponto e un plano son un ponto e un vector normal Se A e n do plano, a distáncia dun ponto P ao plano é a proxeción do vector AP sobre o vector n, normal asi que: AP n Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D d P, α, con n A² +B² +C² P x 0, y 0, z0 e n A,B, C 8

MATEMÁTICA II 06 Distáncia entre dous planos paralelos Se α e β son dous planos paralelos e Aα α, resulta é un ponto do plano d α,βd Aα,β, de forma que este caso non é senón unha aplicación do anterior Distáncia entre un ponto e unha recta A distáncia entre un ponto P e unha recta r A, u coincide coa altura do paralelogramo determinado polos vectores AP u u, asi que d P, r AP e u Nota: Hai que lembrar a interpretación xeométrica do produto vectorial Distáncia entre duas rectas paralelas Este caso reduce-se a unha aplicación do anterior, sen mais que tomar un ponto calquer dunha das rectas e calcular a distáncia entre ese ponto e a outra recta, asi que d r, sd Ar, s, onde Ar r Distáncia entre duas rectas que se cruzan Se temos as rectas r Ar, ur e s As, us, entón α Ar, ur, us é o plano que contén ao ponto Ar e ten por vectores direcionais os vectores directores de r e s, e asi Ar As, ur, us ] [ d r, s ur us Nota: Hai que lembrar a interpretación xeométrica do produto escalar como proxeción 9

MATEMÁTICA II 06 8 DOUS PROBLEMAS CLÁSICOS 8 SIMÉTRICO DUN PONTO Dado un ponto P e un plano α, chama-se simétrico de P a respeito do plano ao ponto P ' tal que a recta PP ' sexa perpendicular a α e que estea á mesma distáncia do plano que o ponto P : PP ' α e d P, αd P ',α Á vista da definición resulta evidente que a condición da distáncia non é suficiente para determinar o ponto P ' O problema resolvese facilmente de xeito construtivo en trés pasos: i traza-se a recta perpendicular a α e que contén ao ponto P, r P, nα, onde nα é o vector normal de α ; ii obtén-se en segundo lugar o ponto Q, interseción de α e r ; OP ' OP + PQ iii finalmente calcula-se vectorialmente o ponto P ' facendo Define-se o ponto simétrico de P a respeito dunha recta r como o ponto P ' tal que a recta PP ' sexa perpendicular a r e que estea á mesma distáncia de r que o ponto P : PP ' r e d P, r d P ', r Este problema resolve-se semellante ao anterior: de xeito α P, ur, i traza-se o plano perpendicular a r e que contén ao ponto P, onde ur é o vector director de r ; ii obtén-se o ponto Q, interseción de α e r; OP ' OP + PQ iii finalmente calcula-se vectorialmente o ponto P ' facendo 0

MATEMÁTICA II 06 8 PERPENDICULAR COMÚN A DUAS RECTAS Dadas duas rectas que se cruzan, chama-se perpendicular común a aquela recta p que corta a ambas perpendicularmente Se r Ar, ur e s As, us son as duas rectas, a det Ar X, ur, ur us perpendicular común p terá as ecuacións implícitas: p det As X, us, ur us Abonda con pensar que estas son as ecuacións de dous planos que conteñen ás rectas r e s respectivamente Existe outra forma de resolver o problema utilizando as expresions paramétricas das rectas Sexan P r x +ta,y +tb,z +tc e P s x +sa ', y +sb ', z +sc ' dous pontos xenéricos das rectas r e s Se estabelecemos a condición de que ambos pontos pertenzan ademais á perpendicular común, entón o vector P r P s há de ser ortogonal aos vectores ur a,b,c e usa ',b ',c ' Polo tanto as duas ecuacións implícitas da perpendicular común a r e a s virán dadas P r P s ur 0 polas expresións: p P r P s us0

EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES Dados os vectores u,, 5 e v 6,, 0, achar: e v ; i os módulos de u u v; ii o produto escalar u e v; iii o coseno do ángulo determinado por u sobre v e a de v sobre u; iv a proxeción ortogonal de u v o valor de m para que o vector m,, sexa ortogonal a Estudar se B do espazo V,0,, 0,,,,,0 5 5 5 5 5 5 } é unha base ortonormal, que ten coordenadas,, a respeito da base Calcular o módulo do vector u π B u, u, u }, sabendo que u u u e que u, u u, u u, u u u +m u + u e v u + u + u 4 Calcular o valor de m para que os vectores sexan ortogonais, sabendo que B u, u, u } é unha base do espazo V tal que u u, u, u e u u4, u u, u u e v son vectores tal que u v 5 Se u v ² 9, calcular u+ v ² 5 e u+ v u v 7, calcular v 6 Se u 9 e 7 Calcular os valores de x e y para que o vector x, y, sexa ortogonal aos vectores,,0 e,, 8 Dados os vectores u,0,0, u 0,, e u a u +b u, que relación han de satisfacer a e b para que u? 9 Achar dous vectores unitários e ortogonais a,, e,, 0 Determinar os valores de a e b, con a>0, para que os vectores va, b, b, v b,a,b e v b, b,a sexan unitários e ortogonais dous a dous Demostrar que se dous vectores teñen igual módulo, entón o vector suma e o vector diferenza son ortogonais e v Dous vectores u u e v determinado por u v ² u v 9 Calcular o ángulo son tal que Determinar o vector ou vectores unitários v a,b,c, a, b,c >0, que forman un π π ángulo de 6 radiáns co vector u,, e 4 radiáns co vector w,0,

EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS 4 Dados u,, e v,, 4, achar: i os seus módulos; ii o seu produto vectorial; u e v; iii un vector unitário ortogonal a u e v iv a área do paralelogramo determinado polos vectores 5 Dados os vectores u,0,4 e v,0, α, para que valores de α o módulo do vector u+ v u v é 4? 6 Calcular o volume do paralelepípedo determinado polos vectores u,, v,,, e w,,0 Interpretar o resultado O ESPAZO AFÍN EUCLIDIA TRI-DIMENSIONAL 7 Calcular as coordenadas do ponto A, sabendo que AB,,4 e B5,,7 8 Comprobar se son equipolentes os vectores AB e CD, con A,,, B5,4,, C,,5 e D,, En caso negativo, dar un ponto D ' de forma que CD ' sexan equipolentes AB e 9 Calcular as coordenadas do ponto médio do segmento de extremos A,, 5 e B,, 7 0 Dados os vértices A,,6 e B6,,8, que determinan o segmento AB, calcular as coordenadas dos pontos que dividen a AB en duas partes iguais e dos pontos que o dividen en trés partes iguais ABC o baricentro é G,,, o ponto médio de BC é M,4,6 e o ponto médio de AC é N,, Calcular as coordenadas dos vértices A, B e C Nun triángulo Achar a ecuación da recta que contén aos pontos A,, 4 e B8,, Estudar se o ponto C,, está alineado con A e B Estudar se os pontos A,,, B5,4, e C,, están alineados 4 Demostrar a seguinte proposición: os pontos A, A, A,, An están alineados rang A A, A A,, A An } j k, con A,0,, v,w 5 Achar a ecuación do plano α A, v i j e w 6 Estudar se os planos determinados por A,0,0, B0,,0 e C0, 0, e por A',0,0, B ' 0,6, 0 e C ' 0, 0, son paralelos xt 7 Achar a ecuación do plano que contén á recta r y + t e ao ponto A,, z t 8 Achar a ecuación do plano que contén á orixe de coordenadas e á recta de x y+ z ecuacións 9 Dados os pontos P,4, e Q7,,7, determinar a ecuación xeral do plano que é perpendicular ao segmento PQ e contén ao ponto médio deste segmento 4

EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS 0 Achar a ecuación do plano que contén ao ponto A,0,0 e é paralelo ao plano x y +4z+ 0 Achar a ecuación do plano determinado polas rectas r x s x y z y + z e Achar a ecuación da recta s que contén a A,0, e é paralela á recta r interseción dos planos α x + y + z 0 e β x y + z Achar a ecuación do plano que contén á orixe e é paralelo ás rectas x y 7 z 8 r e s x y z 4 4 Achar a ecuación do plano que contén ao ponto A,, e é paralelo ás rectas r x + y 0 e s x y 4 4x +z0 y z x+ y 0 5 Determinar o plano que contén á recta r e é paralelo á recta x y +z0 x y z+ s 4 6 Estudar se os pontos A,,, B4,7, 8, C,5, 5, D,, E,, son co-planares e 7 Que relación deben verificar os parámetros a, b e c para que os pontos A,0,, B,,0, C0,, e Da,b,c sexan co-planares? 8 Demostrar a seguinte proposición: os pontos A, A, A,, An son co-planares rang A A, A A,, A An } POSICIÓN RELATIVA DE RECTAS E PLAS 9 Determinar a posición r x y 6z + relativa do plano α x y +z e a recta 40 Determinar n e m para que os planos 6x my +4z +90 e 9x y +nzn sexan paralelos 4 Estudar a interseción dos planos x y +z0, x +y z e especificando se é vacia ou se trata dun ponto, unha recta ou outra figura 5x, x + y +z 4 Discutir, segundo o valor de k, a posición relativa dos planos x +y +z kx+y +4z x ay + za 4 Discutir a posición de x 5y +z x +y a z0 44 Discutir e interpretar xeometricamente, segundo o parámetro x y α x 5x + y +zα y 4y +z α z α, o sistema 5

EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS x y z 45 Dada a recta r e o plano α x + y + mzn, determinar m e n x+ 5y z0 de modo que: i r e α sexan secantes; ii r e α sexan paralelos; iii r α 46 Determinar a posición relativa de r x y z e s z, y x + xz x 45z 47 Dadas as rectas r e s : y z y 4z i indicar se se cortan, son paralelas ou se cruzan; ii achar a ecuación da recta que contén á orixe e corta ás duas rectas dadas 48 Determinar a e b para que os planos α x y +z, β x y +z e γ x y az b se corten nunha recta r Achar a ecuación do plano que contén a esta recta r e ao ponto P,, 49 Dadas as rectas s x y +70 : y z0 r, que pasa polos pontos P 0,8, e Q,8,5, e i estudar a sua posición relativa e o ponto de corte, se é o caso; ii obter a ecuación da recta que contén a P e é perpendicular ao plano que contén a r ea s x+ y + zm 50 Averiguar para que valor de m a recta r se corta coa recta x y z+0 x y + z 4 s Calcular o ponto interseción de ambas, no caso de que 5 exista 5 Achar as ecuacións dos planos que pasan polo ponto A 7,,, coa condición de que as proxecións ortogonais da orixe de coordenadas sobre eses planos pertenzan á recta x, y, z0,4,+t,0,0 5 Para cada valor de a, os pontos P,, e A0,,a son simétricos a respeito dun plano Obter a ecuación deste plano e dar, en particular, o plano que corresponde ao caso a 5 Obter a ecuación dun plano que conteña á orixe de coordenadas e non teña x+ λ r pontos comúns coa recta y λ z +λ nβ, demostrar que: α β rang nα, nβ } 54 Dados os planos α Aα, n α e β Aβ, Baixo que condicións α e β serán planos coincidentes? 6

EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS 55 Dadas as rectas r Ar, ur e s As, us, demostrar: i r s rang ur, us } ; ii r e s cortan-se rang ur, us } rang ur, us, Ar As } ; iii r e s cruzan-se rang ur, us, Ar As } u n 0 56 Dada a recta r Ar, u e o plano α Aα, n, demostrar que: r α x +y z0 57 Determinar a ecuación dos vectores que son ortogonais á recta r e x y + z0 interpretar xeometricamente o resultado 4 ÁNGULOS E DISTÁNCIAS 58 Calcular o ángulo que ven determinado polas rectas r xy z s x 4y z+ Achar, se é posíbel, o plano que as contén 59 Calcular o ángulo β x +y z+0 determinado polos planos α x y z e e 60 Calcular o ángulo determinado polo plano r x y 8 y + z+80 α x + y z +7 0 e a recta 6 Calcular o ángulo determinado polo plano r x 0 y +z π x+ y z +40 e a recta 6 Dada a recta r razoadamente: x y z+ e os pontos A,,0 e B,0,, determinar i as ecuacións dos planos α e β que conteñen á recta r e aos pontos A e B, respectivamente; ii o ángulo determinado polas rectas r e AB 6 Dado o plano α x y +z 4 e o ponto A,,, calcular: i a distáncia do ponto ao plano; ii as coordenadas da proxeción ortogonal de A sobre α x λ+ μ 64 Calcular a distáncia do plano π 4x 0y +z ao plano σ y λ+μ zλ μ 65 Dados os planos α x y +z e β 4x +y 4z : i demostrar que son paralelos e calcular a distáncia entre eles; ii determinar a ecuación do plano perpendicular a ambos que contén ao ponto A, interseción do plano α e o eixo OX, e ao ponto B, interseción de β e OY 66 Achar a ecuación dun plano paralelo ao plano α x y + z8 e que diste 6 unidades do mesmo x y + z+ α x +4y e β 4x z É a solución única? 67 Determinar un ponto da recta r que equidiste dos planos 7

EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS 68 Dados A,, e r xt, y +t, zt, achar: i a ecuación do plano perpendicular a r que contén ao ponto A ; ii a interseción deste plano con r ; iii a distáncia de A a r 69 Calcular a distáncia entre as rectas r x y z z0 e s x + y 70 Atopar os pontos que pertencen á recta determinada por A,,5 e B6,5, 6 e distan 5 unidades da orixe de coordenadas 7 Dado o ponto P,, e a recta r x +y z, achar: 4 i as ecuacións da recta s que contén a P e corta perpendicularmente a r ; ii o ponto interseción das rectas r e s ; iii as coordenadas do ponto simétrico de P a respeito de r 7 Determinar a e b para que os planos α x +y z+, β x +y +az0 e γ x +y zb conteñan a unha mesma recta e achar o ponto simétrico de O0,0,0 a respeito de tal recta 7 Dado o ponto P,, e a recta r ponto simétrico de P a respeito de r x y z, calcular as coordenadas do 74 Achar a proxeción ortogonal da orixe de coordenadas sobre o plano x +y +z 4 75 Demostrar que o ponto A,, 0 non é co-planar con O0,0,0, C0,, 0 e D,, e calcular a distáncia de A ao plano determinado por O, C e D 76 Achar un plano que conteña a A0,,0 e B0,0,, e corte ao eixo OX nun ponto C, de forma que o triángulo ABC teña área 4 u² 77 Achar a ecuación do plano determinado polos pontos A,,, B,, e C,, e calcular a área do triángulo que determinan as suas intersecións cos eixos de coordenadas 78 Dado o plano x +4y + z8, se A, B e C son os seus pontos de interseción cos eixos de coordenadas OX, OY e OZ, respectivamente: i calcular a área do triángulo ABC ; ii achar as ecuacións da recta perpendicular a ese plano e que contén á orixe de coordenadas; iii calcular o volume do tetraedro determinado polo plano dado e os trés planos coordenados 79 As traxectórias de dous avións veñen dadas polas rectas x+ λ r y λ z+ λ e x λ s y λ Estudar se as traxectórias son coincidentes, secantes ou ben se se z cruzan Obter a distáncia mínima entre ambas traxectórias 8

EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS x λ r 80 A traxectória dunha nave ven dada pola recta y +λ Estudar se a nave z+ λ atravesará o plano x + y z0 e calcular, nese caso, o ponto de contacto e a distáncia percorrida até ese ponto desde o ponto inicial P,, 5 VARIEDADES x+t xs 8 Achar a ecuación da recta p que sexa perpendicular a r y +t e r y s z+t z e que teña un ponto de interseción con ambas 8 Dados os pontos A0,,0 e B0,,9, determinar o conxunto de pontos que equidistan de A e B Que figura representa este conxunto? 8 Calcular o volume do tetraedro de vértices P,, e as intersecións do plano α x +y +z cos eixos de coordenadas Calcular o simétrico de P a respeito do plano α 84 Un raio de luz incide no plano α x + y +z, seguindo a direción da recta e é reflectido por el Estudar se o raio reflectido incide no ponto A,, e na recta s x y + z 85 Calcular o volume dun cubo, sabendo que ten unha aresta sobre a recta x+t r y 6t e outra sobre a recta s x y 8 z 6 4 z t 86 Calcular o ángulo que forman as diagonais dun cubo 87 No tetraedro ABCD coñecen-se os vértices A,0,, B0,0,0 e C0,,, x a recta que contén á aresta AD y t e o plano que contén á cara zt BCD x y + z0 Obter os seguintes elementos: i vértice D ; ii ángulo determinado pola recta AC e o plano BCD ; iii distáncia do vértice B á cara ACD ; iv volume do tetraedro 88 No paralelepípedo adxunto coñecen-se os pontos C,0, e F,,0 i Calcular as coordenadas do ponto médio da cara ABCD A,,, B0,,, C B A D ii Dar a ecuación da diagonal AG iii Dar a ecuación do plano que contén ás arestas BC e EH F G E H iv Calcular o volume do tetraedro de vértices ABCE v Calcular o ángulo determinado polas caras ABCD e CDHG vi Calcular a altura do paralelepípedo nota: a base é a cara EFGH 9

EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS 89 Dados os pontos A0,,0 e B,, e o plano π x +y + z4 : i comprobar que A e B están situados no mesmo lado do plano π ; ii determinar un ponto P do plano π, tal que a suma das distáncias de P a A e de P a B sexa mínima 90 Estudar por que un trípode sempre ten os trés pés apoiados no chan Acontece igual con unha mesa de catro patas? Por que? 9 Intrepretar xeométricamente o facto de que trés vectores no espazo tri-dimensional formen un conxunto linearmente dependente Dados os vectores u,,, u,,, v,,0 e v,8,5, demostrar que os vectores u e u son combinación linear de v e v Obter a ecuación xeral do plano que contén á orixe e aos vectores v e v, e determinar a posición relativa de u e u a respeito de tal plano 0

EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS SOLUCIÓNS 6 i u 8 u, v iv cos ii v 7 u v 5 iii v pv u 5 8 7 5 7 vi pu v vii m 5 8 9 É unha base normada pero non é ortonormal, xá que os ángulos determinados por cada par de vectores non son rectos u 6 4 m 5 u v 4 6 v 8 7 x e y 8 u 4a² + 0b² 9 u,,0 e u,,0 0 49 4 a, b0 ou a, b Consiste en comprobar que o produto escalar dos vectores suma e diferenza é nulo 7 θ u, v acos 8 + v,, 4 4 ou v 4,, +4 6,, iv w± 6 4i u ii v 9 v a área é 7 6 u² iii u v 7, 4,7 5 α4 ou α0 6 O volume é nulo porque o paralelepípedo en realidade non é unha figura sólida, debido a que os trés vectores son co-planares 7 A, 6, 8 AB e CD non son equipolentes; D ' 5,4, 9 M,, 9 5,, divide AB en dous segmentos iguais; P 4, 6,0 e Q5,9,4 dividen AB en trés 0 O ponto M A,, 9, B,, e C7,6,

r EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS x y 4 z ; C non está alineado con A e B 6 5 Non están alineados 4 É suficiente pensar que se os pontos están alineados, os vectores que os unen teñen a mesma direción 5 α x +y + 6z7 6 Son paralelos 7 x +4y + 0z 8 Trata-se dun feixe de planos secantes xá que a orixe de coordenadas está na recta: logo o plano pedido pode ser calquer do feixe de ecuación x y + z, que tamén se pode expresar da forma π s x z +t y +z 0 s,t ℝ 9 x y +z 9 0 x y +4z 7x +4y 5z+7 0 r x y +z0 4 x 5y +4z4 5 x y +5z x z y 4 6 Non son co-planares 7 a+b +c 8 Abonda con pensar que se os pontos son co-planares, entón os vectores que os unen están contidos nun mesmo plano 9 Secantes: cortan-se en P 40 5,, 5 m e n6 4 A interseción é a recta r 5, z+ 5, z z ℝ 4 Os planos son secantes formando de triedro k dous, formando un prisma se k 5 5 E son secantes dous a 4 Os planos son secantes en forma de triedro a 5 e a ; forman un prisma a5 e determinan un feixe de planos secantes a 44 É un sistema homoxéneo polo que é compatíbel en todos os casos Ten solución única 0,0,0 para α 0, α e α 4 ; nos casos α0, α e α4, o sistema ten solución múltiple sistema compatíbel indeterminado

EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS 45i r e α son secantes m ii r α m ; 7 9 e n 7 7 iii r α m 9 e n 7 7 46 Son rectas que se cruzan 47 Son rectas que se cruzan; a recta secante común as rectas v 7t, t,t t ℝ r e s é 48 Ten que ser a e b4 ; o plano é x+ y z0 x t 49 As rectas cortan-se no ponto A,8,4 ; a recta é p y 8 +t z+t 5 50 Son secantes m 4 5 Os planos son π x +4y +z6 e π 4x+ 4y + z a² 0, en xeral O caso particular a ten como solución π x +y +z9 5 O plano pedido ten ecuación π x +y + a z+ 5 Os planos pedidos deben ser paralelos á recta r 54 Se os planos son paralelos, os seus vectores normais teñen a mesma direción; α e β serán coincidentes rang nα, nβ, Aα Aβ } 55 É suficiente con pensar na configuración gráfica dos vectores en cada caso 56 Idem o anterior 57 Son ortogonais a r os vectores v x,y, z que verifican a ecuación x 7y z0 ; este conxunto de vectores representa un plano que contén á orixe de coordenadas e é perpendicular á recta r 58 θ r, s0 ; o plano é α 8x 7y +z 0 59 54 θ α,βacos 77 60 θ α, r asen 6 π π r, polo tanto o ángulo é 5 54 77 6i Son os planos α x y +4z e β x y z7 ; 54 ii θ r, ABacos 77 6i d A,α 5 u 8, ii a proxeción é A', 9 9 9

64 EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS π σ, polo que a distáncia é d π,σ 0 u 60 65i α β xá que os seus vectores normais teñen a mesma direción; ii d α,β 5 u 6 iii o plano é π x +y 66 Existen duas posibilidades: α x y +z 0 e α x y + z6 67 Existen duas posibilidades: P 98, 76, 58 e P ' 0, 04, 70 68i π x +y +z 8 ii P,, iii pola construcción anterior d A,r d A, P 5 u 69 d r, s 70 P 0, u 7 4, 5 5 e P ' 87, 7, 07 7i s +7t, +t, t t ℝ 4 5 5 ii r s Q,, iii P ' 4 7,, 7 a e b ; O ' 7 P' 74 75 8 4,, 7 7, 07, 67 4 6 P,, 7 7 7 d A,OCD u 76 Existen duas posibilidades: α 6 x +y +z6 e α 6 x +y +z6 77 A área é 4 u² 78i A área é 4 u² ii r xy 4z iii o volume é u³ 79 As traxectórias cruzan-se e a sua distáncia mínima é u 80 A nave toma contacto co plano no ponto Q0,5,5 despois de percorrer unha distáncia de 6 u 4

8 EXERCÍCIOS E SOLUCIÓNS p k, + k, k ℝ 8 É o plano de ecuación z 8 O volume é 9 5 8 u³ e o simétrico é P ',, 6 7 7 7 84 O raio reflectido non incide en A e tampouco na recta r 85 O volume é 8 u ³ 86 O ángulo é acos 0,94 87i D,, 0 ii asen 6 iii d B, ACD iv o volume é 88i P,, ii AG u u³ x + z y + iii BCHE 7 x 5 y 4 z iv o volume é u ³ v acos 8 05 05 vi a altura é u 89i Pode-se demostrar que o signo da expresión que resulta de introducir na ecuación xeral do plano as coordenadas de calquer ponto do espazo depende do lado do plano no que está situado tal ponto; ii P, 9, 4 4 90 Supón-se que o chan é un plano, que é a chave da cuestión u e u son combinación linear de v e v, polo que ambos están 9 Os vectores v e v : π x y +z0 no plano determinado por 5