Η Έννοια της εξίσωσης: Θεωρία και λυμένα παραδείγματα Εξίσωση με έναν άγνωστο λέμε μια ισότητα η οποία περιέχει αριθμούς και έναν άγνωστο γράμμα ( μεταβλητή). Εξισώσεις είναι οι: χ+=8, χ-21=4,χ+1, 8χ=26. Οι όροι που περιέχουν τον άγνωστο λέγονται άγνωστοι όροι ενώ οι υπόλοιποι όροι λέγονται γνωστοί. Σε μια εξίσωση η παράσταση που γράφεται πριν το ίσον λέγεται 1 ο μέλος και η παράσταση που γράφεται μετά το ίσον λέγεται 2 ο μέλος της εξίσωσης. Σε μια εξίσωση, για παράδειγμα την 4χ - = χ+9 το 4χ- λέγεται πρώτο μέλος της εξίσωσης ενώ το χ+9 λέγεται δεύτερο μέλος της εξίσωσης. Οι 4χ και χ λέγονται άγνωστοι όροι ενώ οι - και 9 γνωστοί όροι Λέμε ότι ένας αριθμός επαληθεύει την εξίσωση όταν βάζοντας (αντικαθιστώντας) τον αριθμό αυτό στη θέση του αγνώστου προκύπτει ισότητα που αληθεύει. Ο αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση λέγεται λύση ή ρίζα της εξίσωσης. Αν μια εξίσωση δεν έχει λύση λέγεται αδύνατη. Πρακτικά καταλαβαίνουμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη όταν καταλήξει στην μορφή 0Χ=5 ή 0χ=-10 Αν μια εξίσωση επαληθεύεται για όλες τις τιμές του αγνώστου λέγεται αόριστη ή ταυτότητα. Μία εξίσωση λέγεται αόριστη ή ταυτότητα όταν αληθεύει για κάθε τιμή του άγνωστου χ. Πρακτικά καταλαβαίνουμε ότι μία εξίσωση είναι αόριστη όταν καταλήξει στην μορφή 0χ=0 Επίλυση εξισώσεων: Λέγεται η διαδικασία που κάνουμε για να βρούμε τις λύσεις μιας εξίσωσης. Η επίλυση μιας εξίσωσης βασίζεται στην εξής ιδέα.: 1
Αν δυο ποσότητες είναι ίσες και τις μεταβάλουμε και τις δυο με τον ίδιο τρόπο, τότε οι δυο νέες ποσότητες που προκύπτουν είναι πάλι ίσες. (Επομένως μπορούμε να προσθέτουμε, πολλ απλασιάζουμε, διαιρούμε και τα δυο μέλη μιας εξίσωσης με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό) Η διαδικασία της επίλυσης εξίσωσης: 1. Βρίσκουμε το Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών 2. Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με το Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών. Απαλείφουμε τους παρονομαστές (αν υπάρχουν) κάνοντας απλοποίηση. 4. Απαλείφουμε τις παρενθέσεις,κάνοντας πράξεις. 5. Χωρίζουμε αγνώστους από γνωστούς (μεταφέρουμε τους αγνώστους όρους στο 1 ο μέλος και τους γνωστούς όρους στο 2 ο μέλος της εξίσωσης, προσέχοντας αν ο όρος αλλάζει μέλος να αλλάζει και το πρόσημο του) 6. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων (προσθέτουμε τους αγνώστους του 1 ου μέλους και τους αριθμούς του 2 ου μέλους) 7. Διαιρούμε και τα δυο μέλη της εξίσωσης με το συντελεστή του αγνώστου (δηλαδή με τον αριθμό που είναι πολλαπλασιασμένος ο άγνωστος) ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Αν καταλήξουμε στη μορφή : 0x = 0 τότε η εξίσωση είναι αόριστη ( δηλ. επαληθεύεται για κάθε τιμή του x ). Αν καταλήξουμε στη μορφή : 0x = α ( α 0 ) τότε η εξίσωση είναι αδύνατη (δηλ. δεν υπάρχει x που να την επαληθεύει ). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Σε μια εξίσωση που υπάρχουν παρανομαστές με την απαλ οιφή τους η γραμμή κλάσματος γίνεται αυτόματα παρένθεση. Σε μια εξίσωση που έχει τη μορφή δύο ίσων κλασμάτων η απαλ οιφή των παρανομαστών γίνεται και όταν πολλαπλασιάσουμε χιαστί. 2
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Να λυθεί η εξίσωση: 5x 1 = 2x + 8 5x 1 = 2x + 8 5x 2x = 1 + 8 x = 9 x 9 Άρα χ=. ή Χωρίζουμε αγνώστους από γνωστούς Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε και τα δυο μέλη της εξίσωσης με το ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Να λυθεί η εξίσωση: x x 1 92 x x x 1 92 x ή x x 9 2x 6 Επιμεριστική ιδιότητα x x 92x 6 Απαλείφουμε τις παρενθέσεις,κάνοντας πράξεις x x 2x 96 Χωρίζουμε αγνώστους από γνωστούς 6χ=18 Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων 6x 18 Διαιρούμε και τα δυο μέλη της εξίσωσης με το 6 6 Άρα χ=.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθεί η εξίσωση: x 2 x 2 x 2 = x + 1 x + 1 = 1 1 (x 2) = (x + 1) x 2 = x + x x = + 2 2x = 5 2x = 5 2 2 = x + 1 Κάνουμε χιαστί Απαλείφουμε τις παρενθέσεις,κάνοντας πράξεις Χωρίζουμε αγνώστους από γνωστούς Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε και τα δυο μέλη της εξίσωσης με το x = 5 2 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Να λυθεί η εξίσωση: x 2 x 1 5 15 x 2 x 1 5 15 ή 15 x 2 x 15 5 15 1 Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της 15 εξίσωσης με το Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών x 2 5 x 1 Κάνω απλοποιήσεις x 65x 15 1 Απαλείφουμε τις παρενθέσεις,κάνοντας πράξεις 4
x 5x 1 15 6 Χωρίζουμε αγνώστους από γνωστούς 2x 8 Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων 2x 8 Διαιρούμε και τα δυο μέλη της εξίσωσης με το 2 2 χ=4. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 2x 4x 2 ( x 2) x 2 Να λυθεί η εξίσωση 1 1 ο Βήμα: Το ΕΚΠ των παρονομαστών είναι Ε.Κ.Π(2,2,5,10,2,1)= 10 2 ο Βήμα: Πολλαπλασιάζω κάθε όρο της εξίσωσης (είτε είναι κλάσμα είτε όχι) με αυτό. 2x 4x 2 ( x 2) x 2 10 10 10 10 101 ο Βήμα: Κάνω απαλοιφή παρονομαστών, δηλαδή απλοποιώ το ΕΚΠ με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και πολλαπλασιάζω το αποτέλεσμα της απλοποίησης με τον αριθμητή κάθε κλάσματος φροντίζοντας να βάζω παρενθέσεις δηλαδή: 5(2x ) 2(4x 2) = (x 2) + 5(x 2) 10 4 ο Βήμα: Εκτελώ τους πολλαπλασιασμούς προσέχοντας τα πρόσημα (ιδίως αν υπάρχει πλην (-) έξω από την παρένθεση) δηλαδή: 10x 15 8x + 4 = x 6 + 5x 115 10 5 ο Βήμα: Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους. Δηλαδή φέρνω τους άγνωστους όρους στο πρώτο μέλος και τους γνωστούς στο δεύτερο μέλος, φροντίζοντας σε κάθε όρο που αλλάζει μέλος να του αλλάζω και πρόσημο, δηλαδή: 10x 8x x 5x = 6 115 + 15 4 10 6 ο Βήμα: Κάνω αναγωγή ομοίων όρων, δηλαδή κάνω τις πράξεις μεταξύ των γνωστών και των άγνωστων όρων σε κάθε μέλος, δηλαδή: 5
6x = 120 7 ο Βήμα: Διαιρώ και τα δυο μέλη της εξίσωσης με τον συντελεστή του αγνώστου ( ΜΟΝΟ αν ο συντελεστής είναι διάφορος του μηδέν) 7 ο Βήμα: Επαλήθευση. 6x 120 6 6 άρα x = 20 Για να ελέγξουμε ότι η λύση που βρήκαμε είναι σωστή θέτουμε στην αρχική εξίσωση τον αριθμό που βρήκαμε και κάνουμε πράξεις σε κάθε μέλος. Αν τα δυο μέλη μας δώσουν το ίδιο αποτέλεσμα τότε η λύση που βρήκαμε είναι η σωστή, αν όχι, τότε ξαναλύνουμε προσεκτικά την εξίσωση. Δηλαδή: 2 20 4 20 2 (20 2) 20 2 1 7 78 54 1 18,5 15,6 5,4 1,5 1 2,9 2,9 Άρα η λύση x = 20 που βρήκαμε είναι η σωστή. 6