DEFORMAŢIILE GRINZILOR SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE

CAPITOLUL DEFORMAŢIILE GRINZILOR SOLICITATE LA ÎNCOVOIERE.. Starea plană de deformaţe Un element de volum paralelppedc dntr-un element de restenţă solctat se află în stare plană de deformaţe dacă au loc deformaţ într-un sngur plan (xoy). În acest ca tensorul deformaţlor specfce este: T x,5γ yx,5γ y xy Consderăm elementul de volum ABCD, de grosme untară, cu laturle AB de lungme, BC de lungme dy, în planul xoy (Fg..). Fg.. Datortă solctărlor exteroare elementul de volum suferă atât o deplasare, cât ş o deformare. Poţa ş forma fnală a elementulu, A B C D, se obţne prntr-o

4 Captolul suprapunere de deplasăr ş deformăr: ) o deplasare lnară, de vector AA, având componentele u (deplasarea pe orontală) ş v (deplasarea pe vertcală). În urma aceste deplasăr elementul de volum ajunge în poţa A B C D. ) deformarea lnară a laturlor elementulu de volum (muchle se lungesc sau se scurteaă), acesta ajungând în poţa A B C D. ) deformarea unghulară a elementulu de volum, prn rotrea muchlor cu unghurle < α xy ş < α yx, elementul ajungând în poţa A B C D. Analăm deplasărle dfertelor puncte ale elementulu de volum: a. Punctul A, de coordonate (x;y) ajunge în poţa A, vectorul deplasare totală AA având componentele u ş v. b. Punctul B(x+;y) ajunge în punctul B, vectorul deplasare totală BB având componentele: u B u + ; v B v + c. Punctul D ajunge în D, componentele vectorulu deplasare fnd: u D u + dy; v y D v + dy y Cu ajutorul acestor deplasăr se pot calcula deformaţle specfce ale elementulu de volum. Deformaţle specfce lnare ale muchlor elementulu de volum: x AB AB AB ( AE u) + u B u u + u y AD AD AD ( AF V) v + dy v dy dy + vd v dy y dy dy dy y (.) Deformaţa specfcă unghulară Unghurle < α xy ş < α yx cu care se modfcă unghurle nţal drepte ale elementulu de volum:

Deformaţle grnlor solctate la încovoere 4 tgα xy BB A B EB EB AE u + + x vb v + u u B v + v + u + u Deoarece unghul α xy este foarte mc ş deformaţa specfcă lnară x <<, se poate face aproxmarea: α xy tgα xy În mod analog se determnă unghul α yx : α yx tgα yx y Prn defnţe deformaţa specfcă unghulară în planul xoy este unghul total cu care se modfcă unghul nţal drept <(BAD): γ xy γ yx α xy + α yx + (.) y forma: În caul general al stăr spaţale de deformaţe tensorul deformaţlor are T x,5γ,5γ yx x,5γ y,5γ xy y,5γ,5γ x y Notând deplasărle după cele tre axe de coordonate rectangulare u, v, w, componentele tensorulu deformaţlor se calculeaă cu expresle: x ; y ; y w γ xy γ yx + ; y w γ y γ y + ; γ y x γ x w +

44 Captolul.. Ecuaţa dferenţală a fbre med deformate Studul deformaţlor grnlor solctate la încovoere este mportant atât în problemele în care se mpun condţ de rgdtate (anumte valor pentru deformaţ) cât ş în reolvarea sstemelor statc nedetermnate. În acest studu se cerceteaă forma pe care o a după încovoere axa geometrcă a une bare drepte. Această formă este o curbă plană, numtă fbra mede deformată a bare (f.m.d.) sau lne elastcă. Fg.. Starea de deformaţe dntr-o secţune oarecare K de ordonată x a une grn solctate la încovoere (Fg...a) se caractereaă prn următoarele mărm: a. Deplasarea centrulu de greutate al secţun transversale. În Fg...b. s-a repreentat secţunea K înante ş după deformare. Se observă că centrul de greutate al secţun G suferă o deplasare lnară, de componente v deplasarea vertcală ş u deplasarea orontală. Deplasarea orontală u este

Deformaţle grnlor solctate la încovoere 45 negljablă în raport cu deplasarea vertcală, dec se consderă că centrul de greutate al secţun suferă doar o deplasare vertcală. Aceasta se ma numeşte ş săgeată. Legea de varaţe a săgeţ în lungul axe grn reprentă tocma ecuaţa analtcă a fbre med deformate v(x). b. Rotrea secţun transversale ϕ Dn Fg...b. se observă ca secţunea K se roteşte cu unghul ϕ. Unghul de rotre ϕ fnd foarte mc se poate aproxma prn tangenta sa: dv ϕ tg ϕ v'(x) (.) dv Problema constă în stablrea leglor de varaţe v(x) ş ϕ ( x ) v' ( x). Notăm cu ρ raa de curbură a fbre med deformate în secţunea consderată K (Fg...a). În captolul 6. s-a demonstrat că pe o fbră a secţun de cotă y tensunea normală produsă de un moment încovoetor are expresa: E σ y (.4) ρ Utlând formula lu Naver curbura fbre med deformate: ( ) y M x σ ş relaţa (.4) se poate determna I ρ ( ) M x (.5) Dn geometra dferenţală se cunoaşte relaţa dferenţală a curbur une curbe plane de ecuaţe v(x): d v ± ρ dv + Deoarece ne aflăm în domenul deformaţlor mc se poate consdera că: dv ϕ <<. Atunc curbura fbre med deformate este:

46 Captolul d v ± ρ (.6) Deoarece un moment încovoetor potv mcşoreaă curbura fbre med deformate, în relaţa (.6) se va utla semnul mnus. Dn (.5) ş (.6) se va obţne ecuaţa dferenţală a fbre med deformate: d v M( x) (.7) Ţnând cont de relaţa dferenţală dntre efortur ş sarcn se obţn următoarele relaţ dferenţale: dt d M p d v T( x) d p( x) 4 v ; 4.. Metoda ntegrăr analtce a ecuaţe dferenţale a fbre med deformate Dacă grnda are un sngur tronson ş se cunoaşte funcţa de efort M(x), ecuaţa dferenţală (.7) se reolvă prntr-o dublă ntegrare: dv M x + ( ) C v + ( x) [ M( x) + C] C (.8) C ş C sunt constante de ntegrare. Dacă grnda are n tronsoane, numărul constantelor de ntegrare este n, pe fecare tronson funcţa de efort M(x) fnd dfertă. Consderăm grnda cu două tronsoane (I, II), smplu reemată dn Fg... Se noteaă cu v I, ϕ I săgeată, respectv rotrea secţun, calculată utlând funcţa de efort M(x) de pe tronsonul I. În mod analog, v II, ϕ II reprentă săgeata, respectv rotrea aceleaş secţun calculată utlând funcţa de efort M(x) de pe tronsonul II. Utlând relaţle (.8) pe cele două tronsoane vor apare 4 constante de ntegrare.

Deformaţle grnlor solctate la încovoere 47 Fg.. Determnarea constantelor de ntegrare se face mpunând două tpur de condţ: a. Condţ la lmtă - în reaeme săgeţle sunt nule: v v - în încastrăr atât săgeţle cât ş rotrle sunt nule: v, ϕ (fbra mede deformată este tangentă la axa nedeformată a grn). b. Condţ de contnutate a fbre med deformate Prn natura sa fcă fbra mede deformată trebue să fe contnuă, fără puncte de nflexune, adcă în fecare punct al axe grn tangenta este uncă. Pentru grnda dn Fg... cele două condţ de contnutate sunt: v I vii, ϕ I ϕ II Pentru exemplfcarea metode ntegrăr analtce a ecuaţe dferenţale a fbre med deformate se consderă grnda de rgdtate constantă ( ct ) dn Fg..4, încastrată la un capăt ş încărcată în capătul lber cu o forţă concentrată.

48 Captolul Fg..4 Funcţa de efort M(x): M( x) Fx Aplcând relaţle (.8) se obţn: dv x Fx + C F + C ϕ x F + C ( ) x x v( x) F + C + C ( ) v x F + Cx + C 6 Dn condţle la lmtă (în încastrare) se determnă constantele C, C : ϕ () F + C C F v () F + C + C C F F F 6 6 Funcţle ϕ(x) ş v(x): F ϕ ( x) ( x ) F v( x) ( x x + ) 6 Cu ajutorul acestor funcţ se poate determna rotrea ş săgeata orcăre secţun a grn în funcţe de dstanţa până la capătul lber x. De exemplu, rotrea ş săgeata maxmă dn secţunea se calculeaă pentru x : F F ϕ max ϕ( ) ; vmax v( ) x

Deformaţle grnlor solctate la încovoere 49.4. Metoda Mohr- Maxwell de calcul a deformaţlor Această metodă de calcul face parte dn categora metodelor energetce. Aceste metode se baeaă pe expresle energe de deformaţe a elementelor de restenţă solctate. Sub efectul solctărlor exteroare corpurle se deformeaă. Ca urmare, punctele de aplcaţe ale forţelor suferă deplasăr, dec forţele ş momentele exteroare produc lucru mecanc. Cât tmp solctărle se află în domenul elastc, lucrul mecanc produs de solctărle exteroare se acumuleaă practc în întregme ca energe potenţală a corpulu deformat. Mohr ş Maxwell au stablt următoarele expres pentru deformaţ: v ϕ n n M M ( x) m ( x) E I, ( x) m ( x) E I (.9) (.) În expresle (.9) ş (.) n este numărul de tronsoane al grn; M (x) funcţa de efort moment încovoetor produs de forţele exteroare pe tronsonul ; E modulul de elastctate longtudnal al materalulu grn pe tronsonul ş I momentul de nerţe axal al secţun grn pe tronsonul. Pentru calculul deplasăr lnare vertcale sau orontale a une secţun oarecare a grn, v sau u, se încarcă grnda, elberată de toate încărcărle exteroare, cu o forţă untară ( f ) în secţunea respectvă pe drecţa deplasăr care trebue determnată (v pe vertcală, u pe orontală). Pentru această încărcare se determnă funcţle de efort m (x) pe toate tronsoanele grn ş se aplcă relaţa (.9). Pentru calculul rotr une secţun a grn, ϕ, se încarcă grnda elberată de toate încărcărle exteroare cu un moment încovoetor untar ( m ) în secţunea respectvă, se determnă funcţle de efort m, ( x) pe tronsoanele grn, aplcându-se apo relaţa (.). Pentru exemplfcare, vom determna pentru grnda dn Fg..4 săgeata ş rotrea secţun de capăt prn metoda Mohr-Maxwell. În Fg..5. s-a repreentat grnda încărcată cu forţa exteroară F, cu o forţă untară, respectv cu un moment untar în secţunea. Funcţa de efort M(x) pentru încărcarea cu forţa F este: M( x) Fx Pentru calculul deplasăr vertcale v a secţun se încarcă grnda cu o forţă untară vertcală în secţunea ş se determnă funcţa de efort m(x): m x ( ) x

5 Captolul Fg..5 Utlând relaţa (.9) pentru un sngur tronson va reulta: ( Fx)( x) F x F v Pentru calculul rotr ϕ a secţun se încarcă grnda cu un moment untar în secţunea ş se determnă funcţa de efort m (x): m, ( x) Aplcând relaţa (.) va reulta rotrea secţun : ( Fx)( ) F x F ϕ Se observă că metoda Mohr-Maxwell necestă un volum de muncă mult ma mc decât metoda ntegrăr analtce a ecuaţe dferenţale a fbre med deformate, putând f utlată atât la bare drepte cât ş la bare curbe..5. Regula de ntegrare grafcă a lu Vereşceaghn În formula Mohr-Maxwell apare sub ntegrală produsul a două funcţ M(x) ş m(x), ultma funcţe fnd, la barele drepte, lnară. Consderăm o porţune dn dagramele de efort M, respectv m pentru o grndă dreaptă (Fg..6). Notăm cu Ω ara de sub dagrama M, G centrul de greutate al are Ω, x G poţa centrulu de greutate G în raport cu orgnea axe Ox ş y G c valoarea momentulu m (dagrama m) în dreptul centrulu de greutate G.

Deformaţle grnlor solctate la încovoere 5 Fg..6 Consderam un element de are dω de lungme ş înălţme M la ordonata oarecare x: d Ω M. Acestu element de are î corespunde valoarea m, de pe dagrama m. Integrala Mohr Maxwell este: I Mm mdω xtgαdω tgα xdω Ω Mărmea xd Ω reprentă un moment statc al suprafeţe de are Ω, dec se Ω poate scre: S xdω x G Ω. Ω Integrala Mohr-Maxwell devne: Ω I x G tgαω ygω cω (.) În conclue ntegrala Mohr-Maxwell este egală cu produsul dntre ara Ω de sub dagrama M ş ordonata c pe care o are dagrama m în dreptul centrulu de greutate al are Ω. În caul când grnda are n tronsoane deformaţa (săgeata sau rotrea) se calculeaă cu relaţa (.): Ω δ n Ωc E I (.)

5 Captolul drepte. La aplcarea aceste metode se ţne cont de următoarea regulă de semn: - dacă ambele dagrame, M ş m, sunt de aceeaş parte a axe Ox produsul Ω c este potv, - dacă cele două dagrame nu sunt de aceeaş parte a axe Ox produsul Ω c este negatv. Regula de ntegrare grafcă Vereşceaghn este aplcablă doar în caul barelor.6. Aplcaţ I. Pentru grnda dn Fg..7.a. se cunosc Nmm; o,5m ş p 4KN / m. Se cer săgeata secţun, v ş rotrea secţun, ϕ. Pentru reolvarea aceste probleme se aplcă metoda ntegrăr grafce Verşceaghn. Dagrama de moment se traseaă prn metoda suprapuner efectelor. În Fg..7.b. s-a repreentat grnda încărcată doar cu sarcna unform dstrbută p ş dagrama de moment pentru această încărcare M p. În Fg..7.c. s-a repreentat grnda încărcată doar cu forţa F ş dagrama de moment pentru această încărcare M F. Dagrama M se obţne prn suprapunerea celor două dagrame M p ş M F. Arle dagrame de moment Ω vor f: Ω Ω Ω p p p p p p Pentru calculul săgeţ secţun se încarcă grnda cu o forţă untară vertcală în secţunea ş se traseaă dagrama m v pentru această încărcare (Fg..7.d). Dn această dagramă vor reulta ordonatele c dn dreptul centrelor de greutate G ale arlor Ω : c ; c c

Deformaţle grnlor solctate la încovoere 5 Fg..7. a, b, c

54 Captolul Fg..7.d, e Săgeata secţun se calculeaă cu relaţa (.): n Ωc v p E I 4 4 4 ( Ω c + Ω c + Ω c ) p + p +

,66p Deformaţle grnlor solctate la încovoere 55,66 4 5 4 4 v,99mm Pentru calculul rotr secţun se încarcă grnda cu un moment untar în secţunea ş se traseaă dagrama m ϕ pentru această încărcare (Fg..7.e). Dn această dagramă vor reulta ordonatele c, dn dreptul centrelor de greutate G ale arlor Ω : c, ; c, ; c, Rotrea secţun va f: ϕ Ωc E I,, ( + Ω c Ω c ) p n, p,66p ϕ,66 4 5 4,8 rad Semnul mnus arată că rotrea secţun nu se produce în sensul momentulu încovoetor untar (ales arbtrar), c în sens nvers. II. Pentru cadrul plan dn Fg..8.a, de rgdtate constantă se cer: a. deplasarea orontală a secţun, u b. rotrea secţun, ϕ c. deplasarea vertcală a secţun, v Deoarece cadrul plan are o porţune curbă (tronsonul -) metoda ntegrăr grafce nu este aplcablă. Se va utla metoda Mohr-Maxwell. Pe o bară curbă elementul de lungme este de fapt un element de arc de cerc ds, acesta exprmându-se prn unghul la centru dϕ: ds Rdϕ. În acest ca formula Mohr-Maxwell devne: δ n ϕ M ( ϕ) m ( ϕ) E I Rdϕ

56 Captolul Funcţa de efort M pe tronsoane: Fg..8 Tronsonul -, ϕ [,π/]: Mϕ) -Ft -FRsnϕ Tronsonul -, x [,R] : M(x) -FR Pentru calculul deplasăr orontale u se încarcă bara cu o forţă untară orontală în secţunea, ca în Fg..8.b, stablndu-se funcţle de efort m u pe tronsoane pentru această încărcare: Tronsonul -: m u (ϕ) - Rsnϕ Tronsonul -: m u (x) - R Calculul deplasăr orontale u u π / R π / ( ϕ) m ( ϕ) Rdϕ + M( x) m ( x) FR sn ϕdϕ + FR M u u R

Deformaţle grnlor solctate la încovoere 57 π / π / u cos ϕ R π / sn ϕ ϕ + ϕ + FR d FR x FR FR 4 π FR π FR + u + 4 4 Pentru calculul rotr ϕ se încarcă bara cu un moment încovoetor untar în secţunea, ca în Fg..8.c, stablndu-se funcţle de efort m ϕ pentru această încărcare: Tronsonul -: m ϕ (ϕ) - Tronsonul -: m ϕ (x) - Calculul rotr ϕ ϕ π / M ( ϕ) m ( ϕ) Rdϕ + M( x) m ( x) FR sn ϕdϕ + FR ϕ π / FR cos ϕ + FR FR ϕ R ϕ π / FR Pentru calculul deplasăr vertcale v se încarcă bara cu o forţă untară vertcală în secţunea, ca în Fg..8.d, stablndu-se funcţle de efort m v pentru această încărcare: Tronsonul -: m v (ϕ) Tronsonul -: m v (x) - x R Calculul deplasăr vertcale v R x v M( x) m v ( x) FRx FR R R FR FR v