Liviu BERETEU DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR

Transcript

1 Lvu BERETEU DINAMICA MAŞINILOR ŞI UTILAJELOR 9

2 . Noţun fundamentale de dnamcă.. Momente de nerţe mecance Momentele de nerţe mecance arată modul în care este dstrbută masa unu corp faţă de dferte elemente geometrce de refernţă: punct, axă, plan. Dacă se consderă cazul ce ma general al unu sstem materal ş un element geometrc de refernţă, care poate f un punct (pol), o axă sau un plan, faţă de aceste elemente de refernţă se defnesc momentele de nerţe ca fnd suma, pentru toate punctele sstemulu materal, a produselor dntre masele punctelor ş pătratele dstanţelor de la punctele sstemulu materal la elementul geometrc de refernţă. Fg.. Fe P unul dntre punctele materale ale sstemulu, având masa m ş dstanţa d până la elementul geometrc de refernţă consderat. Conform defnţe, dacă sstemul are un număr de N puncte materale, momentul de nerţe mecanc, faţă de elementul geometrc de refernţă consderat, este : N J= md (.) =

3 Faţă de sstemul de refernţă trortogonal drept, Oxyz se pot defn următoarele momente de nerţe: - momente de nerţe polare: - momente de nerţe axale: - momente de nerţe planare: N N N (.) J = mr = m x + y + z O = = N N (.3) J = md = m y + z x x = = N N (.4) J = md = m x + z y y = = N N (.5) J = md = m x + y z z = = N xoy = xoy = = = (.6) J md mz N N yoz = yoz = = = (.7) J md m x N N xoz = xoz = = = (.8) J md m y Acestea se numesc momente de nerţe obşnute, ele sunt expres pătratce defnte în funcţe de coordonatele punctelor. Faţă de momentele de nerţe obşnute se ma defnesc momente de nerţe centrfugale: N J = m x y (.9) J J xy = N = m yz (.) yz = N = mz x (.) zx = Untatea de măsură n S.I, pentru momentele de neţe mecance este [ J] s = kg m Pe baza defnţlor momentelor de nerţe mecance, faţă de elementele geometrce de refernţă ale sstemulu de axe Oxyz, se pot stabl următoarele relaţ: Jx + Jy + Jz = JO (.) Jx + Jyoz = JO (.3) Jy + Jxoz = JO (.4)

4 Jz + Jxoy = JO (.5) JxOy + JyOz + JzOx = JO (.6) JxOy + JxOz = Jx (.7) JyOz + JxOy = Jy (.8) JxOy + JyOz = Jz (.9) Acestea sunt 8 relaţ de legătură între cele 7 momente de nerţe obşnute, prn urmare nu sunt ndependente. Ele sunt utle pentru că determnând 3 dntre ele, prn calcule, pe baza acestora se determnă celelalte 4... Momentele de nerţe ale sstemelor contnue Dacă sstemul materal este unul contnuu, în locul mase m se va lua un element de masă dm care ocupă un volum dv. dv N Fg.. r = x + yj+ zk - este vectorul curent. (.)

5 În aceste poteze sumele de defnre ale momentulu de nerţe se transformă în sume ntegrable astfel: JO = ( x + y + z ) dm (.) D Jx = ( y + z ) dm (.) D Jy = ( z + x ) dm (.3) D Jz = ( x + y ) dm (.4) J J J J J xoy yoz xoz xy yz D = (.5) z dm D D y dm D = x dm (.6) = (.7) = xydm (.8) D = yzdm (.9) Jzx = zxdm (.3) D Dacă corpurle contnue sunt omogene, atunc denstatea este constantă: dm ρ ( x, y,z) = = const. (.3) dv că pentru orcare moment de nerţe ρ ese de sub ntegrală. Jx = ρ ( y + z ) dv=ρj D x moment de nerţe geometrc (.3) Integralele pe domenu sunt de fapt ntegrale de volum, de suprafaţă sau curbln dacă sstemul ocupă o curbă..3. Varaţa momentelor de nerţe în raport cu axele paralele. Formulele lu Stener Se consderă cazul cel ma general al unu al unu sstem oarecare de puncte materale, acăru pozţe este raportată la un sstem de refernţă Oxyz. De asemenea se consderă sstemul de refernţă Cx, y z având axele paralele cu axele corespunzătoare ale sstemulu de refernţă Oxyz ş orgnea în centrul de masă C al sstemulu materal. Între coordonatele punczulu P, dn sstem, faţă de cele două ssteme de refernţă, rezultă medat următoarele relaţ de legătură : D

6 Fg..3 ' x = xc + x ' y = yc + y ' z = zc + z Vom calcula momentul de nerţe axal în raport cu axa Ox: N N = = N N N N ' ' ( ) J = m y + z = m y + y + y y + z + z + z z = ' ' ' ' x C C C C = m y + z + m y + z + y m y + z m z C C C C = = = = = = (.33) (.34) Se anulează pentru că axele de coordonate ale Cx y z sunt axe de smetre Jx = Jx + M( yc + zc) (.35) - momente de nerţe axale: J = J + Md (.36) x x ' xx y y ( C C) ' ' y yy z z ( c c) ' ' z zz J = J + M z + x = J + Md (.37) J = J + M x + y = J + Md (.38)

7 - momente de nerţe planare: J = J + Mz (.39) xoy yoz ' xcy ' ycz ' ' c c c J = J + Mx (.4) JxOz = J ' ' + My (.4) xcz - momente de nerţe centrfugale: J = J + Mx y (.4) xy ' ' xy C C J = J + My z (.43) yz ' ' yz C C Jxz = J ' ' + Mx xz CzC (.44) - momentul de nerţe polar: JO = JC + M( xc + yc + zc) (.45) Concluz: Momentele de nerţe mecance obşnute cresc odată cu depărtarea de axe ce trece prn centrul de greutate..4. Tensorul de nerţe Fg..4

8 Se consderă un sstem de puncte materale raportat la sstemul Oxzy cât ş la sstemul Ox y z având axele rotte faţă de prmul. Dacă se cunosc momentele de nerţe faţă de elementele geometrce ale sstemulu Oxyz, momentele de nerţe faţă de celălalt sstem se pot determna astfel. Introducem noţunea de tensor. T N 3 (.46) = T [] J = m { r} { r}[ I ] { r}{ r} O r = x+ yj+ zk (.47) x T { r} = y = { x,y,z} (.48) z x N + y + z [] J = O m x + y + z = x y z + + x xy xz y N + z xy xz xz y yz = m xz z + x yz = (.49) = zx zy z zx zy x y + Jx Jxy J xz = Jxy Jy Jyz Jxz Jyz J z Tensorul este o matrce 3 3 care are pe dagonala prncpală momentele de nerţe axale ar smetrc faţă de acestea se găsesc momentele de nerţe centrfugale cu semnul mnus. Fe e,e,e 3.versor sstemulu Ox y z e = α +β j+γk (.5) e = α +β j+γk (.5) e = α +β j+γ k (.5) α, β, γ - cosnuş drector a e faţă de sstemul orgnal α { e} = β, etc. (.53) γ Se construeşte matrcea A:

9 [ A] { e } { e } { e } = (.54) 3 Consderăm că punctul P se raportează la sstemul Ox y : z ' r = r ' ' ' x+ yj+ zk= xe + ye + ze sau dacă înmulţm cu [ A ] T : Calculul tensorulu de nerţe faţă Ox y : z Analog se fac calculele: 3 ' ' ' 3 (.55) (.56) x = x α+ yα+ zα (.57) y = xβ+ yβ+ zβ (.58) ' ' ' 3 x = x α+ yα+ zα (.59) ' ' ' 3 ' x α α α3 x y = ' β β β3 y z ' 3 z γ γ γ { r} [ ] { ' A r} (.6) = (.6) ' T { r} [ A] { r} = (.6) T N T ' ' ' ' [] J ' = m { r} { r}[ I3] { r}{ r} O (.63) = [ J ] [ A T ' ] [ J ] [ A ] O O J { e T ' } [ J ] { e } x O J { e T ' } [ J ] { e } y = (.64) = (.65) = (.66) O J { e T ' } [ J 3 ] { e 3} z O T T { } [ ] { } { } [ ] { } = (.67) J = e J e = e J e (.68) ' ' xy O O T T { } [ ] { } { } [ ] { } J = e J e = e J e (.69) ' ' yz O 3 3 O T T { } [ ] { } { } [ ] { } J = e J e = e J e (.7) ' ' zx 3 O O 3.5. Varaţa momentelor de nerţe în raport cu axe concurente

10 Se consderă un sstem de puncte materale Oxyz pentru care se determnă tensorul de nerţe. Se consderă o dreaptă Δ care trece prn orgnea sstemulu de refernţă ş are pozţa determnată prn unghurle: α, βγ., Fg..5 α T JΔ = {} e [ J] {} e {} e = β O γ (.7) Jx Jxy J xz α JΔ = { α β γ} Jxy Jy Jyz β Jxz Jyz J z γ (.7) T JΔ = {} e [ J] {} e = J O xα + Jyβ + Jzγ αβjxy βγjyz αγjxz (.73) α +β +γ = Se va folos metoda multplcatorlor lu Lagrange: Φ α, β, γ = J λ α +β +γ (.74) Δ

11 Φ = α Φ = (.75) β Φ = γ αjx βjxy γjxz λα= β Jy α Jxy γ Jyz λβ= (.76) J γ z J β yz α Jxz λγ = [ J] { e} λ [ I3]{ e} = { } (.77) O Sstemul este algebrc ş omogen necunoscutele fnd α, βγ,, adcă pozţa drepte Δ. Pentru a admte soluţa nebanală trebue ca: [ J] λ [ I3] = (.78) O Cele tre valor λ, λ, λ 3, reprezntă tocma valorle extreme ale momentelor de nerţe, ar pentru cele tre valor se obţn tre setur ale cosnuşlor drector care dau pozţa celor tre drepte pentru care avem valorle extreme. Cele tre drepte se numesc axe prncpale de nerţe. Propretăţ ) Cele tre drepte sunt perpendculare două câte două [ J] { er} =λ r{ er} (.79) O Se transpune această relaţe ş se obţne: [ ] { } T T J er r{ er} O Se consderă un vector { es} { er} ş obţnem: [ J] { e } =λ{ e } { e } =λ (.8) O s s r (.8) T T [ J] { er} =λr{ er} { es} O T T { er} [ J] { es} =λr{ es}{ e } O r (.8) T T { er} [ J] { es} =λs{ es}{ er} O T λ λ e e = (.83) ( r s){ r} { s} T { } { } λ λ e e = (.84) r s r s T

12 Produsul scalar fnd nul ce do vector sunt perpendcular. ) Momentele de nerţe în raport cu una dntre cele tre drecţ sunt tocma valorle propr [ J] { e } { } { } T O r r er er { } T T e [ J] { e } { e } { e } =λ (.85) r r =λ O r r r (.86) J Δr =λ r, r=,,3 (.87) Cele tre momente sunt extreme, axele se vor num axe de nerţe. 3) În raport cu axele prncpale de nerţe momentele centrfugale sunt nule Exemplu : { T T } [ ] { } { } [ ] { O O } [ J] { e } { } { } T O r r er es T T { e } [ J] { e } { e }{ e } r s J = e J e = e J e (.88) Δr, Δ s r s s r =λ (.89) =λ s O r r r s Δr, Δs (.9) J = (.9) Fg..6

13 Jx + JY = JO = Jz J = J x y MR 4 MR J = O 4 MR [] Jxz = xzdm=, pentru că z= Jxy = xydm=, pentru că x ş y sunt axe de smetre Exemplu : H= R Fg..7

14 dm =ρ dv =ρπ x dx R R Jz = ( ρπ dxh) x =ρhπ 4 R Jz =ρhπ R MR Jz = x = ucosθ y = usn θ dm = ρ dv = ρdu u dθdz da 4 Fg..8 Jx = ρduudθdz u sn θ+ z Jx = dv u sn z ρ θ + = ρdu u dθdzsn θ+ ρu du dθdz z 3 H H R π R π 3 4 R π 3 H R Jx =ρ dz u du sn θdθ+ρ z dz udu dθ=ρ H +ρ π 4 H H

15 J x MR MH = + = J 4 y Fg..9 J J J [] x = O y J z e = cosα + snαk e = j e = snα + cosαk 3 = [ J] [ A][ J] [ A] T [ ] O O cos α sn α A = sn α cos α

16 7MR cosα sn α cosα sn α 7MR J [] = O sn α cos α sn α cos α 6+ cos α snαcosα MR J = 7 O sn αcos α 6 + sn α [] MR.6. Lucru mecanc elementar al unu sstem de forţe. Puterea mecancă. Lucrul mecanc elementar pentru o sngură forţă este: dl = Fdr (.9) Fg.. - pentru un sstem de forţe se însumează: Vteza: n = Fdr = dl (.93) v = vo +ω r; r = OP (.94) dr = dr + dγ r relaţa deplasărlor elementare (.95) O

17 N N N dl = F dr + dγ r = Fdr + dγ r = O O = = = N N = dr F + r F dγ O O = = (.96) [ L] SI = N m= J - dγ a fost scos afară dn formulă pentru că într-un corp rgd toate punctele au aceeaş vteză unghulară. N R = F = (.97) N MO = r F (.98) = dl = Rdr O + M Odγ,lucrul mecanc elementar pentru un sstem de forţe (.99) - puterea mecancă: dl RdrO + MOdγ dr O dγ P= = = R + MO = RvO + MOω (.) dt dt dt dt P= RvO + MOω (.) Astfel deosebm două cazur: - corpul se află în mşcare de translaţe ω= P= Rv O - corpul se află în mşcare de rotaţe vo = P= MOω Nm J [ P] SI = W s = s = Se ma poate exprma ş astfel: π n πn ω= = πν= π = (.) T 6 3 πn P= M O (.3) 3.7. Energa cnetcă a unu sstem materal. Teorema energe cnetce Pentru un punct, E c mv =

18 E c N mv = (.4) = În cazul mşcăr de translaţe, avem: N mv mv v = vo = v Ec = = = (.5) Fg.. În cazul mşcăr de rotaţe, avem: v = vo +ω r v = v =ω r sn ω r =ω d mv mω d ω J ω E = = = = N N N Δ c md = = = (.6) (.7) (.8) În cazul mşcăr plan paralele: Teorema energe cnetce E c Fg.. mvc JΔ c = + ω (.9) ma = F (.)

19 dv m = F dr (.) dt dv m dr = Fdr (.) dt v md = Fdr (.3) dec = dl,dferenţala energe cnetce = lucrul mecanc (.4) Dacă se însumează dec = dl, pentru toate punctele materale rezultă teorema energe cnetce, dec = dl, pentru întreg sstemul materal sub formă dferenţală. Dacă se ntegrează această exprese pentru un nterval de tmp, atunc vom avea: Ec Ec = Lm Lr, formă ntegrală (.5) Dacă consderăm că sstemul mecanc are corpur în mşcare de translaţe ş în mşcare de rotaţe, atunc teorema se ma poate scre: n N n N mv mv Jω Jω + = Lm Lru Lrp (.6) = = = = Lr = Lru + Lrp (.7) Lr - lucrul mecanc rezultat L ru - lucrul mecanc rezultat utl L rp - lucrul mecanc rezultat perdut Presupunem că toate corpurle se află în mşcare de rotaţe. De altfel se va vedea că orce mşcare de translaţe poate f transformată într-o mşcare de rotaţe ş nvers. N N Jω Jω = Lm Lru Lrp (.8) = = În funcţonarea une maşn, se întâlnesc întotdeauna 3 faze:. demararea: ω = ω N Jω = Lm Lru Lrp (.9) = Motorul trebue să asgure lucrul mecanc rezultat de la maşna de lucru plus lucrul mecanc perdut plus energa cnetcă care se află în ansamblul peselor aflate în mşcare.. funcţonarea în regm normal: ω =ω

20 = Lm Lru Lrp, puterea necesară scade (.) 3. frânarea ω =, Lm =, Lru = N Jω = Lrp (.) = Observaţe: Energa cnetcă se drjează în procesul de oprre prn frecare. Durează mult, dec se ntervne cu o frânare forţată: N Jω = Lrp + Lff (.) =.8. Impulsul ş momentul cnetc pentru un sstem mecanc Fg..3 h = mv - mpulsul pentru un punct materal (.3) N H= mv - mpulsul pentru un sstem materal (.4) = N N dr dr d v = H= m = mr dt = dt dt = (.5) N N mr mr = = rc = = N M m (.6) = d H= ( Mr) = MvC dt Momentul cnetc este momentul mpulsulu calculat în raport cu un punct O. (.7)

21 Fg..4 - pentru un punct oarecare avem: k = r mv = r h - pentru întreg sstemul avem: N N K = k = r h O = = (.8) (.9) Dacă momentul cnetc se calculează faţă de un punct sau faţă de centrul de greutate al sstemulu atunc are expresa: K = j k J ω (.3) O,C [ J O ] - tensorul de nerţe în raport cu punctul O { }[ ] { } O { ω } - coloană având componentele egale cu proecţle vteze unghulare pe cele tre axe { KO,C} [ J] { } = O ω (.3) Pentru mşcarea de rotaţe cu axă fxă avem: Kx Jx Jxy J xz Ky = Jxy Jy Jyz K z Jxz Jyz J z ωz (.3).9. Teoremele mpulsulu ) Teorema mpulsulu d l H= R + R (.33) d l MaC = R + R

22 ) Teorema momentulu cnetc d K = M + M l O,C O,C O,C (.34) Dacă momentul cnetc este raportat la un sstem de axe mobl atunc dervarea acestua se va face pe baza legătur dntre dervata absolută ş relatvă a une mărm vectorale. d ( * ) = ( * ) + w ( * ) (.35) dt t.. Dnamca unu rotor rgd cu axă fxă Fg..5 Se cunosc forţele drect aplcate care acţonează asupra rotorulu, se cunosc dstrbuţa de masă (pozţa centrulu de greutate, momentele de nerţe mecance), se cunoaşte natura legăturlor. Se cere: - legea de mşcare a rotorulu - forţele dnamce dn legătur Se alege un sstem de refernţă fx O X Y Z ş un sstem legat de corp OXYZ. d l ma C = R + R (.36) d l K = MO + MO

23 vc = vo +ω rc (.37) ac = ε rc +ω ( ω rc) ω =θ k =θ k ε=θ k (.38) ω rc ω ( ω rc ) = ω (.39) ω rc j k ac = θ +θ kθ zc θ ( xc + ycj+ zck) (.4) xc yc zc ac = θ yc +θ xcj θ xc θ ycj (.4) d d d d R = X + Y j+ Z k (.4) R = X + Yj+ Zk (.43) R = X + Yj+ Zk X,Y,Z,X,Y,Z - proecţle forţelor de legătură pe sstemul mobl KO = Jxzω Jyzω j+ Jzωk (.44) j k KO = J xzθ J yzθ j+ J zθ k+ θ (.45) KO Jxzθ Jyzθ Jzθ t ω KO M = M + M j+ M k - cunoscute (.46) d d d d x y z - negljând frecărle, în raport cu O va da un moment doar R - dstanţa dntre lagăre se notează cu l j k l M = OO K = l X Y Z Se proectează cele două ecuaţ vectorale pe axele sstemulu mobl: (.47)

24 ( ) d Ox : m θyc θ xc = X + X+ X d Oy : m θxc θ yc = Y + Y+ Y (.48) d Oz : = Z + Z+ Z d J xzθ+ Jyzθ = Mx ly (.49) d J yzθ+ Jxzθ = My lx (.5) d J zθ= Mz (.5) În cele şase ecuaţ apar şapte necunoscute: X,X,Y,Y,Z,Z ş θ Pentru rdcarea nedetermnăr artculaţa O se presupune clndrcă Z = - în ecuaţa (.5) sngura necunoscută este θ, prn urmare dn această ecuaţe se determnă legea de mşcare - ar f de dort ca reacţunle care apar în lagăre în procesul de mşcare să fe aceleaş ca în regm de staţonare xc = yc = centrul de greutate să se afle pe axa de rotaţe J xzθ Jyzθ = - sstem omogen J yz θ Jxz θ = (.5) Jxz Jyz = Jxz + Jyz Jyz Jxz = axa de rotaţe trebue să fe axă prncpală de nerţe.. Calculul forţelor dnamce transmse la lagăre În paragraful precedent s-a arătat că în condţle în care centrul de greutate al unu rotor se găseşte pe axa de rotaţe ş axa de rotaţe este axă prncpală de nerţe reacţunle nu dferă ca valoare de cele care s-ar obţne în lpsa mşcăr de rotaţe. Sstemul de ecuaţ devne: d X+ X + X = d Y+ Y + Y = d Z + Z = (.53) d Mx ly = d My lx = d Mz J zθ =

25 Dn prmele 5 ecuaţ rezultă X,X,Y,Y,Z, unde X,Y,Z, respectv XY,Z sunt proecţle celor două forţe de legătură R,R pe sstemul de axe legat de rotor. Fg..6 () () R,R - în sstemul fx S-a arătat că un vector exprmat în cele două ssteme de refernţă are o formulă de trecere dată prn matrcea A. () { r } = [ A]{ r }, [ A] = { e },{ e },{ e} 3 (.54) Această relaţe e valablă pentru orce vector. () X cos θ sn θ X () Y sn cos = θ θ Y () Z Z (.55) () X = Xcosθ Ysnθ () Y = Xsnθ+ Ycosθ () Z = Z (.56) θ=ω t - pentru mşcarea unformă (.57)

26 tg Y X ϕ= (.58) () X = X + Y cos ω t+ϕ () Y = X + Y sn( ω t+ϕ) Dacă rotorul nu e echlbrat aceste forţe dnamce devn mar. R = X + Y + Z în Oxzy () () () () R = ( X ) + ( Y ) + ( Z ) = R în O x y z (.59) (.6).. Reducerea maselor ş momentelor de nerţe mecance Pentru analza dnamcă a unor ssteme mecance se preferă de multe or a se face reducerea sstemulu orgnal, destul de complcat, la un sstem echvalent smplfcat. Prn masă redusă se înţelege masa echvalentă a unu sstem consderat într-o mşcare de translaţe. Obţnerea aceste mase se bazează pe echvalenţa dntre energa cnetcă a sstemulu orgnal cu energa cnetcă a sstemulu redus. ( Ec) = ( Ec) (.6) O r N N mv Jω mv r + = = = N N v ω r = + = v = v (.6) m m J Dacă se urmăreşte reducerea sstemulu orgnal la un corp aflat în mşcare de rotaţe acesta va avea un moment de nerţe redus. Prn urmare: E = E (.63) c O N N mv Jω ( Ec ) = O + = = ( EC) = J r rω N N v ω Jr = m + J = ω = ω c r (.64) (.65)

27 Aplcaţe. Fg..7 r Fg..8 x = φ l x φ= l v= x x ω=φ= l ml b b Jbara = 3 3m4l x 5 ( Ec ) = mx + O = mx 3 l ( EC) = m r rx m = 5m.3. Reducerea sarcnlor (forţelor ş momentelor) exteroare Reducerea sarcnlor exteroare se bazează pe echvalenţa lucrulu mecanc elementar efectuat de forţe în sstemul orgnal ş lucrul mecanc elementar efectuat de forţa redusă în sstemul echvalent.

28 N N dl = Fdr + M dγ dt O O = = N N P = Fν + Mω N O = = dl = F dr dt r r O ( P) = Fv r r O ( P) ( P) (.66) (.67) (.68) (.69) = (.7) O r N Fv + M ω = Fv (.7) O r O = = N N Fv + M ω = Fv (.7) O r O = = Fg..9 N N v O ω r = vo = vo (.73) F = F + M Dacă sstemul de forţe se reduce la un cuplu, atunc valoarea acestu moment se va num moment redus. Puterea redusă va f: P = M ω (.74) r r PO = Pr (.75) N N v ω Mr = F + M = ω = ω (.76)

29 .4. Reducerea une mşcăr de rotaţe la o mşcare de translaţe Să se transforme o mşcare de rotaţe într-o mşcare de translaţe stuată la o dstanţă R de axa mşcăr de rotaţe ( Ec) ( Ec) O r ( E ) J = (.77) c = ω ω=φ (.78) O Ec = m r rx ; x =φ R (.79) Fg.. Fg..

30 Fg.. Pentru unghur mc putem accepta că x este lungmea arculu. Nm [ K] SI N [ k] SI ( E ) ( Ep) φ= x x R φ= R =ω (.8) x J J = m rx mr = (.8) R R E = E (.8) ( p) ( p) O p = Kφ O x K K = kr x kr = R R = k r rx = = Nm;pentru arc spral rad =, pentru arc elcodal m r (.83).5. Transformarea une mşcăr de translaţe într-o mşcare de rotaţe

31 Fg..3 Fg..4 x R φ= x x R R (.84) ( Ec ) = mx O (.85) ( Ec) = J r rω (.86) x mx = Jr J r = mr R (.87) ( E ) kx = (.88) ( Ep) = k r rφ (.89) x kx = kr k r = kr R (.9) p O

32 .6. Legarea în paralel a elementelor elastce Fg..5 Toate arcurle suferă aceleaş deformaţ. F = k x k =...n (.9) F= k x (.9) ( Ep) ( Ep) ( E ) O r = (.93) k r x N p = O (.94) = ( Ep) krx r = (.95) r N k = k (.96) =

33 .7. Legarea în sere a elementelor elastce Aplcaţa. ( p) - pentru arcur sprale: Fg..6 x+ x +...x n = x (.97) F = kx F = F (.98) F= k x F k = = = r E N N N x k F O k = = = k (.99) F ( Ep) = k r rx = kr (.) N = (.) k r = N K r = k = K (.)

34 Se consderă sstemul mecanc dn fgură. Să se reducă rgdtatea arborelu 3 la arborele. A reduce pe arborele 3 la arborele înseamnă a înlocu un element elastc care se deformează cu o mărme egală cu deformaţa elementulu la care se face reducerea conducând astfel la aceeaş energe potenţală ca ş elementul rgd. Fg..7 ( E ) p = k3 φ5 φ 6 O ( E ) p = k3r φ φ r ( φ5 φ6) k = k ( φ φ ) 3r 3 M = K φ φ M = K φ φ r 3r M3 k3 φ5 φ6 = M k3r φ φ Se poate face ş un blanţ energetc. M ω = M ω, dacă ar f randamentul % 3 3 M ωηη = M ω 3 3 M 3 ω3 = M ω η η

35 ω ω =, = ω ω3 φ φ = φ φ ηη K K 5 6 3r 3 k M 3 = M ηη k 3r 3r = K3ηη k3 k = k 3 3r ηη Aplcaţa. Se consderă mecansmul în trepte dn fgură. Să se reducă mecansmul dn fgură la arborele motor. Fg..8 Toate elementele dn arbor ş 3 vor f puse în condţle de lucru ş deformaţ ale arborelu.

36 Fg..9 J ω J ω + J ω r 3 J = J + J ω = J J + J3rω = J 4ω + J5ω 3 3 r 3 ω ω ω 3 J J5 J3r = J4 + J5 = + ω ω ω 3 J ω = J ω J = J = J ω Acum calculăm elementele dentce: 6r 6 3 6r 6 6 k φ = k φ r φ ω r φ ω k = k = k k kr = k3φ 3 = k3rφ φ 3 ω 3 3r r 3 φ ω k = k = k De obce roţle dnţate au nerţe negljablă faţă de motorul de acţonare sau maşna de lucru.

37 Fg..3 = + + k k k k r r 3r Fg..3

38 . Dnamca fundaţlor de maşn Fundaţa de maşnă este o structură mecancă rgdă sau una elastcă pe care este amplasată o maşnă sau ma multe. Aceste fundaţ preau forţele transmse de la maşn sau pot transmte la rândul lor forţe maşnlor amplasate pe acestea. Aceste forţe F = F t ş se numesc forţe perturbatoare. sunt dnamce, adcă varază în tmp p p.. Tpur de forţe perturbatoare a) Forţe perturbatoare produse pe cale nerţală Forţele perturbatoare produse pe cale nerţală se datorează fe mşcăr de rotaţe a unor corpur neechlbrate fe datortă mşcăr de translaţe de tp osclant, cazul maşnlor cu pston. Fg..

39 - forţa centrfugă θ =ω t +θ (.) Fcf = mω l (.) F = mω lcos ω t+θ (.3) cfx cfx F = mω lsn ω t+θ (.4) Forţa nerţală are două componente, una va solcta structura axal ş una transversal. Deoarece rgdtatea axală este mult ma mare decât rgdtatea transversală, practc efectul domnant este cel dat de solctarea transversală. m Fp = Fcfy = mω lsn( ω t+θ ) = ( M+ m) ω lsn( ω t+θ ) = M+ m (.5) = M+ m ω rsn ω t+θ m r = l (.6) M+ m b) Forţe perturbatoare produse pe cale cnematcă Studerea mşcăr maşn se poate face faţă de un reper fx (mşcare absolută) sau faţă de fundaţe (mşcare relatvă), ar mşcarea fundaţe se numeşte mşcare de transport. Fg.. y deplasarea absolută a maşn x deplasarea relatvă a maşn

40 f - deplasarea fundaţe (de transport) - separăm maşna: y= f + x (.7) legea a II a lu Newton Fg..3 ma = F (.8) F = k z f - forţa elastcă (.9) a e F = c y f - forţa dn amortzor (.) my = F F (.) e a my = k y f e y f (.) my + cy + ky = cf + kf (.3) F = cf + kf (.4) p f legea de mşcare a fundaţe Presupunem că fundaţa se mşcă după o lege armoncă: f = rsnω t (.5) F = crcosω+ t krsnω t (.6) p p F = F + sn ω t+φ (.7) F c r k r r c k = ω + = ω + (.8) cωr cω tgφ = = φ (.9) kr r

41 Fg..4 Dacă ne nteresează mşcarea relatvă a maşn, se înlocueşte în ecuaţa dferenţală y= f + x m x+ f + c x + f + k x+ f = cf + kf (.) mx + cx + kx = mf (.) F = mf (.) p Fp = mω rsnω t (.3) π F = mω r, ω=, ω= πν (.4) T F = m4π ν r acceleraţa e mare la frecvenţe mar. (.5).. Vbraţle fundaţlor de maşn Consderaţ generale Ansamblul maşnă fundaţe de maşnă, consttue un corp a căru mşcare se va raporta la un sstem trortogonal drept Oxyz, O este centrul de greutate al ansamblulu maşnă - fundaţe, ar C centrul de greutate al suprafeţe de sprjn (centru elastc). Dacă se urmăreşte studerea mşcăr ansamblulu, se vor aplca teorema mşcăr centrulu de masă ş respectv teorema momentulu cnetc: ma O = F, KO = MO Ansamblul va avea posbltatea mşcăr de translaţe după cele tre axe ş respectv de rotaţe în raport cu aceleaş axe.

42 Fg..5 (.6) mx = X my = Y (.7) mz = Z (.8) X, Y, Z componentele forţelor pe cele tre axe Jx Jxy J xz ωx { KO} = Jxy Jy Jyz ωy (.9) Jxz Jyz J z ωz Notăm φ x rotaţa în jurul axe Ox, φ y rotaţa în jurul axe Oy ş Ψ rotaţa în jurul axe Oz Jx Jxy J xz φ x { KO} = Jxy Jy Jyz φ y (.3) Jxz Jyz J z ψ Dacă consderăm axele Ox, Oy, Oz ca axe prncpale de nerţe, Jx φ x { KO} = Jy φ y (.3) J z ψ De la proecţa teoreme momentulu cnetc pe cele 3 axe, se obţne:

43 J xφ x = MOx J φ = y y MOy (.3) J ψ= z MOz Vom consdera pentru început forţele de natură elastcă ş momentele acestor forţe. Rezultanta forţelor elastce pe axa x, R ex va f: Rex = kx x (.33) Unde k x este constanta elastcă a solulu pe care este fundaţa ş se poate exprma astfel: kx = CxS (.34) Unde C x, este coefcentul de elastctate al terenulu după axa x S, este suprafaţa de refugu N N [ kx] = [ Cx] = SI SI 3 m m Analog: Rey = ky y; ky = CyS (.35) Rez = kz z; kz = CzS (.36) Pentru momentele date de forţele elastce: Mex = Kx φ x (.37) Kx = Cφ xix unde: K - constanta elastcă x C φ x - coefcentul de elastctate al terenulu I x - moment de nerţe geometrc a suprafeţe în raport cu axa x Nm Nm [ Kx ] = = = Nm SI rad Nm N C φx = = SI 4 3 m m Analog: Mey = Ky φ y (.38) Ky = Cφ yiy (.39) Mez = Kz ψ (.4) K = C I (.4) z ψ z

44 Vbraţle lbere vertcale ale une fundaţ Fg..6 = = (.4) mz + R ez = (.43) mz + k zz = (.44) k z (.45) mz G N R ez z+ z= m kz pz m = (.46) k z pz = - pulsaţa propre a ansamblulu după z (.47) m Relaţa ecuaţe dferenţale reprezntă mşcarea lberă (lpsa forţele perturbatoare) a ansamblulu. z - soluţa omogenă z = Az sn( pz +θ ) (.48) A, θ - se determnă dn condţle nţale z Astfel se întâlnesc stuaţ: a)dacă fundaţa este aşezată drect pe teren, atunc raportul dntre greutatea acestua ş suprafaţa de fundare dă presunea admsblă. G pa = (.49) S kz CzS CzS Czg pz = = g = g = (.5) m mg G p a

45 c) dacă fundaţa este elastcă p z Fg..7 k k g m mg = z = z g = (.5) δ k z δ = G (.5) Vbraţle forţate vertcale ale une fundaţ Fg..8

46 Fg..9 = z + p (.53) + z = p (.54) mz k z F mz k z F Fp = Fsnω t (.55) mz + k z = F sn ω t m (.56) z k z F z+ z= snωt m m (.57) F z+ pzz= snωt m (.58) z( t) = z + zp (.59) z = Azsn( pzt+θ ) - soluţe omogenă (.6) zp = Azsnω z - soluţe partculară (forţată) (.6) zp - trebue să verfce ecuaţa dferenţală F Azω sn ω t + pzazsn ω t = sn ω t m (.6) F Az = m p ω - ampltudnea mşcăr fundaţe (.63) z F m F m kz kz zp = snω t = snωt ω ω p p z z Introducem noţunea de coefcent de transmsbltate η : T (.64)

47 ( t ) F - forţa transmsă maxmă P max F - forţa perturbatoare maxmă max η = T ( F ) t ( Fp ) Forţa F t este transmsă prn arc. F kz kz F Ft() t = kzzp = sn ω t = sn ωt ω ω p p max max z z p (.65) F t = F snω t (.66) Dacă maşna ar f drect pe fundaţe rgdă, atunc avem: ( Ft ) max η T = = (.67) F ( p ) max Fg.. Dacă maşna este pusă pe elemente elastce, atunc avem: F ω pz η T = = F ω pz Dacă ω= pz ηt n 3 π = p n = p 6 π z cr z (.68) (.69)

48 ω n = (.7) pz ncr η T = (.7) n ncr Dacă maşna este pusă pe sol avem: Cg z pz = (.7) p n 3 a Cg z cr = (.73) π pa Dacă maşna este pe o structură elastcă: p = g δ (.74) z cr 3 g n = (.75) π δ

49 Fg.. Izolarea maşnlor Pentru a reduce coefcentul de transmsbltate respectv forţele transmse prn fundaţe sau de la fundaţe la maşnă, maşnle se aşează pe elemente care drjează energe. Cele ma frecvente materale sunt: caucucul, pluta, pâsla.

50 Fg.. mz = Fp cz k zz (.76) mz + cz + kzz = Fsn ωt (.77) z= z + z (.78) p σt z z = A e sn ω+θ t (.79) Dacă z p va f tot o mşcare armoncă: zp = Azsn( ω φ t ) (.8) Fsn ωt mz cz kz z = (.8) Avem 4 forţe armonce care pot f reprezentate prn vector rottor. Fg..3 Fcosφ+ mω A ka =,pe drecţa mşcăr (.8) z z z

51 Fsn φ cω Az =,pe drecţe perpendculară (.83) ka z z mω Az = Fcos φ cω Az = Fsnφ φ,a z (.84) c ω tgφ= kz mω (.85) Az = F k mω + c ω (.86) ( z ) ( z ) F = ω φ k mω + c ω zp sn t t z (.87) F = k z+ cz (.88) Fg..4 ( F ) A k c = + ω (.89) t max z z ( F ) p max = F (.9) Ft max F k kz +ω c z +ω c η T = = = k mω + c ω F k mω + c ω ( Fp ) max ( z ) ( z ) Introducem noţunea de coefcent de amortzare crtcă c cr : ccr (.9) = km (.9) c c k m c k k c p z = = z kz m z cr z (.93)

52 η = T c ω + c cr p z ω c ω + pz ccr p z (.94) Fg..5 Se constată că dacă maşna este pusă pe elemente elastce, atunc coefcentul de transmsbltate cade sub dncolo de turaţa crtcă dar la trecerea prn turaţa crtcă acest coefcent este foarte mare. Prn plasarea de elemente care consumă energe prn frecare, valoarea coefcentulu de transmsbltate scade la trecerea prn turaţa crtcă însă prezntă dezavantajul că la regmul de funcţonare dncolo de turaţa crtcă, coefcentul de transmsbltate este ma mare decât în cazul în care maşna era aşezată doar pe elemente elastce.

53 Până în alegerea modulu de amplasare a maşnlor se pot lua drept ghd turaţle acestora. Astfel până la turaţa nomnală 5-6 rot/mn maşna poate f prnsă de o fundaţe ş aşezată drect pe teren. Până la 5 rot/mn se recomandă ca maşna să fe prnsă prn ntermedul elementelor amortzoare (caucuc, pâslă, plută). Peste 5 rot/mn se recomandă ca maşna să fe prnsă pe o fundaţe elastcă ş să funcţoneze dncolo de rezonanţă. Vbraţle lbere orzontale ale une structur maşnă plus fundaţe Fg..6 (.95) mx = R ex Rex = kx x (.96) mx + k x = (.97) k x x+ x = (.98) m px pulsaţa propre a structur pe x kx Cx s Cxg px = = g = (.99) m mg pa x = A sn p t θ (.) x x x

54 Vbraţle lbere longtudnale Fg..7 Această mşcare se referă la relaţe în raport cu axa y. Se poate scre ecuaţa corespunzătoare dn teorema momentulu cnetc: J φ = M + mg h snφ (.) C y Cy sn φ φ, mşcăr mc (.) M = K φ = C I φ (.3) Cy y y φy y y ( φ ) J φ + C I mgh φ = (.4) C y y y y C I mgh (.5) φy y φ y + φ y = Jc P C I mgh φy y φy = (.6) Jc Observaţe: Se constată că pentru clădrle zvelte exstă o problemă în cazul acestor Cφ yiy mgh mşcăr, practc dau raportul, înseamnă că mşcarea nu va f una de JC osclaţe de rotaţe în jurul axe Oz ceea ce înseamnă că structura îş perde stabltatea.

55 Vbraţle lbere cuplate de translaţe în lungul une axe ş de rotaţe în jurul une axe longtudnale Fg..8 În studul vbraţlor fundaţlor de maşn, făcut în paragrafele precedente s-a consderat că structura fundaţe maşn este smetrcă atât dn punct de vedere geometrc cât ş dn punct de vedere mecanc. În realtate aceste structur sunt smetrce faţă de un plan vertcal, astfel că se poate reduce studul mşcăr la un sstem mecanc cu patru grade de lbertate: o deplasare în lungul axe Ox, o deplasare după axa Oz, o rotaţe în raport cu Oy ş o rotaţe în raport cu Oz. Pentru acest studu se consderă : după axa Oz, greutatea propre G, reacţunea peretelu R z = G, rezultanta forţelor elastce după z; După axa Ox: rezultanta forţelor elastce R ex Cuplur care dau momente: G, Rex, M ey, Mez Se pot scre cele 4 ecuaţ: mx = x mz = z (.7) J Oyφ= MOy JOzψ= MOz

56 mx = Rex = mz = G R z R ez J Oyφ= M( G) MOy + M( Rex ) JOzψ= Mez (.8) Rex = kxxc = Cx S xc (.9) x = OO' = x + = x hφ C hsnφ= xc + hφ xc (.) Rex = Cx S ( x hφ ) (.) Rez = Cz S z= kzz (.) ' ' M ( G) = mg ( C O ) = mgh sn φ mghφ (.3) Mey = Kφφ= CφIyφ (.4) Mez = Kzψ= CψIzψ (.5) Mex = Rexh = CxS( x hφ ) h (.6) mx = CxS( x hφ) mz = CzS z J Oyφ= mghφ CφIyφ+ Cx S( x hφ) h JOzψ= CψIzψ (.7) Adunând ecuaţa se obţne: mx + CxS x CxS h φ= J Oyφ CShx x + ( CSh x + CI φ y mgh) φ= mz + CzSz = Jozψ+ CψIzψ= (.8) Concluz: Două ecuaţ dferenţale sunt decuplate ar două sunt cuplate. Ultmele două ecuaţ au fost dscutate la vbraţ lbere vertcale ş respectv la vbraţ lbere în jurul axe O z. Pentru studul vbraţlor lbere se au soluţ de forma: x = Asn pt+α (.9) φ = Bsn( pt+α ) (.) Punem condţa să verfce ecuaţle:

57 mp A + CxS A CxS h B = JOypB CShA x + ( CSh x + CJ φ y mghb ) = Am obţnut ecuaţ omogene cu necunoscutele A ş B: mp CxS CxS h A = C JOyp Z A ; B mpcs x CSh x = CSh J p + CSh + CI mgh x Oy X φ y ( ( φ )) ( φ ) + ( + φ ) ( φ ) 4 Oy x Oy x y x y (.) (.) (.3) J mp C SJ + m C Sh + C I mgh p + C S C I mgh = (.4) CSJ x Oy m CSh 4 x CIy mgh CSCI x y mgh p p + mjoy mjoy = (.5) Pulsaţa propre în lungul axe x: kx CxS p x m m (.6) CI φ y mgh pφ = JCy (.7) 4 CS CSJ x ( Oy + mh ) mgh CI x CS x φ y mgh p + p + = m J Oy m JOy (.8) Pe baza teoreme lu Stener: JCy = JOy + mh (.9) JOy Introducem: γ= JCy Ecuaţa se transformă în: 4 p ( px + pφ ) p + pxpy = γ φ (.3) Ecuaţa pulsaţlor propr a vbraţlor lbere cuplate de translaţe ş rotaţe în jurul une axe longtudnale. Dacă se rezolvă ecuaţa: p = ( p + p ) ± ( p + p ) φ 4γp p γ Dacă se reprezntă pe o axă pulsaţle propr, avem:, x y x x φ (.3)

58 Fg..9 În cazul vbraţlor cuplate de translaţe ş vbraţe pot exsta stuaţ. Pentru a analza cele două stuaţ luăm prma ecuaţe algebrcă dn sstemul omogen: mp A + C SA + C ShB = (.3) x x CS x h x px CS x x x A CSh = = m = h B mp + C S p p p m a) dacă fundaţa are pulsaţa propre p px, atunc A B (.33) Fg.. A b) dacă fundaţa va avea o pulsaţe propre ma mare p px B

59 Fg.. Dec fundaţa are două modur propr de vbraţ. Vbraţle forţate cuplate de translaţe în jurul une axe ş de rotaţe în jurul une axe longtudnale În funcţonarea unor maşn fxate de o fundaţe, datortă unor mase neechlbrate aflate în mşcare de rotaţe, sau datortă mşcăr mecansmelor belă manvelă, apar forţe nerţale (perturbatoare). În unele stuaţ aceste forţe perturbatoare dau ş momente perturbatoare. Momentele perturbatoare ma sunt date ş datortă dezaxărlor dntre axul motorulu ş axul maşn de lucru. - forţa perturbatoare F(t), momentul perturbator M(t) - ecuaţle dferenţale în acest caz vor f ca ş cele de la vbraţ lbere doar că în membrul drept vor apărea F(t) respectv M(t). mx + C Sx C Shφ= F t (.34) x x ( φ ) J Oyφ CxShx+ C Iy mgh+ CxSh φ= M t (.35) M t = M snωtsunt - vom consdera cazurle când F( t) F sn t = ω, armonce Ne nteresează vbraţle forţate ale ansamblulu maşnă fundaţe, prn urmare legle de mşcare vor f de forma membrulu drept. x = Ax snωt (.36) φ = Aφ sn ω t

60 mω Ax + CxAx CxShAφ = F (.37) Jy ω Aφ CShA x x + ( CI φ y + CSh x mgh) Aφ = M după smplfcare cu sn ω t mω CxS CxSh Ax F = (.38) CSh A x JOyω + CI φ y + CSh x mgh φ M Ax mω CxS CxSh F = = Aφ CSh x JOyω + CI φ y + CSh x mgh M J F Oyω + CφIy + CxSh mgh CxSh (.39) CSh M x mω CS x = Δ ω Δ( ω ) - determnantul matrce ( φ ) Ax = Δ( ω ) CShF x + ( mω + CS x ) M A φ = Δ( ω ) JOym( px )( p φ ) J ω + C I + C Sh mgh F + C ShM Oy y x x (.4) (.4) Δ ω = ω ω (.4) În calculul ampltudn A x se poate neglja termenul dat de greutate ş se obţne o exprese ma smpla: ( JOyω + CφIy + CxSh ) F + CxShM Ax = (.43) mj ω p ω p A φ - rămâne la fel Oy ( x )( φ )

61 Fg.. h+ h = H (.44) f dstanţa de la fundaţe până în punctul de aplcare a forţe perturbatoare L x latura mare a suprafeţe de sprjn În practcă avem următoarele două stuaţ: a) L x >3H, ( JOyω + CφIy + CxSh ) F JOy ( ω pφ) F Ax = = = mjoy ( ω px )( ω pφ) mjoy ( ω px )( ω pφ) (.45) F = m ω p ( x ) L x < H, termenul determnant va f cel dat de moment rezulta că ampltudnea deplasăr va f dată de A φ ( mω + CxS) M M Fh z Oy ( ω x )( ω φ) Oy ( ω φ) Oy ( ω φ) A φ = =... = = mj p p J p J p (.46)

62 Fg..3

63 3. Dnamca maşnlor rotatve 3.. Dnamca unu rotor (consderând arborele flexbl) Fg. 3. Deducerea ecuaţlor dferenţale ale mşcăr: C centrul elastc, punctul în care arborele ntersectează planul rotorulu (centru geometrc) G centrul de greutate OC deformaţa O ntersecţa dntre lna lagărelor cu planul rotorulu Presupunem că rotorul este smetrc plasat faţă de lagăre. Rgdtatea lagărelor este mult ma mare decât rgdtatea arborelu adcă pe drecţa lagărelor deformaţle sunt mult ma mc decât în dreptul rotorulu. CG = e, excentrctatea Asupra rotorulu vor acţona două forţe: o forţă elastcă proporţonală cu deformaţa Fe = k OC ş o forţă de frecare de amortzare datortă frecăr dntre rotor ş fludul în care se mşcă proporţonală cu vteza centrulu elastc. Fa = coc (.) Dacă se scre legea mşcăr centrulu de greutate: mag = Fe + Fa (.) Negljăm greutatea propre: ag = OG = yg j+ zgk (.3) OC = y j + z k (.4) C C

64 Dacă proectăm pe cele două axe: my G = kyc cy C (.5) mz G = kzc + cz C (.6) yg = yc + ecosθ zg = zc + esnθ (.7) y G = y C + eθ snθ z G = z C + eθ cosθ (.8) yg = yc + e θsnθ eθ cosθ zg = zc + e θcosθ eθ snθ (.9) Acum înlocum în ecuaţle de mşcare: my G + cy C + kyc = me θsn θ+ eθ cos θ mz G + cz C + kzc = me θcos θ+ meθ sn θ (.) Ecuaţle dferenţale ale mşcăr centrulu elastc. Presupunem că rotorul are o mşcare de rotaţe unformă. Ω=θ ( t) constant (.) ε =θ ( t) =Ω ( t) (.) θ =Ω t +θ (.3) my G + cy C + kyc = meω cos( Ω t +θ) mz G + z C + kzc = meω sn ( Ω t +θ) (.4) Cazul rotorulu perfect echlbrat ş amortzat C G e= Fa my G + cy C + kyc = mz G + cz C + kzc = (.5) Planul O yz se consderă planul complex Re = Oy ş Im = Oz rc = yc + zc (.6) rg = yz + zg (.7) =, r C număr complex. Înmulţnd a doua ecuaţe cu ş o adunăm cu prma, rezultă: mr C + cr C + krc = (.8) Ataşăm ecuaţa caracterstcă:

65 mλ + cλ+ k = (.9) c c k λ, = ± (.) m m m Valoarea amortzăr pentru care se anulează dscrmnantul, se numeşte amortzare cnetcă. c k k = ccr = m = k m (.) m m m k Notam =ω n pulsaţe propre m c Notam =ξ raport de amortzare c cr c c km n m = km m =ξ ω (.) λ = ξω ± ξ ω ω =ω ξ± ξ (.3), n n n n De obce raportul de amortzare ξ <, adcă amortzarea este subcrtcă. ( ) λ =ω ξ± ξ = ω ξ± ω ξ (.4), n n n ξω n = σ factor de amortzare (.5) ωn ξ = p, pseudopulsaţe (.6) λ, = σ± p (.7) Soluţle ecuaţe dferenţale exprmate în complex vor f de tp Euler: λt λt σt pt σt pt rc = Re + Re = Re e + Re e = σt pt pt = e ( Re + Re ) (.8) Dacă ar lps amortzarea c= σ= ξ= ωnt ωnt rc = Re + Re (.9) e = cosα+ snα (.3)

66 Fg. 3. În lpsa amortzăr centrul elastc se mşcă pe o elpsă. Legea de mşcare este dată de relaţa: σt pt pt re = e ( Re + Re ) (.3) În prezenţa amortzăr centrul elastc al arborelu se mşcă pe o sprală, adcă prezenţa amortzăr are rol de stablzare a mşcăr. Fg. 3.3

67 Cazul rotorulu perfect echlbrat ş neamortzat Fg. 3.4 C G; Fa = ; e=, c= mr C + krc = (.3) mλ + k = (.33) k λ, =± =±ω n m (.34) r ωnt ωnt = R e + R e (.35) C Fg. 3.5 Tot o elpsă va eş, dar acum vom vedea ş analtc: R, R constante de ntegrare r = y + z (.36) C C C Separând părţle Re ş Im dn legea de mşcare a punctulu C se obţne: y = R cos ω t + R cos ω t = R + R cos ω t (.37) C n n n

68 Avem două stuaţ: a) R >R z = R sn ω t + R sn ω t = R + R sn ω t (.38) C n n n yc R+ R zc R + R = cos ω t n = sn ω t n y C z C + = R+ R R+ R + (.39) - ecuaţa une eclpse (.4) Mşcarea propre ( Ω) se suprapune peste mşcarea de deformaţe mşcarea de precese ( ω n ) Mşcarea de precese se numeşte mşcare drectă. Fbra întnsă rămâne în decursul mşcăr de precese tot tmpul întnsă, valoarea tensun se schmbă datortă faptulu că se modfcă raza de curbură. Fg. 3.6 b) R <R Are loc o mşcare de precese nversă care duce totodată la alternarea fbre întnse de or pe nterval de tmp (adcă în cclu de rotaţe)

69 Fg. 3.7 În cazul mşcăr de precese nverse apare fenomenul de oboseală. Dacă R+ R =± ( R R) Rezultă cele două semaxe sunt egale R+ R = R R cerc Cazul rotorulu dezechlbrat ş neamortzat e c= Fg. 3.8 my C + kyc = meω cos Ω t +θ mz C + kzc = meω sn Ω t +θ (.4) θ =Ω t +θ (.4)

70 Punctulu C se ataşează numărul complex: rc = yc + zc (.43) Iar pentru G avem: rg = yg + zg (.44) Înmulţm cu cele două ecuaţ dn sstem, apo adunăm cele două ecuaţ ş avem: mr C + krc = meω exp ( Ω t +θ) (.45) e = exp α= cos α+ sn α (.46) r c îl alegem de forma momentulu drept: rc = RCexp( Ω+θ t ) (.47) C rc + kr = eω exp( Ω t+θ) m (.48) k n m = ω (.49) Ω R exp Ω+θ t +ω R exp Ω+θ t = eω exp Ω+θ t (.5) R C n C Ω n C n Ω e ω = = e, modulul numărulu complex ataşat la C (.5) ω Ω Ω ωn Ω ω r = e exp Ω t+θ Ω ωn n C (.5) OC - este un vector rottor R C, θ OG = OC + CG (.53) rg = rc + e exp( Ω t +θ ) = R Cexp( Ω t +θ ) + e exp( Ω t +θ ) = (.54) = ( R C + e) exp ( Ω t +θ ) = R G exp ( Ω t +θ) Observaţe: Deoarece numerele complexe ataşate lu C respectv G sunt de aceeaş formă, aceeaş fază rezultă că punctele O, C, G sunt colnare. Punctul C se roteşte pe un cerc de rază R C, ar G pe un cerc de rază R G.

71 Ω ωn RC = e Ω ωn eω ωn e e R = + e= = ωn Ω ωn Ω Ω ωn Pentru a urmăr pozţa punctelor C ş G, se reprezntă grafc: RC = R Ω C ωn RG = R Ω G ωn G (.55) (.56) (.57) (.58) Astfel avem patru stuaţ: Ω. < Ω<ω n ω n Fg. 3.9

72 Fg. 3.. Ω ω n, deformaţle sunt foarte mar Ω 3. > Ω>ω n ω n π n k =ω n π =, turaţa crtcă (.59) T 6 m n cr 3 k = (.6) π m Fg Ω>>ω n În această stuaţe are loc aşa numta autoechlbrare a rotorlor. Fg Dnamca arborlor cu ma multe rotoare. Prncpul recproctăţ lucrulu mecanc ş deplasărlor (Bett) Presupunem că asupra unu sstem mecanc acţonează un sstem de forţe S. Acesta va avea ca efect deplasarea sstemulu ş va face un lucru mecanc L. Peste sstemul de forţe S se aplcă sstemul S care va avea ca efect o deplasare. În această deplasare produsă de S, lucru mecanc total va f: Lt = L+ L + L (.6) Presupunem că se schmbă ordnea de aplcare a forţelor, adcă prma dată se aplcă L ş peste S se aplcă S Lt = L + L+ L (.6) Deoarece starea fnală a sstemulu nu este aceeaş în ambele stuaţ L rezultă: L + L + L = L + L + L L = L (.63)

73 Enunţ: Dacă asupra unu sstem mecanc acţonează mecanc ssteme de forţe atunc lucrul mecanc produs de prmul sstem de forţe cu deplasărle celu de-al dolea sstem de forţe este egal cu lucru mecanc produs de al dolea sstem de forţe cu deplasărle prmulu sstem. Studul deplasărlor cu metoda Mohr Maxwell Avem o bară supusă la întndere: Screm legea lu Hooke: Conform prncpulu lu Bett: Dacă avem încovoere: Fg. 3.3 n x Δ ( dx) = dx (.64) EA ndx dl = N EA (.65) L l Nmdx EA L = δ (.67) = (.66) l Nndx δ= (.68) EA

74 dl = Rdr + Mdϕ (.69) Fg. 3.4 m x dϕ= dx (.7) EI p m x dl = M ( x) dx (.7) EI L p l M x m x = dx (.7) EI p

75 Coefcenţ de nfluenţă L = δ (.73) l M( x) m( x) δ= dx EI (.74) p Fg. 3.5 δ - reprezntă deplasarea grnz într-o secţune datorată une forţe untare care j acţonează în secţunea j.

76 x dx dϕ = (.75) EI () m ( x) j EIp p m dl = m x dx (.76) L l mj x m x = dx (.77) EI j p L = δ (.78) j l m x mj x dx δ = (.79) EI p 3.3. Turaţle crtce ale unu arbore cu ma mulţ rotor Turaţle crtce de încovoere, deducerea ecuaţlor Fg. 3.6 Se consderă pe un arbore un număr de n rotoare având masele m asupra lor acţonând forţele F, ar deformaţle arborelu se notează cu y. Vteza unghulară se consderă Ω. Se vor nota Y, =,n, forţele de nerţe Y = m y Dacă consderăm că în secţunea acţonează o forţă untate y =δ În cazul nostru: y =δ ( F+ Y) +δ ( F + Y ) δ n( Fn + Yn) (.8) y =δ ( F + Y ) +δ ( F + Y ) δ n ( Fn + Yn ) (.8).. y =δ F + Y +δ F + Y δ F + Y (.8) n n n nn n n Înlocum forţele de nerţe ş se trec termen corespunzător în membrul stâng:

77 δ m y +δ m y δ m y + y =δ F +δ F δ F (.83) n n n n n δ m y +δ m y δ nm nyn + y =δ F +δ F δnfn (.84).. δ nm y +δ nm y δ nnm nyn + yn =δ nf +δ nf δnnfn (.85) Ecuaţle dnamce ale mşcăr arborelu cu n rotoare Se notează matrcea deplasărlor: y = y, y,...y (.86) { } { } T n { y} = { y, y,...y } T (.87) n δ δ... δn δ δ... δ n [ δ ] = - matrcea coefcenţlor de nfluenţă (flexbltate) (.88) δn δn... δnn l m( x) mj( x) dx δ j = =δj EI (.89) Matrcea de flexbltate este o matrce smetrcă. m... m... [ m] = - matrcea de nerţe mn (.9) [] I = - matrcea untate (.9) [ F] = { F } T,F,...Fn - matrcea forţelor perturbatoare (.9) Ecuaţle dnamce ale mşcăr arborelu cu ma multe rotoare se pot scre matrcal: [ δ ][ m]{ y} + [ I]{ y} = [ δ]{ F} (.93) Dacă presupunem că asupra arborlor nu acţonează nc o forţă perturbatoare atunc ecuaţa dnamcă a mşcăr sub formă matrcală este: [ δ ][ m]{ y} + [ I]{ y} = { } - ecuaţe matrcală de ordnul (.94) Analog cu o ecuaţe smplă se vor căuta soluţ de forma: y = a sn pt+φ - soluţa ecuaţe omogene (.95) { } { } { a} { a,a,...a } T = - ampltudnle dn dreptul fecăru rotor. (.96) n

78 Punem condţa să verfce ecuaţle dferenţale: p δ m a sn pt+φ + I a sn pt+φ = (.97) [ ][ ]{ } [ ]{ } Factorul sn ( pt + φ ), se smplfcă ( p [ ][ m ] [ I ]){ a } { } vrem să determnăm { a }, { a} δ + = - sstem algebrc omogen (.98) [ ][ ] [ ] n p δ m + I = P p = - polnom de gradul n în p (.99) Pentru a admte o soluţe nebanală Ecuaţa caracterstcă a ecuaţe dferenţale Rezolvând ec. caracterstcă p,p,...pn, pulsaţ propr Determnarea forţelor perturbatoare Fg. 3.7 Se consderă un rotor dn cele n. Pe drecţa de deformaţe (de încovoere) acţonează în dreptul fecăru rotor următoarea forţă perturbatoare: F = mgcos Ω t+θ + mω y + e F (.) ( ) { } [ ]{ } [ ][ ] { } { } [ ][ ]{ n} δ F =Ω δ m y + e + g δ m I cos Ω t+θ (.)

79 { I n } = - se constată că în practcă avem două stuaţ: (.).Cazul rotoarelor mar (de masă mare) ş turaţ mc n πn Ω= π = - cazul agregatelor hdroelectrce ş termoelectrce vteza unghulară este mcă, Ω ş ma mcă prmul termen poate f negljat în raport cu al dolea: [ δ ][ m]{ y} + [ I]{ y} = g[ δ][ m]{ In} cos( Ω t+φ) - ecuaţa dferenţală neomogenă - ne nteresează mşcarea creată de forţele perturbatoare - soluţa se va lua de forma membrulu drept y = A cos Ω+φ t (.3) { A} { A,A,...,A } T { } { } = n - ampltudnle dnamce dn dreptul fecăru rotor - punem condţa să verfce ecuaţa dferenţală: Ω [ δ][ m]{ A} cos( Ω t+ φ ) + [ I]{ A} cos( Ω t+φ ) = g[ δ][ m]{ In} cos( Ω t+φ ) ( [ ][ m] [ I] ){ A} g[ ][ m]{ I n } * ( Ω [ δ ][ m] + [ I] ) { A} = g[ δ][ m]{ In} Ω [ δ ][ m] + [ I] Ω δ + = δ - sstem algebrc neomogen (.4) - se constată că la numtor se găseşte de fapt un polnom Pn ( Ω ) - ampltudnle devn foarte mar când Pn ( Ω ) Ω= p π n = p pentru fecare p găsm o turaţe, aceste turaţ sunt turaţ crtce 3 3p n = atâtea câte rotoare sunt π cr. Cazul rotoarelor mc (de masă mcă) ş turaţ mar cazul turboagregatelor (.5) - dn expresa forţelor perturbatoare se poate neglja ultmul termen în comparaţe cu prmul δ m y + I y =Ω δ m y + e (.6) [ ][ ]{ } [ ]{ } [ ][ ] { } { }

80 - forţele perturbatoare sunt puse în evdenţă în regmul tranztoru - în regmul stablzat { y} = { } deformaţle se vor determna dn: Ω δ m + I y = Ω δ m e (.7) ( [ ][ ] [ ]){ } [ ][ ]{ } * ( Ω [ δ ][ m] + [ I] ) { y} [ ][ m]{} e Ω [ δ ][ m] + [ I] * ( Ω [ δ ][ m] + [ I] ) = Ω [ δ][ m]{} e = Ω δ = P n ( Ω ) (.8) - ş în cazul maselor mc ş turaţlor mar deformaţle y cresc foarte mult când P Ω Ω= p n pentru fecare 3p π n = p găsm o turaţe crtcă 3 n cr = turaţle crtce de încovoere pentru cazul π Metoda Stodola pentru determnarea prme turaţ crtce de încovoere p < p < < p n π n = p n = cr 3 π p3 Fg. 3.8 Em = Ec + Ep (.9) - presupunem că nu avem frecăr E m = ct. Ecn max = Epot max (.) y = f sn pt+φ (.)

81 Ep = ky = kf sn pt+φ v = y = pf cos pt+φ (.3) (.) Ec = mv = pmf cos ( pt+φ) (.4) Epmax = kf (.5) Ecmax = p mf (.6) kf p mf k f p p n mf 3p = = = π (.7) În pozţa de echlbru statc forţele elastce sunt echlbrate de greutăţ: mg= kf (.8) mgf p= = mf g mf mf Turaţ crtce de răsucre a unu arbore cu ma multe rotoare Deducerea ecuaţlor dferenţale ale mşcăr (.9) Fg. 3.9

82 Fg avem n rotoare, asupra fecărua acţonează momentele perturbatoare de răsucre M = M() t GIp k = l (.) - separăm un rotor pentru a scre ecuaţle: - screm teorema momentulu cnetc: d K = M l + M (.) d M - momentul forţelor date l O,C d O,C l Jϕ= M + M (.) M - momentul forţelor de legătură d s Jϕ = M + M M (.3) d M = k+ ( ϕ+ ϕ) s M = k( ϕ ϕ ) (.4) Jϕ = M + k+ ( ϕ+ ϕ) k( ϕ ϕ ) (.5) Jϕ k ϕ + k + k ϕ k ϕ = M (.6) + + +

83 Jϕ+ k+ k ϕ kϕ = M Jϕ kϕ + k + k3 ϕ k3ϕ 3 = M... (.7) Jϕ kϕ + ( k + k+ ) ϕ k+ ϕ + = M... Jnϕ n knϕ n + ( kn + kn+ ) ϕ n = Mn J... ϕ J... ϕ J 3... ϕ J ϕ J n ϕ n (.8) k+ k k... ϕ M k k + k3 k 3... M ϕ ϕ3 + = k k+ k+ k+ M ϕ... kn kn + kn+ ϕn M n J ϕ + k ϕ = M t (.9) [ ]{ } [ ]{ } { } [ J] - matrce dagonală a momentelor de nerţe mecance [ k ] - matrce bandă (smetrcă faţă de prma dagonală), matrce de rgdtate { M() t } - matrce coloană a momentelor perturbatoare de răsucre Determnarea turaţlor crtce de răsucre { M t } = { } Presupunem că nu avem momente perturbatoare [ J]{ ϕ } + [ k]{ ϕ } = { } Soluţa va f: - ecuaţe omogenă (.3) { ϕ } = { a} sn( pt+α ) (.3)

84 Unde { a } este matrcea ampltudnlor unghulare. p [ J]{ a} sn( pt ) [ k]{ a} sn( pt ) { } ( p [ J ] [ k ]){ a } { } +α + +α = (.3) + =, sstem algebrc având ca necunoscute ampltudnle unghulare Pentru ca acest sstem să abă soluţle nenule, trebue ca: p [ J] + [ k] = (.33) Prn dezvoltare rezultă un polnom de gradul n în p : Pn( p ) = p,p,...p n, rădăcnle ecuaţe caracterstce având semnfcaţa de pulsaţ propr. Momentul perturbator Fg. 3. θ =Ω t +θ (.34) M = mge sn Ω+θ= t mgesn π Ω+θ t (.35) M este dat de componenta, [ J]{ } [ k]{ } M ( t) mgsnθ, a greutăţ { } ϕ + ϕ = (.36) mge mge { M} = sn( π ( Ω t+θ ) ) = { M} sn( π θ) (.37) mge n n - ecuaţa este neomogenă; unghurle de răsucre vor f de forma membrulu drept unde:

85 ϕ ϕ { ϕ } = vor f ampltudnle unghurle de răsucre datorate prezenţe ϕ n excentrctăţlor - punem condţa să verfce ecuaţa dferenţală: Ω J ϕ sn π θ + k ϕ sn π θ = M sn π θ (.38) [ ]{ } [ ]{ } { } ( [ J ] [ k ]){ } { M } Ω + ϕ = - sstem algebrc neomogen (.39) { } { ϕ } = Ω [] J + [ k] M - se nversează matrcea ( Ω [ J] + [ k] ) * * ( Ω [] J + [ k] ) (( Ω J + k ) ){ M} { ϕ } = M = Ω [ J] + [ k] P Ω { } [] [ ] n Apar ampltudn mar de răsucre când Pn ( Ω ) 3p Dacă Ω= p n = - turaţle crtce de răsucre π cr (.4) Exemplu: Să se determne turaţle crtce a arborelu dn fgură. Fg. 3.

86 J k k = J, [ k] = k k pj+ k k p [ J] + [ k] =, = k p J + k 4 pjj p J + J k= [] J fe p = t p = p = ( + ) ( + ) 3 ( + ) k J J k J J k J J p = p = n = π cr JJ JJ JJ Metoda matrcelor de transfer pentru determnarea turaţlor crtce de răsucre ale unu arbore cu ma multe rotoare Fg. 3.3 Fg. 3.4

87 Se consderă un arbore elastc (deformabl) având un număr de n+ rotoare. Se separă rotorul cu ndcele ş porţunea de arbore care urmează după acesta. Rotorul se consderă rgd ar arborele deformabl. Pentru rotor se scre teorema momentulu cnetc: D S Jϕ = M M (.4) D S ϕ =ϕ Arborele nu are nerţe, (adcă nu se consderă) S D = M+ M D S D M (.4) ϕ + ϕ = k Se presupune o răsucre armoncă ϕ =ϕ sn pt ϕ p = ϕ snpt (.43) D S M = M p Jϕ snpt (.44) [ T ] R [ T ] D S S M = M p Jϕ D S ϕ =ϕ D S S M p J M M [ TR ] D = = S S ϕ ϕ ϕ - matrcea de transfer pentru rotor S D M+ = M D S D M ϕ + =ϕ + k S D D M + M M S = = [ T k ] D D ϕ+ + k ϕ ϕ - matrce de transfer pentru arbore k S S S M M M [ k] [ R] [ ] S = T T T S = S ϕ ϕ ϕ + urmează: Se poate obţne o relaţe de recurenţă: S S M M [ T] S = S ϕ ϕ (.45) (.46) (.47) (.48),pentru ansamblul rotor + arborele care (.49)

88 S S M M [ ] [ ] [ ] [ ] S = T T T... T S ϕ ϕ + S S M M [ ] [ ] [ ] [ ] S = T T T... T n n n S ϕ ϕ n+ (.5) (.5) Toate sunt în stânga, dar arborele are un capăt în stânga ş un capăt în dreapta, trebue să screm o relaţe care să lege partea stângă de partea dreaptă. D S M M [ R ] D = T n S - relaţa pentru ultmul rotor (.5) ϕ ϕ n+ n+ Introducem relaţa (.5) în relaţa (.5) ş ne rezultă: D S M M [ ] [ ] [ ] [ ] D = T T T... T n+ n n S (.53) ϕ ϕ n+ D S S M M T T M [ T] D = S = S T n T (.54) ϕ ϕ + ϕ Relaţa (.54) dă o legătură între momentele de răsucre ş unghurle de răsucre relatve la cele două capete ale arborelu. În funcţe de condţle de fronteră se obţn ecuaţ caracterstce dn care se determnă pulsaţle propr de răsucre, p r, r=,,.n+ Dacă ω= ps, deformaţle sunt foarte mar, rezultă turaţle crtce: π n 3p = S p S n = crs 3 (.55) π Se pot întâln următoarele condţ de fronteră: a) ambele capete ale arborelu sunt rezemate (artculate): S M = S ϕ D n+ D ϕn+ D S S M = n TM + + T ϕ S (.56) M = (.57) Dec (T) se poate scre: = T + T ϕ T =, ecuaţe caracterstcă (.58) b) în stânga este încastrat ş în dreapta artculat S ϕ = D ϕn+ (.59) S M = M (.6) n+

89 D S S M n TM + T (.6) S = TM + T T =, ecuaţe caracterstcă (.6) c) încastrat la ambele capete: S ϕ = S M (.63) Dn ecuaţa (5) se obţne: D n+ ϕ = M D n+ D S S n+ (.64) ϕ = T M + T ϕ (.65) = T M + T T =, ecuaţe caracterstcă (.66) S Aplcaţe: Să se determne turaţle crtce de răsucre. Fg. 3.5 D S M p J p J M D = S ϕ ϕ k Nu trebue să facem tot calculul pentru că putem scre ecuaţa caracterstcă dec trebue să calculăm T care va f egal cu.

90 pj p J k p J M T T M = = k pj T = pj pj= k p = p ( + ) ( + ) J J k J J k = p = JJ JJ S S S S ϕ T T ϕ 3.4. Turaţ crtce ale rotoarelor ţnând cont de mărmle nerţale ale arborlor Se vor studa câteva cazur pentru care arborele se consderă în contnuare elastc cu rgdtatea dstrbută, dar în plus se vor lua în consderare ş mărmle nerţale ale acestua (masa, momentul de nerţe mecanc). Turaţ crtce de răsucre Se consderă un arbore care se poate rot. Fg. 3.6 Ecuaţa dferenţală cu dervate parţale pentru mşcarea de răsucre a unu arbore este de forma: θ θ J = GI (.67) O t x θ - unghul de răsucre dn secţunea curentă ( x,t) J O - momentul de nerţe mecanc pe untatea de lungme

91 G modulul de elastctate transversal I momentul de nerţe în raport cu axa de rotaţe (momentul de nerţe polar) Pentru rezolvarea aceste ecuaţ dferenţale se foloseşte metoda separăr varablelor, alegându-se o soluţe de forma: θ ( x,t) =Θ ( x) T( t) (.68) Punem condţa ca soluţa să verfce ecuaţa ş obţnem: GI Θ T JOΘ T = GIΘ T = (.69) JO Θ T GI Θ T = c c = = p (.7) J Θ T O T= Asnpt+ Bcospt p p Θ= Csn x + Dcos x c c p p θ x, t = C sn x + D cos x cos pt ϕ c c Fecare secţune o să abă o mşcare armoncă în tmp. Constantele C ş D se determnă dn condţle de fronteră. θ M( x,t) = GI x - capăt încastrat: θ ( x,t) x,l = = - capăt rezemat, artculat, lber: M x,t θ = = x = x,l x,l = (.7) (.7) (.73) (.74) Fg. 3.7 Pentru volant se scre teorema momentulu cnetc. θ θ θ J = M GI = J t x t Obs. Dacă se pun condţle de capete pentru ( x,t) condţle la lmtă. x= L x= L θ, funcţa ( x) (.75) Θ trebue să verfce

92 Funcţle Θ ( x) care verfcă ecuaţa dferenţală cu dervate parţale ş condţle de capete se numesc funcţ propr. Aceste funcţ propr se determnă pentru fecare caz în parte. Aceste funcţ propr se normează. Impunerea funcţe Θ ( x) să verfce condţle de capete duce la o ecuaţe dn care se determnă p, numtă ecuaţe caracterstcă (ecuaţe transcendentă) Aplcaţe Să se determne turaţle crtce ale unu rotor în consolă. Fg. 3.8 p p Θ ( x) = Csn x+ Dcos x c c Constantele de ntegrare se determnă dn condţle de capete. x = θ p p p p GI = C cos x D sn x = x x= c c c c x= p C = C= c p Θ ( x) = Dcos x c x = L Fg. 3.9

93 GI D θ M( x,t) = GI x θ θ GI J = θ x t J = M t θ x,t =Θ x cos pt ϕ x= L x= L p p p sn L cos( pt ϕ) Jp cos L cos pt ϕ c c c p J p c tg L = L c GI c L J c n GI L = p L = y tgy = ny c = D Fg. 3.3 p = ps y πn s s cr ys ys = L ps = c = c c L 3 L 3 c ns cr = L s =,,... L π

94 Calculul energe cnetce ş potenţale de deformaţe a unu arbore supus la răsucre Fg. 3.3 Dacă se consderă o porţune dn arbore de lungme dx vom avea: ω Ec = J (.76) E c rot - energe cnetcă de rotaţe E c a - energa cnetcă a arborelu E p - energa potenţală de deformaţe Turaţ crtce de încovoere rot θ = O dec J dx a t L θ = O (.77) Ec J a t dx (.78) θ M = GI x (.79) GI θ dep = dx x (.8) L θ Ep = GI dx x (.8) Fg. 3.3

95 Ecuaţa dferenţală în cazul încovoer unu arbore este: w w EI A + ρ = x x t (.8) Dacă arborele este de secţune constantă ş omogenă obţnem: 4 w w EI + ρ A = 4 x t (.83) E modulul de elastctate longtudnal I moment de nerţe polar ρ masa untăţ de lungme A ara secţun transversale Vom căuta o soluţe de forma: w = W( x) T( t) (.84) (IV) EIW T + ρ AWT = (.85) (IV) EI W T p = = ρa W T (.86) T + p T= (IV) ρa W p W = EI (.87) ρ A 4 p = λ EI (.88) T= Asnpt+ Bcospt (.89) (IV) 4 W λ W = 4 4 r λ = ( r λ )( r +λ ) = (.9) r, = ±λ r3,4 = ±λ (.9) λx λx λx λx W = Ce + C e + C e + C e (.9) 3 4 e sh x = e ch x = x x e + e x x (.93)

96 x x e e sn x = x x e + e cos x = (.94) W( x) = Cshλ x+ Dchλ x+ Esnλ x+ Fcosλ x (.95) La fecare capăt se pun două condţ: w M = EI x (.96) 3 w T= EI 3 x (.97) w θ= x (.98) Condţle de fronteră date de deplasare ş ungh se numesc condţ geometrce. Condţle de fronteră date de momentul de încovoere ş forţa tăetoare se numesc condţ naturale. - capăt încastrat: Fg x,l w x,t = = w = x x=,l - capăt artculat, rezemat: (.99) - capăt lber: Fg w x,t = x=,l w M( x,t) = EI = x x=,l (.)

97 - capăt cu volant: Fg w T( x,t) = EI = 3 x x=,l w M( x,t) = EI = x x=,l (.) Fg w T( x,t) = EI = 3 x w M( x,t) = EI = x (.) mw = T w Jz = M t x 3 w w EI = m 3 x t x=,l x=,l (.3) w w EI = J z x t x x=,l x=,l Funcţle W( x ) care verfcă condţle de capete ş ecuaţa dferenţală cu dervate parţale se numesc funcţ propr. Se pot găs funcţ W( x ) care să verfce numa condţle geometrce de fronteră. Aceste funcţ se numesc funcţ acceptable. Funcţle propr se determnă dn condţle de fronteră.

98 W( x) = Cshλ x+ Dchλ x+ Esnλ x+ Fcosλ x (.4) - ambele capete sunt artculate: Fg W = C + D+ E + F= W = C +λ D+ E λ F= W( L) = Cshλ L+ Dchλ L+ Esnλ L+ Fcosλ L= W ( L) = λ Cshλ L+λ DchλL λ EsnλL λ Fcosλ L= C λ λ D = sh λl ch λl sn λl cos λl E λ sh λl λ ch λl λ sn λl λ cos λl F Determnantul sstemulu trebue să fe nul. λ λ sh λl ch λl sn λl cos λl sh L ch L sn L cos L λ λ λ λ λ λ λ λ λ sh λsn λ L = sn λ L = ρa s π EI s s s = (.5) (.6) (.7) λ L = sπ p L = s π p = s =,,,... EI L ρa 3ps n s = cr π Turaţ crtce ale arborlor cu ma multe deschder Fg. 3.38

99 Fg w γ n = = x x= w β n = = x x= (.8) w γ n+ = = x x= L w β n+ = = x x= L (.9) W x = Cshλ x+ Dchλ x+ Esnλ x+ Fcosλ x (.) x = W = D+ F= F= D (.) x = ln W ln = Csh λ ln + D ch λ ln + E sn λln C cos λ ln = (.) w βn Cλ β n = β n = Cλ+ Eλ E = x = λ (.3) x w γn λ γ n = γ n =λ D+λ C D= x λ x= γn λ C βn Cλ n n n n C (.4) Cshλ l + λ chλ l + λ snλl Ccosλ l = (.5) C= C ( βn, γn) D= D ( βn, γ n) (.6) W( x) = C ( βn, γn) shλ x+ D ( βn, γn) chλ x+ + E ( βn, γn) snλx C ( βn, γn) cosλx (.7) w β n+ = β n+ =βn+ ( βn, γn) x x= L (.8) w γ n+ = γ n+ =γn+ ( βn, γn) x (.9) x= L

100 S-au obţnut două ecuaţ de recurenţă cu care se poate determna unghul ş curbura în ultmul reazem pornnd de la prmul. Pentru volantul dn consolă se pun condţle de capăt ş se obţne o ecuaţe transcendentă care va da pulsaţle propr respectv turaţle crtce 3.5. Metode aproxmatve pentru determnarea turaţlor crtce Metodele aproxmatve pentru determnarea turaţlor crtce se bazează pe alegerea funcţlor W(x) ca fnd funcţ acceptable, adcă funcţ care verfcă numa condţle geometrce de fronteră. ) Metoda Raylegh Metoda Raylegh se bazează pe teorema de conservare a energe mecance: E + E = const. (.) c Calculul energe cnetce ş potenţale în cazul încovoer arborelu p W(x) funcţe acceptablă Fg. 3.4 w dec = ρa dx t L w t (.) Ec = ρa dx (.) w M = EI (.3) x L w w dep = EI dx E p = EI x x dx (.4) w = W x cos pt ϕ (.5) v = pw x sn pt ϕ (.6)

101 n L w mv Fg. 3.4 L Ec = ρ A dx+ = p ρaw x sn pt ϕ dx+ t = n + mp w ( x) sn ( pt ϕ) = n c = (.7) L E = p sn ( pt ϕ) ρ AW ( x) dx+ m W ( x ) (.8) L W L Ep = EI dx EI ( W ( x) ) cos ( pt ) dx = ϕ = x (.9) L = cos ( pt ϕ) EI ( W ( x )) dx Teorema de conservare a energe mecance în cazul încovoer unu arbore cu ma mulţ volanţ se poate scre sub forma: E = E (.3) cmax pmax n p AW x dx m W x EI W x dx ρ + = = L ( ) EI W x dx p = L n ρ AW x dx + m W x L L ( ) (.3) = (.3) Pentru determnarea prme turaţ crtce este sufcent alegerea une sngure funcţ acceptable W(x). Determnarea acestu raport depnde de funcţa acceptablă aleasă.

102 Aplcaţe. Să se determne turaţa crtcă de încovoere a rotorulu dn fgură. Fg. 3.4 W x = x= W( x) = x= L Alegem funcţa W(x) de forma: x W( x) = snπ L Dacă arborele nu este de secţune constantă atunc ntegrala se desparte pe porţun. p 4 L π π EI sn x dx L L = L π π L ρ Asn x dx+ m sn L L π EI L π EI 3 L p = p = L ρ A L+ m ρ AL+ m 4 π EI EIπ π p = p = p= 3 4 L 3 ρ AL + m L ρ AL + m L ρ AL + m L EI 3 3 EI ncr = p= π π L ρ AL+ m L ) Metoda Raylegh Rtz S-a constatat că raportul lu Raylegh depnde de funcţa acceptablă W aleasă. Pentru determnarea prme turaţ crtce s-a ales W ca fnd o sngură funcţe acceptablă.

103 Dacă se doreşte determnarea ma multor turaţ crtce atunc funcţa W(x) se alege ca o combnaţe lnară de funcţ acceptable de forma: W ( x) =αφ ( x) +αφ ( x ) αnφ n( x) (.33) Φ x,..., Φ x - funcţ acceptable unde n p = R = va deven o funcţe de forma: R = L ( ) EI W x dx L n ρ + = AW x dx m W x R R (,,..., n) ( αφ + +α Φ ) (.34) = α α α (.35) L n n EI... dx L n ρa αφ αnφ n dx + m αφ x αnφn x = (.36) Raportul Raylegh este staţonar în aproperea une pulsaţ propr. R ( α, α,..., α n) = constant (.37) Condţa de staţonartate conduce la: R R R = =... = α α αn = (.38) Se obţne un sstem algebrc lnar ş omogen în α, α,..., α n. Ca să admtă soluţa nebanală determnantul sstemulu trebue să fe nul. Acest determnant reprezntă o ecuaţe dn care se determnă pulsaţle propr p s ş apo turaţle crtce n 3 = p. π scr s 3.6. Echlbrarea rotoarelor Metode de echlbrare consderând arborele rgd Fg. 3.43

104 M masa rotorulu ( Me) - dezechlbru nţal ( me ) c Fg ( me) ( Me) = (.39) c dezechlbru corector În realtate nu se cunoaşte nc pozţa excentrculu ş nc valoarea. Practc nu se vor me face echlbrăr cu mase mar << M Metoda ampltudn mnme ( Me ) - dezechlbru nţal ( Me) R, forţa centrfugă ( Me) Ω - vector rottor Undeva pe rotor se plasează un dezechlbru de probă me F = me Ω Rezultă forţa R care se transmte în lagăre. R = R + F + FR cos θ θ (.4) R = R + F + FR cos θ θ (.4)

105 Fg Pe lagăr se pune un traductor TR. Lagărele nu sunt perfect rgde ş prn urmare sub acţunea forţelor care se transmt în lagăre acestea vor avea o deplasare varablă în tmp pentru că ş forţa este varablă. Fg Notăm cu A ampltudnea deplasăr sub efectul dezechlbrulu nţal. În prezenţa dezechlbrulu de probă forţa R de tmp a() t. Forţa este de forma F= k a, în general. În cazul nostru forţa este R varază după cosnus. dn lagăre va produce o deplasare funcţe

106 Fg Varaţa ampltudn deplasăr măsurate în funcţe de pozţa dezechlbrulu de probă arată ca în grafcul de ma sus. Astfel se pot dstnge tre stuaţ:. dacă amn = tocma în acea pozţe se satsface pozţa de echlbrare ( me) = ( me) c condţa de echlbrare este îndeplntă ( Me) = ( me) c (.4) ( me) = ( me) c (.43). dacă amax > a ( me) ( Me) ( me) ( me) c ( Me) ( me) = c (.44) Dezechlbrul de corecţe se va pune acolo unde obţnem ampltudnea mnmă. ( Me) Ω = a (.45) Forţa care ne dă a mn va f: k (( me) ( Me) ) Ω = a mn (.46) k Me = me Se face raportul acestor ; se ţne cont de condţa echlbrăr c

107 me Me a mn = Me a (.47) ( Me) = ( me) c ( me) ( me) c a mn = (.48) ( me) a c a ( me) mn ( me) ( me) = ( me) ( me) = (.49) c c c a a mn + a 3. dacă amax < a me ( Me) ( Me) = ( me) c ( Me) Ω < > ( me) ( me) c (.5) = a (.5) k ( Me) Ω ( me) Ω = a mn (.5) k ( Me) = ( me) c (.53) Se împarte ecuaţa (.5) la ecuaţa (.5) ( Me) ( me) a mn = ( Me) a (.54) ( Me) = ( me) c ( me) ( me) c a mn = (.55) ( me) a c a mn ( me) ( me) = ( me) (.56) c c a mn ( me) = ( me) c ( me) c a a me = a a mn (.57) (.58)

108 Practc echlbrarea comportă următoarele etape: - cu un aparat care măsoară deplasarea lagărulu se determnă ampltudnea deplasăr a, creată de dezechlbrul nţal; - într-un plan al rotorulu se stablesc un număr n de pozţ în care se va plasa dezechlbrul de probă ( me ) ; - se determnă ampltudnea deplasăr în funcţe de pozţa dezechlbrulu de probă ( în funcţe de θ ) ş se reprezntă grafc; - se stableşte în care dntre cele 3 pozţ ne stuăm; - în funcţe de pozţa în care ne stuăm, pe baza formulelor (.49) sau (.58) se determnă valoarea dezechlbrulu de corecţe care se plasează pe drecţa pe care am obţnut ampltudnea mnmă. Metoda ampltudn mnme dn două încercăr Ş în acest caz este un aparat cu care să se poată măsura ampltudnea deplasăr lagărulu. Prma operaţe cerută în determnarea ampltudn dată de dezechlbrul nţal a. Undeva pe rotor se plasează dezechlbrul de probă: Me + me a (.59) ( me) a, ampltudnea pe care ar crea-o dezechlbrul de probă Dn punct de vedere vectoral exstă relaţa: a = a + a (.6) La 8 faţă de pozţa nţală a dezechlbrulu de probă se plasează un dezechlbru egal cu acesta. ( Me) a ( Me) + ( me) b (.6) ( me) a Vectoral vom avea: b = a a (.6) Cele două ecuaţ (.6) ş (.6) se pot reprezenta grafc sub forma unor trunghur.

109 Fg cu centrul în O se trasează un cerc de rază a, ar cu centrul în B se trasează un cerc de rază b; - se ntersectează într-un punct C ş se constată că în trunghul OAC se verfcă relaţa () ar în trunghul ABC se verfcă relaţa (); - se poate determna unghul φ care va da drecţa pe care se găseşte dezechlbrul nţal faţă de cele de probă. ( Me) Ω = a (.63) k ( me) Ω = a (.64) k Me = me (.65) c ( Me) a = ( me) a ( Me) = ( me) c ( me) a c me a (.66) = (.67) a ( me) = ( me) (.68) a c Metoda are neajunsul că după ce s-a stablt unghul φ, va ma trebu făcută o probă pentru că sunt posbltăţ.

110 Fg Se ma poate întâmpla ca cele două trunghur să fe degenerate în drepte. Acest lucru este posbl datortă aleger pozţe dezechlbrulu de probă rezultă că trebue schmbată pozţa dezechlbrulu de probă. Metoda de echlbrare prn măsurarea ampltudnlor ş fazelor. În această metodă în comparaţe cu celelalte două metode sunt necesare două aparate de măsură: cu unul se determnă ampltudnea deplasăr ar cu altul, numt fazmetru, se determnă faza. În condţle dezechlbrulu nţal (M e ) acesta va produce o deplasare a căru ampltudne va f a ş o fază Ψ. Dacă în planul de echlbrare se adaugă un dezechlbru de probă, ( M ) ( m ) +, atunc acesta împreună cu cel nţal va produce e e o ampltudne a ş un defazaj Ψ. Se va nota cu a- ampltudnea pe care ar produce-o sngur dezechlbrul de probă ( m e ). Pe baza celor două măsurător se poate constru trunghul a = a + a.

111 Fg. 3.5 Dn acest trungh se poate determna pozţa la care se găseşte dezechlbrul nţal faţă de dezechlbrul de probă. Screm teorema snusulu: a a a = = sn φ sn ( Ψ Ψ ) sn π ( φ+ψ Ψ) (.69) a φ= arcsn sn ( Ψ Ψ ) a (.7) Tot dn trungh se poate scre teorema cosnusulu: a = a + a aa cos Ψ Ψ (.7) a a a a, sau = + cos( ) a Ψ Ψ a a Pentru determnarea dezechlbrulu corector se scru relaţle dntre forţe ş deplasăr. ( M ) Ω e k = a (.7) m e Ω k = a (.73) M = m (.74) e e

112 ( Me ) a = ( me) a ( M ) ( m ) ( me ) c a ( m ) a = e e c e (.75) = (.76) a = (.77) me m c e a a = a + a aa cos Ψ Ψ a (.78) a a a = + cos( Ψ Ψ ) (.79) a a a ( me) = ( me) (.8) c a a + cos( Ψ Ψ ) a a Comparând metodele prezentate se constată că cea ma practcă datortă numărulu mc de încercăr necesare, este metoda ampltudnlor dn mnm două încercăr. În cazul metode de echlbrare prn măsurarea ampltudnlor ş fazelor sunt necesare cel puţn tre încercăr. Iar metoda ampltudnlor mnme necestă cel ma mare număr de încercăr (măsurător). Metode de echlbrare a rotoarelor având arborele rgd prn acţunea în două plane În metodele precedente s-a presupus că rotorul se găseşte la mjlocul dstanţe dntre lagăre. Prn urmare forţele transmse în lagăre erau egale ş prn acţunea de echlbrare efectuată într-un sngur plan se realzează condţa mpusă une echlbrăr dnamce. Dacă planul de corecţe nu este la mjlocul dstanţe dntre lagăre se poate anula forţa dntr-un lagăr, în schmb în cel de-al dolea lagăr aceasta nu va f nulă. Satsfacerea aceste dornţe se poate realza prn alegerea a două plane de corecţe.

113 Fg. 3.5 Dezechlbrul nţal (Me) va produce o forţă R O în lagărul O ş R O în lagărul O. Se plasează într-un plan de corecţe P dezechlbrul de probă (m e ), pe care-l putem num într-o prmă aproxmaţe dezechlbrul de corecţe, astfel încât să anuleze O deplasarea dn lagărul O producând forţa F. Fnd plasat dezechlbrul corector (m e ) în planul P astfel încât forţa creată de acesta O să anuleze deplasarea dn lagărul O produsă de forţa R O = R O + F. Prn această corecţe s-a anulat vbraţa dn lagărul O, dar datortă dezechlbrulu (m e ) vbraţa dn lagărul O nu va f nulă. Prn urmare va f nevoe de o nouă corecţe astfel încât să fe anulată forţa creată de dezechlbrul (m e ) în lagărul O. Această corecţe trebue făcută astfel încât să nu afecteze starea în care se află lagărul O. Pentru aceasta într-un plan axal determnat de forţa F ş axa de rotaţe trebue plasate două forţe F c ş F O c astfel încât rezultanta lor să fe egală ş de sens contrar cu F F = (me ) Ω (.8) F = (me ) Ω O O F + Fc Fc = Fc = Fc + F O (.8) O O F l+ Fcl Fcl = F l+ Fcl Fcl F l = O F (l l ) Fc = (.83) l l O O F (l l ) O F (l l ) Fc = + F = (.84) l l l l

114 O F este produs de forţa F, prn urmare scrnd ecuaţa de momente în raport cu O înante de a face cele două corecţ vom avea: O O l l F l Fl = F = F (me ) l = Ω l (.85) F c = (me ) c Ω (.86) F c = (me ) cω Înlocund în (.83) ş (.84) obţnem: l (l l ) (me ) c= (me ) (.87) l(l l) l (l l ) (me ) c = (me ) (.88) l(l l) Dn punct de vedere practc pentru determnarea dezechlbrelor de prmă corecţe (m e ), (m e ) se poate aplca orcare dntre metodele făcute pentru echlbrarea într-un sngur plan de corecţe. Dacă se foloseşte metoda ampltudn mnme atunc pentru echlbrarea în două plane este necesar un număr de de pornr. Echlbrarea rotoarelor consderând arborele elastc Echlbrarea într-un sngur plan În cazul echlbrăr rotoarelor consderate rgde problema care s-a pus era obţnerea unor condţ în care reacţunle dn lagăre să nu depndă de vteza unghulară a rotorulu. Reacţunle dn regmurle dnamce să fe egale cu reacţunle statce. Dacă se consderă arborele deformabl echlbrarea rotoarelor nu se ma pune atât de smplu ca în cazul arborelu nedeformabl. Două probleme se pot pune în cazul echlbrăr rotoarelor cu arborele deformabl: ) Lmtarea mărm forţelor dn lagăre ) Lmtarea mărm deformaţe arborelu în dreptul dsculu sau în altă porţune a sa În defnrea turaţe crtce pentru un arbore cu un volant s-au consderat că vbraţle de încovoere apar datortă pozţe excentrce a centrulu de masă faţă de axa de rotaţe dar ş datortă elastctăţ arborelu.

115 Fg. 3.5 OC reprezntă deformaţa arborelu în mşcare CG = e excentrctatea, pozţa centrulu de greutate faţă de axa geometrcă a arborelu în stare nedeformată OC = () (.89) e ωn c ω n + Ω c cr Ω K ω n = (.9) M K constanta elastcă a arborelu în dreptul dsculu M masa rotorulu Operaţa de echlbrare constă în a pune o masă corectoare astfel încât: (Me)=(mr) c (.9) Me dezechlbru nţal mr dezechlbru corector (masă corectoare) r dstanţa la care se pune masa corectoare (în partea opusă excentrctăţ) pentru ca efectul forţe centrfuge să fe anulat. Pentru a nu nfluenţa turaţa crtcă dezechlbrul corector m se a foarte mc astfel încât M m >.

116 ncr K 3 K 3 K π = ncr = (.9) 6 M + m π M + m π M În realtate condţa de echlbrare dată prn relaţa (.9) nu poate f satsfăcută ş întotdeauna va rămâne un dezechlbru rezdual: em= em mr (.93) r em r - dezechlbru nţal. În aceste condţ presupunând că dscul se găseşte la jumătatea dstanţe dntre lagăre, forţele care se transmt lagărelor vor f egale. MΩ OG F = F = (.94) OG = OC + CG (.95) e OG = e ± (.96) ωn c ω n + Ω c cr Ω + până la turaţa crtcă - după turaţa crtcă Dacă se mpune o valoare maxmă pentru forţa preluată de lagăr, notată cu F max, atunc echlbrarea având crterul forţa transmsă în lagăre poate f acceptablă dacă: MΩ e e +ε F max (.97) ωn c ω n + Ω c cr Ω unde ε=± în funcţe de regmul de mşcare al arborelu. Ω Ω Dacă se reprezntă în dagramă forţa transmsă funcţe de, F= F atunc ωn ωn pentru cazul lmtă relaţa (.97) devne : Ω MΩ e ωn F = +ε Ω c Ω + ωn c cr ω n Negljând amortzarea dn arbore ş reprezentând în mărm admensonale: (.98)

117 obţnem următorul grafc. Ω F ω = +ε MΩ e Ω ωn n (.99) Fg Valoarea forţe maxme preluată de lagăre este lmtată pe baze tehnologce date fe de tehnologa lagărelor fe de tehnologa structurlor ce susţn aceste lagăre. Pe de altă parte vteza unghulară Ω este fxată pe baza regmurlor de funcţonare ale maşn. Se stablesc două plaje, una până la turaţa crtcă ş alta după turaţa crtcă. Dacă se notează cu A ampltudnea admensonală acceptată până la turaţa crtcă: F Fmax A ( e r) (.3) MΩ ( er ) M ( Ω) A max Dacă se fxează ampltudnea la A : F Fmax A ( e r) (.3) MΩ ( er ) M ( Ω) A max

118 Dacă sunt îndeplnte aceste condţ atunc problema echlbrăr având crterul forţa maxmă transmsă poate f consderată acceptablă. Aceasta este valablă atâta tmp cât caltatea echlbrăr se judecă doar după ampltudne. Caltatea echlbrăr trebue judecată în multe aplcaţ ş după ampltudnea de deplasare (de deformaţe) a arborelu în dreptul dsculu. Aşa este cazul motoarelor electrce unde dstanţa dntre stator ş rotor este mpusă de aşa numtul întrefer, sau acelaş lucru se poate pune ş în alte pozţ de pe arbore de exemplu la o pătrme dstanţă faţă de un capăt. Această problemă se pune când este necesar ca deformaţle arborelu să ducă la deterorăr ale etanşetăţlor. OC = e Ω ω n Ω c Ω + ω c ω n cr n (.3) Fg OC mărme tehnologcă lmtată de dstanţa dntre rotor ş stator A determnă lmta vteze unghulare maxme Condţle de funcţonare determnă lmta nferoară a vteze unghulare.

119 ( OC) max - mpus ( OC) ( e ) r max ( e ) A r ( OC) A max (.33) În mod corespunzător se poate pune problema ş la o altă dstanţă faţă de un capăt al arborelu. Echlbrarea în două plane Se consderă două plane P, P în care se plasează mase corectoare. Pentru a nu nfluenţa turaţa crtcă masele corectoare se aleg de valor mc plasate la dstanţe mar faţă de axa de rotaţe. Aceste dstanţe sunt mult ma mar în comparaţe cu deformaţa arborelu sau excentrctatea nţală. Fg Dacă se negljează amortzare arborelu ş dacă se consderă cele două dezechlbrăr egale: ( mr ) = ( mr ) = ( mr) (.34) În mşcarea de rotaţe deformaţa arborelu în dreptul dsculu dată de forţele de nerţe centrfugale va f:

120 ( e+ OC) MΩ mrω OC = + (.35) K K K rgdtatea arborelu în dreptul rotorulu K rgdtatea arborelu în dreptul maselor corectoare Cele două rgdtăţ se presupun egale deoarece atât mase corectoare cât ş planele se găsesc la dstanţe egale. Dn relaţa (.35) se determnă deformaţa în dreptul rotorulu. MΩ mrω emω OC = + (.36) K K K K em + mr Ω K OC = (.37) K MΩ Forţele aplcate celor două lagăre dacă rotorul este la jumătatea arborelu sunt egale: mrω F = F = + ( e+ OC) MΩ (.38) K În relaţa (.38) se ntroduce deformaţa OC ş se obţne: K KΩ K F = F = mrω + em mr + (.39) K K MΩ K ) Dacă cele două plane corectoare sunt de o parte ş de alta a rotorulu atunc K = K ş obţnem: KΩ F = F = ( em+ mr) (.3) K MΩ De unde se poate determna dezechlbrul corector luând crterul forţele transmse în lagăre, pentru o echlbrare perfectă F = F = Rezultă dn relaţa (.3): em ( mr) c = (.3) Se constată ca masa corectoare nu depnde de vteza unghulară a rotorulu. ) Dacă planele corectoare sunt în dreptul lagărelor K, lagărul se consderă rgd. Atunc cele două forţe vor f: KΩ F = F = mrω + em (.3) K MΩ Pentru o echlbrare perfectă luând drept crteru forţele transmse în lagăre va trebu ca F = F =, rezultă dn relaţa (.3):

121 K ( mr) = em (.33) c K MΩ Se constată că masa corectoare depnde de turaţa rotorulu. În aceleaş consderente ) deformaţa arborelu în dreptul dsculu va rezulta dn relaţa (.37): emω OC = (.34) K M Ω Deformaţa nu depnde de masele corectoare. Prn urmare luându-se drept crteru de echlbrare deformaţa arborelu în dreptul rotorulu nu se poate face o echlbrare prn plasarea de mase corectoare în planur stuate în vecnătatea lagărelor. Se pune problema care trebue să fe valoarea mase corectoare pentru cazul în care se acceptă forţe transmse în lagăre până la o anumtă valoare maxmă F = F Fmax. Rezultă dn (.39): K KΩ K mrω + em mr F + max (.35) K K MΩ K Pentru valoarea lmtă se poate deduce: Fmax mr K = M e Me K (.36) Ω Ω Ω ω n ωn K unde ω n = M Dn (.36) se poate determna dezechlbrul corector: Fmax Me MΩ Ω ωn ( mr) = (.37) c K K Ω ωn Pentru o echlbrare deală trebue găste procedur ş măsur care să permtă obţnerea une forţe Fmax =. Dn relaţa (.36) sau (.37) se pot desprnde următoarele cazur partculare:

122 ) Ω=, Fmax = ) Ω=Ω, Fmax = ( mr) c Me ( mr) c = (.38) = (.39) Ω K ω n K Ω ω n Masa corectoare depnde de vteza la care se face echlbrarea, dar ş de pozţa planelor corectoare prn K. Me 3) Ω=Ω Ω Presupunând că echlbrarea sa făcut mpunând condţa Fmax = cu dezechlbrul corector ( mr ) atunc la noua vteză unghulară Ω va rezulta pe baza relaţe (.36) o forţă dnamcă rezduală. Dn relaţa (.36) rezultă: K ( mr) K Ω Fr ωn = + (.3) MΩ Me e Ω ω n Dn relaţa (.3) se determnă forţa rezduală F r. Dacă Fr Fmax se poate spune că echlbrarea pentru Ω =Ω este satsfăcătoare ş pentru altă vteză Ω=Ω. Char ş pentru o echlbrare perfectă, dn punct de vedere al forţelor transmse dn lagăr, la o anumtă vteză unghulară Ω =Ω, se poate ajunge pentru o altă vteză unghulară la valor ale forţelor transmse în lagăre superoare lmtelor fxate.

123 Dacă Ω, adcă pulsaţa propre a rotorulu este mult ma mare decât vteza ω n mr =. Forţa rezduală poate f consderată nulă ceea ce înseamnă că deformaţa arborelu este mcă, dec arborele este consderat rgd. Dacă în loc de masa corectoare ( mr ) se pune ( mr) + Δ mr pe baza relaţe (.3) apare o varaţe a forţe rezduale: unghulară atunc dezechlbrul corector este c Me K ( mr) +Δmr K Ω F r ωn = + MΩ Me e Ω ωn K mr K Ω ΔF r ωn = Ω Me e M Δ (.3) (.3) Dn relaţa (.3) pentru Ω=ω n rezultă o varaţe foarte mare a forţe rezduale în jurul turaţe crtce, ceea ce arată că această abatere poate produce valor nacceptable pentru forţele transmse în lagăre. Crterul deformaţe Dacă se consderă drept crteru de echlbrare al rotoarelor cu arbore deformabl deformaţa dn dreptul rotorulu, atunc relaţa(.37) pentru deformaţe nulă, OC=, va rezulta: em K ( mr) = (.33) c K Masa corectoare nu depnde de vteza unghulară. Masa corectoare nu este aceeaş cu cazul în care Ω=.

124 Când deformaţa este nulă în dreptul rotorulu se va obţne în schmb o forţă rezduală care este dată pentru dezechlbrul corector dat de relaţa (.33) ş folosnd relaţa (.3) se obţne: ( Fr ) d K K = M e K K + (.34) Ω Ω Ω ω n ωn în urma calculelor rezultă: ( Fr ) d K MΩ e K K = + ( Fr ) = d M e (.35) Ω K K Forţa rezduală dn lagăre poate f nulă dacă K = K. Impunându-se o deformaţe nulă în dreptul rotorulu se obţn ş forţele rezduale nule numa dacă planele corectoare sunt stuate de o parte ş de alta a rotorulu, atunc K = K. Dacă planele corectoare nu sunt de o parte ş de alta a rotorulu atunc forţa rezduală dată de relaţa (.35) se compară cu forţa maxmă ( Fr) F d max. Dacă este verfcată această negaltate echlbrarea poate f acceptată ş pe baza crterulu de forţă. Metode de echlbrare a rotoarelor în stare flexblă Metodele date anteror au presupus că arborele este rgd, adcă nedeformabl ar forţele create de dezechlbre se transmteau în lagăre pe care le-am consderat elastce. Cazul natural este cel în care se consderă că ş arborele ş lagărele sunt elastce. Cele ma frecvente metode pentru echlbrarea rotoarelor în stare flexblă sunt: - metoda coefcenţlor de nflexune - metoda modală Metoda modală Se consderă un rotor de lungme L ghdat pe două lagăre rgde. În condţle în care se presupune că rotorul este de secţune constantă ş omogen el va avea vbraţ transversale date de ecuaţa: 4 Ω ρa w + = 4 (.36) u EI t w deformaţa la un moment dat într-o secţune curentă ρ A =μ - masa pe untatea de lungme w x,t = W x T t (.37)

125 (IV) μ W T+ WT = (.38) EI (IV) EI W T p = = (.39) μ W T T + p T= (IV) μ (.33) W p W = EI T () t = Asn pt + Bcos pt Ccos( pt ϕ ) (.33) Relaţa (.39) poate f satsfăcută pentru o nfntate de soluţ numte pulsaţ propr. Fecăre pulsaţ propr î corespunde o funcţe W numtă funcţe propre. Fe p, p j, două pulsaţ propr cărora le corespund funcţle propr W, W j. ( IV) μ W pw = Wdx j EI (.33) ( IV) μ Wj pjwj = Wdx EI Se ntegrează pe toată lungmea arborelu ş ţnându-se cont de condţle pentru rezemare ş artculaţe se obţne: L ( p pj) WWdx j = (.333) L j = pj L j = = WWdx j p WWdx j Deformaţa arborelu se poate descompune într-o sere după funcţle propr: W x = (.334) = W x b (.335) Pentru determnarea coefcenţlor b se înmulţeşte relaţa de ma sus cu W se ntegrează pe toată lungmea arborelu: L W x W x dx = b WWdx b = j j L = L W ( x) dx W x W x dx j x dx ş (.336) În contnuare se va consdera un dezechlbru contnuu, al arborelu, e(x) ş un dezechlbru format dn P dezechlbre dscrete Mrδ( x x ) δ - funcţa de dstrbuţe Drac M n masa echlbrulu dscret P n= n n n

126 R n dstanţa faţă de axa de rotaţe a mase M n Ecuaţa dferenţală care determnă deformaţa W(x) sub acţunea acestor dezechlbre va f: w = W ( x) cos( pt ϕ ) (.337) Dacă arborele se roteşte cu vteză unghulară Ω ecuaţa va f: 4 P W EI μω W =μeω +Ω M 4 nrnδ( x xn) (.338) W x Deformaţa x n= = b W se datorează dezechlbrulu contnuu e(x) ş = dezechlbrelor dscrete Mr. n n Prn urmare coefcenţ b vor f ş e daţ prn legătură drectă cu aceste dezechlbre. c d b = b + b (.339) c b - determnaţ de dezechlbru contnuu e( x ) d b - determnaţ de dezechlbrele dscrete Calculul coefcenţlor b c Mr n n Pentru a calcula aceşt coefcenţ se va dezvolta în raport cu funcţle propr dezechlbrul contnuu. e x = a W W x dx (.34) = Se ntegrează pe toată lungmea arborelu. L e( x) W ( x) dx a = (.34) L W ( x) dx Se va consdera metoda suprapuner efectelor. Dacă se a efectul dat de dezechlbrul contnuu e( x ) atunc ecuaţa dferenţală (.338) devne: 4 W EI μω W = μeω 4 x c În ecuaţa (.34) se înlocueşte deformaţa W bw ş se obţne: 4 c W c EI b Ω μ b 4 W =μω aw x x j (.34) = respectv e( x) aw = (.343) 4 W EI μ p 4 W = - ecuaţa dferenţală omogenă pentru una dntre funcţle propr x

127 c c bpw bw aw (.344) Ω =Ω Se multplcă ecuaţa (.344) cu Wdx j ş se ntegrează pe toată lungmea arborelu. Dn cauza ortogonaltăţ funcţlor propr dn toată suma va rămâne un sngur termen: L c p Ω b W ( x) dx = aω W ( x) dx (.345) c c Ω ( p ) b a b a p (.346) Ω = Ω = Consderăm că acţonează sstemul de dezechlbre dscrete d b n - se referă la efectul dezechlbrulu dscret de ordnul n b d d n d b Ω = b (.347) Mr x x cw Wdx n n n j = P δ = (.348) ( ) L n n jδ n L WWdx j Mr W x x dx c = n n L W ( n) ( x) dx (.349) MrW x c = (.35) Fg Fg Ecuaţa dferenţală (.338) se va scre doar pentru dezechlbrele dscrete, doar pentru Mr. dezechlbrul n n

128 4 W EI μω W =Ω M 4 nrnδ( x x n), n =,,..., P (.35) x Deformaţa dată de acest dezechlbru se dezvoltă în sere după funcţle propr: W = b W (.35) d n Mr x x cw n n n = P δ = (.353) Se înlocuesc în (.35) ş se obţne: 4 d W n dn EI b μω b 4 W =Ω cw x Se ntegrează pe toată lungmea: dn dn b p μ W μω b W =Ω c W W (.354) j (.355) L L dn ( p ) b WWdx j c WWdx j (.356) d Ω n b = c p Ω μ (.357) μ Ω =Ω Coefcenţ daţ de cele n dezechlbre dscrete va f: P P d d Ω MrW n n n xn b = b = L p = = Ω μ W x dx Prn suprapunerea efectelor se obţn coefcenţ b : P c d aω Ω MrW n n ( xn) b = b + b = + L p Ω = p Ω μ W x dx b = + MrW x P Ω n n n a L p Ω μ W x dx W x = (.358) (.359) (.36) = b W (.36) Pentru ca deformaţa să fe nulă în fecare secţune trebue ca b să fe nul. Dn (.36) rezultă: P MrW n n ( x) a = L μ W ( x) dx Problemele se pun în felul următor: (.36)

129 a sunt dependenţ de excentrctatea contnuă În relaţa (.36) coefcenţ e x dată de relaţa (.34) care nu se cunoaşte. Prn urmare pentru determnarea acestor coefcenţ este necesar să se facă ş un studu expermental.

130 4. Dnamca unor maşn de rdcat 4.. Dnamca mecansmulu de rdcat al une macarale Schema cnematcă Fg. 4.

131 Reductorul (3) se găseşte într-o carcasă rgdă fxată de o fundaţe de masă foarte mare sau de structura une macarale. Sarcna de rdcat (6) este legată prntr-un cablu ce trece peste scrpeţ (7), (8) ş (9). Cablul este consderat un element elastc fxat de tamburul (4), ar celălalt capăt este fxat de scrpetele superor sau nferor. Tamburul este antrenat de un motor electrc () prn ntermedul reductorulu (3). Motorul de acţonare ş reductorul sunt conectate prntr-un cuplaj care serveşte ca ş frână. Ca ş corpur elastce ş elemente de amortzare vor f luate în consderare pe de o parte cuplajul ş axele dntre motor ş reductor, pe de altă parte cablul dn oţel. Inerţa corpurlor este dată de momentul de nerţe J al motorulu ş reductorulu, momentul de nerţe J al tamburulu de înfăşurare, precum ş masa corpulu de rdcat m 3. Raportul de transmse al reductorulu se notează cu, ar numărul de ramur ale cablulu sstemulu de scrpeţ se notează cu. Pentru studul dnamc al unu mecansm de tp macara se pot folos următoarele scheme: - modelul de rotaţe - modelul de translaţe - modelul bazat pe schema orgnală Prmele două modele se bazează pe echvalarea mecansmulu cu un sstem redus, pe când a trea schemă este fără nc o reducere. Modelele reduse oferă deducerea foarte uşoară a ecuaţlor de mşcare în comparaţe cu modelul obţnut dn schema orgnală, dar procesul de obţnere a modelelor reduse necestă un efort ma mare. Modelul dnamc de rotaţe al unu mecansm de rdcat de tp macara În studul dnamc al orcăru mecansm de rdcat mărmle date sunt cele dn schema orgnală ş au ndcele O. Mărmle mecance dn modelul de rotaţe sunt mărm reduse. Mărmle reduse se determnă pe baza conservăr energe folosnd relaţle cnematce ce se pot stabl pe baza scheme orgnale.

132 Fg. 4. Momentul motor M m este o mărme cunoscută ş este dată de caracterstca motorulu. Schema smplfcată presupune că toate elementele se găsesc în mşcare de rotaţe, dec va trebu stabltă echvalenţa dntre mărmle dn sstemul orgnal ş cele dn modelul de rotaţe. ω - vteza unghulară a motorulu de acţonare; v vteza rectlne a sarcn de rdcat; raportul de transmse al reductorulu; raportul de transmse al palanulu (numărul de ramur ale cablulu); v t vteza tamburulu vt = v (3.) D ω D vt =ω t = (3.) ω D v = (3.3) D v =ω (3.4)

133 M st - moment statc v= ω R (3.5) D R = - rază redusă (3.6) M m g D = 3 st (3.7) Mst = m3gr - momentul redus la arborele motorulu (3.8) Calculul parametrlor mecanc reduş a) Parametr nerţal Se determnă pe baza energe cnetce Ec = E re cor (3.9) Jω = Jω J = J (3.) ω J Jω = Jω t = J J = (3.) J3ω = m3v = m3 Rω J3 = m3r (3.) b) Parametr de rgdtate Se determnă pe baza energe potenţale de deformaţe Ep = E re por (3.3) k( Δϕ st) = k( Δϕ Ost) (3.4) Δϕ st =Δϕ Ost (3.5) k = k (3.6) k ( Δϕ st ) = k ( δ lst ) (3.7) mgr 3 m3g k = k k k (3.8) k = R k (3.9) c) Calculul parametrlor de amortzare Se face pe baza energe de dspare. Ed = E re dor (3.) cω = cω c = c (3.)

134 c ω = c v (3.) c ω = c ω R (3.3) c = R c (3.4) Pentru deducerea ecuaţlor dnamce de mşcare se va folos una dntre teoremele generale dn mecancă. q,q,q 3 - coordonate generalzate cu care se studază mşcarea M = Mst + Md + Me = m3gr+ c( q q ) + k( q q) (3.5) M = M + M + M = m gr+ c q q + k q q (3.6) e e st d e M,M - momente date de forţe elastce M d,m d - momente date de forţe de dspaţe Înlocund în prncpul lu D Alembert, se obţne: Mm M J q = (3.7) M M J q = (3.8) M Mst J 3q3 = (3.9) Jq + cq cq + kq kq = Mm( q ) mgr 3 (3.3) Jq cq + ( c+ c) q cq 3 kq + ( k+ k) q kq 3 = (3.3) Jq 3 3 cq + kq 3 kq + kq 3 = (3.3) Sub formă matrceală: J q c c q J q c c c c + + q + J 3 q 3 c c q 3 k k q M( q ) m3gr k k k k + + q = k k q 3 (3.33) Cunoscându-se toate datele relatve la sstemul nţal ş dagrama momentulu motor, prntr-o metodă de ntegrare numercă se obţn legle de mşcare, vtezele, acceleraţle ş la sstemele nerţale se pot determna eforturle dn cablu.

135 Modelul de translaţe pentru mecansmul de rdcat tp macara Fg. 4.3 Forţa motoare redusă la cârlgul sarcn (forţa de urcare) este: F = m g - forţa de gravtaţe a sarcn de rdcat, ce acţonează în centrul de masă al st 3 corpulu M ( ω) Fm = M = = F( v) (3.34) D R M = M ω momentul motorulu electrc de acţonare. m Calculul parametrlor mecanc reduş Se face în mod asemănător cu modelul de rotaţe. a) Parametr nerţal J = ω = = v mv J J m R R ω ω J = ω = = = mv J J m J v R (3.35) (3.36)