Θεµατικές διαδροµές στην Ανάλυση Μια πορεία από τον ιαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισµό Γιάννης Λουριδάς, ηµήτρης Ντρίζος Τα θέµατα του παρόντος άρθρου εντάσσονται στην ύλη του ιαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισµού, των Μαθηµατικών Προσανατολισµού Γ τάξης Γενικού Λυκείου και εκπονήθηκαν για να υποστηρίξουν διδασκαλίες ευρείας επανάληψης µε στόχο την εµβάθυνση και τη λειτουργική διασύνδεση βασικών εννοιών και προτάσεων από τα κεφάλαια αυτά. Επιδιώξαµε συστηµατικά ώστε τα θέµατα να βασίζονται σε σηµαντικές γνώσεις και ιδέες που, εξελίσσοντάς τες δηµιουργικά, γεννούν ενδιαφέροντα ερωτήµατα, συνεκτικά µεταξύ τους. Φροντίσαµε επίσης ώστε τα θέµατα να διατρέχουν σχεδόν το σύνολο της ύλης των δύο εν λόγω κεφαλαίων και παράλληλα, µε στόχο την επανάληψη, συµπεριλάβαµε στο άρθρο µας και ορισµένα ερωτήµατα που αξιοποιούν βασικά θεωρήµατα από άλλα κεφάλαια των Μαθηµατικών, αλλά και γνώσεις από προηγούµενες τάξεις του Γενικού Λυκείου. η θεµατική διαδροµή: ίνεται η συνάρτηση ln f( = + l nα α + l n,,α, η οποία έχει ελάχιστη τιµή το. α Να αποδείξετε ότι α = β Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και την κυρτότητα γ Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα Ι = ln l nd δ Να λύσετε την εξίσωση f ( + = f( + ε Να µελετήσετε ως προς τη συνέχεια και τη µονοτονία τη συνάρτηση f( +, (, (, g( =, = στ Να αποδείξετε ότι 4 3 g(3 d < g d < g(d Λύση α Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη µε ( n ( l l ( l l f ( = + nα α + n l n = + nα α + n l ( ( ln ( l n n = + α α + ( l ( l ln = n + nα α + ln ln = + ( l nα α +, (, Η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο το για =, διότι f ( =. ηλαδή, η f στο εσωτερικό σηµείο =,, παρουσιάζει ελάχιστο και είναι παραγωγίσιµη σε αυτό, οπότε από το θεώρηµα του Frmat έ- χουµε ότι : l n =, του f ( = ln+ l nα α + = l nα α + = α =, διότι l nα α, α, µε το ίσο να ισχύει µόνο για κάθε για α = (εφαρµογή του βιβλίου β Για και l α = είναι f ( = n, (, + f ( = ln l n, (,
ln ln f ( = = l n = = = ln ln f ( > > l n > ln ln > l n > ln ln f ( < < l n < ln ln < l n < < Η ρίζα και το πρόσηµο της παραγώγου f δίνονται στον επόµενο πίνακα + f ( + f f ( < για κάθε στο διάστηµα (, και η f είναι συνεχής στο διάστηµα (, ]. Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (, ]. f ( > για κάθε στο διάστηµα (, + και η f είναι συνεχής στο διάστηµα [, +. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [, +. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη µε n n f ( ( f ( l l = = ln ln ln ln = ( + =... ln = n n + Είναι f ( ln Ο.Ε. l l, (, + > για κάθε (, +, διότι > και ln l n + >, αφού το τριώνυµο t t + έχει α = > και = 7 <. Άρα η f είναι κυρτή. γ ln n 9 n n l nd ( l l Ι = l = d ln 9 ln ln = d = ( ( d ln = ( ( = Σηµείωση: Για τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος µπορούµε να θέσουµε και = t ln δ f ( + = f ( + ( Το πεδίο ορισµού της εξίσωσης ( είναι το Α =,, διότι οι f, f έχουν πεδίο ορι- σµού το (,. f ( + = f ( + f ( + f ( + + = = διότι θεωρώντας τη συνάρτηση ( f f ϕ = + + +, (, έχουµε ϕ ( = f ( + = + = και ϕ ( > για κάθε (, (, Πράγµατι Η συνάρτηση φ είναι παραγωγίσιµη µε ϕ ( = f ( + f ( + + =... = f ( +, (, + ϕ ( = f ( + = =, διότι f ( + > για κάθε (,, λόγω του ερωτήµατος β ϕ ( < f ( + < < < ϕ ( > f ( + > > Άρα η συνάρτηση φ παρουσιάζει στο = ελάχιστο. Εποµένως η εξίσωση f ( + = f ( + έχει ακριβώς µία ρίζα το ος τρόπος: (Υπόδειξη Για = η ( αληθεύει και f ( + < f ( +, για κάθε (, (,, µε Θ.Μ.Τ. για την f στα διαστήµατα [, ], αν (, και [, ], αν (, ε Η συνάρτηση g είναι συνεχής στα δια-,,,, ως πηλίκο συνε- στήµατα χών.
Επίσης η g είναι συνεχής και στο σηµείο =, διότι f ( + f ( + f ( lim g( = lim = lim = f ( = = g( Άρα η g είναι συνεχής. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη στα δια-,,,, ως πηλίκο παρα- στήµατα γωγίσιµων µε f ( + g ( = =... f ( + f ( + + =,,, g ( > για κάθε (, (,, λόγω του ερωτήµατος δ και η g είναι συνεχής στο σηµείο =. Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο (,. στ 3 = t g(3 d =... = g(tdt = g(tdt = g(d ( 4 = t g d... g t dt g d (3 = = = 3 = t+ g(d =... = g(t + dt = g( + d (4 Για κάθε [, ] g έχουµε: < g( < g( < g( g > και g συνεχής στο [, ], οπότε g d > (5 Έχουµε: (5 < g d g d < g d ( 4 g(3 d < g d (3 Επίσης για κάθε (, g < + g < g + g d < g + d g d < g + d έχουµε (3 4 3 g d < g(d (4 4 3 Άρα g(3 d < g d < g(d η θεµατική διαδροµή: ίνονται οι συναρτήσεις f( = l n, (, και g( =,, α i Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και την κυρτότητα. ii Να βρείτε το σύνολο τιµών της f. Έχει η γραφική παράσταση της f κατακόρυφη ασύµπτωτη; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. β Να βρείτε το σηµείο της γραφικής παράστασης της f, στο οποίο η εφαπτοµένη της διέρχεται από το σηµείο A(, 3. Στη συνέχεια, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτο- µένης στο σηµείο αυτό. γ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( + f( 3f( = έχει ακριβώς µία ρίζα ρ στο διάστηµα(,. Πόσες ρίζες έχει η προηγούµενη εξίσωση στο διάστηµα, ; δ Να αποδείξετε ότι: i Η συνάρτηση g παρουσιάζει ολικό ακρότατο, του οποίου να βρείτε το είδος. ρ ii l im = +, όπου ρ η ρί- ρ f 3 ( g( g(ρ ζα της εξίσωσης του γ ερωτήµατος.
ε Να βρείτε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f, g στ (Πρόβληµα ρυθµού µεταβολής Ένα υλικό σηµείο Μ( α, f(α, < α < κ όπου κ ( 4, είναι η µοναδική ρίζα της εξίσωσης f ( f( =, κινείται πάνω στην καµπύλη y = f(, >. Τη χρονική στιγµή t που περνάει από το σηµείο Ν(, ο ρυθµός µεταβολής της τετµηµένης του είναι µ/s. Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του εµβαδού του τριγώνου που σχηµατίζει η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Μ µε τους άξονες, y y, τη χρονική στιγµή t Λύση α i Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη µε + f ( = n = = l,, και + f ( = = + =, 4 3, + f ( = <, για κάθε (, +. Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. + f ( = >, για κάθε 3 (,. Άρα η συνάρτηση f είναι κυρτή. ii Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα Α =,, οπότε το σύνολο τιµών της στο είναι το f ( im f (, im f ( (, Α = l l = = R + + διότι lim f ( = lim l n =, + + αφού l im = και lim ( l n = + + lim f ( = lim n + + l = +, αφού lim = + και l im( l n = + + + Επειδή l im f ( = + η ευθεία = είναι + κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f. H f είναι συνεχής στο Α =,, οπότε η γραφική της παράσταση δεν έχει άλλη κατακόρυφη ασύµπτωτη. β Η εξίσωση της εφαπτοµένης (ε της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Μ (, f, > είναι y f ( = f ( (. Η (ε διέρχεται από το σηµείο A(, 3, αν και µόνο αν, 3 f ( = f ( (, δηλαδή f ( f ( + 3 =. Αρκεί να λύσουµε την εξίσωση f ( f ( 3, + (. + =, Η εξίσωση ( έχει προφανή ρίζα το η οποία είναι και µοναδική, διότι η συνάρτηση g( f ( f ( 3, + είναι = +, γνησίως αύξουσα, οπότε και -, αφού g ( f ( για κάθε, = >, Άρα η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης Ν, διέρχεται από το της f στο σηµείο σηµείο A(, 3 και έχει εξίσωση y f ( = f ((, δηλαδή y = + 3 γ Για (, έχουµε: f ( + f ( 3f ( = f (( f ( + 3 = f ( =, διότι f ( + 3 >, για κάθε (, (,, αφού η f είναι κυρτή και η ευθεία y = + 3είναι η εφαπτοµένη της στο σηµείο Ν (,. Η f στο διάστηµα [, ] ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος Bolzano, διότι είναι συνεχής σε αυτό και f (f ( = <. Άρα η εξίσωση f ( = έχει µία τουλάχιστον ρίζα ρ στο διάστηµα,, και ε- πειδή η f είναι -, ως γνησίως φθίνουσα, η ρίζα ρ είναι µοναδική. Εποµένως η εξίσωση
f ( + f ( 3f ( = έχει ακριβώς µία ρίζα ρ στο διάστηµα (, Στο διάστηµα (, η εξίσωση f ( + f ( 3f ( = έχει ακριβώς δύο ρίζες το ρ και το, διότι f ( + f ( 3f ( = f (( f ( + 3 = f ( = ή f ( + 3 = = ρ ή = επειδή f f ( = = f ( ρ = ρ και f ( + 3 = =, αφού η f είναι κυρτή και η ευθεία y = + 3 είναι η εφαπτοµένη της στο σηµείο Ν (,, οπότε f ( + 3για κάθε (, µε το ίσο να ισχύει µόνο για = δ i Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη µε n l g ( l n = = = l n n l ln = l n = f (,, ln g ( = f ( = γ f f ( = f ( = f ( ρ = ρ ln g ( > f ( > γ f f ( > f ( > f ( ρ < < ρ Η ρίζα και το πρόσηµο της g δίνονται στον επόµενο πίνακα. ρ + g ( + g Ο.Μ. Άρα η συνάρτηση g :(, R για = ρ παρουσιάζει (ολικό µέγιστο. ii Για κοντά στο ρ έχουµε: ρ h( = = ( ρ 3 f ( g( g = f ( f ( g( g( ρ ρ, οπότε lim h( = l im = + ρ ρ f ( f ( g( g( ρ ρ διότι f ( ρ = f ( f ( f ( ρ lim = l im = f ( ρ < ρ ρ ρ ρ l = +, im ρ f ( αφού ρ fσυνεχής l im f ( = f ( ρ = και f ( > κοντά στο ρ l im = ρ g( g( ρ, αφού l g ή im g( g( ρ = g( ρ g( ρ = ρ συνεχ ς και g( g( ρ < κοντά στο ρ, από δ.i. ε Είναι f ( = g( =, δηλαδή το σηµείο Ν(, είναι κοινό σηµείο των γραφικών παραστάσεων των f, g Για κάθε (, είναι f ( > g(, διότι f < < f ( > f ( f ( >, και g (, (, ρ] < < g( < g( g( < ηλαδή στο διάστηµα (, η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g Για κάθε (, είναι f ( < g(, διότι f < < ρ f ( > f ( f ( <, και g (, ρ] < < ρ g( < g( g( >, δηλαδή f ( < g(, για κάθε (, ρ.
f Για ρ f ( f ( ρ f ( και ρ > = >, δηλαδή g( f ( < g(, για κάθε ( ρ,. Οπότε στο διάστηµα (, η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της g Σηµείωση: Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g δίνονται στο επόµενο σχήµα. α(tf ( α(t α (t α(tf ( α (t + α (tf ( α(t ( α f ( (t Τη χρονική στιγµή t είναι α (t =, α (t =, f ( α (t = f ( =, f ( α (t = f ( =, f ( α (t = f ( = 3, οπότε Ε (t = α(t f ( α(t f ( α(t f ( α(t α(t f ( α(t α (t α(t f ( α (t + α (t f ( α(t ( f ( α(t 4+ + 9 = ( 3 = 8 ( τ.µ/s στ Η εξίσωση της εφαπτοµένης (ε της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Μ( α, f ( α, α > είναι y f ( α = f ( α( α. Τα σηµεία τοµής της εφαπτοµένης (ε µε τους άξονες, y y είναι τα αf ( α f ( α Β, και f ( α Γ(, f ( α αf ( α αντίστοιχα. Το εµβαδόν του τριγώνου ΟΒΓ που σχηµατίζει η εφαπτο- µένη (ε µε τους άξονες είναι Ε = ( ΟΒ ( ΟΓ αf ( α f ( α ( αf ( α f ( α = f ( α αf ( α = f ( α f ( α διότι f ( α < και ως συνάρτηση του χρόνου t είναι Ε (t = µε παράγωγο Ε (t =... = ( α(tf ( α(t f ( α(t f ( α(t ( (tf ( (t = α α f ( α(t f ( α(t 3 η θεµατική διαδροµή: Έστω µια συνεχής συνάρτηση f :, R, για την οποία ισχύουν: [ Η f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα, f ( =, ( + f ( για κάθε (, l imf ( = + Να αποδείξετε ότι: α f( = β f( = n( + γ f( f ( l, για κάθε [, >, για κάθε (,
8 8 8 δ δ. 9 f (d > f ( f ( δ. Η εξίσωση 8 8 8 = 9 f (tdt f ( f έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (,, τέτοιο, ε Υπάρχει µοναδικό ώστε το εµβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓ να γίνεται µέγιστο στο, όπου Α(, f(, Β(, f( µε (, και Γ, οι προβολές των Β, Α αντίστοιχα στον άξονα. Λύση α Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο =, οπότε f ( = lim f ( = l im ( + f ( = l im = =, ( + f ( διότι l im f ( = +. Άρα f ( = β Για κάθε (, f ( = ( + f ( έχουµε: f (f ( = ( f ( = ( l n( + ( + f ( = ln( + + c, c Για = έχουµε Άρα για κάθε (, R α f ( = l n+ c c =. είναι: l l f ( = n( + > f ( = n( + f ( = l n( + > ( Για κάθε (, είναι f ( και η f συνεχής, οπότε διατηρεί πρόσηµο στο διάστηµα (,. ( Είναι l im f ( = +, οπότε f ( > για κάθε κοντά στο = και επειδή f ( = ( + f ( είναι και f ( > για κάθε κοντά στο = (3 Από (, (3 έχουµε ότι f ( >, για κάθε (,, για κάθε (, και από την ( προκύπτει ότι f ( = ln( + για κάθε (,. Από α έχουµε επίσης ότι f ( =. Εποµένως f ( = l n( +, για κάθε [, γ Για κάθε (, η συνάρτηση f. Άρα υπάρχει ένα τουλάχι- ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στα διαστήµατα [, ], διότι είναι συνεχής στο [, ] [, και παραγωγίσιµη στο (, (, στον ξ (, τέτοιο, ώστε α f ( f ( f ( f ( ξ = = Είναι : f ( ( f ( < ξ < f ( ξ > f ( > f ( Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα, διότι f ( = ( f ( = ( + f ( ( + f ( f ( + ( + f ( = = < ( + f ( ( + f ( για κάθε (,. Άρα f ( > f (, για κάθε (, δ δ. Από το ερώτηµα γ για κάθε ισχύει : (, f ( > o > f ( f ( > f ( 7 f ( > 8 7 f ( > f (f (
> 8 8 8 f ( f ( 8 8 f (d > ( f ( d 8 8 8 8 f (d > f ( f (d 8 8 8 8 8 8 8 f (d > f ( f ( f (d 8 8 8 9 f (d f ( f ( > δ. Θεωρούµε τη συνάρτηση 8 8 8 ϕ ( = 9( f (tdt f ( + ( f [, ] (, Η συνάρτηση φ είναι συνεχής στο διάστηµα [, ], ως αποτέλεσµα πράξεων συνεχών συναρτήσεων και ϕ( ϕ ( <, διότι 8 ϕ ( < f ( < και ( 8 9 f (tdt 8 f ( 8 f ( ϕ = + > λόγω του ερωτήµατος δ. Η συνάρτηση φ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος Bolzano στο διάστηµα [, ], οπότε η εξίσωση ϕ ( =, δηλαδή η εξίσωση 8 8 8 = 9 f (tdt f ( f έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα(,. ε Το εµβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓ ως συνάρτηση του είναι: Ε ( = (AB(A = ( f (, (,. Είναι Ε ( = f ( + ( f (, (, και Ε ( = ( Ε ( = ( f ( + ( f ( = f ( + ( f ( <, για κάθε (, Η συνάρτηση Ε είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,, οπότε το σύνολο τιµών της είναι ( l l + Ε ( Α = imε (, im Ε ( ( f (, ( l n3, = =. ηλαδή, Ε ( Α και η Ε είναι -, ως γνησίως φθίνουσα, οπότε υπάρχει µοναδικό (, τέτοιο, ώστε Ε ( =. Ισχύει: E < < Ε ( > Ε =, και E < < Ε > Ε ( Ε ( < Η ρίζα και το πρόσηµο της παραγώγου δίνονται στον επόµενο πίνακα Ε ( Ε ( + Ε Ο.Μ. Άρα υπάρχει µοναδικό (, τέτοιο, ώ- στε το εµβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓ να γίνεται µέγιστο στο. ος τρόπος: (Υπόδειξη Θεωρούµε τη συνάρτηση Ε ( του εµβαδού στο [, ]. ηλαδή, Ε ( = ( f (, [, ]. Η Ε ( ως συνεχής στο [, ] παρουσιάζει ελάχιστο και µέγιστο σε αυτό. Το ελάχιστο το παρουσιάζει στα άκρα, όπου Ε ( = Ε ( = και το µέγιστο σε κάποιο εσωτερικό σηµείο του (,. Το λόγω του θεωρήµατος Frmat είναι ρίζα της Ε (, που υπάρχει λόγω θεωρήµατος Roll και είναι και µοναδική, διότι
, της γραφικής παράστασης της f. Να αποδείξετε ότι, η κλίση της ευθείας ΑΒ για κάθε είναι µεγαλύτερη του. Ποιο είναι το όριο της κλίσης της ευθείας ΑΒ όταν το τείνει στο ; Λύση 4 η θεµατική διαδροµή: Έστω µια παραγωγίσιµη συνάρτηση f :, R, για την οποία ισχύουν: lim h ( + f ( + h ( + + h f ( + h, και για κάθε f( d = + Θεωρούµε επίσης τη συνάρτηση g( = + 4 l n 5 + 4 +, (, α Να αποδείξετε ότι f( = ( + n, = + l, β Να µελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε το σηµείο καµπής της γραφικής παράστασής της. Στη συνέχεια, να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο καµπής της και τις ευθείες = και =. γ i. Να µελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να λύσετε τις εξισώσεις : + 8 5 4 9 + 4 5 4 f ( = =, (, (I =, (IΙ Α, f(, δ Θεωρούµε τα σηµεία Β(, f( µε (, α Για h κοντά στο και > έχουµε: ( + f ( + h ( + + h f φ(h = h ( + f h f = ( + f, και h f ( + h f l im φ(h = lim ( + f h h h = ( + f f ( ( Για κάθε (, είναι : l im h ( + f ( + h ( + + h f ( + h ( + ( ( + f f ( = ( + f ( ( + f ( = + f ( = ( l n + f ( = ln + c, c R ( + f ( d = nd + c( + l υπόθεση [ l ] = n + c( = + c( c = (3 Από (, (3 έχουµε f ( n f ( ( n = l + = + l, για κάθε (, + =
β Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη µε ( l l ( l f ( = ( + n = + n + ( + n + = n + = n + + και f ( = l n + + = =,, l l, (, ( f ( = = = = > f ( > > > > > f ( < < < < < Η ρίζα και το πρόσηµο της f δίνονται στον επόµενο πίνακα: + f ( + (,f ( f Σ.Κ. f ( < για κάθε στο διάστηµα (, και η f είναι συνεχής στο διάστη- µα (, ] Άρα η f είναι κοίλη στο διάστη- µα (, ]. f ( > για κάθε στο διάστηµα (, και η f είναι συνεχής στο διάστηµα [,. Άρα η f είναι κυρτή στο διάστηµα [,. H f µηδενίζεται στο = και εκατέρωθεν αλλάζει πρόσηµο. Άρα το σηµείο M(, f(, δηλαδή το M(, είναι το σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της f. Η εξίσωση της εφαπτοµένης (ε της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο καµπής της M, είναι y = f ((, δηλαδή y = (. Θεωρούµε τη συνάρτηση h( = f ( (, (, +. Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο διάστηµα, (,, ως διαφορά συνεχών. h(,, +,, για κάθε [ ] [ διότι η f είναι κυρτή στο [, +, οπότε η γραφική παράστασή της, στο διάστηµα αυτό, βρίσκεται πάνω από την εφαπτοµένη της y = (, εκτός από το σηµείο καµπής (σηµείο επαφής που είναι κοινό. h(, για κάθε, (, ], διό- τι η f είναι κοίλη στο (, ], οπότε η γραφική παράστασή της, στο διάστηµα αυτό, βρίσκεται κάτω από την εφαπτοµένη της y = (, εκτός από το σηµείο καµπής (σηµείο επαφής που είναι κοινό. Το ζητούµενο εµβαδόν είναι (4 Ε = h( d = h(d + h(d Είναι l h(d = ( d ( + nd = + l nd ln ( l n d = + + + l n d = + + +
l n d = + + + l n 4 = + + + 7 =... = 4 και ανάλογα έχουµε h(d = + nd =... l l n 4 = + + + 8 3 =... = 4 Άρα το ζητούµενο εµβαδόν είναι 7 + 8 3 Ε = h( d = + + + = 4 γ γ. 4 4 4 3 3 8 7 Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη µε (( l g ( = + 4 n 5 + 4 + =... β 4 f ( 4h( = ( =, (, + Η ρίζα και το πρόσηµο της παραγώγου g δίνονται στον επόµενο πίνακα + g ( + g Ο.Ε. g ( < για κάθε στο διάστηµα (, και η g είναι συνεχής στο διάστη- µα (, ] Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (, ]. g ( > για κάθε στο διάστηµα (, και η g είναι συνεχής στο διάστηµα [,. Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [, +. Η g για = παρουσιάζει ελάχιστο το g( = γ. Για (, + έχουµε: 8 8 + 8 5 4 9 5 4 + 4 Ι = = ln ln = l n 5 4 + 4 = + l 5 4 4 n + l + + = 4 n 5 4 g( = = διότι g( = και g( > = g(, για κάθε (, (, +, αφού η g για = παρουσιάζει ελάχιστο το. Το πεδίο ορισµού της εξίσωσης (ΙΙ είναι το Α = (, +. Για (, ln + 4 ΙΙ ln = l n 5 4 f ( + l = + έχουµε: 4 n 5 4 f ( + l + + = 4 n 5 4 f ( g( = f ( = διότι g( = και g( > = g(, για κάθε (, (, +, επίσης f ( = και f ( < = f (, για κάθε (, (, +
δ Για κάθε (, η κλίση της ευθείας ΑΒ είναι ος τρόπος: (µε Θ.Μ.Τ. f ( f ( λ ( = ( Για κάθε (, ισχύει < < < < Είναι f ( f ( λ ( = ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( = + = + ( ( ( ( Η συνάρτηση f στο διάστηµα [, ] (, ] ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ., διότι είναι συνεχής στο και παραγωγίσιµη στο [, ] (, (, (,. Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε f ( = f ( f ( f ( f ( ξ = = (5 H f είναι κοίλη στο (, ], οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] Είναι : f (5 f ( < ξ < f ( ξ > f ( > f ( > (6 Επίσης από β έχουµε ότι > f ( f (, για κάθε > ( > ( (, (, + (7 διότι η f είναι κυρτή στο [, + Από (6, (7 µε πρόσθεση κατά µέλη έχουµε f ( f ( ότι λ ( = >, για κάθε ( (, Σηµείωση: Η ανισότητα (7 µπορεί να αποδειχθεί και µε ΘΜΤ στο διάστηµα [, ] ος τρόπος: (Μέθοδος µονοτονίας Υπόδειξη: Για κάθε (, f ( f ( λ ( > > ( > f ( f ( > 4( (8 Θεωρούµε τη συνάρτηση ϕ ( = f ( f ( 4(, = [, και αποδεικνύουµε ότι η φ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα. Τότε για κάθε (, έχουµε ϕ ϕ ( = < < ϕ ( < ϕ( ϕ ( > (8 f ( f ( > 4( λ ( > Όταν το τείνει στο, τότε τα σηµεία Α, Β τείνουν να συµπέσουν µε το σηµείο καµπής M(, της γραφικής παράστασης της f. ηλαδή, η ευθεία ΑΒ τείνει να συµπέσει µε την εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο καµπής της, οπότε η κλίση της τείνει να γίνει ίση µε f ( =. Αυτό προκύπτει και από το όριο f ( f ( lim λ ( = l im + + ( ΜΟΡΦΗ = l im DLH + ( ( ( f ( f f ( + f ( = l im =... = f ( = + (µε τον ορισµό της παραγώγου ή µε DL H