και γνησίως αύξουσα στο 0,

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη με f () = 1 1 Mελέτη μονοτονίας: f () = 1 Σχηματίζω πίνακα προσήμων: Άρα f γνησίως φθίνουσα στο, Παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = το f() = και γνησίως αύξουσα στο,

2 B. Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη με f ( ) Βρίσκω πρόσημο της f : f () = Σχηματίζω πίνακα προσήμου για την f Άρα η f είναι κυρτή στο, ενώ είναι κοίλη στο, και στο, Η f είναι συνεχής, αλλάζει η κυρτότητα στα σημεία καμπής τα: και και ορίζεται η εφαπτομένη. Συνεπώς έχει 1,f, 4 και 1,f, 4

3 Β. Επειδή D f και f συνεχής στο, δεν υπάρχουν κατακόρυφες ασύμπτωτες. Ελέγχουμε για πλάγιες/οριζόντιες: f ( ) 1 1 lim lim lim lim lim lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) lim lim 1 1 Άρα η ασύμπτωτη της f στο συν άπειρο είναι y = λ + β y = 1 και είναι οριζόντια. Ομοίως και για το άπειρο: f ( ) 1 1 lim lim lim lim lim lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) lim lim 1 1 Άρα η ασύμπτωτη της f στο - άπειρο είναι y = λ + β y = 1 και είναι οριζόντια. Προφανώς δεν υπάρχουν πλάγιες ασύμπτωτες στο +/- άπειρο τη στιγμή που υπάρχουν οριζόντιες. Β4. Από τους πίνακες των ερωτημάτων Β1 και Β σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών: Άρα η γραφική παράσταση της f είναι: ΘΕΜΑ Γ Γ1. Η εξίσωση

4 e 1 έχει προφανή λύση τη =. Θεωρώ την f ( ) e 1,. Μελετώ την f ως προς τη μονοτονία: Η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε ως πράξεις παραγωγίσιμων και ισχύει: f ( ) e 1 e e 1 Bρίσκω πρόσημο f : f ( ) 1 ή ή 1 e e Για το πρόσημο της e 1 e 1 1 e e e e e 1 1 e e e e Σχηματίζω πίνακα προσήμων: Άρα f γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο, ενώ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = το f() =. Δηλαδή ισχύει: f ( ) f () Άρα το = είναι η μοναδική ρίζα της f() = και κατ επέκταση της e 1 Γ. Έχουμε: e e f ( ) 1 f ( ) 1 f ( ) e 1 (1) Αν f ( ) f ( ) e 1 e 1 λόγω Γ1. Η f είναι συνεχής συνάρτηση και στο διάστημα, δεν μηδενίζεται. Συνεπώς διατηρεί σταθερό πρόσημο στο,. Συνεπώς διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

5 Στο, η f είναι o είτε f() < f f e ( ) e 1 ( ) 1 o είτε f() > f ( ) e 1 f ( ) e 1 Στο, η f είναι o είτε f() < f f e ( ) e 1 ( ) 1 o είτε f() > f ( ) e 1 f ( ) e 1 Επίσης για = ισχύει: f() = Άρα ή f ( ) e 1 για κάθε ή f ( ) e 1 για κάθε Γ. Από Γ1 η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε : f ( ) e 1 e e 1 Επίσης η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων και ισχύει: f ( ) e 1 e 4 1. Eπειδή δεν μπορούμε να βρούμε το πρόσημο της f, την ξαναπαραγωγίζουμε: (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων) f ( ) e 8 1 και δημιουργώ πίνακα προσήμου: f ( ) f f f f f και f f f και επειδή f () = ισχύει f με την ισότητα να ισχύει μόνο για για =. Συνεπώς η f είναι κυρτή.

6 Γ4. Θεωρούμε την συνάρτηση g( ) f ( ) f ( ), g g. Συνεπώς η εξίσωσή μας γίνεται: H g είναι παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων, άρα και συνεχής και θα ισχύει: g ( ) f ( ) f ( ) Από Γ, η f είναι κυρτή στο, άρα f είναι γνησίως αύξουσα. Έχουμε: f f () < f ( ) είναι 1-1. Συνεπώς θα έχουμε: 1 1 g g ΘΕΜΑ Δ Δ1.. Άρα g () > για κάθε >. Άρα g γνησίως αύξουσα στο,. Άρα η g Δίνεται f ( ) lim 1. Θεωρώ την f ( ) h( ),, με lim h( ) 1 f ( ) h( ) f ( ) h( ). Yπολογίζω το όριο της f: lim f ( ) lim h( ) 1. Και επειδή f συνεχής ως δυο φορές παραγωγίσιμη θα είναι και συνεχής στο άρα f() =. Aπό το ολοκλήρωμα έχουμε: ( f ( ) f ( )) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) f ( ) d f ( ) f ( ) d f ( ) f () f ( ) f () f () f ( ) f () Επίσης f ( ) f ( ) f ( ) lim lim f () 1 D. L. H

7 Δ. α) Έστω ότι η f παρουσιάζει ακρότατο στο. H f είναι παραγωγίσιμη στο, επειδή είναι παραγωγίσιμη στο και το είναι εσωτερικό σημείο του. Άρα από θεώρημα Fermat θα ισχύει: f ( ) =. Παραγωγίζω κατά μέλη τη δοσμένη σχέση: e f f e f ( ) f ( ) e f 1 f f f e. Για = η σχέση γίνεται: e f 1 f f f e e 1 που είναι άτοπο. f ( ) β) Από Δα ισχύει f () για κάθε. Συνεπώς η f διατηρεί σταθερό πρόσημο και είναι γνησίως μονότονη στο. Επειδή f () = 1 >, άρα f () > για κάθε, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Δ. Για κάθε ισχύει:. Άρα θα έχουμε: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Έχουμε lim και f ( ) lim. Από κριτήριο παρεμβολής θα ισχύει και f ( ) lim f ( ) Δ4. Θέτω u = ln και 1 du d. Επίσης για = 1 => u = και για = e u => u = π. Συνεπώς το ολοκλήρωμα γίνεται: e f ln d f u du f d 1 f Έχουμε: f f f f Για f() θα ισχύει : f d (1)

8 Για f() π f ( ) θα ισχύει : f ( ) d d f ( ) d f ( ) d d ( ) ( ) f ( ) d () f d Από (1)^() προκύπτει το ζητούμενο. Επιμέλεια: Χριστοδούλου Γιώργος