Sisteme dinamice VI. Modelarea matematică a sistemelor Studiul de caz D Schimbător de căldură multitubular în manta 1. Descrierea Modelului Ca un exemplu de sistem cu transfer de energie şi masă, vom descrie un model simplu de schimbător de căldură multitubular în manta. Să considerăm schiţa pentru un aparat în contra-curent: Să facem următoarele presupuneri: 1. Ambele fluide sunt monofazice şi incompresibile. Variaţiile de temperatură sunt relativ mici, astfel încât se vor considera valori medii pentru căldurile specifice şi densităţi. Dacă densitatea este constantă, atunci dm/dt = 0, şi nu există acumulări de masă. Vor fi modelate ambele scheme de curgere (echicurent şi contra-curent). 2. Pentru fluidul din spaţiul extratubular, T sin şi m s sunt variabile independente iar N este numărul de noduri. * Mantaua propriu-zisă are o capacitate termică mică şi se consideră bine izolată. 3. Metalul ţevii are o conductivitate termică ridicată, astfel încât pentru un nod, gradienţii axiali de temperatură sunt mici. Se modelează acumularea de energie şi transferul convectiv de căldură prin valori medii ale coeficienţilor de transfer de căldură. S-au folosit relaţiile pentru transferul de căldură în condiţii staţionare şi s-a presupus că ele rămân neschimbate în regim tranzitoriu; se folosesc N noduri. 4. Pentru fluidul din ţevi, T tin şi m t sunt variabile independente iar N este numărul de noduri *. Intrarea în nodul i este ieşirea din nodul i-1 dacă curgerea are loc în direcţia creşterii numărului nodurilor. Pentru curgerea în contra-curent sensul de curgere se inversează. *Notă: Toate problemele de curgere discretizate necesită relaţii suplimentare între proprietăţile la intrare, la ieşire şi medii ale unui nod. Acest lucru este scris deseori sub forma: Unde α este o funcţie de ponderare. Aproximările cele mai utilizate sunt: Media aritmetică (α = 1/2) Modelul bine amestecat (α = 0) 2. Conceperea modelului 1
Pentru conceperea modelului matematic al acestui sistem, vom folosi notaţiile specifice pentru un model cu două noduri (N = 2) prezentat mai jos: Scopul modelului este formularea ecuaţiei corespunzătoare de bilanţ energetic pentru fiecare nod. În acest caz putem formula o ecuaţie de bilanţ pentru nodul i asociat cu fluidul din manta, metalul ţevii, şi fluidul din ţeavă, după cum urmează: 1.1 Bilanţul pentru fluidul din manta (în nodul i) fluxul de energie de energie primită acum ebitul intrat - cel ieşit + fluxul de energie primită prin ulată in nod = fluxul prin d convecţie de la ţeava metalică Pentru aproximarea de fluid bine amestecat, avem T si out = T si (temperatura medie în nod) T si in = T si-1 (temperatura medie în nodul anterior) Astfel, bilanţul energetic pentru fluidul din manta în nodul i devine Dacă se consideră că fluidul din manta este împărţit în N noduri volumice egale, să definim următorii termeni: volumul nodului suprafaţa de transfer de căldură pentru nodul i capacitanţa termică a nodului rezistenţa fluidului de partea mantalei rezistenţa de transfer a energiei de la fluidul din manta la metalul peretelui ţevii Cu aceste definiţii, bilanţul energetic pentru fluidul din manta devine iar pentru i = 1, T s0 = T si in. 1.2 Bilanţul pentru ţeava metalică (în nodul i) fluxul de energie fluxul de energie primită acumulată în nod = de la fluidul din manta + + fluxul de energie primită de la fluidul din ţeavă + fluxul de energie primită de la nodurile vecine unde 2
Capacitanţa termică a nodului metalului Rezistenţa de transfer a energiei de la fluidul din ţeavă la metalul peretelui ţevii Rezistenţa la conducţia termică între nodurile din metal cu j = i - 1 şi/sau i + 1 după caz (incluzând cei mai apropiaţi vecini). 1.3 Bilanţul pentru fluidul din ţea vă (în nodul i) fluxul de energie fluxul de energie primită fluxul de energie primită prin acumulată in nod = prin debitul intrat - cel ieşit + convecţie de la ţeava metalică unde capacitanţa termică a nodului rezistenţa fluidului de partea ţevii Indicele j din ecuaţia (6D.7) permite tratarea simultan ă a schemelor în echi-curent şi contracurent, după cum urmează (vezi numerotarea din schema de mai sus): pentru curgere a în echi-curent j = i - 1 (intrarea în nodul i se face din nodul i-1) pentru curgerea în contra-curent j = i + 1 (intrarea în nodul i se face din nodul i+1) De asemenea, în nodul de intrare de partea fluidului din ţeavă avem pentru echi-curent i = 1 şi T t0 = T tin ; pentru în contra-curent i = 1 şi T tn+1 = Ttin 3. Exemplu pentru N = 2 Pentru a ilustra concret cum se utilizează ecuaţiile de mai sus, să scriem ecuaţiile explicite pentru schema de curgere în contra-curent cu câte două noduri pentru fluidul din manta, metalul ţevii şi fluidul din ţeavă. Folosind o schemă de numerotare a nodurilor relativă la direcţia de curgere a fluidului din manta, avem: ; ; Ar trebui ca cele şase ecuaţii să dea o reprezentare acceptabilă a schimbătorului multitubular în manta, presupunând că se respectă ipotezele de calcul făcute (fluid incompresibil monofazic). Există două cazuri separate care pot fi tratate cu modelul prezentat, Cazul 1. Dacă se presupune că m s şi m t sunt constante, ecuaţiile de mai sus pot fi scrise într-o formă standard de stare astfel: 3
Cazul 2. Dacă se presupune că m şi m sunt independente alături de T sin şi T tin, atunci vom s t avea produse de forma m Tin şi m T i. Astfel, deşi sistemul nu este strict neliniar, are coeficienţi variabili şi poate fi liniarizat prin metode standard. În acest caz forma finală a ecuaţiilor de stare liniarizate este 4. Exemplu de schimbător de căldură Na-Na Ca exemplu concret, să modelăm şi să simulăm comportarea în regim staţionar şi dinamic a unui schimbător de căldură Na-Na. Principalii parametri termici şi constructivi utilizaţi la simulare de către modelul descris în fişierul NANAHX.M sunt prezentaţi in Tabelul 6D.1. Numărul de ţevi şi diametrul interior al mantalei sunt alese. Fişierele NANAHXP1.M şi NANAHXP2.M sunt fişiere de rezultate care conţin datele furnizate de către program. Temperaturile de intrare şi debitele din Tabelul 6D.1 au fost folosite pentru a obţine prin calcul parametrii punctului de funcţionare în regim staţionar. Poate fi aleasă una din cele două scheme de curgere: în echi-curent sau în contra-curent. Posibilitatea alegerii schemei de curgere dă o mai mare flexibilitate simulării. o Proprietăţile Sodiului la cca 750 F au fost obţinute din El Wakil s Nuclear Căldură Transport şi s-a presupus că metalul ţevii este oţel carbon 1%. Tabelul 6D.1 Parametrii modelului pentru schimbătorul de căldură sodiu-sodiu. Date fizice Parametrii de funcţionare în regim staţionar Parametru Val Parametru Fluid manta Fluid ţeavă Diam ext ţ OD (in) 0.625 Temp intrare ( o F) 883 586 Diam int ţ ID (in) 0.527 Temp ieşire ( o F) 700 872 Aria supraf totale (ft 2 ) 4900 Debit masic (lbm/hr) 3.81e+6 2.44e+6 Număr de ţevi 2000 Puter ea termică totală (BTU/hr) 213.5e+6 213.5e+6 Diam int manta ID (in) 60 Pentru calculul transferulu i de căldură, în programul NANAHX.M există dou ă opţiuni. Una u tilizează datele din lucrarea citată (h TU/hr-ft 2 - o F şi h 650 BTU - o s = 6750 B t = 4 /hr-ft F) iar cealaltă utilizează un set de relaţii standard pentru aparate cu sodiu. Relaţiile pentru transferul de căldură luate din lucrarea lui Kutbi, sunt după cum urmează: 1.4 Relaţii pentru fluidul din manta Coeficientul de convecţie Criteriul Nusselt Nu = 0.212 Pe 0.6 - curgere transversală peste fascicul de ţevi Nu = 0.106 Pe 0.6 - curgere longitudinală peste fascicul de ţevi Diametrul echivalent secţiunea de curgere D e = 4 perimetrul udat = 4 secţiunea int a mantalei - secţ ţevilor perimetrul ext al ţevilor unde criteriile Peclet, Reynolds, Prandtl şi debitul sunt date de relaţiile: 4
1.5 Relaţii pentru fluidul din ţevi Coeficientul de convecţie Criteriul Nusselt Diametrul echivalent Nu = 0.625 Pe 0.4 - curgere prin ţevi unde T id este diametrul interior al ţevii, iar ceilalţi parametri sunt definiţi ca mai sus dar pentru condiţiile din ţeavă. Parametrii geometrici şi mărimile suplimentare necesare pentru calculul coeficienţilor de convecţie ai ambelor fluide sunt scrise într-un fişier de rezultate numit NANAHX.OUT. Acest fişier a fost salvat ca NANAHX.OT1 pentru cazul de curgere încrucişată prin exteriorul fascicolului de ţevi şi valorile nominale din Tabelul 6D.1. Se observă că pentru parametrii standard folosiţi în această simulare, coeficienţii de transfer de căldură rezultaţi sunt diferiţi de cei ai lui Kutbi. Studiile de sensibilitate au arătat că dacă numărul de ţevi este mărit la 3000 iar diametrul interior al mantalei la 44 in, se pot obţine valori pentru h s şi h t similare cu cele citate în bibliograf Fig. 6D.1 Profilul regimului staţionar de temperatură pentru cazul cu 5 noduri. ie de (vezi NANAHX.OT2). Cu toate acestea, valorile respective pentru N tube şi S id duc la relaţii ciudate pentru masă şi volum la interiorul şi exteriorul ţevilor. Astfel, pentru simularea numerică prezentată mai jos, au fost alese Ntube = 2000 şi Sid = 60. De asemeni, pentru toate cazurile discutate în continuare au fost folosite relaţiile standard de mai sus pentru transferul căldură la curgerea încrucişată pe exteriorul fascicolului de ţevi. Soluţiile pentru regimul staţionar şi răspunsul dinamic au fost oarecum sensibile la alegerea acestor doi parametri (Ntube şi S id ), dar observaţiile calitative au fost similare pentru toate combinaţiile analizate. Astfel, alegerea particulară a parametrilor utilizaţi în demonstraţiile următoare nu este critică, deoarece scopul simulării este comportarea calitativă şi înţelegerea de bază a acestui sistem. Simularea de bază consideră un schimbător de căldură în contra-curent sodiu-sodiu aşa cum a fost prezentat anterior. Profilul regimului staţionar de temperatură a fost calculat iniţial cu valori fixe ale debitelor de fluide prin manta şi ţevi şi temperaturile nominale de intrare, iar o apoi s-a determinat efectul unei variaţii treaptă de temperatura de 10 F a temperaturile de intrare. Numărul de noduri folosite în calcul este o variabilă independentă aleasă de utilizator. 5
Atât profilul regimului staţionar de temperatură cât şi amplitudinile răspunsurilor la variaţia treaptă sunt relativ sensibile la numărul de noduri din model, dar, din nou, comportarea calitativă nu este afectată. Pentru a ilustra această observaţie s-au comparat rezultatele cazurilor cu 5 noduri şi cu 20 de noduri. Profilurile distribuţiilor temperaturilor în regim staţionar pentru aceste cazuri sunt prezentate în Figurile 6D.1 şi 6D.2 iar răspunsurile tranzitorii la variaţia treaptă sunt prezentate în Figurile 6D.3 şi 6D.4. Deoarece aceste simulări modelează cazul în contra-curent, fluidele intră în manta şi ţevi prin capetele opuse ale schimbătorului de căldură. Fig. 6D.2 Profilul regimului staţionar de temperatură pentru Rezultatele pentru regimul staţionar cazul cu 20 de noduri. reprezintă această schemă de curgere cu temperatura de intrare în manta indicată prin nodul 0 (în stânga) şi temperatura de intrare în ţevi prin nodul N (în dreapta). În acest caz temperatura de intrare în manta este de 883 o F iar cea în ţevi este de 586 o F. După cum se vede în Figurile 6D.1 şi 6D.2, fluidul din ţevi primeşte energie de la fluidul din manta şi, la ieşirea din ţevi, fluidul secundar din ţevi este doar cu câteva grade mai rece decât sodiul fierbinte care intră în aparat. Diferenţa de temperatură dintre fluide lângă nodul N este mult mai mare şi fluxul de energie primită de sodiul rece din ţevi e mult mai mare în această zonă schimbătorului de căldură. Acest efect se manifestă printr-un gradient mult mai mare de temperatură lângă intrarea în ţevi (în dreapta). Această observaţie este valabilă atât pentru cazul cu 5 noduri cât şi pentru cel cu 20 de noduri. Se pare că 5 noduri sunt doar parţial suficiente pentru reprezentarea precisă a unui gradient mare, iar rezultate calitative sunt cu siguranţă mai puţin precise decât pentru cazul cu 20 de noduri caz.cu toate acestea, chiar în ciuda unor diferenţe ale profilurilor interne, comportările calitative sunt similare iar temperaturile de ieşire nu diferă prea mult. Pentru regimul tranzitoriu compararea cazurilor cu 5 şi de 20 noduri arată o concordanţă rezonabilă după cum se vede în Figurile 6D.3 şi 6D.4. În aceste figuri este reprezentată doar modificarea temperaturii de ieşire în raport cu timpul. Pentru creşterea treaptă a temperaturii de intrare a fluidului din manta, se observă o răspuns standard supra-amortizat atât pentru cazul cu 5 noduri cât şi pentru cel cu 20 de noduri. Profilurile Fig. 6D.3 Răspunsul la variaţia treaptă pentru 5 noduri. dependente de timp sunt similare, dar temperaturile 6
finale de ieşire pentru regimul staţionar diferă cu cca. 1-2 o F. Se observă că o modificare cu 10 o F a lui T sin produce o variaţie a temperaturii de ieşire din ţevi, T tout, cu ceva mai puţin de 10 o F, deşi temperatura de ieşire din manta creşte doar cu cca. 3 o F. Acest lucru se datorează transferului mărit de energie a sistemului către fluidul din ţevi. O comparaţie a cazurilor cu 5 şi 20 de noduri pentru o creştere treaptă a temperaturii de intrare în ţevi arată diferenţe similare cu cele de mai sus. Cu toate acestea, pentru acest caz, temperatura de ieşire din manta, T sout, se modifică cu cca. 6 o F în Fig. 6D.4 Răspunsul la variaţia treaptă pentru 20 de noduri. regim staţionar, dar temperatura de ieşire din ţevi se modifică cu mai puţin de 1 o F. La o creştere a temperaturii de intrare a fluidului din ţevi, forţa motrice pentru transferul de căldură de la manta la ţevi se reduce. Astfel, fluidului din ţevi îi este transferată mai puţină energie, iar temperatura sa de ieşire se modifică foarte puţin. Cu toate acestea, deoarece fluidul din manta cedează mai puţină energie, temperatura sa de ieşire creşte (în acest caz cu cca. 6 o F). Astfel, răspunsurile dinamice observate în Figurile 6D.3 şi 6D.4 sunt consistente calitativ cu o comportare aşteptată. Într-o simulare finală, s-au calculat regimul staţionar şi răspunsurile treaptă pentru un schimbător de căldură în echi-curent folosind NANAHX.M. Acest caz ilustrativ caz foloseşte aceeaşi parametri constructivi şi mărimi de intrare ca şi simulările anterioare pentru schimbătorul de căldură în contra-curent. Deşi parametrii constructivi ai schimbătorului de căldură analizat cu siguranţă nu sunt optimi pentru cazul în echi-curent, această simulare dă o bună reprezentare calitativă a performanţelor aşteptate de la un aparat în echi-curent faţă de exemplul în contra-curent prezentat mai sus. Rezultatele centralizate pentru cazul în echi-curent sunt date în Figurile 6D.5 şi 6D.6. Profilurile de temperatură în regim staţionar din Fig. 6D.5 arată că fluidul primar şi cel secundar ating rapid echilibrul cca. la jumătatea schimbătorului de căldură şi ca temperaturile lor de ieşire sunt egale cu cca. 767 o F. Cu parametrii constructivi curenţi cca. ½ din lungime nu este utilizată, deoarece Fig. 6D.5 Profilul regimului staţionar de temperatură pentru între fluide cu aceeaşi temperatură schema în echi-curent. nu are loc transfer de căldură. De asemeni, pentru cazul în echi-curent, temperatura de ieşire din ţevi este de doar 767 o F, în 7
timp ce, în cazul în contra-curent era de cca. 868 o F. În mod evident schema în contra-curent este un sistem mult mai eficient. Pentru răspunsurile treaptă profilurile date în Fig. 6D.6 observăm din nou o comportare consistentă. Variaţiile treaptă atât pentru temperatura de intrare a fluidului din manta cât şi temperatură de intrare a fluidului din ţevi dau profiluri similare de variaţie în timp. Temperaturile de ieşire ale ambelor fluide sunt aproape identice în toate momentele de timp, iar amplitudinea modificării pentru regimul staţionar care se observă este consistentă cu relative debitele masice ale celor două fluide. Defazarea în timp care se observă Fig. 6D.6 Răspunsuri treaptă pentru cazul în echi-curent. este de asemenea aşteptată şi este legată de durata de staţionare a fluidelor în aparat. Deşi schema în echi-curent este departe de cea optimă, comportarea în regim staţionar şi dinamic pentru un schimbător de căldură în echi-curent este bine reprezentată de modelul descris în NANAHX.M. Acest model MATLAB se poate folosi cu uşurinţă pentru proiectarea unui aparat cu performanţe mai bune. În acest caz, pur şi simplu micşorând dimensiunea schimbătorului de căldură (lungimea ţevilor, diametrul mantalei, numărul de ţevi, etc.) se obţine un aparat cu performanţe similar şi preţ de cost semnificativ redus. Cu toate acestea, dacă scopul este maximizarea transferului de energie între fluide, schimbătorul de căldură în echi-curent nu va fi niciodată la fel de eficient ca cel în contra-curent. Modelul de schimbător de căldură conceput are suficientă flexibilitate pentru a permite compararea calitativă şi cantitativă a diferite construcţii pentru diferite scopuri de proiectare. 5. Lista fişierelor MATLAB în acest studiu de caz Tabelul conţine o listă a fişierelor MATLAB folosite în exemplul din acest studiu de caz. Sunt trei fişiere sursă şi două de rezultate după cum urmează: Nume fişiere Descriere NANAHX.M Fişierul principal pentru simularea schimbătorului de căldură. NANAHXP1.M Fişier text utilizat pentru scrierea parametrilor geometrici, constructivi şi de material folosiţi. NANAHXP2.M Fişier text utilizat pentru scrierea valorilor folosite la calculul coeficienţilor de transfer de căldură. NANAHX.OT1 Fişier de rezultate generale obţinute în calculul caracteristicilor geometrice şi coeficienţilor de transfer de căldură pentru curgere încrucişată pentru N tube = 2000 şi S id = 60 in. NANAHX.OT2 Aceleaşi date dar pentru N tube = 3000 şi S id = 44 in. 8