1 ο Αχαρνών 197 Αγ Νικόλαος 10865196 ο Αγγ Σικελιανού 4 Περισσός 10718688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1
1 Α ίνονται τα διανύσµατα á, â, x, y 1 για τα οποία ισχύουν: x+ â = y+ á και 11 y+ 11 â = á x Να αποδείξετε ότι τα διανύσµατα x, y είναι οµόρροπα Β ίνονται τα διανύσµατα á, â, ã ανά δύο µη συγγραµµικά Αν â παράλληλο προς το ( á ã) και ã παράλληλο προς το ( á + â), να αποδείξετε ότι το á παράλληλο προς το ( ã â) A Αν τα διανύσµατα á, â δεν είναι συγγραµµικά, δείξτε ότι το ίδιο ισχύει και για τα διανύσµατα u = á+ â και v = á 4 â B Αν τα διανύσµατα á, â δεν είναι συγγραµµικά, να βρεθεί ο ë R ώστε τα διανύσµατα u = á+ ë â και v = á ( ë+ 1 ) â να είναι παράλληλα Γ Έστω τα διανύσµατα á, â, ã τα οποία δεν είναι παράλληλα ανά δύο Αν á â+ ã και â ã+ á, δείξτε ότι: ã á+ â A Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και το σηµείο της ΒΓ µε ÂÄ 1 = ÂÃ Αν Ε είναι το µέσον της Α και Μ το σηµείο τοµής της ΒΕ µε την ΑΓ, να εκφράσετε το ÁÌ ως συνάρτηση του ÁÃ B i)αν ë R και ÏÃ = ë ÏÁ+ ( 1 ë) ÏÂ, δείξτε ότι τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά και αντίστροφα ii)αν τα σηµεία Α, Β, Γ δεν είναι ανά δύο συνευθειακά, δείξτε ότι υπάρχει ë R για τον οποίο να ÏÃ = ë ÏÁ+ 1 ë ÏÂ ισχύει: ( ) 4 Θεωρούµε το παραλληλόγραµµο ΑΒΓ, το σηµείο Μ της ΑΒ τέτοιο ώστε να ισχύει ÁÌ = ê ÁÂ, ê R * και το σηµείο Ν της Α τέτοιο ώστε να ισχύει ÁN = ë ÁÄ, ë R * i)να εκφράσετε τα διανύσµατα ÃÌ και ÃÍ συναρτήσει των ÁÂ και ÁÄ ii)να βρείτε ποια σχέση συνδέει τους κ, λ ώστε τα σηµεία Γ, Μ, Ν να είναι συνευθειακά 5 Έστω Α, Β, Γ σταθερά σηµεία του επιπέδου i)να προσδιορίσετε σηµείο Ο ώστε να ισχύει: AO+ OB+ OÃ = 0 ii)να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ για τα οποία ισχύει: ÁÌ+ ÌÂ+ ÌÃ = 4 ÌÁ 6 Έστω τρία συνευθειακά σηµεία Α, Β, Γ και οι αριθµοί á, âã, R Σε κάθε σηµείο Μ του χώρου αντιστοιχίζουµε το διάνυσµα: f( M) = á MA+ âmb + ã ÌÃ i)αν á+ â+ ã =0, δείξτε ότι το διάνυσµα f( M) είναι σταθερό (ανεξάρτητο από το Μ) ii)á+ â+ ã 0, δείξτε ότι υπάρχει µοναδικό σηµείο Μ για το οποίο είναι: f( M) = 0 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 197 Αγ Νικόλαος 10865196 ο Αγγ Σικελιανού 4 Περισσός 10718688
7 Α Αν τα διανύσµατα á, â δεν είναι παράλληλα, να προσδιοριστεί ο ê R ώστε και τα διανύσµατα ã = ê á â και ä = á+ â να µην είναι παράλληλα Β Σε ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων Οxy, δίνονται η ευθεία å: x = και το σηµείο M( x, y) ώστε να ισχύει OA OM= 6, όπου Α είναι το σηµείο τοµής της ΟΜ µε την ευθεία (ε) Να αποδείξετε ότι το σηµείο Μ γράφει κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση á ë ì i ë ì 1 j και 8 A Να βρείτε τους αριθµούς λ, µ ώστε τα διανύσµατα = ( + ) + ( + ) â = ( ì+ ) i + ( ë+ ì ) j 5 4 1 να είναι ίσα Στη συνέχεια, να βρείτε τις συντεταγµένες και το µέτρο 1 του διανύσµατος á â B Να βρείτε τους αριθµούς x και y για τους οποίους το διάνυσµα δ = ( x + y 5, x + y 1) να είναι: i)το µηδενικό διάνυσµα ii)το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα xx 9 Α Έστω α = 1 και β = και α + β = α β Να βρεθούν: α)η γωνία α β, β)ο λ R ώστε τα διανύσµατα v = α + λβ και u = α + β να είναι κάθετα Β Να δείξετε ότι: α) u = v u + v u v β) u v u + v = u v 10 Α Αν á = â = ã = 1 και á + â + ã = 0, να βρείτε: i)την τιµή της παράστασης Á = á â + â ã + ã á και ii)τις γωνίες των á, â, ã ανά δύο Β Αν á = â = á + â, να αποδείξετε ότι: á â = á 1 ο Αχαρνών 197 Αγ Νικόλαος 10865196 ο Αγγ Σικελιανού 4 Περισσός 10718688 11 Α ίνονται τα διανύσµατα á και â για τα οποία ισχύουν συγχρόνως: α) á â β)( á â ) ( á + â ) γ) á + â = Να αποδείξετε ότι: á = â = Β Αν á = και για κάθε x, y R τα διανύσµατα x á + y â και y á x â είναι κάθετα, να βρείτε το µέτρο των διανυσµάτων â και á â 1 Α ίνονται τα µοναδιαία και κάθετα διανύσµατα á και â Να βρείτε τα διανύσµατα x και y για τα οποία ισχύουν συγχρόνως i) x + y = á + â ii) y ( á 4â ) iii) x ( á â) Στη συνέχεια να υπολογίσετε το x + y Β Αν á = â = ã = 1 και á â + â ã =, να αποδείξετε ότι: á + â = â + ã = 0 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός
1 Α Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε ÁÂ = á και ÁÃ = â Αν Ε είναι το εµβαδόν του, να αποδείξετε ότι: 1 Å = ( á â ) ( á â) Β ίνονται τα διανύσµατα á και â µε á â και á = â = 1 Αν για τις πλευρές τριγώνου ΑΒΓ ισχύουν ÁÂ á = 4 â και ÁÃ = 1 á 5 â, να βρείτε: i)τα µήκη των πλευρών του ii)το µήκος της διαµέσου Α του τριγώνου 14 Α i)να αποδείξετε ότι: á â á â Πότε ισχύει η ισότητα; ii) ίνεται η παράσταση: A = 4x y µε x + y = 49 Να βρείτε την µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της Α Β Έστω καρτεσιανό σύστηµα αναφοράς Oxy και σταθερό σηµείο Α µε ( ÏÁ ) = Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει: ÏÌ ( ÏÌ ÏÁ) 15 A Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από το σηµείο M( x0 y0) διάνυσµα δ = ( α, β) έχει εξίσωση x x y y 0 0 = 0 B ίνονται τα σηµεία A( 1, 0) και B( ë,0 ) όπου ë ( + ) τόπο των σηµείων Ì( x, y) αν MA MB = AB á â = 7, και είναι παράλληλη στο 1, Να προσδιορίσετε το γεωµετρικό 16 Α α) Για ποιές τιµές του λ R η εξίσωση ( λ + λ) x + ( λ + λ ) y + λ = 0 παριστάνει ευθεία; β) Για ποιά τιµή του λ R η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στην ευθεία η : x y + = 0 ; Β ίνεται η εξίσωση ( x + y 1) + λ( x + y + 4) = 0 ( λ R) (1) i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για κάθε λ R ii) Για ποιά τιµή του µ η παραπάνω ευθεία: α) είναι παράλληλη στον άξονα xx; β) είναι παράλληλη στον άξονα yy; γ) διέρχεται από την αρχή των αξόνων; 17 Α i) Να βρείτε την απόσταση των ευθειών ε :x y 1 0 και :4x 6y 7 0 ii) Να αποδείξετε ότι η απόσταση των ευθειών 0 ( Γ ), είναι ίση µε Γ 1 ο Αχαρνών 197 Αγ Νικόλαος 10865196 1 + = ε ο + = Αγγ Σικελιανού 4 Περισσός 10718688 ε 1 :Ax + By + Γ = και ε :Ax + By + = 0, A + B Β Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς λ και µ ώστε οι ευθείες ε :x + λy + 1 0 και 1 = ε :λx + y + µ 0 να είναι παράλληλες και η απόστασή τους να είναι ίση µε = Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός
18 A Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( x y 1) ( x y ) 0 + + = παριστάνει δύο ευθείες και στη συνέχεια να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζουν οι ευθείες αυτές µε τη διχοτόµο της γωνίας x O y B Να αποδείξετε ότι για κάθε τιµή του R παριστάνει ευθεία η οποία διέρχεται από σταθερό σηµείο 19 Α Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του σηµείου ( λ 1,4 5λ) Β Μια µεταβλητή ευθεία διέρχεται από το σηµείο (,1 ) λ η εξίσωση ( λ 1) x + ( λ + 4) y + ( 4λ + 9) = 0 M, λ R A και τέµνει τους άξονες χ χ και y y στα σηµεία Β και Γ αντίστοιχα Σχηµατίζουµε το ΟΒΜΓ Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του σηµείου Μ 0 Α Αν το σηµείο ( x, y 1 1 ) του σηµείου ( x 1,5y 4) Μ κινείται πάνω στην ευθεία x + 5y = 0, να βρείτε το γεωµετρικό τόπο M 1 1 + Β ίνονται οι ευθείες ε 1 :y = x και ε :y = x + 1 Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων d( M, ε1 ) Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει: = d M, ε ( ) συνφ ηµφ 1 A Έστω η ευθεία ε: x + y = 1 και τα σηµεία A( α β,0) καιβ ( α β,0) Να α β αποδείξετε ότι d(a, ε ) d(b, ε) = β B ίνονται τα σηµεία Α ( 7,8) καιβ(t +, t 9), t R Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των µέσων των ευθύγραµµων τµηµάτων ΑΒ Για ποια τιµή του t ο παραπάνω γεωµετρικός τόπος είναι κάθετος στην ΑΒ; ίνονται η ευθεία å :5x+ y+ = 0 και ο κύκλος C : x + y x = 0, που τέµνονται στα σηµεία Μ και Ν i)να αποδείξετε ότι για κάθε πραγµατικό αριθµό λ η εξίσωση: x + y x + ë( 5x+ y+ ) = 0 παριστάνει κύκλο, ο οποίος περνάει από τα σηµεία Μ, Ν ii)να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων του ερωτήµατος (i) ανήκουν σε ευθεία å 1 της οποίας να βρείτε την εξίσωση ίνονται οι ηµιευθείες y = ëx και y = ëx µε ë > 0 και x > 0 και µια ευθεία ε η οποία τις τέµνει στα σηµεία Α και Β i)να βρεθούν οι συντεταγµένες των σηµείων Α και Β ως συνάρτηση των συντεταγµένων του µέσου Μ του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ ii)να δειχθεί ότι το σηµείο Μ γράφει τον ένα κλάδο υπερβολής όταν η ευθεία ε κινείται έτσι ώστε το τρίγωνο ΟΑΒ να έχει σταθερό εµβαδόν ê 4 ίνεται η έλλειψη x y + = 1 µε á > â >0 και το σηµείο Ê ( 0, â) Μια µεταβλητή ευθεία µε á â συντελεστή διεύθυνσης λ διέρχεται από το σταθερό σηµείο Κ και τέµνει τις εφαπτόµενες τις έλλειψης στα άκρα του µεγάλου άξονά της στα σηµεία Μ και Ν i)να βρείτε την εξίσωση του κύκλου µε διάµετρο ΜΝ ως συνάρτηση του λ ii)να βρείτε την τιµή του λ ώστε ο κύκλος µε διάµετρο ΜΝ να διέρχεται από τις εστίες της έλλειψης 1 ο Αχαρνών 197 Αγ Νικόλαος 10865196 ο Αγγ Σικελιανού 4 Περισσός 10718688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 4
ώστε η εξίσωση: ( ) ( ) 5 Α Να βρεθεί το ê R êx+ y + = x x+ êy+ 4 να παριστάνει κύκλο, και στη συνέχεια να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του Β Έστω ο κύκλος C: x + y + áx+ ây ã = 0 Να δείξετε ότι για να είναι η ευθεία å: y = âx+ ã â á 1 = ã διάµετρος του κύκλου πρέπει και αρκεί να ισχύει: ( ) 6 Α ίνεται κύκλος C:x y x 4y 59 = 0 + και το σηµείο Á( ê ê),1 Να υπολογιστεί ο ê R ώστε το µήκος του εφαπτόµενου τµήµατος ΑΒ να είναι 6 Β ίνεται ο κύκλος C: x + y y = 0 και το σηµείο A1 (, ) i)να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου C, η οποία διέρχεται από το Α, και ii)να υπολογίσετε το µήκος του εφαπτόµενου τµήµατος 7 Α ίνονται τα σηµεία Aáâ (, ) και Â( ã ä) στον άξονα yy, πρέπει ( â ä) = 4 áã Β ίνονται ο κύκλος C: x + y 8x y 8 = 0 και το σηµείο M( 5 8), είξτε ότι για να εφάπτεται ο κύκλος µε διάµετρο ΑΒ i) είξτε ότι το σηµείο Μ είναι εξωτερικό σηµείο του κύκλου ii) είξτε ότι οι εφαπτόµενες του κύκλου που άγονται από το σηµείο Μ είναι κάθετες µεταξύ τους 8 ίνεται ο κύκλος C: x + y = 5 i)να αποδείξετε ότι τα µέσα των χορδών του κύκλου ( C ) που διέρχονται από το σηµείο A (, 4) γράφουν κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση ii)αν η εφαπτοµένη του κύκλου ( ) C στο τυχαίο σηµείο του Μ τέµνει τις εφαπτόµενες του που είναι παράλληλες στον άξονα yy στα σηµεία Β και Γ, δείξτε ότι η γωνία BOÃ = 90 0, όπου Ο η αρχή των αξόνων 9 Α Αν για τις συντεταγµένες των σηµείων Ì( x, y) ισχύουν: x = á+ ñ óõíö, y = â+ ñ çìö, όπου ñ > 0 και ö [ 0, ð ), να αποδείξετε ότι ανήκουν σ έναν κύκλο Β Να αποδείξετε ότι για κάθε φ R τα σηµεία M( + συνφ,ηµφ 4) βρίσκονται πάνω σε κύκλο και να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα αυτού 0 Τα Μ, Ν είναι συµµετρικά ως προς την ευθεία y=x και ισχύει MN MA AN = 4, όπου Α(0, 4) Να βρεθούν: Α Ο γτ του σηµείου Μ Β Τα σηµεία του τόπου που απέχουν από το Α τη µέγιστη και την ελάχιστη αντίστοιχα απόσταση, 1 ο Αχαρνών 197 Αγ Νικόλαος 10865196 ο Αγγ Σικελιανού 4 Περισσός 10718688 1 ίνεται η παραβολή C: y = 4x Α Να δειχθεί ότι κάθε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και δεν συµπίπτει µε τους άξονες xx και yy τέµνει την C σε δυο ακριβώς σηµεία Β υο κάθετες ευθείες ( å1),( å ) που τέµνονται στην αρχή των αξόνων Ο, στρέφονται περί το Ο ώστε σε κάθε θέση τους να είναι å1 å Αν οι ( å1),( å ) τέµνουν την C εκτός του Ο σε δυο σηµεία Α, Β αντίστοιχα να βρεθεί η εξίσωση της καµπύλης στην οποία κινείται το µέσο Μ του τµήµατος ΑΒ Ε 5 ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός
Α Θεωρούµε το ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα σηµεία Α(α, 0) και Β(β, 0) όπου α σταθερός θετικός αριθµός Ένα σηµείο Μ διαγράφει το τµήµα ΑΒ ενώ ένα σηµείο Ν ανήκει στην ηµιευθεία ΟΜ και ισχύει ότι OM ON = á Να Βρείτε την καµπύλη που διαγράφει το σηµείο Ν Β Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγµατική τιµή του α η εξίσωση x y áx + 4áy á = 0 παριστάνει δυο ευθείες κάθετες και το σηµείο τοµής τους κινείται πάνω σε σταθερή ευθεία Θεωρούµε ένα µη ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ µε(βγ)=α, (ΓΑ)=β και (ΑΒ)=γ Έστω Α, Β, Γ, τα µέσα των πλευρών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα Θεωρούµε ακόµη το διάνυσµα v = á ÂÃ+ â ÃÁ+ ã ÁÂ και σε σηµείο Μ του επιπέδου του τριγώνου αντιστοιχίζουµε τον αριθµό fm ( ) = á ÂÃÌÁ + â ÃÁÌÂ + ã ÁÂÌÃ ΑΝα αποδείξετε ότι v 0 Β Αν Ο είναι το περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ να βρεθεί ο αριθµός f(o) 1 Γ Αν G είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ να αποδείξετε ότι BÃ GÁ = ( â ã ) και f(g)=0 6 Να προσδιορίσετε το σύνολο των σηµείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει f(m)=0 4 Α Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηµατίζουν οι ευθείες µε εξισώσεις: ( ε 1 ): ψ = µ x και ( ε ): ( µ + 1)x = (1 µ ) ψ Β ίνεται η εξίσωση x ψ 4λx λ = 0, λ R i) Nα αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιµή του λ η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ζεύγη κάθετων µεταξύ των ευθειών ii) Nα βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων τοµής των άπειρων αυτών ζευγών καθέτων ευθειών 5 Σε καρτεσιανό σύστηµα Οxψ, η εξίσωση ευθείας (λ + λ + 1) x ( λ λ + 1) ψ ( λ + λ) = 0 όπου λ { 0,1,,,19} παριστάνει τις πορείες 0 πλοίων που κατευθύνονται σε κάποιο λιµάνι α) Να βρεθεί η θέση του λιµανιού β) Ανοικτά του λιµανιού στο σηµείο (1,) υπάρχει φάρος που ε λειτουργεί Να εξεταστεί αν υπάρχει περίπτωση, κάποιο από τα πλοία να συγκρουστεί µε το φάρο γ)εξετάστε αν κάποιο από τα 0 πλοία κινείται παράλληλα µε µικρό σκάφος που κινείται στην ίδια περιοχή και του οποίου η πορεία του δίνεται από την εξίσωση: 11 x ψ = 0 θ θ 6 Α είξτε ότι η εξίσωση: ( συν )x + ( ηµ ) ψ + συνθ 1 = 0 παριστάνει ευθεία για κάθε τιµή του θ [ 0, π] είξτε ότι όλες οι ευθείες που περιγράφονται µε την παραπάνω εξίσωση διέρχονται από σταθερό σηµείο Β Θεωρούµε την εξίσωση: (α + α + 1)x + ( α α + 1) ψ α α = 0 i) Για ποιες τιµές του α η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία; ii)για τις τιµές του α που θα βρείτε να εξετάσετε αν οι αντίστοιχες ευθείες διέρχονται από το ίδιο σηµείο 7 ίνονται οι ευθείες µε εξισώσεις: x ψ x ψ + = 1, + = 1, µε αβ 0, α ±β α β β α i)να βρείτε το κοινό τους σηµείο, ώστε Μ ii)να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΟΜ, όπου Ο η αρχή των αξόνων iii)βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΜ µε Α(α,β) 1 ο Αχαρνών 197 Αγ Νικόλαος 10865196 ο Αγγ Σικελιανού 4 Περισσός 10718688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 6
8 Σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων τα ζεύγη ( t +, t + 1), (t, t + ) παριστάνουν τις συντεταγµένες θέσεις δυο κινητών Α και Β αντίστοιχα, για κάθε χρονική στιγµή t 0 α)αποδείξτε ότι τα κινητά κινούνται ευθύγραµµα β)ένα άλλο κινητό Γ ξεκινά από το σηµείο Μ(,) κινείται ευθύγραµµα και η τροχιά του είναι παράλληλα προς το διάνυσµα u = (,1) i)να υπολογίσετε την οξεία γωνία των τροχιών του Α και του Γ ii)να βρεθεί το σηµείο που οι τροχιές των Α και Γ διασταυρώνονται 9 ίνονται τα σηµεία Α(8,0) και Β(0,4) i)να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας Ο µε Ο την αρχή των αξόνων µέσο του ΑΒ ii)βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που είναι κάθετη στην Ο στο iii)αν Μ τυχαίο σηµείο της (ε) δείξτε ότι ΜΑ + ΜΒ = ΟΜ 40 Α Εάν α β, µη συγγραµµικά διανύσµατα και ισχύει: ( x α + ψβ ) α = 0 και ( x α + ψβ ) β = 0 Να βρεθούν οι x,ψ συναρτήσει των α,β Β Για τα διανύσµατα u, v, ω ισχύει u v = u ω να δείξετε ότι v ω u v ω 41 Α Εάν α = β = γ = 1 και αβ + βγ = να δείξετε ότι: α + β = β + γ = 0 π Β Εάν α =, β = και ( α, β ) = να βρεθεί το x για το οποίο ισχύει: x // α β και α β + x 4 Έστω α β, µη µηδενικά και f (x) = α + xβ i)να δειχθεί ότι f (x) = 0 αν α // β ii)να δειχθεί ότι f ( αβ) = α α β ) 1 iii)nα δειχθεί ότι αν φ = ( α, β) τότε: f ( ) β + α συνφ 4 Α Έστω οι ευθείες: ε1 : λx ( λ + 1) ψ = 1 και ε : x ψ + λ = i)πότε 1 ii)πότε ε1 ε iii)πότε οι ε,ε 1 τέµνονται; Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του σηµείου τοµής τους Β ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε Β(1,1) και τις δυο κορυφές Α(λ,0),Γ(0,µ) να κινούνται πάνω στους ηµιάξονες O x,o ψ ώστε λ + µ = Να δείξετε ότι το ΑΒΓ είναι τετράγωνο και να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του 44 Α Έστω οι ευθείες: ε1 : ( συνθ ηµθ)x ( συνθ + ηµθ) ψ = 0 ε : ( συνθ + ηµθ)x + ( συνθ ηµθ) ψ = α Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του σηµείου τοµής τους Β Θεωρούµε τις ευθείες ε1 : (x + ) = ψ και ε : ψ = x 4 i)να βρείτε την οξεία γωνία που σχηµατίζουν ii)να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόµων των γωνιών τους Ε 7 ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός
45 Α Θεωρούµε το τρίγωνο ΑΒΓ µε Α(5,5),Β(,6) και Γ( + λ, λ), λ R i)να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του Γ ii)να δείξετε ότι το E (AB Γ ) είναι σταθερό Β ίνονται οι ευθείες ε1 : x ψ + 1 = 0 και ε : x + 5ψ 9 = 0 Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σηµείο τοµής των ε,ε 1 και η απόσταση της από το Ο να είναι 46 Θεωρούµε το σύνολο των σηµείων ( x, y) x y M του επιπέδου για τα οποία ισχύει + = 1 () I 7 4 Α)Να δείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ είναι ευθεία Β)Να προσδιορίσετε το σύνολο των σηµείων της ευθείας του Α ερωτήµατος που έχουν συντεταγµένες ακέραιους αριθµούς Γ)Να ελέγξετε αν τα σηµεία του επιπέδου µε ακέραιες συντεταγµένες των οποίων η τεταγµένη διαιρούµενη µε τον αριθµό 4 δίνει υπόλοιπο 1 ή, βρίσκονται πάνω στην ευθεία του Α ερωτήµατος )Να ελέγξετε αν το σηµείο µε συντεταγµένες ακέραιους και τεταγµένη 4( 00) 5 της ευθείας () I 004 + βρίσκεται επί 5 47 Α α)να βρείτε τις τιµές του θετικού ακεραίου α για τις οποίες ο αριθµός α + 1 α + 4 β)να βρείτε τις τιµές του α Ζ για τις οποίες ο αριθµός είναι ακέραιος α + 1 Β Να αποδείξετε ότι για τους x,ψ Ζ ισχύει: α) αν 17/(5x+ψ),τότε 17/(x+11ψ), β) αν 1/(x+ψ),τότε 1/(x+5ψ), γ) αν 11/(x+5ψ),τότε 11/(7x+ψ) είναι ακέραιος 48 Α Να εξετάσετε αν ισχύει η ισοδυναµία ( α) β α β / / Β Έστω α, β, κ, λ Ζ Να αποδείξετε ότι: α)αν (α+β)/(κα+λβ),τότε (α+β)/(λα+κβ), β)αν (α+β)/(κα-λβ),τότε (α+β)/(λα-κβ) 49 Α Έστω, β, x, ψ Ζ µε αx + βψ = 1 Β Να αποδείξετε ότι για κάθε α Ζ µε α f 0 : α)ισχύει ( 5 α +,7α + ) = 1, 5α + β)το κλάσµα είναι ανάγωγο 7α + 1 ο Αχαρνών 197 Αγ Νικόλαος 10865196 ο Αγγ Σικελιανού 4 Περισσός 10718688 α Να αποδείξετε ότι ( x ) 1 α β, + ψ = 50 Τρεις φιλικές οικογένειες κινούµενες µε τα αυτοκίνητά τους σε µια άγνωστη γι αυτούς µεγάλη πόλη χάθηκαν λόγω κυκλοφοριακής συµφόρησης που παρατηρήθηκε Από τους τουριστικούς χάρτες που είχαν διαπίστωσαν ότι κινούνταν σε τρεις ευθύγραµµους δρόµους µε εξισώσεις ( 1 + κ) x + ( κ) ψ = ( 4 + κ) µε κ = 1,, α)να δείξετε ότι οι τρεις αυτοί δρόµοι διέρχονται από το ίδιο σηµείο Κ β)σε µια χρονική στιγµή διαπίστωσαν ότι και οι τρεις βρίσκονταν σε σηµεία που είχαν την ίδια τεταγµένη ψ=6ποιες είναι ατή τη στιγµή οι µεταξύ τους αποστάσεις; γ)αν τα τρία αυτοκίνητα κινούνται µε την ίδια ταχύτητα, ποιο από αυτά θα φτάσει πρώτο στο σηµείο συνάντησης;(ως στιγµή 0 θεωρούµε τη χρονική στιγµή του (β) ερωτήµατος) Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 8
51 Ένας πρόσφατος καταστροφικός σεισµός είχε σε κατάλληλο σύστηµα αξόνων επίκεντρο το σηµείο Σ(5,) ιαπιστώθηκε ότι οι ζηµιές περιορίστηκαν στο εσωτερικό ενός κυκλικού δίσκου µε κέντρο Σ Το πιο αποµακρυσµένο σηµείο στο οποίο καταγράφηκαν ζηµιές ήταν το σηµείο Α(1,1)Ένας ευθύγραµµος δρόµος συνέδεε τα σηµεία Β(,-) και Γ(8,9)Το τµήµα του δρόµου στο εσωτερικό του δίσκου που έγιναν ζηµιές κατέστη άβατο για τα τροχοφόρα α)να βρείτε από ποιο σηµείο έως και πιο σηµείο Ζ του δρόµου ΒΓ υπάρχουν καταστροφές β)για την κίνηση των οχηµάτων δηµιουργήθηκε παρακαµπήριος δρόµος ΕΓ όπου Ε είναι εφαπτόµενο τµήµα στον κυκλικό δίσκο των ζηµιών και Ε είναι σηµείο του άξονα ψ ψ Να βρεθούν οι εξισώσεις των τµηµάτων Ε,ΕΓ γ)κατά πόσο επιµηκύνθηκε η διαδροµή από το σηµείο Β στο σηµείο Γ; 5 Α Έστω α, β, γ Ζ *Να αποδείξετε ότι: α) αν α/(β+γ) και α/β, τότε α/γ, β) αν 5/(α+1) και 5/(18-β),τότε 5/(α+β), γ) αν 6/( α+8) και 9/(15+β),τότε /(α+β) δ) αν 4/(α+1) και 4(8+β),τότε 4/(α-β) Β Έστω οι ακέραιοι α, β, γ και δνα αποδείξετε ότι: α) αν α/β και γ/δ τότε αγ/βδ ( αγ 0), β) αν α β + 8γ = 0 τότε 6/β(α+γ), γ) αν 15 α + 9β 4γ = 0 τότε 1/γ( α+β), δ) αν α β + γ = 0 τότε 6/β(α+γ) 1 ο Αχαρνών 197 Αγ Νικόλαος 10865196 ο Αγγ Σικελιανού 4 Περισσός 10718688 5 Ένα δέντρο, λόγω της θέσης και του εδάφους, αναπτύσσει το σύστηµα των ριζών του στο εσωτερικό της κλειστής γραµµής που έχει εξίσωση x ( 1+ λ) + ψ ( 1+ λ) x λ = 0,όπου λ παριστάνει τα έτη της ζωής του α)να αποδείξετε ότι η δοσµένη εξίσωση παριστάνει για κάθε λ, κύκλο β)να δείξετε ότι όλοι αυτοί οι κύκλοι διέρχονται από σταθερό σηµείο, του οποίου να βρεθούν οι συντεταγµένες γ)αν η µορφή κατά την οποία απλώνονται οι ρίζες οφείλεται στην ύπαρξη µίας ευθύγραµµης τοιχοποιίας που ταυτίζεται µε την κοινή εφαπτοµένη των κύκλων αυτών, να βρεθεί η εξίσωσή της 54 Ένας γυµναστής παρατάσσοντας τους µαθητές του Λυκείου για παρέλαση παρατηρεί ότι είτε τους παρατάσσει σε τριάδες, είτε σε τετράδες, είτε σε πεντάδες, είτε σε εξάδες πάντα του περισσεύει ένας µαθητής Πόσοι είναι οι µαθητές του Λυκείου αν είναι γνωστό ότι είναι περισσότεροι από 00 και λιγότεροι από 00; 55 Α Αν α, β και γ ακέραιοι µε α 0 τέτοιοι,ώστε α /( β + γ) και α / β να αποδείξετε ότι α / γ Β Αν α, β ακέραιοι, 7/(α+5) και 7/(19-β), να αποδείξετε ότι 7/(α+β) Γ Αν α, β ακέραιοι, β/α και β f, να αποδείξετε ότι β δεν διαιρεί το (α+) 56 Τρεις ποδηλάτες ξεκινούν την ίδια ακριβώς χρονική στιγµή από ένα σηµείο Μ ενός κυκλικού στίβου και κινούνται µε την ίδια φορά Ο ποδηλάτης Α συµπληρώνει ένα κύκλο σε 1 sec,ο Β σε 16 secκαι ο Γ σε 18 sec α)ύστερα από πόση ώρα θα συναντηθούν για πρώτη φορά; β)πόσους γύρους θα έχει κάνει τότε ο καθένας; γ)αν υποθέσουµε ότι ο Γ ξεκινάει µε αντίθετη φορά από τους άλλους δύο, πόση ώρα αργότερα θα συναντήσει τον πρώτο από αυτούς; Ε 9 ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός
* 57 Σε ένα σχολικό συγκρότηµα ο αριθµός των µαθητών της Γ τάξης είναι ν, ν Ν,ενώ ο συνολικός αριθµός των µαθητών είναι ν+4 α)αν ο αριθµός των µαθητών όλου του Λυκείου είναι πολλαπλάσιο του 5,να αποδείξετε ότι αν παρατάξουµε τους µαθητές της Γ τάξης κατά 5άδες θα περισσέψουν µαθητές β)αν ο συνολικός αριθµός των µαθητών του Λυκείου είναι ανάµεσα σε 00 και 50 και διαιρείται ακριβώς µε το 4,να βρεθεί ο αριθµός των µαθητών της Γ τάξης του Λυκείου αυτού 58 Έστω η παραβολή µε εξίσωση y = 4px και η ευθεία ε : y = λx + κ α)να αποδείξετε ότι η ευθεία είναι εφαπτόµενη της παραβολής αν και µόνο αν λκ = p β)να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόµενης της παραβολής, που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = γ)να βρείτε το σηµείο επαφής της παραπάνω εφαπτόµενης µε την παραβολή δ)να βρείτε το σηµείο στο οποίο η παραπάνω εφαπτόµενη τέµνει τον άξονα x ' x Τι παρατηρείτε; Να δώσετε έναν τρόπο κατασκευής της εφαπτόµενης µιας παραβολής σε ένα σηµείο της (x, y ) A 1 1 59 Έστω η παραβολή µε εξίσωση y = 4x και µια ευθεία ε,η οποία διέρχεται από την εστία Ε της παραβολής και την τέµνει στα σηµεία Α και Β Έστω επιπλέον Γ και οι προβολές των Α και Β αντίστοιχα πάνω στη διευθετούσα της παραβολής και Μ το µέσο του Γ Να αποδείξετε ότι: α)η αρχή των αξόνων είναι το σηµείο τοµής των διαγωνίων του τραπεζίου ΑΒ Γ, o β) A Mˆ B = 90 και ότι ΜΕ είναι το ύψος του τρίγωνου AMB, o γ) ΓΕ ˆ = 90 60 Α ίνεται η παραβολή C : y = x Φέρνουµε χορδές παράλληλες προς την ευθεία ε : y = x + 1Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µέσων των χορδών αυτών Β Να αποδείξετε ότι: α ( α + 1) + ( α 1) + 14 α)αν ο ακέραιος αριθµός α είναι άρτιος,τότε Ζ 16 α + ( α + 1) + ( α + ) β)για κάθε ακέραιο αριθµό α είναι Ζ 61 Α Οι συντεταγµένες ( x, y) της θέσης Μ ενός κινητού τη χρονική στιγµή t δίνονται από τις σχέσεις x = αηµt και y = βσυνt Να αποδείξετε ότι το σηµείο Μ ανήκει σε έλλειψη και να βρείτε την εκκεντρότητα της έλλειψης ίνεται ότι α, β > 0 και α β ( 1 α ) + ( α ) + ( α ) + 7 Β Αν α περιττός αριθµός,να αποδείξετε ότι Ζ 1 Γ Nα βρείτε τους φυσικούς αριθµούς α οι οποίοι έχουν την δυνατότητα: η ευκλείδεια διαίρεση τους µε τον 16 δίνει πηλίκο κ και υπόλοιπο κ 6 Α Έστω δυο φυσικοί αριθµοί α και β µε α f β Αν το άθροισµά τους είναι 661 και η ευκλείδεια διαίρεση του α µε τον β δίνει πηλίκο 75,να βρείτε τους α και β 5 κ + 4 Β Να βρείτε για ποιες τιµές του ακεραίου κ ο αριθµός είναι ακέραιος x y Γ ίνεται η έλλειψη C : + = 1 και το σηµείο M(,1) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που 9 4 διέρχεται από το Μ και τέµνει την έλλειψη στα σηµεία Α και Β, Έτσι ώστε το Μ να είναι το µέσο του ΑΒ Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 10
6 Α Αν οι συντεταγµένες των σηµείων µιας έλλειψης δίνονται από τις σχέσεις x = + συνt και y = 1+ ηµ t να βρείτε την εξίσωση της Β Αν ν Ν, να εξετάσετε αν τα παρακάτω κλάσµατα είναι ανάγωγα: 5v + v + 4 i) ii) 8v + 5 v + Γ Nα βρείτε τους φυσικούς αριθµούς α και β σε καθεµια από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) ( α, β) = 4 και [ α, β] = 496 ( α p β) β) α + β = 7 ( α, β) και [ α, β] = 48 64 Α Έστω τα σηµεία Α( α,0), Β(0, β) όπου α,β µη αρνητικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύει β α = 16 Να αποδείξετε ότι: α)το µέσο Μ του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ κινείται σε µια υπερβολή, β)η εφαπτόµενη της υπερβολής στο Μ είναι κάθετη στην ΑΒ Β Έστω τα σηµεία A (1,1), B(,) και τα σηµεία Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει = MB AM Να αποδείξετε ότι το σύνολο των σηµείων Μ βρίσκεται σε κύκλο µε διάµετρο ΚΛ, όπου τα Κ και Λ είναι τέτοια,ώστε KA = KB και ΛΑ = ΒΛ 1 ο Αχαρνών 197 Αγ Νικόλαος 10865196 ο Αγγ Σικελιανού 4 Περισσός 10718688 Ε 11ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός