ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόουλου ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ολοκληρώνοντας το 1 ο κεφάλαιο στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας της Γ Λυκείου συνειδητοοιούμε ότι ο στόχος του ήταν η αντιμετώιση ροβλημάτων εύρεσης της μέγιστης ή της ελάχιστης τιμής μιας συνάρτησης (ενός μεγέθους).είσης και της τιμής της μεταβλητής, αό την οοία εξαρτάται η συνάρτηση (το μέγεθος), για την οοία αρουσιάζει τη μέγιστη ή τη ελάχιστη τιμή αυτή. Στα ροβλήματα αυτά τα βήματα ου ακολουθούμε για την είλυσή τους είναι: 1 ον ) Κατασκευάζουμε τη συνάρτηση του μεγέθους ου θέλουμε να μεγιστοοιήσουμε ή να ελαχιστοοιήσουμε ως ρος τη μεταβλητή της οοίας η τιμή ζητείται. Αν στο ρόβλημα υεισέρχονται και άλλες μεταβλητές εκφράζουμε αυτές ως συνάρτηση της ζητούμενης. Στο βήμα αυτό ροσδιορίζουμε και το εδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής. ον ) Με τη βοήθεια των «γνώσεών» μας, αλλά κυρίως των θεωρημάτων του Διαφορικού Λογισμού ροσδιορίζουμε την τιμή της μεταβλητής στην οοία η συνάρτηση αρουσιάζει την ακρότατη τιμή της καθώς και την τιμή αυτή. Όταν αναφέρουμε: «γνώσεις» εννοούμε αυτές ου ροέρχονται αό τις ρώτες τάξεις του Λυκείου όως είναι: η γραφική αράσταση, η μέγιστη και ελάχιστη τιμή των Τριγωνομετρικών συναρτήσεων κ.α. (βλέε αράδειγμα 1 και ). Όμως υάρχουν ροβλήματα στα οοία οι γνώσεις αυτές δεν εαρκούν. Για την αντιμετώισή τους μάθαμε το αρακάτω θεώρημα. ΘΕΩΡΗΜΑ (Κριτήριο 1 ης αραγώγου). Έστω συνάρτηση f αραγωγίσιμη στο (α, β) και 0 (α, β) με f ( 0 )=0. Αν f () > 0 στο (α, 0 ) και f () < 0 στο ( 0, β) τότε η f αρουσιάζει στο 0 τη μέγιστη τιμή της στο (α, β) Αν f () < 0 στο (α, 0 ) και f () > 0 στο ( 0, β) τότε η f αρουσιάζει στο 0 την ελάχιστη τιμή της στο (α, β) Βάσει του αραάνω θεωρήματος, για να ροσδιορίσουμε τα ακρότατα της συνάρτησης ου είναι αραγωγίσιμη στο (α, β) αρκεί: 1 ον. Να βρούμε τις τιμές της μεταβλητής στις οοίες μηδενίζεται η αράγωγος της συνάρτησης, ειλύοντας την εξίσωση: f () = 0 ον. Να ροσδιορίσουμε το ρόσημο της αραγώγου συνάρτησης εκατέρωθεν του σημείου μηδενισμού, ειλύοντας τις α- νισώσεις: f () > 0 και f () < 0. Ανάλογα με τον τρόο αλλαγής του ρόσημου της f εκατέρωθεν των σημείων μηδενισμού χαρακτηρίζουμε τα ακρότατα μέγιστα ή ελάχιστα στο (α, β)..χ. Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης και να ροσδιοριστεί το είδος τους: f() = + 15 + 6 008, Έχουμε: f () = 6 0 + 6 = 6( 5 + 6), f () = 0 5+6 = 0 = ή = f () > 0 5+6 > 0 < ή > f () < 0 5+6 < 0 < < 1 Κώστα Βακαλόουλου
Άρα η συνάρτηση αρουσιάζει μέγιστο τοικό στο το f() = 1950 και ελάχιστο (τοικό) στο το f() = 1981. ΑΞΙΟΛΟΓΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ 1 η Αν υάρχει 0 f α,β Α (Α f το εδίο ορισμού της συνάρτησης f) στο οοίο η f μηδενίζεται τότε η f δεν αρουσιάζει οωσδήοτε ακρότατη τιμή σ αυτό..χ. Για τη συνάρτηση f()=, ισχύει: f () =, και f (0)=0 ενώ η συνάρτηση f δεν αρουσιάζει στο 0 ακρότατη τιμή. Γενικά: Μια αραγωγίσιμη συνάρτηση f στο R, δεν αρουσιάζει ακρότατη τιμή στο αν f () 0 για κάθε ή αν μηδενίζεται ίσως η f σε κάοια σημεία, εκατέρωθέν τους να διατηρεί σταθερό ρόσημο. Ειδικά, για τις ολυωνυμικές συναρτήσεις ου βαθμού, δηλαδή για τις συναρτήσεις της μορφής: f() = α + β + γ + δ, α, β, γ, δ με α 0 με f () = α + β + γ (τριώνυμο) ισχύει ότι: Δεν αρουσιάζουν ακρότατες τιμές αν η διακρίνουσα: Δ = 4β 1αγ της αραγώγου τους είναι μικρότερη ή ίση με το μηδέν». Παραδείγματα α) Αν f() = + 4 + 7 + 1 τότε f () = 8 + 7 Εειδή Δ = 64 84 = 0 < 0 ισχύει f () 0 για κάθε Άρα η συνάρτηση f δεν αρουσιάζει ακρότατες τιμές στο R. 1 β) Αν f () 4 008 τότε f () 4 4 ( ). Εειδή Δ = 16 16 = 0 ισχύει f () > 0 για κάθε {} ( f () 0 ). Άρα η συνάρτηση f δεν αρουσιάζει ακρότατες τιμές στο R. η. Μια συνάρτηση μορεί να αρουσιάζει ακρότατες τιμές και σε άλλα σημεία εκτός αό αυτά στα οοία μηδενίζεται η αράγωγος και εκατέρωθέν τους αλλάζει ρόσημο! Τέτοια σημεία μορεί να είναι: 1 ον. Τα σημεία στα οοία η συνάρτηση δεν αραγωγίζεται..χ. Δίνεται η συνάρτηση: f() = 1,. Στο 0 = 1 η συνάρτηση αρουσιάζει την ελάχιστη τιμή της (f(1)=0) ενώ δεν αραγωγίζεται σ αυτήν. ον. Τα άκρα του εδίου ορισμού της.χ. Δίνεται η συνάρτηση: f() = με 1. Η συνάρτηση αρουσιάζει στο 1 (τοικό) μέγιστο ενώ f () =, 1 οότε f (1) = 0 Κώστα Βακαλόουλου
Σημείωση: Στα Μαθηματικά της Γενικής Παιδείας α- ντιμετωίζονται συναρτήσεις ου είναι αραγωγίσιμες στο εδίου ορισμού τους, το οοίο συνήθως δεν έχει κλειστά άκρα. Έτσι η εύρεση των ακρότατων τιμών εριορίζεται στην εφαρμογή του θεωρήματος ου ροαναφέραμε. Ως γνωστόν η συνάρτηση αυτή αρουσιάζει β μέγιστη τιμή μόνο στο 0. α 1 Β. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (Παρακολουθήστε τη μεθοδολογία ου ακολουθούμε στην είλυσή τους!) ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Ένας ανθοώλης σε μια ανθοκομική έκθεση ρέει με 64μ. φράκτη (ου διανέμεται στην είσοδο της έκθεσης) να φράξει ένα χώρο σχήματος ορθογώνιου, χρησιμοοιώντας ως μια λευρά τον τοίχο της έκθεσης, για να εκθέσει τα λουλούδια του. Για = (0, 64) και y = 16 το εμβαδόν γίνεται μέγιστο και ίσο με Δ E 51τ.μ. 4α Με γνώσεις Γ Λυκείου: Για κάθε (0, 64) ισχύει: Ε ()= + Ε () = 0 = Ε () > 0 < Ε () < 0 > Προφανώς θέλει να σχηματίσει ορθογώνιο με το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν. Μορείτε να τον βοηθήσετε; Έστω,y οι διαστάσεις του «βέλτιστου» ορθογώνιου. Το εμβαδόν του ορθογώνιου είναι: Ε(,y)=.y (συνάρτηση δυο μεταβλητών). 64 Όμως: y 64 y y ( y 0 0 64 ). 1 E με 0 < < 64. Άρα = η συνάρτηση Ε αίρνει τη μεγαλύτερή της τιμή δηλαδή το εμβαδόν γίνεται μέγιστο και ίσο με Ε() = 51 τ.μ. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Με δυο σχοινιά μήκους 00 μ. και 00 μ. α- ντίστοιχα, θέλουμε να οριοθετήσουμε μια τριγωνική εριοχή σε αραλία της Ζακύνθου για την ανααραγωγή της careta careta. Τι είδους τρίγωνο ρέει να σχηματίζουμε ώστε το εμβαδόν του να είναι το μέγιστο δυνατό; Με γνώσεις Α Λυκείου: Η συνάρτηση Ε() είναι τριώνυμο της μορφής: α 1 + β + γ με α 0, β και γ = 0. Κώστα Βακαλόουλου
Αν είναι η (ζητούμενη) γωνία ˆ BAΓ του τριγώνου ΑΒΓ ου σχηματίζεται τότε το εμβαδόν τους δίνεται αό τη συνάρτηση: 1 1 E AB AΓ ημ 00 00 ημ 0.000 ημ, 0 λαμαρίνα συγκεκριμένου άχους το κόστος εξαρτάται αό τη συνολική ειφάνεια Ε του κουτιού. Με γνώσεις Α και Β Λυκείου: Η συνάρτηση Ε αίρνει τη μεγαλύτερή της τιμή μόνο αν ημ = 1 (αφού: 0 < ημ 1 για κάθε ο (0, )). Όμως ημ 1 90. Άρα Το τρίγωνο για να έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν ρέει και αρκεί να είναι ορθογώνιο. Με γνώσεις Γ Λυκείου: Έχουμε: Ε () = 0.000συν, 0 < < Ε () = 0 E () 0 0 E () 0 Μόνο για η συνάρτηση αρουσιάζει μέγιστη τιμή της, δηλαδή το εμβαδόν γίνεται μέγιστο. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Το υουργείο εμορείου ειβάλλει τα «κουτάκια» με τα αναψυκτικά να έχουν χωρητικότητα 68cm. Να βρεθούν οι διαστάσεις τους ώστε οι βιοτεχνίες ου τα κατασκευάζουν να έ- χουν το μικρότερο δυνατό κόστος; Έστω η ακτίνα της βάσης και h το ύψος. Προφανώς το κόστος κατασκευής εξαρτάται αό το όσο υλικό (λαμαρίνα) χρησιμοοιούμε στην κατασκευή του. Δεδομένου ότι χρησιμοοιούμε Έτσι, Ε(, y) = + h, > 0, h > 0 (συνάρτηση δυο μεταβλητών) Όμως αν V: ο όγκος του κουτιού θα ισχύει: 68 00 V = 68 h = 68 h (,14) 00 E(),14,14, 0 (συνάρτηση μιας μεταβλητής) (Στο αράδειγμα αυτό οι γνώσεις της Α και Β Λυκείου δεν εαρκούν για να βρούμε ότε η συνάρτηση αυτή αρουσιάζει ελάχιστο!) 00 Έχουμε: Ε ()= 00 4, 0 E () 0 0 4,64cm. E () 0 0 4,64. E () 0... 4,64. Το εμβαδόν (η ειφάνεια) άρα και το κόστος γίνεται ελάχιστο όταν και μόνον η ακτίνα της βάσης είναι 00 h 4,64 4,64 και στο ύψος του κουτιού 9,9cm. 4 Κώστα Βακαλόουλου
Γ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρεθεί η ευθεία ου διέρχεται αό το σημείο Α(1,) και σχηματίζει με τους ημιάξονες Ο και Οy το μικρότερο εμβαδόν. Η ζητούμενη ευθεία θα έχει εξίσωση της μορφής: y = λ + β (1), λ < 0, β < 0 (αφού ω>90 ο ) (η ερίτωση να μην έχει συντελεστή διεύθυνσης (//yy ) αορρίτεται Εειδή διέρχεται αό το Α θα ισχύει: = λ + 1 β = λ. Έτσι η μορφή (1) γίνεται: y = λ + λ () Για τα σημεία Κ( 1, 0) και Λ(0, y ) ου η ευθεία ε τέμνει τους ημιάξονες ισχύει: λ 0 λ 1 λ λ1 λ 1 λ (ροφανώς λ 0). Είσης: y = λ 0 + λ y = λ λ K,0, Λ0, λ λ Το εμβαδόν του τριγώνου OΚΛ ου σχηματίζεται δίνεται αό τη συνάρτηση: λ 1 λ 1 Eλ Ελ, λ λ λ 1 (λ )λ (λ ) Έχουμε Ε (λ) λ 1λ 4λ λ 4λ 4 1 λ 4 λ λ Με λ < 0 έχουμε: Ε (λ) = 0 λ 4 = 0 λ = Ε (λ) > 0 λ 4 < 0 < λ < 0 Ε (λ) < 0 λ 4 > 0 λ < Μόνο για λ = η ευθεία y = + 4, σχηματίζει με τους ημιάξονες τρίγωνο με το μικρότερο εμβαδόν.. Ποιες διαστάσεις ρέει να έχει το «τελάρο» ΜΝΚΛ μιας ορθογώνιας κορνίζας ώστε να έχει τη μεγαλύτερη δυνατή ειφάνεια και οι κορυφές του Μ, Ν να ακουμούν στο αραβολικό άνοιγμα ενώ η βάση του στο δάεδο. (Η αραβολή του σχήματος είναι η γραφική αράσταση της συνάρτησης f() = + 9). Έστω Μ(, y) με y = + 9 η μια κορυφή του ορθογώνιου ου σχηματίζεται Μ(, + 9) με 0 < < Η ειφάνεια της κορνίζας δηλαδή το εμβαδόν του ορθογωνίου δίνεται αό τη συνάρτηση Ε() = ( + 9) Ε() = + 18, 0 < < Ε () = 6 + 1 8 = 6( ), 0 < < Με (0, ) έχουμε: Ε () = 0 Ε () > 0 < 0 0 Ε () < 0 > 0 Τη μεγαλύτερη ειφάνεια θα έχει η κορνίζα με διαστάσεις και 6. ( KΛ, ΛΜ 9 6 ). Έστω ορθογώνιο ΑΒΓΔ στις λευρές του οοίου εφαρμόζουμε εξωτερικά ημικύκλια διαμέτρου ίση με κάθε λευρά του. Αν η ε- 5 Κώστα Βακαλόουλου
ρίμετρος του σχήματος είναι 400 μ. δείξτε ότι το ορθογώνιο αοκτά το μεγαλύτερο εμβαδόν όταν γίνει τετράγωνο! Έστω ΑΒ = και BΓ = y (, y > 0) Η ερίμετρος του σχήματος είναι + y +y = 400 00 00 y y (1) 00 ( y 0 00 0 ) Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι: 1 00 800 E y 4y 4 4, 00 0. 800 00 E 4, 0.Έχουμε: 800 00 E 8 με 0, έχουμε: E 0 8 0 E 0 8 0 0 00 E 0 8 0 4. Θέλουμε να διαμορφώσουμε ένα θερινό θεατράκι σχήματος κυκλικού τομέα ακτίνας ρ και γωνίας θ με ειφάνεια 5τ.μ. Να βρεθεί η ακτίνα ρ ώστε η ερίφραξη να στοιχίσει το λιγότερο δυνατό. Αν Ε το εμβαδόν έχουμε: θ θρ Ε E ρ E θ. ρ 450 Για E 5 έχουμε: θ, ρ > 0 (1) ρ Αν Π η ερίμετρος τότε: 1 θ Π ρ ρ ρ θρ 450 450 ρ ρ ρ, ρ 0 ρ ρ Έτσι: 450 Πρ ρ, ρ 0 είναι η συνάρτηση του δίνει ρ την ερίμετρο Π συναρτήσει της ακτίνας ρ. Έχουμε: Π ρ ρ 1 ρ ρ ρ Με ρ > 0 έχουμε: 450 5 ρ 5 Π (ρ) = 0 ρ 5 = 0 ρ = 15 Π (ρ) > 0 ρ 5 > 0 ρ > 15 Π (ρ) < 0 ρ 5 < 0 0 < ρ < 15 00 Για οότε y το ορθογώνιο γίνεται τετράγωνο και έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν του. Για να έχουμε το ελάχιστο κόστος ρέει και αρκεί η ακτίνα να είναι 15 μέτρα. 6 Κώστα Βακαλόουλου