ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις Προσοχή: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές, μπορεί να υπάρχουν και άλλες που επίσης να είναι σωστές. Θέμα 1: [16 μονάδες] (a) [6] (i) Μεταφράστε τις παρακάτω προτάσεις Α, Β, Γ και Δ σε προτάσεις του προτασιακού λογισμού. Α: Εάν σήμερα είναι Πέμπτη, τότε θα δώσω ένα τελικό διαγώνισμα στο ΗΥ111 ή στο ΗΥ999. Β: Εάν ο καθηγητής του ΗΥ999 είναι άρρωστος, τότε δεν θα δώσω τελικό διαγώνισμα στο ΗΥ999. Γ: Σήμερα είναι Πέμπτη και ο καθηγητής του ΗΥ999 είναι άρρωστος. Δ: Θα δώσω ένα τελικό διαγώνισμα στο ΗΥ111. (ii) Αποδείξτε κατά πόσον η πρόταση Δ προκύπτει λογικά από τις προτάσεις Α, Β, Γ. (b) [10] Έστω οι παρακάτω προτασιακές μορφές, P(x)= ο x είναι παπαγάλος", C(x)= το x είναι χρωματιστό" και T(x)= το x μπορεί να μιλήσει". Θεωρείστε μεταβλητές στο σύνολο όλων των πουλιών. Γράψτε σε κατηγορηματικό λογισμό τις εξής προτάσεις: Ε: Κανένας παπαγάλος δεν είναι χρωματιστός, Ζ: Μερικοί παπαγάλοι δεν μπορούν να μιλήσουν, Η: Κάθε χρωματιστό πουλί είναι παπαγάλος, Θ: Αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα πουλί παπαγάλος είναι να είναι χρωματιστό και να μπορεί να μιλήσει, Ι: Κάθε χρωματιστός παπαγάλος μπορεί να μιλήσει. (a) (i) Έστω οι παρακάτω ατομικές προτάσεις. t: Σήμερα είναι Πέμπτη c: Θα δώσω τελικό διαγώνισμα στο ΗΥ111 e: Θα δώσω τελικό διαγώνισμα στο ΗΥ999 s: Ο καθηγητής του ΗΥ999 είναι άρρωστος Τότε οι προτάσεις που δίνονται, γράφονται ως: A: t (c e) B: s e Γ: t s (ii) Ισχύει ο συλλογισμός. Από την t s προκύπτει ότι ισχύει και η t και η s (απλοποίηση). Από την t και την t (c e) προκύπτει ότι η c e είναι αληθής (modus ponens). Από την s και την s e ισχύει η e (ορισμός του ). Από την c e και την e προκύπτει η ισχύς της c (διαζευκτικός συλλογισμός). (b) : x P( x) C( x) Z : x P( x) T( x) H : x C( x) P( x) : x P( x) C( x) T( x) : x C( x) P( x) T( x) Θέμα : [15 μονάδες] (a) [5] Έστω το σύνολο Α={1}, Β={,,4}, Γ=Ø. Υπολογίστε τα σύνολα (i) P(AXB), (ii) P(P(Γ)). Σημείωση: Με P(Q) συμβολίζουμε το δυναμοσύνολο του συνόλου Q. (b) [5] Αποδείξτε με απαγωγή σε άτοπο το εξής θεώρημα Για όλους τους ρητούς αριθμούς x και άρρητους αριθμούς y, ισχύει ότι το άθροισμα x+y είναι άρρητος. Σελίδα 1 από 6
(c) [5] Σε καθεμία από τις θέσεις του x πίνακα που φαίνεται στο διπλανό σχήμα, μπορεί κανείς να βάλει οποιονδήποτε από τους αριθμούς -1, 0 ή 1. Έστω τα αθροίσματα των τριών γραμμών, των τριών στηλών και των δύο κύριων διαγώνιων του πίνακα (μαρκαρισμένες με διακεκομμένες γραμμές). Αποδείξτε ότι για οποιαδήποτε τοποθέτηση αριθμών, τουλάχιστον δύο από τα παραπάνω οκτώ αθροίσματα θα είναι ίσα. (a) (i) AxB: {(1,), (1,), (1,4)} P(AXB) = {Ø, {(1,)}, {(1,)}, {(1,4)}, {(1,), (1,)}, {(1,), (1,4)}, {(1,), (1,4)}, {(1,), (1,), (1,4)}} (b) (ii) P (Ø) = {Ø}, P (P (Ø)) = {Ø, {Ø}} (c) Ας υποθέσουμε ότι η πρόταση αυτή δεν είναι αληθής. Επομένως υπάρχει ρητός αριθμός x και άρρητος αριθμός y έτσι ώστε ο x+y να είναι ρητός, και επομένως να μπορούμε να γράψουμε τον x+y ως x+y = p/q όπου p και q - ακέραιοι. Εφόσον ο x είναι ρητός, έχουμε x = a/b για ακεραίους a και b. Τότε, y = p/q a/b = (pb aq)/bq, πράγμα που αποτελεί αντίφαση, αφού, δεδομένου ότι ο y είναι άρρητος, δεν μπορεί να αποτελεί πηλίκο δύο ακεραίων. (d) Τα περιστέρια είναι τα 8 αθροίσματα ( γραμμές, στήλες, διαγώνιοι). Οι περιστερώνες είναι τα 7 διαφορετικά αποτελέσματα άθροισης αριθμών, καθένας από τους οποίους μπορεί να είναι το 0, το 1 ή το -1. Αυτά είναι τα {-, -, -1, 0, 1,, }. Από την αρχή του περιστερώνα, τουλάχιστον περιστέρια θα αντιστοιχηθούν στον ίδιο περιστερώνα, επομένως τουλάχιστον αθροίσματα θα είναι ίσα μεταξύ τους. Θέμα : [16 μονάδες] (a) [7] Αποδείξτε επαγωγικά ότι για κάθε ακέραιο n 1, ( n n). Σημείωση: a b σημαίνει ότι το a διαιρεί ακριβώς το b (b) [9] Πόσες μεταθέσεις των 6 γραμμάτων του αγγλικού αλφαβήτου δεν περιέχουν καμία από τις λέξεις fish, rat, bird ; (a) Βάση της επαγωγής: Για n = 1, n n 0, που διαιρείται ακριβώς με το. Επαγωγική υπόθεση: Έστω ότι η πρόταση ισχύει για n=k, δηλαδή ( k k), δηλαδή υπάρχει ακέραιος s τέτοιος ώστε k k s Επαγωγικό βήμα: Θα δείξω ότι ισχύει για n=k+1, δηλαδή: (( k1) ( k 1)). Πράγματι, Άρα, δείξαμε πως αν η πρόταση ισχύει για n=k, τότε ισχύει και για n=k+1 ΟΕΔ. (b) Όλες οι μεταθέσεις είναι Α = 6! Οι μεταθέσεις που περιέχουν fish είναι B = (6 4 + 1)! =! Οι μεταθέσεις που περιέχουν rat είναι Γ = (6 + 1)! = 4! Οι μεταθέσεις που περιέχουν bird είναι Δ = (6 4 + 1)! =! Σελίδα από 6
Οι μεταθέσεις που περιέχουν fish και rat είναι Ε = (6 4- + )! = 1! Οι μεταθέσεις που περιέχουν fish και bird είναι Ζ = 0 (θα έπρεπε το i να είναι δύο φορές) Οι μεταθέσεις που περιέχουν rat και bird είναι Η = 0 (θα έπρεπε το r να είναι δύο φορές) Οι μεταθέσεις που περιέχουν rat και bird και fish είναι Θ = 0 (θα έπρεπε το i και το r να είναι δύο φορές) Από την αρχή του εγκλεισμού αποκλεισμού, οι ζητούμενες μεταθέσεις είναι Α-Β-Γ-Δ+Ε+Ζ+Η-Θ = 6!-!-4!-!+1! Θέμα 4: [16 μονάδες] (a) [7] Έστω το δυναμοσύνολο P(X) ενός πεπερασμένου συνόλου X. Ορίζουμε μία σχέση R επί του P(X) ως εξής: A,B P(X), R(A,B) A = B. (i) Αποδείξτε ότι η R είναι σχέση ισοδυναμίας, (ii) Πόσες είναι οι κλάσεις ισοδυναμίας που δημιουργεί η R; Σημείωση: Mε Q συμβολίζουμε τον πληθικό αριθμό του συνόλου Q. (b) [9] Έστω οι παρακάτω σχέσεις. Για καθεμία από αυτές, απαντήστε κατά πόσον (i) είναι σχέση μερικής διάταξης (ii) είναι σχέση ολικής διάταξης. Σχέση R 1 επί του a, b, c, d, R ( a, b),( c, d) a c, τέτοια ώστε 1 Σχέση R επί του, τέτοια ώστε a, b, c, d, R ( a, b),( c, d) ( a c b d) (a) (i) Για να είναι σχέση ισοδυναμίας πρέπει να έχει την ανακλαστική, συμμετρική και μεταβατική ιδιότητα. Πράγματι, ανακλαστική είναι γιατί κάθε σύνολο έχει τον ίδιο πληθικό αριθμό με τον εαυτό του. Συμμετρική είναι γιατί αν το Α έχει τον ίδιο πληθικό αριθμό με το Β τότε και το Β έχει τον ίδιο πληθικό αριθμό με το Α. Μεταβατική είναι γιατί αν το Α έχει τον ίδιο πληθικό αριθμό με το Β και το Β έχει τον ίδιο πληθικό αριθμό με το Α, τότε το Α έχει τον ίδιο πληθικό αριθμό με το Γ. (ii) Έστω Χ το σύνολο επί το δυναμοσύνολο του οποίου ορίζουμε τη σχέση. Η σχέση δημιουργεί Χ +1 κλάσεις ισοδυναμίας (υποσύνολα με 0, 1,,,, Χ, στοιχεία). (b) (i) Η σχέση R 1 είναι ανακλαστική και μεταβατική δεν είναι όμως αντισυμμετρική. Πχ, το (1,4) σχετίζεται με το (1,8) και το (1,8) σχετίζεται με το (1,4), αλλά το (1,8) και το (1,4) δεν είναι ίσα. (ii) Η σχέση R είναι ανακλαστική, αντισυμμετρική και μεταβατική, επομένως είναι σχέση μερικής R a b a b αφού καιb b. Επίσης διάταξης. Πράγματι, ανακλαστική είναι γιατί (, ),(, ) είναι αντισυμμετρική γιατί εύκολα κανείς μπορεί να δείξει πως αν R ( a, b),( c, d ) και R ( c, d),( a, b ) τότε ( c, d) ( a, b). Μεταβατική είναι γιατί αν R ( a, b),( c, d ) και R c d e f τότε εύκολα κανείς μπορεί να δείξει ότι R a b e f. Ωστόσο, δεν είναι (, ),(, ) (, ),(, ) σχέσης πλήρους διάταξης, γιατί υπάρχουν μη συγκρίσιμα στοιχεία, πχ, το (1,4) και το (,5). Θέμα 5: [15 μονάδες] (a) [6] Έστω ένα σύνολο Α με n στοιχεία και ένα σύνολο Β με m στοιχεία, με n m. Πόσες συναρτήσεις 1-1 μπορούμε να ορίσουμε με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; (b) [9] Σε ένα γήπεδο μπάσκετ, εμφανίστηκαν 1 άτομα που θέλουν να παίξουν. (i) Με πόσους τρόπους μπορούν να επιλεγούν 10 για να κλείσουν το γήπεδο; Δύο τρόποι επιλογής είναι διαφορετικοί αν καταλήγουν σε διαφορετικά επιλεγμένα άτομα. (ii) Από τους 1 που εμφανίστηκαν, οι είναι γυναίκες και οι 10 άνδρες. Με πόσους τρόπους μπορούν να επιλεγούν 10 για να κλείσουν το γήπεδο αν ακριβώς η μία πρέπει να είναι γυναίκα; (iii)στους 1, υπάρχουν δύο ζευγάρια διδύμων και μία τριπλέτα τριδύμων. Σε κάθε ζευγάρι διδύμων αλλά και στην τριπλέτα τριδύμων η ομοιότητα είναι καταπληκτική κανείς δεν μπορεί να ξεχωρίσει τον έναν από τον άλλον! Τα 1 άτομα πρέπει να μπουν στη σειρά και να πάρουν μια αναμνηστική φωτογραφία. Πόσες διαφορετικές φωτογραφίες μπορούν να βγουν; Σελίδα από 6
Σημείωση: Η διαφορετικότητα των φωτογραφιών προκύπτει από την εμφάνιση των επιλεγμένων ατόμων και από τη διάταξη τους (τη σειρά τους) στη φωτογραφία. m! (a) P( m, n). Προσοχή, η σειρά επιλογής μας ενδιαφέρει, γιατί προσδιορίζει σε ποια ( m n)! στοιχεία του πεδίου ορισμού θα απεικονιστούν τα επιλεγμένα στοιχεία του πεδίου τιμών. Επομένως, διαφορετική σειρά επιλογής στοιχείων, οδηγεί σε διαφορετική συνάρτηση. (b) 1! 10! 1111 (i) C(1,10) 86. (110)! 10!! 10!! 10! (ii) C(,1) C(10,9) 10 0.! 1! 9! 1! (iii) Αν όλοι ήταν διαφορετικοί μεταξύ τους, θα είχαμε 1! διαφορετικές διατάξεις. Όμως, τα τρίδυμα και τα ζευγάρια διδύμων είναι μεταξύ τους πανομοιότυπα, επομένως όπως και να διαταχθούν μεταξύ τους, δεν κάνει διαφορά στη φωτογραφία. Επομένως, πρέπει να διαιρέσουμε το 1! με τις!,! και! εσωτερικές διατάξεις των τρίδυμων και των ζευγαριών δίδυμων, επομένως το αποτέλεσμα είναι 1! 1! 59,459,00 διαφορετικές φωτογραφίες.!!! 4 Θέμα 6: [16 μονάδες] (a) [8] Δείξτε πως αν δύο ενδεχόμενα A και B είναι ανεξάρτητα, τότε το A και το B (το συμπλήρωμα του B ) είναι επίσης ανεξάρτητα. (b) [8] Πέντε ίδια κουτιά i=1,,5 περιέχουν i άσπρες και 5-i μαύρες μπάλες. Ένα κουτί επιλέγεται B i, στην τύχη και δύο μπάλες επιλέγονται από αυτό πάλι τυχαία και χωρίς επανάθεση στο κουτί. (i) Ποια είναι η πιθανότητα και οι δύο επιλεγμένες μπάλες να είναι άσπρες; (ii) Αν και οι δύο επιλεγμένες μπάλες ήταν άσπρες, ποια η πιθανότητα να επιλέξαμε το κουτί ; (a) Αρκεί να δείξουμε ότι P( A B) P( A). Πράγματι, P( A B) P( B A) P( A) [1 P( B A)] P( A) [1 P( B)] P( A) P( A B) P( B) P( B) P( B) P( B) P( B) P( A) PA ( ). PB ( ) (b)(i) Έστω Α={και οι μπάλες είναι άσπρες}, Έστω Α i={και οι μπάλες που επιλέχτηκαν από το κουτί i είναι άσπρες} Έστω Β i={επιλέχτηκε το κουτί i} Ισχύει ότι P( B1 ) P( B ) P( B ) P( B4 ) P( B4 ) 1/ 5. Επίσης P( B ) 0. 1 1 Σελίδα 4 από 6
C(, ) 1 P( B). C(5, ) 10 C(, ) P( B). C(5, ) 10 C(4, ) 6 P( 4 B4). C(5, ) 10 C(5,) P( 5 B5) 1. C(5,) (i) (ii) Τότε 5 P( A) P( A B ) P( B ) / 5. i1 i i i Χρησιμοποιώντας τον νόμο του Bayes, προκύπτει ότι P B P( A B ) P( B ) P( A B ) P( B ) / 50 P( A) P( A) / 5 ( A) 15 /100 0.15 Θέμα 7: [16 μονάδες] (a) [9] Για καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις (ξεχωριστά), είτε δώστε ένα παράδειγμα αντίστοιχου γράφου είτε αποδείξτε ότι τέτοιος γράφος δεν μπορεί να υπάρξει. 1. Απλός γράφος με 8 κορυφές και βαθμούς κορυφών 0, 1,,, 4, 5, 6, 7.. Απλός γράφος με 4 κορυφές και βαθμούς κορυφών 1,,,.. Γράφος με 10 κορυφές, τέτοιος ώστε ακριβώς 49 κορυφές να έχουν βαθμό 5 και οι υπόλοιπες 5 κορυφές να έχουν βαθμό 6. (b) [7] Είναι οι παρακάτω γράφοι ισομορφικοί; Αν ναι, δείξτε τον ισομορφισμό. Αν όχι, εξηγείστε γιατί. (a) 1. Δεν υπάρχει τέτοιος γράφος. Αν ένας κόμβος έχει βαθμό 7, συνδέεται με όλους τους άλλους, οπότε δεν είναι δυνατόν κάποιος να μη συνδέεται με κανένα (βαθμός 0)... Δεν υπάρχει γιατί ξέρουμε ότι για κάθε γράφο με n κορυφές και e ακμές, πρέπει να ισχύει ότι deg(1) + + deg(n) = e. Στην περίπτωσή μας, αυτό θα σήμαινε ότι 49 5 + 5 6 = e, πράγμα το οποίο είναι αδύνατο για ακέραιο πλήθος ακμών. (b) Σελίδα 5 από 6
Ναι, είναι ισομορφικοί. Η αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση μεταξύ κορυφών φαίνεται παρακάτω όπου ένας κόμβος v i στον αριστερό γράφο αντιστοιχίζεται στον κόμβο V i στον γράφο δεξιά. Σελίδα 6 από 6