HOOFSTUK 6 Vergelyking van meer as twee groepe metings

HOOFSTUK 6 Vergelyking van meer as twee groepe metings In Hoofstuk 4 is effekgrootte-indekse bespreek vir verskille tussen die gemiddeldes van twee groepe metings (onafhanklik of afhanklik). In die geval waar n eksperimentele ontwerp of n studie meer as twee groepe metings behels, is daar twee soorte effekte wat van belang kan wees en waarvoor effekgrootte-indekse dien as maatstawwe. Die eerste is die sg. omnibus-effek waarmee vasgestel word of ten minste twee van die groepe metings van mekaar verskil en hoedanig sulke verskille is. Die tweede is n kontras-effek, waar spesifieke groepe metings se gemiddeldes of kombinasies daarvan vergelyk word. Voorbeeld 6.: In voorbeeld A, Hoofstuk 3 was daar 3 groepe metings: voor-, na- en opvolgtoetse. n Omnibus-effek gee uitspraak of daar enige verskil is tussen bv. die gemiddelde BDI-metings van die voor-, na- en opvolgtoetse. n Kontras sou bv. wees xv x N, die verskil tussen gemiddeldes van voor- en natoetse. n Ander voorbeeld van n kontras is ( ) x x + x, waar x O die gemiddeld van V N O die opvolgtellings is. Hier word die gemiddelde van die na- en opvolgtoetse se gemiddeldes met die voortoetsgemiddelde vergelyk. Opmerking: Let op dat hierbo na groepe metings verwys word, wat meer algemeen is as bv. groepe persone, populasies of steekproewe is. Groepe metings kan onafhanklik wees, dan beteken dit verskillende groepe persone, populasies of steekproewe. Dit kan egter ook afhanklike metings wees op dieselfde persone binne een populasie of steekproef. Voorbeeld 6. illustreer dit, want n voor-, na- en opvolgmeting is op elkeen van die hartpasiënte geneem en is dus afhanklik.

6. Indekse vir omnibus-effekte by onafhanklike metings Die voor die hand liggende uitbreiding van Cohen se δ na meer as twee groepe, sou wees (Cohen, 969, 977, 988): waar δ µ µ σ maks min omn =, (6.) µ maks en µ min die grootste en kleinste gemiddeldes van groepe is en σ die gemeenskaplike SA van al die groepe is. Na aanleiding van n eenrigting-variansieanalise (ANOVA), stel Cohen die indeks f voor: waar f σ µ =, (6.) σ µ k k i = ( ) i (6.3) σ = µ µ, die variansie van die µ i' s, met k : getal groepe µ i : gemiddeld van i de groep µ : gemiddeld van al die µ i' s, en aangeneem word dat die groepe ewe groot is. Gestel σ t is die totale variansie van al die metings oor groepe heen, dan vir groepgroottes en variansies gelyk, geld: t µ σ = σ + σ (6.4) n Sinvolle effekgrootte-indeks kan dan die proporsie van die totale variansie, wat toegeskryf kan word deur σ µ, wees:

η σµ + µ = σ σ. (6.5) Dit is Pearson se eta-kwadraat en hou verband met f (uit 6. en 6.4): η f = 6.6) + f Die indeks η en beramers daarvan het egter in die praktyk wyer inslag gevind as δ omn en f as n omnibus effekgrootte-indeks. Gevolglik konsentreer ons verder net daarop. 6.. Beraming van η : Vooraf voer ons die volgende notasie rondom eenrigting-anova in (vir meer besonderhede raadpleeg Steyn et.al, 998: 5-53). SK G : tussen groepe som van kwadrate, SK F : binne groepe (fout) som van kwadrate, SK tot : totale som van kwadrate. Indien die metings dié van ewekansige steekproewe is, is n sydige beramer vir η : wat SK = SK G ɶ, (6.7) η η oorberaam. tot Hays se beramer ˆω (kyk Fidler & Thompson, 00: 585) is n aanpassing van ηɶ en word gegee deur: ˆω G ( ) F ( ) + ( ) SK k SK / n k = SK SK / n k waar n die totale getal metings oor die k groepe is. tot F, ( 6.8) 3

Opmerkings: ) Hoewel ˆω n aangepaste beramer is om sydigheid te beperk, kan die waarde daarvan negatief wees. Dit gebeur as die variansieverhouding ( ) ( ) SK G / k F = < SK / n k F, (6.9) wat gewoonlik net die geval is as H 0 :µ = µ =... = µ k nie verwerp kan word nie, wat gepaard gaan met klein waardes van η. In sulke gevalle word ˆω = 0 geneem, omdat η > 0 nie met n negatiewe waarde beraam kan word nie. ) Die beramer ˆω is die ANOVA analoog van R a, die aangepaste R soos in paragraaf 5..5 gedefinieer, terwyl k =. ˆω in paragraaf 5.3. n spesiale geval is as 3) In terme van die variansieverhouding F is ˆω F =, (6.0) n-k F + k- wat (5.8) in paragraaf 5.3. veralgemeen. 4) Streng gesproke is ˆω ook nie onsydig vir η nie, maar wel (Hays, 973:486): ( n k ) F / ( n k ) ( n k ) F / ( n k ) + ( n k ) / ( k ) ˆη = (6.) 4

Voorbeeld 6.: Beskou Voorbeeld D in Hoofstuk 3. Hier was k = 3, n = 444, SK = 67,47, SK = 854, 49, SK = 9,96 en F = 7, 4. F tot G 67,74 η ɶ = = 0,0735 9,96 67, 74-854, 49/44 67,74-3,88 63,86 ˆω = = = 9,96 + 854, 49/44 9,96 +,94 93,90 = 0,0690. Dit is egter volgens (6.0) makliker om te bereken: 7, 4-6, 4 ˆω = = = 0,0690 44 7,4+ 37,9 Volgens (6.) is die beraming: 439 7, 4/44-7,33- ˆη = = = 0,0687. 439 7, 4/44+ 44/ 7,33 + 0,5 Dis duidelik dat ηɶ n effens hoër waarde gee want dit oorberaam η. Die beramings volgens ˆω en ˆη is prakties dieselfde. 6.. Vertrouensintervalle vir η Onder die aanname van ewekansige steekproewe uit normaalpopulasies, gee Fowler (985) n benaderde 00( α )%VI vir η afgelei uit die Laubscherbenadering van n nie-sentrale F verdeling. Simulasies deur Fowler het getoon dat hierdie interval die korrekte oordekkingswaarskynlikheid gee vir, 4 of 8 groepe met elk 5, 0 of 0 waarnemings per groep. Dit geld dat die variansieverhouding F n nie-sentrale F -verdeling besit met k en n - k vryheidsgrade en nie-sentraliteitsparameter nsp ( F nη / η ) vir nsp bepaal met grense: =. Soos tevore word eers n VI 5

en nspfo = wx + z α x + c k + c zα wx x + c ( ) ( ) ( ) (6.) nspfb = wx + z α x + c k + c + zα wx x + c w waar = ( n k ) ( ) ( ) x = k F / n k ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) c = k nx / k nx. Die benaderde VI -grense vir ( ) O,ben FO FO η = nsp / nsp + n η volg uit die definisie van nsp F en is: en (6.3) ( ) B,ben FB FB η = nsp / nsp + n Daar kan egter ook n presiese 00( α )%VI ( η O;ηB ) bepaal word deur van dieselfde SAS-program VI _ R as in paragraaf 5..5 gebruik te maak en as inset u = k, n en F te neem. Die program bereken ook die beramers ηɶ en ˆη (as R en Ra ). Voorbeeld 6.3: Beskou Voorbeeld 6.. Om die benaderde 95% VI vir η te bepaal, bereken eers w = 44- = 883 x = 7, 4/44 = 0,079 ( 3-+ 444 0,079) ( 3-+ 444 0,079) c = / = 7,3/37,057 =,057 ( ) nsp FO 883 0,079 +,96 0,079 +,057 - +,057 =,96 883 0,079( 0,079 +,057) 6

= [ 69,757 + 8,06-6,057] - 3,95 = 35,953-3,95 =,08 nsp FB = 35,953 + 3,95 = 59,878 O,ben ( ) η =,08 /,08 + 444 = 0, 06 B,ben ( ) η = 59,878 / 59,878 + 444 = 0,9. Die presiese 95% VI vir die VI vir η : ( 0,03 ; 0,) η. nsp F uit die program R_ VI is ( 4,387 ;6,94) terwyl Dit blyk dus dat die presiese interval effense hoër waardes gee vir beide die onder- en bogrens. 6..3 Riglynwaardes vir omnibus-effek Cohen (969, 977, 988) se uitgangspunt is dat uit k =, dan is δomn δ η = in Hoofstuk 4 en σ ( µ µ ) µ = sodat δ omn in (6.) volg dat as f = δ. (6.4) Hierdie verband gee dus aanleiding tot die riglynwaardes vir f as 0, ; 0,5 en 0,4 as klein, medium en groot effekte, afgelei uit δ = 0, ; 0,5 en 0,8. Deur van die verband tussen η en f gebruik te maak in (6.6), stel Cohen die volgende gerieflike riglynwaardes vir η voor: Klein effek : Medium effek : Groot effek : η = 0,0 η = 0,06 η = 0,4. 7

Omdat hierdie waardes verkry word deur na proporsie variansie van populasie lidmaatskap in die geval van net populasie te kyk, probeer Cohen n motivering gee waarom dit ook vir k > van toepassing kan wees. Hy beskou drie verskillende patrone waarvolgens die gemiddeldes µ,µ...,µ k varieer oor die interval ( σδ; σδ) : Patroon : σδ 0 σδ µ µ µ k µ k- Patroon : µ k- µ µ µ k Patroon 3: µ k µ k- k / µ µ µ + µ k / Let op dat patroon die kleinste variasie van µ s gee, patroon 3 die grootste (aanvaar dat k ewe is, sodat die helfte van die µ s by elk van die endpunte van die interval lê). Patroon waar die µ s gelyk gespasieerd is, gee n variasie wat tussen dié van patrone en 3 is. 8

By elkeen van die patrone kan f (en dus η ) bepaal word as n ander funksie van δ en k. Tabel 6. gee dit, asook δ in terme van f, weer: met voorbeelde as k = en 8 : Tabel 6. f Patroon algemeen k = k = 8 algemeen k = k = 8 δ 3 δ k δ k + 3 ( k ) 0,5δ 0, 5δ f k f 4 f 0,5δ 0,33δ f ( k ) 3 k + f 3,06 f δ 0,5δ 0,5δ f f f Let op dat vir k = is die patrone identies, en is δ die gestandaardiseerde verskil in gemiddeldes soos in Hoofstuk 4 bespreek. 6..4 Motivering van riglynwaardes van Cohen:. Klein effek ( f = 0, ; η = 0,0) = = : Hier is die SA van die gemiddeldes een-tiende van die SA van metings binne die populasies. Vir k = kom dit ooreen met δ = 0, by al die patrone en vir k = 8 met δ = 0, 4 vir patroon, δ = 0,306 vir patroon en δ = 0, vir patroon 3. Patroon 3, wat die grootste variasie in die µ s gee, lewer dieselfde waarde van δ = 0, op wat as n klein effek beskou is by k = 8. Met variasie die kleinste (volgens patroon ) kan δ heelwat groter word, bv. δ = 0, 4 as k = 8. Dit is die gevolg daarvan dat slegs 9

gemiddeldes weg lê van die res en daar moet dus toegelaat word dat die interval waaroor die µ s varieer groter kan wees. In terme van η, beteken dit dat die proporsie variansie toe te skryf aan populasie-lidmaatskap, maar % is.. Medium effek ( f = 0, 5 ; η = 0,06) = = : Vir k = en patroon 3 kom dit ooreen met δ = 0,5, wat tevore as n medium effek beskou is (kyk paragraaf 4.5). In die geval van klein variasie volgens patroon is δ =,0 vir k = 8 wat beteken dat die ekstreme gemiddeldes een SA verskil. Die proporsie variansie toe te skryf aan populasie-lidmaatskap is nou 6%. As voorbeeld wys Cohen hier dat die gemiddelde IK s van 7 beroepsgroepe waarvan σ = en gelyk gespasieerd is oor die interval 98-07, n waarde f = 0, 5 gee. 3. Groot effek ( f 0, 4 η 0,4) = ; = : Vir k = en patroon 3 kom dit ooreen met δ = 0,8, wat tevore as n groot effek beskou is. By patroon beteken dit dat as k = 8 die twee ekstreme gemiddeldes,6 SA s uitmekaar lê. Die proporsie variansie η is nou 4%. In die voorbeeld van die 7 beroepsgroepe se gemiddelde IK s hierbo moet dit tussen 98 en varieer om f = 0, 4 op te lewer. 6. Indekse vir omnibus-effekte by afhanklike metings Beskou Voorbeeld B, Hoofstuk 3 waar op elke persoon binne die kontrole- en eksperimentele groepe 3 afhanklike metings van voor-, na- en opvolgtoetstellings bepaal is. As ons belangstel om die drie toetse as afhanklike groepe te vergelyk, dan kan n eenrigting ANOVA met herhaalde metings oor toetsgeleenthede gedoen word. By onafhanklike groepe in die vorige paragraaf het ons slegs twee bronne van variasie gehad: tussen groepe en binne groepe. Met afhanklike metings binne groepe, kan die binne-groepe variasie verder opgedeel word in n 0

persoon ( subjek in die algemeen) variasie en n persone binne groepe variasie, d.i. die persoon x groep interaksie, wat nou as die foutvariansie beskou word. Neem σ p as die variansie van die persoon (of subjek) effek en foutvariansie, dan word die ou foutvariansie p e σ e as die nuwe σ = σ + σ (6.5) en die totale variansie in (6.4) kan nou geskryf word as: t µ p e σ = σ + σ + σ (6.6) Soortgelyk kan die somme van kwadrate soos in paragraaf 6.. gedefinieer, uitgebrei word deur waar sodat: SK P : SK e : SKF = SKP + SKe (6.7) tussen persone (subjekte) som van kwadrate persone binne groepe (fout) som van kwadrate, SKtot = SKG + SKP + SKe (6.8) Soos in paragraaf 5.. kan n parsiële η nou ook verkry word (soos n parsiële R ) waar die invloed van n effek waarin nie belang gestel word nie, uitgehaal word. Waar by onafhanklike metings σ µ gedeel word deur variansie van σ t soos in (6.4), deel ons nou deur µ e σ + σ i.p.v. σ t soos in (6.6) omdat σ p nie met die foutvariasie te doen het nie. Dus parsiële η σµ µ + e = σ σ, (6.9) wat by afhanklike metings kontroleer vir die persoon-effek waarin nie belang gestel word nie. Die parsiële η sou dus as n omnibus effekgrootte-indeks in

hierdie geval gebruik kan word en kan beraam word deur (Kline 004a: tabel 6.8) die beramers van σ µ en parsiële ηˆ σ e in (6.9) te vervang: gemskg gemske =, (6.0) kn gemskg + gemske k met gemsk = SK / ( k ) en ( )( ) G G gemsk = SK / n k. Let op dat n nou e die getal persone (subjekte) gee en nie meer die totale getal metings soos by onafhanklike metings nie. e Voorbeeld 6.4: Beskou Voorbeeld A van Hoofstuk 3. Hier was 3 afhanklike metings per persoon sodat daar k = 3 afhanklike groepe is. Uit Tabel A. volg nou n = 5 (slegs eksperimentele groep) gemsk 56,9 / Die beraming van parsiële ˆη : G = en 83,5/ ( 4) gemsk =. 58,0-4,65 33,45 parsiële η ˆ = = = 0,0. 58,0 + 36,5 4, 65 57,78 Dit beteken dat die proporsie van die totale variansie, gekontroleer vir persooneffek, wat toegeskryf kan word aan die toetse, 0,0 is, wat dui op n groot effek. e Tans bestaan daar volgens Kline(004a: 9) nie eintlik rekenaarprogramme wat gebruik kan word om vertrouensintervalle vir omnibus effekgrootte-indekse parsiëleη by afhanklike groepe te bepaal nie. Daarom gee ons nie n VI in hierdie geval nie. 6.. Intraklas-korrelasie koëffisiënt: Die effekgrootte-indeks parsiëleη en sy beramer is onder die aanname dat die groepseffek n vaste effek is en gekontroleer word vir persoon-effek. Met n vaste effek word bedoel dat dié behandelings of toetse wat gebruik word vas

gekies word, bv. voor-, na en opvolgtoetse soos in Voorbeeld A, Hoofstuk 3. As die groepseffek egter ewekansig is, en die persoonseffek belangrik is, dan gee parsiële ηˆ σ p p + e = σ σ, (6.) n indeks wat kontroleer vir die groepseffek. Hierdie indeks heet die intraklaskorrelasiekoëffisiënt 6.8): waar GK p GKe ˆρ I ρ I (Bartko,966) en word beraam deur (Kline, 004a: tabel GK p GKe Fp = = GK k GK F k + ( ) = gem. SK G, = gem. SK e, p e p (6.) uit die eenrigting ANOVA met persone as groepfaktor en Fp = GK p / GKe, die variansieverhouding. n Toepassing hiervan is indien daar k toetsitems op elk van n persone gemeet word en die items beskou word as n ewekansige steekproef van n populasie van items wat dieselfde eienskap van persone meet (soos by bv. n afdeling van n belangstellingstoets waar 5 items dieselfde belangstelling meet). Hierdie indeks gee die proporsie van die totale variansie wat toegeskryf kan word aan variansie tussen persone, maar is ook die gemeenskaplike korrelasie tussen enige twee items. Hierdie korrelasie heet ook die betroubaarheid van enige van die k items (kyk bv. Bartko 966; Shrout & Fleiss, 979). Bartko (966) wys daarop dat ρ I nie net as n proporsie variansie soos deur (6.) gegee, beskou moet word nie, maar inderwaarheid as n korrelasie. Dit volg daaruit omdat ( ) p i j σ = Kov x,x en ( ) Var ( x ) p e i j σ + σ = Var x =, sodat 3

x i en ( i j ) ( i ) Var ( x j ) Kov x,x ρi = = Kor ( x i,x j ), waar Var x x j die i e en e j metings op persone is. Daarom kan deur die gemiddelde inter-item korrelasie. As ρ I ook beraam word ρ I beskou word as n effekgrootteindeks, kan dieselfde riglynwaardes gebruik word as vir die Pearson produkmomentkorrelasiekoëffisiënt ρ of sy steekproef analoog r. Dus neem ρ I = 0, : klein effek ρ = 0,3 : medium effek I ρ = 0,5 : groot effek. I Clark & Watson (995) beveel aan dat die gemiddelde inter-itemkorrelasie tussen 0,5 en 0,5 behoort te lê, maar gee ook toe dat dit afhang van die onderliggende konstruk wat gemeet moet word m.b.v. die items. Hierdie interval stem redelik ooreen met die interval 0, - 0,5 van riglynwaardes wat ons voorstel. Clark & Watson wys egter daarop dat dit belangrik is om ook die individuele inter-itemkorrelasie se waardes na te gaan. Hierdie waardes behoort ook binne die interval 0,5-0,5 te lê en redelik homogeen te wees: soos hulle dit stel: the intercorrelation matrix should appear as a calm but insistent sea of small but highly similar correlations. Hierdie voorwaarde verseker dat ˆρ I n beraming gee van enige inter-itemkorrelasie, wat almal as gelyk veronderstel word. 6.. Cronbach alfa-koëffisiënt: Waar ρ I die betroubaarheid van n enkele item gee, is dit soms ook belangrik om te weet wat die betroubaarheid is van die gemiddeld of som van k items is. Indien aanvaar word dat die items gelyke betroubaarheid ρ I besit en die items almal dieselfde variansies het, kan die betroubaarheid van die gemiddelde oor k 4

metings uit (kyk Steyn, 004: 0): ρ I verkry word deur toepassing van die Spearman-Brown-formule ρ ( k ) xx = kρi ρ + ( k ) I, (6.3) en dit word beraam deur die Cronbach α - koëffisiënt α = k Var ( xi ) k i= - k k Var xi i= (6.4) of deur ˆρ ( k ) xx = kρ ˆ I ˆρ +. (6.5) ( k ) I Let op dat waar xx ( k ) ˆρ gebaseer is op die resultate van n ANOVA of die interitemkorrelasies, word net van die itemvariansies en die variansie van die som van die items gebruik gemaak by die berekening van α. Uit (6.3) kan riglynwaardes ook vir ( k ) ρ (en ook xx ( k ) ˆρ, α ) bepaal word as dié van xx ρ I aanvaar word. Omdat dit ook n funksie is van die getal items k, kan Tabel 6. gebruik word as riglyn om die groottes van die indekse te beoordeel. Uit Tabel 6. volg dat vir bv. ˆρ I so klein soos 0, die waarde van α 0,69 is as k = 0, maar 0,8 is as k =. Met groot waardes van ˆρ I, word α ook groot selfs met min items. Tabel 6.: Cronbach-alfa waardes Intraklas- Getal items 5

Effek korrelasie 3 4 5 0 0 50 Klein 0. 0.8 0.5 0.3 0.36 0.53 0.69 0.85 0. 0.33 0.43 0.50 0.56 0.7 0.83 0.93 Medium 0.3 0.46 0.56 0.63 0.68 0.8 0.90 0.96 0.4 0.57 0.67 0.73 0.77 0.87 0.93 0.97 Groot 0.5 0.67 0.75 0.80 0.83 0.9 0.95 0.98 Voorbeeld 6.5: Beskou Voorbeeld G, Hoofstuk 3. Die items in hierdie voorbeeld kan as n ewekansige effek beskou word, sodat die beraming van parsiëleη gegee word deur die intraklas-korrelasiekoëffisiënt: 6,830 -, 404 ˆρ I = = 0,79. 6,830 + 9,404 Hierdie gee n beraming van die gemeenskaplike korrelasie tussen enige twee items, en is van medium effek. Let op dat die gemiddeld van al die interitemkorrelasies in Tabel G. (die r = in die diagonaal uitgesluit) 0,86 is, wat nie veel van ˆρ I verskil nie. Die betroubaarheid van die gemiddelde (of som) van die 0 items word beraam as: ( k ) 0 0,79 ˆρ xx = = 0,795, 9 0,79 + terwyl die Cronbach-α -waarde uit Tabel G.3 verkry word: 0 9, 47 α = - = 0,794 9 68,30, wat prakties dieselfde waardes gee. Uit tabel 6. by k = 0, blyk dit n medium effek te wees. 6

Hoewel die gemiddelde inter-itemkorrelasie uit Tabel G. 0,863 is, is die interkorrelasies tog baie verskillend. Dis veral items 5 en 6 wat klein en selfs negatiewe korrelasies oplewer. Dit is n aanduiding dat hierdie items nie inval by die onderliggende konstruk wat met die items gemeet wil word nie en liefs weggelaat behoort te word. Sonder items 5 en 6 word die gemiddelde interitemkorrelasie nou 0, 49 en α = 0,855. Dus neig die betroubaarheid van een item en dié van die gemiddeld van die oorblywende 8 items, beide na groot effekte. 6..3 Vertrouensintervalle vir ρ I en ρ ( k) xx Onder die aanname van normaliteit van die items, volg Fp = GK p / GKe n F - verdeling met n en n( k ) vryheidsgrade. Gevolglik is die ( ) -α 00% VI vir die variansieverhouding p e σ /σ se grense (kyk Shrout & Fleiss, 979): ( ( )) FO = F p / Fα / n ; n k- en ( ( ) ) FB = Fp Fα / n k- ; n-, sodat die benaderde VI vir ρ I : FO FB ρ ;ρ = ; FO + k FB + k ( I,O I,B ). (6.6) Deur toepassing van die Spearman-Brown-formule, is die benaderde ( α) 00% VI vir ( k ) ρ : xx kρi,o kρ I,B ; k ρi,o + k ρi,b + ( ) ( ) (6.7) Voorbeeld 6.6: 7

Beskou Voorbeeld 6.5 met items 5 en 6 weggelaat, sodat k = 8, en uit Tabel G.4 volg GK = 7, 494, GK =, 09 sodat F = 7, 494/, 09 = 6,863. Vir n 95%VI : p F ( 700;99) =,37 en ( ) 0,05 en F B = 6,863,37 = 9, 46. E 0,05 p F 99;700 =,36, sodat F = 6,863/,36 = 5,76 5,76-9, 46-5,76 + 8-9,46 + 8 - ( ρ I,O ;ρ I,B ) = ; = ( 0,343;0, 53) O Vir ( 8) ρ is die VI : xx 8 0,343 8 0,53 ; = 7 0,343 + 7 0,53 + ( 0,807;0,894) ρ I kan dus so klein soos 0,34 wees, wat n medium effek gee, maar so groot soos 0,5, wat groot is. Die betroubaarheid van die gemiddeld van die 8 items kan as medium tot groot beskou word as na die riglyne in Tabel 6. gekyk word. 6.3 Indekse vir kontras-effekte n Kontras van populasie-gemiddeldes µ,...µ k word gedefinieer as (Kline, 004a: 64): waar c, c, k cµ c µ... c µ cµ, k = + + + = (6.8) k k i i i= c kontrasgewigte is, sodanig dat c + c + + c k = k ci = 0 (6.9) i= Soortgelyk is die kontras van steekproefgemiddeldes x,x,...,x k as beramer vir : ˆ c x c x... c x c x. k = + + + = (6.30) k k i i i= 8

Voorbeeld 6.7: Beskou Voorbeeld 6. waar die 3 populasies Nie-inboorlinge, stedelik (populasies ), Inboorlinge, stedelik (populasie ) en Inboorlinge, platteland (populasie 3) was. In Voorbeeld 6. is die omnibus-effek η beraam as 0,069. Ons wil egter die volgende verskille bepaal: +, d.i. die nie-inboorlinge vs. inboorlinge; (a) µ ( µ µ ) 3 (b) µ µ 3, d.i. stedelike vs plattelandse inboorlinge; (c) µ µ, d.i. nie-inboorlinge vs inboorlinge in stede. Die kontrasgewigte is nou: Kontras c c c 3 Totaal (a) -½ -½ 0 (b) 0 0 (c) 0 0 Die kontraste met hulle beramers is dus: µ = + µ + µ = µ µ µ (a) ( ) 3 3 en ˆ = x x x3 ; = µ + µ + µ = µ µ (b) ( 0) ( ) ( ) en ˆ = x x ; 3 3 3 = µ + µ + µ = µ µ (c) ( ) ( ) ( 0) 3 en ˆ = x x 9

Wanneer k =, vorm µ µ ook n kontras. Die effekgrootte-indeks om µ en µ te vergelyk, was die gestandaardiseerde verskil: µ µ δ =, σ waar σ n standaardafwyking is op verskillende wyse gedefinieer (sien Hoofstuk 4 se inleiding). Soortgelyk kan ons n gestandaardiseerde kontras definieer as effekgrootte indeks: δ = en ˆδ σ waar ˆδ die beramer is vir δ. ˆ = ˆσ (6.3) 6.3. Keuses van σ en ˆσ : Kline (004a: 7) gee die volgende drie keuses: ) Kies een populasie (of steekproef) se SA, gewoonlik die kontrole- of verwysingsgroep: σ = σc, waar σ c die gekose populasie se SA is. Beramer vir σ : ˆσ = sc, die steekproef SA van gekose groep. Dit lewer effekgrootteindekse soortgelyk aan Glass se op (kyk paragraaf 4.). ) Neem aan dat die populasies wat by die kontras betrokke is, dieselfde SA het, nl σ en beraam σ = σ met die saamgevoegde SA, s p,, waar (6.3) s p, = ( ) + ( ) + + ( ) i i i i im im n s n s... n s n + n +... + n m i i im, 0

waar n i j en n i j die steekproefgrootte en variansie is uit populasie i j, waar j =,..., m, met m die getal populasies betrokke by die kontras. Bv. vir kontras (c) in Voorbeeld 6.7 is ( ) + ( ) n s n s p, = n + n s, wat maar dieselfde is as s p in (4.4). 3) Neem aan dat al k populasies dieselfde variansie het en beraam σ = σ met die saamgevoegde SA van al die populasies met s p, waar m = k in (6.7). In Voorbeeld 6.7 gee dit s ( ) + ( ) + ( ) n s n s n3 s3 p, = n + n + n3 3 Hierdie is ekwivalent aan die binne-groepe (fout) som van kwadrate eenrigting variansieanalise gedeel deur sy vryheidsgrade.. SK F uit die By hierdie drie keuses wat Kline gee, kan ons nog die volgende byvoeg: 4) As geen aanname van gelyke populasie SA s gemaak kan word nie, neem σ as die maksimum van die SA s wat in die kontras betrokke is: ( ) σ = maks σ,σ,...,σ, (6.33) maks i i i m waar i j die indeks van die j de populasie is wat betrokke is. Die voor die handliggende beramer is s ( ) = maks s,s,...,s (6.34 ) maks i i i m 5) As geen aanname oor gelyke populasie SA s gemaak kan word nie en die populasie groottes is bekend, neem dan σ as σ w, waar

met beramer w i i i i w i σ m im σ = wσ + w σ +... +, (6.35) waar en w i i i i im im s = w s + w s +... + w s (6.36) w = N / N, w = N / N,...,w = N / N i i m i i m i m i m m N = N + N +... + N. m i i i m Voorbeeld 6.8 By Hoofstuk 3 se Voorbeeld B kan die studente verder opgedeel word in mans en dames. Die beskrywende statistiek vir E/I is aanvullend tot Tabel B.: Mans Dames Dosente n µ σ n µ σ n 3 µ 3 σ 3 93,69 4,68 33 95,39 5,5 8 07,64 5,06 Gestel (a) die studente moet met die dosente vergelyk word en verder (b) die mans met die dames. (a) ( ) ( ) = µ + µ µ = 93, 69 + 95, 39 07, 64 3 = -3, Die effekgroottes as elk van die keuses vir σ gemaak word:. Neem die dosente as verwysingspopulasie, dan σ = σ 3 = 5, 06 δ = 3, / 5, 06 = 0, 53. Die populasie-variansies is bekend en ongelyk en al drie populasies is betrokke by die kontras, dus neem:

4. σ = σ = σ = 5, 5 maks δ = 3, / 5, 5 = 0, 5 5. σ = σ w, met σ sodat w 4, 68 + 33 5, 5 + 8 5, 06 = + 33 + 8 7540, 98 = = 6, 0, 8 δ = 3, / 6, 0 = 0, 55. (b) = µ µ = 93, 69 95, 39 =, 7. Neem dames as verwysing, σ = σ, = 5, 5, dus, 7 δ = = 0, 0676 5, 5 Aangesien net die eerste populasies betrokke is en die variansies bekend is: 4. σ = σmaks = σ sodat δ = 0, 0676 soos in. 5. 4, 68 + 33 5, 5 5786, 88 σw = = + 33 54 = 6, 37 δ =, 7 / 6, 37 = 0, 068. 6.3. Riglynwaardes vir effekgroottes van kontraste: Kontraste is in baie gevalle maar die verskil tussen twee gemiddeldes. Verder is dit verskille tussen gemiddeldes van groepe se gemiddeldes. In Voorbeeld 6.7 is 3

die kontraste (b) en (c) telkens verskille tussen gemiddeldes, terwyl kontras (a) die gemiddeld van µ en µ 3 se verskil met µ gee. Die kontraste word daarna gestandaardiseer deur te deel deur n standaardafwyking om n effekgrootte-indeks te verkry. Dit is dieselfde vorm as by gestandaardiseerde verskille (bv. δ) in Hoofstuk 4. Dieselfde riglynwaardes as vir δ kan dus gebruik word: Klein effek: δ = 0, Medium effek: δ = 0, 5 Groot effek: δ = 0, 8 In Voorbeeld 6.8 se kontras (a) lewer al die variasies van effekgrootte n mediumeffek op (-0,53 ; - 0,5 en - 0,55), terwyl by kontras (b) klein effekte (-0,0676 ; - 0,0676 en - 0,068) verkry is. 6.3.3 Kontraste by afhanklike metings: Wanneer meer as metings op elke persoon of subjek gemaak word, kan gemiddeldes van metings of kombinasies daarvan ook vergelyk word m.b.v. kontraste. Voorbeeld 6. gee voorbeelde van sulke kontraste van steekproefgemiddeldes van voor-, na en opvolgtoetse op pasiënte. Kline (004a: 74) beveel twee metodes om effekgrootte-indekse van sulke kontraste te verkry, aan:. Gebruik σ en ˆσ soos in die vorige paragraaf. Hier is die standaardisasie van deur deling met n SA op dieselfde skaal as die metings. Hier word die korrelasies wat tussen metings bestaan nie in ag geneem nie.. Standaardiseer deur en ˆ te deel deur die σ D of s D, die SA van die kontrasverskille binne persone. By Voorbeeld 6. word die kontras 4

x x x ( + ) gedeel word die SA van D x ( x x ) V N O = V N + O, bereken vir elke pasiënt as sy voormeting minus die gemiddeld van sy na- en opvolgmetings. Die effekgrootte is soos in paragraaf 4.4 nou gestandaardiseer in ander eenhede as die metings self, nl. in eenhede van kontrasverskille. Afhangende van die interkorrelasies tussen die metings, kan σ D heelwat van σ verskil. Voorbeeld 6.9 (a) Beskou Voorbeeld A, Hoofstuk 3. Gestel die effekgrootte van die kontras µ V ( µ N + µ O ) wil beraam word vir die eksperimentele groep. Die steekproef se beskrywende statistiek kan uit Tabel A. verkry word. Daarby is ook ˆ en s D bepaal vir BDI-waardes van die eksperimentele groep (EG): n ˆ s D 5 5,3 7,5 Verskillende keuses van ˆσ lewer dan die volgende effekgroottes vir op:. ˆσ = sv (die SA van voortoets as verwysing): 5, 3 ˆδ = = 0, 86 6, 4. ˆσ = s p, die saamgevoegde SA, met n = n = n 3, sodat: ( ) 6 4 6 8 4 94 s p =, +, +, = 36,, dus 3 5, 3 ˆδ = = 0, 88 36, 3. ˆσ = s = s = 6, 8, sodat maks N ˆδ 5, 3 = = 0 78 6, 8, 5

Hierdie beramers gebruik n SA wat in dieselfde eenhede gemeet word as elkeen van die voor-, na- en opvolgmetings. Dit lewer volgens die riglynwaardes van Cohen, groot effekte op. 4. As ons egter ˆσ = s = 7, 5 kies, word D 5, 3 ˆδ = = 0, 73, wat effens kleiner is, maar dan in eenhede van 7, 5 kontrasverskille. (b) Beskou Voorbeeld E, Hoofstuk 3 en neem die hartpasiënte wat nie geoefen het nie, se 5 cholesterol-waardes om die kontraste = µ µ 0, = µ µ en 3 = µ 4 µ 0 se effekte te bepaal. Aanvullend tot Tabel E. kan die volgende uit die data verkry word: n ˆ s ˆ s ˆ 3 s 3 9 8,05 9,4 6,95 8, 5,0 8,9. Neem die cholesterol-waardes in die begin (chol-0) as uitgangspunt, dan is 8, 05 6, 95 5 δ ˆ = = 0, 383 ; δ ˆ = = 0, 33 ; δ ˆ 3 = =, 90, 0, 0, 0. Moenie aanvaar dat SA s van populasie cholesterol-waardes oor die jare gelyk is nie gebruik die maksimum SA betrokke by elke kontras: 8, 05 6, 95 5 δ ˆ = = 0, 305 ; δ ˆ = = 0, 59 ; δ ˆ 3 = = 0, 595 6, 4 6, 86 4, 03 3. As ons effekgroottes in kontrasverskille se aanhede wil verkry: 8, 05 6, 95 5 δ ˆ = = 0, 87 ; δ ˆ = = 0, 845 ; δ ˆ 3 = = 0, 865. 9, 4 8, 8, 9 6

Let op hoe die waardes van die effekgrootte-indekse wissel afhangende van die uitgangspunt. In terme van oorspronklike metings se eenhede, het en beide klein effekte en 3 groot tot medium. Maar neem ons die eenhede van die kontrasverskille as basis, word al drie die kontraste groot effekte. 6.3.4 Vertrouensintervalle vir n Benaderde ( ) δ σ * = /, onafhanklike steekproewe: α 00% VI vir δ word verkry deur die VI vir se grense te deel deur die beramer s p, vir σ soos in (6.3). Die ( ) α 00% VI vir wanneer aanvaar word dat die m populasies betrokke by die kontras dieselfde SA σ het en normaal verdeel is: ( ) ˆ ( ) ; = ± t n m s, (6.37) 0 B α / m ˆ waar s... s c c ck ˆ = + + + p, n n n k (6.38) en α / ( ) die ( α) t n m m ½ -de persentiel van n t-verdeling met nm m vryheidsgrade, waar n = n + n +... + n, die totaal van die m steekproewe wat m i i i m betrokke is by kontras (Kline, 004a: 75 gee n foutiewe standaardfout s ˆ ). Die benaderde ( ) ; σˆ σˆ α 00% VI vir s = : σ 0 B. (6.39) Opmerkings:. Indien n m groot is, is die aanname van normaalverdeelde populasies nie ½ t n m z α - meer nodig nie, en word ( ) = die normaal ( ) persentiel. α / m α / 7

. Indien s p, gebaseer word op al k steekproewe, word n = n = n + n +... + n. m k Soos tevore is dit moontlik om n presiese VI vir δ te bereken, onder dieselfde aannames as hierbo. Die stappe is as volg: (Kline, 004a: 77-79):. Bereken t ˆ ˆ =, (6.40) s ˆ waar s ˆ deur (6.38) gegee word.. Verkry m.b.v. die SAS-program (kyk die webwerf van handleiding) VI_delta_kontras n ( ) i= i α 00% VI vir nsp ;nsp, waar nsp (,O,B ) k c nsp = δ /, (6.4) n die niesentraliteitsparameter is van n nie-sentrale t-verdeling met nm vryheidsgrade. As inset tot die program is t ˆ, c, c,, c k, n, n,, n k en α (kyk vir teoretiese agtergrond, Bylae A). m 3. Die VI vir δ se grense word verkry uit: i= k c δ,o = nsp,o n i en (6.4) i= k c δ,b = nsp,b. n i Let op dat waar die benaderde VI vir δ gebruik kan word vir enige keuse van σ (d.i. σ, σ maks of enige van σ, σ,...,σ k ) deur die beramer ˆσ van σ te gebruik, 8

kan die presiese VI slegs vir δ = /σ gebruik word (d.i. waar gelyke SA s aanvaar word vir die populasies). Die rekenaarprogram PSY deur Bird et.al. (000) kan uit data gegewe kontraste met vertrouensintervalle bereken en daarna die kontraste standaardiseer deur s p, (wat op al die groepe gebaseer is). Gestandaardiseerde VI ' s word ook gegee deur die program. Dit lewer dus effekgrootte-indekse in (6.3) met ˆσ = s p, en VI ' s daarvoor soos in (6.39). Hierdie program is beskikbaar op die webblad van die handleiding. Voorbeeld 6.0: Beskou Voorbeeld 6.7 se kontras + 3 sodat uit Tabel D. volg: (a) =µ ( µ µ ) ˆ = 3, 38, 66 +, 57 = 0,53 ( ) Uit Tabel D. geld dat ( ) ( ) p, s =, 94 en verder is s ˆ =, 94 + + =, 94 0, 0063 + 0, 007 + 0, 003 59 94 9 ( ) = 0, 099 Dus is 0,53 δˆ = ˆ / s p, = = 0,375.,94 Die 95% VI vir se grense is nou ( ) 0,53 ±,96 0, 099 = 0, 53 ± 0, 76 = 0, 47 ; 0,799. Die benaderde 95% VI vir δ is gevolglik: ( 0, 47 /,94 ; 0, 799 /, 94 ) = ( 0,77 ; 0,573). 9

Die presiese 95% VI vir δ kan bereken word met die program VI_delta- kontras met c =, c =, c 3 =, n = 59, n = 94 en n 3 = 9; tˆ = ˆ / s ˆ = 0, 53 / 0, 099 = 3, 707. Dit lewer vir nsp die interval (,730 ; 5,680 ) op en vir ( 0 75 0,576) δ :, ;, wat baie naby die benaderde interval is. Hierdie vertrouensgrense dui daarop dat die kontras n klein tot medium effek kan hê. 6.3.5 Vertrouensintervalle vir Die ( ) δ σ * = / vir afhanklike steekproewe: α 00% VI vir δ word soortgelyk as in die vorige paragraaf bepaal, behalwe dat die standaardfout van ˆ, nl. s ˆ, nou gegee word deur ( ) sˆ = c + c +... + ck s, (6.43) D n waar n die getal persone of subjekte is en s die SA van D D = c x + c x +... + c x, (6.44) k k met x,x,...,x k die afhanklike metings per persoon (of subjek). Dus word die ( α)00% VI vir : ( ) ˆ ( ) Die benaderde ( ), = ± t n s. (6.45) O B α / α 00% VI vir /σ word dus weer deur (6.39) gegee, d.i. deur die grense vir elke deur ˆσ te deel. Die presiese VI vir /σ D (waar met die SA van kontrasverskille gestandaardiseer word) kan op soortgelyke wyse as in paragraaf 4.4. verkry word. Hier is k t ˆ / s en nsp nδ / c, ˆ ˆ i i = = en as ( nsp ) =,o ; nsp,b 30

die VI is vir nsp, volg dat k,o =,O i i= δ nsp c / n en (6.46) k,b =,B i i= δ nsp c / n Die program VI_delta_kontrasD kan hier gebruik word en is beskikbaar op die webblad. Voorbeeld 6.: By Voorbeeld 6.9 is die kontras µ ( µ µ ) = V N + O se effekgrootte op 4 wyses beraam. Hier was n = 5, c =, c =, c =, ˆ = 5, 3 en s = 7, 5. Die 95% VI vir is dus: ( ) ( ) 3 O B = 5 3 ± 0, 05 4 + + 7 5 5,, t, / = 5, 3 ±, 064, 5 7, 5 / 5 = 5, 3 ± 3, 665 = (, 635 ; 8, 965) Die benaderde VI vir δ (, 635 / 6, 4 ; 8,965/6,4) ( 0, 66 ;, 460) as D * σ = σ V is dan: =, wat beteken dat δ kan varieer tussen n klein effek tot n groot effek met 95% waarskynlikheid. Soortgelyk kan VI ' s bepaal word wanneer ˆσ = sp of ˆσ = smaks gekies word. In die geval waar gestandaardiseer word na kontrasverskille se eenhede, geld benaderd: 3

(, 635 / 7, 5 ; 8, 965 / 7, 5) ( 0, 6 ;, 37) presiese 95% VI : ( ) t 5, 3 /, 5 7, 5 / 5, 984 ˆ =, wat bevestig kan word met die = =, ( nsp ; nsp ) ( 0, 86 ; 5, 090) volg: (,O,B ) = ( 0 0 47) δ ; δ, ;,.,O,B =, waarna Ook hierdie effekgrootte wissel tussen n klein en groot effek. 6.4 Vergelyking van onafhanklike groepe nadat gekontroleer is vir n koveranderlike In n eksperiment waarin persone of subjekte ewekansig aan behandelingsgroepe toegewys word, verseker hierdie toedeling dat die groepe in n groot mate gelyk is sover dit alle faktore betref wat nie beheer kan word nie. As n navorser drie metodes van onderrig in wiskunde wil vergelyk en hy die studente ewekansig ingedeel het in drie groepe, kan aanvaar word dat as daar verskille is tussen die groepe se toename in prestasie, dit toegeskryf kan word aan die metodes en nie ander faktore soos ouderdom, IK of sosio-ekonomiese status nie. Dis egter nie altyd moontlik om persone ewekansig in die groepe wat vergelyk wil word, in te deel nie. Neem as voorbeeld Hoofstuk 3 se Voorbeeld F. Hier is die mans in die steekproef agterna ingedeel is die drie aktiwiteitsgroepe op grond van n vraelys oor hulle fisiese aktiwiteite. As die totale serum-cholesterol (S_CHOL) se gemiddeldes nou vergelyk wil word, kan dit wees dat daar ander faktore is wat n rol kan speel maar wat nie gelyk is by die drie groepe nie. So n faktor is bv. ouderdom wat korreleer met cholesterol en wat gevolglik cholesterol kan beïnvloed. As bv. die lae aktiwiteitsgroep se ouderdom hoër is as die ander groepe s n, kan hoër gemiddelde cholesterol van hierdie groep dalk aan ouderdom toegeskryf word en nie soseer aan die lae aktiwiteit nie. Dit is dus 3

belangrik om vir ouderdom te kontroleer en dit word gedoen met n kovariansieanalise (ANCOVA). Twee aannames word gemaak bo en behalwe dié by ANOVA (Kline, 004a: 9): (a) Dat daar homogeniteit van lineêre regressie van die afhanklike veranderlike y op die koveranderlike x bestaan. Dit beteken dat die populasies n gemeenskaplike regressiekoefissiënt β het. (b) Die koveranderlike x word sonder fout gemeet. n ANCOVA behels dat onder bg. aannames die afhanklike veranderlike gekorrigeer word vir x deur y' = y β ( x µ x ), (6.47) en dan word n ANOVA op y' gedoen. Gestel dat in die populasie i die aangepaste y i, nl. y i ' se gemiddeld µ i ' is met gemeenskaplike SA σ y.x, dan geld dat die variansie van die µ i ' s k µ i k i = ( ) σ = µ ' µ' (soortgelyk aan (6.3)), sodat die proporsie van die totale variansie toe te skryf aan populasielidmaatskap na kontrolering van x word: η y.x σµ' µ' + y.x = σ σ (6.48) Omdat σ µ' en σ y.x die variansie van die µ i ' en y i ' is net soos in paragraaf 6. vir µ i en y i die geval was, kan η y.x as n omnibus effekgrootte-indeks beskou word vir die vergelyking van die k populasie-gemiddeldes na kontrolering vir die koveranderlike x (kyk Cohen, 977: 379). 33

Vir beraming van η y.x kan dieselfde effekgrootte-indekse wat gebaseer is op somme van kwadrate van ANOVAs ook hier gebruik word. Let op dat daar n bykomende bron van variasie, wat aan die koveranderlike x toegeskryf kan word, is, nl. waar SK G en SK x sodat SKtot = SKG + SK x + SKF, (6.49) SK F albei kleiner word as dié in paragraaf 6... Die beraamde indeks vir n omnibus-effek is dus: waar is. SK G en ˆη SK SK G y.x = SKG + F, (6.50) SK F die somme van kwadrate van groepe en foute in n ANCOVA Voorbeeld 6.: Beskou Voorbeeld F, Hoofstuk 3. Tabel F. gee die resultate van die ANCOVA met groepveranderlike aktiwiteitsgroep en koveranderlike ouderdom, wat op S_CHOL gedoen is. Vir ouderdom ( x ) is F 3, 04( p 0, 000) = <, wat beteken ouderdom het n hoogsbetekenisvolle invloed op S_CHOL. Verder is die aktiwiteitsgroepe betekenisvol verskillend t.o.v. die gemiddelde aangepaste S- CHOL ( ) y', want F 3, SK = 76839, sodat F = ( p 0, 046) 7750 ˆη y.x = = 0, 0043, 7750 + 76839 wat dui op n baie klein effek. =. Hier is SK = 7750, SK = 43960 en G x Let op dat die vergelykbare beraming wat op die ANOVA waar nie gekontroleer word vir ouderdom nie, uit Tabel F.4 volg as: 467 ˆη y.x = = 0, 044, wat 0 keer groter is as 33074 ˆη y.x en n medium effek gee. Dit sou dus gevaarlik wees om op grond van die medium effek die 34

afleiding van verskille in gemiddelde S-CHOL oor aktiwiteitsgroepe heen, te maak. As gekontroleer word vir ouderdom, verdwyn hierdie verskille. Let ook op dat by die ANOVA beide SK G en SK F vergroot. 6.4. Kontraste by kovariansie-analise: Nadat gekontroleer is vir die koveranderlike x, word n kontras: ' = cµ ' + c µ ' +... + c kµ k ' wat beraam word deur ˆ' = c y ' + c y ' +... + ck y k ', (6.5) waar i i i ( ) y ' = y b x x, i =,...,k (6.5) met b die gemeenskaplike regressiekoëfisient van al die groepe se lineêre regressie van y op x ; x is die gemiddelde van x oor al die groepe heen. By die uitvoer van n ANCOVA met n rekenaarpakket, word y i ' verkry as die aangepaste gemiddeldes ( adjustmented means ) of ook as kleinste-kwadrate gemiddeldes ( LS means ) dit is gewoonlik dus nie nodig om y i ' te bereken uit (6.5) nie. Die effekgrootte-indeks is gevolglik δ ' ' =, σ waar σ soos tevore (kyk paragraaf 6.3.) gekies kan word in terme van die SA s van die populasies se aangepaste y' -waardes. Vir beraming van δ kan volgens Olejnik & Algina (000: 54) die kontras ˆ' ' gestandaardiseer word soos tevore, maar dan moet ˆσ gebaseer wees op n SA van die steekproewe se aangepaste waardes. Aanvaar ons gelyke SA s van die aangepaste waardes oor groepe heen, is die maklikste keuse ˆσ = gemskf, 35

waar gemsk F die gemiddelde fout-som van kwadrate van die ANCOVA is. Dus is n beraming van die effekgrootte-indeks: δˆ = ' ˆ / gemsk. (6.53) ' F Voorbeeld 6.3: Beskou Voorbeeld F, Hoofstuk 3. Gestel ons wil die 3 aktiwiteitsgroepe paarsgewys vergelyk, dan is die kontraste ' = µ ' µ ' ; ' = µ ' µ 3 ' en 3 ' = µ ' µ 3 ' vergelykings nadat vir ouderdom gekontroleer is. Uit Tabel F.3 word die aangepaste y i ' - waardes verkry terwyl die gemiddelde fout-som van kwadrate 90 uit table F. is. Die effekgrootte indekse is dus: 58-53,6 ˆδ ' = = 0,06 90 58-509 ˆδ = = 0,38 ' 90 53,6-509 ˆδ = = 0,64. 3' 90 Hierdie gee almal klein effekte wat beteken dat hoewel statisties betekenisvol, verskil die aangepaste gemiddeldes nie soveel ten einde belangrike verskille te wees nie. Selfs die kontras = µ µ 3 waar nie gekontroleer word vir ouderdom nie, lewer uit Tabelle F. en F.4: 55,5-48,0 ˆδ = = 0, 475, wat n medium effek gee, al was die F-toets 07 hoogs betekenisvol. 6.4. Vertrouensintervalle van effekgrootte-indekse na kontrolering van n koveranderlike: Omdat die waardes van y i ' na kontrolering vir n koveranderlike gebruik kan word om onafhanklike groepe te vergelyk soos in paragrawe 6. en 6.3 om omnibus- en kontras-effekte te bepaal, kan ( -α ) 00% VI's ook soos tevore in 36

6.. en 6.3.4 bepaal word. Die benaderde- en presiese VI's vir η y.x word volgens (6.), (6.3) en die SAS-program VI_R bepaal, maar nou is die variansieverhouding dié van groepe uit die ANCOVA met k en n k vryheidsgrade. Vir ' kan ( -α ) 00% VI's bepaal word volgens (6.37) en (6.38) waar s p, = gemskf van die ANCOVA met vryheidsgrade n k i.p.v. nm m. Daarna kan n VI vir δ ' bepaal word volgens (6.39) met ˆσ = gemskf. Die presiese VI vir δ se berekening word volgens die stappe in paragraaf ' 6.3.4 gedoen, waar ˆ' t ' =, s ' ˆ met s ˆ ' soos in (6.3) met s p, = gemsk uit die ANCOVA en vryheidsgrade F weer n k. Let op dat by die bepaling van al die bg. VI's, ons die aanname van homogeniteit van variansies (d.i. dat σ = σ ) maak. Voorbeeld 6.4: In Voorbeeld 6. is dan volg dat η y.x beraam deur F = 3, ; w= 49 -= 857, x= 3,/49 = 0, 0043 ˆη = 0, 0043. Gebruik (6.) en Tabel F., y.x ( ) / ( ) C = + 433 0,0043 +433 0,0043 =,755. n 95% VI vir nsp ( F nη y.x / ηy.x ) = deur (6.) te gebruik is: 857 0,0043 +,96 0,0043 +,755-4 +,755,96 857 0,0043 0,0043 +,755 nspfo = = 8,399-9, = -0,73, nsp = 8,399 + 9, = 7,5 FB ( ) ( ) 37

Omdat nsp negatief is, neem ons nsp = 0, sodat deur (6.3) te gebruik: FO FO y.x,o,ben η = 0 y.x,b,ben ( ) η = 7, 5/ 7, 5+433 = 0, 0. Die 95% VI vir η y.x is dus ( 0;0,0 ), wat bevestig word deur die presiese VI se bogrens 0,074 en ondergrens wat nie bereken kon word nie. Vir die effekgrootte-indeks as nie gekontroleer word vir ouderdom nie, lewer die presiese VI : ( 0,05 ; 0,066 ), wat n klein tot medium effek gee, waar die gekontroleerde geval n klein effek gee. Die kontras ' = µ ' µ 3 ' in Voorbeeld 6.3 is beraam met ˆ ' = 9 en ( ) - S ˆ ' = + 90 = 8,69 78 468, dus t ' = 9/8,69 =,36 en 95% VI vir ' : 9 ±,96 8,69 = 9 ± 6, 0 sodat n benaderde 95% VI vir δ ' : = (,99 ; 35,0 ),,99 35, 0 ; = 90 90 ( 0,0 ; 0,54) Deur van die program VI_delta_kontras gebruik te maak, word prakties dieselfde interval verkry.. 6.4.3 Meer as een koveranderlike: Gestel daar word vir l koveranderlikes gekontroleer, sodat soortgelyk aan (6.47): ( x ) ( x ) l ( l x ) y' = y β x µ β x µ... β x µ l (6.54 ) 38

waar y' nou die aangepaste y - waardes is. Soortgelyk aan (6.49) verkry ons SK = SK + SK + SK +... + SK + SK tot G x x xl F, (6.55) sodat SK G en weggelaat is. onveranderd, maar nou met SK F die somme van kwadrate is wat oorbly nadat dié van x,...,x l Die omnibus-effek en sy beramer in (6.48) en (6.50) bly dus σ µ, σ y.x nuwe betekenisse en uit n ANCOVA met x,x,...,x l as koveranderlikes. SK G en SK F verkry By berekening van VI's word s se vryheidsgrade nou n k en word p', steeds as gemsk F bereken. 39