Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Το βιβλίο αυτ γράφτηκε για τους μαθητές της Γ τάξης τω ΕΠΑΛ που θα εξεταστο Παελλαδικά για τη εισαγωγή τους στα Τ.Ε.Ι. Περιέχει τα κεφάλαια Στατιστικής, Ορίω, Παραγώγω και Ολοκληρωμάτω. Κάθε κεφάλαιο είαι χωρισμέο σε διδακτικές ε τητες και κάθε ε τητα περιέχει τη θεωρία, λυμέα παραδείγματα, ασκήσεις για λ ση απ τους μαθητές και απατήσεις ή συοπτικές λ σεις τω ασκήσεω αυτώ. Στα λυμέα παραδείγματα περιέχοται και επιλεγμέες ασκήσεις του σχολικο βιβλίου τω ΕΠΑΛ και του Ειαίου Λυκείου. Τα παραδείγματα γράφτηκα σο γίεται πιο ααλυτικά για τη καλ τερη κατα ησή τους απ τους μαθητές και πιστε ω τι καλ πτου τις σ γχροες α- παιτήσεις τω Παελλαδικώ εξετάσεω. Τα τελευταία παραδείγματα κάθε ο- μάδας παρουσιάζου ιδιαίτερη δυσκολία στη λ ση τους. Στο κεφάλαιο της Στατιστικής ο τρ πος συμπλήρωσης τω πιάκω είαι εδεικτικ ς για α βοηθήσει το μαθητή. Δε είαι απαραίτητος, εκτ ς α ζητείται στη εκφώηση. Οι παράγουσες είαι προτιμ τερο α διδαχθο στο τέλος του κεφαλαίου τω Παραγώγω. Προτείω στους μαθητές α διαβάσου προσεκτικά τα παραδείγματα και στη συέχεια α προσπαθήσου α λ σου τις προτει μεες ασκήσεις, δι τι το είδος και το επίπεδο δυσκολίας τω ασκήσεω αυτώ είαι παρ μοιο με αυτ τω παραδειγμάτω. Με μεγάλη μου χαρά θα δεχτώ οποιαδήποτε υπ δειξη που θα βελτίωε το βιβλίο αυτ. Καλή επιτυχία Ιγάτιος Ιωαίδης
Κεφάλαιο 1o 7 1.1 Εισαγωγικές έοιες...9 1.2 Στατιστικοί πίακες...10 1.3 Γραφικές παραστάσεις...12 1.4 Ομαδοποίηση τω παρατηρήσεω...14 Παραδείγματα...19 Ασκήσεις...28 Απατήσεις...31 1.5 Παράμετροι θέσης...35 1.6 Παράμετροι διασποράς...39 1.7 Συτελεστής μεταβλητ τητας...42 Παραδείγματα...43 Ασκήσεις...55 Απατήσεις...58 Κεφάλαιο 2o 61 2.1 Όριο συάρτησης...63 Παραδείγματα...71 Ασκήσεις...87 Απατήσεις...91 2.2 Συέχεια συάρτησης...93 Παραδείγματα...95 Ασκήσεις...106 Απατήσεις...109 Κεφάλαιο 3o 111 3.1 Παράγωγος συάρτησης σε σημείο... 113 3.2 Συέχεια και παραγωγισιμ τητα...113 Παραδείγματα...114 Ασκήσεις...119 Απατήσεις...120 3.3 Παράγωγος συάρτηση...121 3.4 Κα ες παραγώγισης...121 3.5 Παράγωγοι αώτερης τάξης...121 3.6 Παράγωγοι βασικώ συαρτήσεω...121 Παραδείγματα...123 Ασκήσεις...131 Απατήσεις...132 3.7 Παράγωγοι σ θετω συαρτήσεω...133 Παραδείγματα...134 Ασκήσεις...137
Απατήσεις...138 3.8 Ρυθμ ς μεταβολής...139 3.9 Παράγουσα συάρτηση...140 Παραδείγματα...141 Ασκήσεις...147 Απατήσεις...148 3.10 Μοοτοία συάρτησης...149 3.11 Ακρ τατα συάρτησης...149 3.12 Πιθαές θέσεις τοπικώ ακρ τατω συάρτησης...149 3.13 Μελέτη τοπικώ ακρ τατω συάρτησης...150 Κριτήριο 1ης Παραγώγου...150 Παραδείγματα...151 Ασκήσεις...161 Απατήσεις...163 3.14 Μελέτη τοπικώ ακρ τατω συάρτησης...165 Κριτήριο 2ης Παραγώγου...165 Παραδείγματα...166 Ασκήσεις...169 Απατήσεις...170 Κεφάλαιο 4o 171 4.1 Το ορισμέο ολοκλήρωμα...173 4.2 Ιδι τητες του ορισμέου ολοκληρώματος...173 Παραδείγματα...175 Ασκήσεις...179 Απατήσεις...180 4.3 Υπολογισμ ς ορισμέου ολοκληρώματος...181 Α. 1ος τρ πος υπολογισμο -Ααζήτηση μιας παράγουσας...181 α) Ορισμέα ολοκληρώματα βασικώ συαρτήσεω...181 Παραδείγματα...183 Ασκήσεις...195 Απατήσεις...197 β) Ορισμέα ολοκληρώματα σ θετω συαρτήσεω...199 Παραδείγματα...200 Ασκήσεις...209 Απατήσεις...211 Β. 2ος τρ πος υπολογισμο - Παραγοτική ολοκλήρωση...212 Παραδείγματα...213 Ασκήσεις...223 Απατήσεις...224 4.4 Εμβαδ επίπεδου χωρίου...225 Α Εμβαδ χωρίου που ορίζεται απ μια συάρτηση...225 Παραδείγματα...227 Ασκήσεις...237 Απατήσεις...239 Β Εμβαδ χωρίου που ορίζεται απ δ ο συαρτήσεις...240 Παραδείγματα...243 Ασκήσεις...249 Απατήσεις...250
Ιγάτιος Ιωαίδης - Μαθηματικά Ι - Γ ΕΠΑΛ 9 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είαι ο κλάδος τω μαθηματικώ ο οποίος έχει ως έργο: Το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομέω. Τη ταξιόμηση και κατάλληλη παρουσίασή τους. Τη αάλυση και εξαγωγή ατίστοιχω συμπερασμάτω για τη εξυπηρέτηση διαφόρω σκοπώ. Πληθυσμός λέγεται το σύολο τω ατικειμέω (εμψύχω ή αψύχω) του ο- ποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητή είαι το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο εξετάζουμε το πληθυσμό. Τις μεταβλητές τις διακρίουμε σε: ποιοτικές μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές δε είαι αριθμοί. ποσοτικές μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές είαι αριθμοί και διακρίοται σε: διακριτές μεταβλητές, στις οποίες κάθε άτομο του πληθυσμού μπορεί α πάρει μόο διακεκριμέες τιμές. συεχείς μεταβλητές στις οποίες κάθε άτομο του πληθυσμού μπορεί α ατιστοιχηθεί σε οποιαδήποτε πραγματική τιμή που αήκει σε διάστημα τω πραγματικώ αριθμώ ή έωση διαστημάτω. Δείγμα είαι μια ατιπροσωπευτική μικρή ομάδα ή υποσύολο του πληθυσμού και δειγματοληψία, η εξέτασή του. Οι τιμές t 1, t 2,..., t που παίρουμε από τη μελέτη εός δείγματος μεγέθους μιας μεταβλητής X, λέγοται παρατηρήσεις. Οι τιμές x 1, x 2,..., x κ(κ ) λέγοται τιμές της μεταβλητής Χ και είαι οι διαφορετικές μεταξύ τους παρατηρήσεις.
10 Κεφάλαιο 1ο: Στατιστική 1.2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ α Πίακας Συχοτήτω ( ) Στη τιμή ( = 1,2,...,κ ) ατιστοιχίζεται η συχότητα, δηλαδή ο φυσικός αριθμός που δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή, στο σύολο τω παρατηρήσεω και είαι 1+ 2 + 3 +... + κ =. Ρωτήσαμε π.x. 40 μαθητές, α μας πούε το αριθμό τω αδελφώ που έ- χου και πήραμε τους αριθμούς: Παρατηρήσεις t (= 1,2,...,40) είαι όλοι οι α- ριθμοί. Τιμές x ( = 1,2,3, 4 ) της μεταβλητής Χ είαι οι αριθμοί x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3 Α όλοι οι αριθμοί είχα τη ίδια συχότητα, τότε οι παρατηρήσεις t και οι τιμές x θα ήτα ίδιες ( ) =. Ο διπλαός πίακας μας δίει τη καταομή τω συχοτήτω για τη μεταβλητή «αριθμός αδελφώ». Το μέγεθος του δείγματος είαι: = 1 + 2 + 3 + 4 = 8 + 22 + 7 + 3 = 40 β Πίακας Αθροιστικώ Συχοτήτω ( N ) 0 1 2 1 1 1 2 0 0 1 3 2 1 1 1 2 3 3 1 0 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 0 Αριθμός Αδελφώ 0 8 1 22 2 7 3 3 Άθροισμα 40 Η αθροιστική συχότητα εκφράζει το πλήθος τω παρατηρήσεω που είαι μικρότερες ή ίσες της τιμής x. N1 = 1 = 8 N2 = N1 + 2 = 8 + 22 = 30 N3 = N2 + 3 = 30 + 7 = 37 N4 = N3 + 4 = 37 + 3 = 40 Αριθμός Αδελφώ N 0 8 8 1 22 30 2 7 37 3 3 40 Άθροισμα 40 -
Ιγάτιος Ιωαίδης - Μαθηματικά Ι - Γ ΕΠΑΛ 11 γ Πίακας Σχετικώ Συχοτήτω ( f ) Α διαιρέσουμε τη συχότητα σχετική συχότητα f της τιμής 0 f 1 και f 1 + f 2 +... + f κ = 1. με το μέγεθος του δείγματος, προκύπτει η, δηλαδή Συήθως εκφράζεται επί τοις εκατό, δηλαδή f 1% + f 2% +... + f κ% = 100%. f = ( = 1, 2,3,...,κ ), με f % 100 100 f = = και ισχύει 1 8 f1 = = = 0, 2 40 2 22 f2 = = = 0, 55 40 3 7 f3 = = = 0, 175 40 4 3 f4 = = = 0, 075 40 Αριθμός Αδελφώ f f % 0 8 0,200 20,0 1 22 0,550 55,0 2 7 0,175 17,5 3 3 0,075 7,5 Άθροισμα 40 1,000 100,0 δ Πίακας Αθροιστικώ Σχετικώ Συχοτήτω ( F ) Η αθροιστική σχετική συχότητα F εκφράζει το ποσοστό τω παρατηρήσεω που είαι μικρότερες ή ίσες της τιμής. Συήθως εκφράζεται επί τοις εκατό: F% = 100 F. F1 = f1 = 0, 200 F F + = 2 = 1 f2 = 0,200 + 0,550 = 0,750 F F + = 3 = 2 f3 = 0,750 + 0,175 = 0,925 F F + = 4 = 3 f4 = 0,925 + 0,075 = 1,000 Αριθμός Αδελφώ f F F% 0 0,200 0,200 20,0 1 0,550 0,750 75,0 2 0,175 0,925 92,5 3 0,075 1,000 100,0 Άθροισμα 1,000 - -
12 Κεφάλαιο 1ο: Στατιστική 1.3 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ α Ραβδόγραμμα Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τω τιμώ μιας ποιοτικής ή ποσοτικής μεταβλητής. Αποτελείται από ορθογώιες στήλες που οι βάσεις τους βρίσκοται πάω στο οριζότιο άξοα (κατακόρυφο ραβδόγραμμα), ή στο κατακόρυφο ά- ξοα (οριζότιο ραβδόγραμμα). Σε κάθε τιμή της μεταβλητής Χ ατιστοιχεί μια ορθογώια στήλη της οποίας το ύψος είαι ίσο με τη ατίστοιχη συχότητα, σχετική συχότητα κλπ. Έ- χουμε έτσι το κατακόρυφο ραβδόγραμμα συχοτήτω, σχετικώ συχοτήτω κλπ. Με παρόμοιο τρόπο έχουμε το οριζότιο ραβδόγραμμα συχοτήτω, σχετικώ συχοτήτω κλπ. Η απόσταση μεταξύ τω στηλώ και το μήκος τω βάσεώ τους καθορίζεται αυθαίρετα, είαι όμως ίδια για όλα. Μπορούμε α μη αφήουμε κεό αάμεσα στις στήλες. Για το πίακα της παρατήρησης 8 έχουμε τα ραβδογράμματα: v 25 20 3 15 2 10 1 5 0 0 0 1 2 3 0 10 20 30 40 50 60 f % Κατακόρυφο ραβδόγραμμα συχοτήτω Οριζότιο ραβδόγραμμα σχετικώ συχοτήτω f% Μπορούμε α κατασκευάσουμε δύο ή περισσότερα ραβδογράμματα μαζί συγκρίοτας έτσι διαφορετικές μεταβλητές.
Ιγάτιος Ιωαίδης - Μαθηματικά Ι - Γ ΕΠΑΛ 13 f % 53,2 47,5 43,8 43,3 37,7 35,2 17,5 12,9 11,8 Αστικός πληθυσμός Ημιαστικός πληθυσμός Αγροτικός πληθυσμός Στο διπλαό σχήμα είαι το κατακόρυφο ραβδόγραμμα τω σχετικώ συχοτήτω f %, από τη απογραφή του αστικού, ημιαστικού και αγροτικού πληθυσμού τα έτη 1951,1961,1971. 1951 1961 1971 Έτος β Εικοόγραμμα Χρησιμοποιείται στη μελέτη μεγάλω δειγμάτω. π.x Από μια έρευα σε δείγμα 10000 μαθητώ για το πλήθος τω βιβλίω που διαβάζου σε έα χρόο, προέκυψε ότι οι 4000 δε διάβασα καέα βιβλίο, οι 3000 διάβασα 1 βιβλίο, οι 2000 διάβασα 2 βιβλία και οι 1000 διάβασα 3 βιβλία, έ- χουμε το διπλαό εικοόγραμμα. ΒΙΒΛΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ γ Κυκλικό Διάγραμμα Χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τω ποιοτικώ και ποσοτικώ μεταβλητώ, ότα οι διαφορετικές τιμές της μεταβλητής είαι σχετικά λίγες. Είαι έας κυκλικός δίσκος, χωρισμέος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή ισοδύαμα τα τόξα τω οποίω είαι αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες ή τις σχετικές συχότητες f τω τιμώ της μεταβλητής Χ. Α α τα τόξα, τότε α 360 360 f = = ( = 1, 2,...,κ ). Προσοχή : Οι τιμές f στο τύπο δε είαι επί τοις εκατό.
Ιγάτιος Ιωαίδης - Μαθηματικά Ι - Γ ΕΠΑΛ 19 Ποιες από τις παρακάτω μεταβλητές είαι ποιοτικές και ποιες ποσοτικές; Από τις ποσοτικές α διακρίετε ποιες είαι διακριτές και ποιες συεχείς. α) Οι αρχικοί μισθοί πτυχιούχω Μαθηματικώ. β) Ο μήας κατά το οποίο έας υπάλληλος παίρει άδεια. γ) Οι απουσίες εός μαθητή σε όλο το σχολικό έτος. δ) Οι προτιμήσεις τω μαθητώ στα μουσικά συγκροτήματα. ε) Το αγαπημέο χρώμα εός τμήματος μαθητώ. Λ ύ σ η α) Ποσοτική συεχής. Οι μισθοί μπορού α κυμαίοται σε έα διάστημα. β) Ποιοτική. Οι τιμές είαι οι μήες του έτους. γ) Ποσοτική διακριτή. Οι απουσίες είαι οι φυσικοί αριθμοί 0, 1, 2,. δ) Ποιοτική. Οι τιμές είαι οόματα συγκροτημάτω και όχι αριθμοί. ε) Ποιοτική. Τα χρώματα δε είαι αριθμοί. Έγιε μια δειγματοληπτική έρευα για το βάρος τω εμπορευμάτω μιας αποθήκης λαχαικώ. Βρήκαμε ότι τα βάρη 10 κιβωτίω σε κιλά είαι: 17, 12, 12, 15, 18, 22, 24, 25, 19, 20 α) Ποιος είαι ο πληθυσμός; β) Ποιες είαι οι μοάδες; γ) Ποιο είαι το δείγμα; δ) Ποιες είαι οι παρατηρήσεις; ε) Ποια είαι η μεταβλητή και ποιες οι τιμές της; Λ ύ σ η α) Πληθυσμός είαι το σύολο Κ τω κιβωτίω. β) Μοάδες είαι τα κιβώτια κ 1,κ 2,...,κ 10 που ζυγίσαμε. γ) Δείγμα είαι το σύολο Δ { κ,κ,...,κ } = 1 2 10. δ) Παρατηρήσεις είαι όλοι οι αριθμοί. ε) Μεταβλητή είαι το βάρος τω κιβωτίω και τo σύολο τιμώ της είαι Σ = { 12,15,17,18,19,20,22,24,25}.
20 Κεφάλαιο 1ο: Στατιστική Τα 16 τμήματα εός Λυκείου έχου τους εξής μαθητές: 31,29,27,29,28,28,30,28,29,30,31,29,31,27,27,29. α) Να κατασκευάσετε τους πίακες: συχοτήτω, αθροιστικώ συχοτήτω, σχετικώ συχοτήτω % και αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω %. β) Να κάετε τα κατακόρυφα ραβδογράμματα συχοτήτω και αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω %. Λ ύ σ η α) β) 1 3 f 1% = 100 = 100 = 18,75 2 3 f 2% = 100 = 100 = 18, 75 16 16 3 5 f 3% = 100 = 100 = 31, 25 4 2 f 4% = 100 = 100 = 12, 50 16 16 3 f % = 100 = 100 = 18, 75 16 5 5 5 4 3 2 1 0 Μαθητές 27 28 29 30 31 Πλήθος Μαθητώ N F % 100 81,25 68,75 37,50 18,75 0 f% F% 27 3 3 18,75 18,75 28 3 6 18,75 37,50 29 5 11 31,25 68,75 30 2 13 12,50 81,25 31 3 16 18,75 100,00 Άθροισμα 16-100,00-27 28 29 30 31 Πλήθος Μαθητώ Κατακόρυφο ραβδόγραμμα συχοτήτω Κατακόρυφο ραβδόγραμμα αθρ. σχετικώ συχοτήτω F%
28 Κεφάλαιο 1ο: Στατιστική 11.. Σε έα Λύκειο θέλουμε α εξετάσουμε τη επίδοση 10 μαθητώ στη Στατιστική. Πήραμε τις βαθμολογίες 15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17. α) Ποιος είαι ο πληθυσμός; β) Ποια είαι τα άτομα; γ) Ποια είαι η μεταβλητή; δ) Ποιες είαι οι παρατηρήσεις; ε) Η ποσοτική αυτή μεταβλητή είαι συεχής ή διακριτή; 22.. Μελετάμε τους μαθητές της Γ τάξης εός Λυκείου ως προς τη διαγωγή τους, το αριθμό τω απουσιώ τους, τη ειδικότητα που παρακολουθού και το βάρος τους. Να βρείτε ποιες από τις μεταβλητές αυτές είαι ποιοτικές και ποιες ποσοτικές και από τις ποσοτικές μεταβλητές ποιες είαι διακριτές και ποιες συεχείς. 33.. Οι παρακάτω αριθμοί παρουσιάζου τις εδείξεις εός ζαριού το οποίο ρίξαμε 30 φορές. 2 3 6 2 3 1 2 4 5 5 1 2 1 1 3 3 5 5 5 2 1 6 4 4 4 6 4 5 2 6 Να κατασκευάσετε πίακα συχοτήτω και αθροιστικώ συχοτήτω 44.. Σε μια πόλη μετρήσαμε τη μεγαλύτερη ημερήσια θερμοκρασία επί 30 συεχείς ημέρες και βρήκαμε (σε βαθμού Κελσίου) τους παρακάτω αριθμούς: 25 26 26 26 24 21 21 22 24 26 25 27 22 22 24 23 23 26 25 26 22 23 27 24 23 21 21 23 23 22 α) Να κατασκευάσετε πίακα συχοτήτω, αθροιστικώ συχοτήτω και το κατακόρυφο ραβδόγραμμα συχοτήτω. β) Πόσες ημέρες η θερμοκρασία ήτα: ) Μικρότερη από 23 o C. ) Μεγαλύτερη από 24 o C. ) Τουλάχιστο 24 o C.
Ιγάτιος Ιωαίδης - Μαθηματικά Ι - Γ ΕΠΑΛ 29 55.. Ο διπλαός πίακας δίει τη καταομή συχοτήτω 50 οικογεειώ ως προς το αριθμό τω παιδιώ τους. α) Να το συμπληρώσετε με τους πίακες α- θροιστικώ συχοτήτω, σχετικώ συχοτήτω % και αθροιστικώ σχετικώ συχοτήτω %. β) Να βρείτε το αριθμό και το ποσοστό τω οικογεειώ που έχου: ) Τουλάχιστο 1 παιδί. ) Πάω από 3 παιδιά. ) Από 3 έως 5 παιδιά. v) Το πολύ 6 παιδιά. v) Ακριβώς 6 παιδιά. Αριθμός Παιδιώ Αριθμός Οικογεειώ 0 5 1 10 2 15 3 8 4 5 5 4 6 3 Άθροισμα 50 66.. Ο παρακάτω πίακας παρουσιάζει τη διάρκεια ζωής εός δείγματος με ο- θόες τηλεόρασης από τη παραγωγή εός εργοστασίου. Διάρκεια Ζωής (σε ώρες) Ν [ 400,500 ) 15 [ 500,600 ) 60 [ 600,700 ) 120 [ 700,800 ) 195 [ 800,900 ) 265 [ 900,1000 ) 325 [ 1000,1100 ) 375 [ 1100,1200 ) 400 % f % F Άθροισμα - - α) Να συμπληρώσετε το πίακα. β) Να κατασκευάσετε: ) Το ιστόγραμμα και το πολύγωο συχοτήτω. ) Το ιστόγραμμα και το πολύγωο αθροιστικώ συχοτήτω.