Apuntes de lectomgnetsmo. Cpítulo CAMPO LCTOTÁTICO. LI D COULOMB A cg eléctc é unh popedde ds ptículs que dá lug unh nteccón ente els dependente ds poscós eltvs. xsten dous tpos de cgs que se chmn negtv ( do electón) e postv ( do potón). A cg é. dtv: s cgs súmnse tendo en cont o seu sgno de mne que s negtvs póden compens os efectos ds postvs. consevtv: cg totl contd nun volumen solo póde v se ent ou sle cg pol supefce que o lmt e. dscet: tódls cgs son múltplos nteos d cg do electón. No sstem ntenconl de unddes (I) undde de cg eléctc é o culombo (C). A cg do electón vle en módulo e.69 9 C. Po defncón cg puntul é unh cg q contd nun volumen de dmensós lneles moto menoes c dstnc ás demás cgs cos que nteccon de mne que es dstnc se despecble o efecto d posble estuctu nten de q. LI D COULOMB upoñmos dús cgs puntules q e q studs en puntos fxos e espectvmente. A fo sobe q debd q vén dd pol le de Coulomb de nteccón ente cgs. A sú expesón mtemátc é F k q q q q st expesón contén s popeddes d fo de Coulomb F q q (fg. ): q. É dl (F qq ).. O seu sentdo é tl que ténde cec cgs de dstnto sgno q e lonx s do mesmo sgno. F qq. É popoconl cd unh ds cgs ntectuntes. O 4. É nvesmente popoconl ó cddo d dstnc. 5. Cumple o pncpo de ccón e eccón (F qq F q q ). A popedde mplc que s fos que cgs studs nun Fg.. mesmo punto execen sobe out se sumn. sto tmén é ceto se s cgs q están en puntos dstntos. Neste cso s fos súmnse vectolmente. sto conócese como o pncpo de supeposcón que d que... 6. A fo que execen vs cgs ctundo ó mesmo tempo é sum ds fos que execeín po sepdo. P N cgs q ctundo sobe unh cg q: F q N F qq 4 πε q N q (.) (.) Como conveno epesentemos con pms os puntos (puntos fonte) onde están studs s cgs que supoñemos ctún sobe s outs e sn pm os puntos (puntos cmpo) onde se stún s cgs sobe s cles ctú fo. É dc ténde povoc neutldde eléctc do volumen.
Apuntes de lectomgnetsmo. Cpítulo A constnte k 9 9 Nm /C é unvesl mesm p tó dls cgs en clque ccunstnc. No sstem ntenconl de unddes (I) expésse como k o onde ε 8.854 F/m é pemtvdde eléctc do espco lbe. F (fdo) é undde de cpcdde que se estudá no seu momento. Obvmente ε é tmén unh constnte unvesl. (.) xemplo. A fo que execen N cgs q studs en puntos (x y ) sobe unh cg q stud en (x y ) clcúlse en coodends ectngules pol expesón N q xˆ ( x x ) + yˆ ( y y ) + ˆ ( ) F q q ( x x ) + ( y y ) + ( ) [ ] CAMPO LCTOTÁTICO A ecucón (.) pemte expes fo sobe unh cg q stud nun punto como F q q () (.4) onde () é o vlo do cmpo electostátco no punto : () N q Os puntos onde está stud dstbucón de cg que poduce o cmpo chámnse puntos fonte e os puntos onde se obsev o cmpo chámnse puntos cmpo. nte (.) e (.4) h unh dfeenc conceptul mo mpotnte: (.) epesent unh ccón dstnc ente s cgs q e q. n cmbo (.4) epesent ccón sobe q dunh petubcón (o cmpo ddo po.5) poducd pols cgs q e pesente no espco edo dels ndependentemente de que neste punto exst ou non unh cg q. e po lgún outo medo no punto se poducse o mesmo cmpo fo sobe q seí mesm. Co fn de smplfc notcón ntodúcese o vecto chmdo poscón eltv de q con especto q. A menos que hx posbldde de confusón omtse o gumento dos cmpos escbndo N ˆ q (.5) Dstbucós contnus de cg A densdde de cg med no volumen é o cocente ente cg totl contd no volumen que chmmos Q e o volumen: Q Usemos lets músculs Q p epesent cgs dstbuds e lets mnúsculs q p cgs puntules.
Apuntes de lectomgnetsmo. Cpítulo Chmmos densdde de cg nun punto ( ) á cg po undde de volumen nun entono de : Q ( ) lím { } X se dxo que cg é dscet logo se o volumen se f tn pequeno que conteñ poucs cgs elementles débense espe gndes fluctucós espcles d densdde pomedo de cg 4. Po eso o límte { } débese entende como que é un entono de de dmensós moto menoes c dstnc ó punto de obsevcón peo bstnte gnde p conte un númeo sufcente de cgs elementles. A densdde de cg sí defnd tén sentdo mcoscópco. n eldde desde o punto de vst d mecánc cuántc solo se podeí fl d pobbldde d pesenc dunh cg no volumen. Teímos po tnto unh densdde de pobbldde de que hx unh cg en ve dunh densdde de cg. Bsándonos nesto podeímos fl tmén de densdde de cg en sentdo mcoscópco. X que depende d poscón densdde de cg é un cmpo escl defndo no conxunto de puntos fonte. Integd en dá cg contd nel: Q dv (.6) (.7) Igul que fcemos cos cmpos defndos no conxunto de puntos cmpo densdde de cg (fonte do cmpo) que ce o cmpo está defnd no conxunto de puntos fonte e ments non hx mbgüedde omtse o gumento. upoñmos unh cg Q contd nun volumen e se { } unh ptcón de. Polo pncpo de supeposcón ˆ q onde epesent o vlo medo 5 no volumen. Afnndo ptcón teemos como límte ntegl: sendo ˆ lím ˆ 4 πε { } dv (.8) ˆ (.9) Cos convenos nteoes (.8) é unh elcón ente cmpos. elcon o cmpo defndo nun volumen cos cmpos defndo en e defndo no poducto ctesno. A ecucón que dá o vlo de nun punto é 4 Po outo ldo tmén exsten fluctucós tempoles. 5 e funcón ψ que se pomed é contnu ψ é o vlo ψ () d funcón nlgún punto.
Apuntes de lectomgnetsmo. Cpítulo () ( ) P evt confusón os símbolos de vectoes coodends cuvs supefces e volúmenes epesentdos con pm efense puntos fonte e os epesentdos sn pm puntos cmpo menos que se ndque out cous. Unh cg puntul q stud nun punto póde se epesentd po unh densdde volúmc usndo funcón xeneld delt de Dc: q δ ( ) (.) Po esto os desenolos mtemátcos fnse nomlmente p dstbucón volúmcs e non seá neceso consde pte os csos sngules. A fo totl que ctú sobe unh cg Q dstbuíd nun volumen seí F dv (.) (obsévese que go tnto como están defndos en puntos cmpo e ntegcón fse sobe un volumen ). dv xemplo.: fo ente dstbucós de cg. upóñse que se teñen dús dstbucós volúmcs de cg Q dv Q dv dstbuds en volúmenes e. O cálculo d fo sobe mplc unh ntegl sobe p clcul o cmpo e out sobe p clcul fo. Quedí F ˆ dv dv dv Ns ntegcós depende de e depende de. Cd unh ds ntegles debeá clculse descompoñéndo en tes ntegles según o teoem de Fubn. Po exemplo en coodends ectngules físe ntegl nteo en x y e e o esultdo ntegíse de novo en x y e. xemplo.: cmpo dunh esfe cgd unfomemente. e o do d esfe. Poñmos o oxen de coodends esfécs no punto onde queemos clcul o cmpo (fg. ). N fgu é poscón do punto cmpo con especto ó cento d esfe de mne que. Descomposto ns sús compoñentes plel e pependcul qued ˆ cosθ ζˆ senθ H dous csos posbles: ) > (exteo d esfe) Ddo un vlo de θ vá ente dous vloes e que deben cumpl condcón 4
Apuntes de lectomgnetsmo. Cpítulo ˆ + ˆ ζ θ θ máx ϕ > Fg.. ζ θ ϕ < Ou se + cosθ. esolvendo esto obtemos cosθ m sen θ Dquí dedúcese tmén o vlo máxmo de θ : θ máx sen Con est nfomcón x podemos esolve ntegl (.8): θmáx π ˆ cosθ ζˆ senθ θmáx senθ dϕ d dθ cosθ senθ d dθ (nótese que compoñente pependcul se nul ó nteg en ϕ e que o vecto unto plelo non depende ds vbles de ntegcón polo que se póde sc fó d ntegl). ubsttunos os vloes de e e fcendo o cmbo de vble u sen θ : ( u ) ˆ ε sen ˆ ˆ sen θ cosθ senθ dθ ε ε b) < (nteo d esfe) ˆ ε ε ˆ u u du A dfeenc co cso nteo é que go θ ví ente e π e sn nngún cmbo n ntegl en ϕ polo que ˆ ε ˆ ε π π ( cosθ + sen θ ) cosθ senθ dθ ˆ cos θ cos θ senθ dθ ε π ε (o témno que contén í é unh funcón mp de cos θ que dá ntegl ceo). Además o cmpo é contnuo n supefce d esfe: ˆ lím ( ˆ ) lím ( ˆ ) + ε polo que podemos escb ε ˆ ε 5
Apuntes de lectomgnetsmo. Cpítulo Dstbucós sngules de cg Además d dstbucón dscet (cgs puntules) exsten dous tpos de dstbucós sngules mpotntes:. Unh cg Q dstbuíd sobe unh cuv C fom unh densdde lnel de cg λ e: QC ds C λ C st cg poducá un cmpo que podemos deduc com no cso ds densddes volúmcs: A fo sobe unh cuv C seí ˆ 4 λ πε C ds (.) (.) FC λ ds (.4) C. Unh cg dstbud sobe unh supefce fom unh densdde supefcl de cg tl que e poduce un cmpo: Q d ˆ 4 πε d (.5) (.6) A fo que ctú sobe unh supefce cgd é F d (.7) n todo cso cúmplese o pncpo de supeposcón nque hx vos tpos de dstbucón ctundo smultánemente: ˆ ˆ ˆ + + + ˆ (.8) q λ ds d dv C xemplo.4: cmpo dun plno nfnto cgdo unfomemente. Idelemos o poblem supoñendo que o plno é nfnto. Obsévese que cg totl seí nfnt peo con todo o cmpo seá fnto. upoñmos que é o plno en cuestón (fg. ). A y y dstbucón de cg non cmb se desplmos unh x dstnc bt ó longo deste plno (esto expésse dcndo que tén smetí de tslcón ó longo do plno x xy). sto mplc que o cmpo non depende nn de x nn Fg.. de y. n coodends ectngules: xˆ () + yˆ () + ˆ () x y 6
Apuntes de lectomgnetsmo. Cpítulo X que os vloes de x e y son elevntes po smplcdde clculemos o cmpo en puntos ( ) ˆ (ou se no exe ). Os puntos fonte son ( x y ) x x + yˆ y. Polo tnto ˆ xˆ x yˆ y. Logo: xˆ x yˆ y + ˆ d dx dy ( x y) ( x + y + ) A densdde de cg po non depende ds vbles de ntegcón pódese sc fó d ntegl. As compoñentes do cmpo esultntes son x 4 πε x y ( x + y + ) 4 ( x + y + ) dx dy ( x + y + ) πε dx dy y dx dy Obsévse que os ntegndos de x e y son funcós mpes ds vbles de ntegcón polo que x y. A ntegl nteo de é d fom dx x ( + x ) + ubsttundo po y + e x po x temos x x ( x ) lím dy ( ) dy x + y + x + y + y Ago qued unh ntegl d fom que cos substtucós opotuns dá dx dx + x tn y y lím tn tn π πε y ε ε O fcto / vle se > e se <. n non está defndo. bendo que x y ecucón nteo d que o cmpo é pependcul ó plno unfome en cd ldo del e que cmb de sentdo ó ps dun ldo ó outo. upoñendo bt oentcón do plno obteímos expesón xenel do cmpo dun plno nfnto cgdo unfomemente. Ddo o vecto unto noml este cmpo é: ε onde noml se consde dxd desde o plno ó punto onde se clcul o cmpo. x (.9) A DIXNCIA DO CAMPO LCTOTÁTICO A pt d dentdde mtemátc ˆ 4πδ ( ) 7
Apuntes de lectomgnetsmo. Cpítulo podemos clcul dvexenc de (.8). Debemos te en cont que o ntegndo é un cmpo F: 6 x que (ec..9). O opedo dvexenc ope sobe. Po se un opedo lnel dvexenc d ntegl sobe seá ntegl d dvexenc ( ntegl tmén é un opedo lnel peo ctundo sobe ). A densdde de cg está defnd en polo que non está fectd polo opedo dvexenc. Tendo en cont todo o dto: A ecucón ˆ dv ε ˆ dv ε (.) é unh ds ecucós fundmentles do electomgnetsmo (ecucós de Mxwell). Un cmpo está detemndo conocendo sú dvexenc (fonte escl) e o seu otconl (fonte vectol). A densdde de cg é fonte escl do cmpo electostátco. Aplcndo o teoem de Guss nun volumen lmtdo pol supefce ced tnsfommos ntegl de volumen de (.) nunh ntegl de supefce: dv d A ntegl d densdde de cg é cg Q contd en según (.7) 6. Logo Q d ε O fluxo do cmpo electostátco tvés de clque supefce ced está detemndo pol cg totl que contén. (.) APLICACIÓN DO TOMA D GAU Ó CÁLCULO D CAMPO ubsttundo (.) en (.8) obsévse que dvexenc do cmpo electostátco cheg p detemnlo 7. Peo tmén cndo exsten dtos dconles sobe o cmpo elcón ntegl (.) póde se sufcente. sto ocoe po exemplo nos poblems de gn smetí (esféc clíndc e pln) onde s elcós de smetí pemten estblece que o cmpo nunh cet supefce (supefce gussn) é noml e de módulo constnte 8. upoñmos que unh supefce ced se póde descompoñe como unón de dús supefces e que ˆ n con unfome. Quedí 6 upoñemos que tod cg está no nteo é dc que non h cg n supefce. sto é ceto se densdde de cg é fnt po se supefce un conxunto de contdo ceo. No cso de sngulddes como densdde supefcl ntoducemos no seu momento un ttmento mtemátco decudo. 7 upoñendo tod cg contd en. Podemos fm esto poque como se veá. 8
Apuntes de lectomgnetsmo. Cpítulo d onde A é áe de. Po (.): Q d + ε A ε A d dv d A dá o vlo do cmpo n supefce. e podemos defn unh supefce deste tpo que pse po un punto bto este pocedemento pemte clcul o cmpo en clque punto. (.) xemplo.5: cmpo electostátco dunh esfe cgd unfomemente. tuemos o oxen de coodends no cento d esfe e se o seu do. A dstbucón de cg é nvnte nte otcós edo de clque exe que pse polo oxen. Como consecuenc o cmpo é dl e non depende dos ángulos. n coodends esfécs: Q < Fg..4 Q Q > ˆ () (.) Usemos como supefce gussn unh esfe con cento no oxen (fg. 4). egún (.): Q Q () ε A Ó clcul cg Q no nteo d esfe gussn dnse dous csos. e < todo o volumen está cgdo unfomemente. e < solo está cgd esfe de do : 4 π Q Q 4 π Q < > sendo Q cg totl d esfe. esult Q < () Q > Po (.) obtense o cmpo en fom vectol. Antes de escblo obsevmos que é contnuo n supefce d esfe: lím () lím () + ε polo que podemos substtu s desgulddes estcts polos sgnos espectvos de meno ou gul e mo ou gul: Q Q ˆ (.4) 9
Apuntes de lectomgnetsmo. Cpítulo No exteo d esfe o cmpo é o mesmo que poducí unh cg puntul de vlo gul á cg totl d esfe post no seu cento. Más xenelmente clque dstbucón de cg con smetí esféc poduce no exteo d dstbucón o cmpo dunh cg puntul post no seu cento de smetí. xemplo.6: cmpo dun volumen clíndco de seccón ccul e lonxtude nfnt cgdo unfomemente. Defnmos un sstem de coodends clíndcs co exe concdndo co exe do clndo (fg. 5) de do. Po te cg nvn tslconl ó longo do exe o cmpo non depende de. Tmén tén smetí de evolucón edo deste exe polo que o cmpo tmpouco depende de ϕ. Fnlmente defnndo un exe dl unh otcón de 8 edo del tmén dex dstbucón de cg nvnte polo que non h compoñentes do cmpo pependcules este exe. n esumen ζ ζ < ζ ζ > ζ ˆ ( ζ ) (.5) Usemos como supefce gussn un clndo ecto coxl co ddo de do ζ e lonxtude l. As bses plns fomn supefce plels ó cmpo onde o fluxo é nulo. N supefce cuv o cmpo é noml á supefce. Po (.): Q ( ζ ) πε ζ l Igul c no exemplo nteo pecen dús posbles stucós no cálculo de Q : Q ζ πζ l λ π l λl l ζ < ζ > Fg..5 onde chmmos λ π á cg po undde de lonxtude do clndo. Polo mesmo pocedemento do exemplo nteo obtemos λ ζˆ ζ πε λ ζˆ πε ζ ζ ζ (.6) Obsévse que no exteo do clndo cgdo (ζ ) o cmpo é déntco ó dunh líne de cg ect nfnt e unfome. xemplo.7: cmpo dun plno nfnto cgdo unfomemente. upoñmos que o plno xy tén unh densdde supefcl de cg unfome (fg. 6).A smetí tslconl segu que o cmpo solo póde depende de. Pol smetí de evolucón edo do exe o cmpo teá deccón. Ou se ˆ () (.7) Además smetí de eflexón con especto ó plno xy mplc que ( ) ()
Apuntes de lectomgnetsmo. Cpítulo Q No volumen h unh cg A sí que Fg..6 () Defnmos un volumen clíndco lmtdo po dús supefces plns e de áe A plels ó plno studs en coodends e (supoñemos > ) e unh supefce ltel pependcul ó exe. Nest últm non h fluxo po se plel ó cmpo. Ns supefces plns o cmpo tén módulo () e v dxdo en cd unh según noml exteo ó volumen. Ptculndo (.): Q Q () ε A ε A ε A noml ós dous ldos do plno defínese como ˆ n ˆ ˆ co que esult expesón x conocd: ε > > (.8) O OTACIONAL DO CAMPO LCTOTÁTICO Tendo en cont que o otconl gul c dvexenc ctú solo sobe ˆ ˆ dv N últm ntegl o otconl é ceo en. n posble snguldde é de tpo evtble fcendo ˆ en todo o espco. Polo tnto (.9) O otconl dun cmpo é fonte vectol do cmpo. egún esto fonte vectol do cmpo electostátco é ceo o que se ntepet dcndo que o cmpo electostátco está poducdo exclusvmente pols densddes de cg (que consttúen fonte escl). dv CONDICIÓ D FONTIA DO CAMPO LCTOTÁTICO upoñmos unh supefce onde exste unh desdde supefcl de cg dd po (.5). Po (.) usndo o teoem de Guss plcdo ó volumen contdo dento d supefce ced d fg 7:
Apuntes de lectomgnetsmo. Cpítulo ˆn ˆn Fg..7 dv d lím ε obtemos que /ε é densdde supefcl de fonte escl do cmpo electostátco. Usndo os esultdos xeneles d teoí de cmpos deducmos que compoñente noml do cmpo electostátco tén n supefce unh dscontnudde n ˆ ( ) ε (.) Po se ndo out ve ós esultdos xeneles temos que compoñente tnxencl de é contnu n supefce: n ( ) (.) ˆ xemplo.8 No plno nfnto dos exemplos 4 e 7 fgmos { (x y ) < } { (x y ) > }. Con est eleccón ˆ Inmedtmente compobmos s condcós de fonte (.) e (.): ( ) ˆ ˆ ( ˆ ) ε ε ε ( ) ˆ ˆ ( ˆ ) ε ε