ABAU Código: 25 MODELO DE EXAME FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución as cuestións teóricas; han de ser razoadas. Pódese calculadora sempre que no sexa programable nin memorice texto. O alumno elixirá unha das dúas opcións. OPCIÓN A C.1.- Se unha masa se move estando sometida só a acción dun campo gravitacional: A) Aumenta a súa enerxía potencial. B) Conserva a súa enerxía mecánica. C) Diminúe a súa enerxía cinética. C.2.- Unha onda luminosa: A) Non se pode polarizar. B) A súa velocidade de propagación é inversamente proporcional ó índice de refracción do medio. C) Pode non ser electromagnética. C.3.- Se a vida media dun isótopo radioactivo é 5,8 10 ⁶ s, o período de semidesintegración é: A) 1,7 10⁵ s. B) 4,0 10 ⁶ s. C) 2,9 10⁵ s C.4.- Fanse 5 experiencias cun péndulo simple; en cada unha realízanse 50 oscilacións de pequena amplitude e mídese cun cronómetro o tempo empregado. A lonxitude do péndulo é l = 1 m. Con estes datos calcula a aceleración da gravidade. Experiencia 1 2 3 4 5 Tempo (s) empregado en 50 oscilacións 101 100 99 98 102 P.1.- Dúas cargas eléctricas de 3 mc están situadas en A(4, 0) e B(-4, 0) (en metros). Calcula: a) O campo eléctrico en C(0,5) e en D(0,0). b) O potencial eléctrico nos mesmos puntos C e D. c) O traballo para trasladar q = -1 mc desde C a D. (Datos K = 9 10⁹ N m² C ²; 1 mc = 10 ³ C). P.2.- Unha masa de 5 gramos realiza un movemento harmónico simple de frecuencia 1 Hz e amplitude 10 cm; se en t = 0 a elongación é a metade da amplitude. Calcula: a) A ecuación do movemento. b) A enerxía mecánica. c) En que punto da traxectoria é máxima a enerxía cinética e en cales é máxima a enerxía potencial? OPCIÓN B C.1.- Unha partícula cargada e con velocidade u, introdúcese nunha rexión do espazo onde hai un campo eléctrico e un campo magnético constantes. Se a partícula se move con movemento rectilíneo uniforme, débese a que os dous campos: A) Son da mesma dirección e sentido. B) Son da mesma dirección e sentido contrario. C) Son perpendiculares entre si. C.2.- Cando unha onda harmónica plana se propaga no espazo, a súa enerxía é proporcional: A) A 1/f (f é a frecuencia). B) Ao cadrado da amplitude A². C) a 1/r (r é a distancia ó foco emisor) C.3.- Unha masa de átomos radioactivos tarda tres anos en reducir a súa masa ao 90 % da masa orixinal. Cantos anos tardará en reducirse ao 81 % da masa orixinal?: A) Seis. B) Máis de nove. C) Tres. C.4.- Explica brevemente como mides no laboratorio a constante elástica dun resorte polo método dinámico. P.1.- Tres masas de 100 kg están situadas nos puntos A(0, 0), B(2, 0), C(1, 3) (en metros). Calcula: a) O campo gravitacional creado por estas masas no punto D(1, 0). b) A enerxía potencial que tería unha masa de 5 kg situada en D. c) Qen tería que realizar traballo para trasladar esa masa desde D ó infinito, o campo ou forzas externas?. (Dato: G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ²) P.2.- Un obxecto de 1,5 cm de altura está situado a 15 cm dun espello esférico convexo de raio 20 cm. Determina a posición, o tamaño e a natureza da imaxe: a) Graficamente. b) Analiticamente. c) Pódense obter imaxes reais cun espello convexo?
Solucións OPCIÓN A 1. C.1.- Se unha masa se move estando sometida só a acción dun campo gravitacional: A) Aumenta a súa enerxía potencial. B) Conserva a súa enerxía mecánica. C) Diminúe a súa enerxía cinética. B O campo gravitacional é un campo de forzas conservativo. O traballo da forza gravitacional, cando unha masa desprázase dun punto 1 a un punto 2, é independente do camiño seguido e só depende dos puntos inicial e fnal. Defínese unha magnitude chamada enerxía potencial Eₚ de forma que: W₁ ₂ = Eₚ₁ Eₚ₂ = ΔEₚ O traballo da forza gravitacional é igual á variación (cambiada de signo) da enerxía potencial. Como o traballo da forza resultante é, polo principio da enerxía cinética, igual á variación de enerxía cinética: W(resultante) = E ₂ E ₁ = ΔE Se a única forza que realiza traballo é a forza gravitacional, ambos os traballos son iguais: W₁ ₂ = W(resultante) Eₚ₁ Eₚ₂ = E ₂ E ₁ Eₚ₁ + E ₁ = Eₚ₂ + E ₂ A enerxía mecánica (suma da enerxía cinética e potencial) consérvase. 2. C.2.- Unha onda luminosa: A) Non se pode polarizar. B) A súa velocidade de propagación é inversamente proporcional ó índice de refracción do medio. C) Pode non ser electromagnética. B Defínese índice de refracción n dun medio con respecto ao baleiro como o cociente entre a velocidade c da luz no baleiro e a velocidade v da luz en devandito medio. n= c v Como a velocidade da luz no baleiro é unha constante universal, a velocidade de propagación da luz nun medio é inversamente proporcional ao seu índice de refracción. As outras opcións: A. Falsa. A luz é unha onda electromagnética transversal que vibra en moitos planos. Cando atravesa un medio polarizador, só o atravesa a luz que vibra nun determinado plano. C. Falsa. Maxwell demostrou que a luz é unha perturbación eléctrica harmónica que xera un campo magnético harmónico perpendicular ao eléctrico e perpendiculares ambos á dirección de propagación. 3. C.3.- Se a vida media dun isótopo radioactivo é 5,8 10 ⁶ s, o período de semidesintegración é: A) 1,7 10⁵ s. B) 4,0 10 ⁶ s; C) 2,9 10⁵ s B
A resposta máis simple é por semellanza. Aínda que período de semidesintegración e vida media non son o mesmo, son do mesma orde de magnitude. A vida media é a «esperanza de vida» dun núcleo. É un termo estatístico igual á suma dos produtos do tempo de vida de cada núcleo polo número de núcleos que teñen ese tempo dividido polo total de núcleos. N 0 t d N 0 τ = = 1 λ Onde λ é a constante de desintegración radioactiva, que aparece na ecuación exponencial de desintegración: N 0 λ t N =N 0 e O período de semidesintegración é o tempo que tarda en reducirse á metade a cantidade de núcleos de sustancia radioactiva. Se na ecuación de desintegración substituímos N por N ₀ / 2, t = T ½. N 0 2 =N 0 e λ T 1/2 Extraemos logaritmos: ln(1/2) = -λ T ½ T 1/2 = ln 2 λ El período de semidesintegración é algo menor (ln 2 = 0,693) que a vida media τ. Isto cúmprese coa opción B. T ½ = τ ln 2 4,0 10 6 [ s] 5,8 10 6 [s] =0,69 ln 2 4. C.4.- Fanse 5 experiencias cun péndulo simple; en cada unha realízanse 50 oscilacións de pequena amplitude e mídese cun cronómetro o tempo empregado. A lonxitude do péndulo é l = 1 m. Con estes datos calcula a aceleración da gravidade. Experiencia 1 2 3 4 5 Tempo (s) empregado en 50 oscilacións 101 100 99 98 102 Como só hai datos para unha lonxitude de péndulo só se pode calcular o valor medio do período e aplicar a ecuación do período do péndulo: Experiencia 1 2 3 4 5 Tempo(s) empregado en 50 oscilacións 101 100 99 98 102 Período 2,02 2,00 1,98 1,96 2,04 O valor medio do período é: T = T i N = 10,00 [s] =2,00 s 5 O valor da aceleración g da gravidade calculado coa ecuación do período do péndulo é bastante aproximado ao valor real. T =2 π L g
g =4 π 2 L T 2 =4 π2 1,00 [ m] (2,00 [s]) 2 =π2 m/s 2 =9,87 m /s 2 5. P.1.- Dúas cargas eléctricas de 3 mc están situadas en A(4, 0) e B(-4, 0) (en metros). Calcula: a) O campo eléctrico en C(0,5) e en D(0,0). b) O potencial eléctrico nos mesmos puntos C e D. c) O traballo para trasladar q = -1 mc desde C a D. Datos: K = 9 10⁹ N m² C ²; 1 mc = 10 ³ C Rta.: a) E C = 1,03 10⁶ j N/C; E D = 0; b) V C = 8,43 10⁶ V; V D = 13,5 10⁶ V; c) W(exterior) = -5,1 10³ J Datos Cifras signifcativas: 3 Posición da carga Q₁ r A = (4,00, 0) m Posición da carga Q₂ r B = (-4,00, 0) m Posición do punto C r C = (0, 5,00) m Posición do punto D r D = (0, 0) m Valor da carga situada no punto A Q₁ = 3,00 mc = 3,00 10 ³ C Valor da carga situada no punto B Q₂ = 3,00 mc = 3,00 10 ³ C Valor da carga que se traslada q = -1,00 mc = -1,00 10 ³ C Constante eléctrica K = 9,00 10⁹ N m² C ² Incógnitas Intensidade do campo electrostático nos puntos C e D E C, E D Potencial electrostático nos puntos C e D V C, V D Traballo para trasladar unha carga de -1 mc desde C a D W C D Outros símbolos Distancia entre dous puntos A e B r AB Ecuacións Intensidade do campo electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a unha distancia r E=K Q r u 2 r Principio de superposición E A = E Ai Potencial electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada V =K Q a unha distancia r r Potencial electrostático nun punto debido a varias cargas V = V Traballo que fai a forza do campo cando se move unha carga q desde un punto A até outro punto B W A B = q (V A V B ) a) Faise un debuxo cos vectores intensidade de campo electrostático creado por cada carga e a suma vectorial, que é o vector campo E resultante. Para o punto C(0, 5): As distancias entre os puntos AC e BC son as mesmas: r AC =r BC = r C r A = (0 [ m] ( 4,00 [ m])) 2 +(5,00 [ m] 0 [m ]) 2 =6,40 m A intensidade de campo electrostático no punto C, debida á carga de 3 mc situada no punto A, é: E A C r BC E C C E B C E A D E B D B D A E A C =9,00 10 9 [ N m 2 C 2 ] 3,00 10 3 [C] ( 4,00 i +5,00 j) =( 4,11 10 5 i +5,14 10 5 j) N/C (6,40 [m ]) 2 6,40 A intensidade de campo electrostático no punto C(0, 5) debida á carga de 3 mc situada no punto B é simétrica á do punto A:
E B C = (4,11 10⁵ i + 5,14 10⁵ j) N/C Polo principio de superposición, a intensidade de campo electrostático resultante no punto C(0, 5) é a suma vectorial das intensidades de campo de cada carga: E C = E A C + E B C = (-4,11 10⁵ i + 5,14 10⁵ j) [N/C] + (4,11 10⁵ i + 5,14 10⁵ j) [N/C] = 1,03 10⁶ j N/C Análise: A dirección do campo resultante é vertical cara arriba, como se ve no debuxo. Para o punto D(0, 0): Como as distancias AD e BD son as mesmas e as cargas situadas en A e en B son iguais, os vectores intensidade de campo electrostático creados polas cargas en A e en B son opostos (mesmo valor e dirección pero sentido contrario como se ve no debuxo) polo que a súa resultante é nula. E D = 0 b) Os potenciais no punto C(0, 5) debidos a cada carga son iguais e valen: V B C =V A C =V 1 =9,00 10 9 [ N m 2 C 2 ] 3,00 10 3 [C] =4,22 10 6 V (6,40 [ m]) O potencial electrostático dun punto debido á presenza de varias cargas, é a suma alxébrica dos potenciais debidos a cada carga. Analogamente para o punto D(0, 0) V C = V A C + V B C = 2 V₁ = 2 4,22 10⁶ [V] = 8,43 10⁶ V V B D =V A D =V 2 =9,00 10 9 [ N m 2 C 2 ] 3,00 10 3 [C] (4,00 [m]) =6,75 106 V V D = V A D + V B D = 2 V₂ = 2 6,75 10⁶ [V] = 13,5 10⁶ V c) O traballo que fai a forza do campo é W C D = q (V C V D ) = -1,00 10 ³ [C] (8,43 10⁶ 13,5 10⁶) [V] = 5,1 10³ J Supoñendo que salga e chegue con velocidade nula, o traballo que hai que facer é: W(exterior) = -W(campo) = -5,1 10³ J 6. P.2.- Unha masa de 5 gramos realiza un movemento harmónico simple de frecuencia 1 Hz e amplitude 10 cm; se en t = 0 a elongación é a metade da amplitude. Calcula: a) A ecuación do movemento. b) A enerxía mecánica. c) En que punto da traxectoria é máxima a enerxía cinética e en cales é máxima a enerxía potencial? Rta.: a) x = 0,100 sen(2 π t + π / 6) [m]; b) E = 9,87 10 ⁴ J; c) E ₘ en x = 0; Eₚ ₘ en x = ±0,100 m Datos Cifras signifcativas: 3 Masa que realiza o M.H.S. m = 5,00 g = 0,00500 kg Amplitude A = 10,0 cm = 0,100 m Posición inicial x₀ = ±A / 2 = ±0,05 0 m Frecuencia f = 1,00 Hz Incógnitas Ecuación do movemento (frecuencia angular e fase inicial) ω, φ₀ Enerxía mecánica E Outros símbolos Constante elástica do resorte k Pulsación (frecuencia angular) ω Fase inicial φ₀ Forza recuperadora elástica F Ecuacións Ecuación de movemento no M.H.S. x = A sen(ω t + φ₀) Relación entre a frecuencia angular e a frecuencia ω = 2 π f
Ecuacións Relación entre a frecuencia angular e a constante elástica k = m ω² Enerxía potencial elástica Eₚ = ½ k x² Enerxía cinética E = ½ m v² Enerxía mecánica E = (E + Eₚ) = ½ k A² a) A ecuación de movemento dun M.H.S. pode escribirse x = A sen(ω t + φ₀) (En «M.H.S.: obter a ecuación de movemento» exponse o fundamento teórico.) A amplitude é un dato: A = 0,100 m A frecuencia angular calcúlase a partir da frecuencia: ω = 2 π f = 2 π [rad] 1,00 [Hz] = 2 π [rad/s] = 6,28 rad/s Para calcular a fase inicial elíxese un sistema de referencia con orixe O na posición de equilibrio e o eixe X+ vertical no sentido do alongamento (cara abaixo) e substitúense na ecuación de movemento os datos e os valores da posición inicial: A / 2 = A sen(ω 0 + φ₀) sen(φ₀) = 1 / 2 φ₀ = arcsen(1/2) Hai dúas solucións: φ₀₁ = π / 6 e φ₀₂ = 5 π / 6. Necesitaríase coñecer o sentido do movemento para poder elixir entre elas. A falta dese dato, elíxese arbitrariamente, por exemplo: φ₀₁ = π / 6, que corresponde ao desprazamento en sentido positivo. A ecuación de movemento queda: x = 0,100 sen(2 π t + π / 6) [m] (No caso de elixir a ecuación x = A cos(ω t + φ₀), tamén habería dúas solucións para a fase inicial: φ₀₁ = -π / 3 e φ₀₂ = π / 3) Análise: Calquera das ecuacións de movemento propostas cumpre a condición da posición inicial (para t = 0, x₀ = 0,05 0 m ou x₀ = -0,05 0 m). b) A enerxía mecánica pode calcularse como a suma das enerxías cinética e potencial en calquera instante, a enerxía cinética máxima ou a enerxía potencial máxima: E = (E + Eₚ) = ½ m v² + ½ k x² = ½ m v²ₘ = ½ k A² No caso de optar pola última, hai que calcular o valor da constante elástica. Enerxía mecánica: k=m ω 2 = 0,00500 [kg] (6,28 [rad/s])² = 0,197 N/m E = k A² / 2 = 0,197 [N/m] (0,0500 [m])² / 2 = 9,87 10 ⁴ J Poderíase calcular a enerxía mecánica como a enerxía cinética máxima. A velocidade nun instante é a derivada da posición con respecto ao tempo. Derivando a ecuación de movemento queda: v= d x d t d{0,100 sen(2 π t +π /6)} = =0,100 2 π cos(2 π t +π/ 6)=0,628 cos(2 π t +π /6) m/ s dt A velocidade ten un valor máximo cando o coseno da fase vale 1. vₘ = 0,628 m/s E ₘ = m v²ₘ / 2 = 0,00500 [kg] (0,628 [m/s])² / 2 = 9,87 10 ⁴ J c) A enerxía cinética é máxima cando a enerxía potencial é mínima, ou sexa nula. É dicir na orixe ou centro da traxectoria x = 0. F Peso O X+ A +A
A enerxía potencial é máxima cando a elongación é máxima, ou sexa igual á amplitude. É dicir x = ±A = ±0,100 m OPCIÓN B 1. C.1.- Unha partícula cargada e con velocidade u, introdúcese nunha rexión do espazo onde hai un campo eléctrico e un campo magnético constantes. Se a partícula se move con movemento rectilíneo uniforme, débese a que os dous campos: A) Son da mesma dirección e sentido. B) Son da mesma dirección e sentido contrario. C) Son perpendiculares entre si. C A forza F sobre unha carga eléctrica q en movemento segue a lei de Lorentz F = q (u B) + q E Sendo u a velocidade da carga, B a indución magnética (intensidade do campo magnético) e E a intensidade do campo electrostático. Mentres que a dirección da forza eléctrica é paralela ao campo electrostático, a dirección da forza magnética é perpendicular ao campo magnético. Se a partícula cargada non se desvía pode ser porque: - Tanto a dirección do campo magnético como a do campo electrostático son paralelas á dirección de movemento da partícula. Non haberá forza magnética pero a forza eléctrica provocará unha aceleración e o movemento será rectilíneo pero non uniforme. - Tanto a dirección do campo magnético como a do campo electrostático son perpendiculares á dirección de movemento da partícula e perpendiculares entre se, e ademais cúmprese que q (u B) + q E = 0 u B = E Nisto baséase o selector de velocidades do espectrógrafo de masas. 2. C.2.- Cando unha onda harmónica plana se propaga no espazo, a súa enerxía é proporcional: A) A 1/f (f é a frecuencia). B) Ao cadrado da amplitude A². C) a 1/r (r é a distancia ó foco emisor) B A enerxía que transporta unha onda material harmónica unidimensional é a suma da cinética e de potencial: E = (E + Eₚ) = ½ m v² + ½ k x² = ½ m v²ₘ = ½ k A² A ecuación da onda harmónica unidimensional é: y = A cos (ω t ± k x) Derivando con respecto ao tempo: v = d y / d t = -A ω sen(ω t ± k x) É máxima cando sen(ω t ± k x) = 1, vₘ = A ω Substituíndo na ecuación da enerxía: E = ½ m v²ₘ = ½ m A² ω² Como a pulsación ω ou frecuencia angular é proporcional á frecuencia f: ω = 2 π f E = ½ m A² ω²= ½ m A² (2 π f)² = 2 π² m A² f² A enerxía que transporta unha onda é proporcional aos cadrados da frecuencia e da amplitude. 3. C.3.- Unha masa de átomos radioactivos tarda tres anos en reducir a súa masa ao 90 % da masa orixinal. Cantos anos tardará en reducirse ao 81 % da masa orixinal?: A) Seis. B) Máis de nove. C) Tres.
A O período de semidesintegración dunha sustancia radioactiva é o tempo que transcorre ata que só queda a metade da mostra orixinal. É un valor constante. A ecuación que dá a a cantidade N de substancia que quieta á fn e ao cabo dun tempo t é: λ t N =N 0 e Sendo λ a constante de desintegración radioactiva. Escribindo esta ecuación con logaritmos e substituíndo os datos pódese calcular a constante λ: Co dato do 81 % despexamos t e queda: t= ln N = ln N₀ - λ t ln 0,90 N₀ = ln N₀ - λ 3 ln 0,90 = - λ 3 ln 0,90 λ = =0,015 ano ¹ 3 ln 0,81 λ ln 0,81 = 0,015 año =6 anos 1 Tamén se podería resolver notando que o 81 % da mostra orixinal é o 90 % do que quedaba aos 3 anos. Por tanto terían que transcorrer 3 anos máis. 4. C.4.- Explica brevemente como mides no laboratorio a constante elástica dun resorte polo método dinámico. Na medida da constante elástica dun resorte polo método dinámico tírase cara abaixo dunha masa de valor coñecido que colga dun resorte e déixase oscilar, medindo o tempo de varias oscilacións (10, por exemplo). Calcúlase o período dividindo o tempo entre o número de oscilacións. Repítese o procedemento para outras masas coñecidas. A ecuación do período do resorte, Pode escribirse como: T =2 π m k T 2 = 4 π2 m k A partir dela determínase o valor de constante. No método gráfco represéntanse os cadrados dos períodos no eixe de ordenadas fronte ás masas no de abscisas. A gráfca debería dar unha liña recta de pendente: pendente estudo dinámico = p = ΔT 2 Determinando a pendente, pódese calcular o valor de constante: k= 4 π2 p d Δ m =4 π2 k No método analítico calcúlase a constante do resorte k para cada masa e áchase o valor medio. Este método ten o problema de que se a masa do resorte non é desprezable fronte á masa colgada, os resultados levan un erro sistemático. 5. P.1.- Tres masas de 100 kg están situadas nos puntos A(0, 0), B(2, 0), C(1, 3) (en metros). Calcula:
a) O campo gravitacional creado por estas masas no punto D(1, 0). b) A enerxía potencial que tería unha masa de 5 kg situada en D. c) Qen tería que realizar traballo para trasladar esa masa desde D ó infinito, o campo ou forzas externas? Dato: G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² Rta.: a) g D = 2,22 10 ⁹ j m/s² b) Eₚ = -8,60 10 ⁸ J; c) externas Datos Cifras signifcativas: 3 Masa de cada un dos corpos M A = M B = M C = M = 100 kg Vector de posición da masa en A r A = (0,00, 0,00) m Vector de posición da masa en B r B = (2,00, 0,00) m Vector de posición da masa en C r C = (1,00, 1,73) m Vector de posición do punto D r D = (1,00, 0,00) m Masa no punto D m D = 5,00 kg Constante da gravitación universal G = 6,67 10 ¹¹ N m² kg ² Incógnitas Vector campo gravitacional no punto D g D Enerxía potencial gravitacional no punto D Eₚ D Ecuacións Lei de Newton da gravitación universal (aplicada á forza que exerce cada masa F = G M m u puntual sobre cada unha das outras) r 2 r Intensidade do campo gravitacional creado por unha masa M nun punto que dista dela unha distancia r g= F m = G M r 2 u r Potencial gravitacional nun punto debido a unha masa M que dista r do punto Enerxía potencial gravitacional (referida ao infnito) V = G M r E p =m V = G M m r a) As distancias desde os puntos A, B e C a D son: r AD = r BD = 1,00 m r CD = 1,73 m A intensidade de campo gravitacional g A no punto D creado pola masa situada en A é: g A = 6,67 10 11 [N m 2 kg 2 ] 100 [kg] (1,00 [m]) 2 i = 6,67 10 9 i m/s 2 Por simetría, a intensidade de campo gravitacional g B no punto D creado pola masa situada en B é: C g B = 6,67 10 ⁹ i m/s² A intensidade de campo gravitacional g C no punto D creado pola masa situada en C é: g C = 6,67 10 11 [N m 2 kg 2 ] 100 [ kg] (1,73 [m]) 2 ( j )=2,22 10 9 j m/s 2 O valor da intensidade do campo gravitacional g D no punto D(1, 0) será a suma vectorial das intensidades de campo gravitacional creadas por cada unha das masas situadas nos outros vértices (Principio de superposición) A g C g A D g B B g D = g A + g B + g C = 2,22 10 ⁹ j m/s² b) A enerxía potencial gravitacional dunha masa m situada nun punto, debida á infuencia de varias masas M, cada unha delas a unha distancia r do punto, é a suma das enerxías potenciais de cada unha das interaccións da masa m con cada unha das masas M. Pero tamén se pode calcular a enerxía potencial gravitacional do punto onde se atopa a masa m e calcular a súa enerxía potencial da relación:
Eₚ = m V O potencial gravitacional nun punto, debido á infuencia de varias masas M, cada unha delas a unha distancia r do punto, é a suma dos potenciais individuais. V = ( G M i r i ) = G M i r i Se as masas M son todas iguais, (M = M ) entón queda V = G M 1 r i A expresión da enerxía potencial sería E p = G M m 1 r i E p = 6,67 10 11 [ N m 2 kg 2 2 ] 100 [kg ] 5,00 [kg ]( 1 [ m] + 1 1,73 [m]) = 8,60 10 8 J c) O traballo da resultante das forzas gravitacionais cando leva a masa en D ata o infnito, sen variación de enerxía cinética (suponse), é igual á diferenza (cambiada de signo) de enerxía potencial que posúe a masa de 5,00 kg neses dous puntos. Por defnición a enerxía potencial (e o potencial) no infnito é nula, polo que W D = -ΔE = -(Eₚ Eₚ D ) = Eₚ D Eₚ = Eₚ D = -8,60 10 ⁸ J Por tanto o traballo das forzas gravitacionais é negativo, (a forza do campo oponse ao desprazamento cara ao infnito) e o traballo deberá facelo algunha forza externa. 6. P.2.- Un obxecto de 1,5 cm de altura está situado a 15 cm dun espello esférico convexo de raio 20 cm. Determina a posición, o tamaño e a natureza da imaxe: a) Graficamente. b) Analiticamente. c) Pódense obter imaxes reais cun espello convexo? Rta.: Datos (convenio de signos DIN) Cifras signifcativas: 2 Radio de curvatura do espello convexo R = +0,20 m Tamaño do obxecto y = 1,5 cm = 0,015 m Posición do obxecto s = -0,15 m Incógnitas Posición da imaxe sʹ Tamaño da imaxe yʹ Outros símbolos Distancia focal do espello f Ecuacións Relación entre a posición da imaxe e a do obxecto nos espellos Aumento lateral nos espellos Relación entre a distancia focal e o radio de curvatura f = R / 2 a) No debuxo represéntase o obxecto O antes do espello e desde o seu punto superior debúxanse dous raios: - Un horizontal cara ao espello que se reficte de maneira que o raio refectido pasa polo foco F (que se atopa á metade da distancia entre o espello e o seu centro C). - Outro cara ao espello, que se reficte sen desviarse pasando polo centro C de curvatura do espello. Como os raios non se cortan, prolónganse alén do espello ata que as súas prolongacións córtanse. O punto de corte é o correspondente á imaxe I. O I F' C s s' f R
b) Polo convenio de signos, os puntos situados á esquerda do espello teñen signo negativo. Úsase a ecuación dos espellos: Calcúlase a distancia focal, que é a metade do radio do espello. Substitúense os datos: E calcúlase a posición da imaxe: A imaxe atópase a 6,0 cm á dereita do espello. f = R / 2 = 0,20 [m] / 2 = 0,10 m 1 sʹ + 1 0,15 [m ] = 1 0,10 [ m] sʹ = 0,060 m Para calcular a altura da imaxe úsase a ecuación do aumento lateral: E calcúlase a altura da imaxe: = 0,060[m ] 0,15[m] =0,40 yʹ = A L y = 0,40 1,5 cm = 0,60 cm = 6,0 mm A imaxe é virtual (sʹ > 0), dereita ( A L > 0) e menor ( A L < 1). Análise: O resultado do cálculo coincide co debuxo. c) As imaxes producidas por espellos convexos son sempre virtuais. Da ecuación dos espellos: 1 sʹ = 1 f 1 s sʹ = 1 1 f 1 s Polo criterios de signos, s < 0, e nos espellos convexos f > 0, polo que 1 f 1 s >0 Por tanto, sʹ > 0 sempre. A imaxe vaise formar á dereita do espello e vai ser virtual (os raios de luz non atravesan os espellos) Os problemas e cuestións deste modelo proceden dos exames PAU de xuño e setembro de 2009 Cuestións e problemas das Probas de Acceso á Universidade (P.A.U.) en Galicia. Respostas e composición de Alfonso J. Barbadillo Marán. Algúns cálculos fxéronse cunha folla de cálculo OpenOfce (ou LibreOfce) do mesmo autor. Algunhas ecuacións e as fórmulas orgánicas construíronse coa extensión CLC09 de Charles Lalanne-Cassou. A tradución ao/desde o galego realizouse coa axuda de traducindote, de Óscar Hermida López. Procurouse seguir as recomendacións do Centro Español de Metrología (CEM)