Teoria sistemelor p. 1/28 Proiectarea sistemelor de control automat Paula Raica Paula.Raica@aut.utcluj.ro Departamentul de Automatică Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Dorobantilor, sala C21 Baritiu, sala C14 Tel: 0264-401267 (Dorobanţilor) Tel: 0264-202368 (Baritiu) http://moodle.utcluj.ro (key: ts2012) http://rrg.utcluj.ro/ts
Teoria sistemelor p. 2/28 Introducere Performantele unui sistem automat: stabilitate, raspuns acceptabil, sensibilitate mica la variatiile parametrilor, are eroare stationara minima, este capabil sa reduca efectele perturbatiilor. Proiectarea unui sistem automat = planificarea sau aranjarea structurii sistemului si selectarea unor parametri si componente adecvate. Pentru a modifica raspunsul sistemului se introduce un element in structura sistemului cu reactie: compensator sau regulator.
Teoria sistemelor p. 3/28 Abordari in proiectarea sistemelor Performantele unui sistem automat : In domeniul timp: timp de raspuns, suprareglaj, timp de crestere, eroare stationara, etc localizarea polilor si zerourilor sistemului inchis In domeniul frecventelor: pulsatia de rezonanta, latimea de banda, marginea de fază, etc. Se considera ca procesul a fost optimizat cat de mult a fost posibil si functia de transfer a procesului nu se poate modifica. Un compensator trebuie realizat fizic. El este de exemplu un circuit electronic (cu amplificatoare operationale sau circuite RC)
Teoria sistemelor p. 4/28 Proiectarea cu locul radacinilor LR este o metoda grafică pentru determinarea locaţiei polilor sistemului închis, pe baza polilor şi zerourilor sistemului deschis, când un parametru din sistem variază de la 0 la infinit. LR arată efectele ajustării unui parametru şi informaţii despre răspunsul tranzitoriu Pentru proiectarea unui regulator este uneori necesar ca LR să fie modificat pentru ca sistemul închis sa indeplinească setul de performanţe impus. Proiectarea pe baza LR: modificarea locului prin adăugarea unui compensator astfel incât polii dominanţi ai sistemului să poată fi plasaţi într-o locaţie dorită.
Teoria sistemelor p. 5/28 Efectele adăugării unui pol LR se mută spre dreapta scade stabilitatea relativă, creşte timpul de răspuns (= 4/partea reală a polului) Daca se adaugă un pol în origine (efect integrator) sistemul devine mai putin stabil. Efectele adaugării polilor pentru un sistem de ordinul 1.
Teoria sistemelor p. 6/28 Efectele adăugării unui zero LR se mută spre stânga sistemul devine mai stabil, cu timp de răspuns mai mic Zero în origine (efect derivator) - scade timpul de răspuns Figura din stânga: Sistem stabil pentru factor de amplificare (K) mic si instabil pentru K mare. Se adaugă un zero jw jw jw jw -2-1 0 s -3-2 -1 0 s -2.5-2 -1 0 s -0.5-2 -1 0 s
Teoria sistemelor p. 7/28 Compensatoare Un compensator cu funcţia de transfer G c (s) se leagă în serie cu procesul G(s) pentru a obţine o funcţie de transfer în buclă deschisă G c (s)g(s)h(s) dorită. R(s) G c (s) H(s) G(s) C(s) G c (s) = k M i=1 (s+z i) N j=1 (s+p j) Compensatorul G c (s) se poate alege astfel încât să modifice locul rădăcinilor sau răspunsul în frecvenţă. Problema se reduce la alegerea polilor şi zerourilor compensatorului. Vom considera întâi că G c (s) este un sistem de ord. 1.
Teoria sistemelor p. 8/28 Elemente cu avans de fază G c (s) = k(s+z) s+p, z < p Răspunsul în frecvenţă Phase (deg); Magnitude (db) 20 15 10 5 0 60 40 20 0 10-1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) Dacă polul e neglijabil p >> z şi zeroul se află în origine element derivator G c (s) = k p s
Teoria sistemelor p. 9/28 Elemente cu întârziere de fază G c (s) = k(s+z) s+p, z > p Răspunsul în frecvenţă Phase (deg); Magnitude (db) 40 35 30 25 20 0-20 -40-60 10-1 10 0 10 1 10 2 Frequency (rad/sec) Dacă zeroul e neglijabil z >> p şi polul se află în origine element integrator G c (s) = kz s
Teoria sistemelor p. 10/28 Noţiuni ref. la eroarea staţionară R(s) E(s) G(s) G(s) = k M i=1 (s+z i) s N Q i=1 (s+p i) Intrare treaptă. R(s) = 1/s C(s) ǫ ss = lim s 0 s(r(s) C(s)) = lim s 0 sr(s)(1 G(s) 1+G(s) ) = lim s 0 sr(s) 1+G(s) ǫ ss = 1 1+G(0) = 1 1+K p K p = constanta erorii staţionare la poziţie.
Teoria sistemelor p. 11/28 Eroarea staţionară Intrare rampă. R(s) = 1/s 2 ǫ ss = lim s 0 1 s(1+g(s) = lim s 0 Eroarea staţionară depinde de numărul N. N = 0 e ss = N = 1 ǫ ss = lim s 0 1 1 sg(s) s[k M i=1 (s+z i)]/[s Q i=1 (s+p i)] = 1 k z i / = 1 p j K v K v = constanta erorii staţionare la viteză. N 2 e ss = 0
Teoria sistemelor p. 12/28 Proiectarea regulatoarelor "lag" cu LR Se caută un regulator pentru cazul în care răspunsul sistemului este satisfăcător în regim tranzitoriu, dar nu are performanţe bune în regim staţionar (are eroare staţionară) Compensarea constă în creşterea amplificării în bucla directă fără a schimba caracteristicile răspunsului tranzitoriu. Pentru a nu aduce modificări mari în LR, contribuţia de fază a regulatorului trebuie să fie mică (de ex. 5 o sau 2 o ); Zeroul şi polul regulatorului se plasează relativ aproape unul de altul şi aproape de origine pentru ca polii dominanţi să nu fie mutaţi semnificativ din locaţia lor originală.
Teoria sistemelor p. 13/28 Proiectarea regulatoarelor cu LR Regulatorul, in acest caz, are funcţia de transfer: G c (s) = s+z, z > p s+p Eroarea staţionară a unui sistem necompensat cu funcţia de transfer în buclă deschisă G(s) este: ǫ ss = lim s 0 sr(s) 1+G(s) Exemplu: Pt.un sistem deschis cu un pol în origine: K v = lim s 0 sg(s) Dacă G(s) se scrie ca: G(s) = k M i=1 (s+z i) s Q i=1 (s+p i) K v a sistemului necompensat: K v = k M i=1 (z i) Q i=1 (p i)
Teoria sistemelor p. 14/28 Proiectarea regulatoarelor cu LR Se adaugă regulatorul şi se determină K v compensat K vcomp K vcomp = lim s 0 sg c (s)g(s) = lim s 0 (G c (s))k v = k z p zi pj Dacă polul şi zeroul regulatorului se aleg astfel încât z = α p < 1 K vcomp va creşte cu z/p = α. Pentru ca z/p să fie mare şi z şi p să fie relativ apropiaţi comparativ cu polii dominanţi, se plasează aproape de origine. z se alege mic în comparaţie cu pulsaţia naturală a polilor dominanţi (aprox ω n /10)
Teoria sistemelor p. 15/28 Algoritmul 1. Se schiţează LR al sistemului necompensat (fără regulator). 2. Se determină polii dominanţi care îndeplinesc performanţele în regim tranzitoriu 3. Se calculează factorul de amplificare k la polii dominanţi şi constanta erorii staţionare. 4. Se compară constanta erorii staţionare cu cea dorită raportul dintre zeroul şi polul regulatorului z/p. 5. Se localizează zeroul aproape de origine în comparaţie cu ω n a polilor dominanţi. 6. Se calculează polul p din raportul z/p
Teoria sistemelor p. 16/28 Exemplu Se consideră un sistem cu funcţia de transfer în buclă deschisă: G(s) = k s(s+2) Se cere ca factorul de amortizare al polilor dominanţi să fie ζ = 0.45 şi constanta erorii staţionare la viteză să fie K vcomp = 20. Din LR rezultă că polii cu ζ = 0.45 sunt: r 1,2 = 1±j 1.98 1±j2 La r 1,2, factorul de amplificare este: k s(s+2) = 1 s= 1+j2 k = ( 1+j2)(1+j2) = 5
Teoria sistemelor p. 17/28 Exemplu Constanta erorii staţionare la viteză a sistemului necompensat este: K v = lim s 0 sg(s) = k 2 = 2.5 Raportul zeroului şi polului regulatorului este: z p = α = K vcomp = 20 K v 2.5 = 8 Se alege z = 0.1 şi polul rezultă p = 0.1/8. Diferenţa fazelor introduse de p şi z la polii dominanţi este de aprox. 1 o, şi de aceea s = 1 ± j2 este tot locaţia polilor dominanţi. Funcţia de transfer în buclă deschisă a sistemului compensat este: G c (s)g(s) = 5(s+0.1) s(s+2)(s+0.0125)
Exemplu Teoria sistemelor p. 18/28
Teoria sistemelor p. 19/28 Compensarea pe baza LR Specificaţiile sunt date în domeniul timp: localizarea polilor sistemului închis, suprareglaj, timp de răspuns, factor de amoritzare etc. Se consideră un sistem care e instabil sau are un răspuns tranzitoriu necorespunzător In bucla de reglare se introduce un element cu avans de fază în serie cu procesul.
Teoria sistemelor p. 20/28 Compensarea pe baza LR 1. Specificaţiile sistemului închis locaţia dorită a polilor dominanţi 2. Se schiţează LR a sistemului necompensat şi se verifică dacă performanţele pot fi îndeplinite fără compensator. 3. Se plasează zeroul direct sub polii dominanţi (sau la stânga primilor doi poli reali) 4. Se determină polul compensatorului astfel încât condiţia de fază (LR) este îndeplinită pentru sistemul compensat. 5. Se evaluează factorul de amplificare şi eroarea staţionară. 6. Dacă eroarea stationară nu e corespunzătoare se repetă paşii de mai sus.
Teoria sistemelor p. 21/28 Proiectarea regulatoarelor Se adaugă un zero la stânga primilor doi poli reali (pentru a nu afecta caracterul dominant al polilor doriţi). Explicaţie!
Teoria sistemelor p. 22/28 Proiectarea regulatoarelor Polii doriţi sunt plasaţi pe LR suma algebrică a fazelor este 180 o în acel punct. Se calculează unghiul de la polii dominanţi la polul compensatorului astfel încât să se respecte condiţia de fază. Se calculează factorul de amplificare.
Teoria sistemelor p. 23/28 Exemplu Se consideră un sistem de control cu reacţie negativă unitară cu funcţia de transfer a sistemului deschis: G(s) = k s 2 Răspunsul sistemului închis este oscilant pentru că: T(s) = G(s) 1+G(s) = k s 2 +k Specificaţiile pentru sistemul închis sunt: Timp de răspuns, t s 4 sec Supraregajul răspunsului la treaptă M p 35%.
Teoria sistemelor p. 24/28 Exemplu Se alege un regulator G c (s), unde G c (s) = s+z s+p, z < p Factorul de amortizare ζ se obţine din: Din timpul de răspuns: M p = e πζ/ 1 ζ 2 0.35 ζ 0.32 t s = 4 ζω n 4 ζω n 1 Polii vor fi plasaţi la un unghi de max α = arccosζ = 71.3 o, măsurat de la axa reală negativă.
Teoria sistemelor p. 25/28 Exemplu Se aleg polii dominanţi r 1,2 = 1±j2 cu ζ = 0.45 α 64 o. Se plasează zeroul regulatorului sub polii dominanţi s = z = 1. Faza totală la polii dominanţi este: (G c (s)g(s)) s=r1 = (r 1 +z) 2 (r 1 +0) (r 1 +p) = 90 o 2(180 o α) θ p = 142 o θ p = 180 o
Teoria sistemelor p. 26/28 Exemplu 180 o = 142 o θ p θ p = 38 o s = p = 3.6 Regulatorul este: G c (s) = k(s+1) s+3.6 şi funcţie de transfer în buclă deschisă a sistemul este: G c (s)g(s) = k(s+1) s 2 (s+3.6) Factorul de amplificare k se calculează din condiţia de modul: G c (s)g(s) s=r1 = 1, k = s 2 (s+3.6) s+1 = 2.232 3.25 s= 1+j2 2 = 8.1
Teoria sistemelor p. 27/28 Exemplu PI Examplu PI Funcţia de transfer a unui sistem necompensat este: G(s) = k 1 (2s+1)(0.5s+1) Se mai cere M p 10% ζ 0.6. Polii dominanţi se plasează sub un unghi α < 53 o undek 1 poate fi modificat. Se adaugă un regulator PI (pentru e st = 0) G c (s) = k 2 + k 3 s = k s+k 3 /k 2 2 s Se determină zeroul regulatorului astfel încât partea reală a polilor să fie ζω n = 0.75 t s = 4/(ζω n ) = 16/3
Teoria sistemelor p. 28/28 Exemplu PI Se determină locaţia zeroului z = k 3 /k 2 din condiţia de fază: 180 o = 127 o 104 o 38 o +θ z θ z = 89 o, z = 0.75 Se calculează factorul de amplificare: k = k 1 k 2 = 1.25(1.03)1.6 1 = 2.08 Zeroul k 3 /k 2 trebuie plasat la stânga polului s = 0.5 pentru ca polii impuşi să fie dominanţi. Deşi polii complecşi domină răspunsul, factorul de amortizare al sistemului închis este puţin mai mic decât ζ = 0.6 datorită zeroului.