Stabilitatea sistemelor liniare si invariante in timp
|
|
- Λευί Γερμανός
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Stabilitatea sistemelor liniare si invariante in timp In continuare ne vom referi la sisteme liniare si invariante in timp cauzale. Analiza stabilitatii sistemelor cu reactie negativa Motorul de curent continuu actioneaza platforma Sistem cu reactie pentru fixarea telescopului. v(t) Input voltage Motor Platform angular position (t) D + + K Motor (t) - K= KK Schema sistemului in bucla deschisa. Schema sistemului in bucla inchisa.
2 Sistem ce mentine pozitia unghiulara a telescopului prin reactie (feedback) Tensiunea de intrare aplicata motorului care roteste platforma Unghiul platformei Motorul actioneaza platforma Unghiul ei este (t) Schema sistemului in bucla deschisa Reglajul fin este dificil de obtinut Perturbatii (miscari ale platformei) nici o reactie 3 Sistem in bucla inchisa Unghi dorit Tensiune eroare u(t) tensiune de intrare u(t) ~ D - (t) Unghiul platformei Tensiune Perturbatii erori corectii Se cunoaste doar unghiul dorit D dar nu si structura sistemului cu reactie 4
3 Avantajele sistemelor in bucla inchisa Insensibilitate la perturbatii, Nu e necesar sa avem cunostinte amanuntite despre sistem. Aplicatii ale sistemelor in bucla inchisa Controlul proceselor chimice, Controlul temperaturii, Sisteme aerospatiale. Exemplu de sistem instabil, ce poate fi stabilizat prin reactie negativa. 5 Sisteme analogice stabilitate stricta Functia de transfer : gradul numaratorului mai mic decat cel al numitorului Polii functiei de transfer situati in semiplanul stang Stabilitate in sens larg Poli simpli pe axa imaginara j, Re{s}=0 Sisteme digitale stabilitate stricta Functia de transfer : gradul numaratorului mai mic sau egal decat cel al numitorului Polii functiei de transfer situati in interiorului cercului unitar Stabilitate in sens larg Poli simpli pe cercul unitar 6 3
4 Alte criterii pentru stabilitate BIBO Numitorul Q(s) al functiei de transfer H(s)=P(s)/Q(s) sa fie polinom Hurwitz Polinomul Q s cu coeficienti reali care are toate radacinile in semiplanul stang al planului complex. se numeste polinom strict Hurwitz, Daca are radacini simple pe axa imaginara, atunci este un polino m Hurwitz in sens larg. Toti coeficientii unui polinom strict Hurwitz sunt strict pozitivi. Toti coeficientii unui polinom Hurwitz in sens larg sunt pozitivi. Aceste conditii nu sunt si suficiente. 7 Criteriul de stabilitate al lui Hurwitz Conditia necesara si suficienta ca toate radacinile ecuatiei : n n Q( s) = a0 s + as an s + a = 0 a n 0 0 sa aiba partea reala strict negativa este toti determinantii minori principali in diagonala ai determinantului sa fie n strict pozitivi. a a a a... 0 n a 0 0 = 0 a a a a a a a. a a a a a n 4
5 n Determinantul are n linii si n coloane. Stricta pozitivitate a minorilor asigura stricta stabilitate a sistemului care are la numitorul functiei de transfer polinomul Q(s). Daca unul dintre minori este nul atunci sistemul este stabil in sens larg. Daca unul dintre minori este negativ atunci sistemul este instabil. Exemplu Se analizeaza stabilitatea sistemului descris de ecuatia diferentiala: d y t d y t d y t d y t dy t dt dt dt dt dt s + s + 7s + 4s + 0s x( t) y t = cu conditii initiale nule. Functia de transfer a sistemului H s = Coeficientii polinomului Q s. + 3 sunt: a =, a =, a = 7, a = 4, a = 0 si a = 3, strict pozitivi Sistemul s-ar putea sa fie stabil. Se aplica criteriul lui Hurwitz, n =
6 = Minorii principali in diagonala : a a3 a = 0, = = 3 0, 3 = a0 a a4 = 7 0 =... = 5 0, 7 0 a a = =... = = , k =,5 sistem strict stabil k = 3 = 4 0. Sisteme liniare cu reactie negativa Functii sistem ale caii directe (Forward-path): H(s) sau H(z) Functii sistem ale caii inverse (Negative feedback, feedback path): G(s) sau G(z) Functii sistem in bucla deschisa (open loop): H(s)G(s) sau H(z)G(z) Functii sistem in bluca inchisa (Closed loop) : = Y s H ( s) X ( s) = Q + H ( s) G ( s) ( z ) Q s = Y z H z X z = + H z G z Sistemul in bucla inchisa este strict stabil daca : - polii sunt in semi-planul stang (sisteme analogice) - polii sunt in interiroul cercului unitar (sisteme digitale) 6
7 Produsul H ( s) G( s) Y s H s Y z H z Q( s) = = ; = X s + H s G s X z + H z G z : functia de transfer in bucla deschisa. Sistemul in bucla inchisa este strict stabil daca radacinile ecuatiei + W s = 0 au partea reala strict negativa. Sistem in bucla deschisa: Functia de transfer in bucla deschisa = H ( s) G( s) L( z) = H ( z) G( z) L s Cateva aplicatii si consecinte ale reactiei Sistem Invers: Cunoscand sistemul direct P(s); se doreste sintetizarea sistemului invers / P(s). -sistem cu reactie in care: H(s)=K (castigul) si G(s)=P(s). Functia de transfer in bucla inchisa : Q s K = + KP s KP s P s Sistemul in bucla inchisa este chiar sistemul invers al P(s), pentru o valoare suficient de mare a castigului K 4 7
8 Exemplu O valoare mare a castigului K poate fi obtinuta cu ajutorul unui amplificator operational. Exemplu. Sistemul direct: derivator implementat cu ajutorul unui condensator (curentul prin condensator este proportional cu derivata caderii de tensiune de pe condensator P s = sc). Y s Sistemul invers: trebuie sa fie un integrator, Q( s) = = -. X s src P(s) Compensarea unor caracteristici neideale ale unor elemente de circuit Castig constant intr-o banda de frecvente pornind de la un amplificator cu variabil in acea banda. ( ) ( ) H s s= j H j Pentru G ( s) = K Q( s) = Q( j ) = + KH s + KH j Castigul in bucla deschisa: KH Daca in banda de frecvente de interes : KH ( j) castigul in bucla inchisa: Q( j) Q ( ) = cst K atunci H ( ) De obicei K< (deoarece castig constant este obtinut numai la atenuatoare) Q()>. Rezulta ca H( ) Q( ), deci se cere K castigul in bucla deschisa castigul in bucla inchisa 6 8
9 Stabilizarea sistemelor instabile, Exemple Sistemele instabile pot fi incluse in bucla inchisa pentru stabilizare (ex: zborul unei rachete pe o traiectorie) Exemplul # Sistem cu reactie proportionala b H ( s) =, a 0 si G ( s) = K s a H( s) b Q( s) = = + KH s s a Kb Pol: s = a Kbsemiplanul stang, daca Kb a p sistem stabil. Marimea de reactie este proportionala cu marimea de iesire (G(s)=K) 7 Al doilea exemplu b Functia de transfer a oscilatorului are poli simpli pe axa imaginara: H ( s ) =. s + a in cazul unei reactii proportionale G s = K, sistem in bucla inchisa b Q( s ) =. s + a + Kb sistemele de ordinul, adica daca exista atenuare. 0 ( s) Q 0 + 0s+ 0 = sunt stabile daca 0 0 si daca 0, s Analizand comparativ Q s si s rezulta ca nu putem influenta prin reactie proportionala decat deoarece = 0. Q t t Nu vom putea deci stabiliza oscilatorul numai prin reactie proportionala. De aceea includem in bucla de reactie si o componenta derivativa. G s = K + K s. b Q( s ) =. s + bk s + a + K b Sistemul in bucla inchisa este stabil daca a + K b 0 si bk 0. 9
10 Al treilea exemplu H ( z) = ; G ( z) = z. z Q z H( z) + G ( z) H ( z) ( ) z =. p = = Stabilitatea se obtine daca z p. z x[n] e[n] -z - y[n] z - Sisteme cu urmarire (tracking) Pilotul automat: intrarea este ruta dorita. Iesirea este ruta reala a avionului. 0 0
11 Pentru: = c p H( z) ; cu X ( z) H( z) H z H z H z H z Y ( z) = X z E z H z = Y z + E z = + Pe cercul unitar: E e j j j X e = + H e Eroarea trebuie sa fie neglijabila: j ( j ) Fara perturbari. e n 0, E e 0 H e mare O performanta buna de urmarire se obtine la un castig global foarte mare. Erorile modelate prin perturbatia d[n] H z H z Y ( z) = X ( z) D z + H z + H z j Erori mici inseamna castig mic: H( e ) Castigul trebuie sa fie mare (la frecvente joase) si mic (la frecvente inalte)
12 Instabilitati cauzate de reactie K e -st Amplificator Difuzor La microfon nu ajunge numai semnalul vocal ce provine de la vorbitor ci si un semnal nedorit de la difuzor. Apare astfel o bucla de reactie. Daca faza celor doua semnale este potrivita se produce intarirea sunetului generat de difuzor, pana la saturatia acestuia. K K amplificarea, atenuarea datorata propagarii sunetului prin aer. T - durata propagarii semnalului de la difuzor la microfon. K Microfon intrari audio totale la microfon iesiri la difuzor intrari audio de la vorbitor intrari audio de la difuzor (nedorite) K Q( s) = K K e = 0 e = K K st K K e st st ( 0 - conditie de instabilitate) s K K. Pe masura ce distanta dintre difuzor si microfon creste, atenuarea datorata aerului creste si deci K scade, sistemul putand deveni stabil. 4
13 Metoda locului radacinilor (Root-locus method) Polii sistemului cu reactie se reprezinta in functie de castigul K. cazul simplu: polii sunt cunoscuti Exemplu #, sistem digital z H ( z) = = ; G ( z) = z = z z z z Q z = = z = p ( ) z z ( ) 3 Sistem stabil daca z p 5 Exemplu #, sistem analogic s H ( s) = ; G ( s) = s s s Q( s) = ; sp = s ( ) Sistem stabil daca Re s 0 p 6 3
14 Cazul in care polii nu sunt cunoscuti Sisteme cu reactie cu castig variabil Y s X s KH s = + KH s G s Y s X s H s = + KH s G s 7 Punctele de capat ale locului radacinilor: polii sistemului in bucla inchisa pentru K=0 si K = Polii sunt dati de + KH s G s = 0 Pentru sistemul in bucla inchisa, polii depind de K: H ( s) G( s) = K Pentru K 0: H(s)G(s), solutia ecuatiei data de polii lui H(s)G(s) s pentru: H ( s) = ; G ( s) = H ( s) G ( s) = s s s = s = 0 s = Pentru K, /K 0, solutia data de zerourile lui H(s)G(s) 8 4
15 Criteriul variatiei argumentului K-real, s 0 pol al sistemului cu reactie, atunci jargg( s0) H ( s0) G s H s = G s H s e e jarg G s Arg G s ( 0) H ( s0) = H ( s ) 0 0 multiplu de multiplu impar de K = 0 G s H s 0 0 multiplu par de K = 0 G s H ( s ) Pentru: H s G s 0 = = s s s0 Arg = - s0 s0 castig = = s0 = s Locul radacinilor: s 0 pentru care argumentul functiei de transfer in bucla deschisa este -multiplu impar de pentru castig pozitiv K>0 -multiplu par de pentru castig negativ K<0 30 5
16 = = s+ s+ 3 ;G( s) H s Poli reali: s 0,s 0 : Arg G ( s0 ) H ( s0 ) = 0 K 0 s 0, 3 s 0 : Arg G ( s0 ) H ( s0 ) = - K 0 s 0,s 0 3 : ArgG ( s0 ) H ( s0 ) = - K 0 Poli complecsi. Pt ω pozitiv: K>0, pt ω negativ: la fel 0 : Arg G ( s0 ) H ( s0 ) 0 Arg G ( s0 ) H ( s0 ) = K 0 0:K0 3 Locul radacinilor pt K>0 (sistem stabil) K<0 (s-ar putea sa fie instabil) 3 6
17 G s H s = s ( s+ )( s+ 3) 33 G z H z z z = = z z z z
18 G s H s = s s ( + )( s + 4) Sistem stabil pentru K(0,48) K>0 Criteriul de stabilitate Nyquist Utilizarea criteriului de stabilitate Hurwitz presupune cunoasterea expresiei functiei de transfer in bucla inchisa a sistemului cu reactie. Exista situatii cand aceasta functie de transfer nu este cunoscuta: in cazul identificarii experimentale a unui sistem cu reactie, cand pot fi identificate doar raspunsurile in frecventa H si G. In aceste cazuri poate fi folosit criteriul lui Nyquist. Solutiile ecuatiei H ( s) G ( s) = depind de valoarea lui K. K Pot fi determinate valori ale lui K pentru care sistemul cu reactie sa fie stabil. Pe baza criteriului lui Nyquist pot fi determinate aceste valori prin examinarea functiei G j H j. Reprezentarea grafica in planul s a acestei functii poarta numele de hodograf al lui W s. In scopul formularii criteriului lui Nyquist se enunta in prealabil principiul variatiei argumentului, care da informatii despre hodograful unei functii complexe de variabila complexa. 8
19 ( ) ( ) cu modificandu-se de la - la - hodograf Nyquist al sistemului G j H j in bucla deschisa. hodograful Nyquist trebuie sa inconjoare punctul de coordonate -, 0 in sens K nc anti-orar de un numar de ori egal cu n i +. n - numarul polilor din semiplanul drept ai lui H s G s, n i C - numarul polilor de pe axa imaginara ai lui H s G s. Criteriul de stabilitate Nyquist pentru sisteme analogice Conditia necesara si suficienta ca sistemul in bucla inchisa considerat sa fie strict stabil este ca numarul de incercuiri ale punctului de coordonate -, 0 de catre hodograful Nyquist K al sistemului in bucla deschisa H j G j in sens antiorar cand se modifica de la - la, sa fie egal cu numarul polilor lui H s G s din semiplanul drept si de pe axa imaginara, nc adica cu ni +. Sistemul in bucla inchisa este strict stabil daca si numai daca numarul de incercuiri ale punctului de coordonate (-/K,0) de catre hodograful Nyquist H(jω)G(jω) al sistemului in bucla deschisa in sens trigonometric, pentru ω (-, ), este egal cu numarul polilor lui H(s)G(s) localizat in semiplanul drept. 9
20 Observatii. Daca sistemul in bucla deschisa este stabil atunci H s G s nu are poli in semiplanul drept si nici pe axa imaginara. Deci hodograful Nyquist al sistemului in bucla deschisa nu trebuie sa incercuiasca punctul de coordonate, 0. K ( ) ( ) =. Deoarece h t si g t sunt functii reale H j G j H j G j si deci * * * * ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = * * H j G j H j G j H j G j H j G j * * si arg H j G j = arg H j G j = arg H j G j = = arg H j G j din Hodograful Nyquist pentru domeniul de variatie a lui intervalul -,0 se obtine prin simetrie fata de axa reala a planului complex H s G s hodograful Nyquist pentru domeniul de variatie a lui cuprins in intervalul ( 0, ). * Exemplul # G( s) = ; H ( s) = H ( s) G( s) = s s s +. 5s + Exista doua modalitati de constructie a hodografului sistemului in bucla deschisa. Prima se bazeaza pe caracteristicile Bode (valorile H G si arg H G ) ale sistemului in bucla deschisa sau valorile Re H ( ) ( ) si G Im H G. 40 0
21 Deoarece sistemul in bucla deschisa este stabil pentru ca si sistemul in bucla inchisa sa fie stabil este necesar ca sa nu fie incercuit punctul de coordonate, 0. K 0 sau K K K 0 sau K adica K. Pentru reactia negativa, K > 0, stabilitatea este asigurata intotdeauna. Pentru reactia pozitiva, K < 0, avem din a doua conditie: - < K < 0 4 Exemplul # - Sistemul in bucla deschisa este instabil, avand un pol in semiplanul drept: ( s + ) G( s) H ( s) = s s+ - Sistemul in bucla inchisa stabil: daca punctul critic σ = -/K este inconjurat de hodograf o singura data in sens trigonometric. 0 K K 4
22 Exemplul #3 sistem acustic st K = K K G s H s = e = e ( + ) j( T+ G j H j = e )., st j ( + ) Modulul este unitar, argumentul are expresia T. Deoarece sistemul in bucla deschisa este stabil, hodograful Nyquist nu are voie sa incercuiasca punctul critic / K, sau K. Deoarece K si K au semnificatia de atenuari acustice, sunt pozitive Sistemul in bucla deschisa este stabil daca K K. 43 Cazul polilor sistemului in bucla deschisa situati pe axa imaginara +jm -jm Consideram cazul unui pol pe axa imaginara. ( s) H ( s) = s ( s + ) Pentru a aplica criteriul variatiei argumentului la fel ca in cazurile anterioare se considera conturul C, modificat, in asa fel incat sa fie ocolit polul de pe axa imaginara, printr - un semicerc de raza 0, in acelasi timp cu M. Im M C planul s j raza. Avem : -j Re G( j) H ( j) = = j( j + ) si lim Re G Valoarea produsului GH o constanta si deci nu apare nici o variatie a argumentului cand trece de la la -. Trebuie deci sa trasam hodograful Nyquist numai pentru axa imaginara si pentru semicercul de j 0 G ( j) H ( j) verticala a hodografului Nyquist. pe cercul de raza. e + M este j sgn+ arctg =, adica = este asimptota
23 0 - Ramane sa determinam comportarea produsului pe semicercul de raza ε. Im Deoarece raza tinde spre zero, variatia unghiului cauzata de polul -este nula. Im - -/K Arg{} π/ =- =+ Raza tinde la Re - ~ arctg 0 j θ -j Re 0 + Arg{} -π/ In schimb pe semicerc Arg Arg sau ΔArg G ( j) H ( j) G ( j) H ( j) = ( ) a hodogrfului cu - = 0 la = 0 G ( j) H ( j) + 80 = 0+ = 0 =. Aceasta in sens orar atunci cand se trece de la pe semicercul de raza. = si deci = inseamna o rasucire /K Im Arg{} π/ =- =+ Raza tinde la Re Pentru a determina valorile admise pentru castigul vom face mentiunea ca in interiorul conturului considerat nu seafla nici macar polul din origine, deoarece l - am lasat in afara, ocolindu - l prin dreapta cu semicercul de raza. In consecinta nu trebuie sa fie inconjurat de hodograf, pentru a avea stabilitat ea sistemului in bucla inchisa. Rezulta ca trebuie sa avem 0 sau K 0. K C punctul critic K, Arg{} -π/ 0 + 3
24 Cazul sistemelor in timp discret Pentru ca sistemul in timp discret in bucla inchisa sa fie stabil este necesar ca nici un zero al ecuatiei : R( z) = + G ( z) H ( z) = 0 sa nu fie in afara cercului unitate. K Fie : ˆR ( z) = R. z Daca z0 este un zero ( pol) al lui R( z) atunci este un zero (pol) al lui Rˆ ( z ). z Daca z 0 atunci. Orice zero (pol) al lui R( z) din exteriorul cercului z 0 unitate este un zero (pol) al lui ˆR z 0 situat in interiorul cercului unitate. Conform principiului variatiei argumentului daca z parcurge odata cercul incercuieste originea planului ( ) unitate in sens orar atunci Rˆ z Re Rˆ z,im Rˆ z in sens orar de un numar de ori egal cu diferenta dintre numarul de zerouri si de poli ai lui ˆR z situati in interiorul cercului unitate. j j Pe cercul unitate si. De aceea ˆ j j z = e = e R e = R e. z Evaluarea lui ˆR z, cand z parcurge odata cercul unitar in sens orar, este identica cu evaluarea lui R z, cand z parcurge odata cercul unitar in sens antiorar. Enuntul criteriului lui Nyquist pentru sisteme in timp discret Conditia necesara si suficienta pentru ca sistemul in bucla inchisa sa fie stabil este ca numarul de incercuiri in sens antiorar ale punctului de coordonate -, 0de catre hodograful K j j Nyquist al lui G e H e cand se modifica de la 0 la trebuie sa fie egal cu numarul polilor lui H z G z in exteriorul cercului unitate. care se gasesc 4
25 G z H z z = = Exemplul # + z z z + j j j( + ) j( + ) G e H e = = e = e j j vv v e e + Valorile maxime si minime pentru j j j j H ( e ) = 0, : G e H e = / 3 = : G e = 49 j j H ( e ) = ( + ) j j H ( e ) = 4 Arg G e Arg G e Sensul de parcurgere al hodografului este orar Se fac rotatii complete in jurul (0,0). Sistemul in bucla deschisa este stabil punctul critic nu trebuie sa fie inconjurat de hodograful lui Nyquist Sistemul in bucla inchisa este stabil pentru: / K or / K 0 K sau / K 0 ( 0) ( 0 ) K /,, 50 5
26 Exemplul # G( z) H ( z) = z z ( ) : pol pe cercul unitar j j j + j + G e H e = e = e v v v conturul cercului unitar C se modifica prin adaugarea unui semicerc de raza 0, care pastreaza polii in interiorul conturului. partea noului contur corespunzand cercului unitar 5 Ω θ Modul Faza Observatii π/3 π/3 -π π π / -π x=-3/ asimptota j j ( ) Arg G e H e = / + / = verticala Sistemul in bucla inchisa stabil daca: -/K< sau 0<K<. 5 6
27 Rezerva de amplificare si de faza Uneori este interesant sa se stie, pentru un sistem stabil, in ce masura poate fi modificata amplificarea sistemului si ce defazaj suplimentar poate fi introdus in sistem in asa fel incat el sa ramana stabil. Stable system Se numeste margine de amplificare a sistemului din stanga, valoarea minima a lui K pentru care sistemul din dreapta, pentru = 0 devine instabil. Se numeste margine de faza a sistemului din stanga, valoarea minima a lui, pentru K =, pentru care sistemul din dreapta devine instabil. j j j + H e G e K e = 0 Prin modificarea lui K sau a lui unul dintre polii functiei de transfer in bucla inchisa poate ajunge pe axa imaginara, in punctul j : j 0 Ke H j G j = 0 0 7
28 Conditia de instabilitate pentru al doilea sistem: j j j + H e G e K e = 0 Modificand K sau φ unul dintre polii sistemului in bucla inchisa se duce pe axa imaginara, in pozitia jω s Exemplu. G ( s) H ( s ) =. s ( + s ) + 0, 05s + ( 0, 5s) Deoarece sistemul in bucla deschisa este stabil,pentru ca sistemul in bucla inchisa sa ramana stabil este necesar ca punctul critic sa ramana in exteriorul hodografului. Rezerva de amplificare va fi distanta, pe axa reala, de la puctul critic la intersectia hodografului cu axa reala negativa. Pentru = 0, ecuatia devine: 0 0 jargg( j 0) H ( j0) K G j H j e =. Deoarece primii factori din membrul stang sunt pozitivi este necesar ca exponentiala complexa sa fie negativa. jargg( j) H ( j) Fie frecventa la care: e = Arg G j H j =. La frecventa are loc intersectia hodografului cu axa reala negativa. Rezerva de amplificare este K =. G ( j) H ( j) ( ) ( ) = ( ) ( ) Fie ω frecventa la care G j H j. Rezerva de faza va fi: = Arg G j H j. 8
29 Rezerva de amplificare: K = G j H j ( ) ( ) ω : G j H j =. Rezerva de faza: ( ) ( ) = Arg G j H j. 57 hodograful lui Nyquist pentru sistemul in bucla deschisa 58 9
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραAnaliza sistemelor liniare şi continue
Paula Raica Departmentul de Automatică Str. Dorobantilor 71-73, sala C21, tel: 0264-401267 Str. Baritiu 26-28, sala C14, tel: 0264-202368 email: Paula.Raica@aut.utcluj.ro http://rocon.utcluj.ro/ts Universitatea
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραAnaliza sistemelor liniare şi continue
Paula Raica Departamentul de Automatică Str. Dorobanţilor 7, sala C2, tel: 0264-40267 Str. Bariţiu 26, sala C4, tel: 0264-202368 email: Paula.Raica@aut.utcluj.ro http://rocon.utcluj.ro/ts Universitatea
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραStabilitatea circuitelor cu reacţie
Lucrarea 21 Stabilitatea circuitelor cu reacţie Scopul lucrării: prezentarea schemei bloc, a terminologiei şi a criteriilor de stabilitate specifice circuitelor cu reacţie, exemplificarea acestora folosind
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότερα10/31/2014. În evoluţia sistemelor dinamice unele semnale apar cu o anumită întârziere faţă de un anumit moment convenţional ales ca t = 0. (2.
Transformata F(s) definită de (.37) este univocă şi se numeşte transformata Laplace directă.. Transformata Laplace inversă este univocă numai în cazul funcţiilor f(t) continue şi se defineşte prin relaţia
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραProiectarea sistemelor de control automat
Teoria sistemelor p. 1/28 Proiectarea sistemelor de control automat Paula Raica Paula.Raica@aut.utcluj.ro Departamentul de Automatică Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Dorobantilor, sala C21 Baritiu,
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραLucrarea nr. 7: Reprezentarea în frecvenţă a funcţiilor de transfer. Criterii de stabilitate
Lucrarea nr. 7: prezentarea în frecvenţă a funcţiilor de transfer. Criterii de stabilitate. Scopul lucrării Se va face analiza comportării în frecvenţă a sistemelor de reglare automate (reprezentarea hodografului
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραTransformata Laplace
Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραLaborator 3 I.S.A. Stabilitatea sistemelor liniare şi răspunsul în frecvență.
Laborator 3 I.S.A. Stabilitatea sistemelor liniare şi răspunsul în frecvență. 1. Introducere...1 2. Stabilitatea sistemelor liniare...1 2.1 Stabilitatea internă...2 2.2 Stabilitatea externă...3 2.3. Exemple...4
Διαβάστε περισσότερα4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
Διαβάστε περισσότεραSisteme discrete liniare şi invariante în timp
PS Lucrarea 3 (partea a II-a) Sisteme discrete şi invariante în timp Lucrarea 3 (partea a II-a) Sisteme discrete liniare şi invariante în timp. Caracterizarea sistemelor discrete liniare, invariante în
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραa. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)
Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραErori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότερα( ) () t = intrarea, uout. Seminar 5: Sisteme Analogice Liniare şi Invariante (SALI)
Seminar 5: Sieme Analogice iniare şi Invariane (SAI) SAI po fi caracerizae prin: - ecuaţia diferenţială - funcţia de iem (fd) H() - funcţia pondere h - răpunul indicial a - răpunul la frecvenţă H(j) ăpunul
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραOvidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραDEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0
DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G
Διαβάστε περισσότεραLecţia a 4-a. Estimarea stării. Compensarea cu estimator
Lecţia a 4-a. Estimarea stării. Compensarea cu estimator Ideea de estimare a stării Reacţia inversă după stare nu poate fi realizată (implementată) efectiv fără cunoaşterea stării curente. S-a văzut (cazul
Διαβάστε περισσότεραA1. Valori standardizate de rezistenţe
30 Anexa A. Valori standardizate de rezistenţe Intr-o decadă (valori de la la 0) numărul de valori standardizate de rezistenţe depinde de clasa de toleranţă din care fac parte rezistoarele. Prin adăugarea
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότερα11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότερα1Reziduuri şi aplicaţii
Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2: Sisteme
Prelucrarea semnalelor Capitolul 2: Sisteme Bogdan Dumitrescu Facultatea de Automatică şi Calculatoare Universitatea Politehnica Bucureşti PS cap. 2: Sisteme p. 1/64 Sisteme discrete Sistem discret: transformă
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice
Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραProiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραa. 0,1; 0,1; 0,1; b. 1, ; 5, ; 8, ; c. 4,87; 6,15; 8,04; d. 7; 7; 7; e. 9,74; 12,30;1 6,08.
1. În argentometrie, metoda Mohr: a. foloseşte ca indicator cromatul de potasiu, care formeazǎ la punctul de echivalenţă un precipitat colorat roşu-cărămiziu; b. foloseşte ca indicator fluoresceina, care
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραTranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραLucrarea Nr. 5 Circuite simple cu diode (Aplicaţii)
ucrarea Nr. 5 Circuite simple cu diode (Aplicaţii) A.Scopul lucrării - Verificarea experimentală a rezultatelor obţinute prin analiza circuitelor cu diode modelate liniar pe porţiuni ;.Scurt breviar teoretic
Διαβάστε περισσότεραAparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1
Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric
Διαβάστε περισσότεραElectronică anul II PROBLEME
Electronică anul II PROBLEME 1. Găsiți expresiile analitice ale funcției de transfer şi defazajului dintre tensiunea de ieşire şi tensiunea de intrare pentru cuadrupolii din figurile de mai jos și reprezentați-le
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότερα