M A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D

LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS MATEMATIKOS KATEDRA Antanas Lapinskas M A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D (MOKOMOJI KNYGA) AKADEMIJA 006

UDK 0049 (0754) Sudarė: doc dr Antanas LAPINSKAS Apsvarstyta: Matematikos katedros posėdyje 006067 protokolo Nr 0 06 FMSI metodinės komisijos posėdyje 006098 protokolo Nr: 0 Recenzavo: doc dr Rimantas DIDŽGALVIS doc dr Algimantas KURLAVIČIUS Redagavo: A PABRICAITĖ

3 TURINYS PRATARMĖ 4 SKAIČIAVIMO PROCESO VALDYMAS 5 MATEMATINIŲ REIŠKINIŲ SKAIČIAVIMAS 7 3 SIMBOLINIAI SKAIČIAVIMAI 8 3 Algebrinių reiškinių pertvarkymai 8 4 LYGČIŲ IR NELYGYBIŲ SPRENDIMAS 0 5 GRAFIKŲ BRAIŽYMAS 4 5 Grafikų braižymas stačiakampėse koordinatėse 5 5 Grafikų braižymas polinėse koordinatėse 7 53 Lygčių f ( x) = 0 grafinis sprendimas 8 54 Erdviniai grafikai 9 6 DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS 4 6 Skaitmeninis diferencialinių lygčių sprendimas 4 6 Analitinis diferencialinių lygčių sprendimas 8 6 Lygtis su atskiriamaisiais kintamaisiais 9 6 Homogeninė lygtis 30 63 Tiesinė lygtis 3 64 Tiesinė su pastoviaisiais koeficientais diferencialinė lygtis 3 LITERATŪRA 35

4 PRATARMĖ MathCad yra programinės įrangos paketas, specializuotas matematinių, techninių ir ekonominių uždavinių sprendimui Iš panašių žinomų PC programinės įrangos paketų, kaip MATLAB, Maple, Matematika bei kitų šis paketas išsiskiria tuo, kad jame uždavinių sprendimo komandos rašomos simboliais, praktiškai nesiskiriančiais nuo klasikinės simbolikos Nors MathCad turi kiek mažesnes galimybes nei žinomi galingesni, specializuoti matematinių uždavinių sprendimui paketai, kaip Matematika, Aksiom ar Maple, tačiau šios galimybės pakankamai tenkina vartotojų, turinčių matematinio raštingumo lygį, pradedant vidurinės mokyklos abiturientu ir baigiant technologijų mokslo krypties mokslo darbuotoju, poreikius Vaizdžiau vertinant, MathCad galima vadinti XXI amžiaus skaitytuvais ar logaritmine liniuote MathCad panaudojimo efektyvumas priklauso nuo naudotojo matematinio bei kompiuterinio raštingumo lygio Sprendžiant uždavinius MathCad pagalba nebūtina žinoti įvairias skaičiuojamąsias procedūras Tuo pačiu MathCad naudotojas turi geriau suprasti sprendžiamų uždavinių fizinę ar geometrinę prasmę Galima teigti, kad naudojant MathCad negali būti lavinami matematinių uždavinių sprendimo skaičiuojamieji įgūdžiai Kartu šis paketas gali būti naudojamas kaip efektyvi priemonė, padedanti geriau suprasti sprendžiamų uždavinių geometrinę ar fizinę prasmę MathCad yra didelės įvairių matematinių priklausomybių bei uždavinių sprendimo rezultatų geometrinio vaizdavimo galimybės MathCad pakete yra patogi informacinė pagalbinė sistema Šią sistemą sudaro iš MathCad dialogo lango atidaromas daugelio skyrių žinynas Resource Center Taip pat iš MathCad dialogo lango atidarius dialogo langą Insert Function ir jame pažymėjus parinktos funkcijos vardą, pateikiamas trumpas jos aprašymas Papildomai iš šio dialogo lango gali būti atidarytas informacinės sistemos žinyno puslapis Šiame puslapyje pateikiama platesnė informacija apie Insert Function lange pažymėtą funkciją Ši metodinė priemonė skirta technologijos mokslo universitetinių studijų studentams Naudojantis MathCad paketu žymiai supaprastėja įvairūs matematiniai skaičiavimai bei padidėja šių skaičiavimų galimybės Dėl šios aplinkybės lieka daugiau laiko įvairių matematinių uždavinių fizinės prasmės išsiaiškinimui Tai ypač svarbu technologijos mokslų studijose Tenka sutikti su kai kurių kritikų nuomone, kad panaudojant PC matematinius programinės įrangos paketus, supaprastėja studentų lavinimas, orientuotas įvairių matematinių reiškinių pertvarkymui Įvertinant informacinių technologijų progresą, technologijos moksluose svarbiau mokėti nagrinėjamus reiškinius formalizuoti matematine simbolika, o atliekant gautų priklausomybių pertvarkymą racionalu pasinaudoti įvairiais PC programinės įrangos paketais

5 SKAIČIAVIMO PROCESO VALDYMAS Windows terpėje inicijavus MathCad programą monitoriaus ekrane atidaromas MathCad langas (žr pav), toliau vadinamas Darbo lapu pav Tipinis MathCad puslapis Valdymo komandų skydeliai: viršutinis pagrindinis Windows; vidurinis standartinė Windows Standart ; 3 apatinis MathCad simbolių Math Dešinėje darbo lapo pusėje išskleistos Math matricos Skaičiavimo komandų rašymo pradžia darbo lape indikuojama raudonu kryželiu, atsirandančiu po pelės rodykle, toliau PR, perkėlus į parinktą vietą ir paspaudus kairįjį pelės klavišą Tolesnio simbolių skaičiavimo komandoje rašymo vieta indikuojama mėlyna žyme Žymė gali būti perkeliama spustelėjant PC klaviatūros klavišus,,, arba tarpo įvedimo klavišą Skaičiavimo komandos gali būti užrašomos: reikalingus simbolius surenkant PC klaviatūra; reikalingus simbolius bei atskiras komandas pele perkeliant iš simbolių Math matricų; reikalingų funkcijų simbolius pele perkeliant iš atidaromo šių simbolių lango Insert Function Tolesniame aprašyme panaudoti veiksmų, atliekamų renkant skaičiavimo komandas, trumpiniai surašyti lentelėje

6 Eil Nr Veiksmo trumpinys objekto adresas, <*> objekto adresas, <<*>> 3 objekto adresas, >*< 4 objekto adresas, >>*<< 5 * 6 *&# 7 < > Veiksmų trumpiniai Veiksmo aprašymas lentelė PR perkeliama ties objektu * ir spustelėjamas kairysis pelės klavišas Tas pats, kaip ir pirma komanda, tik du kartus spustelėjamas kairysis pelės klavišas Tas pats, kaip ir pirma komanda, tik spustelėjamas dešinysis pelės klavišas Tas pats, kaip ir pirma komanda, tik du kartus spustelėjamas dešinysis pelės klavišas Paspaudžiamas PC klaviatūros klavišas su simboliu * Vienu metu paspaudžiami PC klaviatūros klavišai su simboliais * ir # PR perkeliama į laisvą vietą ir spustelėjamas kairysis pelės klavišas Atidarius MathCad PC klaviatūrą, automatiškai perjungiamas matematinių simbolių rašymas, tačiau šių simbolių rašymui patogiau naudoti Math komandas Matematinių simbolių matricos Math į darbo lapą perkeliamos taip: Pagrindinis Windows komandų skydelis, <Wiew>, Toolbars, <Math> Rezultatas: darbo lapo viršuje simbolių Math skydelis, papildytas MathCad žinyno skyriaus Tutorials atidarymo komandomis (žr pav apatinis komandų skydelis) PR perkėlę ties parinkta simbolių Math skydelio piktograma ir spustelėję kairįjį pelės klavišą atidarome atitinkamų matematinių simbolių matricą (žr pav darbo lape dešinėje dalyje) Tolesniame aprašyme dešinėje darbo lapo dalyje yra visos simbolių Math matricos: Calculator, Graph, Matrix, Evaluation, Calculus, Boolean, Programming, Symbolic, Greek (žr pav) Veiksmu: Math skydelis, <Go> atidaromas šalia žymės Go esančiame langelyje įrašyto MathCad žinyno skyrius Funkcijų simbolių perkėlimas iš Insert Function lango atliekamas atidarius šį langą veiksmu Standard skydelis, < f ( x) > Jei skydelio Standard nėra, tai reikia atlikti veiksmus: pagrindinis Windows komandų skydelis, <View>, Toolbars, <Standard> Dabar veiksmu: Standard skydelis, < f(x) > atidaromas Insert Function langas Insert Function lange yra daugiau kaip 50 funkcijų simbolių Visos Insert Function aplinkos funkcijos surašytos lango dešinėje dalyje, o lango kairėje dalyje Function Category pažymėtas skyrius All Kairėje Insert Function lango dalyje Function Category yra apie 30 funkcijų skyrių Lango Insert Function apačioje yra trumpas pažymėtos funkcijos aprašas Reikalingos funkcijos simbolis į pažymėtą darbo lapo vietą perkeliamas taip: pažymima vieta darbo lape, atidaromas Insert Function langas, dešinėje Insert Function lango dalyje Function Name pažymimas reikalingas funkcijos simbolis, Insert Function, <OK>

7 pavyzdys Trimis būdais užrašysime funkciją sinx: a) PC klaviatūra užrašome tokiais veiksmais: < >, s, i, n, Shift&9, x, Shift&0, Enter ; b) naudojantis Math matrica Calculator užrašoma tokiais veiksmais: < >, Calculatos, <sin>, x, < > ; c) naudojantis Insert Function simboliais užrašoma tokiais veiksmais: < >, Standard panelė, <f(x)>, Insert Function, Function Name, <sin>, Insert Function, <OK>, x, < > MATEMATINIŲ REIŠKINIŲ SKAIČIAVIMAS Funkcija y=f(x) užrašoma taip: funkcijos vardas ( argumento vardas ), :=, funkcijos simbolis, kurioje argumentas yra rašomas su funkcijoje parinktu vardu 3 pavyzdys Funkcija y = sin x užrašoma taip: ( ) 3 ( ( )) 3 y( x) := sin x arba y( x) := sin x Pastaba Čia ir toliau funkcijų vardai numeruojami numeriu, lygiu pavyzdžio numeriui Priešingu atveju viename darbo lape, rašant įvairius matematinius reiškinius, gali susidaryti daugiaprasmės komandos, kurios indikuojamos raudonai, kaip klaidingos Funkcijos y = f ( x) reikšmė f (a) skaičiuojama: a) užrašant funkcijos vardą taip: Funkcijos vardas ( argumento vardas ), :=, funkcijos simbolis su argumento vardu ; Funkcijos vardas (argumento reikšmė ), = 3 pavyzdys Funkcijos y = sin x reikšmė y = sin 3 apskaičiuojama taip: ( ( )) 3 y( x) := sin x y( ) = 0433 ; b) nerašant funkcijos vardo: funkcijos simbolis, kuriame argumento vietoje rašoma argumento reikšmė, = 3 pavyzdys Funkcijos sin x reikšmė sin apskaičiuojama taip: sin( ) = 0909 3 Funkcijos y = f ( x) reikšmių y i = f ( x i ) vektoriaus skaičiavimas gali būti atliekamas užrašant arba neužrašant funkcijos vardą Užrašant funkcijos vardą, jos reikšmių vektoriaus skaičiavimas atliekamas taip: užrašomas argumento x reikšmių vektorius xi arba jo apskaičiavimo komandos; užrašoma funkcija y = f ( x) ir jos reikšmių vektorius y i = f ( x i ); 3 skaičiavimo lape rašoma y i = arba y i = ir x i = β α 4 pavyzdys Funkcijos y = x reikšmių y i vektorius, dėl x i = i, N β = 0 ; = 0 i 0; N ; N = 5, apskaičiuojamas taip: α ; ( ) N := 5 i := 0 N α := 0 β := 0

8 ( ) i β α x4 i := N y4( x) := x y4 i := y4 i = x4 i = 0 0 44 449 88 36 4 6 8 0 y4( x4 i ) Pastaba Apatinio indekso žymė x rašoma veiksmu [, o intervalas veiksmu ; 3 SIMBOLINIAI SKAIČIAVIMAI Algebrinių reiškinių pertvarkymai, lygčių nelygybių sprendimas, matematinės analizės veiksmai MathCad aplinkoje realizuojami simboliniu skaičiavimu Bet kokio simbolinio skaičiavimo komanda yra kuri perkeliama iš Math komandų matricos Symbolic 3 pavyzdys Funkcijos y = cos x išvestinė apskaičiuojama taip: Pasinaudodami Math komandų matricomis Calculus ir d Calculator rašome cos(x) dx Šio užrašo pabaigoje iš Math komandų matricos Symbolic perkėlę simbolinių skaičiavimų komandų gauname rezultatą: d dx cos( x) sin( x) 3 Algebrinių reiškinių pertvarkymai Algebriniai reiškiniai pertvarkomi panaudojant matricos Symbolic komandas: float, expand, coeffs, collect, substitute, series, parfrac Po komanda float rašoma skaičiumi nurodomas skaičiavimo rezultato skaitmenų skaičius 3 pavyzdys Skaičiaus sin užrašymas 0 skaitmenų atliekamas taip: sin( ) float, 0 90997468 Komanda assume atliekami skaičiavimai, esant sąlygai, užrašytai po šios komandos 33 pavyzdys Reiškinys 3 c c, kai c apskaičiuojamas taip: 3c c assume, c 4 c Komanda simplify prastinami algebriniai reiškiniai d + 4d 3 34 pavyzdys Reiškinio prastinimas atliekamas taip: 4 3 d + 4d 6d d + 9

d + 4d 3 9 simplify d 4 + 4d 3 6d d + 9 d 3 Komanda factor atliekamas algebrinių reiškinių skaidymas Jei po šios komandos esančios žymės vietoje įrašoma daugianario reali šaknis skaidymas atliekamas neskaidant trinarių, kurių diskriminantas neigiamas Jei po šios komandos užrašoma kompleksinės šaknies menamoji dalis atliekamas skaidymas dvinariais 4 35 pavyzdys Reiškinio z 4 skaidymas atliekamas taip: R35( z) := z 4 4 z := z := ( ) z R35( z) factor, z z + + z R35( z) factor, z z + i z i z + z Komanda expand atliekamas algebrinio reiškinio skleidimas daugianariu Po šios komandos esančios žymės vietoje rašomas kintamojo vardas 36 pavyzdys Reiškinys ( z )( 3 z) ( z)( z + 3) daugianariu išskleidžiamas taip: ( ) 3 z R36( z) := z ( ) ( z) z + 3 expand, z z + 5 z Komanda coeffs parašomas daugianario koeficientų vektorius Po šios komandos esančios žymės vietoje rašomas kintamojo vardas 37 pavyzdys 35 pavyzdyje nagrinėto daugianario koeficientų vektorius parašomas taip: R36( z) coeffs, z 5 ( ) Komanda collect daugianaris išskleidžiamas ir surenkami panašūs nariai Po komandos collect esančioje žymėje rašomas argumento vardas 38 pavyzdys Daugianaris 3 z + ( 3z + 5)( z)( z + 3) komanda collect išskleidžiamas taip: z 3 + ( 3z + 5) ( z) ( z + 3) collect, z z 3 z z + 5 Komanda substitute parašomas reiškinys, apskaičiuotas atlikus pakeitimą, nurodytą po šios komandos Norint, kad atlikus pakeitimą būtų atliekami veiksmai su laipsniais, kartu su komanda substitute reikia panaudoti komandą series Šiuo atveju po komandos series pirmos žymės vietoje rašomas naujo kintamojo vardas, o antra žymė ištrinama 39 pavyzdys Reiškinyje 4z 7z z 5 z keitimas 4z 7z z 5 z substitute, z t 4 t 7 t 5 t 4z 7z z 5 z ( ) substitute, z t 5 t + 4 t 7 t 3 series, t 3 z = t atliekamas taip: ( )

0 Komanda series funkcija užrašoma dalinė Teiloro eilutės suma Po šios komandos pirmos žymės vietoje rašomas kintamojo vardas, o antros vienetu padidintas eilutės dalinės sumos kintamojo laipsnis Pastaba Komanda series skleidžiant funkcijas nenagrinėjamas gautos eilutės konvergavimas 30 pavyzdys Funkcija ln ( + sin z) daline Teiloro eilutės suma iki 5 kintamojo z laipsnio parašoma taip: ln( + sin( z) ) series, z, 6 z + + z 6 z3 z4 4 z5 Komanda parfrac (po komandos parfrac perkėlimo iš komandų matricos Symbolic gaunama: convert, parfrac) atliekamas racionaliųjų trupmeninių Qn ( z) funkcijų R( z) = skaidymas Šios komandos gale esančios žymės vietoje Pm ( z) rašomas kintamojo vardas Pastaba Norint atlikti racionaliųjų trupmenų skaidymą paprastomis, prieš šį skaidymą trupmenos vardiklis turi būti išskaidytas naudojant komandą factor 6 z 6 3 pavyzdys Racionali trupmeninė funkcija skaidoma taip: 4 z 4 Q3( z) := z 6 6 P3( z) := z 4 4 Q3( z) convert parfrac P3( z),, z z + z factor, P3( z) := P3( z) float, Q3( z) convert, parfrac, z P3( z) float, + ( ) ( z + ) ( z + ) ( z + 4) z 40 0-7 ( z 4) 4 z + 4 + 4 z 4 + 35 z + 0 factor, P3( z) := P3( z) float, ( z + 4 i) ( z 4 i) ( z + 4) ( z 4) Q3( z) convert, parfrac, z z 4 i i + + P3( z) float, z + 4 z + 4 i z 4 i 4 LYGČIŲ IR NELYGYBIŲ SPRENDIMAS 4 z 4 Lygtys ir nelygybės MathCad pagalba gali būti sprendžiamos tokiais būdais: Symbolic matricos komanda solve ; Insert Function funkcijomis Solving ; Graph matricos komanda x-y Plot (pirma piktograma) 4 Komanda Solve lygčių, nelygybių ar jų sistemų sprendimas atliekamas užpildžius sprendimo solve šabloną taip: kairės žymės vietoje rašant sprendžiamą lygtį, nelygybę ar jų sistemą; dešinės žymės vietoje nežinomųjų vardus Pastaba Rašant lygtis ar nelygybes lygybės ar nelygybės ženklai rašomi juos perkeliant iš komandų matricos Boolean

Pastaba Lygčių sistemų sprendimo komandoje solve, lygčių sistemos rašymui ir nežinomųjų vardų surašymui naudojama matrica vektorius, perkeliamas komandų matricos Matrix komandą Matrix or Vector (pirma piktograma) 4 pavyzdys Lygtis ax + bx + c = 0 sprendžiama taip: b b + ( 4 a c) a x a + b x + c 0 solve, x ( ) b b 4 a c a 4 pavyzdys Nelygybė x x 3 0 sprendžiama taip: x x x 3 0 solve, x 3 x x + 3y + x = 43 pavyzdys Lygčių sistema ln( x + y z) = sprendžiama taip: y z = 3 x x + 3 y z ln x + y z + ( ) y z 3 solve, float, y z 44 pavyzdys Nelygybių sistema x + y x + y 3 54 34 37 7 7 37 x + y sprendžiama taip: x + y = 3 x solve, y x + 3 x x y ( ) 4 Insert Function aplinkos funkcijos, skirtos lygčių ir jų sistemų sprendimui, randamos dalyje Function Category pažymėjus skyrių Solving Šį skyrių sudaro funkcijos: Find, lsolve, Maximize, Minimize, Minerr, polyroots, root Sprendimas funkcija Find atliekamas taip: PC klaviatūra užrašomas raktažodis Given ; po jo rašomos sprendžiamos sistemos lygtys ar nelygybės; po jų iš Insert Function perkeliama funkcija Find (,,), kurioje žymių vietose rašomi nežinomųjų vardai; iš komandų matricos Symbolic perkeliama simbolinių skaičiavimų komanda

x y = 45 pavyzdys Lygčių sistema x + yz = sprendžiama taip: z 3x = 3 Given x + y x + y z z 3 x 3 3 7 + i 7 i 6 67 i 6 + 67 i Find( x, y, z) float, 9 40 + 9 i 40 9 i 54 + 4 i 54 4 i 6 94 8 i 94 + 8 i 45 i + 45 i Funkcija lsolve sprendžiamos tiesinių lygčių sistemos M X = B Funkcijos lsolve(, ) šablone esančių žymių vietose rašoma: pirmos žymės vietoje prieš tai parašyta matrica M; antros prieš tai parašyta matrica B 3x y 3z = 46 pavyzdys Lygčių sistema x y = z sprendžiama taip: x y + 44z = 6 3 3 0 M := 0 B := X := lsolve( M, B) 4 6 Funkcijomis Maximize ( Minimize ) apskaičiuojamas tikslo funkcijos f x x,, ϕ x, x,,, (, x n ) maksimumo (minimumo) esant apribojimams i ( x n ) 0 argumentas ( x x,, ) T i,e taip:, x n Naudojant šią funkciją sprendimas atliekamas rašoma tikslo funkcija ir pradinės jos argumentų reikšmės; PC klaviatūra rašomas raktažodis Given ; rašomos apribojimų sąlygos; rašomas parinktas matricos vektoriaus vardas, po kurio rašomas priskyrimo ženklas := ir iš Insert Function lango perkeliama funkcija Maximize ( Minimize ); funkcijos Maximize ( Minimize ) žymių vietose rašoma: pirmos tikslo funkcijos vardas, sekančiose argumentų vardai; skaičiavimo rezultatas gaunamas užrašant skaičiuojamos matricos vardą ir lygybės simbolį = ; tikslo funkcijos maksimumo (minimumo) reikšmė apskaičiuojama parašant tikslo funkcijos vardą, kurioje vietoje argumentų vardų rašomos jų apskaičiuotos reikšmės ir po to užrašant lygybės simbolį = 47 pavyzdys Funkcijos z = 3 x y + 5 maksimumas, esant apribojimams x + y = 0; y apskaičiuojamas taip: z47( x, y) := 3 x y + 5 x := 0 y := Given x + y 0 y 999 H := Maximizez47 (, x, y) H = 00 z47( 999, 00) = 4999

3 Funkcija Minerr atliekamas taškų M i ( xi, yi ), i, n aproksimuojančios priklausomybės F ( x, α, β, γ ) parametrų α, β, γ kokybės kriterijaus S ( α, β, γ ) atžvilgiu apskaičiavimas Uždavinio sprendimas atliekamas taip: užrašomi x i ir y i empirinių reikšmių vektoriai, kartu nurodant šių vektorių komponenčių skaičių n ; užrašoma pasirinkta aproksimuojanti priklausomybė F ( x, α, β, γ ) ir nurodomos pradinės parametrų α, β, γ reikšmės; užrašoma kokybės kriterijaus funkcija S ( α, β, γ ); užrašomas raktažodis Given ir S ( α, β, γ ) = 0 ; iš komandų matricos Matrix perkeliamas matricos vektoriaus šablonas (pirma piktograma), kuriame surašomos komponentės α, β, γ Po šios matricos vektoriaus rašomas priskyrimo simbolis := ir iš Insert Function lango perkeliama funkcija Minerr ; funkcijoje Minerr (, ) esančių žymių surašomi parametrų α, β, γ vardai; parametrų α, β, γ reikšmės išvedamos užrašant jų vardus ir lygybės simbolį = M x, y, (žr 4 lentelę) 48 pavyzdys Taškus ( ) i i i 4 lentelė i 3 4 5 6 7 8 9 0 x i 0 0 0 4 4 4 7 7 7 9 9 9 y 5 7 5 34 8 5 46 50 6 83 9 i aproksimuosime kvadratine priklausomybe n imsime funkciją S( α, β, γ ) = ( yi ( αxi + βxi + γ ) i= funkcijos grafiką ir sužymėsime taškus ( x y ) y = α x + βx + γ Kokybės kriterijumi min Nubraižysime šios M i i, i Uždavinio sprendimas panaudojant funkciją Minerr atliekamas taip: x := ( 0 0 0 4 4 4 7 7 7 9 9 9 ) T y := ( 5 7 5 34 8 5 46 50 96 83 9 ) T n := i := 0 n ( ) α x ( ) F x, α, β, γ := + β x + γ α := 0 β := γ := S α, β, γ := y i F ( x i, α, β, γ ( )) i Given S( α, β, γ) 0 α β γ ( ) := Minerr α, β, γ α = 0877 β = 3 γ = 5509

4 00 ( ) F x, α, β, γ y i 50 0 5 0 x, x i 4 pav Funkcijos F( x α, β, γ ) = αx + βx + γ, grafikas Funkcijomis polyroots atliekamas lygties a 0 x + ax + + an = 0 sprendimas Funkcijos polyroots žymės vietoje rašomas sprendžiamos lygties daugianario vektoriaus vardas Šis vektorius prieš tai turi būti užrašytas 49 pavyzdys Lygtis t t 3 = 0 sprendžiama taip: 3 G t := t 3 coeffs, t X := polyroots( G) X = 3 5 GRAFIKŲ BRAIŽYMAS Grafikai braižomi panaudojant komandas, esančias komandų matricoje Graph : n n Matricos Graph komandų funkcijos surašytos 5 lentelėje 5 lentelė X-Y Plot (Grafikai Dekarto koordinatėse) Polar Plot (Grafikai polinėse koordinatėse) 3D Bar Plot (Histograma) Zoom, (Mikroskopas Grafiko dalies išskyrimas) Surface Plot (paviršiai Dekarto koordinatėse 3D Scatter Plot (Erdvinė linijos taškai) Trace (Pėdsakas) Contour Plot (Lygio linijos Dekarto koordinatėse) Vector Field Plot (Plokščias vektorinis laukas)

5 5 Grafikų braižymas stačiakampėse koordinatėse Grafikai stačiakampėse koordinatėse braižomi į parinktą ir pažymėtą darbo lapo vietą iš komandų matricos Graph perkėlus komandą x-y Plot Šiuo veiksmu atidarome grafiko braižymo langą, kurį toliau vadiname grafiko langu x-y Plot grafiko lange rašomi: apačioje esančios žymės vietoje argumentų vardai Jei viename brėžinyje braižomi keleto funkcijų grafikai, tai kiekvienos funkcijos argumentų vardai atskiriami, ženklu; kairėje esančios žymės vietoje rašomi funkcijų vardai arba jų išraiškos Jei norima rašyti tik funkcijų vardus, tai jų išraiškos turi būti užrašytos aukščiau grafiko lango Jei viename brėžinyje braižomi keleto funkcijų grafikai, tai jų vardai arba išraiškos atskiriamos, ženklu 5 pavyzdys Nubraižysime funkcijų 5 = x x = cost y ir grafikus: y = sin t y5( x) := x 00 y5( x) sin( t) 00 0 y5( x) sin( t) 00 0 0 0 x, cos ( t) x, cos ( t) 5 pav Funkcijų grafikai OXY koordinatėse Atlikę anksčiau nurodytus veiksmus gauname 5 pav kairėje esančiame grafiko lange pavaizduotus grafikus Šiuos grafikus iki pavidalo, pavaizduoto 5 pav dešinėje esančiame grafiko lange, pertvarkome tokiais veiksmais: brėžinio langas, < > ; ištriname argumentų intervalo galų koordinates -0 ir 0 ir vietoje jų įrašome - ir ; 3 ištriname funkcijų intervalo galų koordinate - ir 99 ir vietoje jų įrašome - ir ; 4 brėžinio langas, << >> 5 atliekame veiksmus atidarytame Formating Currently lange: 5 atidarę dalį X-Y Axes : panaikiname X Axis žymę Numbered ; panaikiname Y Axis žymę Numbered ; žymę Axis Style perkeliame į poziciją Crossed 5 atidarome dalį Traces ir pakeičiame grafikų linijų storį: trace Weight 3;

trace Weight 3 6 veiksmus baigiame atidaryto lango komanda OK M x, y ir juos interpoliuojančio splaino grafikai Taškų i ( i i ) Taškus ( x y ) 6 M i i, i interpoliuojantis splainas braižomas Insert function lango kairėje dalyje Function Category pažymėjus skyrių Interpolation and Prediction Interpoliacinės funkcijos panaudojamos taip: užrašomas taškų M i ( xi, yi ) reikšmių skaičiaus vardas ir jo reikšmė, bei indekso i kitimo intervalas; užrašomi x ir y empirinių reikšmių vektoriai; užrašomas pagalbinės funkcijos vardas ir po priskyrimo simbolio := Po to iš lango Insert Function perkeliama viena iš funkcijų spline, cspline, lspline ; perkeltoje funkcijoje esančių žymių vietose rašome: pirmos žymės vietoje pirmo kintomojo vardas; antros žymės vietoje antro kintamojo vardas toliau rašomas interpoliuojančios funkcijos vardas, kurios argumentas t, priskyrimo simbolis :=, o po jo iš Insert Function lango perkeliama funkcija interp funkcijos interp (,,, ) žymių vietose rašoma: pirmos žymės vietoje pagalbinės funkcijos vardas; antras žymės vietoje pirmo kintamojo vardas; trečios žymės vietoje antro kintamojo vardas; ketvirtos žymės vietoje interpoliuojančios funkcijos argumento vardas Splaininė interpoliacija grafiškai pavaizduojama taip: komandų matricos Matrix komanda atidaromas grafiko langas grafiko lango apatinės žymės vietoje rašoma: interpoliuojančios funkcijos argumento vardas ir pirmo kintamojo vardas su indeksu; grafiko lango kairės žymės vietoje interpoliuojančios funkcijos vardas ir antro kintamojo vardas su indeksu Toliau grafikai apiforminami analogiškai kaip tai buvo atlikta 5 pavyzdyje Be to taškų M i ( xi, yi ) vaizdavimui atidarius langą Formatting Currently dalyje Traces antrai linijai skyriuje Symbol pažymimas parinktas simbolis + 5 pavyzdys Taškus M i ( xi, yi ) (žr 5 lentelė) interpoliuosime splainu lspline ir šią interpoliaciją pavaizduosime grafiku 5 lentelė i 3 4 5 6 7 x i -9-7 -3 0 3 6 9 y 5 7 9 5 3 8 i Uždavinio sprendimą anksčiau aprašytais veiksmais atliekame taip: n := 7 i := 0 n x := ( 9 7 3 0 3 6 9 ) T y := ( 5 7 9 5 3 8 ) T z := lsplinex (, y) S( t) := interp( z, x, y, t)

7 5 S( t) y i 0 5 5 pav Taškų ( x y ) 0 0 0 i i i t, x i M, ir jų splino grafikai 5 Grafikų braižymas polinėse koordinatėse Grafikai polinėse koordinatėse braižomi analogiškai kaip ir stačiakampėse koordintėse panaudojant komandų matricos Graph komandą Polar plot 53 pavyzdys Analogiškai, kaip ir 5 pavyzdyje veiksmais, panaudoję komandą Polar plot nubraižome funkcijos ρ( ϕ) ϕ = cos grafiką Tiesiogiai panaudoję komandą Polar plot grafiką gauname tokį, koks jis pavaizduotas 53 pav kairėje Šį grafiką iki pavidalo, pavaizduoto 53 pav dešinėje pertvarkome taip: grafiko lange du kartus spustelėjame kairįjį pelės klavišą; dialogo lange Formating Currently atliekame veiksmus: skyrelyje dalyse Radial ir Angular, Polar Axes panaikiname žymes Numbered ir pažymime Grid Lines ; dalyje Axis Style pažymime Crossed atidarę skyrelį Traces pakeičiame pirmos linijos Trace storį Weight iki reikšmės 3 ρ53 φ ( ) := cos( φ) 50 0 90 5 60 30 ρ53 ( φ ) 80 05 0 ρ53 ( φ ) 0 330 40 70 φ 300 φ 53 pav Grafikai polinėse koordinatėse

Grafinis lygčių ( x) = 0 8 53 Lygčių ( x) = 0 f grafinis sprendimas f grafinis sprendimas atliekamas panaudojant komandų matricos Graph komandas x-y Plot, Zoom ir Trace Grafinio lygties f ( x) = 0 sprendimo nagrinėjimą atliksime lygties x cos x sin x = pirmos teigiamos šaknies skaičiavimo pavyzdžiu 53 pavyzdys Lygties x cos x sin x = 0 pirmą teigiamą šaknį apskaičiuojame taip: ) užrašome funkciją: y54( x) := x cos( x ) sin( x) + ) veiksmais, analogiškais atliktais sprendžiant 5 pavyzdį, nubraižome užrašytos funkcijos grafiką, pavaizduotą 54 pav 5 y54( x) 0 5 54 pav Funkcijos y54 ( x ) := x cos x sin( x) + grafikas x ( ) 3) spustelėjame kairįjį pelės klavišą grafiko lange; 4) spustelėję kairįjį pelės klavišą ties komandų matricos Graph antra piktograma atidarome dialogo langą x-y Zoom ; 5) pelės rodyklę grafiko lange perkėlę ties tašku, kuriame funkcijos grafikas kerta argumentų ( 0 x) ašį ir paspaudę kairįjį pelės klavišą apibraukiame nedidelę sritį apie šį tašką; 6) pelės rodyklę perkėlę dialogo lange x-y Plot ties žyme OK ir spustelėję kairįjį pelės klavišą grafiko lange gauname 55 pav pavaizduotą grafiką

9 y54( x) 5 3 35 x x0 := 6 55 pav Funkcijos y57(x) grafikas ties tašku y54:=0 7) pakartoję 4 veiksmą ir pelės rodyklę perkėlę ties komandų matricos Graph trečia piktograma langą x-y Trace ir spustelėję kairįjį pelės klavišą atidarome dialogo 8) pelės rodyklę grafiko lange perkėlę į tašką, kuriame funkcijos grafikas kerta 0 x ašį ir spustelėję kairįjį pelės klavišą dialogo lange x-y argumentų ( ) Trace langelyje X-Value gauname lygties x cos x sin x + = 0 sprendinio reikšmę x = 63 9) šią reikšmę darbo puslapyje nukopijuojame Funkciją z f ( x, y) Graph Surface Plot z f x, y 54 Erdviniai grafikai = atitinkantis paviršius braižomas komanda Funkcijos = ( ) lygio linijos f ( x y) = Ci, braižomos komanda Graph Contour Plot z = f x, y atitinkanti histograma braižoma komanda Graph 3D Funkciją ( ) Bar Plot Šiomis komandomis funkcijų grafikai braižomi Math Cad lape užrašius jų vardus ir jų išraiškas Ne aukščiau šio užrašo iš komandų matricos Graph atitinkama komanda perkeliama reikalingas grafiko langas Grafiko lange

0 esančios žymės vietoje užrašomas funkcijos vardas ir taip gaunamas su nagrinėjamos funkcijos grafikas 54 pavyzdys Funkcijos z = x + y paviršiaus, lygio linijų ir histogramos grafikai nubraižomi taip: z54( x, y) := x + y z54 z54 z54 a) b) c) 56 pav Funkcijos z : = x + y a grafikas; b lygio linijos; c histograma Komanda 3D Scater Plot braižomi erdvės taškų grafikai (erdvinių x = h( t) linijų grafikai) Erdvinė linija y = g( t) braižoma atliekant tokius veiksmus: z = r( t) užrašomas erdvės linijos taškų skaičius N ir argumento t reikšmių t i, i, N išraiška; užrašomos erdvės koordinačių x, y, z vardai ir išraiškos; užrašomos erdvės taškų koordinačių reikšmės esant argumento reikšmėms t i ; iš komandų matricos Graph komanda 3D Scater Plot perkeliamas grafiko langas, kuriame esančios žymės vietoje skliaustuose surašomi erdvės koordinačių vardai x = ( exp( 0,05t )) sin t 54 pavyzdys Spiralės y = ( exp( 0,05t )) cost grafikas braižomas taip: z = t π N := 00 i := 0 N t i := i 4 N x54( t) := ( exp( 005 t) ) sin( t) y54( t) := ( exp( 005 t) ) cos( t) z54( t) := t x54 i := x54( t i ) y54 i := y54( t i ) z54 i := z54( t i )

z54:= z54t ( x54, y54, z54) 57 pav Spiralė ( u, v) ( u, v) ( u, v) x = h Parametrine forma y = g z = r atliekant tokius veiksmus: užrašomi erdvės koordinačių funkcijų, išraiškos; užrašyto paviršiaus grafikas braižomas x, y, z vardai ir jų, kaip u ir v argumentų iš komandų matricos Graph komanda Surface Plot perkeliamas grafiko langas, kuriame esančios žymės vietoje skliaustuose surašomi erdvės koordinačių vardai x = ( 0 + cosu) cosv 543 pavyzdys Paviršiaus y = ( 0 + cosu) sin v grafikas braižomas taip: z = v a := 0 b := x543( u, v) := ( a + b cos( u) ) cos( v) y543( u, v) := ( a + b cos( u) ) sin( v) z543( u, v) := v ( x543, y543, z543) x 58 pav Paviršiaus = ( 0 + cosu) cosv, y ( 0 + cosu) sin v =, z = v

Komanda Graph Vector Field Plot ( x y) ( A( x, y), B( x y) ) braižomas vektorinio lauko F, =, grafikas Vektorinio lauko grafikas braižomas atliekant tokius veiksmus: užrašomi vektoriaus lauko vardas ir jo dedamųjų išraiškos, užrašomos kintamųjų x ir y reikšmių x i ir y i intervale [ A, B], [ C, D] apskaičiavimo išraiškos, M x, y, užrašomos vektorinio lauko dedamųjų, apskaičiuotų taškuose ( ) reikšmės, iš komandų matricos Graph komanda Vector Field Plot atidaromas grafiko langas, kuriame esančios žymės vietoje skliaustuose įrašomi vektorinio lauko dedamųjų vardai 544 pavyzdys Funkcijos z = x + y x y gradientinis gradz = ( z x, z y ) laukas braižomas taip: z544( x, y) := x + y x y d dx z544( x, y) gradz544( x, y) := d dy z544( x, y) A := 5 B := 5 C := 5 D := 5 Nx := 0 Ny := 0 i := 0 Nx x i := A + B A i j := 0 Ny y j := C + D C j Nx Ny V544 i, j := gradz544( x i, y j ) A544 i, j := V544 i, j B544 i, j := V544 i, j ( ) 0 ij ( ) i j ( A544, B544) 59 pav Funkcijos z = x + y x y gradientas Dviejų kintamųjų funkcijos z = f ( x, y) grafikas parinktoje srityje x [ a, b] [ c d], y, braižomas naudojant Insert Function lange skyriuje Function

3 Category Graph esančią funkciją CreateMesh Funkcija CreateMesh z = f ( x, y) grafikai braižomi tokiais veiksmais: užrašomas funkcijos vardas ir išraiška; užrašomas z = f ( x, y) grafiko braižymo funkcijos vardas ir po priskyrimo simbolio := iš Insert Function lango perkeliama funkcija CreateMesh ; funkcijos CreateMesh šablone esančių žymių vietose įrašoma: pirmos nagrinėjamos funkcijos vardas; antrosios ir trečiosios parinktos pirmojo kintamojo intervalo apatinė ir viršutinė reikšmės; ketvirtosios ir penktosios parinktos antro kintamojo intervalo apatinė ir viršutinė reikšmės; šeštosios parinkta taškų skaičiaus reikšmė; septintoji ir aštuntoji žymės ištrinamos 545 pavyzdys Funkcijos z = cos( y x) sin y intervale x ( 0;5), y ( 0;0 ) ir jos lygių linijų grafikai braižomi taip: F545( x, y) := cos( y x) sin( y) P := CreateMesh( F545, 0, 5, 0, 0, 30) P P 50 pav Funkcijos z = cos( y x) sin y ir jos lygių linijų grafikai ( u, v) (, v) ( u, v) x = F Funkcijos y = G u grafikai srityje u ( A; B), v ( C; D) funkcijos z = H CreateMesh pagalba braižomi atliekant tokius veiksmus: užrašomi erdvės koordinačių x, y, z vardai ir jų funkcinės priklausomybės nuo u ir v išraiškos; užrašomas nagrinėjamos funkcijos grafiko braižymo funkcijos vardas ir po priskyrimo simbolio := iš Insert Function lango perkeliama funkcija CreateMesh ; funkcijos CreateMesh šablone esančių žymių vietose įrašoma: pirmos, antros ir trečios erdvės koordinačių funkcijų vardai;

x 4 ketvirtos ir penktos pirmo parametro u parinkto intervalo apatinė ir viršutinė reikšmės; šeštos ir septintos antro parametro v parinkto intervalo apatinė ir viršutinė reikšmės; aštuntos parinkta taškų skaičiaus reikšmė 546 pavyzdys Sukinių, gautų sukant apie 0 x ir 0 y ašis kreivę y = xcos x, 0;, grafikai braižomi taip: y( x) := x cos( x) F5x( u, v) := u G5x( u, v) := y( u) cos( v) H5x( u, v) := y( u) sin( v) S5x := CreateMesh( F5x, G5x, H5x, 0,, π, π, 30) F5y( u, v) := u sin( v) G5y( u, v) := u cos( v) H5y( u, v) := y( u) S5y := CreateMesh( F5y, G5y, H5y, 0,, π, π, 30) [ ] S5x S5y 5 pav Sukinių apie 0 x (S5x) ir 0 y (S5y) grafikai 6 DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS PC programinė įrangos paketu MathCad diferencialinės lygtys gali būti sprendžiamos: skaitmeniniais metodais; analitiniais skaičiavimais; operaciniu metodu 6 Skaitmeninis diferencialinių lygčių sprendimas Diferencialinių lygčių skaitmeninis sprendimas sprendimas atliekamas panaudojant Insert Function aplinkoje skyriaus Function Category Differential Equation Solve funkcijas Šiame skyriuje yra apie 0 funkcijų Tarp šių funkcijų esančios funkcijos: multigrid, numo, Pdesolve, relax skirtos diferencialinių lygčių su dalinėmis išvestinėmis sprendimui Diferencialinių lygčių ar jų sistemų sprendimas Differntial Equation Solve funkcijomis atliekamas parinktos ir atidarytos funkcijos šablone esančių

5 žymių vietose tinkamai surašius reikalingus skaitmeniniam sprendimui argumentų vardus Šių argumentų išraiškos užrašius parinktus jų vardus po priskyrimo ženklo := rašomos aukščiau skaitmeninio sprendimo funkcijos šablono Skaitmeninio sprendimo funkcijos šablonas perkeliamas po priskyrimo simbolio :=, sekančio po užrašyto parinkto šios funkcijos vardo Trumpas bet kurios Differential Equation Solvin funkcijos naudojimo aprašymas atsiranda apatinėje lango Insert Function dalyje pažymėjus atitinkamą funkciją Esant reikalui, išsamesnį kiekvienos funkcijos naudojimo paaiškinimą galima rasti pelės rodyklę Insert Function lange perkėlus ties žyme ir spustelėjus jos kairįjį klavišą Taip minimaliai žinant anglų kalbą ir susipažinus su skaitmeniniais Koši uždavinio sprendimo principais galima sėkmingai parinkti tinkamą ir atlikti įvairių diferencialinių lygčių bei jų sistemų sprendimą Dauguma diferencialinių lygčių ir jų sistemų sėkmingai gali būti sprendžiamos Differential Equation Solving skyriaus funkcijomis: Bulstoer Bulizsch Stoer metodu; Radau RADAU5 metodas; Rkadapt Runge Kutta metodas; rkfixed Runge Kutta fiksuoto žingsnio metodas Šiomis funkcijomis sprendžiant diferencialines lygtis ar jų sistemas naudojami tie patys sprendimo parametrai, kurie surašomi sprendimo funkcijos šablone esančių žymių vietose Sprendimas pradedamas darbo lape užrašant: argumento intervalo kraštinės reikšmes; sprendinio ar jo vektoriaus dedamųjų reikšmes apatiniame intervalo taške; parinktą diskretizavimo taškų skaičių; diferencialinės lygties y = f ( t, y) ar jų sistemos dešinės pusės vardą ir išraišką Po šių užrašų darbo lape užrašomas skaitmeninio sprendimo funkcijos vardas ir po priskyrimo simbolio := iš Insert Function aplinkos perkeliama parinkta skaitmeninio sprendimo funkcija Funkcijų: Bulstoer, Radau, Rkadapt, rkfixed šablonuose esančių žymių vietose įrašoma: pirmos sprendinio ar jo vektoriaus apatiniame intervalo taške vardas; antros ir trečios argumento apatinės ir viršutinės reikšmių vardai arba reikšmės; ketvirtos diskretizavimo taškų skaičiaus vardas arba reikšmė; diferencialinės lygties ir ar jų sistemos dešinės pusės vardas Po skaitmeninio sprendimo funkcijos šablono užrašoma: parinktas argumento reikšmių vektoriaus vardas ir po priskyrimo simbolio := rašomas sprendinio vardas su viršutiniu indeksu 0 (nulinis sprendinio reikšmių matricos vektorius); parinktas sprendinio reikšmių vektorius vardai ir po priskyrimo simbolio := rašomas sprendinio funkcijos vardas su viršutiniu indeksu Panaudojant šias funkcijas galima komanda Graph x-y Plot nubraižyti sprendinių grafikus Sprendinio reikšmių matricą galima gauti užrašius skaitmeninio sprendimo funkcijos vardą ir po jo sekantį lygybės simbolį =

6 6 pavyzdys Diferencialinė lygtis y = sin( y t ) funkcija Bulstoer sprendžiama taip:, y ( 0 ) = 0 t [ 0;0 ] ( ) b0 := 0 b := 0 yb0 := 0 N := 000 f( b, yb) := sin yb b YB := Bulstoer( yb0, b0, b, N, f) b YB 0 := yb YB := 05 yb 05 0 4 6 8 0 6 pav Lygties y = sin( y t ) b sprendinys 3 6 pavyzdys Diferencialinė lygtis y + y + ( 00 t) y = t y ( 0 ) = ( 0 ) = t [ 0;5] skaitmeniniais metodais sprendžiama pakeitus: y = z, ( y = z0) y, Taip gaunama lygčių sistema: z0 = z, z0( 0) = (6) 3 z = t ( 00 t) z0 z, z( 0) = z Lygčių sistema (6) funkcija Rkadapt sprendžiama taip: Z T0 := 0 T := 5 Z0 := N := 000 D( T, Z) := T 3 ( 00 T) Z 0 Z SR := Rkadapt( Z0, T0, T, N, D) T SR 0 := yr SR := yr 0 3 4 5 3 6 pav Lygties ( ) T y + y + 00 t y = t sprendinys Šiek tiek kitaip diferencialinės lygtys ar jų sistemos sprendžiamos funkcija Odesolve Sprendžiant funkcija Odesolve darbo lape nuosekliai užrašoma: argumento kraštinės reikšmės kartu su jų vardais; PC klaviatūra raktažodis Given ; diferencialinės lygties ar jų sistemos; sprendinio ar jo vektoriaus reikšmės apatiniame argumento intervalo taške Pastaba Diferencialinės lygtys ir sprendinio reikšmės užrašomas naudojant logines lygybės simbolį =, perkeliamą iš komandų matricos Boolean sprendinio vardas arba jų vektoriaus vardų matrica ir po priskyrimo simbolio := iš Insert Function lango perkeliama funkcija Odesolve ; funkcijos Odelsolve šablone esančių žymių vietose rašoma:

7 pirmos: - ištrinama, jei sprendžiama viena diferencialinė lygtis; - diferencijuojamų funkcijų vardų vektorius, jei sprendžiama diferencialinių lygčių sistema antros argumento vardas; trečios argumento intervalo viršutinė reikšmė arba jos vardas, ketvirta žymė ištrinama 63 pavyzdys Diferencialinė lygtis y = sin( t cos y) t [ 0;0 ] funkcija Odesolve sprendžiama taip: y ( 0 ) = 0 intervale t0 := 0 t := 0 Given v' ( t) sin( t cos( v( t) )) v( t0) 0 v := Odesolve( t, t) v( t) 0 4 6 8 0 63 pav Lygties y = sin( t cos y) t sprendinys y 64 pavyzdys Diferencialinė lygtis y exp ( t) y + 00 = 0, y ( 0 ) = 0 y ( 0 ) = intervale t [ 0;] po pakeitimo y = v0, y = v parašoma diferencialinių lygčių sistema dv0 = v, v0( 0) = 0 dt dv = ( expt) v 00v0, v( 0) = dt Ši lygčių sistema funkcija Odelsolve sprendžiama taip: T0 := 0 T := Given d dt v0( T) d v( T) v0( T0) 0 dt v( T) exp( T) v( T) 00 v0( T) s0 v0 Odesolve s v, T, T := (6) v( T0) s0( T) 0 05 5 64 pav Lygties ( t) y 00 0 T y exp + y = sprendinys

8 6 Analitinis diferencialinių lygčių sprendimas Analitinis diferencialinių lygčių sprendimas atliekamas tinkamai panaudojant komandas iš komandų matricos Symbolic bei Calculus Komandų matricos Symbolic komandos buvo nagrinėtos 3 skyriuje Komandų matricos Calculus panaudojimas nors minimaliai žinant matematinės analizės principus nesudaro problemų Atliekant analitinį diferencialinių lygčių sprendimą darbo lape užrašomos teoriškai pagrįstos atitinkamų lygčių sprendimo programos Šių programų užrašymui pasinaudojama Programing, Boolean bei Matrix komandomis Programing matricos komandomis atliekami veiksmai: Add Line skaičiavimo programoje po vertikalaus brūkšnio pridedama nauja komandų eilutė; atliekamas vietinis po ženklo nurodytų veiksmų priskyrimas; if atliekami veiksmai jei tenkinamos po šios komandos užrašytos sąlygos; otherwise atliekami veiksmai, esant priešingoms anksčiau užrašytoms sąlygoms; for veiksmų ciklas; while veiksmų ciklas kol bus įvykdyta po šios komandos nurodyta sąlyga; break veiksmų vykdymo pertraukimas; continue veiksmų vykdymo atnaujinimas; return grįžimas vykdyti veiksmus, jei buvo rasta klaida 0, kai x <, kai x < 0 65 pavyzdys Funkcija y = naudojant Add Line; if ir sin x, kai 0 x 0, kai x othervise komandas taip: y6( x) := + x if x < 0 sin( x) if 0 x < 0 otherwise y6( x) 3 0 3 65 pav Funkcijos y y6( x) x = grafikas Boolean komandų matricoje yra loginių veiksmų komandos: =, <, >,,, reiškinių loginio lygybės ir palyginimo komandos Šių komandų panaudojimą galima rasti ankstesniuose pavyzdžiuose; - neigimas (loginis ne ); - konjukcija (loginis ir ); - disjunkcija (loginis arba );

9 - sumavimas dvejetainėje sistemoje (moduliu du ) Kai kurios matricos Matrix komandos buvo naudojamos anksčiau nagrinėtuose pavyzdžiuose Kitų komandų panaudojimas nėra sudėtingas Perkėlus pelės rodyklę ties bet kurios komandos piktograma indukuojamas atitinkamos komandos vardas Atliekant platesnius skaičiavimus su vektoriais ir matricomis papildomai dialogo lange Insert Function skyriuje Function Category Vector and Matrix yra apie 00 vektorinės ir tiesinės algebros funkcijų 66 pavyzdys Matricos A pirmo ir antro stulpelių vektorių v ir v skaliarinė ir vektorinė sandaugos Matrix komandomis apskaičiuojamos taip: 3 5 6 A := 4 8 3 7 v A 0 := v A := 3 9 5 4 skal := v v skal = 74 VEK := v v VEK T = ( 4 ) 67 pavyzdys Lygtis x x + = 0 Matrix komandomis užrašoma ir po to komanda Symbolic Solve išsprendžiama taip: B := ( 3 ) X( x) := ( x x ) B X( x) T 3 solve, x 6 Lygtis su atskiriamaisiais kintamaisiais Jei y' φ ( x) ψ ( y) tai Φ ( x) Ψ ( y) + C Φ ( x) φ ( x) d x 68 pavyzdys y' sin( x) cos( y) y0 := 0 x0 := Sprendimas φ ( x) := sin( x) ψ ( y) := cos( y) Φ ( x) := φ ( x) dx cos( x) Sprendžiame Koši uždavinį: solve, C Φ ( x0) Ψ ( y0) + C simplify 54 float, Ψ ( y) d y ψ ( y) Ψ ( y) := dy ln( sec( y) + tan( y) ) ψ ( y) Parašome sprendinį ir išreiškiame x: substitute, C 54 Φ ( x) Ψ ( y) + C solve, x float, ( ) x( y) := acos( ln sec( y) + tan( y) + 54) 3 acos( ln( sec( y) + tan( y) ) 54)

30 Nubraižome sprendinio grafiką: 4 x( y) φ Jei 0 4 6 8 0 66 pav Lygties y = sin x cos y grafikas 6 Homogeninė lygtis y = f ( x, y) = f ( t x, t y, tai keičiame y u x ( u) = f (, u) u Φ ( u) du Φ y( x) φ ( u) x 69 pavyzdys d dx y x + y + y x Sprendimas f( x, y) Skaičiuojame φ ( u) x + y + y x y ln( C x ) x0 := y0 := f( t x, t y) ( ) x = ir gauname u = φ( u) ( t x) + ( t y) + t y t x u + u u simplify u := Φ ( u) := du φ ( u) asin y ln( C x ) x Sprendžiame Koši uždavinį C asin y0 solve, C := ln( C x0 ) 85 x0 float, asin y solve, y ln (85 x ) sin( ln (85 abs( x) )) x x float, y( x) := sin( ln (85 x )) x asin( u)

3 Nubraižome sprendinio grafiką: 0 y( x) 30 0 0 0 0 0 30 0 67 pav Lygties y = x x y x + y grafikas v' u' Tiesinė lygtis z = z h( x) + g( x) v h( x) g( x) v( x) 63 Tiesinė lygtis keitimu z = u v užrašoma sistema v( x) exp h( x) dx 60 pavyzdys z z' w + sin( w) w0 := z0 := 0 Sprendimas čia h( w) := g( w) := sin( w) w Skaičiuojame g( x) u( x) dx v( x) v( w) exp g( w) := h( w) dw u( w) := w d w v( w) z( w) ( u( w) + C) v( w) Sprendžiame Koši uždavinį: z( x) ( u( x) + C) v( x) sin( w) w cos( w) C := ( u( w0) + C) v( w0) z0 solve, C 30 float, 3 Parašome sprendinį: z( w) := ( u( w) + C) v( w) sin( w) w cos( w) 30 w

3 Nubraižome sprendinio grafiką: z( w) 0 5 0 5 0 5 0 5 0 68 pav Lygties z = + sin( w) w z grafikas w 64 Tiesinė su pastoviaisiais koeficientais diferencialinė lygtis a y + b y + c y = Pn ( x) exp ( α x), jos sprendinys y ( x) = h( x) + g( x) h( x, a, b, c, C, C) D b 4 a c r r ( ) b a b D ( ) a C exp r x D ( ) + C exp( r x) if D > 0 ( C exp( r x) + C x exp( r x) ) if D 0 exp( Re( r ) x) ( C sin( Im( r ) x) + C cos( Im( r ) x) ) if D < 0 ( ) ( ) g( x) Q n ( x) exp α x if r α r α ( ) x Q n ( x) exp α x if r r r α r α ( ) x Q n ( x) exp α x if r r α 6 pavyzdys Sprendžiame lygtį: y'' + y' + 5 y ( x + ) exp( x) x0 := 0 y0 := 0 y'0 := 0 Sprendimas y ( x) = h( x) + g( x) Skaičiuojame sprendinio homogeninę dedamąja h(x) Užrašome ir sprendžiame charakteringąją lygtį: ame := charakteringaja b := c := 50 lygti ( ) T ( a b c ) r r x) matrica 0 solve, r + 7 i 7 i r := + 7i

Parašome funkcijų h(x) matricą: 33 ( ( ) x) ( sin( Im( r ) x) cos( Im( r ) x) ) T sin( 7 x) exp( x) H( x) := exp Re r cos( 7 x) exp( x) Rašome dalinį sprendinį g( x) = ( B x + D) exp( x) ir skaičiuojame koeficientus B, D: substitute, y ( B x + D) exp( x) [ y'' + y' + 50 y + ( x + ) exp( x) ] 0 G := exp( x) B + 50 D + 0 50 B + 0 substitute, y' substitute, y'' collect, x coeffs, x d dx [( B x + D) exp( x) ] d [( B x + D) exp( x) ] dx solve, ( B D ) 50 3 65 B + 50 D + 50 B + Parašome atskirtąjį sprendinį: g( x) := G ( x ) T exp( x) Sprendžiame Koši uždavinį: 50 x 3 65 exp( x) ( ( ) x) ( C sin( Im( r ) x) + C cos( Im( r ) x) ) exp Re r d x exp Re r d ( ( ) x) ( C sin( Im( r ) x) + C cos( Im( r ) x) ) + g( x) y0 + g( x) y'0 substitute, x x0 solve, ( C C ) T 8750 3 65 3 C := 8750 65 Parašome diferencialinės lygties sprendinį: y( x) := C H( x) + g( x) 8750 sin( 7 x) exp( x) + 3 65 cos( 7 x) exp( x) + 50 x 3 65 exp( x) Nubraižome sprendinio grafiką: y( x) 0 3 4 5 00 68 pav Lygties y + y + 5y = ( x + ) exp( x) x grafikas

34 Lygtys a z'' + bz' + cz f( t) z( 0) A z' ( 0) B bei jų sistemos gali būti sprendžiamos operaciniu metodu z 6 pavyzdys Operaciniu metodu išspręsime lygtį z + z + z = t exp( t) sin( t) z ( 0 ) = 0 ( 0 ) = 0 Sprendimas Apskaičiuojame istorines funkcijos f(t) vaizdą F(s): f( t) := t exp( t) sin( t) f( t) laplace, t s + simplify s + s + ( ) F( s) := s + ( ) s + s + Apskaičiuojame diferencialinės lygties sprendinio vaizdą Z(s): z'' + z' + z f( t) substitute, z'' substitute, z' substitute, z s Z( s) s Z( s) Z( s) substitute, f( t) F( s) solve, Z( s) s 5 + 5 s 4 + s 3 + 6 s + s + 4 Z( s) := s 5 + 5 s 4 + s 3 + 6 s + s + 4 Apskaičiuojame diferencialines lygties sprendinį z(t): z( t) := Z( s) invlaplaces, exp( t) exp( t) cos( t) t exp( t) sin( t) Nubraižome sprendinio grafiką: z( t) 05 0 4 6 8 0 69 pav Lygties z z z t exp( t) sin t t + + = grafikas sprendinys

35 LITERATŪRA Дьяконов В М MathCad 00: Учебный курс СПБ: Питер, Санкт Петербург, 00 605 с Дьяконов В М MathCad 00: Специальный справочник СПБ: Питер, Санкт Петербург, 00 83 с 3 Кудрявцев Е М MathCad 000 Pro M: DMK Пресс - Москва, 00 409 с 4 Сдвижков О А MathCad 000: Введение в компютерную математику ИТК "Дашков и Кº" Москва, 00 03 с 5 Sakalauskas L Informacinė technika inžinerijoje (paskaitų konspektas) Vilnius: TEV, 003 66 p 6 Misevičius G ir kt Aukštoji matematika Vadovėlis ir pratybos su kompiuteriu Vilnius: TEV, 999 469 p 7 Schoenberg On spline functions inequalities Acad Press, 967 9 p