MEKANIKA KLASIKOA. Juan M. Aguirregabiria. Fisika Teorikoa eta Zientziaren Historia Saila eta Euskara Institutua. Universidad.

MEKANIKA KLASIKOA Juan M. Aguirregabiria Fisika Teorikoa eta Zientziaren Historia Saila eta Euskara Institutua eman ta zabal zazu Universidad del País Vasco Euskal Herriko Unibertsitatea

ii Mekanika Klasikoa Copyright c 2000 2004 Juan M. Aguirregabiria Euskal Herriko Unibertsitatea, Zientzia eta Teknologia Fakultatea, Fisika Teorikoa eta Zientziaren Historia Saila, P. K. 644, 48080 Bilbo. Telefonoa: +34 946015915 Faxa: +34 946015399 Posta elektronikoa: wtpagagj@lg.ehu.es WWW orria: http://tp.lc.ehu.es/jma.html Osorik edo zatiz, eskuz, makinaz zein informatikaz kopiatzea, jabearen idatzizko baimenik gabe, debekaturik dago. LEHEN ARGITARALDIA: 2004.EKO UZTAILAREN 2 Egileak berak konposatu du testu hau L A TEX 2ε formatuan eta egin ditu argazki gehienak. Halaber, irudi gehienak egilearen Dynamics Solver programaren bidez marraztu dira. ISBN 84-8373-631-4 Azalean: Brakistokronoaren problema: Hiru bolatxo berdin aldi berean askatzen badira ezkerreko zuloetatik, zein heltzen da lehenago eskuineko ontzira? (Ikus 6.48 problema.) Aurreko orrialdean: Pendulu bikoitzaren eboluzio laua marruskadurarik gabe. Bi hagatxoak berdinak eta masa gabekoak dira eta mutur batetik loturik daude. Hagatxo baten beste muturra puntu finko batetik eseki da eta bestearenean masa bat dago. Hasieran hagatxoak geldirik eta (ia) posizio bertikalean zeuden, puntu finkoa duena gorantz eta bestea beherantz. Masaren higidura jarraitua marraztu arren, hagatxoenak hobeto ikusteko estroboskopio bat erabili da. Ikus 242. orriko 6.10 problema eta hurrengo simulazioa: http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/oszilazioak/bikoitza.ds

iii NIRE IKASLEEI

iv

HITZAURREA Euskal Herriko Unibertsitateko Zientzia eta Teknologia Fakultatean, Fisika lizentziaturaren bigarren ikasturtean, «Mekanika eta Uhinak I» eta «Mekanika eta Uhinak II» ikasten ari direnentzat idatzi da testu hau baina honek ez du esan nahi, inondik ere, ikasleak beste testulibururik erabili behar ez duenik: ikasten dena ulertzen eta sakontzen laguntzen dute ikuspuntu desberdinek. Azken hamaika ikasturteetako esperientziaz baliatu naiz liburu hau idazteko eta azken lau urteetan ikasleek erabili dituzte aurreko idatzaldiak. Lehen ikasturtean mekanikari buruz ikasten denaren laburpen aurreratua da 1. gaia, ikasleak han lortu zuen ezagutza finkatzen laguntzeko asmoz idatzia. Gai horretako oinarrizko kontzeptu fisiko emankorrak oso lagungarriak izango zaizkio beste gaiak ondo ulertzeko. 2. gaia ere lehen ikasturtean ikusi da, baina hemen tresna matematiko ahaltsuagoak matrizeak, hain zuzen erabiltzen dira. 3. gaian erlatibitate berezirako sarrera erraz bat egiten da eta 4.ean indar zentralak aztertzen dira. Solido zurruna da 5. gaiaren aztergaia eta mekanika analitikoa 6.arena. Oszilazio linealak 7. gaian ikasi ondoren, kasu ez-linealak aztertu beharko lirateke; baina ikastorduak urriak direnez, ez dira programan sartzen. Hala ere, 8. gaian kaos deterministarako sarrera bat jarri da. Uhinak aztertzen dira 9. gaian eta elastikotasuna eta fluidoen mekanika 10.ean. Material gehigarria ugaria da: datu fisiko, astronomiko eta matematikoen taulak A eranskinean biltzen dira eta osagarri matematikoak B delakoan. Badago, gainera, problemak ebazteko lagungarri gerta daitezkeen metodo orokorren bilduma bat C eranskinean. Ariketa asko tartekatzen dira testuan, ikasleak teorian azaldutakoa ulertu ote duen egiazta dezan. Enuntziatuan agertzen ez bada, ariketa bakoitzaren soluzioa D eranskinean dago. Gaien amaieran berrogeita hamar bat problema ebazten dira: batzuek teoria garatzen dute, beste batzuetan kalkulua nahiko luzea da eta, askotan, problemak ebazteko teknika interesgarriak erakusten dira. Gainera, ebatzi gabeko problemak laurehun baino gehiago dira eta gehienen soluzioak egiaztatzeko behar dena E eranskinean dago. Amaieran hiztegitxo tekniko bat dago, ikasleak jakin dezan nola esaten den euskaraz ikasi duena frantsesez, gaztelaniaz eta ingelesez. Testuan ikasturte batean ikus daitekeena baino gehiago badago ere, aitortu behar da testuliburu on askotan aztertzen diren zenbait gai hala nola potentzialaren teoria falta direla eta beste batzuen azalpena solido zurrunaren kasuan, adibidez ez dela sakonegia. Bestalde, gai erakargarrienak astrofisika, adibidez ikasi baino lehenago egin behar den fisikaren ikasketa sistematiko luzeak aspertzea eta etsipena sorraraz ditzake batzuetan ikasleengan. Problema hau gainditzen laguntzeko, askotan liburuetan ikusten ez diren problema eta gai interesgarri batzuk sartu dira testuan. Horrela, goian esan dugun bezala, programan ez dagoen kaos determinista aztertzen da. Gai hau, ahal dela, ordutegi normaletik at irakatsiko da ordenagailu-gelan, bide batez ikasleak zenbakizko simulazioa egiten ikas dezan. Ikaslearen jakin-mina sortzeko asmo berak bultzatu nau Interneten simulazio askotxo jartzera: dagozkien helbideak testuan agertzen dira eta zuzenean erabil daitezke idatzaldi elektronikotik. v

vi HITZAURREA Dokumentu elektronikoaren erabilera Testu honen idatzaldi elektronikoa ikusteko edo inprimatzeko, Acrobat Reader programa behar duzu. Doakoa da eta, oraindik ez badaukazu, hurrengo orrian lor dezakezu: http://www.adobe.com/products/acrobat/readermain.html. Testu hau ordenagailuaren pantailan ikusten ari bazara, paperezko idatzaldiak ez dituen hipertestuaren abantailak erabil ditzakezu. Horrela, formula bat aipatzen den bakoitzean, bere zenbakian klik eginez gero, formula dagoen orria ikusiko da pantailan. Aurreko posiziora itzultzeko, erabili View/Go To/Previous View menua edo sakatu atzera egiteko botoia: Gauza bera egin daiteke irudien, taulen, atalen, erreferentzien, orrien, orri-oinen zenbakietan eta hatz erakuslea agertzen den bakoitzean, hala nola WWW helbide baten gainean dagoenean. Azken kasuan, Internetekin konektatuta egonez gero, dagokion orria zabalduko da edo, dokumentu baten helbidearen kasuan, dokumentua ekartzeko edo zabaltzeko aukera edukiko duzu. Gogoratu dokumentu batzuk zabaltzeko, programa egokia behar duzula ordenagailuan. Testu honetan gehien erabiltzen dena, hurrengo orritik doan lor daitekeen Dynamics Solver da: http://tp.lc.ehu.es/jma/ds/ds.html. Huts-zuzenketak eta material osagarria http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika.html orrian aurki dezakete goian aipaturiko bi ikasgaietan matrikulatutako ikasleek material osagarria: ikasgaien programak, problema-zerrendak, liburu honen hutsen zuzenketak, azterketen soluzioak, zenbakizko simulazioak, eta abar. Eskerrak Eskerrik asko Ruben Alfonsori eta Unai Iriondori aurkitu zituzten hutsengatik eta Javi Zúñigari 9.77 irudiko Laue-ren diagramagatik. Zunbeltz Izaolak asmatu zuen nola idatzi L A TEX 2ε delakoan marratxo bat hurrengo lerroaren hasieran, lerro-aldaketa hitz elkartu baten marratxoan gertatzen denean 1. Eskerrik asko Zunbeltz. Jazinto Iturbek [38] liburuari buruz egin zizkidan oharrak kontuan eduki ditut testu honen azken orrazketan. Euskara Zerbitzuko Xabier Alberdik egin zizkidan oharrak eta zuzenketak onuragarriak izan dira. Besteak beste, jakinarazi zidan «kontserbakor» eta «konjokatu» hitzak, aspaldidanik erabiltzen baditugu ere, ez direla egokiak: orain «kontserbatzaile» eta «konjugatu» erabiltzen ditut. Bereziki eskertu nahi dut Martín Rivasen laguntza, ezin ordainduzkoa izan baita 5.14 irudiko esperimentua egiterakoan. Gainera, Martíni zor diot, besteak beste, 9.40 irudiko ostadarraren argazkia. Leioa, 2000 2004 ikasturteak 1 Ikus http://tp.lc.ehu.es/jma/basque.html.

AURKIBIDE OROKORRA HITZAURREA Dokumentu elektronikoaren erabilera........................... Huts-zuzenketak eta material osagarria.......................... Eskerrak.......................................... IRUDIEN ZERRENDA TAULEN ZERRENDA v vi vi vi xxiv xxv 1 Oinarrizko kontzeptuak 1 1.1 Partikula puntualaren zinematika......................... 2 1.1.1 Geometria euklidearra........................... 2 1.1.2 Posizioa.................................. 3 1.1.3 Denbora.................................. 4 1.1.4 Abiadura.................................. 5 1.1.5 Azelerazioa................................ 7 1.2 Partikula puntualaren dinamika.......................... 8 1.2.1 Galileo-ren inertziaren legea....................... 8 1.2.2 Newton-en bigarren legea......................... 11 1.2.3 Akzio eta erreakzioaren printzipioa.................... 15 1.3 Bulkada, lana eta energia............................. 15 1.3.1 Bulkada.................................. 15 1.3.2 Potentzia eta energia zinetikoa...................... 16 1.3.3 Lana.................................... 16 1.3.4 Indar kontserbatzaileak eta energia potentziala.............. 17 1.3.5 Indar-eremu zentralak........................... 19 1.3.6 Dimentsio bakarreko indar-eremua.................... 19 1.3.7 Osziladore harmonikoa.......................... 20 1.3.8 Energia mekanikoa............................ 20 1.3.9 Marruskadura............................... 21 1.4 Ebazpen-metodoak................................ 22 1.4.1 Denboraren menpeko indarra....................... 22 1.4.2 Higidura-konstanteak........................... 23 1.4.3 Aldagaien banantzea........................... 24 1.4.4 Koefiziente konstanteetako ekuazio diferentzial linealak......... 25 1.4.5 Hurbilketak................................ 26 1.4.6 Metodo kualitatiboak: energia-diagramak................ 27 vii

viii AURKIBIDE OROKORRA 1.5 Partikula-sistemak................................. 31 1.5.1 Magnitude kolektiboak.......................... 31 1.5.2 Eboluzio-ekuazio kolektiboak...................... 33 1.5.3 Kontserbazio-printzipioak......................... 33 1.5.4 Talkak................................... 33 1.5.5 Masa-zentroa............................... 34 1.5.6 Bi gorputzen problema.......................... 36 1.5.7 Talka elastikoak bi gorputzen probleman................. 37 1.6 Problema ebatziak................................. 43 1.6.1 Abiadura limitea.............................. 43 1.6.2 Bulkada.................................. 43 1.6.3 Oreka erlatiboa.............................. 44 1.6.4 Talka elastikoa............................... 45 1.6.5 Soluzio triangeluarrak........................... 45 1.7 Problemak..................................... 47 2 Higidura erlatiboa 53 2.1 Translazioa..................................... 54 2.1.1 Partikula-sistemak............................. 55 2.1.2 Masa-zentroaren sistema......................... 55 2.2 Orientazioa eta biraketak............................. 56 2.3 Euler-en angeluak................................. 58 2.3.1 ϕ angelua................................. 58 2.3.2 θ angelua................................. 59 2.3.3 ψ angelua................................. 60 2.4 Abiadura angeluarra................................ 61 2.5 Erreferentzia-sistema ez-inertzialak........................ 64 2.6 Inertzia-indarrak Lurraren gainazalean...................... 67 2.6.1 Laborategiko sistema erraztua...................... 67 2.6.2 Grabitate-azelerazioa........................... 69 2.6.3 Higidura bertikala............................. 70 2.6.4 Higidura horizontala........................... 70 2.6.5 Foucault-en pendulua........................... 71 2.6.6 Grabitatearen eraginpeko higidura.................... 72 2.7 Problema ebatziak................................. 73 2.7.1 Alderanzketak............................... 73 2.7.2 Biraketa-ardatza eta biraketa-angelua................... 74 2.7.3 Hiru gorputzen problema murriztu zirkularra............... 74 2.7.4 Lagrange-ren L 4 eta L 5 puntuak..................... 75 2.7.5 Coriolis-en efektua ekuatorean...................... 76 2.8 Problemak..................................... 77 3 Erlatibitate berezia 81 3.1 Mekanika «galilearra»............................... 82 3.1.1 Erreferentzia-sistema inertzialak..................... 82 3.1.2 Gertaerak................................. 83 3.2 Einstein-en postulatuak.............................. 84

AURKIBIDE OROKORRA ix 3.3 Minkowski-ren diagramak............................. 85 3.3.1 Aldiberekotasuna erlatiboa da...................... 86 3.4 Lorentz-en transformazioa............................. 87 3.4.1 Minkowski-ren diagramak........................ 89 3.5 Luzeraren uzkurdura eta denboraren zabalkuntza................. 90 3.5.1 Lorentz eta Fitzgerald-en uzkurdura................... 90 3.5.2 Denboraren zabalkuntza.......................... 92 3.6 Espazio-denborako tartea............................. 94 3.6.1 Espazio motako tarteak.......................... 95 3.6.2 Denbora motako tarteak.......................... 96 3.6.3 Argi motako tarteak............................ 97 3.6.4 Argi-konoa................................ 98 3.7 Abiaduraren transformazioa............................ 99 3.8 Momentu lineala.................................. 101 3.9 Masa eta energia.................................. 103 3.9.1 Pausaguneko energia........................... 105 3.9.2 Energiaren eta momentu linealaren transformazioa........... 106 3.9.3 Masa gabeko partikulak.......................... 107 3.9.4 Energia zinetikoa............................. 108 3.10 Indarra eta potentzia................................ 108 3.11 Compton-en sakabanatzea............................. 108 3.12 Fotoien igorpena eta xurgapena.......................... 110 3.12.1 Fotoi-igorpena............................... 110 3.12.2 Fotoi-xurgapena.............................. 110 3.13 Problema ebatziak................................. 111 3.13.1 Bikien paradoxa.............................. 111 3.13.2 Doppler efektua.............................. 111 3.13.3 Grabitate artifiziala............................ 112 3.13.4 Masa-zentroaren sistema......................... 113 3.13.5 Fotoi-suziria................................ 114 3.14 Problemak..................................... 115 4 Indar zentralak 121 4.1 Higidura-konstanteak eta soluzioak........................ 123 4.1.1 Dimentsio bakarreko problema baliokidea................ 124 4.1.2 Higidura erradiala............................. 124 4.1.3 Higidura angeluarra............................ 125 4.1.4 Orbitaren ekuazioa............................ 125 4.1.5 Binet-en formula............................. 126 4.1.6 Orbita zirkularren egonkortasuna..................... 127 4.2 Indar newtondarrak: Kepler-en problema..................... 128 4.2.1 Energia potentzial eraginkorra...................... 128 4.2.2 Orbitaren ekuazioa............................ 129 4.3 Kepler-en orbitak................................. 130 4.3.1 Orbita zirkularrak............................. 131 4.3.2 Orbita eliptikoak............................. 131 4.3.3 Kepler-en hirugarren legea........................ 133

x AURKIBIDE OROKORRA 4.3.4 Bertrand-en teorema............................ 133 4.3.5 Kepler-en ekuazioa............................ 135 4.3.6 Energia mekanikoa eta ardatz nagusia.................. 136 4.4 Orbita irekiak................................... 137 4.4.1 Orbita parabolikoak............................ 137 4.4.2 Orbita hiperbolikoak........................... 138 4.5 Sakabanatze newtondarra............................. 141 4.5.1 Sekzio eragilea.............................. 142 4.5.2 Rutherford-en sakabanatzea........................ 144 4.5.3 Sekzio eragile osoa............................ 145 4.5.4 Perizentroa eta nukleoen dimentsioa................... 146 4.5.5 Batez besteko ibilbide askea....................... 146 4.5.6 Sekzio eragileak masa-zentroan eta laborategian............. 147 4.6 Hiru gorputzen problema............................. 148 4.6.1 Hiru gorputzen problema murriztu zirkularra............... 148 4.7 Problema ebatziak................................. 150 4.7.1 Newton-en problema........................... 150 4.7.2 Kurba konikoak.............................. 151 4.7.3 Sateliteak................................. 151 4.7.4 Kometa.................................. 152 4.7.5 Hohmann-en orbita............................ 153 4.8 Problemak..................................... 155 5 Solido zurruna 161 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak......................... 162 5.1.1 Askatasun-graduak............................ 162 5.1.2 Abiadura-eremua............................. 163 5.1.3 Higidura-ekuazioak............................ 164 5.2 Ardatz finko baten inguruko higidura....................... 164 5.2.1 Momentu angeluarra eta inertzia-momentua............... 165 5.2.2 Indar-momentua.............................. 166 5.2.3 Biraketa-erradioa............................. 167 5.2.4 Energia zinetikoa............................. 167 5.2.5 Pendulu fisikoa.............................. 167 5.3 Inertzia-tentsorea................................. 168 5.3.1 Tentsoreak................................. 169 5.3.2 Inertzia-ardatz nagusiak.......................... 170 5.3.3 Balio propioen problema......................... 170 5.3.4 Inertzia-momentu nagusiak........................ 171 5.4 Ziba simetrikoaren prezesioa........................... 174 5.5 Euler-en ekuazioak................................ 175 5.5.1 Higidura askea.............................. 177 5.5.2 Ziba simetriko askea........................... 178 5.5.3 Higidura askea ardatz nagusi baten inguruan............... 179 5.6 Problema ebatziak................................. 181 5.6.1 Ardatz paraleloen teorema........................ 181 5.6.2 Steiner-en teorema............................ 181

AURKIBIDE OROKORRA xi 5.6.3 Eraztuna.................................. 182 5.6.4 Esferaerdi hutsa.............................. 183 5.6.5 Esfera birakorra.............................. 185 5.7 Problemak..................................... 186 6 Mekanika analitikoa 191 6.1 Koordenatu orokortuak eta loturak........................ 192 6.1.1 Problema mekaniko batzuk........................ 192 6.1.2 Lotura holonomoak............................ 199 6.1.3 Desplazamendu birtualak......................... 200 6.1.4 Konfigurazio-espazioa.......................... 202 6.2 D Alembert-en printzipioa............................. 203 6.3 Indar orokortuak.................................. 205 6.3.1 Indar kontserbatzaileak.......................... 206 6.3.2 Potentzial orokortuak........................... 207 6.4 Estatika analitikoa................................. 208 6.5 Bigarren motako Lagrange-ren ekuazioak..................... 210 6.6 Lehen motako Lagrange-ren ekuazioak...................... 213 6.6.1 Problemen ebazpena mekanika analitikoan................ 214 6.7 Hamilton-en printzipioa.............................. 217 6.7.1 Ekintza.................................. 217 6.7.2 Ekintza minimoaren printzipioa...................... 218 6.8 Lotura-indarrak eta Lagrange-ren biderkatzaileak................ 220 6.8.1 Lotura-indar orokortuak.......................... 221 6.8.2 Estatika analitikoa............................. 222 6.9 Momentu kanoniko konjugatuak......................... 223 6.9.1 Koordenatu ziklikoak eta kontserbazio-printzipioak........... 223 6.10 Hamiltondarra................................... 225 6.10.1 Hamiltondarra eta energia mekanikoa.................. 226 6.10.2 Hamiltondarraren kontserbazio-printzipioa: Jacobi-ren integrala.... 227 6.11 Legendre-ren transformazioa........................... 228 6.11.1 Hamiltondarra............................... 229 6.12 Hamilton-en ekuazio kanonikoak......................... 230 6.12.1 Fase-espazioa............................... 231 6.13 Aldagai dinamikoak fase-espazioan........................ 232 6.13.1 Koordenatu ziklikoak eta kontserbazio-printzipioak........... 232 6.13.2 Hamiltondarraren kontserbazio-printzipioa................ 232 6.13.3 Poisson-en makoak............................ 233 6.13.4 Liouville-ren teorema........................... 234 6.14 Problema ebatziak................................. 235 6.14.1 Lotura-indarrak.............................. 235 6.14.2 Gauge aldaezintasuna........................... 237 6.14.3 Higidura-konstanteak........................... 238 6.14.4 Oreka erlatiboa.............................. 238 6.14.5 Problema baliokideak........................... 240 6.15 Problemak..................................... 241

xii AURKIBIDE OROKORRA 7 Oszilazioak 251 7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa................... 252 7.1.1 Fasoreak.................................. 254 7.2 Osziladore indargetua............................... 255 7.2.1 Indargetze ahula.............................. 256 7.2.2 Gainindargetzea.............................. 256 7.2.3 Indargetze kritikoa............................ 257 7.3 Osziladore bortxatua................................ 257 7.3.1 Indar sinusoidala............................. 258 7.3.2 Inpedantzia................................ 259 7.3.3 Erresonantzia............................... 261 7.3.4 Energia-erresonantzia........................... 263 7.3.5 Gainezarmenaren printzipioa....................... 264 7.3.6 Indar periodikoa.............................. 264 7.3.7 Indar orokorra............................... 265 7.3.8 Oinarrizko problema........................... 267 7.4 Osziladore harmoniko anisotropoa bi dimentsiotan................ 267 7.4.1 Modu normalak.............................. 268 7.4.2 Lissajous-en irudiak............................ 268 7.5 Oszilazio mihiztatuak............................... 270 7.5.1 Modu normalak.............................. 270 7.5.2 Oszilazio bortxatuak........................... 273 7.6 Oszilazio txikiak eta koordenatu normalak.................... 274 7.6.1 Pendulu mihiztatuak........................... 276 7.6.2 Modu normal endekatuak......................... 281 7.6.3 Modu normal nuluak........................... 283 7.7 Tentsiopeko soka diskretua............................ 285 7.8 Tentsiopeko soka jarraitua............................. 288 7.9 Problema ebatziak................................. 290 7.9.1 Kalitate-faktorea............................. 290 7.9.2 Oszilazio ez-linealen periodoa...................... 291 7.9.3 Pendulu matematikoaren periodoa.................... 291 7.9.4 Pendulu bikoitza.............................. 292 7.9.5 Oszilazio elektrikoak........................... 295 7.10 Problemak..................................... 297 8 Kaos determinista 307 8.1 Tresna mekaniko baten eredu matematiko sinplifikatua.............. 308 8.2 Oszilazio periodikoak............................... 309 8.3 Oszilazio indargetuak............................... 310 8.4 Oszilazio bakartuak................................ 311 8.5 Erakarleak eta Poincaré-ren sekzioak....................... 312 8.6 Oszilazio kaotikoak................................ 313 8.6.1 Erakarle bitxiak.............................. 314 8.7 Fraktalak...................................... 315 8.7.1 Dimentsio fraktala............................. 316 8.8 Okinaren transformazioa eta Liapunov-en berretzaileak............. 317

AURKIBIDE OROKORRA xiii 8.9 Osin-muga fraktalak................................ 318 8.10 Sakabanatze kaotikoa............................... 320 8.11 Problema ebatziak................................. 322 8.11.1 Duffing-en ekuazioa............................ 322 8.11.2 Von Koch-en elur-maluta......................... 322 8.12 Problemak..................................... 324 9 Uhinak 325 9.1 Definizioa eta uhin-ekuazioa........................... 326 9.2 Uhin harmonikoak................................. 328 9.2.1 Fase-abiadura............................... 329 9.3 Uhin periodikoak................................. 329 9.4 Fourier-en analisia eta espektroa......................... 331 9.5 Talde-abiadura................................... 333 9.6 Uhin elastikoak barra batean........................... 334 9.6.1 Deformazio- eta tentsio-eremuak..................... 335 9.6.2 Higidura-ekuazioa............................. 336 9.6.3 Energia eta momentu linealaren hedapena................ 337 9.7 Presio-uhinak gas-zutabe batean.......................... 338 9.7.1 Soinua gas idealetan............................ 340 9.7.2 Intentsitatea eta energia.......................... 340 9.8 Zeharkako uhinak tentsiopeko soka batean.................... 341 9.8.1 Inpedantzia................................ 343 9.8.2 Polarizazioa................................ 343 9.9 Uhinak egitura periodiko batean.......................... 344 9.10 Uhinak kanal batean................................ 344 9.11 Uhinak bi eta hiru dimentsiotan.......................... 346 9.11.1 Uhin esferikoak.............................. 348 9.12 Uhin elektromagnetiko lauak........................... 349 9.12.1 Polarizazioa................................ 352 9.12.2 Poynting-en bektorea........................... 356 9.12.3 Argiaren abiadura ingurune materialetan................. 357 9.12.4 Espektro elektromagnetikoa........................ 358 9.13 Doppler efektua.................................. 360 9.13.1 Talka-uhinak............................... 361 9.13.2 Doppler efektu elektromagnetikoa.................... 362 9.14 Islapena eta errefrakzioa.............................. 364 9.14.1 Islapen eta errefrakzioaren legeak.................... 365 9.14.2 Barne-islapen osoa............................ 369 9.14.3 Islapen- eta transmisio-koefizienteak................... 370 9.15 Interferentzia.................................... 374 9.15.1 Bi zirrikituren esperimentua....................... 375 9.15.2 Iturri sinkronoen interferentzia...................... 377 9.15.3 Interferentzia film mehetan........................ 379 9.16 Uhin geldikorrak.................................. 381 9.16.1 Modu normalak eta aldagaien banantzea................. 382 9.16.2 Uhin geldikorrak bi dimentsiotan..................... 384

xiv AURKIBIDE OROKORRA 9.16.3 Uhin geldikorrak simetria zilindrikoan.................. 385 9.16.4 Uhin geldikorrak hiru dimentsiotan.................... 387 9.16.5 Uhin-gidak................................ 388 9.17 Difrakzioa..................................... 390 9.17.1 Fraunhofer-en difrakzioa zirrikitu luze batean.............. 390 9.17.2 Fraunhofer-en difrakzioa zulo zirkular batean.............. 393 9.17.3 Fraunhofer-en difrakzioa bi zirrikitu luze berdinetan........... 395 9.17.4 Difrakzio-sareak.............................. 396 9.17.5 Fresnel-en difrakzioa........................... 398 9.17.6 X izpien difrakzioa............................ 399 9.18 Problema ebatziak................................. 401 9.18.1 Erradiazio-presioa............................. 401 9.18.2 Doppler efektua.............................. 401 9.18.3 Fermat-en printzipioa........................... 401 9.18.4 Bi iturri sinkrono............................. 402 9.18.5 X izpien difrakzioa............................ 402 9.19 Problemak..................................... 404 10 Ingurune jarraituak 417 10.1 Elastikotasuna................................... 418 10.2 Solido elastiko isotropoak............................. 419 10.2.1 Bolumenaren deformazioa........................ 420 10.2.2 Zeharkako deformazio nulua....................... 421 10.2.3 Kontrako esfortzuak............................ 422 10.2.4 Ebakidura-esfortzuak........................... 422 10.2.5 Zeharkako uhinak barra batean...................... 424 10.2.6 Bihurdura-uhinak barra batean...................... 425 10.3 Deformazio-tentsorea............................... 426 10.3.1 Luzetarako deformazioak......................... 428 10.3.2 Ebakidura-deformazioak......................... 428 10.3.3 Bolumenaren deformazioa........................ 430 10.4 Esfortzu-tentsorea................................. 431 10.4.1 Presioa................................... 435 10.5 Elastikotasun-tentsorea.............................. 435 10.5.1 Gorputz homogeneo isotropoa...................... 435 10.6 Gorputz elastikoaren higidura-ekuazioak..................... 436 10.6.1 Indar elastikoen dentsitatea........................ 437 10.6.2 Eboluzio-ekuazioak............................ 438 10.6.3 Indar elastikoen momentuen dentsitatea................. 438 10.6.4 Solido homogeneo isotropoa....................... 438 10.6.5 Uhin elastikoak mugagabeko ingurune homogeneo isotropoetan.... 439 10.7 Fluidoak eta abiadura-eremua........................... 440 10.7.1 Korronte-lerroak.............................. 441 10.7.2 Bortizitatea................................ 442 10.7.3 Denborarekiko deribatuak......................... 442 10.7.4 Fluxua................................... 443 10.7.5 Jarraitutasunaren ekuazioa........................ 444

AURKIBIDE OROKORRA xv 10.7.6 Fluido konprimiezinak.......................... 445 10.8 Hidrostatika.................................... 445 10.8.1 Manometroa................................ 446 10.8.2 Barometroa................................ 446 10.8.3 Arkimedes-en printzipioa......................... 447 10.9 Fluido idealak................................... 447 10.9.1 Bortizitatearen eboluzioa......................... 448 10.9.2 Bernoulli-ren teorema........................... 450 10.10 Fluido likatsuak.................................. 452 10.10.1 Poiseuille-ren legea............................ 452 10.10.2 Navier eta Stokes-en ekuazioa...................... 454 10.11 Reynolds-en zenbakia............................... 455 10.12 Stokes-en eta Newton-en legeak.......................... 456 10.13 Gainazal-tentsioa................................. 458 10.13.1 Mintz esferiko baten bi aldeetako presioen diferentzia.......... 459 10.13.2 Ukipen-angelua.............................. 460 10.13.3 Kapilaritatea................................ 461 10.14 Problema ebatziak................................. 461 10.14.1 Deformazio-tentsorearen balio eta bektore propioak........... 461 10.14.2 Uraren konprimigarritasuna........................ 463 10.14.3 Pitot-en hodia............................... 463 10.14.4 Biskosimetroa............................... 464 10.14.5 Azalera osoaren bektorea......................... 465 10.15 Problemak..................................... 467 ERANSKINAK 477 A Datu-taulak 479 A.1 Konstante fisikoak.................................. 479 A.2 Partikulen masak................................... 480 A.3 Astronomia-unitateak................................ 480 A.4 Astroen ezaugarri fisikoak.............................. 481 A.5 Astroen orbita-parametroak............................. 481 A.6 Inertzia-momentu nagusiak............................. 482 A.7 Koloreak....................................... 483 A.8 Errefrakzio-indizeak................................. 483 A.9 Solidoen ezaugarri fisikoak............................. 484 A.10 Fluidoen ezaugarri fisikoak............................. 485 A.11 Bessel-en funtzio batzuen lehenengo zeroak.................... 485 A.12 (sin α/α) 2 funtzioaren maximoak......................... 486 B Osagarri matematikoak 487 B.1 Koordenatu-sistema erabilienak.......................... 487 B.1.1 Koordenatu cartesiarrak.......................... 487 B.1.2 Koordenatu polar zilindrikoak...................... 488 B.1.3 Koordenatu polar esferikoak....................... 489 B.2 Eremu bektorialak................................. 490

xvi AURKIBIDE OROKORRA B.2.1 Nabla eragilea............................... 490 B.2.2 Gradientea................................. 490 B.2.3 Errotazionala............................... 491 B.2.4 Dibergentzia................................ 492 B.2.5 Laplacetarra................................ 494 B.2.6 Eremu irrotazionalak........................... 495 B.2.7 Eremu solenoidalak............................ 495 B.2.8 Helmholtz-en teorema........................... 496 B.2.9 Adibideak elektromagnetismoan..................... 497 B.3 Zenbaki konplexuak................................ 498 B.3.1 Definizioak eta Argand-en diagrama................... 498 B.3.2 Aljebra konplexua............................. 499 B.3.3 Konplexu konjugatua........................... 499 B.3.4 Berreketa eta erroketa........................... 499 B.4 Integral eta funtzio eliptikoak........................... 500 B.5 Dirac-en delta................................... 501 B.6 Aldakuntzen kalkulua............................... 504 B.6.1 Aldaketa infinitesimalak eta mutur-puntuak............... 504 B.6.2 Loturadun muturrak............................ 506 B.6.3 Funtzionalak................................ 508 B.6.4 Muturreko kurbak............................. 508 B.6.5 Loturadun muturrekoak.......................... 511 C Problemak ebazteko metodoak 513 C.1 Problema ebazten hasi baino lehenago...................... 513 C.2 Problemaren planteamendua............................ 513 C.3 Kalkuluak egiteko................................. 513 C.4 Emaitzen egiaztapena............................... 514 C.5 Bestelako laguntza................................. 514 D Ariketa batzuetarako iradokizunak eta soluzioak 515 E Problema batzuen soluzioak 527 BIBLIOGRAFIA 547 AURKIBIDE ALFABETIKOA 553 HIZTEGIA 573

IRUDIEN ZERRENDA 1.1 Newton....................................... 1 1.2 Posizio-bektorearen osagaiak erreferentzia-sistema batean............ 2 1.3 OXY planoko puntu baten koordenatu polarrak.................. 3 1.4 Abiaduraren definizioa............................... 5 1.5 Abzisa lerromakurra eta arkua........................... 6 1.6 Triedro intrintsekoa................................. 7 1.7 Bi erreferentzia-sistema inertzial.......................... 10 1.8 Pendulu matematikoa................................ 12 1.9 Posizio-bektoreak estalitako azalera infinitesimala................. 14 1.10 Akzioa eta erreakzioa................................ 14 1.11 Desplazamendu infinitesimala eta indarra..................... 16 1.12 Malgukiaren deformazioa............................. 20 1.13 Oszilazio indargetua................................ 25 1.14 Energia-diagrama.................................. 27 1.15 Energia potentzial elastikoa............................. 28 1.16 Energia elastikoaren eboluzioa marruskadura dagoenean............. 29 1.17 Indarraren noranzkoa oreka-puntuen inguruan................... 29 1.18 Hurbilketa parabolikoa energia potentzialaren minimo baten inguruan...... 30 1.19 Masa-zentroaren sistema.............................. 35 1.20 Bi gorputzen problemaren geometria........................ 36 1.21 Jaurtigaia eta jomuga talka aurretik eta ondoren.................. 37 1.22 Talka elastikoa masa-zentroaren sisteman..................... 38 1.23 Laborategiaren eta masa-zentroaren arteko transformazioak............ 39 1.24 Laborategiko sisteman egindako azterketa..................... 39 1.25 Talka elastikoaren grafiko osoa........................... 40 1.26 Energia zinetikoaren transferentzia maximoa................... 41 1.27 Sakabanatze-angeluen arteko erlazioa....................... 41 1.28 Sakabanatze-angelua laborategian eta masa-zentroaren sisteman......... 42 1.29 Norantz higituko da?............................... 49 2.1 Foucault-en pendulua Pariseko Panteoian 1851n eta 2003an........... 53 2.2 Bi erreferentzia-sistema eta partikula bat...................... 54 2.3 Jatorri bereko S eta S triedroak.......................... 56 2.4 OZ ardatz bereko bi erreferentzia-sistema..................... 58 2.5 S eta S 1 erreferentzia-sistemak........................... 59 2.6 S 1 eta S 2 erreferentzia-sistemak.......................... 59 2.7 S 2 eta S erreferentzia-sistemak.......................... 60 2.8 Euler-en angeluak.................................. 60 xvii

xviii IRUDIEN ZERRENDA 2.9 Bi triedro orokorren arteko erlazioa........................ 61 2.10 Modulu konstanteko bektorearen biraketa infinitesimala............. 63 2.11 Tarteko erreferentzia-sistema............................ 64 2.12 Higidura zirkularra................................. 65 2.13 Partikularen sistema propioa............................ 66 2.14 Lurra eta laborategiko sistema erraztua....................... 67 2.15 Laborategiaren abiadura eta azelerazioa...................... 68 2.16 Pisua neurtzeko dinamometroa........................... 69 2.17 Erakarpen grabitatorioa eta indar zentrifugoa meridianoaren planoan....... 70 2.18 Coriolis-en indarra higidura horizontalean..................... 71 2.19 Foucault-en penduluaren oszilazio-planoaren biraketa............... 71 2.20 Tiro parabolikoa plataforma birakor batean.................... 78 3.1 Argiaren abiadura neurtzeko Foucault-ek erabili zuen tresna........... 81 3.2 Bi erreferentzia-sistema inertzialak v > 0 denean................. 83 3.3 S eta S erreferentzia-sistemen Minkowski-ren diagramak............ 85 3.4 S sisteman geldi dagoen partikularen unibertso-lerroa bi sistemetan....... 85 3.5 I iturritik igorritako fotoiak D 1 eta D 2 detektagailuetara iristen dira....... 86 3.6 γ koefiziente zinematikoaren grafikoa....................... 88 3.7 S sistemaren ardatzak, puntu finkoak eta gertaera aldiberekoak......... 89 3.8 Luzera propioaren neurketa............................. 90 3.9 Gorputz higikorraren luzeraren neurketa...................... 91 3.10 Denbora propioaren neurketa............................ 92 3.11 Erloju higikorraren denboraren neurketa...................... 92 3.12 Rossi eta Hall-en esperimentua Lurraren eta muoien sistemetan......... 93 3.13 Espazio motako tartea............................... 95 3.14 Denbora motako tartea............................... 96 3.15 Argi motako tartea................................. 97 3.16 G 0 gertaeraren argi-konoa............................. 98 3.17 Buruz buruko talka elastiko simetrikoa....................... 101 3.18 Talka simetrikoa partikula baten higidura horizontala kendu ondoren....... 102 3.19 Talka simetrikoa lerro batean............................ 103 3.20 Compton-en sakabanatzea............................. 109 4.1 Simulazio mekanikoa............................... 121 4.2 Partikula bat indar-eremu zentral batean eta bi partikulen problema........ 122 4.3 Momentu angeluarra eta koordenatu polarrak higidura-planoan.......... 123 4.4 Posizio-bektoreak t tartean estalitako azalera.................. 124 4.5 Energia potentzial eraginkorra........................... 128 4.6 Perizentroaren posizioa............................... 130 4.7 Orbita bornatuak.................................. 131 4.8 Orbita eliptikoa................................... 132 4.9 Potentzial eraginkorra eta absideen prezesioa V = kr kasuan........... 134 4.10 Bi orbita V = kr kasuan.............................. 134 4.11 Anomalia eszentrikoa eta benetakoa........................ 135 4.12 Anomalia eszentrikoaren eboluzioa........................ 136 4.13 Orbita parabolikoa................................. 138

IRUDIEN ZERRENDA xix 4.14 Orbita hiperbolikoak................................ 139 4.15 Sakabanatze newtondarra ardatzen bi aukera desberdinekin............ 141 4.16 Sorta baten sakabanatzea.............................. 142 4.17 Esfera tinkoa eta partikulen sakabanatzea..................... 143 4.18 Geiger eta Marsden-en esperimentuaren eskema.................. 144 4.19 α partikulen sakabanatzea............................. 145 4.20 Ibilbide askea eta partikula-sortaren intentsitatea................. 146 4.21 Bi gorputzen problema murriztu zirkularraren orbita bat............. 148 4.22 Puntu lagrangearrak eta bi orbita Lurraren eta Ilargiaren sisteman........ 149 4.23 Arenstorf-en orbita bat sistema birakorrean eta masa-zentroarenean....... 149 4.24 Arenstorf-en beste bi orbita sistema birakorrean.................. 150 5.1 Giroskopioaren prezesioa.............................. 161 5.2 Solido zurrunaren konfigurazioa ezagutzeko metodoa............... 162 5.3 Solido zurruna eta bi erreferentzia-sistemak.................... 163 5.4 Ardatz finko baten inguruko biraketa........................ 165 5.5 Hagatxo birakorra.................................. 166 5.6 Pendulu fisikoa................................... 168 5.7 Solidoaren higidura bere puntu baten inguruan.................. 168 5.8 Hagatxo arin batez loturiko bi masa........................ 172 5.9 OY Z simetria-planoa da eta OZ simetria-ardatza................. 173 5.10 Ziba simetriko arina grabitate-eremuan...................... 175 5.11 Laborategiko, espazioaren eta solidoaren sistemak................ 176 5.12 Solidoaren eta espazioaren konoak I x > I z eta I x < I z kasuetan......... 179 5.13 Tenis-erraketaren ardatz nagusiak......................... 180 5.14 Xafla eta bolatxoa.................................. 189 6.1 Roberval-en enigma estatikoa........................... 191 6.2 Pendulu esferikoa.................................. 194 6.3 Abiadura angeluar konstantez biratzen ari den hari erdizirkularra......... 195 6.4 Atwood-en makina................................. 196 6.5 Plano aldapatsua.................................. 197 6.6 Eraztun bat plano aldapatsuan........................... 198 6.7 Plano aldapatsu higikorra.............................. 199 6.8 Pendulu bikoitza.................................. 199 6.9 Plano aldapatsu higikorra.............................. 200 6.10 Desplazamendu birtuala planoaren higidura ezaguna denean........... 201 6.11 Bigarren desplazamendu birtuala planoaren higidura ezezaguna denean..... 201 6.12 Indarrak plano aldapatsu higikorraren kasuan................... 202 6.13 Hagatxoaren oreka................................. 209 6.14 Ekintza kalkulatzeko bi bide............................ 217 6.15 Osziladore harmonikoaren bi konfigurazio lotzen dituzten bide batzuk...... 219 6.16 Pendulu matematikoaren fase-espazioa....................... 231 6.17 Fase-espazioko eremu baten eboluzioa....................... 234 6.18 Energia potentzial eraginkorra eta orbita bat.................... 240 7.1 Milurtekoaren zubia................................ 251 7.2 Osziladore harmonikoaren (t, x) diagrama eta fase-espazioa........... 253

xx IRUDIEN ZERRENDA 7.3 Elongazioa, abiadura eta dagozkien fasoreak.................... 255 7.4 Osziladore harmoniko indargetuaren (t, x) diagrama eta fase-espazioa...... 256 7.5 Osziladore harmoniko gainindargetuaren (t, x) diagrama eta fase-espazioa.... 256 7.6 Osziladore indargetuaren denbora karakteristikoa................. 257 7.7 RLC zirkuitua.................................... 257 7.8 Osziladore bortxatuaren kanpo-indarra, hiru soluzio eta fase espazioa...... 258 7.9 Kanpo-indarraren eta soluzio iraunkorraren fasoreak............... 259 7.10 Erantzun iraunkorraren A anplitudea........................ 261 7.11 Anplitudea γ/ω balio desberdinetarako...................... 262 7.12 Batez besteko energia zinetikoa eta potentzia................... 263 7.13 Bulkada infinitesimalen batura modura uler daiteke f(t) indarra......... 267 7.14 Lissajous-en irudiak................................ 269 7.15 Pendulu batek egindako Lissajous-en irudiak................... 269 7.16 Oszilazio mihiztatuak................................ 270 7.17 Lehen modu normala................................ 271 7.18 Bigarren modu normala............................... 271 7.19 C 1 eta C 2 koefizienteak............................... 273 7.20 Modu normalak Mathematica-ren bidez...................... 277 7.21 Pendulu mihiztatuak................................ 278 7.22 Pendulu mihiztatuen modu normalak........................ 279 7.23 Penduluen eboluzioa mihiztadura ahularen kasuan................ 280 7.24 Penduluen eboluzioa θ 2 (0) = θ 1 (0)/2 kasuan.................. 280 7.25 Penduluen eboluzioa luzeren arteko erlazioa l 2 = 2l 1 denean........... 281 7.26 Malguki batzuen gainean jarritako xafla...................... 281 7.27 Molekula lineal triatomikoaren eredu bakuna................... 283 7.28 Formaldehidoaren bibrazio-modu normalak.................... 285 7.29 Tentsiopeko soka diskretua N = 3 partikula berdinekin.............. 285 7.30 N = 14 kasuko modu normalak.......................... 287 7.31 N = 50 eta N = 100 kasuetako soka diskretuaren pultsazio propioak...... 287 7.32 Tentsiopeko soka jarraitua............................. 288 7.33 Soka jarraituaren lehenengo bost modu normalen anplitudeak.......... 289 8.1 Sakabanatze kaotikoa................................ 307 8.2 Tresna mekanikoa.................................. 308 8.3 Tresna mekanikoaren eredua............................ 308 8.4 Fase-espazioa eta soluzio batzuk γ = f = 0 kasuan................ 309 8.5 Fase-espazioa eta soluzio batzuk γ = 0.2, f = 0 kasuan............. 310 8.6 Erakarpen-osinak γ = 0.2, f = 0 kasuan..................... 311 8.7 Duffing-en ekuazioa γ = 0.2, f = 0.23 kasuan.................. 311 8.8 Proiekzioak eta Poincaré-ren sekzioa........................ 313 8.9 Duffing-en ekuazioa γ = 0.2, f = 0.3 kasuan................... 313 8.10 Hasieran oso hurbil dauden bi orbita γ = 0.2, f = 0.3 kasuan.......... 314 8.11 Duffing-en erakarlearen sekzio estroboskopikoa t mod 2π = 0 kasuan...... 315 8.12 Duffing-en erakarlearen sekzio estroboskopikoaren bi handipen......... 315 8.13 Cantor-en multzoa eraikiz............................. 316 8.14 Von Koch-en elur-maluta eraikiz.......................... 316 8.15 Segmentuaren eta karratuaren estalkiak...................... 317

IRUDIEN ZERRENDA xxi 8.16 Von Koch-en kurbaren estalkiak.......................... 317 8.17 Okinaren transformazioa.............................. 318 8.18 Duffing-en ekuazioaren osinak f = 0.1, 0.15 kasuetan.............. 319 8.19 Duffing-en ekuazioaren osinak f = 0.2, 0.23 kasuetan.............. 319 8.20 Duffing-en ekuazioaren osinen handipenak f = 0.2 kasuan............ 320 8.21 Energia potentziala eta lau orbita E = 0.26 denean................ 320 8.22 Sakabanatze-funtzioa E = 1.2 denean....................... 321 8.23 Sakabanatze-funtzioa E = 0.26 denean...................... 321 8.24 Sakabanatze-denbora E = 0.26 denean...................... 321 8.25 8.3 problemako fraktala............................... 324 9.1 Interferentzia.................................... 325 9.2 Funtzio baten bi transladatuak a > 0 kasuan.................... 326 9.3 Magnitude baten hedapena v > 0 kasuan..................... 327 9.4 Uhinaren t = ktea. eta x = ktea. ebakiak..................... 327 9.5 Uhin harmonikoaren eboluzioa puntu batean eta une batean duen profila..... 328 9.6 Uhin angeluzuzena................................. 330 9.7 Gibbs fenomenoa.................................. 330 9.8 Pultsu karratua eta bere espektroa......................... 332 9.9 Modulazio osoa eta partziala............................ 333 9.10 Uhin-pakete baten eboluzioa ingurune sakabanatzaile batean........... 334 9.11 Barra elastikoaren estatika eta dinamika...................... 335 9.12 Tarte infinitesimal batean sekzio normala zeharkatzen duen energia....... 338 9.13 Gas-zutabea orekan eta higiduran......................... 339 9.14 Zeharkako uhina soka batean............................ 342 9.15 Polarizazio zirkularreko uhina tentsiopeko sokan................. 343 9.16 Partikulen ibilbideak kanal batean hedatzen den uhin harmonikoan........ 345 9.17 Uhin laua...................................... 346 9.18 Uhina mintz tenkatuan eta elementu diferentzialak pairatutako indarrak..... 347 9.19 Uhin zirkularrak ur-azalean............................. 350 9.20 Uhin elektromagnetiko laua............................ 351 9.21 Uhin elektromagnetiko lau harmonikoa OX ardatzean.............. 352 9.22 Malus-en legea................................... 353 9.23 Kaltzitaren birrefringentzia............................. 354 9.24 Fotoelastikotasuna................................. 355 9.25 Kristal likidoak, zerua eta polarizazioa....................... 355 9.26 Tarte infinitesimal batean sekzio bat zeharkatzen duen energia.......... 356 9.27 Espektro elektromagnetikoa............................ 358 9.28 Argi zuria...................................... 359 9.29 Doppler efektua................................... 360 9.30 Doppler efektua kasu desberdinetan........................ 361 9.31 Talka-uhina..................................... 362 9.32 Talka-uhinak uretan................................. 362 9.33 Doppler efektuaren Minkowski-ren diagrama................... 363 9.34 Xurgapen-espektro baten gorriranzko eta urdineranzko lerrakuntza........ 364 9.35 Islapena eta errefrakzioa.............................. 365 9.36 Uhin-fronteen eta izpien islapena eta errefrakzioa................. 365

xxii IRUDIEN ZERRENDA 9.37 Islapen eta errefrakzioaren geometria....................... 366 9.38 Ispilu-islapena eta islapen lausoa.......................... 367 9.39 Argiaren errefrakzioa................................ 368 9.40 Prisma batek sortutako espektro ikusgaia eta ostadar bikoitza........... 368 9.41 Islatzea....................................... 369 9.42 Eskuinean barne-islapen osoa gertatzen da..................... 369 9.43 Islapen osoa eta zuntz optikoa........................... 370 9.44 Zeharkako uhinak bi soka desberdin lotutan.................... 370 9.45 Pultsuak ezkerreko (eskuineko) soka astunagoa denean.............. 372 9.46 Eremu elektrikoaren osagaiak........................... 372 9.47 Argi islatuaren polarizazioa angelu desberdinetan................. 374 9.48 Bi iturri puntualetatiko uhin esferikoen interferentzia............... 375 9.49 Bi zirrikituren esperimentua............................ 376 9.50 Bi zirrikituren esperimentuaren intentsitatea eta interferentzia-zerrendak..... 377 9.51 N iturri sinkrono berdin.............................. 378 9.52 Iturri sinkronoen interferentzia........................... 379 9.53 Lau antena sinkronoen intentsitatea........................ 379 9.54 Islapena film mehean................................ 380 9.55 Interferentzia film meheetan............................ 381 9.56 Modu normalak gas-zutabe batean......................... 383 9.57 Uhin geldikorrak mintz karratu batean....................... 384 9.58 Harea pilatzen da mintz bibrakor bateko nodo-lerroetan.............. 385 9.59 Uhin geldikorrak mintz zirkular batean....................... 386 9.60 (n x, n y, n z ) koordenatuetako espazioa....................... 387 9.61 Bi plano infinitu paralelo.............................. 388 9.62 Lehen modu normalak............................... 389 9.63 Zuntz optikoak................................... 390 9.64 Difrakzioa zirrikitu estu luze batean........................ 391 9.65 Fraunhofer-en difrakzioa zirrikitu estu batean................... 392 9.66 tan α = α ekuazioaren ebazpen grafikoa...................... 392 9.67 Difrakzio-ereduak iturri batekin eta birekin.................... 393 9.68 Fraunhofer-en difrakzioa zulo zirkular batean................... 394 9.69 Fraunhofer-en difrakzioa zulo zirkular batekin eta birekin............. 394 9.70 Fraunhofer-en difrakzioa bi zirrikitutan...................... 395 9.71 Bi zirrikituren interferentzia eta difrakzioa..................... 396 9.72 Interferentzia-diagrama difrakzio-sare batean................... 396 9.73 Difrakzioa ehun batean zehar eta holograma bat.................. 397 9.74 Fresnel-en difrakzioa zirrikitua zabaltzean..................... 398 9.75 Fresnel-en difrakzioa geometria desberdinekin.................. 398 9.76 X izpien difrakzioa kristal-sare batean....................... 399 9.77 Laue-ren difrakzioa................................. 400 10.1 Gainazal-tentsioaren ondorio ikusgarria...................... 417 10.2 Gorputz elastikoen portaera eskematikoa...................... 418 10.3 Barra elastikoa deformatzen da F indarrak pairatzean............... 419 10.4 Barra elastikoa presio hidrostatiko uniformearen menpean............ 420 10.5 Zeharkako deformazio nulua............................ 421

IRUDIEN ZERRENDA xxiii 10.6 Kontrako esfortzuak................................ 422 10.7 Ebakidura-esfortzuak kubo batean......................... 423 10.8 Zeharkako uhinak barra batean........................... 424 10.9 Bihurdura barra batean............................... 425 10.10 Barraren elementu infinitesimala.......................... 425 10.11 dr elementu infinitesimalaren deformazio orokorra................ 426 10.12 Ebakidura-deformazioa eta biraketa........................ 429 10.13 Bolumenaren aldaketa infinitesimala........................ 430 10.14 Gainazal infinitesimal bat.............................. 432 10.15 Esfortzuak elementu infinitesimal batzuetan.................... 432 10.16 Orekan dagoen kubo bat.............................. 433 10.17 Bi gainazal kuboaren barruan............................ 434 10.18 Gorputz elastiko baten barruko bolumen bat.................... 437 10.19 Korronte-lerroak une batean eta bi une hurbiletan................. 441 10.20 Kurba itxia eta mugatzen duen gainazal orientatua................. 442 10.21 Gainazal bat eta bere elementu infinitesimal bat.................. 443 10.22 Gainazal itxia eta inguratzen duen bolumena................... 444 10.23 Manometroa eta barometroa............................ 446 10.24 Arkimedes-en printzipioa.............................. 447 10.25 Zilindro luze bat jario konprimiezin irrotazionalean................ 449 10.26 Ontzi baten hustea................................. 450 10.27 Hodi horizontala.................................. 451 10.28 Fluido bat abiadura erlatiboa duten bi plano infinituren artean.......... 452 10.29 Fluidoaren abiadura hodi horizontal batean.................... 453 10.30 Fluidoen hustea hodi horizontal batean barrena.................. 454 10.31 Millikan-en esperimentuaren eskema........................ 457 10.32 Xaboi-uraren mintza................................ 458 10.33 Xaboi-burbuila baten erdia............................. 459 10.34 Solido, likido eta gasaren arteko geruzak...................... 460 10.35 Detergentearen eragina olio-tanta batean...................... 460 10.36 Kapilaritatea.................................... 461 10.37 Descartes-en urpekaria............................... 470 10.38 Buruz behera jarritako edalontzia.......................... 474 B.1 Koordenatu cartesiarrak.............................. 487 B.2 Koordenatu polar zilindrikoak........................... 488 B.3 Koordenatu polar esferikoak............................ 489 B.4 Integrazio-bide irekia eta itxia........................... 491 B.5 Gainazala eta muga itxia.............................. 492 B.6 Gainazal itxia eta inguratzen duen bolumena................... 493 B.7 Eremu bektorial (a) irrotazionala eta (b) solenoidala................ 497 B.8 Integral eliptiko osoak............................... 501 B.9 Dirac-en delta doan segida bat........................... 502 B.10 f(x) funtzioaren aldaketa infinitesimalak..................... 505 B.11 f(x, y) funtzioaren aldaketa infinitesimalak maximoan.............. 505 B.12 Funtzionalaren bi integrazio-bide n = 1 kasuan.................. 509

xxiv IRUDIEN ZERRENDA D.1 Integrazio-bideak.................................. 516 D.2 Osziladorearen soluzioak.............................. 516 D.3 S sisteman geldi dagoen partikularen unibertso-lerroa bi sistemetan....... 518 D.4 I iturritik igorritako fotoiak D 1 eta D 2 detektagailuetara iristen dira....... 518 D.5 S sistemaren ardatzak, puntu finkoak eta aldibereko gertaerak.......... 519 D.6 Bi gorputzen problemaren orbita newtondar eliptikoak.............. 520 D.7 Pendulu bikoitza.................................. 521 D.8 Azelerazio-fasorea................................. 523 D.9 Fasoreen batura................................... 525 E.1 7.9 problemako fase-espazioa........................... 537 E.2 9.39 problemaren soluzioa............................. 541

TAULEN ZERRENDA 4.1 Orbita newtondarrak................................ 140 A.1 Konstante fisikoak................................. 479 A.2 Partikulen masak.................................. 480 A.3 Denbora- eta astronomia-unitateak......................... 480 A.4 Astroen ezaugarri fisikoak............................. 481 A.5 Astroen orbita-parametroak............................. 481 A.6 Inertzia-momentu nagusiak............................. 482 A.7 Koloreak...................................... 483 A.8 Errefrakzio-indizeak................................ 483 A.9 Solidoen ezaugarri fisikoak............................. 484 A.10 Fluidoen ezaugarri fisikoak............................. 485 A.11 Bessel-en funtzio batzuen lehenengo zeroak.................... 485 A.12 (sin α/α) 2 funtzioaren maximoak......................... 486 B.1 Koordenatu cartesiarrak.............................. 487 B.2 Koordenatu polar zilindrikoak........................... 488 B.3 Koordenatu polar esferikoak............................ 489 xxv

xxvi TAULEN ZERRENDA

1. GAIA Oinarrizko kontzeptuak 1.1 IRUDIA Newton (Eduardo Paollozi, 1995). 1

2 1 Oinarrizko kontzeptuak Lehen gai honetan mekanikari buruzko oinarrizko kontzeptu batzuk berrikusten dira gehienbat. Fisika orokorrari buruzko ikastaroetan ikasten den mekanika eta kalkulu bektoriala ondo menperatzen direla suposatuko dugu. Zure kasuan egia ez bada, irakurle hori, jo ezazu lehen mailako testu batera. Arrazoi beragatik, emaitza batzuen frogapen ezagunak ez dira hemen berriro egingo. Hemen erabiliko dugun formalismoa, batzuetan mekanika bektoriala edo mekanika newtondarra deitzen dena, ikuspuntu batetik mekanika klasikoan dagoen zaharrena da Newton-ekin hasten baita. (Aitortu behar da, baina, bektoreak XIX. mendearen amaieran bakarrik sartu zirela fisikan, Gibbs eta Heaviside-ri esker.) 6. gaian ikusiko dugun bezala, mekanika klasikoa egiteko beste forma batzuk daude, kalkuluak egiteko eta fisika modernoan erabiltzen diren kontzeptu batzuk ulertzeko askoz ere erabilgarriagoak direnak. Hasteko, zinematika aztertuko dugu, geroago mekanikaren legeak eta printzipio nagusiak gogoratzeko. Energia-diagramen erabilgarritasuna oreka eta higiduraren propietate kualitatiboak aztertzean ikusi ondoren, partikula-sistemen dinamikari ekingo diogu. Amaitzeko, talkak aztertuko dira. 1.1 Partikula puntualaren zinematika Partikula baten higidura deskribatzen duen zinematika (eta, geroago, haren zergatia azaltzen duen dinamika) egiteko erreferentzia-sistema bat aukeratuko dugu. Kontzeptu honen osagaiak (triedro cartesiarra, erregela eta erlojua) erabiliko ditugu magnitude zinematikoak banan banan definitzeko. 1.1.1 Geometria euklidearra Mekanika klasikoan zinematika egitean, geometria erabiltzen da abiapuntutzat: geometria euklidearra hain zuzen, bestelako geometrien posibilitatea bera ere XIX. mendean bakarrik kontsideratu baitzen. Gaur egun badakigu naturaren geometria ez dela guztiz nabaria: fisikak erabaki behar du, teorien eta esperimentuen bidez, zein den matematikak eskaintzen dituen posibilitateen artean benetan gauzatzen dena. Newton-en ikuspuntutik mekanika klasikoaren espazioa absolutua da, naturan gertatzen diren fenomeno guztien jokaleku aldaezina, a priori emandakoa. 1.2 IRUDIA Posizio-bektorearen osagaiak erreferentzia-sistema batean.

1.1 Partikula puntualaren zinematika 3 Geometria egiteko, eta erreferentzia-sistema osatzen hasteko, triedro cartesiar zuzen bat (hala nola 1.2 irudiko OXY Z delakoa) aukeratuko dugu. Ardatz cartesiarren norabidea eta noranzkoa adierazten dituzten bektore unitarioak i, j eta k dira: i i = j j = k k = 1, i j = j k = k i = 0, i j = k. (1.1) 1.1.2 Posizioa P puntu baten posizioa adierazteko r OP posizio-bektoreaz baliatuko gara. Posizio-bektorearen osagaiak, x = i r, y = j r, z = k r (1.2) proiekzio cartesiarren bidez definitzen direnak, puntuaren koordenatu cartesiarrak dira: x abzisa, y ordenatua eta z garaiera. Honela garatzen da posizio-bektorea, bektore unitarioek osaturiko bektore-oinarrian: r = xi + y j + z k = (i r)i + (j r)j + (k r)k. (1.3) Jakina, zinematikan, geometrian ez bezala, posizio-bektoreak eta osagaiak magnitudeak dira eta, zenbaki errealez gain, unitateak behar dira haiek neurtzeko (erregela baten bidez, agian). Ondo dakigunez, beti erabiliko dugun Sistema Internazionalean luzera-unitatea metroa 1 da. Koordenatu polar lauak Adibide moduan, demagun P puntua OXY plano cartesiarrean dagoela, hau da, z = 0 dugula. Kasu horretan, posizioa adierazteko x eta y koordenatu cartesiarrak erabili daitezke, noski, baina baita hurrengo ekuazioek emandako polarrak ere (ikus 1.3 irudia): x = r cosϕ, (1.4) y = r sin ϕ. (1.5) 1.3 IRUDIA OXY planoko puntu baten koordenatu polarrak. 1 Metroa, 1/299 792 458 segundoko iraupenean argiak hutsean egindako ibilbidearen luzera da (17. Conférence Générale des Poids et Mesures, 1983).

4 1 Oinarrizko kontzeptuak Posizioa zehazteko erabil daitezkeen magnitude ez-cartesiarrak koordenatu orokortuak deituko dira 6. gaian, eta aldagai-aldaketa ematen dituzten (1.4) (1.5) direlakoak transformazio- -ekuazioak. Haien alderantzizkoak hurrengoak dira, noski: r = x 2 + y 2, ϕ = arctan y x. (1.6) Honela adierazten da posizio-bektorea koordenatu cartesiarretan eta polarretan, kasu berezi honetan: r = xi + y j = r (cosϕi + sin ϕj). (1.7) Baina batzuetan, komenigarriagoak dira koordenatu polarrek definituriko ˆr eta ˆϕ bektore unitarioak: ˆr r = cosϕi + sin ϕj, r (1.8) ˆϕ dˆr = sin ϕi + cosϕj. dϕ (1.9) 1.1 ARIKETA Egiaztatu puntu bakoitzean (ˆr, ˆϕ, k) delakoa oinarri ortonormal zuzena dela: ˆr ˆr = ˆϕ ˆϕ = k k = 1, ˆr ˆϕ = ˆϕ k = k ˆr = 0, ˆr ˆϕ = k. (1.10) Ondorioztatu r posizio-bektoreak osagai bakarra duela kasu berezi honetan: r = rˆr. (1.11) 1.1.3 Denbora Newton-en beste kontzeptu absolutua den denbora neurtzeko, erloju bat behar da erreferentzia-sistema osatzeko. Sistema Internazionalean denbora-unitatea segundoa 2 da. 3. gaian, erlatibitate berezia aztertzean, denboraren eta espazioaren definizio inplizituen muga batzuk aztertuko dira arreta handiz; baina oraingoz Newton-en kontzeptu intuitiboak (eta, ikusiko dugunez, zehaztu beharrekoak) erabiliko ditugu. Zinematikan aztertuko ditugun beste magnitude guztiak eraikitzeko ez dugu kontzeptu fisiko berriren beharrik. Denbora aldatzean partikularen posizioa aldatuz joango da ibilbidean zehar eta, beraz, t aldiune bati dagokiola kontuan hartu behar dugu: r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. (1.12) Hala eta guztiz ere, notazioa laburtzeko, zinematikan (eta mekanikan) printzipioz magnitude guztiak aldakorrak direnez, denborarekiko menpekotasuna ez dugu gehienetan esplizituki idatziko. Beraz, nahiz eta (1.3) idatzi, (1.12) ulertu behar dugu. Orobat, higidura lauaren adibidean, r, r, ϕ, ˆr eta ˆϕ (baina ez k) denboraren menpekoak direla kontsideratu behar da. 2 Segundoa, zesio-133 atomoaren oinarrizko egoeraren bi maila hiperfinoen arteko trantsizioari dagokion erradiazioaren 9 192 631 770 periodoen iraupena da (13. Conférence Générale des Poids et Mesures, 1967 1968).

1.1 Partikula puntualaren zinematika 5 1.1.4 Abiadura Lehen magnitude eratorria abiadura da: v = ṙ dr dt = lim r(t + t) r(t) r = lim t 0 t t 0 t. (1.13) (Hemendik aurrera notazio laburtua erabiliko dugu gehienetan denborarekiko d/dt deribatua adierazteko.) Abiaduraren osagai cartesiarrak zuzenean kalkulatzen dira (1.3) adierazpenetik: ṙ = ẋi + ẏ j + ż k. (1.14) 1.4 IRUDIA Abiaduraren definizioa. Abiaduraren esangura geometrikoa 1.4 irudian erakusten da. r bektorearen norabidea P Q kordarena da eta kordaren bi muturrak puntu batera doazenean (hau da, t 0 limitean), definizioz, puntu horretako tangentearen norabidea lortzen denez, abiaduraren norabidea aldiune bakoitzean ibilbidearen tangentea da. Argi dago, gainera, abiaduraren noranzkoa higidurarena dela. Beraz, puntu bakoitzean ibilbidearen norabide tangentea eta higiduraren noranzkoa adierazten dituen bektore unitario tangentea, abiadura bere moduluarekin zatituz lortzen da: ê t ṙ ṙ. (1.15) 1.2 ARIKETA Notazioa. Testu honetan, gehienetan bezala, eskalarrak letra etzanetan idazten dira (hala nola x koordenatuaren kasuan) eta bektoreak letra lodi zuzenean (adibidez, r posizio-bektorearen kasuan). Gainera, askotan bektore baten modulua idazteko, r moduko notazio zehatz osoaz baliatu beharrean, letra bera baina etzana erabiltzen dugu: r r. Baina, praktikan notazio guztiekin bezala, nahasketak gerta daitezke idazkera laburtu honekin. Egia al da ṙ abiaduraren modulua ṙ dela? Zergatik? Abiaduraren modulua, v ṙ = r ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 = lim t 0 t, (1.16) abiadura eskalarra deitzen da eta bere esangura ikusteko, nahikoa da gogoratzea definizioz Q P limitean P Q arkuaren luzera P Q kordarena dela. Aipaturiko arkua t denbora-tartean

6 1 Oinarrizko kontzeptuak 1.5 IRUDIA Abzisa lerromakurra eta arkua. ibilbidean zehar egindako distantzia denez, denbora-unitatean egindako distantzia da abiadura eskalarra. P 0 = P (t 0 ) puntu batetik eta higiduraren noranzkoan neurtutakop 0 P arkuaren luzera zeinuduna s(t) abzisa lerromakurraren definizioa denez, abiaduraren modulua abzisa lerromakurraren deribatua dela ikusten dugu: v = r lim t 0 t = lim PQ PQ P 0 Q P 0 P = lim = lim t 0 t t 0 t t 0 t = s(t + t) s(t) s lim = lim t 0 t t 0 t = ds = ṡ. dt (1.17) Honela laburbiltzen dira, hortaz, abiaduraren esanahi geometrikoa eta zinematikoa: ṙ = ṡê t. (1.18) Arku infinitesimalaren luzera kalkulatzeko, honen modulua erabil dezakegu: ds = ṡ dt = v dt = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 dt = dx 2 + dy 2 + dz 2. (1.19) Ondorioz, P P s(t) = ds = dx 2 + dy 2 + dz 2. (1.20) P 0 P 0 1.3 ARIKETA Notazioa (berriz). (1.17) berdintza segidan ikur bikotea lau gauza desberdin adierazteko erabili da. Azaldu lauak. Zergatik desagertzen da urrats batzuetan aipaturiko bikotea? Higidura laua Higidura laua bada, komeni zaigu OXY plano cartesiarra higidura-planoa izateko moduan aukeratzea, bertan koordenatu polarrak erabili ahal izateko (ikus 1.3 irudia). Hori eginez gero, abiadura kalkulatzeko (1.11) adierazpeneko eskuineko gaiko bi osagaiak deribatu behar ditugu: ṙ = ṙˆr + r ˆr. (1.21) ˆr bektore deribatzean bektore perpendikular bat, ˆϕ-ren norabidekoa, aurkitzen dugu, ˆr = (cosϕi + sin ϕj) = ϕ ( sin ϕi + cosϕj) = ϕ ˆϕ. (1.22) Ondorioz, higidura lauaren kasuan ṙ = ṙˆr + r ϕ ˆϕ (1.23) abiaduraren osagaiak ṙ = ˆr ṙ abiadura erradiala eta r ϕ = ˆϕ ṙ dira. Abiaduraren r ϕ osagai angeluarra, beraz, erradioa bider ϕ abiadura angeluarra da.

1.1 Partikula puntualaren zinematika 7 1.1.5 Azelerazioa Abiadura deribatuz azelerazioa lortzen da. Hauexek dira osagai cartesiarrak: a = v = r = ẍi + ÿ j + z k. (1.24) Orain, (1.18) adierazpena deribatzeko, ê t kalkulatu behar da. Hasteko, deribazio-aldagaia, denbora izan beharrean, ibilbideak berak definituriko abzisa lerromakurra bada, badakigu lortzen den bektorea ê t -ren perpendikularra izango dela, baina, oro har, ez da unitarioa izango. Beraz, definizioz, bere modulua κ kurbadura da eta honen alderantzizkoa ρ kurbadura-erradioa: κ 1 ρ dê t ds. (1.25) Dagokion bektore unitario normala, ê n 1 dê t κ ds = ρdê t ds, (1.26) ê t -ren perpendikularra da eta, definizioz, normal nagusiaren norabidea definitzen du. Hortaz, erabiliz, azelerazioa honela idazten dela ikusten dugu: ê t = dê t dt = dê t ds ds dt = ṡ ρ ên (1.27) r = sê t + ṡ2 ρ ên. (1.28) Binormala 1.6 IRUDIA Triedro intrintsekoa. ê b ê t ê n (1.29) bektore unitarioak (zergatik da unitarioa?) definituriko norabidea bada, ibilbideko puntu bakoitzean (ê t,ê n,ê b ) oinarri ortonormal bat dugu, ê t ê t = ê n ê n = ê b ê b = 1, ê t ê n = ê n ê b = ê b ê t = 0, ê t ê n = ê b, (1.30) puntuaren eta denboraren menpekoa den triedro intrintsekoa definitzen duena. Ibilbideak berak definituriko triedro natural honetan, abiadurak osagai bakarra du: ṡ = v = ê t ṙ abiadura eskalarra. Azelerazioak, berriz, bi ditu: s = v = ê t r azelerazio tangentea eta ṡ 2 /ρ = ê n r azelerazio normala. (Ikus, halaber, 1.1 problema.)

8 1 Oinarrizko kontzeptuak Higidura laua Higidura lauaren kasuan triedro cartesiarra, intrintsekoa eta koordenatu polarrek definiturikoa kontsideratzen ditugu. (Gogoratu 1.3 irudia.) 1.4 ARIKETA Egiaztatu higidura lauaren kasuan ˆϕ = ϕˆr (1.31) betetzen dela eta, beraz, hauxe dela azelerazioa koordenatu polarretan: r = ( r r ϕ 2) ˆr + (r ϕ + 2ṙ ϕ) ˆϕ. (1.32) Kasu honetako triedro intrintsekoa 1.2 probleman kalkulatuko dugu. Higidura zirkularra Demagun ibilbidea R erradioko zirkunferentzia dela. Ageri denez, higidura laua da eta, kalkuluak errazteko, zirkunferentziaren zentroan aukeratuko dugu koordenatu polarren jatorria, ibilbidearen ekuazioa r = R izateko moduan. Beraz, ṙ = 0 da. Defini ditzagun abiadura eta azelerazio angeluar bektorialak modu honetan: ω ϕ k, (1.33) ω = ϕ k. (1.34) 1.5 ARIKETA Egiaztatu ṙ = ω r = R ϕ ˆϕ, (1.35) r = ω (ω r) + ω r = R ϕ 2ˆr + R ϕ ˆϕ = v2 ˆr + R ϕ ˆϕ (1.36) R betetzen dela eta, hortaz, abiadura eskalarra erradioa bider abiadura angeluarra dela, azelerazio normala v 2 /r balioko azelerazio zentripetoa, eta azelerazio tangentea erradioa bider ϕ azelerazio angeluarra. Ondorioztatu triedro intrintsekoa hauxe dela: ê t = ±ˆϕ, ê n = ˆr, ê b = ±k, (1.37) non goiko (beheko) zeinua aukeratu behar den ϕ positiboa (negatiboa) denean. 1.2 Partikula puntualaren dinamika Ondotxo dakigunez, higiduraren kausa aztertzeko dinamikaren lehenengo formulazio osoa, Newton-ek bere Principia Mathematica Philosophiae Naturalis maisulanean aurkeztu zuena izan zen. Newton-en legeak aztertuko dira atal honetan, baita oinarrizko printzipio eta kontzeptu osagarri batzuk ere. 1.2.1 Galileo-ren inertziaren legea Newton-en lehen lege honetan bi kontzeptu berri eta hauen arteko erlazioa sartzen dira: partikula aske oro abiadura konstantez higitzen da erreferentzia-sistema inertzial guztietan. Alde batetik, partikula askeak erreferentzia-sistema inertzial guztietan abiadura konstantez higitzen direnak dira eta, bestetik, erreferentzia-sistema bat inertziala da bertan partikula aske guztiak

1.2 Partikula puntualaren dinamika 9 abiadura konstantez higitzen badira. Eta, hala ematen badu ere, hau ez da sorgin-gurpila, eduki fisiko handia, funtsezkoa, baitago. Ikuspuntu logikotik goiko inertziaren legea bezain akatsgabea den «partikula aske oro azelerazio konstantez higitzen da erreferentzia-sistema inertzial guztietan», adibidez, ez da dinamika egiteko abiapuntu egokia. Zera hasteko diosku inertziaren legeak: higidura naturala, partikulak berez (eta ez kanpoko eragina pairatzen duelako edo higidura deskribatzeko aukeratu dugun erreferentzia-sistema egokia ez delako) egiten duena, abiadura konstantekoa da. Ikuspuntu logikotik ez dago inolako kontraesanik gorputzen egoera naturala pausagunea delako ustean 3 edo, Galileo-k berak uste omen zuenez, higidura naturala zirkular uniformea izatean. Baina fisika egiteko funts logikoa ez da nahikoa, naturan benetan gertatzen dena deskribatu nahi baitugu. Partikula askeak Gainera, partikula askea, inolako eraginik pairatzen ez duena, kontzeptu ideala bada ere, modu hurbildu egokian gauzatu daiteke. Kasu batzuetan, beste guztietatik oso urrun dagoelako pentsa dezakegu partikulak ez duela inolako eraginik pairatzen eta, beraz, askea dela. Beste batzuetan, kontsideratzen dugun denbora-tartea kanpoko eraginak arbuiagarriak izateko bezain txikia izango da. Kontua da, horrelako kasu guztietan, eta ez batzuetan bakarrik, partikularen abiadura ez dela aldatzen (hurbilketa on batean, behintzat) sistema inertzialetan. Erreferentzia-sistema inertzialak Erreferentzia-sistema inertzialak ere hurrenez hurreneko hurbilketen bidez eraiki daitezke. Astronomian, agian, izar trinkoen sistema aukeratuko dugu, baina ez Lurrarekin batera (eta ardatzak izar trinkoekiko biratu gabe) higitzen dena. Hala ere, azken hau egokia (ia-ia inertziala) izango da atmosferaren higidura aztertzeko. Areago, gehienetan erabiliko dugun laborategiko sistema, inertzialtzat hartuko dugu, 2. gaian Lurraren higiduraren eragina kontuan hartzean izan ezik. Fisikaren lege guztiak bezala, inertziaren legearen aplikazio-eremua mugatua da, Newton-en legeetako unibertsalena bada ere. Grabitazio-eremua handia bada, erlatibitate orokorrean bestelako eraginik pairatzen ez duen partikularen higidura ez da zuzena, geodesikoa baizik, eta sistema inertzialak ordezkatzeko, oztoporik gabe jausten diren sistema lokalak aukeratzen dira. Galileo-ren transformazioa Gainera, goian aipatu ez badugu ere, Newton-en lehen lege honetan erreferentzia-sistema inertzialen hurrengo hiru propietateak ere sartuko ditugu, postulatu moduan: Erreferentzia-sistema inertzial guztietan mekanikaren oinarrizko lege guztiak modu berean azaltzen dira. Sistema inertzial guztiak baliokideak dira mekanika egiteko. Erreferentzia-sistema inertzial bat abiadura konstantez eta ardatzak biratu gabe higitzen da beste edozein sistema inertzialekiko eta, alderantziz, sistema inertzial batekiko abiadura konstantez eta biratu gabe higitzen den edozein erreferentzia-sistema inertziala da. Bi erreferentzia-sistema inertzialetan egindako neurketa zinematikoen arteko erlazio beheko Galileo-ren transformazioak emandakoa da. 3 Aristoteles-en filosofian, hutsean higidura amaituko ez zela uste arren, hutsa bera ezinezkotzat zuten (ikus [44]).

10 1 Oinarrizko kontzeptuak Lehen propietatea, erlatibitatearen printzipioa alegia, fisikaren printzipio oinarrizkoenetarikoa da eta, sistema inertzialak ondo definituz gero, badirudi fisika osoan betetzen dela (baina ez XIX. mendeko fisikan: elektromagnetismoan eterraren sistema absolutua edo XX. mendeko erlatibitate berezia behar da). Sistema inertzial batetik multzo osoa eraikitzeko metodoa ematen digu bigarren propietateak, nolabait, eta 3. gaian erlatibitate berezian ere baliagarria dela ikusiko dugu. Hirugarren propietatea, berriz, mugatuagoa da, erlatibitate berezian Lorentz-en transformazioa erabili behar baita. 1.7 IRUDIA Bi erreferentzia-sistema inertzial. Baina, itzul gaitezen Galileo-ren fisikara eta kontsidera ditzagun bi erreferentzia-sistema inertzial: S sistemaren triedroa OXY Z da eta S delakoari O X Y Z dagokio. Biak inertzialak direnez, ardatzen orientazio erlatiboa konstantea da eta posizio erlatiboa adierazteko bigarren sistemaren jatorriaren posizioa lehen sisteman aukeratzen badugu, R OO bektorearen Ṙ deribatua bigarren sistemaren abiadura lehenarekiko adierazten du eta konstantea da. Eman dezagun S sistemaren ikuspuntutik t aldiunean P partikularen posizioa r dela eta S sisteman r. Denbora absolutua dela eta sistema guztietan modu berean aldatzen dela suposatuko dugu (3. gaian ikusiko dugunez, hipotesi hau ez da betetzen sistemen arteko abiadura argiarenaren parekoa denean). Beraz, erlojuak ondo sinkronizatuz gero, denbora berbera neurtzen da sistema guztietan: t = t. Bestalde, 1.7 irudian argi ikusten denez, lehen sisteman neurtzen den partikularen posizioa, bigarren sistemaren posizioa gehi azken honetan neurturiko partikularen posizioa da: r = R + r. Oinarrizko hipotesi (postulatu) hauek fisikan beti gertatzen den bezala, esperimentuetan egiaztatu behar direnak eta deribazioaren propietateak erabiliz, Galileo-ren transformazioak lortzen ditugu: t = t, (1.38) r = r + R, (1.39) ṙ = ṙ + Ṙ, (1.40) r = r. (1.41) Azken ekuazioan ikusten dugu gerta daitekeela partikula askearen kasuan sisteman bietan neurturiko azelerazioa nulua izatea. Azelerazioa, abiadura eta posizioa ez bezala, ez da aldatzen sistema inertzial batetik bestera. 1.6 ARIKETA Egia al da (1.39) transformazioaren arabera, bi erreferentzia-sistema inertzialetan neurturiko abzisen arteko erlazioa x = x + X dela?

1.2 Partikula puntualaren dinamika 11 1.2.2 Newton-en bigarren legea Hauxe dugu (Einstein-en E = mc 2 delakoa alde batera utzita) fisikaren legerik ezagunena: F = ma edo, zehazkiago, partikula batek pairatzen duen indar osoa bere masaren eta azelerazioaren biderkadura da: F = m r. (1.42) Hemen, teoria baten oinarrizko printzipioak ezartzean askotan gertatzen den bezalaxe, badirudi gehiegi egin nahi dela enuntziatu bakun batean: bi definizio (masarena eta indar osoarena) eta printzipio bat. Baina, jarraian ikusiko dugunez, hori guztia egiten da bigarren lege honetan. Masa inertziala Hasteko, masa inertziala definitzen da lege honetan. Azelerazioa indar osoaren proportzionala da beti eta, proportzionaltasun-konstante hori, masa inertziala hain zuzen, partikularen beraren ezaugarri bat da, pairatzen duen indarren izaeraren menpekoa ez dena: balio bera erabili behar da kanpo-indarra pisua, elektrostatikoa edo magnetikoa izanik ere. Horrela, adibidez, elektroiaren masaz hitz egin dezakegu, pairatzen duen indarra (nulua ere izan daitekeena) aipatu gabe. (Horrelako gauza bat esan nahi omen zuen Newton-ek masa inertziala masa-dentsitatearen eta bolumenaren biderkadura dela esatean. Nola definitzen da, bada, masa-dentsitatea?) Geroago aztertuko dugun momentu linealaren kontserbazio-printzipioaz baliatuz, masa inertziala definitzeko prozedura eraginkor bat eman daiteke; baina ez dugu horrelako problemez kezkatuko hemen. Partikularen ezaugarria denez, masa inertziala erreferentzia-sistemaren menpekoa ez dela suposatuko dugu beti (3. gaian, baina, zehatzagoak izateko beharrean aurkituko gara). Hauxe gehituko diogu, bada, Galileo-ren transformazioari: m = m. (1.43) Gainera, partikularen masa denborarekin ez dela aldatzen suposatuko dugu gehienetan, baina gerta daiteke aldakorra izatea. Fisikan ereduak egitean hurbilketa ugariak behar direnez, gehienetan partikulatzat hartzen duguna izatez sistema konplexua da: bere barne-egitura eta, ondorioz, masa alda daitezke. Horrela gertatzen da, adibidez, 1.6 problemako suziriaren kasuan. Bestalde, oinarrizko partikulatzat hartzen badugu ere, neutroia, elkarrekintza ahularen ondorioz, desintegra daiteke bere ordez protoi bat, elektroi bat eta antineutrino bat sortzeko. Sistema Internazionalean masa-unitatea kilogramoa 4 da. Indar osoa Ez da pentsatu behar (1.42) ekuazioak indarraren definizio hutsa denik, hori ere izan arren. Gehiago diosku bigarren legeak: Aipaturiko ekuazioko ezkerreko atalean agertzen den magnitude mekanikoaren zergatia mekanikatik at bilatu behar da. Kanpo-eragina erakarpen grabitatorioa bada, Newton-en grabitazio unibertsalaren legea erabili beharko da indarra ezagutzeko; elkarrekintza elektrostatikoa denean, Coulomb-en legera jo beharko dugu; eta abar. 4 Kilogramoa masa-unitatea da; kilogramoaren prototipo internazionalaren masaren berdina da (3. Conférence Générale des Poids et Mesures, 1901). Platino-iridiotan eginiko prototipo internazional hau Bureau International des Poids et Mesures delakoan mantentzen da, 1889ko 1. CGPM delakoan definituriko baldintzetan.

12 1 Oinarrizko kontzeptuak Fisikaren eginkizun bat definitzen du, beraz: partikulen arteko elkarrekintzen oinarrizko legeak indar-legeen moduan bilatu behar ditu fisikariak, eta ez abiadura-legeak 5 edo indar- -momentuen legeak, adibidez. Zinematika egitean azelerazioaren deribatua (batzuetan erabilgarria izanik, gainazelerazioa deitzen dena) zergatik ez genuen definitu azaltzen du: higidura aztertzea errazagoa da indarrak (eta, beraz, azelerazioak, baina ez abiadurak edo posizioak) ematen dituzten legeak erabiltzen direnean. Mekanikaren oinarrizko higidura-ekuazioak bigarren ordenako ekuazio diferentzial arruntak dira. Esaterako, koordenatu cartesiarretan (1.42) formularen osagaiak kalkulatuz lortzen dira: mẍ = F x i F, (1.44) mÿ = F y j F, (1.45) m z = F z k F. (1.46) Fisikaren beste arlo bateko teoriari esker indarra kalkulatu ondoren, masa ezaguna bada, bigarren legea erabil daiteke partikularen azelerazioa aurkitzeko. Kanpo-eragin desberdin batzuk badaude, gainezarmenaren printzipioa erabiliko dugu indar osoa eragin guztiek sorturiko indarrak batzeko. Teoria desberdinek iragarritako indar partzialak erabili ahal izateak argi eta garbi frogatzen du indarraren kontzeptua bigarren legean egindako definizio bat baino askoz gehiago dela. 1.8 IRUDIA Pendulu matematikoa. Adibide moduan kontsidera dezagun 1.8 irudiko pendulua. Azterketa errazteko higidura plano batean gertatzen dela suposatuko dugu baita pairatzen dituen indarrak mg pisua, sokak eragindako N ukipen-indarra eta airearen kṙ marruskadura-indarra direla ere. Ezerk ez digu debekatzen aldiune bakoitzean erreferentzia-sistema inertzialik egokiena aukeratzeko, nahiz eta aldiune desberdinei dagozkienak desberdinak izan. Azterketa errazteko, bada, aukera dezagun aldiune bakoitzean jatorria partikularen posizioan duen erreferentzia-sistema inertziala, bere OX eta OY ardatzak masaren ibilbide zirkularraren norabide tangentean eta normalean daudelarik, 1.8 irudian adierazten den moduan. 5 Aristoteles-ek higiduraren zergatia gaur egun momentu lineala deitzen dugunarekin loturik zegoela uste omen zuen: ikus [44].

1.2 Partikula puntualaren dinamika 13 1.7 ARIKETA Aukeratu dugun erreferentzia-sistema, (1.35) (1.36) adierazpenak eta 1.8 irudiko eskuinaldean agertzen den gorputz askearen diagrama kontuan hartuz, froga ezazu Newton-en bigarren legearen x eta y osagaiak honako hauek direla: Bigarren ekuazioa N kalkulatzeko erabil daiteke, baina horretarako, kl θ mg sinθ = ml θ, (1.47) N mg cosθ = ml θ 2. (1.48) ω g l, γ k 2m (1.49) definizioak egin ondoren geratzen zaigun ekuazioa ebatzi behar da: θ + 2γ θ + ω 2 sin θ = 0. (1.50) 1.8 ARIKETA Ukipen-indarra eta tentsioa. Aurreko adibideko ukipen-indarra sokaren tentsioa al da? Zergatik? Momentu lineala Partikularen m masa eta r posizio-bektorea biderkatuz, mr masa-momentua definitzen da eta honen deribatua (masa konstantea dela jorik) partikularen momentu lineala da: p mṙ. (1.51) Berriro ere masa konstante dela suposatuz, azken adierazpena deribatuz Newton-en bigarren legea hurrengo modu baliokidean idatz daitekeela ikusten dugu: F = ṗ. (1.52) Testuinguru honetan (1.42) eta (1.52) guztiz baliokideak badira ere, azken adierazpena askoz ere orokorragoa da eta, adibidez, 3. gaiko erlatibitate berezian ere erabil daiteke, F = m r ez bezala. Indar osoa zero bada adibidez, partikula askea delako momentu lineala higidura-konstantea da: ez da aldatzen denborarekin ibilbidean zehar, ibilbide batetik bestera alda badaiteke ere. Momentu linealaren kontserbazio-printzipioaren kasurik errazena dugu hau. Momentu angeluarra eta indar-momentua P puntuan dagoen partikularen Q puntuarekiko momentu angeluarra da eta partikulan aplikaturik dagoen F indar baten momentua L Q = QP p (1.53) N Q = QP F. (1.54) 1.9 ARIKETA Froga ezazu hauxe dela momentu angeluarraren eboluzio-ekuazioa, indar-momentu osoa, hau, da indar guztien momentuen batura N Q bada: N Q = L Q. (1.55) Zergatik eskatu behar da (1.55) eboluzio-ekuazioann Q momentua osoa izateko?

14 1 Oinarrizko kontzeptuak Gehienetan, baina ez beti, koordenatu-sistemaren jatorriarekiko momentuak kalkulatuko ditugu. Horrelako kasuetan Q = O azpindizea ez dugu esplizituki idatziko: L = r p, N = r F, N = L. (1.56) 1.10 ARIKETA Higidura laua. Kalkulatu koordenatu polarretan jatorriarekiko momentu angeluarra higidura lauaren adibidean. 1.11 ARIKETA Momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioa. Zer-nolako baldintzak bete behar dira partikula baten momentu higidura-konstantea izateko? Nolakoa da higidura kasu horretan? Ondorioztatu indar osoa zentrala bada (hau da, bere aplikazio-lerroa beti pasatzen bada poloa deitutako puntu finko batetik), indar-poloarekiko momentu angeluarra higidura-konstantea dela. 1.9 IRUDIA Posizio-bektoreak estalitako azalera infinitesimala. Momentu angeluarraren parekoa dugu azalera-abiadura, hau da, posizio-bektoreak denbora-unitatean estalitako azalera. Honen adierazpen matematikoa lortzeko, kontsidera dezagun dt denbora-tarte infinitesimalean estalitako azalera. Posizio-bektorearen aldaketa dr = ṙ dt denez, aipaturiko azalera 1.9 irudiko OPQ triangeluarena da: Beraz, irudiko azalera infinitesimala adierazteko ds = 1 2 r dh = 1 2 r dr sin α = 1 r dr. (1.57) 2 ds = 1 r dr (1.58) 2 bektorea erabil dezakegu eta, hortaz, honela idatz daiteke azalera-abiadura: v a = ds dt = 1 2 r ṙ = L 2m. (1.59) 1.12 ARIKETA Zer adierazten dute azalera-abiaduraren norabideak eta noranzkoak? 1.10 IRUDIA Akzioa eta erreakzioa.

1.3 Bulkada, lana eta energia 15 1.2.3 Akzio eta erreakzioaren printzipioa Orain arte partikula bakarra kontsideratu dugu, baina Newton-en hirugarren lege honetan bi hartuko dira kontuan. Nolabait, indarrak sortzerakoan biak baliokideak direla diosku printzipio honek: partikula batek beste baten gainean eragiten duen F 12 indarra, azken partikulak lehenengoaren gainean eragindako F 21 indarraren aurkakoa da, F 12 = F 21, (1.60) eta, gainera, aipaturiko bi indarren norabidea partikulak lotzen dituen zuzenarena da: F 12 F 21 r 2 r 1. (1.61) Newton-en lege hau mugatuena da eta fisika klasikoan ere gerta daiteke ez betetzea (indar elektromagnetikoekin, adibidez). 1.3 Bulkada, lana eta energia Magnitude berriak definitzean deribatuaz baliatu gara batzuetan. Orain, integralak erabiliko ditugu. Hasteko, indarra denborarekiko integratuko dugu, geroago integral lerromakurraz arduratzeko. 1.3.1 Bulkada Ibilbideko 1 eta 2 puntuetan t 1 eta t 2 uneetan badago partikula, aldiune horien arteko F indarraren bulkada I 12 t2 integrala da, definizioz. Hemen indar osoa ordezkatzen badugu, I 12 = t2 t 1 t 1 Fdt (1.62) ṗdt = p t 2 = p 2 p 1, (1.63) t 1 Newton-en bigarren legearen adierazpen integrala lortzen dugu: bulkada osoa momentu linealaren aldaketaren berdina da. (Goiko adierazpenean p i p (t i ) notazio laburtua erabili dugu.) Ikuspuntu matematikotik, emaitza hau eta (1.42) formula diferentziala baliokideak badira ere, askotan testuinguru desberdinetan aplikatzen dira. Eman dezagun, adibidez, pilota batek hormarekin topo egitean atzera datorrela. Ez da erraz jakiten nolakoa izan den hormak pilotaren gainean eragindako ukipen-indarra, baina argi dago oso denbora-tarte laburrean aplikatu dela. Naturalagoa izango da, bada, (1.63) erabiltzea. 1.13 ARIKETA Defini ezazu modu egokian indar baten bulkada angeluarra eta ondorioztatu bulkada angeluar osoa momentu angeluarraren aldaketaren berdina dela.

16 1 Oinarrizko kontzeptuak 1.3.2 Potentzia eta energia zinetikoa Definizioz, F indarrak partikula baten gainean egiten duen potentzia P F ṙ (1.64) da eta partikularen energia zinetikoa hauxe: T 1 2 mṙ ṙ = 1 2 mṙ2 = 1 2 mv2. (1.65) 1.14 ARIKETA Notazioa. Froga ezazu energia zinetikoaren hurrengo adierazpenak baliokideak direla: T = 1 2 mṙ2 = p2 2m = p2 2m. (1.66) Idatz al daiteke T = 1 2 m ṙ2? Zergatik? Energia zinetikoaren denborarekiko deribatua, T = 1 2 m (ṙ ṙ) = 1 2 m r ṙ + 1 mṙ r = m r ṙ, (1.67) 2 potentziaren definizioa eta indar osoarena erabiliz, indar osoak egindako potentzia energia zinetikoaren deribatuaren berdina dela frogatzen dugu: T = P. (1.68) Indar bizien teorema deitzen den emaitza honetan, lehenago frogatu ditugun beste askotan bezala, indar osoa erabili behar da: indar partzialen potentziak nekerik gabe definitzen dira, baina ez dago energia zinetiko partzialik. 1.11 IRUDIA Desplazamendu infinitesimala eta indarra. 1.3.3 Lana Potentzia bi aldiuneren artean integratuz lana lortzen dugu (nahiago bada, denbora-unitatean egindako lana izango da potentzia): W 12 t2 t 1 P dt = t2 t 1 F ṙdt = 2 1 F dr. (1.69)

1.3 Bulkada, lana eta energia 17 Hemen, desplazamendu infinitesimala hauxe dela erabili dugu: dr = dr dt = ṙ dt. (1.70) dt Ondorioz, lana ibilbidean zehar kalkulaturiko indarraren integral lerromakurra dela ikusten dugu. (1.68) emaitza ibilbideko P 1 eta P 2 puntuen artean integratuz, indar osoaren lana energia zinetikoaren aldaketaren berdina dela ikusten dugu: W 12 = t2 t 1 P dt = non T i T (t i ) notazioa erabili dugun. t2 t 1 T dt = T t 2 = T 2 T 1, (1.71) t 1 1.3.4 Indar kontserbatzaileak eta energia potentziala Noizean behin gerta daiteke partikula baten gainean eragiten duen indarra denborarekin nola aldatzen den ezaguna izatea. Horrela gertatzen da, adibidez, aipaturiko indarra konstantea bada (ikus 1.23. ariketa). Baina kasu gehienetan indarraren posizioarekiko menpekotasuna da datua. Puntu bakoitzean indarraren balio bat (bertan partikulak pairatuko duena) definiturik dagoenean, hau da, indarra eremu bektoriala denean, indar-eremua dugula esaten da, eta horrelakoak izaten dira oinarrizko indar-legeak (hala nola Newton-en grabitazio unibertsalaren legea eta Coulomb- -en, Hooke-ren eta Maxwell-en legeak). Adibidez, Lurrak m masako satelite batean eragiten duen erakarpen-indarra F = G M m r (1.72) r 3 moduan idatz daiteke hurbilketa on batean. Hemen G Newton-en grabitazio-konstantea da (ikus A.1 taula) eta M Lurraren masa (ikus A.4 taula). Indarra Lurraren zentrotik neurturiko partikularen r posizioaren bitartez ematen denez, indar-eremu bat dugu hemen. F(r) indar-eremua kontserbatzailea da baldin eta V (r) eremu eskalar egoki baten gradientearen alderantzizkoaren berdina bada: ( V F = V x i + V y j + V ) z k. (1.73) (Ikus B.2.2 atala.) V (r) eremu eskalarra energia potentziala deitzen da eta ez da bakarra, argi baitago eragile diferentziala aplikatzean indar-eremu berbera lortzen dela konstante bat gehitzen badiogu. Hautazko konstante horretaz baliatzen gara askotan energia potentzialaren zero maila modu egokian aukeratzeko. 1.15 ARIKETA Egiaztatu zuzenean emaitza erabilgarri hauek: r = r r = ˆr, 1 r = r r 3 = ˆr r 2. (1.74) (Ikus, halaber, B.5 ariketa.) Ondorioztatu (1.72) indarrari dagokion energia potentzialtzat V = G M m r (1.75) aukera daitekeela. Energia potentzial grabitatorio hau beti da negatiboa eta infinituan dago zero maila.

18 1 Oinarrizko kontzeptuak Indar-eremu bat kontserbatzailea denetz jakiteko irizpide praktikoa, energia potentziala aurkitu gabe ere erabil daitekeena, hauxe da: indar-eremua kontserbatzailea da baldin eta soilik baldin irrotazionala bada, hau da, bere errotazionala (ikus B.2.3 atala) nulua bada: F ( Fz y F ) ( y Fx i + z z F ) ( z Fy j + x x F ) x k = 0. (1.76) y 1.16 ARIKETA Frogatu (1.73) hipotesitik (1.76) ondorioztatzen dela. (Aurkako emaitzaren frogapenaren ideia behean emango da.) Indar kontserbatzaile baten integral lerromakurra (lana) integrazio-muturren menpekoa da eta ez integrazio-bidearena (ibilbidearena). Izan ere, honela aldatzen da energia potentziala desplazamendu infinitesimal batean: dv V (r + dr) V (r) = V x eta, beraz, hauxe da indarraren integrala: 2 1 dx + V y dy + V z dz = V dr (1.77) 2 2 F dr = V dr = dv = V 2 = V 1 V 2, (1.78) 1 1 1 non V i V (r i ) notazioa erabili dugun. Hortaz, indar kontserbatzailearen lana energia potentzialaren aldaketaren alderantzizkoaren berdina da eta ez ibilbidearen menpekoa. 1.17 ARIKETA Egiaztatu (1.77) emaitza moduan ere idatz daitekeela. V = V ṙ (1.79) F indar-eremuaren integral lerromakurra ez bada ibilbidearen menpekoa, (1.78) emaitzaz balia gaitezke energia potentziala eraikitzeko eta, beraz, indar-eremua kontserbatzailea dela frogatzeko. Izan, ere r 2 puntua orain hautazko r bada eta r 1 -en kasuan puntu finko bat aukeratzen badugu, honela idatz daiteke (1.78): V (r) = V 1 2 1 F dr. (1.80) Hautazko V 1 = V (r 1 ) konstantea aukeratuz gero, integrazio-bidearen menpekoa ez den azken emaitzak energia potentziala modu bakarrean definitzen digu puntu guztietan eta froga daiteke integralaren gradientea F indarra dela. 1.18 ARIKETA Froga ezazu indar-eremu bat kontserbatzailea dela baldin eta soilik baldin bere integral lerromakurra nulua bada integrazio-bide itxi guztietan. Emaitza hau erabiliz, erraz ikusten da marruskadura-indarra ez dela kontserbatzailea, marruskadura lehor dinamikoaren kasuan (ikus 1.3.9 atala). Marruskadura desplazamenduaren aurkakoa denez, bere lana negatiboa da eta, ondorioz, ezin izan daiteke nulua, ibilbidea itxia bada ere. Indar kontserbatzaileen bi kasu ezagun aztertzen ditugu jarraian.

1.3 Bulkada, lana eta energia 19 1.3.5 Indar-eremu zentralak 1.11 ariketan ikusi genuen bezala, indarra zentrala bada, bere aplikazio-lerroa beti pasatzen da polotik eta, ondorioz, poloarekiko indar-momentua nulua da. Analisia errazteko erreferentzia- -sistemaren jatorria poloan aukeratzen badugu, indarra posizio-bektorearen paraleloa eta, beraz, proportzionala izango da: F = F ˆr. (1.81) Hemen, ohi bezala, ˆr r/r bektore unitarioa erabili dugu. 1.19 ARIKETA Indar zentralaren modulua al da (1.82) adierazpeneko F delakoa? Eman dezagun orain indarra indar-eremua dela, hau da, posizioaren menpekoa: F = F(r). Gainera, indar-eremu zentrala dela esango dugu, indarraren norabidea posizio-bektorearena izateaz gain, bere modulua eta noranzkoa posizio-bektorearen moduluaren menpeko hutsa badira, hau da, polotik neurturiko distantziaren menpekoak eta ez norabidearenak: F = F(r)ˆr. (1.82) Indar-eremu zentralak beti dira kontserbatzaileak eta dagokien energia potentziala honako hau (hautazko integrazio-konstante inplizitua ahazten ez badugu, behintzat): V (r) = F(r) dr F(r) = dv (r). (1.83) dr Izan ere, funtzio konposatuen teorema (fisikan, katearen erregelaren izenaz ezagutzen dena) eta (1.74) erabiliz, hauxe dugu (ikus, halaber, B.5 ariketa): V (r) = dv (r) r = F(r)ˆr = F. (1.84) dr 1.20 ARIKETA Erabili(1.83) adierazpena (1.72) indarraren (1.75) energia potentziala berreskuratzeko. 1.3.6 Dimentsio bakarreko indar-eremua Indar-eremua dimentsio bakarrekoa bada, indarraren norabidea konstantea da. Kalkuluak errazteko, aipaturiko norabidean aukeratuko dugu gure erreferentzia-sistemaren OX ardatza. Honela idazten da indar-eremua sistema horretan: F = F(x)i. (1.85) Hemen, dimentsio bakarreko indar-eremuaren definizioaren partea den hipotesi bat esplizituki idatzi dugu: indarra x osagaiaren menpeko hutsa da; y eta z ez dira agertzen. 1.21 ARIKETA Indarraren modulua al da (1.85) adierazpeneko F(x) delakoa? Dimentsio bakarreko indar-eremuak beti dira kontserbatzaileak eta dagokien energia potentziala honako hau: V (x) = F(x) dx. (1.86) Izan ere, hauxe dugu: dv (x) V (x) = dx i = ( d dx F(x) dx ) i = F(x)i = F. (1.87)

20 1 Oinarrizko kontzeptuak 1.3.7 Osziladore harmonikoa Beharbada, dimentsio bakarreko indar-eremuaren adibiderik ezagunena indar elastikoarena da. Eman dezagun 1.12 irudiko malgukiaren luzera naturala l 0 dela eta konstante berreskuratzailea k. Hooke-ren legearen arabera, malgukiaren deformazioa x denean kx indar berreskuratzailea eragiten du masaren gainean, eta beste indar horizontal guztiak (aireak eta zoruak eragindako marruskadurak, alegia) arbuiagarriak badira, hauxe dugu higidura-ekuazioa aipaturiko norabidean: mẍ = kx. (1.88) 1.12 IRUDIA Malgukiaren deformazioa. (1.86) integrala eginez, energia elastikoa lortzen da: V (x) = 1 2 kx2. (1.89) Hemen integrazio-konstantea zerotzat aukeratu dugu; horrela, malgukia deformatu gabe badago energia elastikoa nulua da, eta positiboa beste kasu guztietan. Malgukiaren ω k/m pultsazio naturala erabiliz, osziladore harmonikoaren ekuazioa lortzen dugu: ẍ + ω 2 x = 0. (1.90) Gainera, abiaduraren proportzionala den Cẋ marruskadura-indarra ere pairatzen badu masak eta γ C/(2m) indargetze-koefizientea definitzen bada, osziladore harmoniko indargetuaren ekuazioa dugu: ẍ + 2γẋ + ω 2 x = 0. (1.91) 1.3.8 Energia mekanikoa Kontsidera ditzagun modu honetan idazten diren (1.68), (1.71), (1.79) eta (1.78) emaitzak: F ṙ = T, F ṙ = V, 2 1 2 1 F dr = T 2 T 1, (1.92) F dr = V 1 V 2. (1.93) Lerro bakoitzean agertzen direnak elkarren baliokideak dira: ezkerrekoa potentzia da eta eskuinekoa lana. Gainera, notazioaren eraginez, bi lerroak ia berdinak direla (T -ren ordez V jarri eta behekoa lortzen da) pentsa genezake; baina guztiz desberdinak dira. Goiko adierazpenak betetzen dira F indarra osoa denean, baina berdin da kontserbatzailea den edo ez. Behekoak, berriz, indarra kontserbatzailea denean betetzen dira, baina osoa zein partziala izan daiteke indarra.

1.3 Bulkada, lana eta energia 21 Biak betetzen badira, hau da, indar osoa kontserbatzailea bada, hauxe dugu: (T + V ) = 0, T 1 + V 1 = T 2 + V 2. (1.94) Emaitza honetan agertzen den magnitudea, energia zinetikoaren eta potentzialaren batura, energia mekanikoa da eta frogatu duguna energia mekanikoaren kontserbazio-printzipioa: partikula baten gainean eragiten duen indar osoa kontserbatzailea bada, E = T + V energia mekanikoa higidura-konstantea da. Indar batzuk kontserbatzaileak izan ez arren egiten duten lana nulua bada (horrelakoak dira, adibidez, indar magnetikoak eta, 6. gaian ikusiko dugunez askotan baina ez beti, desplazamendu erlatiboaren perpendikularra den bi gainazalen arteko ukipen-indarraren osagai normala), ez dago inolako oztoporik energia mekanikoaren kontserbazio-legea erabiltzeko. Gauzak aldatzen dira, baina, lan egiten duten indar ez-kontserbatzaileak daudenean. Kasurik ezagunena marruskadurarena da: fluidoek eragindakoa edo goiko ukipen-indarraren osagai tangentea izan daiteke eta bere lana ez da zero izaten, ezta inolako energia potentzialaren aldaketaren kontrakoa ere. 1.22 ARIKETA Eman dezagun partikularen gainean eragiten duten indarrak bitan banantzen ditugula. Froga ezazu indar kontserbatzaile guztien F batura kontserbatzailea dela eta dagokion V energia potentziala indar kontserbatzaile partzialen energia potentzialen batura. Kontserbatzaileak ez diren indarren batura R bada, frogatu energia mekanikoaren eboluzio-ekuazioa hauxe dela: Ė = R ṙ, E 2 E 1 = 2 1 R dr. (1.95) Beraz, energia mekanikoaren deribatua indar ez-kontserbatzaileen potentziaren berdina da eta haren aldaketa azken hauek egindako lana. 1.3.9 Marruskadura Partikula fluido batean higitzen bada, abiadura txikia den bitartean (ikus 10.12 atala), marruskadura-indarra abiadura erlatiboaren proportzionala eta kontrakoa da: R = Cṙ, C > 0. Egiten duen lana, beraz, negatiboa da, potentzia R ṙ = Cṙ 2 < 0 baita. Ondorioz, indar ez-kontserbatzaile bakarra hura bada, energia mekanikoa txikituz doa etengabe. Elkar ukitzen duten bi gainazal higidura erlatiboan badaude, ukipen-indarraren osagai tangentea da marruskadura-indarra eta, gainazalen arteko abiadura erlatiboaren kontrakoa denez, egiten duen lana negatiboa da. Kasu askotan hurrengo lege fenomenologikoak betetzen ditu marruskadura dinamiko honek 6 : Amontons-en lehen legea: Marruskadura indarra normalaren proportzionala da. Proportzionaltasun-konstantea marruskadura dinamikoaren koefizientea da eta horrela idazten da legea: R = µ d N. (1.96) Amontons-en bigarren legea: Marruskadura indarra ez da ukipen-azalera nabarmenaren menpekoa. XX. mendearen bigarren erdian bakarrik ulertu zen propietate hau: ukipen-azalera nabarmenaren oso zati txikia da benetako ukipen-azalera. 6 Leonardo da Vinci-ren izena aipatzen da batzuetan lehen legearen (edo lehenengo bi legeen) kasuan, baina ez zituen inoiz argitaratu bere azterketak.

22 1 Oinarrizko kontzeptuak Coulomb-en legea Marruskadura-indarra ez da gainazalen arteko abiadura erlatiboaren menpekoa. Esan behar da aurreko legeak ez direla beti betetzen, eta kasu orokorrean gertatzen dena tribologiaren aztergaien artean dagoela. Esaterako, hemen (eta hurrengo kasuan) marruskadura lehorra aztertzen ari gara eta gainazalen artean fluido labaingarri bat jartzen bada, gauzak aldatu egiten dira. Bestalde, gainazalak pausagune erlatiboan egon arren, higidura erlatiboa agertzeko joera dagoenean, marruskadura estatikoa dugu eta marruskadura-indarrak, hau da, ukipen-indarraren osagai tangenteak, Amontons-en bigarren legea betetzen du, baina ez lehenengoa. Orain marruskadura-indarra ez da oro har aldez aurretik ezagutzen eta gainazalen arteko abiadura erlatiboa zero izaten jarraitzeko behar dena izango da: problema dinamiko osoa ebaztean bakarrik kalkulatzen da bere modulua, baina azken honek indar normalaren menpekoa den balio maximo bat du: R µ e N, (1.97) non µ e konstantea marruskadura estatikoaren koefizientea den. Euler-ek frogatu zuenez, oro har µ e > µ d dugu, eta desberdintza honek azaltzen du zama astun bat zoru horizontalean bultzatzean gertatzen dena: martxan jartzen denean marruskadura-koefizientea eta, ondorioz, zamak egiten duen erreakzio horizontala bat-batean txikitu egiten dira eta jausteko arriskuan egoten gara (ikus, gainera, 1.13 problema). Bi marruskadura-koefizienteak ukipen-azalera nabarmenaren independenteak dira, baina aldatzen dira gainazalen materiala edo leunketa-egoerarekin. Marruskadura estatikoaren indarraren ukipen-puntua geldi dagoenez (bi gainazalak geldi dauden erreferentzia-sisteman), marruskadura-indarrak ez du lanik egiten. Beraz, kasu idealean, gainazal horizontal batean labaindu gabe higitzen den gurpilaren energia mekanikoa eta abiadura konstanteak dira. Badakigu praktikan ez dela horrela gertatzen eta, airearen marruskadura alde batera utzita, ukipena ez da mugatzen puntu (edo segmentu) ideal batera eta badaude labainketa mikroskopikoak eta indar ez-elastikoek egindako lana: errodadura-marruskadura dugu. Baina textu honetan, aplikazio teknologikoak baino gehiago, funtsezko printzipio fisikoak interesatzen zaizkigunez, beti suposatuko dugu errodadura-marruskadura arbuiagarria dela. 1.4 Ebazpen-metodoak Indarrak ezagutuz gero, abiadura eta posizioa lortzeko, Newton-en bigarren ekuazioa ebatzi behar da. Koordenatu cartesiarretan, adibidez, (1.44) (1.46) ekuazio diferentzialen sistema askatu behar da. Problema matematiko honen teoria orokorra ekuazio diferentzial arruntei buruzko testuliburuetan aurki daiteke (ikus, adibidez, [38]). Hemen kasu erraz berezi batzuk aztertzera mugatuko gara. Ezer egin baino lehenago, esan dezagun horrelako ekuazioak ebaztean integralak kalkulatu behar direnez, hautazko integrazio-konstanteak agertzen direla, mekanikan gehienetan hastapen-baldintzak (hau da, hasierako abiadura eta posizioa) erabiliz kalkulatzen direnak. (Problemak ebazteko metodo eta estrategia orokorrak C eranskinean azaltzen dira.) 1.4.1 Denboraren menpeko indarra Lehenago aipatu dugunez, salbuespena bada ere, gerta daiteke ezaguna izatea partikulak pairatzen duen F indar osoaren denborarekiko menpekotasuna. Kasu horretan, r = F/m azelerazioaren menpekotasuna ere ezaguna da. Gainera, «hasierako» t 0 aldiunean r 0 = r (t 0 ) posizioa

1.4 Ebazpen-metodoak 23 eta ṙ 0 = ṙ (t 0 ) abiadura ezagutzen badira, (1.42) ekuazioa t 0 -ren eta t aldiune generikoaren artean integratuz, ṙ = ṙ 0 + rdt (1.98) t 0 abiadura lortzen da eta, berriro integratuz, posizioa: t ( t ) r = r 0 + ṙ 0 (t t 0 ) + rdt dt. (1.99) t 0 Jakina, integralak zailak edo soluzio zehatz ezagunik gabekoak izan daitezke, baina hurrengo bi kasuetan ezin errazagoak dira. 1.23 ARIKETA Higidura uniformeki azeleratua. Frogatu hurrengoak direla partikularen abiadura eta posizioa, partikulak pairatzen duen indar osoa konstantea denean: t t 0 ṙ = ṙ 0 + r (t t 0 ), (1.100) r = r 0 + ṙ 0 (t t 0 ) + 1 2 r(t t 0) 2. (1.101) 1.24 ARIKETA Higidura uniformea. Egiaztatu partikulak pairatzen duen indar osoa zero denean (agian partikula askea delako), abiadura konstantea dela, eta ibilbidea hurrengo ekuazioak emandako lerro zuzena: ṙ = ṙ 0, (1.102) r = r 0 + ṙ 0 (t t 0 ). (1.103) Nolanahi ere, gehienetan indarra indar-eremu gisa ezagutzen dugu eta ez dakigu nola ebatzi (1.98) eta (1.99) adierazpenetako integralak, horretarako ezagutu behar den denborarekiko menpekotasuna inplizitua baita: higidura-ekuazioa ebatzi ondoren bakarrik ezagutzen dugu hori. Errazagoak ez diren ekuazio integralekin ordezkatu dira ekuazio diferentzialak eta ez da ezer aurreratu. 1.4.2 Higidura-konstanteak Kontserbazio-printzipioek emandako higidura-konstanteak oso lagungarriak izaten dira higidura-ekuazioen ebazpenean aurrera egiteko. Izan ere, integrazioa egiten laguntzen digutenez, lehen integralak ere deitzen dira. Dimentsio bakarreko problema kontserbatzailea Adibide moduan, kontsidera dezagun (1.86) dimentsio bakarreko indar-eremuaren eraginpean higitzen den partikula. Energia mekanikoa kontserbatzen denez 7, mẍ = V (x), (1.104) bigarren ordenako ekuazio diferentzialaren ordez, lehen ordenako energiaren ekuazioaz balia gaitezke: E = 1 2 mẋ2 + V (x) (1.105) 7 Ohi bezala, notazio laburraz baliatzen gara funtzio baten deribatua adierazteko: V (x) dv/dx. Hala ere, denborarekiko deribatuaren kasuan erabiliko dugu.

24 1 Oinarrizko kontzeptuak Energia mekanikoaren E balioa hasierako posizioa eta abiadura erabiliz kalkula daiteke: E = 1 2 mx 0 2 + V (x 0 ). (1.106) Orain, deribatua askatuko dugu, lehen ordenako ekuazio diferentziala lortzeko: 2 ẋ = ± [E V (x)]. (1.107) m 1.25 ARIKETA Froga ezazu (1.104) higidura-ekuazioa ẋ abiadurarekin biderkatuz ere lor daitekeela (1.105) kontserbazio-legea. 1.4.3 Aldagaien banantzea (1.107) ekuazioan ezin ditugu bi gaiak denborarekiko integratu, eskuineko atalean x(t) menpekotasuna ezezaguna baita: horixe bera kalkulatu nahi dugu! Zorionez, aipaturiko ekuazioan t denbora ez da esplizituki agertzen, bakarrik dago inplizituki x posizioan eta ẋ abiaduran. Hori gertatzen denean, orain azalduko dugun prozedura saia daiteke. Hasteko, denbora esplizituki sartzen dugu ekuazioa dt diferentzialarekin biderkatuz; horrela, dx = dx/dt dt = ẋ dt dela gogoratuz, hauxe dugu: 2 dx = ± [E V (x)] dt. (1.108) m Oraindik ezin dugu eskuineko gaia zuzenean integratu, baina aldagaiak banantzen baditugu, hau da, atal batean x duten gai guztiak biltzen baditugu bestean t soilik utziz, dx = ±dt, (1.109) 2 [E V (x)] m integrala zuzenean egin daiteke (printzipioz; praktikan geratzen den integrala modu zehatzean kalkulatzea oso zaila edo ezinezkoa izan baitaiteke): dx = ±t + C. (1.110) 2 [E V (x)] m 1.26 ARIKETA Froga ezazu hauxe dugula, C integrazio-konstantea kentzeko hasierako posizioa (x 0 x(t 0 )) erabiltzen bada: x x 0 dx = ± (t t 0 ). (1.111) 2 m [E V (x)] 2E/k anplitudea Adibidez, (1.88) malgukiaren kasuan, energia potentzial elastikoa, A eta C = ϕ 0 /ω integrazio-konstantea erabiliz, osziladore harmonikoaren soluzioa lortzen da: 1 ω arcsin x A = t + C x = A sin (ωt + ϕ 0). (1.112) Anplitudearen esangura agerian dago hemen: deformazioaren (elongazioaren) baliorik handiena da. 1.27 ARIKETA Beharrezkoa al da x = Asin(ωt + ϕ 0 ) soluzioa kontuan hartzea? Froga ezazu osziladore harmonikoaren soluzioa modu honetan ere idatz daitekeela: x = Acos(ωt + ϕ 0 ). (1.113) Erabil daiteke (1.112) soluzioa (1.90) osziladore harmoniko guztiekin, nahiz eta jatorrizko problema (1.88) malgukiarena ez izan? Zergatik?

1.4 Ebazpen-metodoak 25 1.4.4 Koefiziente konstanteetako ekuazio diferentzial linealak Ikuspuntu matematikotik (1.90) osziladore harmonikoa oso ekuazio diferentzial erraza da, koefiziente konstanteetako lineala baita: x ezezaguna eta bere deribatuak koefiziente konstanteetako konbinazio linealean agertzen dira. Horrelako ekuazioak modu zuzenean ebatz daitezke (ikus, adibidez, [38]) Ae αt sin (βt + ϕ 0 ) moduko soluzioak saiatuz eta gainezarmenaren printzipioa erabiliz: soluzioen batura soluzioa da. (Ae αt cos (βt + ϕ 0 ) motako soluzioak ere erabil daitezke eta zenbait kasutan At n e αt sin (βt + ϕ 0 ), edo At n e αt cos (βt + ϕ 0 ), modukoak saiatu behar dira.) Osziladore harmoniko indargetua Saia dezagun osziladore harmoniko indargetuaren (1.91) ekuazioan x = Ae αt sin (βt + ϕ 0 ) soluzioa: ẍ + 2γẋ + ω 2 x = Ae αt [ 2(α + γ)β cos (βt + ϕ 0 ) + ( α 2 β 2 + 2αγ + ω 2) sin (βt + ϕ 0 ) ] = 0. (1.114) x = 0 orekari dagokion A = 0 soluzioa alde batera utzita, aurreko ekuazioa t aldiune guztietan betetzeko sinuaren eta kosinuaren koefizienteek zero izan behar dute, sinua edo kosinua 1 denean bestea 0 baita. (α + γ)β biderkadura nulua izateko bi posibilitate daude: α = γ = β = ±ω γ ± β = 0 = α = λ ± ω 2 γ 2, (1.115) ) γ 2 ω 2. (1.116) ( γ ± Ageri denez, lehen kasuan erro karratua erreala izateko γ ω bete behar da eta bigarrenean γ ω. Azter ditzagun banan-banan kasu horiek, eta γ = ω kasu berezia. γ < ω. Kasu honetan x = Ae γt sin(ω γ t + ϕ 0 ) (1.117) soluzioan bi zati desberdin daude. Azkena sinusoidala eta, beraz, periodikoa da: soluzioa x = 0 puntuaren inguruan oszilatuko da etengabe. Baina, γ > 0 denez, oszilazioaren Ae γt anplitudea monotono beherakorra da: oszilazioak motelduz joango dira, anplitudea arbuiagarria (baina ikuspuntu matematikotik ez-nulua) izan arte. Hasierako A anplitudea eta ϕ 0 fasea hautazko konstanteak dira eta hasierako baldintzen bidez kalkulatu beharko dira kasu bakoitzean. 1.13 IRUDIA Oszilazio indargetua.

26 1 Oinarrizko kontzeptuak γ > ω. Bi soluzio daude, x = Ce λ ±t. Orain, C A sin ϕ 0 konstantea hautazkoa dela kontuan hartuz, soluzioa x = C 1 e λ +t + C 2 e λ t (1.118) moduan idatz daiteke, gainezarmenaren printzipioaren ondorioz. λ ± > 0 direnez, bi gaiak monotono beherakorrak dira. Ez dago gai periodikorik eta osziladorea gainindargetua dela esaten dugu. γ = ω. Indargetze kritikoaren kasu hau aurreko bien arteko muga da. Kasu honetako ω γ = 0 edo λ ± = γ = ω balioak goiko soluzioetan sartuz, x = Ce ωt lortzen da; baina hemen hautazko konstante bakarra dugu, C = A sin ϕ 0 = C 1 +C 2, eta hastapen-baldintzak bi dira: hasierako posizioa eta abiadura. Izan ere, soluzioa honako hau da: x = (C + Dt) e ωt. (1.119) (C eta D konstanteak hastapen-baldintzen bidez zehaztu behar dira kasu bakoitzean.) 1.28 ARIKETA (a) Egiaztatu goiko soluzio egokian γ = 0 eginez lortzen dena osziladore harmonikoaren (1.112) soluzioa dela. (b) Kalkulatu noiz pasatzen den x = 0 oreka-puntutik osziladore harmoniko gainindargetua. Frogatu hori gehienez behin gerta daitekeela eta, hortaz, ez dagoela benetako oszilaziorik. (c) Marraztu soluzioren bat. (d) Egiaztatu osziladore kritikoaren soluzioa (1.119) dela. (e) Oszilaziorik al dago indargetze kritikoaren kasuan? 1.4.5 Hurbilketak Hurbilketak dira, agian, fisikariaren tresnarik garrantzitsuenak. Eredu fisiko guztiak hurbilduak dira, nahitaez; baina hurbilketak ez dira erabiltzen soilik eredu eta teoria orokorrak egitean. Eguneroko praktikan eta fisika ikastean ere etengabe erabiltzen ditugu. Gogoratu, adibidez, ia problema guztietan aireak eragindako marruskadura arbuiatzen dugula, nahiz eta txirrindulari orok arbuiagarria ez dela jakin. Higidura-ekuazioak ebaztean ere erabilgarriak (eta, askotan, behar-beharrezkoak) dira hurbilketak. Testuan gehienetan erabiliko duguna aztertuko dugu hemen. Oszilazio txikiak Penduluaren (1.50) ekuazioan, marruskadura arbuiagarria dela (γ = 0) suposatzen badugu, energiaren kontserbazio-legea eta aldagaien banantzearen metodoa erabil ditzakegu, baina agertzen den integrala eliptikoa da eta horrelakoak, ezagunak izan arren, ez dira oinarrizkoak (ikus, adibidez, [38]). Zorionez, askotan nahikoa da jakitea zer gertatzen da penduluaren oszilazioak txikiak direnean, hau da beheko puntuan dagoen oreka egonkorraren puntutik oso urrun ez dagoenean. Orduan sin θ θ hurbilketa lineala egiten badugu, (1.50) ekuazioa θ + 2γ θ + ω 2 θ = 0 (1.120) bihurtzen da. Baina, azken hau osziladore harmoniko indargetuaren ekuazioa da. Berdin da hemen ezezaguna, x distantzia bat barik, θ angelua dela; ikuspuntu matematikotik egitura berekoak dira (1.91) eta (1.120) ekuazioak: bi problema baliokide dira malgukiarena eta penduluarena, hurbilketa lineala egokia izateko behar diren deformazio eta angelu txikiak kontsideratzen badira. Izan ere, malgukiaren ekuazioa idaztean erabili dugun Hooke-ren legea bera ere deformazio-lege orokorraren hurbilketa lineala da, material eta tresna batzuen kasuan oso aplikazio-eremu zabala

1.4 Ebazpen-metodoak 27 duen hurbilketa bada ere. Problema baliokidea erabiliz, zuzenean idatz dezakegu penduluaren oszilazio txikien ekuazioa: nahikoa da x aldagaia θ-rekin ordezkatzea. Adibidez, γ < ω bada, θ = Ae γt sin (ω γ t + ϕ 0 ). 1.4.6 Metodo kualitatiboak: energia-diagramak Batzuetan higidura-ekuazioak ebatzi gabe informazio kualitatibo interesgarria lor daiteke haien soluzioei buruz. Izan ere, soluzioak kalkula daitezkeenean ere, informazio kualitatibo hori lortzea errazagoa izan daiteke hemen aztertuko ditugun metodoak erabiliz. Oreka-puntuak Hasteko ikusiko dugu nola aurkitu eta aztertu soluziorik errazenak, oreka deskribatzen duten soluzioa konstanteak, alegia. Partikula bat orekan egoteko bi baldintza bete behar dira. Lehena dinamikoa da: partikulak pairatutako indar osoak nulua izan behar du. Bigarrena zinematikoa da: aldiune batean (hasierako) abiadurak nulua izan behar du. Ondorioz, indarra eta, beraz, azelerazioa nulua denez abiadura ez da aldatuko eta beti izango da nulua: partikula geldirik dago betiko (eta betidanik). Bigarren baldintza erraza da eta beti betearaz daiteke erreferentzia-sistema inertziala modu egokian aukeratuz; baina indarra aztertu behar da lehenengoa betetzen den ikusteko. Eman dezagun, partikula dimentsio bakarreko indar-eremu batean higitzen dela. 1.3.6. atalean ikusi genuenez, problema kontserbatzailea da hau eta indarra F = V (x) moduan idatz daiteke. Horrez gain, abiaduraren proportzionala den kẋ marruskadura-indarra pairatzen badu, higidura- -ekuazioa hauxe da: mẍ = kẋ V (x). (1.121) Oreka-baldintza ẋ abiadura eta kẋ V (x) indar osoa nuluak izatea da. Argi dago bi baldintza horiek ẋ = V (x) = 0 direlakoen baliokideak direla. Azpimarratu behar da oreka-baldintza berberak lortzen direla marruskadura-indarrik ez dagoenean. Baina oreka-baldintza horien esanahi bikoitza agerian dago: orekan egoteko, partikulak pausagunean (ẋ = 0) egon behar du energia potentzialaren mutur-puntu bati dagokion posizioan (V (x) = 0). 1.14 IRUDIA Energia-diagrama. Oreka-posizioen kokapenak aurkitzeko, beraz, V (x) = 0 ekuazioa ebatzi behar dugu hasteko. Energia potentzialaren grafikoa egiten badugu, 1.14 irudian bezala, oreka-puntuak erraz

28 1 Oinarrizko kontzeptuak aurkitzen dira: energia potentzialaren maximo, minimo eta inflexio-puntuei dagozkien posizioak dira (x 1, x 2, x 3 eta x 4 irudiko adibidean). Atzerapen-puntuak Gainera, energia-diagrama berean erraz ikusten da, energia mekaniko ezagun batekin, zein tartetan gerta daitekeen higidura eta zeinetan dagoen debekaturik. Izan ere, energia zinetikoa negatiboa ez denez, energia mekanikoak potentziala baino handiagoa (edo berdina) izan behar du beti. Beraz, E energia mekanikoa ezaguna bada V (x) > E baldintza betetzen duten puntuak debekaturik daude. Hasteko, eman dezagun marruskadura arbuiagarria dela eta, ondorioz, energia mekanikoa konstantea dela: bere grafikoa lerro zuzen horizontala izango da, eta energia potentzialaren azpitik dauden lerro zuzen horren tarteak debekaturik daude. Beste tarteetan higidura gerta daiteke. Gainera, energia mekanikoaren eta potentzialaren grafikoen arteko ebakidura-puntuetan biak berdinak dira: energia zinetikoa eta abiadura, beraz, nuluak. Atzerapen-puntuak dira horiek: bertan partikulak atzera egiten du, bere abiaduraren zeinua aldatzen baita (positibotik negatibora, ezkerretik badator atzerapen-punturaino gero eskuinerantz itzultzeko; eta alderantziz hasieran eskuinerantz bazetorren). 1.14 irudiko adibidean, energia mekanikoa E 1 bada, zuzen erreal osoan gerta daitekeen higidura ez da bornatua. E 2, E 3 eta E 4 kasuan, partikula hasieran eskuinean (ezkerrean badago) bere higidura bornaturik dago ezkerretik (eskuinetik). Gainera, azken kasuan, hirugarren posibilitate bat dago, partikula minimoaren inguruko potentzial-putzuan badago, betiko geratu da han r ± atzerapen-puntuen artean eta oreka-puntuaren inguruan oszilatzen. 1.29 ARIKETA Suposatu orain kẋ marruskadura-indarra ez dela arbuiagarria. Frogatu energia mekanikoaren eboluzio-ekuazioa honako hau dela: Ė = kẋ 2 0. (1.122) Ondorioztatu, energia mekanikoa gutxituz doala oreka-puntu batera (edo -ra) iritsi arte. Deskribatu kualitatiboki higidura hasierako energia 1.14 irudiko E 1, E 2, E 3 eta E 4 badira. 1.15 IRUDIA Energia potentzial elastikoa. Adibide moduan, kontsidera dezagun, berriro ere, (1.88) malgukia. Dagokion energia potentzialaren grafikoa V (x) = 1 2 kx2 parabola izango da. Marruskadura arbuiagarria bada, E = 1 2 mẋ2 + 1 2 kx2 (1.123)

1.4 Ebazpen-metodoak 29 energia mekanikoa ez da higiduran zehar aldatuko eta bere grafikoa segmentu horizontala da. Atzerapen-puntuak, E = V (x), T = 0 eta ẋ = 0 baldintza baliokideek definiturikoak dira: 2E x = ±A ± k. (1.124) Jakina, elongazio maximoa den A anplitudea berreskuratzen dugu hemen. Marruskadura badago, energia mekanikoa txikituz doa eta minimorantz jotzen du, 1.16 irudian erakusten den bezala. 1.16 IRUDIA Energia elastikoaren eboluzioa marruskadura dagoenean. 1.30 ARIKETA Azaldu atzerapen-puntuen inguruan irudiko E-ren grafikoak duen tankera. Oreka egonkorra eta ezegonkorra Energia-diagrametan ikusitako higidura-tarteak nolakoak diren kontuan hartuz, oreka-puntuak oso desberdinak izan daitezkeela frogatuko dugu. 1.17 IRUDIA Indarraren noranzkoa oreka-puntuen inguruan. Minimoei dagozkien oreka-puntuak egonkorrak dira: perturbazio txiki batek oreka apurtzen badu, partikula ez da urruntzen oreka-puntuaren ingurune txiki batetik. Izan ere, perturbazioaren ondorioz oreka-puntutik mugitzen bada, energia potentzialaren minimotik aldentzen da eta energia berria pixka bat handiagoa izango da, nahitaez. Baina, perturbazioa txikia izanik, partikula minimoaren inguruan dagoen potentzial-putzu batean dago, oreka-puntutik oso hurbil, eta

30 1 Oinarrizko kontzeptuak minimoaren inguruan oszilatzen higituko da, batez beste bertatik urrundu gabe. (Marruskadura badago, energia mekanikoa txikituz doa eta oreka-punturantz joko du partikulak.) Adibidez, penduluaren kasuan, energia potentzialaren minimoa punturik baxuenean dago, noski. Posizio horretan pendulua orekan dago, eta handik apur bat mugitzen bada, ez da oso urrun joango. Maximoak eta inflexio-puntuak, ordea, oso bestelakoak dira. Inguruko orbitek ez daude potentzial putzu batean eta ez dute zertan oreka-puntuaren inguruan geratu. Hasieran perturbazio oso txikia bada ere, oreka-puntutik abiatuz gero, ez dago inolako oztoporik handik alde egiteko: oreka ezegonkorra da. Penduluaren kasuan energia potentzialaren maximoa punturik gorenean dago eta, ikuspuntu matematikotik han pausagunean egon badaiteke ere, praktikan, edozein perturbaziok apurtuko du oreka eta pendulua oreka-puntuaren ingurutik urrunduko da. 1.31 ARIKETA Oreka-puntuen egonkortasuna dimentsio bakarreko problemetan aztertzeko, deribatuaren esangura geometrikoa erabil daiteke: F = V (x) indarra energia potentzialaren tangentearen maldaren kontrakoa da. Marraztu 1.14 irudiko kasuan oreka-puntu batetik hurbil dagoen partikulak pairatzen duen indarraren noranzkoa. Egiaztatu 1.17 irudia lortzen dela eta ondorioztatu maximoetatik eta (alde batetik) inflexio-puntuetatik urruntzeko joera duela partikulak; baina minimo baten inguruan, indarra berreskuratzailea dela eta oreka, beraz, egonkorra, partikula oreka-punturantz higiarazteko behar den noranzkoa baitu indarrak. Oszilazio txikiak eta osziladore harmonikoa Eman dezagun energia potentzialak minimo koadratiko bat duela x = x 0 puntuan: V (x 0 ) = 0, V (x 0 ) > 0. (1.125) Oreka-puntuaren oso hurbil higidura nolakoa den ikusteko, energia potentziala minimoaren inguruan garatuko dugu: V (x) = V (x 0 ) + V (x 0 ) (x x 0 ) + 1 2 V (x 0 ) (x x 0 ) 2 + (1.126) 1.18 IRUDIA Hurbilketa parabolikoa energia potentzialaren minimo baten inguruan. Taylor-en garapen honen lehen gaia konstantea da, eta bere balioa jatorrizko energia potentzialari kenduz nulua izatea lor dezakegu. Bigarren gaia nulua da, x 0 puntuan minimo bat dagoelako; eta arrazoi berberagatik bigarren gaiaren koefizientea positiboa da k V (x 0 ) > 0.

1.5 Partikula-sistemak 31 Minimoaren inguruko oszilazioak txikiak badira, hurrengo gai guztiak arbuiagarriak izango dira eta, beraz, oso hurbilketa onean suposa dezakegu energia potentziala koadratikoa dela: V (x) 1 2 k (x x 0) 2. (1.127) Abzisaren jatorria x 0 puntura eramaten badugu, (1.89) energia potentziala berreskuratzen dugu eta hango problema baliokidearen osziladore harmonikoarena izango da partikularen higidura. Horrexegatik esaten da askotan fisikan osziladore harmonikoarena dela higidurarik garrantzitsuena: energia-potentzialaren minimo koadratiko bati dagokion oreka-puntu egonkorraren inguruko higidura deskribatzen du osziladore harmonikoak. Horixe da gehienetan egiten den hurbilketa. Minimoaren inguruan energia potentziala (1.127) parabola koadratikoarekin ordezkatzen dugu eta indarra bere hurbilketa linealarekin (hauxe da Hooke-ren legea): F = V (x) k (x x 0 ). (1.128) 1.5 Partikula-sistemak Orain arte, Newton-en hirugarren legea enuntziatzean izan ezik, partikula puntual bakarraren zinematika eta dinamika aztertu ditugu. Has gaitezen ikusten partikula gehiago daudenean erabil daitezkeen kontzeptuak eta emaitzak. Sisteman N partikula puntual daudela suposatuko dugu eta i = 1, 2,..., N azpindizea erabiliko da partikulak zenbatzeko. Adibidez, i partikularen posizioa r i bektoreak emandakoa izango da. 1.5.1 Magnitude kolektiboak Sistema osoari dagozkion magnitude zinematikoak partikula guztienak batuz definitzen dira: Magnitudea Partikula Sistema Masa: m i, N M m i. (1.129) i=1 Masa-momentua: g i = m i r i, N N G g i = m i r i. (1.130) i=1 i=1 Momentu lineala: p i = m i ṙ i, N N P p i = m i ṙ i. (1.131) i=1 i=1 Indarra: F i = m i r i, N N F F i = m i r i. (1.132) i=1 i=1 Momentu angeluarra: L i = m i r i ṙ i, N N L L i = m i r i ṙ i. (1.133) i=1 i=1 Indar-momentua: N i = r i F i, N N N N i = r i F i. (1.134) i=1 i=1 Energia zinetikoa: T i = 1 N 2 m iṙ 2 i, T T i = 1 N m i ṙ 2 i i=1 2 i=1 (1.135) Potentzia: P i = F i ṙ i, N N P P i = F i ṙ i. (1.136) i=1 i=1

32 1 Oinarrizko kontzeptuak Indar eta indar-momentu osoen kasuan sinplifikazio bat gertatzen da Newton-en hirugarren legearen ondorioz. Hau ikusteko, i partikulak pairatzen dituen indarrak sailkatu egingo ditugu. Alde batetik, sistemako beste partikulek eragindakoak barne-indarrak izango dira: j partikulak i partikulan eragindakoari F ji deituko diogu. Bestalde, i partikulak pairatutako F (k) i kanpo-indarra, jatorria sistematik at duten eragin guztien ondorioa da. Gainezarmenaren printzipioaren ondorioz, honela idazten da i partikularen gainean aplikaturiko indar osoa: F i = F (k) i + j i F ji. (1.137) Orain, sistemak pairatzen duen indar osoan akzio-erreakzio bikote bakoitzeko F ji eta F ij bildu ondoren, elkarren kontrakoak direla (F ji + F ij = 0) kontuan hartzen badugu, N F = F i = i=1 = = N i=1 N i=1 N i=1 F (k) i + N F ji i=1 j i F (k) i + 1 i<j N (F ji + F ij ) F (k) i (1.138) lortzen da. Beraz, sistemak pairatzen duen indar osoa kanpo-indar osoaren berdina da, F = F (k) N i=1 F (k) i, (1.139) barne-indarren batura zero baita. Antzeko gauza bat gertatzen da barne-indarren momentuekin: N N = r i F i = i=1 = = = N i=1 N i=1 N i=1 N i=1 r i F (k) i + r i F (k) i + N r i F ji i=1 j i 1 i<j N r i F (k) i + 1 i<j N (r i F ji + r j F ij ) (r j r i ) F ij r i F (k) i. (1.140) Hemen, zera erabili dugu: akzio eta erreakzioaren printzipioaren ondorioz, i partikulak j delakoaren gainean eragiten duen F ij indarra bi partikulak lotzen dituen lerro zuzenaren paraleloa da, baina zuzen horren norabidea posizio erlatiboaren r ij r j r i bektorearena da; beraz, r j r i eta F ij paraleloak dira eta (r j r i ) F ij = 0. Ondorioz, sistemak pairatzen duen indar-momentu osoa kanpo-indarren momentu osoaren berdina da: N = N (k) N i=1 r i F (k) i. (1.141)

1.5 Partikula-sistemak 33 Potentziarekin (eta lanarekin), berriz, ez da horrelakorik gertatzen. Barne-indarren potentzia osoa ez da beti nulua. Askotan barne-indarrek lan egiten dute eta, hortaz, potentzia eta lan osoan bi zati egongo dira, oro har: P = P (k) + P (b) N i=1 1.5.2 Eboluzio-ekuazio kolektiboak F (k) i ṙ i + N i=1 j i F (b) ji ṙ i. (1.142) Sistemaren eboluzio-ekuazio kolektiboak zuzenean lortzen dira magnitude kolektiboen definizioa eta Newton-en hirugarren printzipioak ekarritako sinplifikazioak kontuan hartuz: Magnitudea Partikula Sistema Momentu lineala: ṗ i = F i, Ṗ = F (k). (1.143) Momentu angeluarra: Li = N i, L = N (k). (1.144) Energia zinetikoa: T i = P i, T = P (k) + P (b). (1.145) 1.5.3 Kontserbazio-printzipioak Lortu ditugun eboluzio-ekuazioak kontuan hartuz, argi dago sistemaren momentu lineal (angeluar) osoa higidura-konstantea izango da baldin eta soilik baldin kanpo-indarren (kanpo-indarren momentuen) batura nulua bada. Gerta daiteke kanpo-indar osoa nulua izatea nahiz eta kanpo- -indar partzial ez-nuluak egon: nahikoa da batura nulua izatea. Bestalde, sistema bakartua bada, hau da, ez badu inolako kanpo-eraginik pairatzen, argi dago kanpo-indar osoa eta kanpo-indarren momentu osoa nuluak direla eta, ondorioz, momentu lineala eta angeluarra kontserbatu egiten direla. Hauexek dira, bada, momentu linealaren eta angeluarraren kontserbazio-printzipioak: partikula-sistema bakartu baten momentu lineal eta angeluar osoak higidura-konstanteak dira. Emaitza hauek printzipiotzat (eta ez teorematzat) kontsideratzen ditugu, hemen erabilitako definizio eta hipotesi bereziak egiazkoak ez direnean ere printzipioak zuzenak direla uste baitugu. Energia osoaren kontserbazioarekin batera, fisikaren printzipio oinarrizkoenetakoak dira hauek, espazioaren homogeneotasun eta isotropiarekin loturik baitaude. Fenomeno batzuk aztertzean betetzen ez direla ematen duenean, fisikariak pentsatuko du momentu osoan ekarpen ezezagunen bat falta dela, baina nekez printzipioa bera aplikaezinezkoa denik. Beta desintegrazioaren teorian horrelako gauza bat gertatzen zen 1930ean Pauli-k prozesuan ikusten ez zen beste partikula batek parte hartzen zuela proposatu zuenean. Partikula hori, antineutrinoa, oso ugari izan arren, ez da erraz detektatzen eta bere existentziaren frogapen esperimentala ez zen osatu 1956 urte arte, Cowan eta Reines-en esperimentuari esker. Kontuan hartu sistema bakartuetan energia zinetikoa ez dela beti higidura-konstantea, nahiz eta kanpo-indarren potentzia nulua izan. Barne-indarrek lan egiten badute, energia zinetikoa aldakorra izango da. 1.5.4 Talkak Talka oso prozesu orokorra da, fisikan garrantzi handia duena. Elkarrekintzak arbuiagarriak ez diren bitartean, sistema bakartu bateko partikulen momentu lineala, angeluarra eta energia zinetikoa (eta, batzuetan, partikulen izaera eta kopurua) aldatu egiten dira, partikulek elkarren gainean eragiten dituzten barne-indarren ondorioz. Baina sistema bakartua denez, momentu lineala eta

34 1 Oinarrizko kontzeptuak angeluarra kontserbatzen dira eta ez dago kanpo-indarren lanik. Beraz, partikulen arteko elkarrekintza hasi aurretik eta ondoren sistemaren magnitudeek dituzten balioak 1 eta 2 azpindizeekin bereizten baditugu, hurrenez hurren, hauexek dira talka deskribatzen duten lege kolektiboak: non Q faktorea prozesu osoan barne-indarrek egindako lana den: Q 2 1 P 2 = P 1, (1.146) L 2 = L 1, (1.147) T 2 = T 1 + Q, (1.148) P (b) dt = 2 1 N i=1 j i Barne-indarren lana nolakoa den arabera, honela sailkatzen dira talkak: F (b) ji ṙ i dt. (1.149) Talka endoenergetikoa. Barne-indarren lana negatiboa da (Q < 0): energia zinetikoa galtzen da, T 2 < T 1, eta, jakina, beste modu batean agertzen da (bero gisa, sarritan). Talka exoenergetikoa. Barne-indarren lana positiboa da (Q > 0) eta bestelako energia erabiltzen da energia zinetikoa handitzeko: T 2 > T 1. Talka elastikoa. Barne-indarrek ez dute lanik egiten (Q = 0) eta, ondorioz, energia zinetikoa kontserbatu egiten da: T 2 = T 1. Zenbait prozesu mikroskopiko elastikoak badira ere, gorputz makroskopikoen arteko talketan muga-kasu honetako baldintza ez da normalean zehaztasun osoz beteko, baina hurbilketa erabilgarria izan daiteke askotan. Sistema bakartua delako hipotesiak ere ez du beti guztiz egia izan behar. Talkaren iraupena oso txikia bada, kanpo-indarrak egon arren, gerta daiteke euren lana eta bulkada lineala eta angeluarra, barne-indarrenak ez bezala, arbuiagarriak izatea. Adibide moduan eman dezagun bi satelitek elkarrekin topo egiten dutela. Argi dago sistema ez dela bakartua, grabitatearen eraginpean daude eta. Hala ere, talkaren iraupena oso laburra bada, pisuen bulkada eta lana arbuiagarriak dira, baina ez satelite bakoitzak bestaren gainean egiten dituenak. Beraz, t 1 eta t 2 aldiuneak talka hasten eta amaitzen direneko uneak badira, P 2 = P 1 dugu, adibidez, baina ez noski (t 1, t 2 ) denbora-tartea luzeagoa bada. 1.32 ARIKETA Froga ezazu bi partikulak elkarrekin topo egitean loturik geratzen badira, talka ezin dela elastikoa izan. 1.5.5 Masa-zentroa Partikula-sistema baten masa-zentroa hurrengo posizio-bektoreak definituriko puntu geometrikoa da: R G M = Ni=1 m i r i Ni=1 m i. (1.150) 1.5.1 eta 1.5.2 ataletako definizioak eta eboluzio-ekuazioak kontuan hartuz, hauxe lortzen dugu goiko ekuaziotik: G = MR, (1.151) P = MṘ, (1.152) F (k) = Ṗ = M R. (1.153)

1.5 Partikula-sistemak 35 Hau da, sistemaren masa osoa izanik kanpo-indar osoa pairatuko lukeen alegiazko partikula bat bezalaxe higitzen da masa-zentroa. 1.33 ARIKETA Egia al da alegiazko partikula baliokide horren momentu angeluarren deribatua sistemak pairatutako kanpo-indarren momentu osoaren berdina dela? Zergatik? Gai honetan, inplizituki, laborategiko sistema erabili dugu kalkulu guztiak egiteko. Hurrengo gaian aztertuko ditugun zenbait fenomenoren kasuan izan ezik, aipaturiko erreferentzia-sistema inertzialtzat kontsidera dezakegu oso hurbilketa onean. Definizioz, masa-zentroaren sistema hurrengo bi baldintzak betetzen dituena da: 1. Jatorria masa-zentroan dago beti. 2. Ardatzak ez dira biratzen: laborategiko sisteman (eta, beraz, sistema inertzial guztietan) duten orientazioa konstantea da. Masa-zentroaren (1.153) higidura-ekuazioaren ondorioz, argi dago gehienetan masa-zentroa azeleraturik dagoela eta, hortaz, masa-zentroaren sistema ez dela inertziala. Hala ere, askotan ikusiko dugunez, oso erreferentzia-sistema erabilgarria da, propietate egokiak baititu. 1.19 IRUDIA Masa-zentroaren sistema. Ardatzen orientazio erlatiboa aldatzen ez denez, laborategiko eta masa-zentroaren sistemen arteko transformazioak hurrengoak direla suposatuko dugu, praktikak ondo frogatu baitu horrela gertatzen dela abiadurak ez badira oso handiak: t = t, (1.154) r i = r i + R, (1.155) ṙ i = ṙ i + Ṙ, (1.156) r i = r i + R, (1.157) m i = m i. (1.158) (Jakina, partikula-sistema bakartua bada, edo bestelako arrazoiren batengatik kanpo-indar osoa nulua bada, masa-zentroaren sistema inertziala da eta Galileo-ren (1.38) (1.41) transformazioak berreskuratzen ditugu.) Transformazio hauek eta masa-zentroaren (1.150) definizioa erabiliz, masa-zentroarekiko masa-momentua nulua dela ikusten dugu: ( N N N G = m ir N i = m i (r i R) = m i r i m i )R = G MR = 0. (1.159) i=1 i=1 i=1 i=1

36 1 Oinarrizko kontzeptuak Propietate hau ez da harrigarria, masa-zentroa bere sistemako jatorrian dago eta. Baina propietate hau zuzenean deribatuz edo, (1.152) erabiliz lortzen den P = 0 (1.160) emaitza interesgarriagoa da: masa-zentroaren sisteman momentu lineal osoa nulua da.izan ere, propietate hau masa-zentroaren sistemaren definiziotzat har dezakegu. Jakina, modu horretan definituriko sistema ez da bakarra, horrelako batean pausagunean dauden edozein erreferentzia- -sistematan ere propietate bera betetzen baita. Baina, sistema hauen arteko diferentzia translazio konstante bat edota biraketa konstante bat da. Erlatibitate berezian, adibidez, masa-zentroaren posizioa ez dago ongi definiturik, behatzailearen menpekoa baita; baina masa-zentroaren sistema (nahiago bada, masa-zentroaren sistemen klasea) inolako problemarik gabe defini daiteke (1.160) propietatearen bidez (ikus 3.38 problema). 1.34 ARIKETA Froga ezazu laborategiko sisteman neurturiko momentu angeluarra (energia zinetikoa), masa-zentroaren sisteman neurtzen den momentu angeluar (energia zinetiko) intrintsekoa eta sistemaren masa osoa izanik masa-zentroarekin batera higitzen den alegiazko partikularena gehituz lortzen dela. Ondorioz, hauxe dugu: P = MṘ, (1.161) L = L + M R Ṙ = L + R P, (1.162) T = T + 1 2 MṘ2 = T + Ṗ2 2M. (1.163) Testuliburu batzuetan König-en teorema deitzen da (1.163) emaitza. 1.5.6 Bi gorputzen problema Partikula-sistemarik errazena bi partikula puntualez osaturiko sistema bakartua da. Masa- -zentroa, beraz, abiadura konstantez eta lerro zuzen batean higitzen da. 1.20 IRUDIA Bi gorputzen problemaren geometria. Masa-zentroaren sistema inertziala denez, ezin egokiagoa da higidura aztertzeko, baina kasu berezi honetan beste posibilitate bat dago, zeren masa-zentroaren sisteman neurtutako r i posizio- -bektoreak eta partikulen arteko posizio erlatiboa neurtzen duen r r 2 r 1 = r 2 r 1 (1.164) bektorea (edo r r 1 r 2 = r 1 r 2 baitira. delakoa) elkarren proportzionalak, hau da, paraleloak

1.5 Partikula-sistemak 37 1.35 ARIKETA Froga ezazu masa-zentroan neurtutako posizio-bektoreen eta posizio erlatiboaren arteko erlazioa hauxe dela: r 1 = m 2 r, r m 1 2 = r. (1.165) m 1 + m 2 m 1 + m 2 Ondorioz, partikula bakoitzaren masa-zentroarekiko higiduraren problema eta higidura erlatiboarena (ia) baliokideak dira, eta azken hau erraz planteatzen da, edozein sistema inertzialetan, jarraian ikusiko dugun moduan. Newton-en hirugarren legearen ondorioz, 1 partikulak 2-ren gainean eragiten duen indarra F F 12 bada, berak pairatzen duena F 21 = F eta, beraz: Sistemaren m masa laburbildua r = r 2 r 1 = F 12 F ( 21 1 = + 1 )F. (1.166) m 2 m 1 m 2 m 1 m m 1m 2 m 1 + m 2 1 m = 1 m 1 + 1 m 2 (1.167) moduan definitzen badugu, higidura erlatiboaren ekuazioa F = m r (1.168) da: higidura erlatiboaren problema eta erreferentzia-sistema inertzial batean higitzen den m masako partikula batena baliokideak dira. Sistemaren masa laburbildua duen partikula baliokide egokiaren problemara laburtzen da bi gorputzena. 1.5.7 Talka elastikoak bi gorputzen probleman Bi gorputzen problemaren kasu berezi interesgarri bat, esperimentu askotan gertatzen dena, kontsideratuko dugu atal honetan: 1 partikula p 1 momentu linealarekin bidaltzen da pausagunean dagoen 2-ren kontra. Lehen partikula jaurtigaia da eta bigarrena jomuga. Talkan izan ezik, bi partikulak askeak dira eta euren momentu linealak konstanteak. Talka ondoren partikulen momentu linealak q 1 eta q 2 dira, hurrenez hurren. Jaurtigaiaren desbiderapena neurtzen duen θ angelua sakabanatze-angelua deitzen da eta jomugaren norabidea ematen duen α delakoa (ikus 1.21 irudia) atzerapen-angelua. 1.21 IRUDIA Jaurtigaia eta jomuga talka aurretik (ezkerraldean) eta ondoren (eskuinean).

38 1 Oinarrizko kontzeptuak Masa-zentroaren sistema Talka aztertzeko masa-zentroaren sistemaz baliatuko gara, bertan dena baita askoz errazagoa. Hasteko, momentu lineal osoa nulua denez, p 1 + p 2 = q 1 + q 2 = 0, talka aurretik lehen partikularena p 1 = p bada bestearena p 2 = p izango da, nahitaez; modu berean, talka ondoren momentuak elkarren kontrakoak dira eta modu honetan idazten da momentu linealaren kontserbazio-printzipioa: p 1 = p 2 = p, q 1 = q 2 = q. (1.169) Gainera, talka elastikoa denez, energia zinetikoa kontserbatu egingo da (ikus 1.14 problema): T = p 1 2 + p 2 2 = p 2 2m 1 2m 2 2m = q 2 1 + q 2 2 = q 2 2m 1 2m 2 2m, (1.170) non m sistemaren masa laburbildua den. Hemen ikusten dugunez, energia zinetikoaren kontserbazioa p eta q bektoreen moduluak berdinak izatearen baliokidea da: p = q. (1.171) 1.22 IRUDIA Talka elastikoa masa-zentroaren sisteman. Masa-zentroaren sisteman talka oso erraza dela dioskute (1.169) eta (1.171) kontserbazio- -printzipioek: bi partikulen momentuak elkarren kontrakoak dira talka aurretik eta ondoren, euren moduluak ez dira aldatzen, biraketa hutsa egiten dute, 1.22 irudian erakusten den bezala. Azpimarratu behar da kontserbazio-printzipioak soilik erabiliz ezin aurki daitekeela zein izan den aipaturiko biraketa eta, beste informaziorik ezean, sakabanatze-angelua edonolakoa izan daitekeela: 0 θ π. Baina argi dago sakabanatze-angelua ezagutuz gero atzerapen-angelua zuzenean lortzen dela: α = π θ. (1.172) Gainera, energia zinetiko osoa ez ezik, partikula bakoitzarena ere kontserbatzen da. Beraz, talka osorik ezagutzeko falta zaigun datu bakarra (edo, nahiago bada, zehaztu gabe geratzen den parametro bakarra) masa-zentroaren sisteman neurturiko θ sakabanatze-angelua da.

1.5 Partikula-sistemak 39 1.23 IRUDIA Laborategiaren eta masa-zentroaren arteko transformazioak. Laborategiko sistema Laborategiko sisteman, ordea, posibilitate gehiago daude eta hemen ikusiko dugu nola adierazten diren datuen eta θ parametroaren funtzioan. Hasteko, (1.152) ondorioz masa-zentroaren abiadura p 1 Ṙ = (1.173) m 1 + m 2 dela erabiliko dugu laborategiaren eta masa-zentroaren arteko (1.156) transformaziotik momentu linealen arteko hurrengo erlazioa lortzeko: p 1 = p + m 1 p 1 m 1 + m 2, q 1 = q + m 1 p 1 m 1 + m 2. (1.174) Lehen ekuaziotik p 1 askatuz lortzen dena, p 1 = m 1 + m 2 m 2 p, (1.175) aurreko ekuazio bietan sartuz hurrengo adierazpenak geratzen zaizkigu: p 1 = p + m 1 m 2 p, (1.176) q 1 = q + m 1 m 2 p. (1.177) 1.24 IRUDIA Laborategiko sisteman egindako azterketa. Atal honetako beste kalkulu guztiak era analitiko hutsean egin badaitezke ere, beraien adierazpen grafikoa lagungarria izango da magnitudeen arteko erlazioak hobeto ikusteko eta kalkuluak errazteko. Hasteko, 1.23 irudian ikusten ditugu (1.176) (1.177) transformazio-ekuazioak. Gero, 1.24 irudian erakusten dira sakabanatze- eta atzerapen-angeluen definizioak eta laborategian neurtzen den momentu linealaren kontserbazio-legea: p 1 = q 1 + q 2. (1.178)

40 1 Oinarrizko kontzeptuak 1.25 IRUDIA Talka elastikoaren grafiko osoa. Orain, aurreko bi irudiak batean bilduz, 1.25 lortzen da. Gainera, bertan masa-zentroaren sisteman neurtutako θ sakabanatze-angelua ere marraztu da. Energia zinetikoaren kontserbazioa adierazten duen p = q erlazioaz baliatuz, eskuineko triangelua isoszelea dela ikusten dugu eta, beraz, honela adierazten dira laborategian neurturiko jomugaren ezaugarriak talka ondoren: α = π θ, 2 (θ + 2α = π), (1.179) = 2p sin θ 2. (1.180) q 2 Lehenago esan bezala, masa-zentroaren sisteman partikula bakoitzaren energia zinetikoa kontserbatzen da, baina laborategian gauzak oso bestelakoak dira: hasieran T = p2 1 = (m 1 + m 2 ) 2 p 2, (1.181) 2m 1 2m 1 m 2 2 energia zinetiko osoa jaurtigaiarena ba ere, talkan jomuga higitzen hasten da eta energia zinetikoa xurgatzen du: T 2 = q2 2 2m 2 = 2p 2 m 2 sin 2 θ 2. (1.182) Jomugak xurgatutako energia zinetikoaren proportzioa, T 2 T = 4m 1m 2 θ 2 sin2 (m 1 + m 2 ) 2, (1.183) maximoa da θ = π denean, hau da, buruz buruko talketan, espero genezakeen bezala. Horrelako talka errazetan gertatzen den energia zinetikoaren transferentzia maximoa, ( ) T2 T max = 4m 1m 2 (m 1 + m 2 ) 2 = 4m 1 /m 2 (1 + m 1 /m 2 ) 2, (1.184) bi partikulen masen zatiduraren menpekoa da, 1.26 irudian erakusten den legez. Emaitzak, berriro ere, erraz ulertzen dira: Jaurtigaia jomuga baino askoz arinagoa bada, m 1 m 2, azken honen momentu linealaren aldaketa txikia izango da (ia-ia ez da talkaz «konturatuko»): bere energia zinetikoa ia ez da aldatuko. Jaurtigaiaren energia zinetikoa berdintsua izango da, baina abiadura kontrakoa, gutxi gorabehera.

1.5 Partikula-sistemak 41 1.26 IRUDIA Energia zinetikoaren transferentzia maximoa. Jaurtigaia jomuga baino askoz astunagoa bada, m 1 m 2, bere momentu linealaren aldaketa txikia izango da (ia-ia ez du jomuga «ikusiko»): bere energia zinetikoa eta abiadurak ia ez dira aldatuko. Jomugaren abiaduraren aldaketa handia izango da, noski, baina hain masa txikiarekin ia ez du energia zinetikorik xurgatuko. Jaurtigaiaren eta jomugaren masak berdinak direnean, m 1 = m 2, buruz buruko talkan energia zinetikoaren transferentzia maximoa izango da: jaurtigaia geldi geratuko da eta jomugak energia zinetiko osoa eramango du. 1.27 IRUDIA Sakabanatze-angeluen arteko erlazioa. Laborategian eta masa-zentroan neurtutako sakabanatze-angeluen arteko erlazioa aurkitzeko, 1.27 irudiaz eta (1.171) emaitzaz balia gaitezke: tanθ = h m 1 m 2 p + d = q sin θ m 1 m 2 p + q cosθ = sin θ m 1 m 2 + cosθ. (1.185) Emaitza honen ondorioak ulertzeko trigonometria erabil badaiteke ere, azterketa erraz egiten da modu grafikoan, 1.28 irudiaz baliatuz, jarraian ikusten den bezala. Jaurtigaia jomuga baino arinagoa bada, m 1 < m 2, lehenengoa da gehien desbideratzen dena. Ondorioz, θ 0-tik π-ra doan heinean, gauza bera egiten du laborategian neurtutako sakabanatze-angeluak, balio guztiak eduki baititzake: 0 θ π. Jaurtigai eta jomugaren masak berdinak direnean, m 1 = m 2, bi sistemetan neurturiko sakabanatze-angeluen arteko erlazioa erraza da: tanθ = sin θ θ = tan 1 + cos θ 2 θ = θ 2. (1.186) Beraz, θ angelua 0-tik π-ra doan bitartean θ delakoa 0-tik π/2-ra joango da. Gainera, (1.179) emaitzaren ondorioz, talka ostean bi partikulak norabide elkarzutetan higitzen dira: θ + α = π 2. (1.187)

42 1 Oinarrizko kontzeptuak 1.28 IRUDIA Sakabanatze-angelua laborategian eta masa-zentroaren sisteman. Jaurtigaia jomuga baino astunagoa bada, m 1 > m 2, θ handitzean θ angelua ere handituz doa q 1 bektorea q erradioko zirkunferentziaren tangentea izan arte; gero txikituz doa, θ = π denean θ = 0 berriro izan arte. θ angelua maximoa denean m 1 m 2 p, q eta q 1 bektoreek osaturiko triangelua zuzena denez, hauxe dugu: sin θ max = q m 1 m 2 p = m 2 < 1. (1.188) m 1 Jakina, zenbat eta astunagoa jaurtigaia, hainbat eta txikiagoa bere desbiderapena. 1.36 ARIKETA Lortu zuzenean 1.28 iruditik (1.186) emaitza.

1.6 Problema ebatziak 43 1.6 Problema ebatziak 1.6.1 Abiadura limitea Partikula bat norabide bertikalean higitzen ari da. Grabitateaz gain, abiaduraren proportzionala den marruskadura-indar bat pairatzen du: R = γmṙ. Froga ezazu denbora handituz doanean abiadurak muga-balio batera jotzen duela. Zein da muga-balio hori? OZ ardatz bertikala beherantz aukeratu ondoren, m v = γmv + mg higidura-ekuazioan aldagaiak banantzen baditugu (gogoratu 1.4.3 atala), dv g γv = dt, integrazio baten bidez hauxe lortzen dugu (marruskadura-indarrean γ > 0 dela kontuan hartuz): v dv t v 0 g γv = dt, 0 1 γ ln g γv g γv 0 = t, v = g ( γ + v 0 g ) e γt γ v 0 v(0), t Abiadura limitea konstantea denez, higidura-ekuazioan v = 0 eginez ere lor daiteke zuzenean; baina soluzio guztiek horra jotzen dutela frogatzeko, higidura-ekuazioa integratu behar da. 1.6.2 Bulkada Irudian agertzen diren bi masak geldi daude mahai leun baten gainean, hagatxo arin batez loturik. Hagatxoak I bulkada horizontala pairatzen badu erakusten den moduan, nolakoa da sistemaren higidura? Masa-zentroaren eta M-ren arteko X distantzia honela kalkulatzen da (1.159) erabiliz: g γ. MX + m(x L) = 0 X = m m + M L. Eman dezagun talka ondoren masa-zentroaren abiadura V dela (I bulkadaren norabidean egongo da, noski) eta hagatxoaren abiadura angeluarra ω (irudiko planoaren perpendikularra izango da abiadura angeluarraren bektorea). Momentu lineal berria momentu linealaren aldaketaren eta bulkadaren berdina izango da (ikus 1.3.1 atala): (m + M)V = I = V = I m + M. Era berean, 1.13 ariketaren ondorioz, masa-zentroaren inguruko I(X a) bulkada angeluarra momentu angeluarraren aldaketaren eta, beraz, momentu angeluar berriaren berdina da: I(X a) = [ MX 2 + m(l X) 2] ω = mm m + M L2 ω = ω = ml a(m + M) mml 2 I.

44 1 Oinarrizko kontzeptuak 1.6.3 Oreka erlatiboa Irudiko zirkunferentzia ω abiadura angeluar konstantez ari da biratzen diametro bertikalaren inguruan eta m masako partikula puntuala zirkunferentzian barrena higi daiteke marruskadurarik gabe. Non egon daiteke partikula zirkunferentziarekiko pausagune erlatiboan? Noiz da egonkorra oreka erlatibo hori? Irudiko koordenatu polar esferikoak erabiliz, azelerazioaren osagai tangentea (B.8) emaitzan r = R eta ϕ = ω eginez lortzen da, eta higidura tangentearen ekuazioa (bi norabide normalei dagozkienak interesatzen ez zaizkigun hariaren erreakzio normalaren osagaiak kalkulatzeko erabil litezke) mg sin θ = mr ( θ ω 2 sin θ cos θ ) edota ( m θ = m sin θ ω 2 cosθ g ) R da. Higidura-ekuazio hau m θ = V (θ), ( 1 V (θ) m 2 ω2 sin 2 θ + g ) R cosθ moduan idazten denez, θ angeluaren dimentsioak ahaztuta, zuzen batean ( 1 V (x) = m 2 ω2 sin 2 x + g ) R cosx potentzialean higitzen den partikularen problema baliokidearen oreka azter dezakegu. Oreka- -puntuak V = 0 mutur-puntuetan, hau da, hariarekin batera biratzen den sistema ez-inertzialean indar tangentea nulua denean, gertatzen dira: sin θ = 0 baldintza betetzen denean, hau da, beheko θ = 0 eta goiko θ = π puntuetan, edo ω 2 cosθ g/r = 0 dugunean; baina azken hau bakarrik gerta daiteke zenbait kasutan, kosinuaren balio absolutua ez baita inoiz 1 baino handiagoa. ( ) g V (θ) = m R cosθ ω2 cos 2θ adierazpenak frogatzen duenez, goiko puntuan maximo bat dago, ( ) g V (π) = m R + ω2 < 0, eta oreka ezegonkorra da; beheko puntuan V (0) = m ( g R ω2 ), minimoa (maximoa) dago ω < ω 0 (ω > ω 0 ) betetzen bada hurrengo definizioarekin: ω 0 g R.

1.6 Problema ebatziak 45 Beraz, abiadura angeluarra txikia bada, beheko puntua da egonkorra, espero bezala; baina, ω handitzean, ezegonkor bihurtzen da ω 0 balioan. Gainera, balio berean sortzen diren θ ± = ± arccos oreka-puntu simetrikoak egonkorrak dira: V (θ ± ) = m ω 2 ( ) ω 4 g2 R 2 g Rω 2 = ± arccos ω2 0 ω 2 = m ω 2 ( ω 4 ω 4 0) > 0. 1.6.4 Talka elastikoa Zergatik suposatzen dugu horma edo zoruaren kontrako talka perpendikular elastiko batean partikularen abiadura alderantzikatzen dela modulua aldatu gabe? Esan genezake, horma higitzen ez denez, bere energia zinetikoa nulua dela beti eta, ondorioz, kontserbatzen den energia zinetiko osoa partikularena dela; baina kontuz ibili behar da: hormaren abiadura nulua da bere masa infinitutzat hartu dugulako eta, orduan, definitu gabe dagoen 0 biderkadura da energia zinetikoa. Problema hobeto aztertzeko, eman dezagun talka aurretik m masako partikularen abiadura u dela eta ondoren v. Hormaren masa M bada eta talka ondoren duen abiadura V, hauexek dira momentu linealaren eta energia zinetikoaren kontserbazio-printzipioak talka elastikoa denean (gogoratu 1.5.4 atala): mu = mv + MV, 1 2 mu2 = 1 2 mv2 + 1 2 MV 2. Hemendik erraz kalkulatzen dira abiadurak kasu orokorrean eta interesatzen zaigun m/m 0 limitean: v = m M m + M u 2m V = m + M u m/m 0 u, m/m 0 0. 1.6.5 Soluzio triangeluarrak Eman dezagun hiru partikulez osaturiko sistema batean partikulen arteko indarrak zentralak eta erakarleak izateaz gain, masen proportzionalak direla: F ji = m i m j g ( r i r j )(r i r j ), g(r) > 0. (Kasu interesgarriena grabitatearen erakarpenari dagokiona da: g(r) = G/r 3.) Froga ezazu hiru partikulak triangelu aldekide baten erpinetan oreka erlatiboan egon daitezkeela, triangelua bere planoaren perpendikularra den abiadura angeluar konstante egokiz biratzen bada partikula-sistemaren masa-zentroaren inguruan. Zein da abiadura angeluarraren balioa?

46 1 Oinarrizko kontzeptuak Aukera dezagun masa-zentroaren sistema: 3 m i r i = 0. i=1 Sistema horretan partikula bakoitzaren higidura zirkularra eta uniformea denez, azelerazioa zentripetoa da: ω 2 r i. Triangeluaren aldeen luzera a bada, r i r j = a dugu eta higidura-ekuazioa hauxe da: m i ω 2 r i = j i m i m j g(a) (r i r j ). Hemendik, ω 2 g(a) r i = m j r i m j r j j i j i lortzen da, eta masa-zentroaren sisteman masa-momentua nulua denez, m j r j = m i r i j i dugu eta, ondorioz, masa osoa M 3 i=1 m i bada, ω 2 g(a) r i = m j r i + m i r i = Mr i. j i Hortaz, higidura-ekuazioak betetzen dira abiadura angeluarra ω = M g(a) bada. Azpimarratu behar da horrelako soluzioa ez dela beti egonkorra izango. Soluzio triangeluar interesgarri bat aztertuko dugu berriro 2.7.4 probleman.

1.7 Problemak 47 1.7 Problemak 1.1 Triedro intrintsekoa. Froga ezazu triedro intrintsekoa honela ere kalkula daitekeela: Iruzkina egin emaitzari. ê t = ṙ ṙ, ê n ṙ (ṙ r) = ṙ (ṙ r) = ṙ2 r (ṙ r)ṙ ṙ 2 r (ṙ r)ṙ, ê b = ṙ r ṙ r. 1.2 Higidura laua.frogatu higidura lauaren kasuan koordenatu polarrak erabiltzen badira, hauexek direla triedro intrintsekoaren bektore unitarioak: ê t = ṙˆr + r ϕ ˆϕ ṙ2 + r 2 ϕ 2, non ǫ = ±1 hurrengo magnitudearen zeinua den: ê ṙ ˆϕ r ϕˆr n = ǫ ṙ2 + r 2 ϕ 2, k (ṙ r) = ṙ (r ϕ + 2ṙ ϕ) r ϕ ( r r ϕ 2). ê b = ǫk, (Ibilbidea norantz kurbatzen den neurtzen du abiadura eta azelerazioaren arteko orientazio erlatibo honek.) 1.3 Partikula baten ibilbidea hurrengo ekuazioak emandakoa da: r = a cosωti + b sin ωtj + ctk. Azter ezazu partikularen zinematika: abiadura, azelerazioaren osagaiak eta abar. 1.4 Tiro parabolikoa. Irudiko partikula u abiaduraz eta horizontalarekiko ϕ angeluaz jaurti da. Zein izan behar du ϕ angeluaren balioak R irispidea maximoa izateko? 1.5 Makila bat pausagunean dago hormaren kontra (eta lurraren gainean, noski). (a) Plano bertikal batean labaintzen hasten bada, nolakoak izango dira puntuen ibilbideak, horma bertikalaren eta makilaren arteko ukipena apurtu arte? (b) Horma eta zorua leunak badira, non apurtzen da aipaturiko ukipena? Zein da makilaren abiadura posizio horizontalera iristen denean? Oharra: Ikus http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/bektoriala/hagatxoa.ds simulazioa.

48 1 Oinarrizko kontzeptuak 1.6 Masa aldakorra. Suziri baten motorrak denbora-unitatean k masako gasak botatzen ditu eta u abiadurarekin. Zein da suziriaren higidura-ekuazioa, norabide bertikalean higitzen bada? Aurki ezazu abiaduraren adierazpena eta altuera maximoa, egitura-masa m 1 bada eta erregaiarena m 2. Suposatu ibilbidean zehar grabitate-azelerazioa konstantea dela. 1.7 Esferaerdi bateko punturik gorenean pausagunean dagoen partikula bat labaintzen hasten da. Marruskadura arbuiagarria bada, non apurtuko da partikula eta esferaerdiaren arteko ukipena? Zein izango da abiadura aldiune horretan? 1.8 Txalupa hasieran pausagunean badago eta marinela brankatik astiro-astiro txoparaino badoa, zein da txalupak kaiarekiko egiten duen distantzia? 1.9 Zenon-en paradoxa. «Akiles-ek dortokak baino bi aldiz arinago egiten du lasterketa. Hasieran haien arteko distantzia estadio batekoa bazen, Akiles-ek estadio hori egin duenerako dortokak beste estadio erdi bat egin du. Akiles azken distantzia honen zehar ibiltzen denean, dortokak estadio laurden bat egiten du. Prozesu hau behin eta berriro errepikatzen denez, korrikalarien arteko distantzia, gero eta txikiagoa izan arren, ez da inoiz ere nulua izango. Beraz, Akiles-ek ez du dortoka harrapatuko». Zer uste duzu zuk honetaz? 1.10 Hidrogeno atomoaren eredu bakun (eta oker) batean m masako elektroia a erradioko zirkunferentzia batean higitzen da pausagunean dagoen nukleoaren inguruan. Energia potentziala k/r bada, zeintzuk dira elektroiaren energia zinetikoa eta momentu angeluarra? Zenbateko energiaren fotoia xurgatu behar du elektroiak erradio bikoitzaren orbitara joateko? Eta atomoa ionizatzeko? 1.11 Kanpoko trenbidetik barnekora igarotzean motorra pizten ez bada eta airearen eragina arbuiagarria bada, nolakoa izango da azkenean irudiko trenaren abiadura: hasierakoa baino handiagoa, txikiagoa ala berdina? Zergatik? 1.12 Partikula bat OX ardatzean higitzen da, F(x) = x x 3 indarraren eraginpean. Jatorrian energia potentziala nulua bada, zein da beste puntu guztietan? Aurkitu oreka-puntuak eta eztabaidatu euren egonkortasuna. Azter ezazu higidura energia mekanikoaren hurrengo balioetarako: E = 1/2, 1/4, 1/8, 0 eta 1. 1.13 Amontons-en legeak. Adibide moduan, aztertu zer gertatzen den, gainean bloke bat duen plano baten angelua handituz doanean? 1.14 Talka elastikoaren definizioa behatzailearen menpekoa ez dela egiaztatzeko, frogatu masa, momentu lineala eta energia zinetikoa erreferentzia-sistema inertzial batean kontserbatzen badira, beste sistema inertzial guztietan ere higidura-konstanteak direla.

1.7 Problemak 49 1.15 Talka superelastikoa. Irudian erakusten den posiziotik bi bolatxo txiki askatzen dira. Zer gertatuko da lurra jo ondoren, talka elastikoa bada? Eztabaidatu, bereziki, m M kasua. Iradokizuna: Azterketa egiteko, suposatu beheko masak zoruarekin topo egin ondoren, gorantz abiatzen den une berean oraindik beherantz datorren goiko partikula aurkitzen duela. 1.16 Egiaztatu zuzenean kalkulu bektorialaren bidez, irudirik erabili gabe, (1.179) eta (1.180) emaitzak. 1.17 Eman dezagun α partikulak erabiltzen direla protoiak bonbardatzeko. Egiaztatu sakabanatze-angelu maximoa θ max 14.58 dela. Zer gertatzen da protoiekin elektroiak erasotzen direnean? (θ max 0.03 lortu zuten Rutherford-ek eta Marsden-ek 1909an egindako esperimentuetan.) 1.18 Pausagunean dagoen nukleo baten eraginez, protoi baten norabideak 56 balioko desbiderapena pairatzen du, nukleoaren atzerapen-angelua 60 delarik. Zeintzuk dira nukleoaren masa atomikoa eta eraman duen energia zinetikoaren frakzioa? 1.29 IRUDIA Norantz higituko da? (Ikus 1.19 problema.) 1.19 Irudiko txirrikaren kanpo- eta barne-erradioak R eta a dira, hurrenez hurren. Barne-zilindroan biribilkaturik dagoen soka bati F indarraz tiratzen badiogu, norantz higituko da txirrika mahai horizontalean labaindu gabe (a) eta (b) kasuetan? Nolako baldintzak bete behar dira (c) kasuan txirrika ez mugitzeko?

50 1 Oinarrizko kontzeptuak 1.20 Talka elastikoa. Irudiko partikularen eta hormaren abiadurak v eta V dira, hurrenez hurren. Talka elastikoaren ondorengo partikularen abiadura hiru modu desberdinetara kalkula daiteke. 1. Egin kalkulua masa-zentroaren (hormaren) sisteman eta erabili Galileo-ren transformazioa laborategian neurturiko abiadura aurkitzeko. 2. Suposatu hormaren M masa finitua dela, egin kalkulua laborategiko sisteman, eta aurkitu M limitea. 3. Ebatzi problema zuzenean laborategiko sisteman, hormak egindako lana kalkulatuz. 1.21 Mahai horizontal leun batean pausagunean dauden bi partikula berdin lotzen dituen malgukia deformatu gabe dago, irudian ikusten den bezala. Hirugarren partikula berdin batek v abiaduraz aurrekoetako bat jotzean, loturik geratzen dira biak. Nola higitzen da sistemaren masa- -zentroa talka ondoren? Zein da malgukiaren deformazio maximoa? 1.22 Newton-en sehaska. Irudiko jostailuan, zenbait bolatxo berdin esekitzen dira bi hagatxo horizontaletatik, pausagune bertikalean ondoz ondoko bolatxoek elkar ukitzen dutelarik. Mutur bateko bolatxoa besteetatik aldendu ondoren askatzen bada, zer gertatzen da? Zergatik? 1.23 Kontsidera dezagun bi partikulez osaturiko sistema mekaniko bat. Defini dezagun masa- -zentroarekin batera eta sistemaren masa osoarekin higitzen den alegiazko partikularen energia zinetikoa, masa-zentroren translazioari dagokiona: T MZ = 1 2 (m 1 + m 2 )Ṙ2 = P 2 2 (m 1 + m 2 ). Bestalde, masa laburbilduaren higidura erlatiboari dagokiona ere kontsideratuko dugu: T erl = 1 m 1 m 2 (ṙ 2 ṙ 1 ) 2. 2 m 1 + m 2 Froga ezazu sistemaren energia zinetiko osoa modu honetan idatz daitekeela: T = T MZ + T erl. 1.24 Kontsidera dezagun 1.5.7 atalean aztertu ditugun bi partikulen arteko talka elastikoetako bat. Froga ezazu, inolako kalkulurik egin gabe, bi partikulen arteko abiadura erlatiboa biratu egiten dela, modulua aldatu gabe.