Συμμετρίες και Quarks Νικόλαος Α. Τετράδης Ιωάννης Γ. Φλωράκης
Περιεχόμενα Εισαγωγικές έννοιες 5. Εισαγωγή............................. 5. Συμμετρία Isospin......................... 0 Στοιχεία Θεωρίας Ομάδων 3. Συμμετρίες και Ομάδες (Groups)................. 3. Άλγεβρα μιας Ομάδας....................... 7.3 Άλγεβρα της Στροφορμής..................... 9.4 Αναπαραστάσεις της Ομάδας................... 3.5 Η Ομάδα SU().......................... 8.6 Σύνθεση Αναπαραστάσεων.................... 3.7 Πεπερασμένες ομάδες συμμετρίας P, C............. 36.8 SU()-Isospin........................... 37.9 Η ομάδα SU(3).......................... 39.0 Διάγραμμα Βάρους........................ 4. Isospin και Strangeness...................... 4 3 Στατικό Μοντέλο των Quarks 49 3. Κβαντικοί Αριθμοί των Quarks.................. 49 3. Ιδιοκαταστάσεις (q q): Μεσόνια.................. 54 3.3 Προβλέψεις για τα μεσόνια.................... 6 3.4 Ιδιοκαταστάσεις (qqq): Βαρυόνια................. 64 3.5 Αναλυτικός προσδιορισμός ιδιοκαταστάσεων........... 75 3.6 Προβλέψεις για τα βαρυόνια.................... 8 3.7 Μαγνητικές Ροπές......................... 87 3
4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Κεφάλαιο Εισαγωγικές έννοιες. Εισαγωγή Παρατηρούμε πειραματικά ότι η μάζα του πρωτονίου και του νετρονίου είναι περίπου ίσες: m p m n. Η σύμπτωση αυτή μας οδηγεί να θεωρήσουμε το πρωτόνιο p και το νετρόνιο n ως δύο ιδιοκαταστάσεις (states) isospin ενός και μόνο σωματίου, του νουκλεονίου. Για παράδειγμα, έχουμε δύο ιδιοκαταστάσεις spin για ένα σωμάτιο με spin S = /: την ιδιοκατάσταση με προβολή spin στον z-άξονα m = +/ (σύμβολο ) και την ιδιοκατάσταση με m = / (σύμβολο ). Και στις δύο καταστάσεις, η μάζα του σωματίου είναι η ίδια: m( ) = m( ). Οι δύο καταστάσεις spin για το σωμάτιο αποτελούν μια διπλέτα (doublet). Κατ αναλογία, έχουμε δύο ιδιοκαταστάσεις isospin για ένα σωμάτιο με isospin I = / (π.χ. νουκλεόνιο): την ιδιοκατάσταση με προβολή isospin στον z-άξονα I 3 = +/ (σύμβολο p) και την ιδιοκατάσταση με I 3 = / (σύμβολο n). Και στις δύο καταστάσεις, η μάζα του σωματίου είναι η ίδια: m(p) m(n). Οι ιδιοκαταστάσεις isospin (p, n) σχηματίζουν μια διπλέτα (isospin doublet). Εστω ένα σύστημα δύο νουκλεονίων. Κάθε νουκλεόνιο έχει spin / με ι- διοκαταστάσεις spin (, ). Σύμφωνα με την πρόσθεση στροφορμών, το σύστημα δύο νουκλεονίων μπορεί να έχει είτε S = (συμμετρική τριπλέτα + = 3 - spin triplet), είτε S = 0 (αντισυμμετρική απλέτα 0 + = - spin singlet). Οι ιδιοκαταστάσεις αυτές είναι: S =, M S = = spin triplet S =, M S = 0 = ( + ) S =, M S = = { spin singlet S = 0, M S = 0 = ( ) 5 (.)
6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚ ΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Παρατηρούμε ότι η τριπλέτα είναι συμμετρική και η απλέτα αντισυμμετρική στην εναλλαγή των νουκλεονίων () και (). Για να καταλήξουμε στις καταστάσεις (.), αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τον τελεστή κατάβασης (lowering operator) S, η δράση του οποίου πάνω στην ιδιοκατάσταση S, M S είναι: S S, M S = S(S + ) M S (M S ) S, M S. (.) Κατασκευάζουμε την ανώτερη κατάσταση S =, M S =, η οποία θα πρέπει να είναι γραμμικός συνδυασμός όλων των δυνατών ιδιοκαταστάσεων S = /, M S S = /, M S, των δύο νουκλεονίων (όπου M S = ±/), έτσι ώστε M S = M S + M S, δηλαδή: S, M S = M S +M S =M S C (S) M S M S /, M S /, M S. (.3) Οι συντελεστές C (S) M S M S ονομάζονται συντελεστές Clebsch-Gordan και βρίσκονται καταχωρημένοι σε πίνακες. Να σημειωθεί, ότι /, / και /, /. Για την ανώτερη κατάσταση S =, M S =, ο μοναδικός συνδυασμός των M S, M S (με επιτρεπτές τιμές ±/) που δίνει M S +M S = είναι ο προφανής M S = M S = / (συμμετρική κατάσταση). Επομένως, S =, M S = = /, / /, /. Για να βρούμε την αμέσως χαμηλότερη κατάσταση S =, M S = 0, θα δράσουμε στην S =, M S = με τον τελεστή S. Ο τελεστής S για τις ιδιοκαταστάσεις του ολικού συστήματος δύο σωματιδίων είναι S = S x is y = (S x, + S x, ) i(s y, + S y, ) = (S x is y ) + (S x is y ) = S, + S,. Η δράση του τελεστή κατάβασης θα γίνει ως εξής: S, = (S, + S, ) = (S, ) + (S, ). Από την σχέση (.), έχουμε S,(i) = ( + ) ( ) =, όπου i =,. Συνεπώς, η δράση του τελεστή S δίνει S, = +. Αλλά, S, = ( + ) ( ), 0 =, 0. Επομένως, λύνοντας ως προς την, 0, έχουμε το δεύτερο μέλος της διπλέτας (σε κανονικοποιημένη μορφή):, 0 = ( + ). (.4) Χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο μπορούμε να προσδιορίσουμε την κατάσταση,. Συγκεκριμένα, έχουμε: S, 0 =, = (S, ) + (S, ) =,
.. ΕΙΣΑΓΩΓ Η 7 δηλαδή,, =. (.5) Παρατηρούμε ότι, ξεκινώντας από την συμμετρική ιδιοκατάσταση, και δρώντας με τον συμμετρικό (ως προς τα δύο σωμάτια) τελεστή S = S, + S,, θα προκύψουν + = 3 συμμετρικές καταστάσεις με το ίδιο S =, και με όλες τις δυνατές προβολές M S (τριπλέτα). Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε τις καταστάσεις S = 0 (δηλαδή την α- πλέτα (singlet) 0, 0 ) με απλή χρήση του S, όπως προηγουμένως, διότι ο τελεστής S (Casimir operator) μετατίθεται με τον S, δηλαδή [ S, S ] = 0, και συνεπώς ο S δεν αποτελεί τελεστή κατάβασης για την ιδιοτιμή S. Επιστρέφουμε στο ανάπτυγμα (.3) και παρατηρούμε ότι οι μόνες επιτρεπτές τιμές για τα M, M ώστε να έχουν άθροισμα μηδέν, είναι οι M = /, M = / και η M = /, M = /. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε 0, 0 = C /, / +C /,/, όπου απομένει να προσδιοριστούν οι συντελεστές Clebsch-Gordan του αναπτύγματος. Το ανάπτυγμα της παραπάνω κατάστασης μοιάζει στην, 0, διότι και οι δύο αποτελούν γραμμικούς συνδυασμούς των ιδίων ανυσμάτων βάσης. Επειδή, όμως, οι δύο αυτές ιδιοκαταστάσεις είναι διαφορετικές (αντιστοιχούν σε διαφορετικό S), θα είναι ορθογώνιες. Η σχέση ορθοκανονικότητας γράφεται γενικά S, M S, M = δ SS δ MM. Εφαρμόζουμε την απαίτηση ορθογωνιότητας στις, 0 και 0, 0 : 0, 0, 0 = 0 = (C /, / + C /,/ ), η οποία συνεπάγεται, αμέσως, C /, / = C /,/. Δηλαδή, στην σχέση παραμένει μόνο μια πολλαπλασιαστική σταθερά, η οποία προσδιορίζεται από την κανονικοποίηση: 0, 0 = C /, / ( ). Οπότε, βρίσκουμε και την κανονικοποιημένη μορφή της αντισυμμετρικής απλέτας (singlet): 0, 0 = ( ). (.6) Το κάθε νουκλεόνιο έχει isospin I = /, ώστε η I 3 = ±/ να αντιστοιχεί στην κατάσταση του p και του n, αντίστοιχα. Κατ αναλογία με το spin, οι δυνατές καταστάσεις isospin δύο νουκλεονίων θα περιλαμβάνουν μια συμμετρική τριπλέτα (I = ) και μία αντισυμμετρική απλέτα (I = 0). Συγκεκριμένα, I =, I 3 = = pp isospin triplet I =, I 3 = 0 = (pn + np) (.7) I =, I 3 = = nn { isospin singlet I = 0, I 3 = 0 = (pn np)
8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚ ΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Παράδειγμα Αν τα δύο νουκλεόνια βρίσκονται σε καταστάσεις χαμηλών σχετικών ενεργειών (σχετικής τροχιακής στροφορμής L = 0), να χρησιμοποιηθεί η Αρχή του Pauli για να δειχθεί ότι το άθροισμα S + I είναι περιττός ακέραιος. Ως γνωστόν, το πρόβλημα των δύο σωμάτων που αλληλεπιδρούν με δυναμικό V ( r r ) ανάγεται στον προσδιορισμό της κίνησης του κέντρου μάζας και της σχετικής κίνησης, δηλαδή της κίνησης σωματίου (μάζας ίσης με την ανηγμένη μάζα) στο κεντρικό δυναμικό V (r) = V (r). Τότε, οι ιδιοσυναρτήσεις της στροφορμής L στην αναπαράσταση θέσης είναι απλώς οι σφαιρικές αρμονικές Yl m (Ω), οι οποίες έχουν ομοτιμία (parity) ( ) l. Προφανώς, η εναλλαγή των σωματίων () και () σε σφαιρικές συντεταγμένες συνεπάγεται τον μετασχηματισμό r r, Ω Ω. Επομένως, Yl m ( Ω) = ( ) l Yl m (Ω). Για χαμηλές ενέργειες το σύστημα βρίσκεται στη θεμελιώδη στάθμη (ground state) με L = M = 0, έτσι ώστε Y0 0 ( Ω) = Y0 0 (Ω). Αυτό σημαίνει ότι η χωρική κυματοσυνάρτηση είναι συμμετρική στην εναλλαγή των σωματιδίων. Για να μην παραβιάζεται η απαγορευτική αρχή του Pauli πρέπει η ολική κυματοσυνάρτηση του συστήματος να είναι αντισυμμετρική στην εναλλαγή των δύο σωματίων. Η κυματοσυνάρτηση του συστήματος θα είναι ψ(, ) = χωρική S, S 3 I, I 3. Κατά την εναλλαγή, έχουμε S, S 3 ( ) S S, S 3 και I, I 3 ( ) I I, I 3. Επομένως ψ(, ) = ( ) S+I ψ(, ). Η απαίτηση του να είναι αντισυμμετρική η ολική κυματοσυνάρτηση γράφεται ( ) S+I =, το οποίο συνεπάγεται ότι ο εκθέτης S + I είναι περιττός ακέραιος. Η πυρηνική δύναμη παραμένει αναλλοίωτη (invariant) σε μετασχηματισμούς isospin, δηλαδή είναι ανεξάρτητη από την τιμή του I 3 σε κάθε πολλαπλέτα ( σε κάθε σύνολο ιδιοκαταστάσεων με καθορισμένο I). Η σημασία της αναλλοιότητας αυτής θα φανεί, αμέσως, εξετάζοντας τους πυρήνες 6 He, 6 3Li και 6 4Be. Οι πυρήνες αυτοί μπορούν να θεωρηθούν ως δέσμια συστήματα nn, np και pp κολλημένα σε ένα σωμάτιο άλφα 4 He το οποίο έχει I = 0, δηλαδή: 6 He = 4 He + nn 6 3Li = 4 He + np (.8) 6 4Be = 4 He + pp Αν κάνουμε μια διόρθωση για την άπωση Coulomb μεταξύ των πρωτονίων και για την διαφορά μάζας p n, προκύπτει ότι οι μάζες του 6 He και του 6 4Be είναι ίσες, ενώ το λίθιο, 6 3Li, μπορεί να βρεθεί σε δύο καταστάσεις: μια με ίδια μάζα με τους άλλους δύο πυρήνες και μια δεύτερη κατάσταση διαφορετικής μάζας. Οι διορθωμένες πυρηνικές μάζες συμφωνούν με τις προβλέψεις για μια τριπλέτα I = (περιλαμβάνει τους πυρήνες ηλίου και βηρυλλίου καθώς και τον πυρήνα λιθίου στη διεγερμένη κατάσταση) και μια απλέτα I = 0(που αποτελεί την
.. ΕΙΣΑΓΩΓ Η 9 θεμελιώδη κατάσταση του λιθίου). Το γεγονός ότι παρουσιάζεται εκφυλισμός (ως προς τις μάζες), αντικατοπτρίζει το γεγονός ότι η πυρηνική δύναμη είναι αναλλοίωτη σε στροφές isospin (δηλαδή, η πυρηνική δύναμη συμπεριφέρεται ισότιμα σε όλα τα μέλη μιας πολλαπλέτας αδρονίων).
0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚ ΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Συμμετρία Isospin Αναφέραμε παραπάνω ότι οι πυρηνικές (ισχυρές) δυνάμεις είναι αναλλοίωτες σε στροφές στον χώρο του isospin. Η συμμετρία αυτή ονομάζεται συμμετρία isospin. Η συμμετρία αυτή μπορεί να γίνει περισσότερο κατανοητή με βάση μια αναλογία. Οπως γνωρίζουμε, υπάρχει απροσδιοριστία( ελευθερία) προσανατολισμού ενός ηλεκτρονίου σε κεντρικό δυναμικό. Δηλαδή, μια κατάσταση με καθορισμένη στροφορμή l περιέχει (l + ) δυνατές ιδιοκαταστάσεις ( δυνατούς προσανατολισμούς), οι οποίες είναι ισοδύναμες μεταξύ τους, αφού η ενέργεια E = E nl εξαρτάται μόνο από το μετρο l της στροφορμής και όχι από τον προσανατολισμό (δηλαδή τον κβαντικό αριθμό m). Η απροσδιοριστία του προσανατολισμού συνδέεται με τη συμμετρία του προβλήματος σε στροφές (rotational invariance): Η Χαμιλτονιανή (ουσιαστικά το δυναμικό V (r) = V (r)) είναι α- ναλλοίωτη σε στροφές. Η συμμετρία αυτή της H οδηγεί στον εκφυλισμό του φάσματος. Ο εκφυλισμός συνίσταται στο ότι (l + ) διαφορετικές ιδιοκαταστάσεις αντιστοιχούν στην ίδια ιδιοτιμή ενέργειας. Το ότι ο εκφυλισμός είναι συνέπεια της συμμετρίας προκύπτει αν θεωρήσομε τον τελεστή U ο οποίος θα δράσει πάνω στις καταστάσεις του συστήματος και θα εκτελέσει την στροφή (ή όποια άλλη πράξη συμμετρίας θελήσομε). Η κατάσταση μετασχηματίζεται σύμφωνα με τη σχέση: ψ ψ = U ψ. (.9) Η πιθανότητα ένα σύστημα που περιγράφεται από την κατάσταση ψ να βρίσκεται και στην κατάσταση φ πρέπει να παραμένει αναλλοίωτη κάτω από το μετασχηματισμό. Αυτό συνεπάγεται: ψ φ = ψ φ = ψ U U φ. (.0) Επομένως ο τελεστής U πρέπει να είναι μοναδιακός: U U =. (.) Αν οι στροφές στο χώρο isospin είναι συμμετρίες του συστήματος, θα πρέπει η Χαμιλτονιανή να παραμένη αναλλοίωτη κάτω από τη δράση του τελεστή U. Αυτό σημαίνει ότι τα στοιχεία πίνακα φ H ψ πρέπει να παραμένουν αμετάβλητα σε στροφές isospin: φ H ψ = φ H ψ = φ U HU ψ, (.) για όλες τις καταστάσεις φ, ψ. Επομένως, η Χαμιλτονιανή θα πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση: U HU = H. (.3)
.. ΣΥΜΜΕΤΡ ΙΑ ISOSPIN Οι ιδιοκαταστάσεις της Χαμιλτονιανής H ικανοποιούν την εξίσωση: Η δράση του U από τα αριστερά στην εξίσωση δίνει: H ψ = E ψ. (.4) UH ψ = E (U ψ ) = UHU (U ψ ) = H (U ψ ). (.5) Συνεπώς, η μετασχηματισμένη κατάσταση ψ = U ψ πρέπει να είναι ιδιοκατάσταση της Χαμιλτονιανής με την ίδια ιδιοτιμή με την ψ (εκφυλισμός). Με το ίδιο ακριβώς σκεπτικό, και επειδή παρατηρούμε ότι υπάρχει εκφυλισμός μαζών ( ενεργειών) τάξης 3 σε σύστημα δύο νουκλεονίων, υποθέτουμε την ύπαρξη του (ανάλογου με το spin) κβαντικού αριθμού isospin I. Για δεδομένο I υπάρχουν I + ιδιοκαταστάσεις, οι οποίες είναι ισοδύναμες μεταξύ τους αφού οδηγούν σε εκφυλισμό (ίσες μάζες σε κάθε τριπλέτα με I = ). Η ισοδυναμία αυτή των (I + ) ιδιοκαταστάσεων isospin (ή αλλιώς ο εκφυλισμός μαζών τάξης I + ) θα πρέπει κατ αναλογία με τα παραπάνω να είναι αποτέλεσμα κάποιας ειδικής συμμετρίας του προβλήματος. Αυτή δεν είναι άλλη από την προαναφερθείσα αναλλοιότητα των πυρηνικών δυνάμεων σε μετασχηματισμούς isospin. Η αναλλοιότητα των πυρηνικών δυνάμεων στις αλλαγές του I 3 (για δεδομένο κάθε φορά I), δηλαδή η αδυναμία διάκρισης από τις πυρηνικές δυνάμεις των καταστάσεων με διαφορετικά I 3 ως διαφορετικών, ονομάζεται α- ναλλοιότητα isospin(isospin invariance). Παράδειγμα Να προσδιορισθεί ο λόγος των ενεργών διατομών των διασπάσεων pp π + d και np π 0 d. Θεωρήστε ότι το δευτέριο (d) έχει I = 0 (απλέτα) και το πιόνιο (π) έχει I = (τριπλέτα π +, π 0, π ). Για την πρώτη διάσπαση pp π + d, το isospin των προιόντων θα είναι I = I π + I d και επειδή I d = 0, θα είναι I = I π. Συνεπώς I = I π =, άρα και I 3 = (διότι το π + είναι το μέλος της τριπλέτας isospin του πιονίου με το μεγαλύτερο φορτίο και άρα θα έχει I π + = +). Για τη δεύτερη διάσπαση np π 0 d στην τελική κατάσταση είναι I = και I 3 = 0. Η ενεργός διατομή είναι ανάλογη με το τετράγωνο του πλάτους μετάβασης: σ T fi f V i. (.6) Οι δύο διασπάσεις διαφέρουν μόνο στο isospin. Συνεπώς, η τελική f (final) και αρχική i (initial) καταστάση θα είναι ουσιαστικά οι ιδιοκαταστάσεις isospin.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚ ΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Για την πρώτη διάσπαση, η αρχική ιδιοκατάσταση isospin είναι μια κατάσταση pp =,, ενώ η τελική είναι π + d =,. Συνεπώς, η ενεργός διατομή για την πρώτη διάσπαση είναι σ, V,. (.7) Για τη δεύτερη διάσπαση, η αρχική κατάσταση είναι np = (, 0 0, 0 ), ενώ για την τελική π 0 d =, 0. Συνεπώς, η ενεργός διατομή για τη δεύτερη διάσπαση είναι σ (, 0 0, 0 ) V, 0 =, 0 V, 0. (.8) Σημειώνεται ότι στην τελευταία εξίσωση χρησιμοποιήθηκε η ορθογωνιότητα των ιδιοκαταστάσεων isospin. Υπολογίζουμε τον λόγο των ενεργών διατομών: σ (pp π + d) σ (np π 0 d) V, =, =, (.9), 0 V, 0 διότι, όπως προαναφέρθηκε, λόγω συμμετρίας isospin, οι πυρηνικές δυνάμεις δεν κάνουν διάκριση στην I 3 -συνιστώσα του isospin, με αποτέλεσμα τα δύο εσωτερικά γινόμενα στην (.9), επειδή αναφέρονται και τα δύο σε καταστάσεις με I =, να είναι ίσα. Προκύπτει από την εξίσωση (.7) αν λύσουμε ως προς np.
Κεφάλαιο Στοιχεία Θεωρίας Ομάδων. Συμμετρίες και Ομάδες (Groups) Η ομάδα των στροφών (Rotation Group) αποτελείται από το σύνολο των στροφών στον τριδιάστατο χώρο. Αν R και R είναι στροφές (δηλαδή ανήκουν στην ομάδα), τότε και το γινόμενό τους R R είναι επίσης στροφή (οπότε ανήκει επίσης στην ομάδα). Δηλαδή, το σύνολο των στροφών είναι κλειστό στον πολλαπλασιασμό ( σύνθεση στροφών). Μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι υπάρχει μοναδιαίο στοιχείο () στην ο- μάδα, η οποία αντιστοιχεί στην στροφή κατά γωνία μηδέν, ώστε να ισχύει R = R = R για κάθε στοιχείο R της ομάδας. Ακόμα, κάθε στοιχείο R έχει και αντίστροφο R, ώστε να ισχύει RR = R R =. Αυτό ισχύει, προφανώς, και για τις στροφές, αφού το αντίστροφο της στροφής κατά γωνία φ είναι η στροφή κατά γωνία ( φ) στο ίδιο επίπεδο. Το γινόμενο δεν είναι απαραίτητα μεταθετικό, δηλαδή R R R R, εκτός άπο τις στροφές στο ίδιο επίπεδο. Ισχύει, όμως, πάντα η προσεταιριστική ιδιότητα R (R R 3 ) = (R R )R 3. Η ομάδα είναι συνεχής, υπό την έννοια ότι κάθε στροφή περιγράφεται από ένα σύνολο συνεχών παραμέτρων (α, α, α 3 ), όπως π.χ. οι τρεις γωνίες του Euler. Οι παράμετροι αυτές μπορούν να ομαδοποιηθούν ως συνιστώσες διανύσματος a = (α, α, α 3 ) με κατεύθυνση κάθετη στο επίπεδο περιστροφής και μέτρο τη γωνία περιστροφής. Επίσης, η ομάδα των στροφών είναι μια ομάδα Lie, διότι κάθε πεπερασμένη στροφή (ενν. κατά πεπερασμένη γωνία) μπορεί να προκύψει ως γινόμενο απειροστών στροφών. Τότε η ομάδα καθορίζεται πλήρως από τη συμπεριφορά της γύρω από την μονάδα (γύρω από το ταυτοτικό στοιχείο). Είναι φανερό ότι το αποτέλεσμα ενός πειράματος δεν μπορεί να εξαρτάται από τον προσανατολισμό της μετρητικής συσκευής. Επομένως, οι στροφές πρέπει να 3
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΘΕΩΡ ΙΑΣ ΟΜ ΑΔΩΝ είναι συμμετρίες του συστήματος. Εξ ορισμού, η Φυσική παραμένει αμετάβλητη σε ένα μετασχηματισμό-συμμετρία. Επομένως, πρέπει οι πιθανότητες μετάβασης (και οι μέσες τιμές, ως υποπερίπτωση) να παραμένουν αναλλοίωτες σε στροφές. Εστω ψ η κατάσταση ενός συστήματος, η οποία μετά από μια στροφή των συντεταγμένων μετασχηματίζεται στην ψ = U ψ, όπου U είναι ο τελεστής του μετασχηματισμού. Ουσιαστικά ο U αντιστοιχεί στην αναπαράσταση της ομάδας στο χώρο των καταστάσεων του συστήματος. Στην περίπτωση μας U = U(R) αντιστοιχεί στο στοιχείο στροφής R της ομάδας. Η πιθανότητα ένα σύστημα που περιγράφεται από την κατάσταση ψ να βρεθεί στην κατάσταση φ, πρέπει να παραμένει αμετάβλητη σε στροφές: φ ψ = φ ψ = φ U U ψ. (.) Τα εσωτερικά γινόμενα παραμένουν αναλλοίωτα για κάθε φ, ψ καταστάσεις. Επομένως, U U =, δηλαδή ο τελεστής U είναι μοναδιακός (unitary). Οι unitary τελεστές U(R ), U(R ),... σχηματίζουν ομάδα με την ίδια ακριβώς δομή με την ομάδα των στροφών, ή αλλιώς, σχηματίζουν μια μοναδιακή αναπαράσταση της ομάδας των στροφών. Δηλαδή σε κάθε στροφή R μπορούμε να αντιστοιχίσουμε έναν μοναδιακό τελεστή U(R), ο οποίος δρώντας στον χώρο των καταστάσεων ψ μετασχηματίζει τις καταστάσεις σε στραμμένες ψ, οι συντεταγμένες θέσης x των οποίων έχουν στραφεί σύμφωνα με την R. Αν οι στροφές R της ομάδας είναι συμμετρίες του συστήματος, θα πρέπει η Χαμιλτονιανή να παραμένει μοναδιακά αναλλοίωτη (unitarily invariant). Αυτό σημαίνει ότι τα στοιχεία πίνακα φ H ψ της Χαμιλτονιανής πρέπει να παραμένουν αμετάβλητα σε στροφές: φ H ψ = φ H ψ = φ U HU ψ, (.) για όλες τις καταστάσεις φ, ψ. Επομένως, η Χαμιλτονιανή θα πρέπει -όπως είδαμε και σε προηγούμενη παράγραφο- να παραμένει μοναδιακά αναλλοίωτη, δηλαδή U HU = H. Η σχέση αυτή μπορεί να πολλαπλασιαστεί από τα αριστερά με U και κάνοντας χρήση της ιδιότητας - ορισμού U U = των μοναδιακών τελεστών, να δώσει [H, U] = 0. Συνεπώς, η απαίτηση του να μην εξαρτάται η Φυσική από το σύστημα συντεταγμένων (συμμετρία), επιβάλλει ο τελεστής U των στροφών να μετατίθεται με την H. Αλλά όταν ένα μέγεθος μετατίθεται με την Χαμιλτονιανή του προβλήματος, διατηρεί την μέση τιμή του χρονικά σταθερή. Επομένως, η παραπάνω μεταθετική σχέση υποδηλώνει την ύπαρξη μιας διατηρούμενης ποσότητας. Ο ίδιος ο τελεστής U παρόλο που διατηρείται, δεν αντιστοιχεί σε παρατηρήσιμο φυσικό μέγεθος (observable) διότι είναι μοναδιακός (U = U ) και όχι ερμιτιανός (A = A). Συνεπώς, η μέση τιμή και οι ιδιοτιμές του δεν είναι πραγματικοί αριθμοί για όλες τις καταστάσεις του συστήματος. Θα δούμε, όμως, ότι ο γεννήτορας του U (ο γεννήτορας των στροφών) είναι παρατηρήσιμο μέγεθος και μάλιστα διατηρούμενο.
.. ΣΥΜΜΕΤΡ ΙΕΣ ΚΑΙ ΟΜ ΑΔΕΣ (GROUPS) 5 Οπως αναφέραμε και στα προηγούμενα, σε μια ομάδα Lie όλες οι ιδιότητες μπορούν να εξαχθούν μελετώντας απειροστούς μετασχηματισμούς πολύ κοντά στο ταυτοτικό στοιχείο (). Για παράδειγμα, η στροφή κατά απειροστή γωνία ɛ γύρω από τον άξονα z, U = U z (ɛ) σε πρώτη τάξη (ως προς ɛ) θα γράφεται: U(ɛ) = U(0) + ɛ ɛ ɛ=0 U + O(ɛ ). Ως γνωστόν, κάθε μοναδιακός τελεστής μπορεί να γραφεί στη γενική μορφή U = e ia(ɛ) όπου A(ɛ) κατάλληλος ερμιτιανός τελεστής. Αναπτύσσοντας την έκφραση αυτή για μικρά ɛ έχουμε U = + i A ɛ ɛ=0 ɛ + O(ɛ ). Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι ο γεννήτορας θα πρέπει να εκφρασθεί ως Uz ɛ ɛ=0 = ij 3, όπου J 3 κατάλληλος ερμιτιανός τελεστής (τον οποίο ονομάζουμε γεννήτορα (generator) των στροφών γύρω από τον άξονα z). Δηλαδή γράφουμε το ανάπτυγμα ως: U z = iɛj 3 + O(ɛ ). (.3) Απομένει μόνο να προσδιοριστεί ο τελεστής J 3, ο οποίος θα αντιστοιχεί σε διατηρήσιμο και παρατηρήσιμο φυσικό μέγεθος (observable), μια και είναι ερμιτιανός. Μάλιστα, είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι η απαίτηση να είναι μοναδιακός ο U δίνει: U U = ( + iɛj 3)( iɛj 3 ) = + iɛ(j 3 J 3 ) + O(ɛ ) =. (.4) Για να ισχύει η εξίσωση αυτή σε πρώτη τάξη ως προς ɛ, θα πρέπει J 3 = J 3, δηλαδή θα πρέπει ο γεννήτορας J 3 να είναι ερμιτιανός. Θα μελετήσουμε την δράση της στροφής R στην κυματοσυνάρτηση (αναπαράσταση θέσης) r ψ = ψ(r) ενός συστήματος. Υπάρχουν δύο ισοδύναμοι τρόποι να εκτελέσουμε την στροφή. Είτε στρέφουμε τις συντεταγμένες κρατώντας σταθερό το σύστημα (passive), είτε στρέφουμε το σύστημα, κρατώντας σταθερούς τους άξονες (active). Σημειώνεται ότι στροφή των αξόνων κατά γωνία θ ισοδυναμεί με στροφή του συστήματος κατά γωνία ( θ). Στρέφοντας το σύστημα, η αρχική κυματοσυνάρτηση ψ(r) γίνεται (ψ(r)) = U(R)ψ(r) = ψ(r r). Εκτελώντας μια απειροστή στροφή γύρω από τον z- άξονα, έχουμε R r (x + ɛy, y ɛx, z). Επομένως, το ανάπτυγμα Taylor γίνεται: U(R)ψ(r) = ψ(x + ɛy, y ɛx, z) = ψ(r) iɛ(/i) (x y y x ) ψ. (.5) Μπορούμε να ξαναγράψουμε την τελευταία εξίσωση υπό μορφή τελεστών: ( Uψ(r) = (iɛ) ) i (x y y x ) ψ. (.6) Ο A πρέπει να είναι απαραίτητα ερμιτιανός ώστε να ισχύει η ιδιότητα-ορισμός U U = e ia e ia =.
6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΘΕΩΡ ΙΑΣ ΟΜ ΑΔΩΝ Οπότε από την σύγκριση των εξισώσεων (.6) και (.3), βρίσκουμε την έκφραση του γεννήτορα J 3. Μάλιστα, αν παρατηρήσουμε ότι (/i) j p j (όπου j =,, 3), μπορούμε να δούμε ότι ο γεννήτορας γράφεται: J 3 = xp y yp x, (.7) δηλαδή ο γεννήτορας J 3 των στροφών γύρω από τον άξονα-z αναγνωρίζεται ως η τρίτη συνιστώσα του τελεστή της (τροχιακής) στροφορμής. Συνεπώς, αφού ο J 3 διατηρείται, και οι ιδιοτιμές της J 3 θα διατηρούνται κατά την κίνηση και θα αποτελούν καλούς κβαντικούς αριθμούς. Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι μια συμμετρία του συστήματος οδηγεί σε διατηρούμενη ποσότητα. Στην περίπτωσή μας, η συμμετρία ως προς στροφές οδηγεί στην διατήρηση της τροχιακής στροφορμής (conservation of angular momentum). Μια πεπερασμένη στροφή κατά γωνία θ (όχι απαραίτητα μικρή) μπορεί να προκύψει ως διαδοχή n απειροστών στροφών ɛ 0. Υποθέτουμε ότι η γωνία θ αποτελείται από n απειροστές στροφές κατά ɛ, δηλαδή θ = nɛ. Θεωρούμε ότι n και το ɛ 0 κατά τέτοιο τρόπο ώστε το γινόμενό τους θ να είναι πεπερασμένο. Μπορούμε να χτίσουμε μια πεπερασμένη στροφή κατά θ εκτελώντας διαδοχικά n απειροστές στροφές κατά ɛ: ( U(θ) = (U(ɛ)) n = ( iɛj 3 ) n = i θ n 3) n J e iθj 3. (.8) Στην τελευταία έκφραση χρησιμοποιήσαμε το γνωστό όριο ( + x/n) n e x όταν n. Συνεπώς, κάθε στροφή γύρω από ένα αυθαίρετο άξονα n μπορεί να γραφεί στην γενική μορφή: U(θ) = exp ( iθn J). (.9) Για στροφές γύρω από τους άξονες x και y, οι ερμιτιανοί γεννήτορες θα είναι οι αντίστοιχες συνιστώσες της στροφορμής J και J.
.. ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΙΑΣ ΟΜ ΑΔΑΣ 7. Άλγεβρα μιας Ομάδας Η δομή μιας ομάδας Lie καθορίζεται από τις σχέσεις μετάθεσης μεταξύ των γεννητόρων, δηλαδή από την Άλγεβρα των μεταθετών (commutator algebra) της ομάδας. Ας θεωρήσουμε μια ομάδα με γεννήτορες S i, ώστε κάθε στοιχείο της να μπορεί να αναπαρασταθεί από τον τελεστή U i (ɛ) = exp( iɛs i ). Αν εκτελέσουμε τρεις διαδοχικές πράξεις U i (ɛ)u j (θ)u i ( ɛ), τότε σε πρώτη τάξη ως προς ɛ θα έχουμε: U tot = e iɛs i e iθs j e iɛs i = ( iɛs i )e iθs j ( + iɛs i ). (.0) Ας προσπαθήσουμε να σκεφτούμε τί θα συνέβαινε από φυσική άποψη αν i = j. Τότε, προφανώς, η κάθε στροφή θα γινόταν γύρω από τον ίδιο άξονα i = j, ο- πότε το γινόμενο θα ήταν μεταθετικό. Τότε, λοιπόν, η πρώτη στροφή κατά ɛ θα εξουδετέρωνε την τρίτη στροφή κατά +ɛ, οπότε η όλη διαδικασία θα συνίστατο σε μία και μόνο στροφή κατά θ (που προέρχεται από την δεύτερη στροφή). Στην περίπτωση όμως που i j, οι γεννήτορες S i και S j δεν μετατίθενται. Συνεπώς, περιμένουμε το αποτέλεσμα μας να είναι αρκετά διαφορετικό από το απλό e iθs j. Οπωσδήποτε, όμως, θα πρέπει το αποτέλεσμά μας να εκφυλίζεται στην απλή αυτή μορφή όταν [S i, S j ] = 0. Περιμένουμε, δηλαδή, σε πρώτη τάξη ως προς ɛ και θ, να ισχύει μια σχέση της μορφής U tot = e iθs j + iɛ [S i, S j ] M για κάποιον τελεστή M, ώστε να καταλήγει στο σωστό ανάπτυγμα όταν οι γεννήτορες μετατίθενται. Πράγματι, αν εκτελέσουμε τις πράξεις στην (.0) θα δούμε ότι το αποτέλεσμα μπορεί να τεθεί στη μορφή: U tot = e iθs j + iɛ [ e iθs j, S i ] + O(ɛ ). (.) Αν το e iθs j αναπτυχθεί γύρω από το θ = 0, δηλαδή e iθs j = iθs j θ S j +..., είναι εύκολο να φανεί ότι [e iθs j, S i ] = iθ[s j, S i ]+O(θ ), οπότε η σχέση που μαντέψαμε στα παραπάνω ικανοποιείται! Μάλιστα, η (.) αν γραφεί για όρους ανώτερης τάξης ως προς ɛ και για τυχαίο μεσαίο τελεστή Z αντί του exp ( iθs j ) γράφεται: e iɛs Ze iɛs = Z + iɛ[s, Z] (/)ɛ [S, [S, Z]] + O(ɛ 3 ), (.) και ονομάζεται εξίσωση Baker-Hausdorff. Αν, τώρα, εκτελέσουμε πριν α- πό τις τρεις αυτές στροφές ακόμα μια που να τείνει να εξουδετερώσει την exp( iθs j ), σε μηδενική τάξη ως προς ɛ και θ θα πάρουμε τον ταυτοτικό τελεστή, ενώ οι διορθώσεις πρώτης τάξης ως προς (ɛθ) θα είναι ανάλογες του μεταθέτη [S i, S j ]. Για την ακρίβεια θα είναι: U tot = e iɛs i e iθs j e iɛs i e iθs j = + (ɛ θ) [S i, S j ] +..., (.3)
8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΘΕΩΡ ΙΑΣ ΟΜ ΑΔΩΝ όπου οι όροι ανώτερης τάξης έχουν παραλειφθεί. Το γινόμενο (σύνθεση) των τεσσάρων στροφών είναι και αυτό στροφή (κλειστότητα της ομάδας). Συνεπώς θα μπορεί σε πρώτη τάξη ως προς (ɛθ) να γραφεί στην γενική εκθετική μορφή: ( U tot = exp i(ɛ θ) ) Cɛ,θS k k = + i(ɛ θ) Cɛ,θS k k +.... (.4) k k Συγκρίνοντας τις (.4) και (.3) σε πρώτη τάξη ως προς (ɛ θ), και, θεωρώντας ότι το i μπορεί να απορροφηθεί από τους συντελεστές C k ij, βρίσκουμε την συνθήκη κλειστότητας της ομάδας: [S i, S j ] = k C k ijs k, (.5) που μας λέει πολύ απλά ότι ο μεταθέτης δύο γεννητόρων είναι γραμμικός συνδυασμός των γεννητόρων της ομάδας. Οι συντελεστές C k ij του γραμμικού συνδυασμού ονομάζονται συντελεστές δομής της ομάδας (structure constants), ή απλά άλγεβρα της ομάδας. Η ονομασία αυτή έχει νοήμα υπό την έννοια ότι αν στο χώρο των γεννητόρων μιας ομάδας Lie ορίσουμε ως πράξη πολλαπλασιασμού δύο ανυσμάτων S i, S j τον μεταθέτη [S i, S j ], τότε ο χώρος (μαζί με την πράξη του πολλαπλασιασμού) γίνεται άλγεβρα (έτσι ονομάζεται η αλγεβρική δομή που προκύπτει αν σε ένα ανυσματικό χώρο ορίσουμε πράξη πολλαπλασιασμού), που ονομάζεται άλγεβρα Lie της ομάδας. Θα δούμε αμέσως παρακάτω ότι η γνώση της άλγεβρας της ομάδας (δηλαδή των συντελεστών δομής) είναι αρκετή για την κατασκευή αναπαραστάσεων της ομάδας.
.3. ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜ ΗΣ 9.3 Άλγεβρα της Στροφορμής Οι σχέσεις μετάθεσης των τελεστών της στροφορμής (γεννητόρων της ο- μάδας των στροφών) είναι γνωστές από την Κβαντομηχανική: [J i, J j ] = iε ijk J k. (.6) Επομένως, οι συντελεστές δομής για την άλγεβρα των στροφών είναι Cij k = iε ijk και όπως προαναφέρθηκε, καθορίζουν πλήρως τις ιδιότητες της ομάδας. Επειδή τα J i δεν μετατίθενται μεταξύ τους, μόνο οι ιδιοτιμές ενός από τους τρεις γεννήτορες (έστω του J 3 ) είναι καλά ορισμένοι κβαντικοί αριθμοί. Μη γραμμικές συναρτήσεις των γεννητόρων, οι οποίες μετατίθενται με ό- λους τους γεννήτορες της ομάδας ονομάζονται τελεστές Casimir. Για την ομάδα των στροφών ο J = J + J + J3 είναι ο μοναδικός τελεστής Casimir. Πράγματι, μετατίθεται με όλους τους γεννήτορες: [J, J i ] = [J j J j, J i ] = J j [J j, J i ]+[J j, J i ]J j = iε jik J j J k +iε jik J k J j = iε jik {J j, J k } = 0. (.7) Για την απόδειξη της τελευταίας ισότητας αρκεί να παρατηρήσουμε ότι το ά- θροισμα του γινομένου μιας αντισυμμετρικής στα {j, k} ποσότητας (όπως η ε jik ) με μια συμμετρική όπως ο αντιμεταθέτης {J j, J k } ισούται πάντα με μηδέν (προφανές). Ως αντιμεταθέτης των τελεστών A και B ορίζεται ο συμμετρικός συνδυασμός {A, B} = AB + BA. Συνεπώς [J, J i ] = 0, οπότε ο J είναι τελεστής Casimir, εφόσον μετατίθεται με όλους τους γεννήτορες. Επειδή τα J i δεν μετατίθενται μεταξύ τους δεν μπορούν να διαγωνιοποιηθούν ταυτόχρονα. Συνεπώς, μόνο ένας από τους J i, έστω ο J 3, μπορεί να διαγωνιοποιηθεί. Επεδή ο J μετατίθεται με τον J 3 θα διαγωνιοποιείται ταυτόχρονα με αυτόν, και οι ιδιοτιμές του μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον χαρακτηρισμό των ιδιοκαταστάσεων (οι ιδιοτιμές του είναι καλοί κβαντικοί αριθμοί). Οι J, J 3 έχουν κοινές ιδιοκαταστάσεις, τις οποίες συμβολίζουμε με jm. Οι ιδιοτιμές τους είναι: Αρχικά αναλύουμε τον τελεστή Casimir ως εξής: J jm = λ (j) jm (.8) J 3 jm = m jm. (.9) J = (J + J ) + J 3 = (J + ij )(J ij ) + Q + J 3, (.0) όπου το Q είναι διορθωτικός τελεστής που μπαίνει στην εξίσωση για να ισχύει το ανάπτυγμα (επειδή τα J, J δεν μετατίθενται, η ταυτότητα της ανάλυσης δύο τετραγώνων σε γινόμενο δεν ισχύει όπως γίνεται στους αριθμούς). Εύκολα
0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΘΕΩΡ ΙΑΣ ΟΜ ΑΔΩΝ υπολογίζεται ότι (J +ij )(J ij ) = J +J i[j, J ], οπότε φαίνεται αμέσως ότι Q = i[j, J ] = J 3. Δηλαδή το Q λειτουργεί ως αντισταθμιστικός όρος για να ισχύει το ανάπτυγμα. Αν καλέσουμε J ± = J ± ij, η (.0) γίνεται: Με εντελώς αντίστοιχο τρόπο βρίσκουμε: J = J + J + J 3 J 3. (.) J = J J + + J 3 + J 3. (.) Παρατηρούμε ότι (J ± ) = J. Προσθέτοντας και αφαιρώντας κατά μέλη τις (.) και (.), λαμβάνουμε τις πολύ χρήσιμες σχέσεις: και Παρατηρούμε επίσης, ότι: J J 3 = {J +, J }, (.3) [J +, J ] = J 3. (.4) [J 3, J ± ] = ±J ±, (.5) οπότε οι τελεστές J ± είναι τελεστές ανάβασης και κατάβασης (raising - lowering operators). Η δράση του J +, για παράδειγμα, μπορεί εύκολα να δειχθεί ότι μετασχηματίζει τις ιδιοκαταστάσεις σε αυτές που αντιστοιχούν σε μεγαλύτερη κατά ιδιοτιμή. Για να το διαπιστώσουμε, αφού δράσουμε με την J + πάνω στην ιδιοκατάσταση jm, δρούμε στην προκύπτουσα κατάσταση με τον J 3 για να ελέγξουμε αν αποτελεί επίσης ιδιοκατάσταση: J 3 J + jm = ([J 3, J + ] + J + J 3 ) jm = (J + + J + J 3 ) jm, (.6) η οποία μπορεί να γραφεί και ως J + (J 3 + ) jm. Αν χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση ιδιοτιμών (.9), έχουμε (J 3 + ) jm = (m + ) jm. Αν επαναλάβουμε την διαδικασία για τον τελεστή κατάβασης J έχουμε τελικά: J 3 J ± jm = (m ± )J ± jm. (.7) Η τελευταία εξίσωση μας λέει ότι αν η jm είναι ιδιοκατάσταση του J 3 με ιδιοτιμή m, τότε και οι J ± jm είναι επίσης ιδιοκατάστασεις του ιδίου τελεστή και μάλιστα με ιδιοτιμές (m±). Αυτό σημαίνει ότι οι ιδιοκαταστάσεις J ± jm είναι ανάλογες των j, m ±. Παρατηρούμε ότι η δράση του τελεστή J ± ανεβάζει/κατεβάζει τις ιδιοκαταστάσεις κατά μια ιδιοτιμή. Επειδή, όπως παρατηρήσαμε, οι ιδιοκαταστάσεις J + jm είναι ανάλογες των j, m + μπορούμε να προσδιορίσουμε τον συντελεστή αναλογίας από την απαίτηση ορθοκανονικότητας. Θεωρούμε τη σχέση αναλογίας: J + jm = c m j, m +. (.8)
.3. ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜ ΗΣ Παίρνουμε το ερμιτιανό συζυγές της παραπάνω σχέσης: jm J = c m j, m +. (.9) Πολλαπλασιάζουμε από αριστερά την (.8) με την (.9): jm J J + jm = c m j, m + j, m + = c m, (.30) όπου χρησιμοποιήσαμε την απαίτηση οι ιδιοκαταστάσεις jm να είναι ορθοκανονικοποιημένες. Είναι εύκολο να λύσουμε ως προς τους συντελεστές c m : c m = jm J J 3 (J 3 + ) jm = λ m(m + ). (.3) Σημειώστε ότι χρησιμοποιήσαμε την (.) για την αντικατάσταση του J J + και ότι ακόμα δεν έχουμε προσδιορίσει τις επιτρεπτές τιμές των λ και m. Πάντως, μπορούμε να γράψουμε το γενικό αποτέλεσμα που θα προκύψει αν επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία για τον J : J ± jm = λ m(m ± ) j, m ±. (.3) Στο σημείο αυτό μπορούμε να αρχίσουμε να αναρωτιόμαστε ποιες είναι οι επιτρεπτές τιμές των m και λ. Προφανώς η έκφραση (.3) δεν θα ισχύει αν η υπόριζη ποσότητα είναι αρνητική. Μπορούμε να παρατηρήσουμε από τον ορισμό του τελεστή Casimir ότι: jm J J 3 jm = λ m = jm J + J jm > 0. (.33) Η παραπάνω εξίσωση μας βεβαιώνει ότι, επειδή η ποσότητα J + J είναι πάντοτε θετική, θα πρέπει και λ m > 0, δηλαδή ότι η m είναι πάντα φραγμένη m < λ. Μπορούμε, πάντως, να δούμε μέχρι ποιά τιμή του m ισχύει η έκφραση (.3). Προφανώς θα πρέπει m(m+) λ. Αν ονομάσουμε j τη μέγιστη τιμή του m την οποία επιτρέπει η προηγούμενη ανισότητα, τότε προφανώς θα έχουμε την ισότητα λ = j(j + ), από την οποία προκύπτει ότι η συνθήκη περιορισμού για τις ιδιοτιμές m είναι: m(m + ) j(j + ). (.34) Η ποσότητα J + J είναι γνησίως θετική και ποτέ μηδέν, διότι αν αυτό συνέβαινε, θα σήμαινε αυτομάτως J = J = 0, και επειδή ισχύει πάντα η ανισότητα Jj J j, ο παραπάνω μηδενισμός θα έπεται αναγκαστικά: J j = J j = 0. Αλλά αυτό ισοδυναμεί με μηδενισμό της αβεβαιότητας ( J j ) = J j Jj, για όλα τα j =,, 3, δηλαδή ταυτόχρονη γνώση των J, J και J 3 με απόλυτη ακρίβεια, πράγμα αδύνατον, διότι οι τελεστές δεν μετατίθενται. Άρα θα είναι αναγκαστικά J + J > 0.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΘΕΩΡ ΙΑΣ ΟΜ ΑΔΩΝ Δεν γνωρίζουμε ακόμα την ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει το m, αν και για λόγους συμμετρίας (η θετικότητα ή αρνητικότητα του m εξαρτώνται πρωτίστως από τον προσανατολισμό των αξόνων, που είναι αυθαίρετος) υποπτευόμαστε ότι θα είναι ( j). Η ανισότητα που πρέπει να ικανοποιείται στην περίπτωση των αρνητικών m από την (.3) είναι m(m ) j(j + ). Αν προσθέσουμε και στα δύο μέλη της ανισότητας το /4 και χρησιμοποιήσουμε ταυτότητες τετραγώνων, εύκολα βρίσκουμε ( m ) ( j +. ) Αποτετραγωνίζουμε, και έχουμε (θεωρήσαμε j > 0 ως μέγιστη τιμή του m): j m, (.35) δηλαδή j m. Επομένως, τα όρια για το m που επιβάλλει η εξίσωση (.3) είναι τα γνωστά για την στροφορμή: m = j, j +,..., j, j. (.36) Εως τώρα θεωρούσαμε απλώς ότι j > 0, χωρίς να ανησυχούμε αν το μέγεθος αυτό είναι συνεχές ή κβαντισμένο (και ποιες είναι οι επιτρεπτές τιμές του). Ξαναγράφουμε τις εξισώσεις ιδιοτιμών J jm = j(j + ) jm (.37) J 3 jm = m jm, (.38) με m j. Επειδή η μετάβαση από την υψηλότερη κατάσταση m = j έως την χαμηλότερη m = j (για δεδομένο j) και αντίστροφα γίνεται από τους τελεστές J ± κατά μία μονάδα ιδιοτιμής m κάθε φορά, συμπεραίνουμε ότι πρέπει η διατρεχόμενη απόσταση να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο βημάτων, δηλαδή ακέραιος αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι η απόσταση j ( j) = j θα πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός. Η απαίτηση j = 0,,, 3, 4, 5,... σημαίνει ότι το j μπορεί να πάρει μόνο ακέραιες και ημιπεριττές τιμές j = 0,,, 3,, 5,.... Οπως είναι γνωστό από την Κβαντομηχανική Θεωρία της Στροφορμής, οι ακέραιες τιμές του j αντιστοιχούν στην τροχιακή στροφορμή, ενώ οι ημιπεριττές τιμές αντιστοιχούν στην εσωτερική στροφορμή του σωματιδίου (spin).
.4. ΑΝΑΠΑΡΑΣΤ ΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΟΜ ΑΔΑΣ 3.4 Αναπαραστάσεις της Ομάδας Η jm ιδιοκατάσταση μετασχηματίζεται σε στροφές κατά γωνία θ γύρω από τον y-άξονα ως: U jm = e iθj jm. (.39) Η νέα ιδιοκατάσταση θα μπορεί να αναπτυχθεί στις ιδιοκαταστάσεις στροφορμής, δηλαδή να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός των jm με το m να λαμβάνει όλες τις δυνατές τιμές από j έως j: e iθj jm = m d (j) m m (θ) jm. (.40) Για να προσδιορίσουμε τον συντελεστή αναλογίας d (j) m m, αρκεί να θυμηθούμε ότι ο προβολικός τελεστής jm jm προβάλλει την κατάσταση στην οποία δρα στον χώρο των (κανονικοποιημένων) ιδιοκαταστάσεων jm και δίνει ένα παράλληλο άνυσμα (διαδικασία ανάλογη με την n (n x), όπου το άνυσμα του χώρου x προβάλλεται στην κατεύθυνση του μοναδιαίου n). Είναι λογικό όταν η προβολή αυτή γίνει πάνω στα ανύσματα βάσης ενός χώρου και αθροίσομε ανυσματικά τις προβολές, να πάρουμε τελικά το αρχικό άνυσμα που προβάλαμε. Δηλαδή είναι προφανές ότι το άθροισμα των προβολικών τελεστών όλης της βάσης θα δώσει τον ταυτοτικό τελεστή: = jm jm. Κάνοντας χρήση m της τελευταίας ταυτότητας, έχουμε: U jm = U jm = m jm jm U jm. (.4) Συγκρίνοντας την (.4) με την (.40) έχουμε τελικά την έκφραση για τους συντελεστές: d (j) m m (θ) = jm U(θ) jm. (.4) Επειδή για κάθε τιμή του j έχουμε και διαφορετική βάση, συμπεραίνουμε ότι κάθε τιμή του j ορίζει μια διαφορετική αναπαράσταση της ομάδας. Σε δεδομένη αναπαράσταση κάθε στοιχείο της ομάδας αντιστοιχεί σε ένα πίνακα (j + ) διαστάσεων (όσες και οι δυνατές τιμές του m, δηλαδή όσα και τα ανύσματα της βάσης που επιλέχθηκε). Επομένως, ο πίνακας που ορίζεται από την (.4) αποτελεί την j-διάστατη αναπαράσταση πίνακα της ομάδας. Οι (j + ) ιδιοκαταστάσεις jm αποτελούν μια (j + )-διάστατη βάση μιας (j + )-διάστατης μη αναγώγιμης (irreducible) αναπαράστασης της ομάδας των στροφών. Παράδειγμα
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΘΕΩΡ ΙΑΣ ΟΜ ΑΔΩΝ Θα προσδιορίσουμε τους πίνακες στροφών γύρω από τον άξονα y για τις α- ναπαραστάσεις j = / (θεμελιώδης αναπαράσταση της SU()) και j =. i) Αναπαράσταση j = / Θέλουμε να προσδιορίσουμε τα στοιχεία πίνακα d (/) m m = m e iθj m. Στην αναπαράσταση j = / ( διαστάσεων), ως ανύσματα βάσης έχουμε τις ιδιοκαταστάσεις /, / = (, 0) T και /, / = (0, ) T. 3 Προσδιορίζουμε πρώτα τον πίνακα (J 3 ), που είναι διαγώνιος με στοιχεία ±/ στη βάση των ιδιοκαταστάσεών του: m J 3 m (J 3 ) = ( ) / 0 = 0 / σ 3, (.44) όπου σ 3 ο αντίστοιχος πίνακας Pauli. Με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε εύκολα να κατασκευάσουμε τους πίνακες (J ± ): (J + ) = ( ) 0 0 0, (J ) = ( ) 0 0. (.45) 0 Από τις σχέσεις J = (J + + J )/ και J = (J + J )/i βρίσκουμε εύκολα τους πίνακες (J ) και (J ): (J ) = ( ) 0 = 0 σ, (J ) = ( ) 0 i = i 0 σ. (.46) Εχοντας, πλέον, εκφράσει τον πίνακα J συναρτήσει του σ, έχουμε τελικά: ( ) d (/) cos(θ/) sin(θ/) m m = e iθσ / = cos(θ/) iσ sin(θ/) =. sin(θ/) cos(θ/) (.47) Στην τελευταία σχέση χρησιμοποιήσαμε την γνωστή ιδιότητα του πίνακα σ : exp( iθσ ) = cos θ iσ sin θ. Ενας τρόπος να αποδειχθεί αυτή η σχέση είναι ο εξής: U = e iθσ / = 3 Χρησιμοποιούμε το συμβολισμό n=0 (, 0) T = i n ( ) n (θ/)n σ n. (.48) n! ( 0). (.43)
.4. ΑΝΑΠΑΡΑΣΤ ΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΟΜ ΑΔΑΣ 5 Χωρίζουμε το άθροισμα σε άρτιους και περιττούς όρους: U = n=0 ( ) n (θ/)n (n)! σ n + i n=0 Χρησιμοποιώντας την σχέση σ =, έχουμε τελικά: n+ (θ/)n+ ( ) (n + )! σ n+. (.49) U = cos(θ/) iσ sin(θ/). (.50) ii) αναπαράσταση j = Θα εφαρμόσουμε και πάλι τα προηγούμενα, δηλαδή θα προσδιορίσουμε τους πίνακες J 3, J ± και J, J. Ο J 3 είναι προφανώς διαγώνιος με ιδιοτιμές, 0, : (J 3 ) = 0, (.5) όπου τα στοιχεία που παραλείπονται εννοούνται μηδενικά. Για τον προσδιορισμό των υπολοίπων πινάκων είναι χρήσιμο να υπολογίσουμε τα ακόλουθα: J +, = 0, J +, 0 =,, J +, =, 0 και J, = 0, J, =, 0, J, 0 =,. Επομένως, οι πίνακες ανάβασης/κατάβασης γίνονται: (J + ) = 0 0 0 0, (J ) = 0 0 0 0 0. (.5) 0 0 0 0 0 Επομένως, μπορούμε αμέσως να βρούμε τον J (ο J αφήνεται ως άσκηση): 0 i 0 (J ) = i 0 i. (.53) 0 i 0 Για να υπολογίσουμε τον εκθετικό πίνακα e iθj θα χρησιμοποιήσουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του (J ). Το πολυώνυμο αυτό είναι το πολυώνυμο που έχει ως ρίζες τις ιδιοτιμές του πίνακα. Ο συνήθης τρόπος εύρεσης του χαρακτηριστικού πολυωνύμου είναι ο ακόλουθος: φέρνουμε αρχικά την εξίσωση ιδιοτιμών (πρόκειται για εξίσωση πινάκων, και επειδή δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης, απλοποιούμε τον συμβολισμό (J i ) J i, συμβολίζοντας έναν πίνακα και τον τελεστή του με το ίδιο σύμβολο) στην μορφή: (J m ) X = 0. (.54)
6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΘΕΩΡ ΙΑΣ ΟΜ ΑΔΩΝ Από την απαίτηση να υπάρχει λύση, για το ιδιοάνυσμα X, διάφορη της τετριμμένης ( της μηδενικής), πρέπει η ορίζουσα του πίνακα (J m ) να μηδενίζεται. Εννοείται ότι m είναι η ιδιοτιμή του J (που αντιστοιχεί στο ιδιοάνυσμα X), πολλαπλασιασμένη με τον μοναδιαίο πίνακα I, ώστε να είναι δυνατή η α- φαίρεση της από τον πίνακα J. Από την απαίτηση αυτή, καταλήγουμε σε ένα πολυώνυμο P (m ), το οποίο έχει ως ρίζες τις ιδιοτιμές m, δηλαδή είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα. Χωρίς, φυσικά, να εκτελέσουμε καμία πράξη περιμένουμε να βρούμε ως ι- διοτιμές του J τις ιδιοτιμές του J 3, δηλαδή την τριάδα (, 0, ). Αυτό είναι προφανές από την στιγμή που παρατηρήσουμε ότι η επιλογή μας να διαγωνιοποιήσουμε έναν από τους τρεις πίνακες J i (δηλαδή τον J 3 ) δεν μπορεί να μεταβάλει τις ιδιοτιμές των πινάκων αυτές καθ αυτές. Το μόνο που μπορεί να κάνει η διαγωνιοποίηση είναι να φέρει τον J 3 σε διαγώνια μορφή, με τις ιδιοτιμές του ως διαγώνια στοιχεία. Σύμφωνα με τα παραπάνω, δεν χρειάζεται να εκτελέσουμε καμιά πράξη για να δούμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του J είναι το P (m ) = m (m ) = m 3 m, το οποίο κατασκευάζεται έτσι ώστε να έχει ρίζες τα 0, ±. Είναι εύκολο να δούμε ότι ένας πίνακας πάντα ικανοποιεί μια εξίσωση αντίστοιχη με αυτή του μηδενισμού του χαρακτηριστικού του πολυώνυμου. Αν ο πίνακας (ή τελεστής) A ικανοποιεί την εξίσωση ιδιοτιμών A ξ = ξ ξ, τότε και οποιαδήποτε αναλυτική συνάρτηση του A ικανοποιεί την εξίσωση f(a) ξ = f(ξ) ξ. Ξέροντας, λοιπόν, μια εξίσωση για τις ιδιοτιμές του J, δηλαδή την εξίσωση που ορίζει ο μηδενισμός του χαρακτηριστικού πολυωνύμου P (m ) = 0, μπορούμε να κατασκευάσουμε μια εξίσωση πινάκων P (J ) = 0. Στην περίπτωσή μας: (J ) 3 = J. (.55) Η (.55) συνεπάγεται ότι κάθε τρίτη δύναμη του J μπορεί να αναχθεί σε πίνακα στην πρώτη δύναμη. Ενα ανάπτυγμα, λοιπόν, της τυχούσης αναλυτικής συνάρτησης f(j ) σε σειρά ως προς J, θα περιέχει όρους το πολύ μέχρι δευτέρας τάξεως ως προς J και άρα η σειρά θα τερματίζεται. Είναι, λοιπόν, φανερό ότι η συνάρτηση e iθj θα έχει ανάπτυγμα το πολύ δεύτερης τάξης ως προς J το οποίο μπορούμε αμέσως να αναζητήσουμε: e iθj = c 0 + c J + c (J ). (.56) Πρόκειται για μια εξίσωση πινάκων με 3 αγνώστους συντελεστές c 0, c, c, η οποία λύνεται αμέσως αν παρατηρήσουμε ότι η εξίσωση αυτή που ικανοποείται από τον πίνακα J θα ικανοποιείται και από τις 3 ιδιοτιμές του, δίνοντάς μας ένα
.4. ΑΝΑΠΑΡΑΣΤ ΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΟΜ ΑΔΑΣ 7 σύστημα 3 εξισώσεων με 3 αγνώστους, το οποίο επιλύεται: e iθ = c 0 + c + c (.57) e 0 = c 0 + c 0 + c 0 (.58) e iθ = c 0 c + c, (.59) Η επίλυση του συστήματος δίνει ως αποτέλεσμα: c 0 = (.60) c = i sin θ (.6) c = ( cos θ). (.6) Αντικαθιστώντας τις τιμές για τα c µ (µ = 0,, ) στην (.56) βρίσκουμε την τελική μορφή για τον πίνακα στροφής: ( + cos θ) e iθj sin θ ( cos θ) = sin θ cos θ sin θ. (.63) ( cos θ) sin θ ( + cos θ)
8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΘΕΩΡ ΙΑΣ ΟΜ ΑΔΩΝ.5 Η Ομάδα SU() Οπως είδαμε οι γεννήτορες της ομάδας των στροφών είναι οι τελεστές της στροφορμής και ικανοποιούν την άλγεβρα της εξίσωσης (.6). Ξεκινώντας από αυτήν την άλγεβρα κατασκεύσαμε μη αναγώγιμες (j + )-διάστατες αναπαραστάσεις της ομάδας, με j = 0,,, 3... Η θεμελιώδης αναπαράσταση είναι η j = /, με γεννήτορες J i = σ i / τους πίνακες Pauli. Για j = /, κατά τα γνωστά, J + /,, = 0, J /, / = 0 (.64) J + /, / = /, /, J /, / = /, /. (.65) Οπότε, έχουμε: J = ( ) 0 = σ 0 /, J = ( ) 0 i = σ i 0 /, J 3 = ( ) 0 = σ 0 3 /. (.66) Ως βάση της θεμελιώδους αναπαράστασης (j = /) έχουμε τις ιδιοκαταστάσεις του σ 3, δηλαδή τα ανύσματα: ( ) /, / =, /, / = 0 ( ) 0, (.67) Αυτά χρησιμοποιούντια για την περιγραφή σωματίδιου με spin / ( = (, 0) T, = (0, ) T ). Οι πίνακες μετασχηματισμού γύρω από τον i-άξονα U(θ i ) = e iθ iσ i / είναι μοναδιακοί. Από την ιδιότητα αυτή έπεται η ερμιτιανότητα των γεννητόρων, δηλαδή των πινάκων Pauli: σ i = σ i. Το σύνολο των ( ) μοναδιακών πινάκων σχηματίζει ομάδα, η οποία συμβολίζεται με U(). Αυτή η ομάδα είναι προφανώς γενικότερη από το την ομάδα μετασχηματισμών U(θ i ) = e iθ iσ i /, διότι οι πίνακες Pauli έχουν την ειδική ιδιότητα να είναι άιχνοι (traceless): tr(σ i ) = 0. Η ιδιότητα αυτή των πινάκων Pauli αντικατοπτρίζει μια πολύ σημαντική ιδιότητα των μετασχηματισμών U(θ i ) = e iθ iσ i / : η ορίζουσα του πίνακα του μεσχηματισμού ισούται με την μονάδα, δηλαδή det(e iθ iσ i / ) = +. Η ιδιότητα των μοναδιακών μετασχηματισμών με ορίζουσα + να έχουν άιχνους γεννήτορες είναι γενική. Ας απαιτήσουμε: det ( e iθs) = det ( Me iθs M ) =, (.68) όπου χρησιμοποιήσαμε την γνωστή ιδιότητα των οριζουσών det(bab ) = det(b) det(a)/ det(b) = det(a). Είναι προφανές ότι Me A M = e MAM. Η απόδειξη συνίσταται στο να αναπτύξουμε το εκθετικό: Me A M MA n M (MAM ) n = = = e MAM. (.69) n! n! n=0 n=0
.5. Η ΟΜ ΑΔΑ SU() 9 Εφαρμόζοντας το παραπάνω στην (.68), έχουμε: det ( e iθs) ( = det e iθmsm ), (.70) όπου ο πίνακας M είναι αυθαίρετος. Μπορούμε, λοιπόν, να τον επιλέξουμε έτσι ώστε να διαγωνιοποιεί τον γεννήτορα S, με διαγώνια στοιχεία τις ιδιοτιμές του. Επειδή ο πίνακας MSM είναι πλέον διαγώνιος, ο εκθετικός πίνακας θα είναι επίσης διαγώνιος, με ιδιοτιμές τις e iθs i, όπου s i είναι η i-ιδιοτιμή του S. Επειδή η ορίζουσα ενός διαγώνιου πίνακα είναι απλώς το γινόμενο των ιδιοτιμών του, θα έχουμε τελικά ( det ( e iθs) = i e iθs i = exp iθ i s i ) = exp ( iθ tr (S)), (.7) οπότε η απαίτηση να είναι det(e iθs ) = οδηγεί αναγκαστικά στην tr (S) = 0. Στην περίπτωση των πινάκων Pauli: tr(σ i ) = 0. Το σύνολο των ( ) unitary πινάκων με ορίζουσα + είναι ένα υποσύνολο του U(), το οποίο ονομάζεται SU() ( Special Unitary Group στις -διαστάσεις). Το SU(), όπως έχουμε ήδη αναφέρει, ικανοποιεί μια ορισμένη άλγεβρα μεταθετών. Η άλγεβρα της ομάδας SU() είναι η ίδια με την άλγεβρα των γεννητόρων J i, δηλαδή [J i, J j ] = iε ijk J k. Από τα προηγούμενα, είναι φανερό ότι η SU() ικανοποιεί την ίδια άλγεβρα με την ομάδα των στροφών στις 3-διαστάσεις. Οι αναπαραστάσεις της SU() με j = 0,,, 3,... αντιστοιχούν σε,, 3, 4,... διαστάσεις, αντίστοιχα. Η αναπαράσταση με j = / της SU() βασίζεται στους πίνακες του Pauli. Αυτή είναι η θεμελιώδης αναπαράσταση της SU(), ενώ όλες οι υπόλοιπες αναπαραστάσεις της μπορούν να κατασκευαστούν από την θεμελιώδη. Παράδειγμα Θα δειχθεί ότι κάθε πίνακας διαστάσεων μπορεί να αναπτυχθεί στην βάση των πινάκων Pauli και του ταυτοτικού. Ας υποθέσουμε ότι ισχύει το ζητούμενο ανάπτυγμα για τον τυχαίο πίνακα - διαστάσεων: M = m 0 + m i σ i, (.7) όπου υπονοείται αθροιστική σύμβαση. Αρκεί να δείξουμε ότι οι συντελεστές m 0, m i του αναπτύγματος αρκούν για να καθορίσουν μονοσήμαντα τον M. Λαμβάνοντας το ίχνος της εξίσωσης, έχουμε: tr(m) = m 0 tr() = m 0, (.73)
30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΘΕΩΡ ΙΑΣ ΟΜ ΑΔΩΝ όπου λάβαμε υπόψιν μας ότι οι πίνακες Pauli είναι άιχνοι και ότι το ίχνος του ταυτοτικού πίνακα στις -διαστάσεις ισούται με. Για να προσδιορίσουμε τους m i, πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση επί σ j και λαμβάνουμε και πάλι το ίχνος: Είναι εύκολο να ελεγχθεί ότι Αντικαθιστώντας στην (.74), βρίσκουμε: tr(mσ j ) = m i tr (σ i σ j ). (.74) tr(σ i σ j ) = δ ij. (.75) tr (Mσ j ) = m j. (.76) Από τις (.73) και (.76) οι συντελεστές ορίζονται μονοσήμαντα για κάθε πίνακα M. Συνεπώς, οι πίνακες Pauli μαζί με τη μονάδα συνιστούν πλήρη βάση στον χώρο των -διάστατων πινάκων.
.6. Σ ΥΝΘΕΣΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤ ΑΣΕΩΝ 3.6 Σύνθεση Αναπαραστάσεων Ενα σύστημα που παράγεται από την σύνθεση σύο συστημάτων με στροφορμές j A, j B, και ιδιοκαταστάσεις j A m A, j B m B, αντίστοιχα, μπορεί να περιγραφεί αν χρησιμοποιήσουμε ως βάση το ευθύ γινόμενο των ιδιοκαταστάσεων των δύο σωματίων: j A j B m A m B j A m A j B m B j A m A j B m B. (.77) Οταν εξετάζουμε κάθε σωματίδιο χωριστά, οι ιδιοκαταστάσεις στροφορμής του καθενός αποτελούν βάσεις σε διαφορετικούς χώρους (οι χώροι είναι διαφορετικοί διότι αναφέρονται σε διαφορετικά σωματίδια). Η επιλογή της σύνθετης βάσης (.77) ουσιαστικά ισοδυναμεί με τον ορισμό μιας σύνθετης αναπαράστασης, η οποία ισούται με το ευθύ γινόμενο (direct product, ) των δύο μη αναγώγιμων (irreducible) αναπαραστάσεων. Η ολική στροφορμή J = J A + J B ικανοποιεί, προφανώς, την άλγεβρα στροφορμών [J i, J j ] = iε ijk J k. Επομένως, η προβολή J 3 περιμένουμε να είναι ο μοναδικός από τους γεννήτορες J A,i, J B,i, J i = J A,i + J Bi που διαγωνιοποιείται. Αυτό οφείλεται στην δομή της ομάδας που επιτρέπει μόνο σε ένα γεννήτορα να είναι διαγώνιος κάθε φορά. Ας δούμε, κατ αρχάς, τη σύνθεση στροφορμών από την οπτική των ανυσματικών χώρων. Στην αρχή έχουμε δύο ανυσματικούς χώρους, έναν για κάθε στροφορμή. Ο σύνθετος χώρος που προκύπτει από το ευθύ γινόμενο της (.77) είναι ένας εντελώς καινούριος χώρος ο οποίος δεν μπορεί να προκύψει από κανένα γραμμικό συνδυασμό ανυσμάτων των αρχικών χώρων. Οι αρχικές βάσεις των δύο χώρων (ιδιοκαταστάσεις των J A,3, J B,3 ), προφανώς, δεν μπορούν να παράγουν τον καινούριο χώρο (λέμε ότι μια βάση παράγει έναν ανυσματικό χώρο με γραμμικούς συνδυασμούς των ανυσμάτων της). Για παράδειγμα, φανταστείτε τα συνήθη διανύσματα a του τριδιάστατου Ευκλείδειου χώρου, που παράγονται από την μοναδιαία ορθοκανονική βάση ˆx i. Επίσης, φανταστείτε το χώρο των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων f(x) (χώρο Hilbert), στον οποίο μια ορθοκανονική βάση είναι η e n (x) = π e inx. Αυτοί οι δύο χώροι δεν επικαλύπτονται, δηλαδή η τομή τους είναι το κενό. Είναι προφανές ότι η βάση καθενός χώρου δεν μπορεί να παράγει κανένα άνυσμα του άλλου χώρου. Συνεπώς, αν θελήσουμε να περιγράψουμε τον ανυσματικό χώρο που προκύπτει από το συνδυασμό των δύο αυτών χώρων, θα πρέπει να ορίσουμε μια νέα βάση ανυσμάτων του νέου χώρου. Η βάση του νέου χώρου που προκύπτει από το ευθύ γινόμενο των δύο αρχικών χώρων θα είναι e n(ˆx i ) = e n (x) ˆx i. Η νέα βάση δεν ανήκει σε κανέναν από τους δύο αρχικούς χώρους. Οποιοιδήποτε πίνακες ή τελεστές είχαν ορισθεί στους δύο αρχικούς χώρους, είχαν ορισθεί ως προς τις αντίστοιχες βάσεις και, συνεπώς, καμία από τις αναπαραστάσεις αυτές δεν διατηρεί τη μορφή της στον νέο χώρο
3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΘΕΩΡ ΙΑΣ ΟΜ ΑΔΩΝ (αφού έχει αλλάξει η βάση). Είναι λογικό ότι η νέα βάση θα δώσει νέα μορφή στις αναπαραστάσεις που προϋπήρχαν στους αρχικούς χώρους. Η αναλογία του παραδείγματος αυτού με την σύνθεση στροφορμών πρέπει να είναι φανερή. Επανερχόμαστε στη στροφορμή, και επαναλαμβάνουμε ότι η ολική στροφορμή J ικανοποιεί την ίδια γνωστή άλγεβρα με τις επιμέρους στροφορμές, αλλά σε διαφορετικό ανυσματικό χώρο! Συνεπώς, στον νέο ανυσματικό χώρο, οι αρχικές στροφορμές δεν υφίστανται καν ως ανύσματα και υπάρχουν μόνο συνδυασμοί των δύο στροφορμών. Επίσης, εφόσον οι βάσεις δεν είναι πλέον οι αρχικές (ιδιοκαταστάσεις στροφορμής κάθε σωματιδίου χωριστά), θα αλλάξουν και όλες οι αναπαραστάσεις πίνακα των συνιστωσών της στροφορμής. Ας υποθέσουμε ότι το σύστημα βρίσκεται σε μια ιδιοκατάσταση της ολικής στροφορμής J 3. Τότε, η μέση αναμενόμενη τιμή της J 3 θα είναι μια ιδιοτιμή της. Αντιθέτως, η μέση αναμενόμενη τιμή της J A,3 δεν θα είναι εν γένει ιδιοτιμή της, διότι η J A,3 δεν μπορεί να διαγωνιοποιηθεί ταυτόχρονα με την J 3. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι δεν μετατίθενται: [J i, J A,j ] = [J A,i + J B,i, J A,j ] = iε ijk J A,k. Συνεπώς, οι m A, m B δεν είναι καλοί κβαντικοί αριθμοί στον νέο χώρο, αφού δεν μπορούν πια να χαρακτηρίζουν τις νέες κβαντικές καταστάσεις. Δηλαδή, οι ιδιοκαταστάσεις του J A,3 δεν είναι ανύσματα βάσης στον νέο χώρο, άρα δεν μπορούμε να γνωρίζουμε την τιμή του J A,3 με απόλυτη ακρίβεια ταυτόχρονα με τα J 3 και J. Το ίδιο ισχύει και για το J B,3. Από τις μεταθετικές σχέσεις [J A, J ] = [J B, J ] = [J A, J 3 ] = 0, οι τελεστές Casimir των αρχικών χώρων: J A, J B εξακολουθούν να είναι καλοί κβαντικοί αριθμοί στον νέο χώρο (δηλαδή μετατίθενται με τους διαγώνιους J 3 και J ). Συνεπώς, μια κβαντική κατάσταση στον νέο χώρο χαρακτηρίζεται από τους α- ριθμούς j A, j B (το οποίο είναι λογικό, διότι κάπως θα πρέπει να καθορίζεται από ποιους αρχικούς χώρους στροφορμών καταλήγουμε στον νέο), και από τους α- ριθμούς που χαρακτηρίζουν την ολική στροφορμή j, m. Αυτό είναι απόλυτα λογικό, αν σκεφτεί κανείς ότι μια στροφορμή (όπως η καινούρια στροφορμή που προέκυψε ως σύνθεση στροφορμών) πρέπει να περιγράφεται από ένα j και ένα m (όπως και κάθε άλλη στροφορμή) και, επιπλέον, πρέπει να γνωρίζουμε από ποιους χώρους προέκυψε (δηλαδή από ποιες αναπαραστάσεις της SU()) ώστε να καθορίζεται μονοσήμαντα ο νέος χώρος. Επειδή το j μιας αναπαράστασης της SU() καθορίζει, όπως έχουμε δει, μονοσήμαντα την αναπαράσταση, έπεται ότι και το γινόμενο δύο καθορισμένων τέτοιων αναπαραστάσεων θα έχει καθορισμένα δυνατά αποτελέσματα (δηλαδή καθορισμένες προκύπτουσες αναπαραστάσεις). Επομένως, το ολικό j καθορίζεται από τα j A και j B και μόνο. Επίσης, επειδή οι J A,3, J B,3 δεν μετατίθενται με την διατηρούμενη J 3, είναι προφανές ότι δεν θα μετατίθενται ούτε με την Χαμιλτονιανή. Συνεπώς δεν θα παράγουν καν διατηρήσιμους κβαντικούς αριθμούς. Επειδή το γινόμενο (.77) είναι ευθύ γινόμενο δύο θεμελιωδών ανεξάρτητων irreducible αναπαραστάσεων (διαστάσεων (j A + ) και (j B + )),