. CONVOLUIA. Sum de covoluie. Rspusul sisemelor discree liire si ivrie i imp l u seml de irre orecre. [ ] δ [ ] [ ] δ[ ] x x δ[ ] [ ] x x [ ] δ[ ] x x [ ] δ[ ] [ ] δ[ ] [ ] [ ] δ[ ] x x
Rspusul sisemelor discree liire si ivrie i imp l u seml de irre orecre [ ] Sd{ x [ ]} Sd x [ ] δ[ ] x [ ] Sd { [ ] } [ ] { δ[ ]} δ S d [ ] [ ] [ ] x Sum de covoluie [ ] [ ] [ ] x [ ] [ ] [ ] [ ] x x
( x )[ ] x[ ] [ ] Covolui dou semle de dure iie N si N ese covere si de dur N + N -. 3
.. Codii de cuzlie uui sisem discre [ ] [ ] [ ] [ ] < σ Z [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] x x [ ] [ ] x Dc semlul de irre c si sisemul su cuzle uci si semlul de iesire ese cuzl... Codii de BIBO sbilie sisemelor discree liire si ivrie i imp Dc semlul de irre ese mrii uci si rspusul rebuie s ie mrii. x [ ] M Z [ ] x [ ] [ ] x [ ] [ ] M [ ] [ ] < [ ] < [ ] l codiie suicie - 4
Necesie codiiei [ ] ( [ ]) M x s x s s [ ] [ ] [ ] ( [ ]) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] < [ ] < [ ] l codiie ecesr l- [ ] K.i. < K [ ] σ[ ] U exemplu [ ] x [ ] x [ ] - cuzl [ ] x [ ] - cumulor x [ ] σ[ ] [ ] + Acumulorul ese isbil. 5
..3 Cev propriei le covoluiei si semiici lor δ[] ese eleme euru peru covoluie. [] rspusul sisemului l impulsul uir. Sisemul peru cre []δ[] ese uul de ideie. Sisemul peru cre []δ[- ] ese uul de irziere. x [] δ[ ] x[] δ[ ]...x + x [ ] δ[ ] + x[ ] δ[ ] [ + ] δ[ ] +... x[ ] + 6
Asociivie covoluiei. Coecre i cscd (serie) sisemelor liire si ivrie i imp discre [] ( x[] [] ) [ ] x[ ] ( [ ] [ ] ) [] [] [] e Pri coecre i cscd siseme sbile se obie o u sisem sbil. [] l [ ] l ( )[ ] l Sum de covoluie ese comuiv. [] [] [ ] [ ] [ ] e L coecre i cscd u coez ordie. 7
Sisemul ivers Sisemul cu rspusul l impuls cu rspusul l impuls [] [] [] δ[] [ ] dc pri coecre lor i cscd se obie u sisem de ideie. ese iversul sisemului Disribuivie covoluiei de dure. Coecre i derivie (prlel) sisemelor liire si ivrie i imp discre [] x[] [] x[] [ ] [] x[] [] x[] [ ] [] + [] x[] ( [ ] + [ ] ) [] x[] [ ] e [] [] + [] e 8
9. Rspusul uui sisem discre liir si ivri i imp l rep uir rspusul idicil [] [] [] [] [] [] [] [] [] [ ] [] [] [] < σ σ s s s s s x peru ese cuzl Dc sisemul.3 Siseme discree cu rspus ii l impuls (FIR) si siseme discree cu rspus iii l impuls (IIR) [ ] [ ] [] [ ] [ ] [ ] [ ] [] i res ; si I ipoez c ; M b x x b... x b M N N M FIR (Fiie Impulse Respose Ssems).
Siseme IIR (Iiie Impulse Respose Ssems) [ ].5 [ ] [ ] [ ] ; [ ].5 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [].5 [ ] [] [].5 [] [] [ ].5 [ ] [ ] [ ].5 [ ] [ ] [ 3].5 [ ] [ 3] 3 [ 3].5 [ 3] [ 3] [ ].5 σ[ ] x x x x x.4 Implemere sisemelor discree liire si ivrie i imp crcerize pri ecuii cu dieree iie liire si cu coeiciei cosi [] + [ ] b x[ ] + b x[ ]
.4. Implemere direc I [ ] [ ] [ ] [ ] [] [] [ ] [] [] [ ] ( ) + + + z x b x b z x b x b [] [ ] [ ] [ ] + + x b x b
N M [ ] b x[ ] ; FIR orm rsversl
.4. Implemere direc II.5 Produsul de covoluie. Rspusul sisemelor coiue liire si ivrie i imp l u seml de irre orecre (rre eurisic) dirδ () Δ < < Δ i res xˆ () Δx( Δ) dirδ ( Δ) ; xˆ () x() 3
dirδ U sir reprezeiv peru disribui Dirc Δ < < Δ () lim dirδ () i res b < < b d Δ < b < su < < b lim dirδ Δ () δ() ŷ xˆ () Δx( Δ) dirδ ( Δ) ; ( ) S x( Δ) dir ( Δ) Δ x( Δ) S{ dir ( Δ) } Δ lim Δ τ lim Δ S - operor coiuu Δ ŷ Δ lim Δ dτ () () lim S {} x S{ lim x} Δ Δ 4
S () lim x( Δ) S{ dirδ ( Δ) } Δ x( τ) S{ δ( τ) } { δ( τ) } ( ) () x( τ) τ () () S{ δ() } dτ () x( τ)( τ) dτ x() () Δ Δ x lim xˆ Δ Δ τ τ rspusul Dc sisemul ese ivri i imp () x() x()( τ δ τ) dτ () x() δ() x()( τ δ τ)τ d τ l impuls l sisemului dτ () S{ δ( τ) } ( τ).5. Produsul de covoluie ire ucii () () loc Δ L ( )() ()( τ τ) dτ ()( τ τ) Δ ( )( ) ( )( ) Operi de covoluie ese comuiv.p.. dτ 5
. Dc Codiii de covere covoluiei L ; i) - ii) L ( )( ) d ( u) du ( v) iii) Norm i L se clculez cu ormul : : R () d < C uci dv ( )( ) exis.p.. si : ( )( ). Dc ; : uci exis ese mrii si coiu vd propriee de disribuivie. ( )( ) 3. Dc L si L; : R C uci exis si ese di L. L R C 4. Dc L si ese o ( )( ) ucie mrii pe R < M; : R C uci exis ese mrii si coiu pe R. 6
5. Dc loc : dr u re suporul compc L R C I ( )( ) (de exemplu ) uci exis si ese di Lloc dr u re i eerl suporul compc. Numi dc mbele ucii u suporul compc covolui re supor compc. 6. Dc loc : [ ) uci ( ) ( )( ) L A R A exis si ese di Lloc.p.. Suporul covoluiei ese iclus i A supp A. Exemple R R () L + i) : deorece du d d < L u + u () () - L dτ τ τ dτ τ τ+ ( )( ) ( ) ( ) ( ) Covolui exis.p.. dr u peru. 7
8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ). ; ; ; ;. cu Se deplsez Se cosruiese si Fie ii) + > + + < < d d d τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ σ σ σ σ Suporul covoluiei ese + sum suporurilor celor dou semle. ( )() ( )() () () () ( )( ) ( ) ( ) ( ); ; ; L σ + σ σ σ + < < + + + > iii)
9 () () () ( ) ( )( ). l L ; σ σ + < < σ σ σ + + supor iii. re ; iv) ( )( ) ( ) ( ) (). d σ < τ τ τ σ σ σ σ v) ( ) ( ) ( ) () () () () () τ τ τ τ δ σ σ δ d x d x Rspusul l impuls l uui ieror ese σ().
Asociivie covoluiei Covolui ese sociiv : ( () () ) () () ( () () ) dc : ) si su di L ; ) si su di L 3) si su di L loc loc icis iclus i [ ). si dou dire ele u supor compc; si oe rei u drep supor o mulime.5. Produsul de covoluie ire o disribuie si o ucie. Covolui c operie de reulrizre uei disribuii Pri deiiie covolui disribuiiei cu uci es ϕ ese uci ψ : ψ () ( )() ( τ) ϕ( τ) ( + Δ) ψ( ) ϕ () ( + Δ τ) ϕ( τ) τ ψ Δ Δ Pri recere l limi cd Δ se obie : ψ' () ( τ) ϕ' ( τ). ( δ ϕ)( ) δ( τ) ϕ( τ) ϕ();
Eecul de reulrizre l disribuiei (soci uei ucii discoiue) pri covoluie. eorem de reprezere sisemelor coiue liire si ivrie i imp i) Peru disribui i imp S exis iodeu o disribuie uic S {} ϕ ϕ oricre r i uci es ϕ. ix plici ϕ operor liir coiuu si ivri i imp. ϕ ese u ii) Reciproc peru orice operor liir coiuu si ivri sel ic
.5.3 Covolui disribuiilor Produsul direc l disribuiilor () ( τ) ϕ( τ) () ( τ) ϕ( τ) ddτ () ( τ)( ϕ τ) () τ ()( ϕ τ) Se deiese produsul direc l disribuiilor disribui : () ( τ) ϕ( τ) () ( τ) ϕ( τ) () τ () ϕ( τ) Exemplu δ () δ() τ ϕ( τ) δ() δ() τ ϕ( τ) δ() ϕ( ) ϕ( ) δ( τ) δ( ) δ( τ) ( τ) ϕ( τ) ϕ( ) Se mi oez δ d dτ. si si se oez dτ d ϕ Suporul Covolui disribuiilor ϕ ϕ( u + v) ϕ uciei ϕ( u + v) u ese compc.
K reiue di pl compc; α α ( uv) - sir de ucii ( uv) > N( K ) covolui disribuiilor si se deiese : ϕ lim cu propriee c ( u) ( v) α ( uv) ϕ( u + v) ϕ Exemple i) δ ϕ lim lim lim ( u) ( v) α ( uv) ϕ( u + v) ( u) δ( v) α ( uv) ϕ( u + v) ( u) α ( ) ϕ( u) ϕ δ δ ii) Deriv covoluiei disribuiei ( ) ' ϕ ϕ' () ( u) ( v) ϕ' ( u + v) ( u) ( v) ϕv' ( u + v) ( u) v' ( v) ϕ( u + v) ϕ( u + v) ' ϕ cu oi ϕ ' ( u + v) v v 3
4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' v u v u ' ' v u v u v u ' v u ' u u u δ ϕ + ϕ + ϕ + ϕ ϕ Pri iducie se poe demosr c : ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). R priculre Czuri rsli i imp iii) δ δ δ δ δ
iv) Asociivie covoluiei disribuiilor δ ' σ ( ) ( δ' ) σ ( ' δ) σ σ δσ δσ ( ) ( ' ) ( ') δδ ( ) δ ( ) ( ) ; I eerl covolui disribuiilor u ese sociiv. Reul de sociivie peru rei cori se poe plic umi dc: ) cel pui doi cori u supor compc ) oi rei corii u suporul de orm [ ). Eecul de reulrizre l covoluiei disribuiilor eorem. Peru orice disribuie exis u sir {φ } de ucii es sel ic φ peru. Aces sir poe i obiu pri covolui disribuiei cu u sir de ucii es {ψ }: ϕ ψ Coorm proprieii de reulrizre operiei de covoluie elemeele sirului {φ } su reulrize. Deci disribui reprezi limi slb sirului {φ } de reulrize le ei (ψ δ cd δ). 5
eorem de reprezere eorem.3. Orice disribuie ese limi uei combiii liire ( ) de disribuii Dirc: δ. m Aces eorem s l bz modelrii microscopice semlelor elecrice. Cu juorul cesei eoreme poe i eerliz eorem de modelre sisemelor liire si ivrie i imp pri operori de covoluie l czul disribuiilor. Modelre sisemelor liire si ivrie i imp pri operori de covoluie eorem.4. U operor S ese liir coiuu pri siruri si ivri l rslii dc si umi dc ese de ip covoluie. As isem c exis disribui sel ic S Aces disribuie ese uic si el cu S{ δ}. 6
Rspusul idicil l uui sisem liir si ivri i imp { } ( )( ) ( ) σ ( ) σ. ' ( σ )' σ ' δ () () () () () () () s S s { } ( ()) ( ) ( )() () x σ S σ σ " σ " δ. ;.5.4 Codii c u u sisem coiuu liir si ivri i imp s ie cuzl () < ( ) ( ) σ( ) () () x() x( τ)( τ) dτ x( τ)( τ) dτ semlul de irre ese cuzl x() x() σ() Dc si se obie : () () x() x( τ)( τ) x()( τ τ) dτ x( τ)() τ () () σ() dτ dτ; 7
.5.5 Codii de BIBO sbilie sisemelor coiue liire si ivrie i imp x () M () x( τ) ( τ) M () τ dτ () M () O codiie suicie ese dτ () L. Necesie codiiei x [ ] () s[ ( ) ] s ( ) [ ] ( ) ( τ) x( τ) dτ ( τ) s ( τ) () τ s{ () τ } dτ ( τ) dτ () Codii () L ese deci ecesr. ; dτ 8
U corexemplu Ierorul u ese sbil. () σ() L ; () x( τ) Dc semlul de irre ese cuzl: () x( τ) dτ; x() σ() ese mrii () dτ seml emrii. x() ese de dur limi uci () ese mrii. Semlul Dc dτ.5.6 Semiici prcic proprieilor produsului de covoluie x( ) ( ) x( ) ; ( ) ( ) x( ) () ( () x() ); () () ( () x() ) ( () () ) x() e () x() () () () () () e l impuls () x(). ( ) () cre re propriee () () δ() Iversul sisemului cu rspusul l impuls ese sisemul cu rspusul. Sisemul obiu pri coecre i cscd sisemelor direc si ivers ese u sisem de ideie 9
Coecre i derivie sisemelor liire si ivrie i imp () () + ( ) ( ) x( ) + ( ) x( ) ( () + () ) x() e () x() ; () () + () e s.5.7 Rspusul uui sisem coiuu liir si ivri i imp l rep uie. Rspusul idicil () () σ() ( τ) () ( () σ() )' () δ() (). () (). s s' s' dτ. Rspusul idicil l uui () () σ() ( τ)τ d s () () σ() ( τ) dτ. () ( () σ() )' () σ' () () δ() () () (). s' s' Dc sisemul ese cuzl uci: s () () σ() ( τ)τ d sisem cuzl se clculez cu reli :. 3
.5.8 Implemere sisemelor coiue liire si ivrie i imp crcerize de ecuii diereile liire cu coeiciei cosi Form direc II de implemere olosid derivore. N d d ( ) N d x( ) b d N Form direc II de implemere olosid ierore ( )() () N ( ) d x( ) d b N d d... N ()() () () ( ) σ τ dτ ( )() () () () ( ) ( )() ( )() () ( ) ( )() () ()() () σ() σ... τ dτ dτ... dτ dτ x x ; x x... τ σ σ τ dτ dτ τ τ τ Ierd de N ori ecui diereil se obie: N ( )() ( )(). N N bx N 3
i) Exemple N d d N N ( ) d x( ) b ( )() ( )() N N N LC RC x ; d bx ( )() + ()() + ( )() ( )() LC RC b. ii) () x() + x( ) +... + x( N ) N () x() δ( ) x() () N () δ( ). Srucur rsversl. N 3