IV.3. Factorul de condiţionare al unei matrice

Transcript

1 IV.3. Fctorul de codiţiore l uei mtrice defieşte pri Defiiţie. Fctorul de codiţiore l uei mtrice pătrte A M, (R) se cod(a) = A A - ude este o orm opertorilă mtricei A (de exemplu, su ). Pri coveţie cod(a) = dcă A este sigulră. Se pote observ că Ax Ax cod(a) = mx mi x 0 x x 0 x Fctor de codiţiore cod(a) mre îsemă A prope sigulră. Fctorul de codiţiore cod(a) re următorele proprietăţi cod(a) cod(i ) = petru orice cod(αa) = cod(a) petru orice sclr α 0 cod(d) = mx i mi α αi petru orice mtrice digolă i i D=dig(α, α 2,..., α ). Clcul vlorii excte fctorului de codiţiore l uei mtrice A presupue clculul A -. Cum umărul de operţii ecesre petru clculul ormei iversei lui A ( A - ) este mi mre decât cel petru rezolvre uui sistem liir Ax = b, de obicei î prctică se foloseşte u estimtor petru A -. Determire uei estimţii petru A - plecă de l observţi că, dcă Ax = y, tuci şi mărgie superioră mulţimii x y A-, x, Ax = y y este A - şi se tige petru o umită vlore y..

2 Mădăli Rox Bueci Metode Numerice Curs Comd MAPLE cod(a) di pchetul lilg clculeză fctorul de codiţiore mtricei A. Cosiderăm sistemul Ax = b, cu A esigulră şi otăm cu x* soluţi exctă. Să presupuem că î locul mtricei A este furiztă mtrice A + E şi c urmre se rezolvă sistemul (A+E) x = b, cărui soluţie o otăm cu ˆx. Atuci (A+E) ˆx = Ax* E ˆx = A(x*- ˆx ). A - E ˆx =x*- ˆx Atuci x*- ˆx = A - E ˆx A - E ˆx, de ude ˆx x * ˆx cod(a) E A. Deci fctor de codiţiore mic şi vriţii reltive mici le coeficieţilor mtricei implică vriţii reltive mici le soluţiei. Dcă fctorul de codiţiore cod(a) este mre, tuci rezolvre sistemului Ax = b este o problemă rău codiţiotă. Să presupuem cum că î locul vectorului termeilor liberi b este dt vectorul ˆb şi c urmre se rezolvă sistemul A x = ˆb, cărui soluţie o otăm cu ˆx. Atuci A ˆx = ˆb - b + b A ˆx = ˆb - b + Ax* A(x*- ˆx ) = b- ˆb x*- ˆx = A - (b- ˆb ) Atuci 2

3 x*- ˆx = A - (b- ˆb ) A - (b- ˆb ) = A - (b- ˆb ) Ax * b A - b bˆ b A x*, de ude ˆx x * x * cod(a) b bˆ b. Deci fctor de codiţiore mic şi vriţii reltive mici le termeilor liberi implică vriţii reltive mici le soluţiei. Dcă grdul de curteţe dtelor de itrre este comptibil cu precizi mşiii ε mch, tuci ˆx x * x * cod(a)ε mch. Î urm clculului soluţiei sistemului Ax = b se pot pierde pâă l log 0 (cod(a)) cifre zecimle semifictive reltiv l curteţe dtelor de itrre. Iterpretre geometrică: = 2: Ecuţii uui sistem liir cărui mtrice A M 2,2 (R) pot fi iterprette c ecuţiile două drepte î pl, ir soluţi sistemului drept coordotele puctului de itersecţie celor două drepte. Fctor de codiţiore mre l mtricei A îsemă că dreptele sut prope prlele. problemă bie codiţiotă problemă rău codiţiotă Exemplu Cosiderăm sistemul Ax = b, ude 3

4 Mădăli Rox Bueci Metode Numerice Curs şi A = b = Cosiderăm următorele comezi MAPLE: > with(lilg): > A:=mtrix(2,2,[ ,887.2,887.2,885.78]); A := > A:=mtrix(2,2,[888445/000,8872/000,8872/000, 88578/000]); > cod(a); > b:=vector([,0]); > Digits:=6; > lisolve(a,b); > Digits:=5; > lisolve(a,b); > Digits:=0; > lisolve(a,b); > lisolve(a,b); A := b := [, 0 ] Digits := [ , ] Digits := 5 [ , ] Digits := 0 [ , ] [ , ] 4

5 Deşi mtricele A şi A sut egle - difereţ este dtă dor de reprezetre coeficieţilor: simbolic (c umere rţiole) î czul lui A şi î virgulă mobilă î czul lui A comezile lisolve(a,b) şi lisolve(a,b) îtorc rezultte diferite. Soluţi corectă sistemului este ce obţiută î vrit î cre s- lucrt simbolic: x = x 2 = Rezulttul erot furizt de comd lisolve(a,b) se dtoreză relei codiţioări mtricei A. Se observă că fctorul de codiţiore este: Reveim l sistemul Ax = b, cu A esigulră otăm cu x* soluţi exctă şi cu ˆx soluţi proximtivă. Vectorul se umeşte reziduu. Avem r = b - A ˆx x*- ˆx = 0 r = 0, dr x*- ˆx şi r u sut mici simult. Avem r = b - A ˆx = Ax* - A ˆx = A(x*- ˆx ) A - r = x* - ˆx x* - ˆx = A - r A - r =cod(a) = cod(a) A r = x* A x* r cod(a) x* Ax* r = = cod(a) x* r. b de ude rezultă x * xˆ x * cod(a) r b C urmre fctor de codiţiore mic (problemă bie codiţiotă) şi reziduu mic implică vriţii reltive mici le soluţiei. Exemplu Cosiderăm sistemul Ax = b, ude 5

6 Mădăli Rox Bueci Metode Numerice Curs şi A =.00 b = Evidet soluţi corectă sistemului este x = x 2 = Dcă se cosideră vectorul y se observă că y 2 y 2 = 0 b - Ay = Deci y pret verifică sistemul, deşi este diferit de x. Acest se dtoreză vlorii fctorului de codiţiore l lui A pe cre-l putem determi folosid următorele comezi MAPLE: > with(lilg): > A:=mtrix(2,2,[,.00,,]); > cod(a); A := Arătăm î cotiure că dcă reziduu este mre tuci vriţi reltivă coeficieţilor mtricei de itrre A este mre. Să presupuem că ˆx este soluţi sistemului (A+E) x = b. Atuci de ude (A+E) ˆx = b E ˆx = b -A ˆx E ˆx = r r = E ˆx E ˆx, 6

7 şi c urmre r E A x ˆ A. Î coseciţă dcă reziduu este mre tuci vriţi reltivă coeficieţilor mtricei de itrre A este mre. Deci dcă lgoritmul de rezolvre sistemului este stbil tuci reziduul reltiv este mic idiferet dcă problem este bie codiţiotă su u. IV.4. Metode itertive de rezolvre sistemelor liire IV.4.. eerlităţi Metodele itertive costu î costrucţi uui şir (x ) coverget către soluţi exctă sistemului. Oprire procesului itertiv re loc l u idice m determit pe prcursul clculului î fucţie de precizi impusă stfel îcât termeul x m să costituie o proximţie stisfăcătore soluţiei căutte. Se cosideră sistemul liir Ax = b, A M, (R) esigulră şi desfcere mtricei A defiită pri A = N-P. cu N o mtrice iversbilă. Fie x 0 u vector rbitrr di R. Costruim şirul (x ) folosid relţi de recureţă: Nx + = P x + b, 0. Notăm e = x* x erore bsolută cu cre x proximeză x*, soluţi exctă sistemului Ax = b. Teoremă. Fie sistemul liir Ax = b cu A M, (R) esigulră şi fie A = N- P o desfcere mtricei A (N M, (R) mtrice esigură). Şirul (x ) defiit pri Nx + = P x + b, 0, x 0 dt 7

8 Mădăli Rox Bueci Metode Numerice Curs coverge l soluţi exctă sistemului Ax = b oricre r fi x 0 dcă şi umi dcă ρ(n - P) < (ρ(n - P) reprezită rz spectrlă lui N - P, i.e. mximum modulelor vlorilor proprii le lui N - P). Demostrţie. Notăm = N - P. Atuci e + = x* x + = x* - N - (P x + b) = x* - N - P x - N - b = x* - N - P x - N - Ax* = x* - N - P x - N - (N-P) x* = x* - N - P x - x* + N - P x* = N - P (x* - x ) = e. C urmre e + = e = e - =...= + e 0, petru orice 0. Î coseciţă, lim x = x* petru orice terme iiţil x 0 dcă şi umi dcă 0 lim e =0 petru orice e 0, su echivlet dcă ρ() <. lim =0. Este cuoscut că lim =0 dcă şi umi Di demostrţi teoremei teriore rezultt că dcă = N - P şi e = x* x, tuci e = e - = e 0 petru orice 0. N se lege stfel îcât sistemul Nx + = P x + b, 0. cărui soluţie este x + să se rezolve uşor de exemplu se lee N digolă su triughiulră Î czul metodelor cocrete descrise î cotiure se cosideră desfcere stdrd mtricei A = ( i,j ) i,j defiită pri: A = L + D + R ude, D = dig(,, 2,2,., ) = 0 2, , 8

9 L = 2, ,,2,3,- 0 0,2,3,-, R = 0 0 2,3 2,- 2, IV.4.2. Metod Jcobi Metod Jcobi se crcterizeză pri desfcere N = D, P = - (L+R) N - = N - P = ,2 -,3 -,- -, - 2, 0-2,3-2,- - 2, : , -,2 -,3 -,- 0 9

10 Mădăli Rox Bueci Metode Numerice Curs Dcă = N - P, tuci coeficieţii mtricei = (g ij ) i,j sut: 0, i = j g i,j = i,j, i j. Şirul (x ) defiit pri Nx + = P x + b, 0, x 0 dt coverge l soluţi exctă sistemului Ax = b oricre r fi x 0 dcă şi umi dcă ρ() <. Deorece ρ(), petru orice ormă opertorilă lui, vem ρ() mi(, ), şi c urmre petru sigur covergeţ şirului (x ) este suficiet c mi(, )<. Clculăm : = mx{ g i= = mx{ i= i j i,j i, j i, i, j }, j } Clculăm : = mx{ g i,j, i } = mx{ j i i, j i, i, i }. Dcă < su <, tuci ρ() <. Dr codiţi < este echivletă cu j i i, j i, i < petru orice i, i > i= i j petru orice i, i i, j 0

11 cz î cre spuem că A este digol domită. Deci dcă 0 petru orice i =,2,,, şi dcă A este digol domită tuci şirul obţiut pri metod Jcobi coverge l soluţi exctă sistemului Ax = b. Dcă e = x*- x este erore bsolută cu cre x proximeză x*, soluţi exctă sistemului Ax = b, tuci e = e 0 petru orice 0. Î coseciţă, petru orice orme comptibile e e 0 e 0 e 0 Fie, = mi(, stisfăcătore petru soluţi exctă sistemului dcă cee ce este echivlet cu ) şi fie ε > 0 dt. Vom cosider x este o proximţie (, ) < ε. ( ) l ε l, ( ) +. Şirul (x ) costruit pri metod Jcobi este defiit pri Nx + = P x + b, 0, x 0 dt x + = N - P x + N - b, 0, x + = x + N - b, 0, Deci petru orice i, i, x i + b = gi,jx j + i = b gi,jx j - i j i = i,j b x j + i j i. Î coseciţă, şirul (x ) costruit pri metod Jcobi este: x 0 dt x i + = (b i - i,jx j ), i =,2,,, 0. j i IV.4.3. Metod uss-seidel Metod uss-seidel corespude desfcerii

12 Mădăli Rox Bueci Metode Numerice Curs N = L + D, P = -R. Şirul (x ) costruit pri metod uss-seidel este defiit pri Nx + = P x + b, 0, x 0 dt, , 2, :...,,2,3,- x + x 2 + x + = Px + b Deci x + = =,, ((Px ) + b ) =, (,jx j + b ) = 2 ( P,j x j + b ) =, (b -,,jx j ) 2 ( P,j x j + b ) = 2 şi petru orice i, 2 i, vem x i + = = = = i ((Px + ) i + b i - i,jx j ) = ( i + Pi,jx j + b i - i,jx j ) i+ i + i,jx j + b i - i,jx j ) i+ ( ( b i - i + i,jx j - i,jx j ) i+ ( Pi,j x j + b i - i + i,jx j ) Î coseciţă, şirul (x ) costruit pri metod uss-seidel este: x 0 dt 2

13 petru 0, x + =, (b -,jx j ) 2 x i + = ( b i - i,jx j - i+ i i,j x + j ), i =2,3,, C şi î czul metodei Jcobi dcă 0 petru orice i =,2,,, şi dcă A este digol domită tuci şirul obţiut pri metod uss-seidel coverge l soluţi exctă sistemului Ax=b. De semee dcă A este o mtrice simetrică şi re elemetele de pe digol priciplă pozitive, tuci metod uss-seidel coverge dcă şi umi dcă mtrice A este pozitiv defiită. 3