MECANICĂ*N* NC. CINEMATICĂ NC. CINEMATICĂ 1

Transcript

1 MEANIĂ*N* N. INEMATIĂ N. INEMATIĂ

2 MEANIĂ*N* N. INEMATIĂ UPRIN Inroducere... piolul N.0. inemic mișcării bsolue puncului meril... 5 N.0.. Triecori, iez și ccelerți puncului... 5 N.0.. udiul mișcării puncului folosind diferie siseme de coordone... 9 N.0.. Aplicție... 7 piolul N.0. Mișcări priculre le puncului meril... 0 N.0.. Mişcre recilinie puncului meril... 0 N.0.. Mişcre circulră puncului meril... N.0.. Mişcre puncului meril pe elice cilindrică de ps consn... 7 N.0.4. Aplicție... 8 piolul N.0. Elemene priind mișcre generlă rigidului... 4 N.0.. onsiderții generle... 4 N.0.. Mrice de schimbre de bză N.0.. Unghiurile lui Euler N.0.4. Viez şi ccelerţi unghiulră solidului rigid N.0.5. Disribuţi de ieze şi ccelerţii penru solidul rigid N.0.6. Proprieăţi le câmpului de ieze... 5 N.0.7. Proprieăţi le câmpului de ccelerţii l solidul rigid N.0.8. Aplicţie piolul N.04. Mişcări priculre le rigidului... 6 N.04.. Mișcre de rnslţie... 6 N.04.. Mișcre rigidului cu xă fixă... 6 N.04.. Mișcre elicoidlă N Mişcre pln-prlelă N Aplicţii N Mișcre rigidului cu punc fix... 8 N Mișcre generlă unui rigid piolul N.05 udiul cinemic l mişcării relie puncului meril N udiul geomeric şi cinemic N Definire ecorului ieză şi ccelerţie unghiulră N Deri mricei de roţie în rpor cu impul... 9 N Lege de compunere iezelor în mişcre reliă N Lege de compunere ccelerţiilor în mişcre reliă N Aplicție piolul N.06. Mişcre reliă sisemelor de corpuri... 0 N udiul geomeric sub formă mricelă sisemelor de corpuri... 0 N Lege de compunere iezelor şi ccelerţiilor unghiulre N Lege de compunere iezelor şi ccelerţiilor linire N Prmerii mişcării bsolue unui punc P... piolul N.07. Auoelure... 4 piol N.0. inemic mișcării bsolue puncului meril... 4 Exerciţii şi probleme rezole... 4 Exerciţii şi probleme propuse spre rezolre... 5 piol N.0. Mișcări priculre le puncului meril... 8 Exerciţii şi probleme rezole... 8

3 MEANIĂ*N* N. INEMATIĂ Exerciţii şi probleme propuse spre rezolre... 9 piol N.04. Mişcări priculre le rigidului... 0 Exerciţii şi probleme rezole... 0 Exerciţii şi probleme propuse spre rezolre... 0 Înrebări/ chesiuni recpiulie... piol N.05. udiul cinemic l mişcării relie puncului meril... 4 Exerciţii şi probleme rezole... 4 Exerciţii şi probleme propuse spre rezolre... 7 Înrebări/ chesiuni recpiulie... 9 Bibliogrfie... 40

4 MEANIĂ*N* N. INEMATIĂ Inroducere INEMATIA ese pre mecnicii cre se ocup cu sudiul miscrii puncului meril, rigidului, sisemelor de punce merile si sisemelor de corpuri, fr consider sisemele de fore cre deermin miscre (sudiul geomeric l miscrii). e sudiz miscre bsolu puncului meril si miscrile priculre le cesui, miscre generl rigidului si miscrile priculre le rigidului. udiul coninu cu miscre reli puncului meril si miscre reli sisemelor de corpuri. Pre de eorie ese urm de probleme rezole si probleme cu rspuns, uile in formre deprinderilor de rezol probleme si in uoelure sudenului. 4

5 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril piolul N.0. inemic mișcării bsolue puncului meril uine-cheie Ecuţi su lege de mişcre, Triecori, Vieză, Hodogrful iezei, Accelerți, Mișcre uniformă, Mișcre recilinie, Mișcre recilinie și uniformă, oordone creziene, Ecuţiile prmerice le riecoriei, oordone polre, Rză polră, Unghi polr, Viez reolră, oordone cilindrice, Triedrul erre-frene, Ecuți orră mișcării, Accelerți normlă, Accelerți ngențilă, Rz de curbură riecoriei, oordone sferice N.0.. Triecori, iez și ccelerți puncului Fie un reper fix R ( i, j, k ) [ ] ese cunoscuă dcă se poe deermin poziți puncului fță de reperul R ( i, j, k ) 0,, și M un punc mobil. Mișcre puncului M în inerlul de imp momen [ 0, ]. Poziţi puncului M l momenul ese deermină prin ecorul de poziţie de imp (fig...): r = r( ), [ ] z,, în orice r = M, cre depinde 0,. (.) r ( ) M y Relţi (.) se numeşe ecuţi su lege de mişcre puncului M, deorece permie flre poziţiei puncului M în orice momen din inerlul [ 0, ] în cre re loc mişcre. Funcţi ecorilă r ( ) rebuie să fie uniformă (uniocă) dică unei lori impului îi corespunde o unică lore funcției r ( ), cee ce însemnă că puncul re poziție bine preciză în fiecre momen. De semene, funcți r ( ) rebuie să fie finiă în modul şi cel puţin de două ori deribilă în rpor cu impul, deci r ( ) ese funcție coninuă și re deri înâi coninuă. Acese resricţii sun impuse de fenomenul fizic pe cre îl modeleză. Fenomenele în cre deri înâi funcţiei r ( ) re o disconinuie penru o numiă lore lui, cum sun ciocnirile, or fi sudie sepr. x Fig... Poziţi puncului M l momenul - 5 -

6 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril Vom no cu celşi simbol â puncul mobil, câ şi puncul din spţiu prin cre rece el l un momen d. Triecori puncului M ese locul geomeric l poziţiilor sle succesie în spţiu, cee ce ese oun cu locul geomeric l exremiăţii ecorului de poziţie r (), când riză în inerlul de mişcre. În generl, riecori ese o curbă orecre în spţiu, regulă pe porţiuni şi recificbilă dică curb re o lungime clculbilă, finiă. De mule ori form riecoriei rge denumire mişcării. De exemplu, dcă riecori ese o drepă, mişcre se numeşe recilinie su, dcă riecori ese un cerc, mişcre se numeşe circulră. Pe o riecorie dă, mişcre puncului poe e loc în dierse moduri. Penru crceriz comple mişcre unui punc se definesc noţiunile de ieză insnnee şi de ccelerţie insnnee. bserţie: În mecnică, deri în rpor cu impul se noeză prinr-un punc siu desupr simbolului mărimii de deri. Nore diferiă deriei în rpor cu impul, fţă de deri obişnuiă în rpor cu o lă ribilă răspunde necesiăţii, conse în mecnică, de disinge grfic cele două cegorii de derie. e numeşe ieză puncului M l momenul su ieză insnnee, mărime ecorilă dă de deri în rpor cu impul ecorului de poziţie def d r = = r [m/s], [ ] d 0,. (.) Viez ese un ecor leg de puncul M. e ră că ces ecor ese ngen l riecorie şi că ese orien în sensul mişcării. z m x r( ' ) r ( ) M M y Fig... Reprezenre ecorului ieză medie m e consideră ecorul m = r ( ' ) r( ) ' = MM ', (.) ' - 6 -

7 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril cre se numeșe ieză medie puncului în inerlul de imp [,']. Aces ecor re c supor cord MM' şi sensul de l M l M', dică sensul mişcării (fig...). Viez medie depinde de momenele şi '. Penru obţine o informţie câ mi precisă, rebuie micşor inerlul de imp înre momenele şi '. Aces lucru se relizeză prinr-un proces de recere l limiă, cre re c rezul obţinere iezei insnnee puncului M l momenul ( ) r( ') r d r = lim = = r. (.4) ' d Din cele de mi sus rezulă că iez ese un ecor ngen l riecorie în puncul M şi orien în sensul mişcării (fig...). onsiderăm cum un punc fix Ω în cre consruim ecorul echipolen cu ecorul ( ), dică ecorul Ω P ese egl în mărime, prlel și de celși sens cu ecorul ( ). ând riză în inerlul de mişcre [ ], exremie P ecorului Ω P 0, consrui penru lorile lui din ces inerl, descrie o curbă numiă hodogrful iezei (fig..4.). În ceeşi idee, riecori poe fi inerpreă c fiind hodogrful ecorului de poziţie, ir iez ese ngenă l ces hodogrf. z Ω P x r ( ) Fig.. Reprezenre ecorului ieză și ecorului ccelerție M y m P ( ' ) Ω ( ) P Fig..4. Hodogrful iezei e consideră cum, pe hodogrful iezei, două momene şi ' (fig..4.), înre cre riţi iezei puncului ese - 7 -

8 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril ( ' ) ( ) PP' = =. (.5) e poe defini cum mărime ecorilă ccelerţie medie, c fiind rporul dinre riţi iezei înr-un inerl de imp şi cel inerl: m = ( ' ) ( ) ' Prinr-un proces de recere l limiă, se obține ccelerți momennă: ( ' ) ( ) =. (.6) ' d = lim = =. (.7) ' ' d e numeşe ccelerţie puncului M l momenul, su ccelerţie insnnee, mărime ecorilă dă de deri în rpor cu impul ecorului ieză: def d = = [m/s ]. (.8) d Vecorul ccelerţie insnnee crcerizeză riţi ecorului ieză şi ese un ecor ngen l hodogrful iezei. În mod nlog cu inroducere hodogrfului iezei, se poe inroduce hodogrful ccelerţiei. De semene, se po defini ccelerţii de ordin superior, după cum se ede în prgrful urmăor. e ră că ecorul ccelerţie ese conţinu în plnul osculor l riecoriei reli l puncul M. În czul unei mişcări orecre pe o curbă orecre, ecorul ieză re o mărime ribilă şi o orienre ribilă, deorece el ese ngen l riecorie în fiecre momen l mişcării. e po disinge însă rei czuri priculre imporne:. - ecorul ieză re modulul consn în inerlul de imp [ ] riecorie 0, l mişcării puncului pe = 0 = consn, [ ] 0,. (.9) În cesă siuţie, numi orienre ecorului ieză se modifică în imp, ir mişcre puncului în inerlul consider se spune că ese uniformă, indiferen de form riecoriei. Deorece rezulă, prin derire, că: dică = = 0 = consn, (.0) = = 0, (.) = 0, (.) cee ce ră că, în ces cz priculr l mișcării uniforme pe o curbă orecre, ecorii ieză și ccelerție sun perpendiculri. Vecorul ese nenul deorece deri unui ecor de modul - 8 -

9 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril consn dr de orienre ribilă ese nenulă; b. - ecorul ieză re numi orienre consnă în inerlul de imp [ ] 0, l mișcării puncului pe riecorie. Aces lucru însemnă că ngen l riecorie nu-şi modifică orienre, deci riecori ese o drepă, dică mişcre ese recilinie, dr cu mărime iezei ribilă; c. - ecorul ieză ese consn în inerlul de imp [ ] dică 0, l mișcării puncului pe riecorie, = 0 = consn. (.) Aces lucru însemnă că rămân consne â orienre câ şi modulul ecorului, mişcre puncului fiind recilinie şi uniformă. În ces cz, ecorul ccelerţie ese nul = = 0 = 0. (.4) Pe de lă pre, plecând de l fpul că ecorul ccelerţie ese nul, rezulă, prin inegrre, că ecorul ieză ese consn, dică fpul că mişcre ese recilinie şi uniformă. e poe concluzion că singur mişcre în cre ecorul ccelerţie ese nul ese mişcre recilinie şi uniformă. Accelerții de ordin superior Vecorul ccelerție unui punc se obține prin derire ecorului ieză. Vecorul ccelerție nu ese nepăr consn, moi penru cre, în numie siuții, poe să inereseze iez de schimbre în imp ecorului ccelerție. Aces fenomen fizic ese surprins de deri ecorului ccelerție, dică de ecorul r = =. Aces ecor se numeșe ccelerție de ordinul l doile, cee ce fce c ecorul ccelerție să fie denumi ccelerție de ordinul înâi. Procesul de derire poe fi coninu și se obține sfel ccelerți de ordinul l reile, l prule ș..m.d. Ecuți fundmenlă dinmicii clsice F = m nu include decâ ccelerți de ordinul înâi, dr modelre unor fenomene fizice cre implică riții fore rpide în imp le forței poe fi făcuă numi dcă sun lue în considerție ccelerțiile de ordin superior, începând cu cele de ordinul l doile. N.0.. udiul mișcării puncului folosind diferie siseme de coordone Prin sudiul mişcării unui punc cu lege de mişcre dă, se înţelege deerminre riecoriei, iezei şi ccelerţiei sle în orice momen l inerlului de imp [ 0, ], în cre se sudiză mișcre. Penru sudiul mişcării unui punc se po folosi, în funcţie de siuţie, diferie siseme de coordone. udiul mişcării puncului în coordone creziene Fie R ( i, j, k ) oronormă ( i j, k ), un reper crezin drep, cu origine în puncul, şi preăzu cu o bză,. În rpor cu ces reper consider fix, poziţi unui punc mobil M ese dă de coordonele sle x, y şi z, cre sun funcţii de imp: - 9 -

10 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril x = x( ), y( ) y =, z( ), z = [ ] 0,. (.5) Lege de mişcre (.) ese echilenă cu relţiile (.5), fp penru cre ele definesc lege de mişcre puncului M în coordone creziene. În celşi imp, relţiile (.5) consiuie şi ecuţiile prmerice le riecoriei, prmerul fiind impul. Ecuţiile nliice le riecoriei se obţin din ecuțiile (.5), prin eliminre ribilei independene. Triecori se mi poe rs proximi prin punce, dând lori prmerului în inerlul de mişcre. Vecorul de poziţie l puncului M ese: unde r = xi + yj + zk (.6) i, j, k sun ersori consnți (fig..5.), ir x, y și z sun coordonele puncului M, ribile în imp, conform cu relți (.5). z z k r M(x,y,z) y x i j y Viez puncului M ese: x Fig..5. oordonele creziene le puncului M cu componenele: = r = xi + yj + zk (.7) x = x, y = y, z = z, (.8) şi cu modulul: = x + y + z. (.9) Accelerţi puncului M ese: cu componenele: = = r = xi + yj + zk, (.0) - 0 -

11 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril x = x = x, y = y = y, z = z = z, (.) şi cu modulul: = x + y + z. (.) u juorul expresiilor nliice se po deduce şi cosinusurile direcore le ecorilor ieză şi ccelerţie. Un cz priculr imporn ese cel l mişcărilor plne. De regulă, plnul mişcării ese consider plnul xy. În cesă siuţie, coordon z ese nulă şi implici deriele ei. Prin urmre, lege de mişcre ese x = x( ), y( ) y =, = 0 0,, (.) z, [ ] cre sun şi ecuţiile prmerice le riecoriei. Eliminând prmerul, se obţine ecuţi nliică riecoriei, sub formă impliciă: su sub formă expliciă: Vecorii ieză şi ccelerţie dein: ( x, y) = 0 g, (.4) ( x) y = f. (.5) = r = xi + yj, (.6) = = r = xi + yj (.7) şi sun siuți în plnul mişcării (fig..6.). y y = yj x = xi x = xi M, ( x y) y = yj j r M 0 i x Fig..6. omponenele ecorilor ieză şi ccelerţie în coordone creziene în czul mișcării plne. udiul mişcării puncului în coordone polre e consideră un punc mobil M, cărui mişcre ese plnă. Fie x o semidrepă fixă siuă în plnul mişcării, numiă semixă polră, şi fie i ersorul cesei xe. Disnţ de l polul l - -

12 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril puncul M se numeşe rză polră şi ese noă cu r, cu precizre că ecorul de poziție îndeplineșe condiți: M = r M = r > 0, (.8) ir unghiul orien dinre x x şi ecorul M ese no cu θ şi ese numi unghi polr (fig..7.). Numerele r şi θ sun numie coordonele polre le puncului M. În coordone polre, reperul re origine în puncul M, deci ese mobil, ir cele două xe le sle sun x rdilă, coliniră cu rz polră, şi x rnserslă, perpendiculră pe prim. Versorul xei rdile ese no i ρ şi ese orien în sensul creşerii rzei polre, ir ersorul xei rnsersle ese no i n şi se obţine din i ρ prin roire cesui cu unghiul π + (fig..7.). y = r θ n i n π + x rdilă j i r( ) θ ( ) i n i ρ M(r,θ) = r ρ i ρ x x rnserslă ând puncul M se mişcă, coordonele sle polre se modifică în imp r = r( ), θ = θ ( ), [ ] 0,. (.9) Relţiile (.9) reprezină lege de mişcre puncului M în coordone polre şi, în celşi imp, ecuţi prmerică riecoriei în coordone polre. Ecuţi nliică riecoriei se deermină eliminând prmerul înre relţiile (.9), obţinânduse form impliciă su, unci când ese posibil, form expliciă cesei Șiind că ecorul de poziţie l puncului M ese Fig..7. Reperul polr și componenele iezei f ( r, θ ) = 0 su r( θ ) r =. (.0) M = ri ρ, (.) se poe deermin expresi iezei şi ccelerţiei în coordone polre. Deorece în impul mişcării ersorii i ρ şi i n îşi schimbă orienre, deci nu sun consnţi ş cum eru i, j, k în - -

13 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril coordone creziene, rebui să deerminăm deriele lor în rpor cu impul. Mi înâi, din fig..7., se deduce că: iρ = cosθ i + sinθ j, i = sinθ i + cosθ j, n (.) în cre i şi j sun ersori consnţi. Deriăm poi relţiile (.) în rpor cu impul şi obţinem: i ρ = θ sinθi + θ cosθj = θ i n = θ cosθi θ sinθj = θ ( sinθi + cosθj) = θ in, ( cosθi + sinθj) = θ i. ρ (.) Plecând de l definiţi iezei dă de relţi (.), rezulă: + == riρ + riρ = riρ rθi n, (.4) cre reprezină expresi nliică iezei în coordone polre, deci în bz ( ) xe și modulul ei sun: i,i n ρ. Proiecțiile pe ρ = r, r n = θ, r + r = θ. (.5) Deriând expresi nliică iezei în rpor cu impul, se obţine expresi nliică ccelerţiei în coordone polre: = ri ρ + ri ρ + r θin + r θiθ + r θin = riρ + r θin + r θin + r θin r θ iρ, (.6) de unde rezulă: r r = θ iρ + r θ + r θ i omponenele ecorului şi modulul cesui sun: ( ) ( ) n. (.7) ρ = r rθ, r θ r θ n = +, = ρ + n. (.8) În sudiul mişcării puncului se foloseşe, uneori, iez reolră. Penru o deermin, considerăm un inerl de imp = ', în cre unghiul polr θ ri cu θ = θ ( ' ) θ ( ), ir rz polră ri cu o cnie r şi măur o rie A, hşură în fig..8. Ari A ese cuprinsă înre riile două secore circulre. Presupunând că r crescu cu cnie r 0, se poe scrie: Împărţind relţi de mi sus l ( r + r) r θ θ A. (.9) şi recând l limiă, se obţine: în cre produsele de ermeni infini mici s-u neglij. r θ A r θ lim, (.40) 0 - -

14 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril Mărime A Ω = lim = 0 da d r θ = (.4) se numeşe ieză reolră şi ese dă de ri măură de rz polră în unie de imp. E se mi poe clcul cu formul: unde ecorul r θ Ω = r =, (.4) Ω = ( r ) (.4) se numeşe ecor ieză reolră. El se defineşe cu relţi (.4) şi penru mişcări cre nu sun r + r M r θ θ M x Fig..8. Aproximre riei hșure A plne. e poe demonsr că unci când Ω re direcţie fixă în spţiu, riecori puncului ese o curbă plnă, ir când Ω = 0 unci riecori puncului ese recilinie. Accelerți reolră se obține deriând iez reolră Ω. Ω = d( r ) d r = + r d d d d = ( r ) Dcă se înlocuiesc în formulele (.4) și (.44) expresiile iezei și ccelerției în cordone creziene, se po obține iez și ccelerți reolră în cese coordone. Pe bz figurii.7 se poe deduce legăur dinre coordonele polre ρ și θ le puncului M și coordonele sle creziene x și y: (.44) x = ρ cosθ. (.45) y = ρ sinθ Din relțiile (.45) se deduce legăur dinre coordonele creziene x și y și cele polre ρ și θ:

15 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril udiul mişcării puncului în coordone cilindrice ρ = x + y y. (.46) θ = rcg x e consideră un pln fix (P), o semixă fixă x de ersor i în ces pln şi un ersor k perpendiculr pe pln în puncul. Fie M un punc mobil în spţiu şi M proiecţi lui pe plnul (P) r,θ, unci poziţi lui M în spţiu ese (fig..9.). Deorece coordonele polre le lui M sun ( ) deermină de riple ( r, z) cu z = ± MM.,θ, unde r, θ și z sun numie coordonele cilindrice le puncului M, i z i n (P) x k i r r θ M z M i ρ i ρ i n Fig..9. oordonele cilindrice le puncului M În puncul M se consruiesc ersorii i ρ, i n şi i z, unde i ρ şi i n sun ersorii reperului polr rnslţi din M în M, ir i z = i ρ in compleeză riedrul drep. Ecuţiile de mişcre le puncului M sun: cre sun şi ecuţiile prmerice le riecoriei. r = r( ), θ = θ ( ), z = z( ), [ ] Eliminând prmerul, se poe obţine ecuţi nliică riecoriei. 0,, (.47) Din figur.9. se obseră că ecorul de poziție l puncului M esem = M + MM, dică: M = ri ρ + zi z. (.48) Deriând ces ecor în rpor cu impul şi uilizând relţiile (.), rezulă urmăore expresie nliică iezei unui punc în coordone cilindrice: = ri r ρ + θin + z i z, (.49) cu componenele: ρ = r, r n = θ, = z. (.50) z - 5 -

16 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril Deriând (.49) în rpor cu impul și folosind relțiile (.), rezulă urmăore expresie nliică ccelerţiei unui punc în coordone cilindrice: cu componenele: ( r r θ ) i ( r r ρ + θ + ) in + z iz = θ, (.5) ρ = r rθ, r θ r θ n = + și z = z. (.5) În czul priculr când z = 0, se obţin coordonele polre. Pe bz figurii.9. se poe deduce legăur dinre coordonele cilindrice r, θ și z, le puncului M și coordonele sle creziene x, y și z: x = r cosθ y = r sinθ. (.5) z = z Din relțiile (.5) se deduce imedi legăur dinre coordonele creziene x, y și z și cele cilindrice r, θ și z: r = x + y udiul mişcării puncului folosind riedrul erre-frene y θ = rcg. (.54) x z = z Dcă un punc prcurge o riecorie cunoscuă pe cre se lege un punc c origine rcelor de curbă s şi un sens de prcurgere, unci poziţi puncului fţă de poe fi deermină prin coordon inrinsecă su coordon nurlă s (fig..0.). Mișcre puncului M ese definiă în ces cz prinr-o singură funcție sclră numiă ecuți orră mișcării. s = s( ), [ ] 0,, (.55) e şeză puncului M de pe riecorie un riedru denumi riedrul lui Frene ( M, τ, ν, β ) origine în punc şi cu xele definie sfel (fig..0.): ngen l curbă în puncul M, l cărei ersor τ ese orien în sensul creşerii lui s și ese d de relți: unde r ese ecorul de poziţie l puncului A; - 6 -, cu d r τ =, (.56) ds norml principlă, dică norml l curbă în plnul osculor, ând ersorul ν orien spre cenrul de curbură;

17 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril binorml, perpendiculră în M pe plnul osculor, ând ersorul β, les sfel încâ =. β, în cesă ordine, să formeze un riedru drep ( β τ ν ) Triedrul defini mi sus ese mobil şi se numeşe riedrul erre-frene. τ, ν şi ând ecorul de poziţie r se exprimă în funcţie de rcul s, se obţine ecuţi inrinsecă curbei: ( s) r = r. (.57) ν β τ r M s = s( ) Fig..0. Triedrul erre-frene Expresi nliică iezei se obţine prin derire relţiei (.57) în rpor cu impul, rezulând: Folosind relţi: ( s) d r d r ds d r = r = = = s. (.58) d ds d ds se obține: d r ds = τ, (.59) = sτ = ~ τ cu ~ = ±, (.60) ~ fiind mărime lgebrică iezei, dică noți include semnul şi modulul ecorului. Viez ese ngenă l riecorie în puncul M, ese orienă în sensul mişcării şi re mărime lgebrică ~ = s. Dcă înr-un inerl de imp ~ = s > 0, unci s creşe ir ecorii şi τ u celşi sens ir dcă, înr-un inerl de imp ~ = s < 0, unci s scde ir ecorii şi τ u sensuri opuse, rezulând deci că indică sensul de mişcre. Proiecţiile iezei pe xele riedrului erre-frene sun: τ = s, ν = 0, β = 0, (.6) ir modulul ese: = s. (.6) - 7 -

18 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril Accelerţi se obţine prin derire iezei în rpor cu impul: în cre: = = sτ + s τ, (.6) dτ dτ ds τ = = = s ν, (.64) d ds d ρ unde s- uiliz prim formulă lui Frene: dτ = ν, (.65) ds ρ ρ fiind rz de curbură riecoriei în puncul M. Vecorul ccelerţie se mi scrie cum sub form:. s τ ν ~ = s + = τ + ν. (.66) ρ ρ Relţi (.66) ră că, în orice momen, ccelerţi ese conţinuă în plnul osculor. Proiecţiile ccelerţiei pe xele riedrului erre-frene sun: ir modulul ese:. τ = s = ~, s ν = =, β = 0, (.67) ρ ρ τ + ν =. (.68) omponen normlă ccelerţiei su ccelerţi normlă s ν = ν = (.69) ρ ρ ese dirijă după norml principlă l riecorie în puncul consider, ând odeun sensul spre concie curbei, deorece mărime lgebrică componenei ~ ν = ese sric poziiă, ρ cu excepţi mişcării recilinii, când = 0 ρ ν u mereu celşi sens. şi deci cesă componenă se nuleză. Rezulă că ν şi omponen ngenţilă ccelerţiei su ccelerţi ngenţilă = s τ = ~ τ (.70) τ ese coliniră cu iez, dr ecorii τ şi τ po e celşi sens, sensuri opuse su ese posibil c τ să fie nul

19 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril Deorece: =. ~ = = ~ ~ d = d = τ ν τ, (.7) d d ( + ) rezulă că sun posibile urmăorele rei siuţii: ) = τ > 0, cz în cre şi τ u celşi sens, unghiul dinre ecorii şi ese scuţi, d ir modulul iezei creşe deorece, conform relției (.7), > 0, cee ce ră că mişcre d ese cceleră (fig...); τ ν τ M ν τ M ν s τ ν s Fig... Vecorii şi în mişcre cceleră b) = τ < 0, cz în cre şi τ u sensuri opuse, unghiul dinre ecorii şi ese obuz, d ir modulul iezei scde deorece, conform relției (.7), < 0, cee ce ră că mișcre d ese înceiniă (fig...); τ ν ν τ M τ ν ν τ M Fig... Vecorii şi în mişcre înceiniă - 9 -

20 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril d c) = τ = 0, cz în cre rezulă că ese consn deorece = 0, cee ce ră că d mișcre ese uniformă (fig...). Vecorul ccelerție re o singură componenă nenulă în mișcre uniformă pe o curbă orecre, el fiind de form: = ν = 0, (.7) ρ deorece ~. τ = τ = 0, deci ecorul ccelerție ese, în ces cz, perpendiculr pe ieză. τ M ν = ν = ν τ ν M Fig... Vecorii şi în mişcre uniformă bserţii. Lege mişcării uniforme unui punc pe o curbă orecre se poe deduce cunoscând că, l ces ip de mişcre, modulul iezei ese consn în inerlul de imp [ 0, ]. Deorece în cdrul genului de mişcări pe cre le considerăm iez nu re disconinuiăţi, rezulă că şi mărime ei lgebrică ese consnă, dică: ds Inegrând relţi (.7) scrisă sub form = 0, se obţine d ~ = = 0 consn (.7) s = 0 + s 0, (.74) cre reprezină lege mişcării uniforme pe o curbă orecre, unde s ese coordon nurlă. Vecorii ieză şi ccelerţie sun = 0 τ și = 0 ν. (.75) ρ În ces ip de mişcre componen ngenţilă ccelerţiei ese nulă, ir ecorii şi sun perpendiculri. Pe bz celor de mi sus, mişcre uniformă pe o curbă orecre se poe defini c mişcre în cdrul cărei ccelerţi ngenţilă ese nulă

21 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril. Dcă penru [ ] 0, ccelerţi ngenţilă ese consnă τ = 0 = consn, mişcre se numeşe uniform riă. Deorece: rezulă, după o primă inegrre, relţi: ir după dou inegrre: τ = 0 = s, (.76) = s = 0 + 0, (.77) cre reprezină lege mișcării uniform rie pe o curbă orecre. Vecorii ieză şi ccelerţie sun = ( + )τ, 0 0 s = s0, (.78) ( 0 + 0) ν = 0τ +. (.79) ρ Dcă se elimină impul înre relţiile (.77) şi (.78), se obţine relţi lui Glilei: ( s ) = s0. (.80). Dcă se cunosc ecuțiile prmerice le riecoriei, se poe clcul rz de curbură riecoriei în orice punc l ei. Plecând de l expresi: și plicând modulul, rezulă:. ~ τ ~ τ ν ~ = + = β (.8) ρ ρ ρ =. (.8) În czul mişcării plne cu lege de mişcre dă de (.) rz de curbură re expresi: ir dcă lege de mişcre ese dă de (.9), unci: cre conduce l: i ( x + y ) ρ =, (.8) x y x y [ r ( r θ + r θ ) r θ ( r r )] i z ρ θ z = r r θ 0 = θ (.84) r r θ i r θ + r θ i 0 - -

22 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril Dcă ecuţi riecoriei ese y = f ( x) ( r + r θ ) ρ =. (.85) r (r θ + r θ ) r θ ( r r θ ), unci: unde cu ' s- no deri lui f ( x) Dcă ecuţi riecoriei ese r = r( θ ) ( y + ) ρ = (.86) y y = în rpor cu x., unci: ( r + r ) ρ =, (.87) r + r rr unde dr r =. dθ Dcă ecuţi riecoriei ese f ( x, y) = 0 unde, unci: ( + ) f x f y ρ =, (.88) fxx fxy fx = fxy f yy f y, (.89) fx f y 0 ir indicii noeză deriele prţile în rpor cu ribilele respecie. 4. Dcă se cunosc şi, ccelerţiile normlă şi ngenţilă se po clcul în două moduri: ) folosind expresi (.8) se clculeză ccelerţi normlă și poi ν = = = ρ (.90) τ = ± ν, (.9) semnul sbilindu-se în fiecre cz concre, pe bz semnului produsului ersorului τ ; b) folosind expresi ersorului ngen l riecorie - - și sensului

23 MEANIĂ*N* se clculeză ccelerţi ngenţilă N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril τ = ~, (.9) ir uilizând relţi: ~ ( ) τ = ττ = τ τ = ~ ~ =, (.9) se clculeză ccelerţi normlă ( ) = ( ), (.94) ( ) ( ) ν = τ = = =. (.95) 5. ingur mișcre cu ccelerție nulă ese mișcre recilinie și uniformă. Înr-deăr, dcă = 0, unci = 0, cee ce însemnă că τ şi ν sun nule. Ulimele două relţii conduc l: Inegrând prim relţie de mi sus, se obţine s = 0 și = 0. (.96) ρ s = 0 = consn, (.97) cee ce ră că mişcre ese uniformă. A dou relţie din (.96) conduce l: cee ce ră că mişcre se produce pe o drepă. = 0, (.98) ρ 6. ingurele mișcări în cre iez ese coliniră cu ccelerți sun mișcările recilinii. Dcă iez şi ccelerţi sun colinire, unci componen normlă ccelerției rebuie să fie nulă, cee ce reine l (.98), dică riecori ese recilinie. Dcă riecori ese recilinie, unci re loc relți (.98), cre conduce l nulre componenei normle ccelerției. Rezulă că ccelerți re dor componen ngențilă, cre ese coliniră cu iez. udiul mişcării puncului în coordone sferice e consideră un reper fix xyz și un punc mobil M, l cărui ecor de poziție în rpor cu polul ese r (fig..4.). Disnț de l origine sisemului de referință l puncul M ese un număr rel pozii, no r, și cre se numeșe coordon rdilă su rz. e noeză cu ρ proiecți ecorului de poziție r pe plnul xy, ersorul cesui ecor fiind no i ρ și ând sensul pozii în sensul - -

24 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril creșerii mărimii ecorului ρ. Unghiul orien dinre x x și ecorul ρ ese no cu ϕ și se numeșe unghi zimul. Unghiul orien dinre x z și ecorul de poziție r ese no cu θ și poră denumire de unghi de înclinre, coliudine su unghi zenil. Triple: r = r( ), r( ) [0, + ) θ = θ ( ), θ ( ) [0, π ) ϕ = ϕ( ), ϕ( ) [0, π ) reprezină coordonele sferice le puncului M. (.99) Reperul ș puncului M ese form din urmăorele rei xe: - x rdilă, cre ese coliniră cu ecorul de poziție r, l cărei ersor i r re sensul pozii orien în sensul creșerii mărimii ecorului r ; - x rnserslă, cre ese perpendiculră pe ecorul r și oodă siuă în plnul deermin de ecorul r și x z, l cărei ersor i θ re sensul pozii orien în sensul creșerii lui θ; - x normlă, cre ese perpendiculră pe primele două deci și pe plnul deermin de ecorul r și x z, l cărei ersor i ϕ re sensul pozii orien în sensul creșerii lui φ ( iϕ = ir iθ ). ei rei ersori formeză o bză oronormă. z θ r M i r i θ i ϕ y x ϕ ρ i ρ Fig..4. oordonele sferice și reperul ș puncului. Versorul i ρ se descompune după xele x și y și re urmăore expresie nliică: iρ = cos ϕ i + sinϕ j. (.00) Folosind expresi de mi sus și figurile.5, și.5,b, se po scrie expresiile nliice le celor rei ersori i reperului sferic: - 4 -

25 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril i r = sin θ i ρ + cosθ k = sinθ cosϕ i + sinθ sinϕ j + cosθ k (.0) i θ = cosθ i ρ sinθ k = cosθ cosϕ i + cosθ sinϕ j sinθ k (.0) Deorece ecorul de poziție l puncului M ese: iϕ = sin ϕ i + cosϕ j (.0) r = r i r ( θ, ϕ) (.04) ir iez și ccelerți puncului se obțin prin derire succesiă în rpor cu impul cesei expresii, ese necesr să se clculeze mi înâi deriele ersorilor reperului sferic în rpor cu coordonele θ și ϕ, penru pue clcul expresi iezei și expresi ccelerției în coordone sferice. Acese derie sun: d i r dϕ d i r = cos θ cosϕ i + cosθ sinϕ j sinθ k iθ dθ = (.05) = sin θ sinϕ i + sinθ cosϕ j = sinθ ( sinϕ i + cosϕ j) = sinθ iϕ (.06) d iθ = sin θ cosϕ i sinθ sinϕ j cosθ k = i r (.07) dθ d iθ = cos θ sinϕ i + cosθ cosϕ j = cosθ ( sinϕ i + cosϕ j) = cosθ iϕ (.08) dϕ d iϕ = 0 dθ (.09) d iϕ = cosϕ i sinϕ j = iρ = sinθ ir cosθ iθ. (.0) dϕ z θ i r k θ θ i θ j i ϕ y i ρ ρ i ϕ ρ ϕ x b Fig..5. ) Poziți ersorilor i r și i θ ; b) Poziți ersorului i ϕ - 5 -

26 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril Descompunere lui i ρ după direcțiile lui i r și i θ se deduce din figur.5,. Viez puncului M în coordone sferice rezulă prin derire în rpor cu impul ecorului de poziție d de relți (.04). e obține: = d r d d( ri = r ) d i d d i d = r i + r i = r i + r r θ + r ϕ r r r. (.) d dθ d dϕ d După înlocuire relțiilor (.05) și (.06) în (.), rezulă formul finlă iezei puncului M în coordone sferice omponenele iezei și modulul cesei sun: = r ir + r θ iθ + r ϕ sinθ iϕ. (.), r = r θ = rθ, ϕ = r ϕ sinθ, = + θ ( r ) + ( r θ ) ( r ϕ sin ). (.) Accelerți puncului M în coordone sferice rezulă prin derire în rpor cu impul ecorului ieză d de relți (.). e obține: din cre rezulă: d d( r ir + r θ iθ + r ϕ sinθ iϕ ) = =, (.4) d d = r ir + ri r + r θ iθ + r θ iθ + r θ i θ + r ϕ sin θ iϕ + r ϕ sinθ iϕ + r ϕθ cosθ iϕ + r ϕ sinθ i ϕ (.5) Ținând con că: dir d diθ d diϕ d d i dθ d i dϕ d i d i = r + r = r θ + r ϕ dθ d dϕ d dθ dϕ d iθ dθ d iθ dϕ d iθ d i = + = θ + θ ϕ dθ d dϕ d dθ dϕ d iϕ dθ d iϕ dϕ d iϕ d iϕ = + = θ + ϕ dθ d dϕ d dθ dϕ (.6) și folosind relțiile (.05), (.06), (.07), (.08), (.09) și (.0) se obține, după înlocuiri, formul finlă ccelerției în coordone sferice: = ( r r θ r ϕ sin θ ) ir + ( r θ + r θ r ϕ sinθ cosθ ) iθ + ( r ϕ sinθ + r ϕ sinθ + r θϕ cos θ ) iϕ. omponenele ccelerției și modulul cesei sun: (.7) r = r r θ r ϕ sin θ, θ = r θ + r θ r ϕ sinθ cosθ, ϕ = r ϕ sinθ + r ϕ sinθ + r θϕ cosθ, - 6 -

27 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril = ( r r θ r ϕ sin θ ) + ( r θ + r θ r ϕ sinθ cosθ ) + ( r ϕ sinθ + r ϕ sinθ + r θϕ cosθ ) (.8) Pe bz figurii.4 se poe deduce legăur dinre coordonele sferice r, θ și φ le puncului M și coordonele sle creziene x, y și z: x = rsinθ cosϕ y = rsinθ sinϕ. (.9) z = r cosθ Din relțiile (.9) se deduce legăur dinre coordonele creziene x, y și z și coordonele sferice r, θ și φ: r = x + y + z ; z y θ = rccos ; ϕ = rcg. (.0) r x N.0.. Aplicție Lege de mişcre unui punc ese x = şi y = 4. ă se deermine: riecori, iez, ccelerţi, crcerul mişcării, ccelerţi normlă, rz de curbură, ccelerţi ngenţilă. Penru = 0,5 s să se deseneze iez şi ccelerţi cu componenele lor. Rezolre Ecuţi riecoriei se obţine eliminând prmerul înre relţiile cre reprezină lege de mişcre și x cre sun oodă și ecuţiile prmerice le riecoriei. Din prim relţie rezulă = şi, înlocuind în ce de dou, rezulă y = x, cre ese ecuţi unei prbole ce ese reprezenă în figur.. Deorece ese pozii, rezulă x 0, deci riecori puncului ese numi rmur din drep prbolei. Puncul plecă pe riecorie în momenul = 0 din ârful cesei ( x ( 0 ) = 0, y 0 = ). ( ) y y ν ν τ τ M(,0) x x Fig... Triecori puncului M - 7 -

28 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril Deorece coordon x = ese sric crescăore, rezulă că puncul plecă din ârful prbolei pe rmur din drep, îndepărându-se mereu de ces. Viez puncului ese: ir ccelerţi: = xi + yj = i + 8j, = xi + yj = 8 j. rcerul mişcării ese d de poziţi fţă de zero produsului = 64 > 0, deci mişcre ese cceleră. Rezulă că puncul plecă din ârful prbolei pe rmur din drep, ând o mişcre cceleră, deci el nu se mi înorce pe riecorie. Rz de curbură se clculeză cu formul (.8), dr, mi înâi, se deermină: i j = 8 0 = 6k, 0 8 k 0 de unde ( 4 64 ) + ρ = =. 6 Accelerţi normlă ese: ν = ν = 6ν = ν. ρ ( ) Accelerţi ngenţilă se clculeză cu relți: τ = ± ν τ = ± 64 τ = ± τ Deorece şi τ u, în ces cz, celşi sens şi penru că mişcre ese cceleră şi τ u celşi sens, rezulă că τ şi τ u celşi sens, deci semnul corec în relţi de mi sus ese pozii, rezulând τ 64 = τ Deorece mărime lgebrică lui τ nu ese consnă, rezulă că mişcre puncului nu ese uniform cceleră, ci numi cceleră. Problem eidenţiză clr fpul că, deşi ccelerţi - 8 -

29 MEANIĂ*N* N.0.inemic mișcării bsolue puncului meril puncului ese consnă, mişcre cesui nu ese uniform cceleră deorece crcerul uniform cceler ese d de condiţi c ccelerţi ngenţilă să fie consnă şi nu ce olă. Penru = 0, 5 s puncul re coordonele x = respeci y = 0 şi se obține: ecori reprezenți în fig = i + 4 j, = 8 j, ν = ν, τ = τ,

30 MEANIĂ*N* N.0.Mișcări priculre le puncului meril piolul N.0. Mișcări priculre le puncului meril uine-cheie Mişcre recilinie, Lege de mişcre, Mişcre recilinie şi uniformă, Mişcre recilinie uniform riă, Mișcre recilinie oscilorie rmonică, Mişcre circulră puncului meril, Mişcre circulră uniformă, Mişcre circulră uniform riă, Mișcre circulră oscilorie rmonică, Mişcre puncului meril pe elice cilindrică de ps consn, Rz de curbură. N.0.. Mişcre recilinie puncului meril În mişcre recilinie, riecori ese un segmen de drepă su o drepă, coordon nurlă s ( ) coincide cu bscis x ( ), lege de mișcre fiind = x( ) s( ) ( = 0, z = 0) x = în cre ersorul τ ese un ecor consn τ = i, ir = 0. ρ Viez şi ccelerţi sun comple precize de căre mărimile lor lgebrice ~ = x ( ), ~ = x ( ), [ ] şi, din ces moi, uneori nu se mi folosesc expresiile ecorile. y, (.) - 0-0, (.) În mişcre recilinie orecre, dică în czul în cre lege de mişcre x( ) orecre, iez şi ccelerţi u expresiile x = ese o funcţie = r = xi = sτ (.) = r = xi = sτ = i ~ (.4) deci sun colinire. Dcă înr-un inerl de imp iez şi ccelerţi u celşi sens, unci mişcre ese cceleră, dcă u sensuri opuse, mişcre ese înceiniă, ir dcă ccelerți ese nulă, mișcre ese uniformă. Funcțiile de de (.) și (.) se po reprezen grfic ând impul în bscisă. ând pe ordonă x su ese ( ) x, curb se numeşe grfic l mişcării su digrm mişcării. ând pe ordonă ese ( ) x ( ), grficele cesor funcţii se numesc digrm iezei şi respeci digrm ccelerţiei. Penru numie forme le legii de mișcre x ( ), se obţin mişcări recilinii priculre. În coninure or fi prezene cele mi imporne dinre cese. ) Mişcre recilinie şi uniformă ese mişcre penru cre ese lbilă relţi (.74), scrisă sub form =, [ 0, ] x x0 + 0, (.5) unde x 0 şi 0 sun consne rele, ce reprezină poziţi puncului l momenul iniţil = 0 şi respeci iez puncului pe riecorie.

31 MEANIĂ*N* N.0.Mișcări priculre le puncului meril Vecorii ieză şi ccelerţie sun de form: = 0i, = 0 0,, (.6), [ ] cee ce ră că ecorul ieză ese consn ir ecorul ccelerţie ese nul. dx Digrm mişcării (fig..) ese o drep penru cre gα = = x = 0, dică pn drepei ese d iez puncului. x ( ) x = 0 + x 0 α x 0 0 Fig... Digrm mişcării recilinii și uniforme b) Mişcre recilinie uniform riă ese mişcre penru cre ese lbilă lege de mişcre dă de (.78), scrisă sub form: x0 x + =, [ ] 0,, (.7) unde x 0 și 0 reprezină poziţi şi iez puncului l = 0, ir 0 ese ccelerţi consnă puncului pe riecorie. Vecorii ieză şi ccelerţie sun de form: = ( )i, 0 i =, [ ] cee ce ră că ecorul ccelerție ese un ecor consn. 0,, (.8) Digrm de mişcre ese o prbolă, digrm iezei ese o drepă, ând pn eglă cu ccelerţi puncului ir digrm ccelerţiei ese o drepă prlelă cu x bsciselor. Mişcre poe fi uniform cceleră când iez şi ccelerţi u celşi sens, su uniform înceiniă, când iez şi ccelerţi u sensuri opuse. c) Mișcre recilinie oscilorie rmonică re loc unci când lege de mișcre re form: unde A, k și α sun consne. x = Asin ( k + α ), [ 0, ] (.9) - -

32 MEANIĂ*N* N.0.Mișcări priculre le puncului meril Abscis x se numeşe elongţie şi re lorile exreme +A şi A, unde A>0 se numeşe mpliudine. Argumenul ϕ = k + α ese fz oscilţiei, k ese pulsţi oscilţiei (noă dese cu ω), ir ( 0) α = ϕ ese fz iniţilă, dică l momenul = 0. Mişcre re loc de o pre şi de l puncului, numi cenru de oscilţie (fig...) şi ese periodică. Period T ese inerlul de imp dinre două receri succesie le puncului prin ceeşi poziţie și în celşi sens. E se clculeză folosind relţi bză pe definiți periodei ( T ) x( ) Din lege de mișcre rezulă urmăore relție deci x + = 0. (.0) [ k( + T ) + α ] = Asin( k + α ) Asin, (.) ( + T ) + α = k + α + π Din relți (.) se obține că period oscilției ese: k. (.) π T = [s], (.) k cee ce ră că ces nu depinde de mpliudine mișcării ci numi de pulsţi ei. Frecenț oscilţiei ese: M A x + A Fig... Mișcre recilinie oscilorie rmonică puncului M k ν = T = [Hz] (.4) π şi reprezină numărul de oscilţii complee (de periode) efecue în unie de imp. E se măsoră în herzi. Viez şi ccelerţi u expresiile: ~ = x = Ak cos k (.5) ( + α ) cee ce ră că ccelerţi ese proporționlă cu elongţi. Digrm de mişcre ese prezenă în fig... ~. = ~ = x = Ak sin α, (.6) ( k + ) = k x - -

33 MEANIĂ*N* N.0.Mișcări priculre le puncului meril y T A x 0 x N.0.. Mişcre circulră puncului meril x = Asin k ( ) + α Fig... Digrm de mişcre Triecori fiind dă, mişcre poe fi sudiă folosind proiecţiile iezei şi ccelerţiei pe xele riedrului erre-frene. Fie M un punc mobil pe un cerc de cenrul şi rză R şi un punc fix pe circumferinţă, numi origine, în rpor cu cre se exprimă coordon nurlă s puncului mobil. Axele riedrului lui Frene sun (fig..4.): ngen în M l cerc, ând ersorul τ orienă în sensul crescăor l rcului M = s ; norml principlă, ând direcți rzei cercului în puncul M și ersorul ν orien spre cenrul cre ese și cenrul de curbură. Rz de curbură ρ ese consnă și eglă cu rz cercului, de lfel cercul fiind singur curbă plnă cu rz de curbură consnă; binorml, perpendiculră în M pe plnul cercului, ând ersorul β = τ ν, nefigur în desen. ν θ τ M + s Fig..4. Mişcre circulră puncului M Noând cu θ unghiul dinre şi M, cărui mărime riză în impul mişcării şi considerând coordon nurlă s din puncul în sensul în cre θ creşe, lungime rcului de cerc eglă cu produsul dinre rz cercului şi unghiul l cenru exprim în rdini, ese în cre s = R θ, [ 0, ], (.7) - -

34 MEANIĂ*N* N.0.Mișcări priculre le puncului meril θ = θ ( ), [ 0, ]. (.8) Rezulă că mişcre circulră ese crceriză de funcţi s = s( ), su de funcţi θ ( ) Deri în rpor cu impul unghiului θ ( ) θ = se numeşe ieză unghiulră: ( ) ir deri iezei unghiulre se numeşe ccelerţie unghiulră θ =. ~ ω = θ, (.9) ~ ε = ~. ω = θ. (.0) Viez unghiulră ω ~ ră sensul mişcării, dică sensul de roţie, şi se măsoră în rdini pe secundă su s. Accelerţi unghiulră ε ~ se măsoră în ( ) s şi crcerizeză riţi iezei unghiulre. Pe bz fpului că s = R θ = R ~ ω, iez puncului M ese: Accelerţi puncului M, folosind fpul că ρ = R, cpăă expresi: = s τ = R θτ = R ~ ωτ, = R ~ ω, = Rω. (.) s = R θ = R ~ ε şi că rz de curbură cercului ese cu componenele: = R θτ + R θ ν = R ~ ετ + Rω ν = R ~ ετ + ν (.) R şi modulul: = R ~ ε, τ = R ω ν = (.) R 4 = R ε + ω. (.4) Penru preciz crcerul cceler, înceini su uniform l mişcării, se clculeză produsul. = = ~~ = ~ ~ d = ω ωε ω ω τ R R R, (.5) d cre ră că unci când ~ ω ε~ > 0, dică ~ ω şi ~ ε u celşi semn, mişcre ese cceleră, deorece ω creşe, ir când ~ ω ε~ < 0, dică ~ ω şi ~ ε u semne diferie, mişcre ese înceiniă, : deorece ω scde. ând, înr-un inerl de imp ~ ω ε~ = 0, unci însemnă că ~ ε = 0, ir mişcre ese uniformă şi re loc cu ieză unghiulră consnă ω 0. În figur.5 sun reprezene iez şi ccelerţi în cele rei siuţii

35 MEANIĂ*N* N.0.Mișcări priculre le puncului meril τ M ν θ ω ~ ε ~ ν θ ~ ω ~ ε M τ M = ν θ ω ~ Fig..5. Vecorii iez şi ccelerţie în mişcre circulră cceleră, înceiniă și uniformă şi în czul mişcării recilinii, în mişcre circulră sun rei siuţii priculre imporne. ) Mişcre circulră uniformă, crceriză de fpul că iez re modul consn, cee ce implică: Rezulă că lege mişcării circulre uniforme ese: unde ( 0) θ = ω0 = cs. și θ = ~ ε = 0. (.6) =, [ 0, ] θ θ 0 + ω 0, (.7) θ 0 = θ. Dcă l = 0 em θ 0 = 0, dică puncul M plecă din, lege mişcării circulre uniforme deine: θ = ω 0, [ 0, ] (.8) e obseră că în cesă mişcre priculră iez unghiulră ese consnă, ir ccelerţi unghiulră ese nulă. Expresiile iezei, ccelerţiei şi le modulelor lor sun: = Rω 0 τ, = Rω 0 = 0 = cs., (.9) 0 = ν = Rω ν, cee ce ră că iez şi ccelerţi sun perpendiculre. = R ω 0 0 = R, (.0) În cele mi mule siuţii prcice, se cunoşe numărul de roţii pe minu (urţi), n, pe cre le execuă puncul M. Viez unghiulră ese dă de: ir lege de mişcre deine π n π n ω 0 = =, (.) 60 0 π n θ =. (.) 0 b) Mişcre circulră uniform riă ese crceriză prin cee că τ = 0 = cs., cee ce implică - 5 -

36 MEANIĂ*N* Inegrând de două ori, se obţine: și N.0.Mișcări priculre le puncului meril ~ ε = ε 0 = cs. (.) ~ ω = ε 0 +, (.4) θ = ε (.5) onsnele şi sun iez unghiulră şi respeci unghiul θ l momenul iniţil = 0 : ~ ω, (.6) ( 0) = ω0 = ( 0) = θ0 = Lege mişcării circulre uniform rie (7.49) se scrie cum: ir iez, ccelerţi şi modulele lor sun: θ. (.7) 0 + ω0 θ0 θ = ε +, [ 0, ], (.8) = R( ω ε )τ, = R ω +, (.9) ε0 = Rε τ + R( ω ε ) ν, R ε + ( ω + ε ) c) Mișcre circulră oscilorie rmonică re lege de mișcre: ( ) =. (.40) θ = Θsin k + α, (.4) în cre Θ, k şi α sun consne și se numesc mpliudine, pulsție și fză inițilă. Viez şi ccelerţi unghiulră se obţin prin derire şi sun de form:. ~ ω = θ = kθcos k +, (.4) ( α ) ~ ε = ~ ω = θ = k Θsin, (.4) ( k + α ) = k θ cu cre se deduc fore simplu expresiile iezei și ccelerției. bserţie: Mişcre circulră se poe sudi şi în coordone creziene su polre. În coordone creziene, legând x x după direcţi (fig..4.), em: sfel că se obține: x = R cosθ, y = Rsinθ, (.44) = R θ sinθi + R θ cosθj, (.45) - 6 -

37 MEANIĂ*N* N.0.Mișcări priculre le puncului meril ( θ sinθ + θ cosθ ) i + R( θ cosθ θ sinθ ) j = R. (.46) În coordone polre, luând semix polră pe direcţi (fig..4.), ersorii xelor or fi: ir i n = τ, i ρ = ν (.47) r = R, θ ( ) Deorece r = 0, iez şi ccelerţi cpăă form: θ =, [ 0, ]. (.48) = Rθi θ, (.49) R = θ i ρ + R θ i n, (.50) ir iez reolră ese Ω = R θ. (.5) N.0.. Mişcre puncului meril pe elice cilindrică de ps consn e consideră un punc M cre se deplseză pe o elice cilindrică siuă pe un cilindru circulr drep de rză R, psul h l elicei fiind consn, ir unghiul de înfăşurre fiind β (fig..6,). e desfăşoră elice, obţinându-se segmene prlele de riecorie (fig..6,b), puncele A şi A', B şi B', şi ' fiind punce cre coincid unci când elice ese înfăşură pe cilindru. z B B h x A B M β z M A R θ M A M y π R θ. b. Fig..6. Mişcre puncului pe elice cilindrică de ps consn h Din riunghiul drepunghic A'AB se deduce ngen unghiului de înfăşurre: Ecuţiile de mişcre le puncului M sun: h g β =. (.5) πr - 7 -

38 MEANIĂ*N* în cre θ ( ) θ =. N.0.Mișcări priculre le puncului meril x = Rcosθ, y = Rsinθ, z = Rθ gβ, (.5) Viez şi ccelerţi puncului M u expresiile: = R θ sinθi + R θ cosθ j + R θ gβ k, (.54) şi modulele: ( θ sinθ + θ cosθ ) i + R( θ cosθ θ sinθ ) j + R θ gβ k = R, (.55) R θ =, cos β θ 4 = R + θ. (.56) cos β e clculeză rz de curbură cu juorul componenei ngenţile ccelerţiei: ρ = = ν τ = ~ = R = cos, (.57) β cee ce ră că rz de curbură riecoriei ese consnă în orice punc. N.0.4. Aplicție. Un punc P descrie o riecorie plnă formă din două rce de cerc rcorde, ând unghiurile l cenru θ = rd și respeci θ = rd, ir rzele cercurilor sun R = 0 m și R = m (fig..7.). Puncul re o mișcre uniform înceiniă, plecând din A cu iez A = 0 = 0 m/s și jungând în D cu iez D = 4m/s. ă se deermine iez și ccelerți puncului și să se reprezine digrmele = ( ), τ = τ ( ) și ν = ν ( ). A τ 0 ν τ ν ν B τ B τ ν τ ν ν D Fig..7. Triecori puncului P D Penru fl mărime lgebrică ccelerţiei ngenţile, se uilizeză formul (.80), rezulând: - 8 -

39 MEANIĂ*N* N.0.Mișcări priculre le puncului meril în cre s = R θ + Rθ = 4 m. 0 D = A, s e obține: ir ecorul ccelerţie ngenţilă ese: 0 = τ = m s, τ = τ. Viez se clculeză cu relţi dă de (.79), rezulând: = ( 0 )τ. Viez puncului meril în puncul B se clculeză folosind relţi (.80), obținânduse: B = A + 0s = A + 0R θ = 00 0 = 80s 8,9 Timpul B, până când puncul junge în B, se clculeză pe bz relţiei (.77), rezulând: 0 8,9 0 = B B = =, s, 0 ir impul ol D de prcurgere riecoriei ese: = D D = = 6s. 0 Acum se poe clcul ccelerţi normlă cre re expresii diferie pe cele două rce de cerc: m s [m/s] Fig..8. Digrm iezei ( ) puncului [s] - 9 -

40 MEANIĂ*N* N.0.Mișcări priculre le puncului meril τ [m/s ] [s] Fig..9. Digrm ccelerției ngențile ( ) τ ν [m/s ] 0 7,9,47 0,5 0, 6 Fig..0 Digrm ccelerției normle ν ( ) ν = ν = ρ ( 0 ) 0 ( 0 ) ν, ν, [ 0, ], [, ]. În puncul B ersorul ν își schimbă sensul, deci își schimbă sensul și componen normlă ccelerției. B B D [s]

41 MEANIĂ*N* N.0.Mișcări priculre le puncului meril Digrm ( ) ese reprezenă în fig..8, digrm τ ( ) în fig..9 ir digrm ( ) ν în fig..0. Accelerţi normlă re o disconinuie în puncul B (l momenul =,s), e scăzând insnneu de l 7,9 m/s l, 47 m/s, dică cu 5,4 m/s. Dcă ţinem con şi de schimbre de sens ecorului ccelerție normlă, după cum se ede în figur.7, riți ese de fp de 0,7 m/s. Acese riţii bruşe rebuie eie în prcică, fie prin micşorre iezei puncului în zon de rcordre, fie prin preedere unei mici porţiuni recilinii înre cele două rce, ccelerţi normlă modificându-se în repe, dică de l 7,9 m/s l zero înr-un sens şi poi de l zero l,47 m/s în sens opus, ând sfel două sluri mi mici în loc de unul mre

42 MEANIĂ*N* N.0.Elemene priind mișcre generlă rigidului piolul N.0. Elemene priind mișcre generlă rigidului uine-cheie olid rigid, isem de referinţă fix, isem de referinţă propriu, Mrice de schimbre de bză, Poziţi, Grde de libere, Roire, Unghiurile lui Euler, Viez unghiulră, Accelerţi unghiulră, âmpul iezelor, Disribuți de ieze, âmpul ccelerțiilor, Disribuți de ccelerții, Ax elicoidlă insnnee, uprfţ xoidlă mobilă, uprfţ xoidlă fixă, Mişcre generlă unui solid rigid, Trnslţie, N.0.. onsiderții generle Prin solid rigid se înţelege un mediu meril penru cre disnţ dinre oricre două punce le sle rămâne neschimbă în imp, oricre r fi forţele plice cesui mediu meril şi oricre r fi mişcre s. olidul rigid ese o idelizre memică. În relie, corpurile solide cre se înâlnesc în nură sun mi mul su mi puţin deformbile. Touşi, în numie condiţii corpurile solide po fi încdre în cegori solidelor rigide. În czul unui solid rigid iezele şi ccelerţiile priculelor cre-l compun po ri, â în rpor cu impul, dr şi de l o priculă l l. De cee se or urmări ceşi prmeri cinemici c funcţii de imp şi spţiu. unoşere mişcării unui solid rigid ese echilenă cu obţinere expresiilor generle penru ecorul de poziţie, iez şi ccelerţi unui punc orecre l rigidului fţă de un sisem de referinţă fix. e rporeză solidul rigid l două siseme de referinţă sfel: un sisem de referinţă exerior, no E, consider fix fţă de cre se sbilesc prmerii cinemici cre definesc mişcre solidului rigid; un sisem de referinţă propriu, no P, leg de solidul rigid şi cre se mişcă odă cu ces. Aces reper se lege cu origine înr-un punc l solidului rigid şi xele oriene după rei xe le cesui, perpendiculre înre ele (fig...). Fig... Alegere sisemelor de referință în czul mișcării generle rigidului Fie {} i = { i; j; k} bz de ersori şă reperului P şi { } { i j k } reperului E i 0 = 0 ; 0 ; 0 bz de ersori şă

43 MEANIĂ*N* N.0.Elemene priind mișcre generlă rigidului rienre reperului P ese dă de mrice de schimbre de bză de l reperul E l reperul P : {} i E P { } = i o. (.) Deorece nu po pre confuzii, penru uşurinţ scrierii se no: E P = [ ]. e folosi scriere cu indici superiori numi unci când rebuie făcuă disincţie înre mi mule mrici de schimbre de bză. Mrice de schimbre de bză depinde de rei prmeri, deci orienre reperului P fţă de reperul E ese dă de rei prmeri, unghiuri, după cum se ede mi ârziu. Poziţi unui punc M, l solidului rigid, fţă de reperul propriu ese dă prin ecorul său de poziţie: {} i { r} = {} i { x; y z} r = ;. (.) onform definiţiei solidului rigid, în impul mişcării, puncul M nu îşi modifică poziţi fţă de reperul P, deci mrice { r }, şă ecorului r, ese consnă. Numărul de grde de libere l solidul rigid ese egl cu numărul de prmeri ce rebuie cunoscuţi penru se deermin poziţi oricărui punc M l solidului rigid fţă de reperul exerior E. e poe scrie: în cre: E. R = R o + r, (.) R ese ecorul de poziţie l originii, reperului P, fţă de origine o 0, reperului Mricel, relţi (.) cpăă form: { i } { } { i } { x ; y ; z } R o = 0 R o = (.4) { i } { } { i } [ ] { r} R = 0 R o + 0. (.5) Anliz relţiei (.5) releă fpul că penru deerminre lui R rebuie cunoscue: mişcre originii reperului P, fţă de reperul E, crceriză prin mrice { R } prmeri sclri;, deci rei orienre reperului P, fţă de reperul E, crceriză prin mrice de schimbre de bză [ ], deci încă rei prmeri. Prin urmre, mişcre solidului rigid, deci oricărui punc l său, ese dă de şse prmeri. În consecinţă solidul rigid re şse grde de libere. Dcă rigidului i se impun resricţii de mişcre, numărul grdelor de libere fi redus corespunzăor

44 MEANIĂ*N* N.0.Elemene priind mișcre generlă rigidului N.0.. Mrice de schimbre de bză Penru deerminre mricei de schimbre de bză, rebuie sudi modul de recere de l reperul E l reperul P, presupuse c ând ceeşi origine. În czurile cele mi simple cesă recere se poe fce prinr-o simplă roire reperului E în jurul unei din xele sle. Apr urmăorele posibiliăţi: roire cu unghiul ϕ în jurul xei 0 x 0 (fig..). Mrice de schimbre de bză ese: 0 0 = 0 cosϕ sinϕ. (.6) 0 sinϕ cosϕ [ ] Fig... Roire în jurul xei 0 x 0 roire cu unghiul ϕ în jurul xei 0 y 0 (fig..). Mrice de schimbre de bză ese: Fig... Roire în jurul xei 0 y 0 cosϕ 0 sinϕ = 0 0. (.7) sinϕ 0 cosϕ [ ] roire cu unghiul ϕ în jurul xei 0 z 0 (fig..4.)

45 MEANIĂ*N* N.0.Elemene priind mișcre generlă rigidului Mrice de schimbre de bză ese: Fig..4. Roire în jurul xei 0 z 0 cosϕ sinϕ 0 = sinϕ cosϕ 0. (.8) 0 0 [ ] În czul generl recere de l reperul E l reperul P se poe fce prin rei roţii succesie. În coninure se dă o sfel de succesiune de roţii, numiă rin α β γ ( α si β γ ; α, β, γ = x, y, z) β : se roeşe reperul E, cu unghiul ϕ, în jurul unei xe s, noul reper fiind no T, ând xele noe x ', y', z'. Mrice de schimbre de bză de l reperul E l reperul T, E T, se deermină cu un din relţiile (.6.8); se roeşe reperul T, cu unghiul ϕ, în jurul unei xe s, noul reper fiind no T şi ând xele noe x '', y'', z' '. Mrice de schimbre de bză de l reperul T l reperul T, T T, se deermină cu un din relţiile ( ); se roeşe reperul T, cu unghiul ϕ, în jurul unei xe s până se suprpune pese reperul P. i în ces cz, mrice de schimbre de bză de l T l P, decă, dinre ( ). Mrice de schimbre de bză de l reperul exerior l reperul propriu ese: T [ ] = [ E P ] = P E P, se deermină cu relţi T T T T. (.9) În coninure se prezină mrice de schimbre de bză penru rinele posibile: - rin x-y-x: