Modele dinamice de conducere optimală a activităţii firmei 9. Modelul Jorgenson

Transcript

1 Modele dinmice de conducere opimlă civiăţii firmei 9 Modelul Jorgenson Ese un model în cre ese urmăriă sregi firmei în cee ce priveşe efecure invesiţiilor şi efecele deprecierii cpilului supr evoluţiei înreprinderii nlize. Invesiţiile sun privie c scrificii le puerii de cumpărre cule penru obţinere de veniuri viiore. 1 Ipoezele modelului sun: 1. Mximizre veniurilor culize, pe un orizon de imp infini;. Penru fce comprbile fluxurile de veni din diferie inervle de imp se inroduce o ră de culizre i, cre reprezină r de revenire sconă cţionrilor; 3. Firm produce un singur ip de produs pe cre-l vinde pe o piţă perfec compeiivă cu un preţ fix p. 4. Firm foloseşe două ipuri de fcori de producţie: munc şi cpilul, pe cre le chiziţioneză de pe pieţe compeiive, sfel încâ slriul mediu şi preţul mediu l cpilului sun fixe (w, c). Ecuţiile modelului sun: 1. Ecuţi veniului R() = p Q(K(), L()) w L() c I() (1) unde: R() = veniul ne (profiul) l momenul ; Q() = producţi fizică l momenul ; I() = invesiţi bruă l momenul ; K() = socul de cpil fix şi circuln l momenul ; L() = volumul forţei de muncă l momenul ; c = preţul unir l bunurilor cpil; w = preţul unir l muncii (slriul mediu);. Ecuţi de dinmică cpilului

2 10 Modelul Jorgenson K & () = I() K() () unde: K & () = invesiţi neă; = r de depreciere cpilului (Obs: ces reprezină o depreciere exponenţilă cpilului) Obs: Ecuţi de mi sus ese o ecuţie liniră în K(). Rezolvre cesei se reduce l rezolvre ecuţiei omogene: () = K( ) K & (3) cre re soluţi generlă: K G () = A e (4) ir, dcă K P () ese o soluţie priculră ecuţiei linire, soluţi generlă ecuţiei linire v fi: K() = A e + K P () (5) 3 Funcţi de producţie re proprieăţile: Crescăore: () > 0, () > 0 Q Q Q Q Q 0 Sric concvă: () <, () < 0, () () > () Veniuri descrescăore l sclă Penru c civie de producţie să demreze ese necesr c veniul mrginl l fiecărui fcor să depăşescă cosul său mrginl: p p () > c( i + ) () > w unde: c(i + ) = cosul mrginl l cpilului: penru fiecre unie moneră cheluiă pe bunuri cpil rebuie sigură revenire (veniul) cţionrilor şi rebuie plăiă morizre; w = cosul unir l muncii (6) (7) (8)

3 Modele dinmice de conducere opimlă civiăţii firmei 11 4 Modelul memic ese: mx I, L 0 e i () = I() K() [ p Q ( K (), L() ) w L() c I () ] K (10) - resricţie supr vribilei de comndă I min < 0 I() I mx I mx > 0 (11) resricţi de nenegivie supr vribilei de sre: K() 0 (1) K(0) = K 0 0 (13) şi reprezină o problemă de conrol opiml. 5 Rezolvre memică modelului se fce uilizând principiul lui Ponreghin. Deorece funcţi obieciv (9) ese cu culizre (pre e i ) consruim hmiloninul jus (fără culizre): H(K(),L(),I(),λ(),) = {p Q(K(), L()) w L() c I()} + λ() (I() K()) (14) unde vribil djuncă v fi exprimă în ces cz prin rnsform: Ψ() = e i λ() (15) λ() fiind vribil djuncă corespunzăore hmiloninului H( ) cre conţine ermenul de culizre e i, vribilă despre cre se şie că verifică ecuţi de dinmică: λ & ( ) = H ( ) ( ) de unde rezulă: H Ψ & () = i Ψ() e i ( ) ( ) d (9) (16) (17) su, mi generl, eorem: Teoremă: Dcă X() ese vecorul vribilelor de sre şi H( ) ese hmiloninul soci unei probleme de conrol opiml fără resricţii unci vribilele djunce Ψ() folosie în consrucţi hmiloninului, prin

4 10 Modelul Jorgenson excludere fcorului de culizre (e i ) din funcţi-obieciv, verifică ecuţi de dinmică: Ψ & () = i Ψ() e i H ( ) = i Ψ() X ( ) (18) H jus X unde H() = e -i H jus () Dcă exisă şi resricţii supr vribilelor, c în czul de fţă resricţiile: I() I mx K() 0 unci definim Lgrngenul soci problemei: L(L(), K(), λ(), µ 1 (), µ (), ν()) = = H(L(), K(), λ()) + µ 1 () (I() ) + µ () (I mx I()) + ν() K() = = {p Q(K(), L()) w L() c I()} + λ() (I() K()) + µ 1 () (I() ) + µ () (I mx I()) + ν() K() (19) unde ν() ese muliplicorul soci resricţiei supr vribilei de sre K() ir µ 1 () şi µ 3 () muliplicorii sociţi resricţiilor supr vribilei de decizie I(). Ecuţi de dinmică (16) vribilei djunce λ() rebuie înlocuiă cu ecuţi: şi: Ψ & () = i Ψ() e i L( ) () (0) Sisemul de condiţii Kuhn-Tucker se reduce l condiţiile: () () = c + Ψ() + µ 1 () µ () = 0 (1) I () () ( ) = p () w = 0 () µ 1 () (I() ) = 0 (3) µ () (I mx I()) = 0 (4) ν() K() = 0 (5) µ 1 (), µ (), ν() 0 (6)

5 Modele dinmice de conducere opimlă civiăţii firmei 13 cre ese un sisem de 5 ecuţii cu 5 necunoscue: I, L, µ 1, µ şi ν, din cre vom scoe vribilele de decizie I şi L în funcţie de vribil de sre K şi de vribil djunce Ψ. În finl, vribil de sre K() v fi găsiă din sisemul de ecuţii diferenţile form din ecuţi de dinmică vribilei de sre (10) l cre se dugă ecuţi de dinmică vribilei djunce, rezulând un sisem SD de ecuţii diferenţile cu necunoscue (K(),Ψ()): () = I() K() K & SD: (10) Ψ & () = i Ψ() e i L( ) Q( ) () = (i + ) Ψ() p () ν() (7) cu vlore iniţilă K(0) = X 0 şi condiţi de rnsversbilie : lim Ψ() = fini (8) Revenind l sisemul de condiţii Kuhn-Tucker, deorece nu puem ccep siuţi în cre cpilul ese nul pe înregul orizon de imp nliz, penru ecuţi (5) nlizăm dor soluţi: ν() = 0 (9) Din () rezulă: () () w p = (30) dică veniul mrginl l muncii = cosul mrginl, de unde: () () w = p (31) cre spune că producivie mrginlă muncii ese consnă pe riecori de opim, de unde rezulă că funcţi de producţie Q ese liniră în L. Cum Q(K,L) ese sric concvă rezulă că ese sric concvă în K şi, în () concluzie, deriv () ese sric descrescăore şi implici, injecivă. Rezulă că fiecărei vlori produciviăţii mrginle cpilului (= pn funcţiei Q(K)) îi corespunde o singură vlore cpilului K de unde rezulă că puncul de opim (L *, K * ) ese unic. Fiecre din ecuţiile (3) şi (4) implică czuri (µ i = 0 su µ i 0, i = 1,) rezolvre sisemului presupunând nliz = 4 vrine, cre po fi sineize conform belului de mi jos:

6 10 Modelul Jorgenson Triecori µ 1 µ I() I + + = I() = I mx II + 0 I() = III 0 + I() = I mx IV 0 0 I() I mx 6 Anliz riecoriilor Triecori I: (µ 1 > 0, µ > 0) Rezulă că I() = = I mx cee ce ese bsurd deorece s- presupus că < 0 < I mx su echivlen spus riecori I nu ese dmisibilă. Triecori II: (µ 1 = 0, µ > 0) Implică I() = ir ecuţi de dinmică cpilului v ve soluţi: K() = A e + (3) unde A se obţine din condiţi iniţilă K(0) = K 0, rezulând: K 0 = A + şi în finl riecori: K() = (K 0 A = K 0 ) e + (3') (3") Deorece < 0 rezulă că penru vlori suficien de mri le lui r rezul K() < 0 în conrdicţie cu condiţi K() > 0 şi, în concluzie, cesă riecorie nu poe fi ce finlă. Triecori III: (µ = 0, µ 1 > 0) Implică I() = I mx şi ecuţi de dinmică v fi: K() = A e + I mx (33) unde A se obţine din condiţi iniţilă K(0) = K 0, rezulând: K 0 = A + şi în finl riecori: I mx A = K 0 I mx (33')

7 Modele dinmice de conducere opimlă civiăţii firmei 15 K() = (K 0 I mx ) e + Penru vlori suficien de mri le lui, vem: K() I mx (33") I mx (34) şi ţinând con că ν() = 0, rezulă ecuţi de dinmică vribilei djunce: cre re soluţi: Ψ & () = (i + ) Ψ() p Ψ ( i+ ) () = B e + Ψ ( ) P Q( ) () (35) Ψ + f (36) ( i+ ) () = B e Cum Q( ) concvă şi crescăore () poziivă şi descrescăore, cee ce implică fpul că () dmie simpoă orizonlă l + : lim () = α 0 (37) cre spune că soluţi priculră Ψ P () poe fi proximă l + cu soluţi priculră ecuţiei: dică: Ψ & () = (i + ) Ψ() p α (38) p α Ψ P () = consn (39) i + În concluzie: () = lim Ψ (40) şi nu respecă condiţi de rnsverslie, dică nu poe fi soluţi finlă. şi: Triecori IV: (µ 1 = µ = 0) Condiţiile Kuhn-Tucker devin: () 0 Ψ() = c Ψ & = (41)

8 10 Modelul Jorgenson () () w = p (4) Din ecuţi impliciă (4) se scoe vribil de decizie L() în funcţie de vribil de sre K(): L = f(k) (43) Inroducând relţiile (41) şi (43) în ecuţi de dinmică vribilei djunce (7) rezulă: şi obţinem: de unde: (i + ) c p Q( f ( K), K) () = Q( f ( K), K) () = 0 (44) ( i + ) c p Ecuţi (45) ese o ecuţie lgebrică cu necunoscu K(). Rezolvând cesă ecuţie rezulă: (45) K() = K * = consn (46) K & () = 0 (47) Înlocuind rezulul (46) în relţi (43) obţinem volumul forţei de muncă: L() = f(k * ) = L * = consn L & () = 0 (48) Din ecuţi de dinmică rezulă vlore invesiţiilor: I() = K * = I * = consn (49) Deorece: lim Ψ( ) = c = consn rezulă că riecori IV sisfce condiţi de rnsverslie. În cee ce priveşe nliz soluţiei finle, vem două vrine: (50) ) Dcă K * = K 0, soluţi găsiă sisfce şi condiţi iniţilă şi ese soluţi finlă. b) Dcă K * K 0 soluţi găsiă nu sisfce şi condiţi iniţilă şi nu ese soluţi finlă.

9 Modele dinmice de conducere opimlă civiăţii firmei 17 În ces cz, deorece nici un din soluţiile găsie nu poe fi singură soluţi finlă, căuăm soluţii compuse. Deorece singur soluţie cre sisfce condiţi de rnsverslie ese riecori IV, e v fi soluţi finlă pe un inervl de ipul [T, ). E rebuie însă, penru se îndeplini şi condiţi iniţilă, să fie precedă de cel puţin un din riecoriile II şi III. În funcţie de relţi dinre vlore iniţilă cpilului K 0 şi vlore K * corespunzăore riecoriei IV, vem două vrine: Vrin 1: K * < K 0 În ces cz, penru junge de l vlore K 0 cpilului l vlore mi mică K * firm rebuie să plice o poliică de consum mxim (I = ) cre duce l o riecorie descendenă cpilului (riecori II) până când vlore cpilului devine K() = K *, momen în cre firm cupleză pe riecori consnă IV. Momenul de cuplre * se obţine din relţi de cuplre K() = K * : K() = (K 0 cre duce l soluţi: K * 1 = ln K ) e + * 0 I I min min = K * (51) (5) Penru c cesă comure să fie ccepbilă ese necesr să fie respece condiţiile de coninuie şi derivbilie impuse funcţiilor implice în model. În ces cz: µ 1 > 0 pe riecori II şi µ 1 = 0 pe riecori IV µ = 0 şi ν = 0 pe mbele riecorii Penru clrie expunerii vom no cu µ 1(II) şi µ 1(IV) cei doi muliplicori corespunzăori celor două riecorii. În momenul cuplării rebuie c µ 1(II) ( * ) = 0 şi de semene µ ( * ) = 0. Pe riecori II vem: / 1( II ) µ 1(II) = c Ψ() (53) şi prin înlocuire în ecuţi de dinmică vribilei de jusre vem:

10 10 Modelul Jorgenson / µ 1 ( II ) () = p ( ) ( + i) c + ( + i) µ 1( II ) ( ) (54) relţie cre, penru = * implică: p * ( ) = ( i + ) c Evoluţi mărimilor K, L şi I ese ilusră grfic mi jos: (55) K() I() L() K(0) K * I * L(0) L * * * * Cpilul Vrin : K * > K 0 Invesiţiile Figur 3.1 Forţ de muncă În ces cz, penru junge de l vlore K 0 cpilului l vlore mi mre K *, firm rebuie să plice o poliică de invesiţii mxime (I = I mx ) cre duce l o riecorie scendenă cpilului (riecori III) până când vlore cpilului devine K() = K *, momen în cre firm cupleză pe riecori consnă IV. Momenul de cuplre * se obţine din relţi de cuplre K() = K * : K() = (K 0 cre duce l soluţi: K * 1 = ln K I mx 0 ) I e + mx = K * (56) * mx I (57) I mx Penru c cesă comure să fie ccepbilă ese necesr să fie respece condiţiile de coninuie şi derivbilie impuse funcţiilor implice în model. În ces cz: µ > 0 pe riecori III şi µ = 0 pe riecori IV

11 µ Modele dinmice de conducere opimlă civiăţii firmei 19 / ( III ) µ 1 = 0 şi ν = 0 pe mbele riecorii În momenul cuplării rebuie c µ (III) ( * ) = 0 şi de semene ( * ) = 0. Pe riecori III vem: µ (III) = c Ψ() (58) şi prin înlocuire în ecuţi de dinmică vribilei de jusre vem: / µ ( III ) () = p ( ) ( + i) c + ( + i) µ ( III ) ( ) (59) relţie cre, penru = * implică: K() p * ( ) = ( i + ) c Evoluţi mărimilor K, L şi I ese ilusră în grficul urmăor: I() L() (60) K * K(0) * Cpilul I * * Invesiţiile Forţ de muncă Figur 3. În concluzie riecoriile opimle în cel mul sdii sun 1. Dcă K(0) = K * : IV. Dcă K(0) < K * : II IV 3. Dcă K(0) > K * : III IV L * L(0) * Deorece recere de pe riecori II pe riecori III su reciproc nu ese posibilă deorece r rezul funcţii le muliplicorilor nederivbile nu sun dmise soluţii de câe rei riecorii su mi mule.